Fractales

FRACTALES “Edward Krasner tenía una manera de enseñar grandes números a los niños. Les pedía que adivinasen el largo de la costa este de los EE.UU. Después de que se daba una cifra “sensata” (digamos, 2000 millas) precedía paso a paso a demostrar que esta cifra aumentaba enormemente si se medía el perímetro de cada bahía y cabo, luego el de cada proyección y curva de cada uno de éstos, luego la distancia que separaba cada pequeña partícula de materia de la costa, cada molécula, cada átomo, etc. Obviamente, la costa es tan larga como uno quiere que sea” Citado por Clifton Fadiman en la introducción de Mathematical Maggie. New Cork, 1962.

Introducción A finales del siglo XIX y comienzos del XX, un grupo de matemáticos, encabezados por Peano, Hilbert, Koch y Sierpinski, entre otros, formularon una nueva familia de curvas con inquietantes propiedades matemáticas que escapaban a todo intento de clasificación hasta el momento. Al contrario que la geometría utilizada entonces (basada en rectángulos, círculos, triángulos, elipses, etc.), esta nueva geometría describe sinuosas curvas, espirales y filamentos que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se pierden en el infinito. En 1977, con la ayuda de una computadora, el científico franco-polaco Benoit Mandelbrot pudo obtener la primera imagen de esta nueva geometría, que posteriormente él llamaría Geometría Fractal. En 1980, la publicación de su libro “La Geometría Fractal de la Naturaleza” popularizó la geometría fractal y originó el surgimiento de imágenes. De hecho podemos entender la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en contraste con la geometría euclídea, que representa objetos creados por el hombre. El término fractal, como ya se mencionó, fue acuñado en 1.977 por Benoit Mandelbrot (Pan de almendra en alemán) para designar ciertas realidades matemáticas con propiedades contrarias a la intuición y antagónicas a las de las variedades regulares estudiadas por la Geometría Diferencial. No existe una definición rigurosa que delimite con precisión matemática si un determinado conjunto es o no un fractal. No obstante, la mayoría de los autores coinciden en considerar que un fractal es el producto final que se origina a través de la iteración de un proceso geométrico. Éste suele ser de naturaleza muy simple y origina en las sucesivas iteraciones conjuntos de determinada dimensión, fija a lo largo del proceso que se modifica al convertir la iteración en infinita. Fractal es un objeto geométrico de estructura irregular aparentemente caótica. Mandelbrot observó que estos objetos estaban presentes en muchos procesos y formas de la naturaleza: Procesos de separación de fronteras de dos medios Procesos de ramificación Procesos de formación de porosidad

Etimología de la palabra fractal

El matemático francés BENOIT MANDELBROT bautizó la palabra fractal derivándola del adjetivo latín fractus. El correspondiente verbo latino, fractus, significa romper, crear fragmentos irregulares.

Breve reseña histórica Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1.890 por el francés HENRI PONCARÉ. Sus ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, hacia 1.918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedó congelado en los años 20. El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Doctor Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la GEOMETRÍA FRACTAL. En honor a él, uno de los conjuntos que él investigó fue nombrado en su nombre. En el siguiente cuadro vemos brevemente un poco de historia fractal.

Definió, por primera vez, una curva continua no diferenciable. K. Weierstrass (1815-1897) Estableció una sucesión de segmentos conocida como "curva de Cantor". G. Cantor (1845-1918) Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos. A. Lyapunov (1857-1918) Diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano. G. Peano (1858-1932) Su aporte más famoso se lo conoce como "Copo de nieve".

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N. Koch (1815-1897) Su "triángulo" es, probablemente, el fractal más conocido. W. Sierpinski (1882-1969) Estudió por primera vez la iteración de funciones racionales. G. Julia (1893-1978) Un gran impulsor de la matemática fractal, ayudado por los ordenadores. B. Mandelbrot (1924- ) Matemático y biólogo danés. Creador de los "Sistemas L". A. Lindenmayer (1925 - 1989) Matemático americano. Creador del método "Sistema de Funciones Iteradas" (IFS). Actualmente trabaja en el departamento de matemáticas de la Universidad de Melbourne. Michael M. Barnsley

Geometría fractal y diferencial La Geometría Diferencial estudia las formas geométricas llamadas variedades diferenciales. Estas variedades tienen la característica de que ”miradas en pequeño” son lisas, por ejemplo, una curva diferenciable, localmente se comporta como una recta. La expresión “miradas en pequeño” se determina por la precisión de los instrumentos de medida y por el interés del observador. La Geometría Diferencial estudia las variedades de una forma local, por lo que se pierde la visión global del conjunto.

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La Geometría Fractal busca una regularidad en la relación de un objeto y sus partes a diferentes escalas, es decir, estudia aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala. Dicho de otra forma, la Geometría Fractal aborda el estudio de formas geométricas no diferenciables o “quebradas” a cualquier escala que se miran. Riemann había demostrado que la geometría es una creación mental y arbitraria, lo que había puesto en jaque a la geometría euclideana. Con el aporte de Mandelbrot, podemos contabilizar distintos tipos de geometría según los objetos y el espacio a analizar.    

Geometría euclideana: trata objetos, descriptos por fórmulas Geometría esférica: donde dos líneas paralelas terminan cortándose. Geometría hiperbólica: donde dos líneas paralelas cada vez se separan más. Geometría fractal: trata objetos generados con algoritmos iterativos.

Fractales Lineales Los fractales regulares son figuras geométricas autosimilares frente a cambios de escala. Esto significa que, si analizan estas estructuras a distintas escalas, se encontrarán siempre los mismos elementos. Para generar este tipo de fractales: se parte de una estructura o figura inicial, denominada iniciador. Luego, se obtiene un conjunto de subestructuras mediante la aplicación de distintas reducciones, rotaciones, traslaciones o cualquier transformación similar sobre la estructura inicial determinada de acuerdo al fractal que se quiera obtener. Si a la estructura obtenida se le vuelve a aplicar las mismas reglas en forma iterativa, se comenzará a observar la estructura a la que se debe llegar (estructura límite o fractal) que es el resultado de aplicar infinitas veces estas iteraciones. Se denominan fractales autosimilares a aquellos en los que si uno observa una parte del mismo, no importa cuán pequeña ésta sea, se verá luego de ser ampliada debidamente, la figura inicial. De esta manera, una estructura de aspecto tan complejo puede describirse mediante una transformación de tan sólo 24 números. En el siguiente ejemplo puede observarse la generación del triángulo de Serpinsky:

Triángulo de Serpinsky

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El concepto de fractal regular se puede generalizar a "entidades" autosimilares. Existen ecuaciones, algoritmos, funciones, etc. con comportamientos autosimilares. Las irregularidades peculiares de muchos fenómenos se mantienen frente a cambios de escala. Así las irregularidades pueden ser regulares, es decir, puede haber orden dentro del caos. Podemos pensar en los fractales como una curva en perpetuo crecimiento; hoy en día se pueden generar ante nuestros ojos gracias a las computadoras. El copo de Nieve de Koch o Isla Tríada de Koch se forma a partir de un triángulo equilátero al cual se dividen sus lados en tres partes iguales, de forma tal que en los tercios medios se coloca otro triángulo semejante al primero. Esta iteración, en un alto grado de complejidad, se asemejará a una circunferencia, ya que los triángulos se irán colocando infinitamente. Esto pone de manifiesto una característica que tienen los fractales de que el área es finita y el perímetro infinito.

Curva de Koch

Triángulo de Sierpinski El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos. Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros.

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El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar.

En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original. En general, podemos dividir el triángulo en 3n piezas autosimilares que aumentadas en un factor 2n nos devuelven la figura inicial. Este tipo de autosimilaridad a todas las escalas es el sello identificativo de un fractal. Esta propiedad ha sido utilizada con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal combina ambas propiedades.

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Curva de Koch El creador en 1904 de este monstruo fue Niels Fabian Helge von Koch, matemático sueco. Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4·1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·4·(4·1/9)=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch. En la operación n-ésima la curva estará formada por 3·4n trozos, de perímetro 4n /3n-1. La curva de Von Koch resulta del paso al límite de la sucesión de curvas Pn cuando n tiende a infinito. ¿Cuál es la longitud del perímetro de esta isla? Será:

Es decir, aunque la isla de Von Koch ocupa una región limitada del espacio, un área finita, su perímetro es infinito. Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Koch. Abajo mostramos la curva de Koch exterior, que parte originalmente de un hexágono, en vez de un triángulo equilátero:

Abajo vemos dos versiones más que parten de un cuadrado. Se denominan fractales de Cesaro. Observemos que la variación del ángulo se traduce en dos resultados finales bien diferentes.

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Fractales no Lineales Para los fractales lineales hay un solo lenguaje, en cambio, el número de dialectos no lineales es infinitamente grande. Entre los representantes más conocidos de esta clase encontramos los conjuntos de Julia, que son fractales resultantes de la iteración de la transformación cuadrática z²+c. Adoptan una gran variedad de formas dependiendo exclusivamente del complejo c (parámetro de control).

Conjunto de Julia

Fractales aleatorios Los fractales anteriores se denominan deterministas, ya que el azar no desempeña ningún papel en su construcción. En cambio, existe una rama de los fractales para los cuales un determinado parámetro de su construcción sigue un principio de aleatoriedad. Este tipo de fractales, lo podemos observar en la naturaleza. El brócoli es una buena manera de introducir los fractales en la naturaleza.

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Se puede hacer una copia de esta fotografía del brócoli.

Se puede observar que la imagen de la derecha es una ampliación de la parte marcada en rojo y girada en forma horizontal para hacer notar que esa parte pequeña "es similar" a la más grande. Lo mismo podemos hacer con una coliflor (tal como lo hizo una vez quien formalizó los fractales, Benoit Maldenbrot). Observemos la coliflor cortada transversalmente

De igual manera, hemos copiado la sección enmarcada en un cuadro rojo de la media coliflor, luego la hemos rotado en 90º y posteriormente ampliado y así poder darnos cuenta que una parte pequeña es similar a la coliflor entera (en rigor a la media coliflor). Lo mismo podemos hacer con un árbol seco, como a continuación se describe

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Otros ejemplos observados son por ejemplo la esponja de mar

O los islotes, como el que se presenta a continuación, que se parece a una parte de la isla de Gran Bretaña, cuyas costas sirvieron al matemático Benoit Mandelbrot para presentar sus primeros modelos de Fractales.

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Lo que ocurre en el pulmón, en realidad con los conductos del pulmón, que se van ramificando como los árboles, como la coliflor y el brócoli, también es un ejemplo de fractal

Donde como antes, "fraccionamos" una parte, y nos queda

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Dimensión fractal Si los fractales son figuras geométricas, entonces, éstas deben tener alguna dimensión. La dimensión de un fractal es un valor fraccionario, de ahí el nombre que tiene. ¿Qué son las Dimensiones? Dimensión Euclídea En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies. En la geometría Euclídea, el espacio tenía 3 dimensiones, más la dimensión 0 (cero) que corresponde al punto. Se puede definir la dimensión de un elemento de acuerdo a la cantidad de datos necesarios para conocer su ubicación en el espacio. Como para ubicar un punto en el espacio no se necesitan datos, su dimensión es 0, para ubicar un punto en una recta se necesita un solo dato (longitud), por lo tanto su dimensión es 1, para ubicar un punto dentro de un área se necesitan dos datos (largo y ancho), es decir, su dimensión es dos, y para encontrar un punto ubicado en un volumen se necesitan 3 datos (largo, ancho, profundidad), entonces decimos que tiene 3 dimensiones. Las coordenadas para estas dimensiones son x, y, z. En resumen, podría decirse que las dimensiones definen hacia donde puede moverse un elemento en el espacio (izquierda-derecha, arriba-abajo, atrás-adelante). Sin embargo, muchos objetos pueden tener diferentes dimensiones locales, por ejemplo un triángulo al cual en uno de los vértices se le extiende una línea recta: ¿Qué dimensión tiene? Un punto ubicado en la recta, tendría dimensión 1, otro ubicado en algún lugar del triángulo tendría dimensión 2. Entonces ¿Qué dimensión nos serviría para ubicar un punto en cualquier lugar de la figura? Dimensión Topológica La Dimensión Topológica define las pautas para encontrar la dimensión global de un espacio, partiendo de sus distintos valores locales. Para encontrarla basta con buscar el elemento de menor dimensión que pueda separar una parte del espacio del resto y a la dimensión de este elemento sumarle 1. Ejemplo: -Una línea se puede separar por un punto (0 + 1 = 1) -El área de un cuadrado se puede separar por un segmento (1 + 1 = 2) -El volumen de un cubo se puede separar a través de un área (2 + 1 = 3) Y para que esta condición siempre se cumpla, al vacío se le asigna la dimensión –1. Y así, un punto, que no se puede separar de forma alguna tendría dimensión 0 (-1 + 1 = 0)

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Dimensión de Hausdorff-Besicovitch (o Dimensión de autosemejanza)

Los fractales y ciertas otras figuras geométricas, como los atractores, que tienen un comportamiento de sistemas dinámicos caóticos, no existían dentro de las dimensiones Euclídeas, pues tienen Dimensiones Fraccionarias, que fueron descubrimiento del matemático alemán Félix Hausdorff en el año 1919, y que más adelante completó Besicovitch. (Esta última es la que se llama a veces "Dimensión Fractal") En la geometría fractal el concepto clásico de dimensión se hace insuficiente para describir en forma precisa sus estructuras. En topología, todos los cuerpos, incluyendo a los llamados "cuerpos euclídeos" (rectas, segmentos, etc.) poseen una dimensión topológica igual que su dimensión de Hausdorff-Busicovich. En cambio, un cuerpo, fractal es aquel que tiene dimensión topológica menor que su dimensión de Hausdorff. Para ubicarnos mejor, definamos los distintos tipos de dimensión: a)

Dimensión euclídea (d): Representa el concepto tradicional que poseemos de dimensión, la cual sólo puede abarcar números enteros. La dimensión representa el número mínimo de parámetros que permiten determinar los puntos del espacio.

b)

Dimensión topológica (Dtop): Es la del elemento euclídeo con el cual se forma la estructura. Por ejemplo, la dimensión topológica de un conjunto de puntos desconectados es cero, la de una curva es uno, y la de una superficie es dos.

c)

Dimensión fractal (Df): En la geometría clásica una molécula lineal se toma como unidimensional, es decir, una cadena de segmentos localmente lineales. Análogamente, a la superficie de un sólido se le asigna la dimensión dos dado que localmente se la puede representar por sectores planos. Estas descripciones geométricas de sistemas desordenados como el de una cadena o el de una superficie pueden considerarse perturbaciones de sistemas ordenados ideales. Los modelos, para estudiar propiedades físico-químicas, basados en sistemas ideales ordenados con pequeñas desviaciones no pueden considerarse válidos cuando el grado de desorden es grande. El concepto de dimensión fractal está relacionado con los espacios topológicos métricos, con la dimensión de recubrimiento, de empaquetamiento, de homotecia y con las nociones de autosimilitud y autoafinidad, etc. El concepto de fractal se emplea en sistemas altamente desordenados. Un sistema débilmente desordenado es aquél en que el desorden desaparece cuando 13

al sistema se lo considera con escalas cada vez menores (modelos continuos) o cada vez mayores (modelos reticulares). En un sistema altamente desordenado, el desorden persiste tanto a escalas pequeñas como grandes. Éste es el punto central de la geometría fractal, la repetición del desorden en todas las escalas. Por ejemplo, si se desea medir la longitud de una curva irregular se encuentra que dicha longitud depende drásticamente de la longitud mínima de la regla empleada. A menor longitud de la regla, mayor será la longitud medida dado que se podrán medir pequeños detalles de la curva. Consideraciones análogas se pueden aplicar para medir el área de una superficie irregular empleando como unidad un pequeño disco plano. Para testear el sistema de una forma independiente, ya sea una curva o una superficie, se debe dividir el espacio que la contiene en celdas (cajas de lado ε ) y contar cuántas de ellas intersecan a la curva o a la superficie. A partir de ese número N ( ε ), se puede estimar Longitud de la curva = N ( ε ). ε Área de la superficie = N ( ε ). ε 2 Para una línea recta se tiene N( ε ) ∝ ε −1 y el exponente -1 señala que el sistema medido tiene dimensión uno. Para un cuadrado resulta N( ε ) ∝ ε −2 y el exponente -2 señala que el sistema tiene dimensión dos. En general, cuando ε tiende a cero, N( ε ) puede comportarse como N( ε ) ∝ ε − D donde D puede ser entero o no. Al exponente D se lo denomina dimensión fractal del sistema. Cuando D coincide con la Dimensión topológica el sistema se llama euclídeo. Si se tiene un objeto de tamaño L, entonces

D = lim

ε →0 L

ln N (ε ) ln( L / ε )

Para todo sistema se cumple que la Dtop ≤ D ≤ d donde d es la dimensión del espacio que contiene la figura (dimensión euclídea). Si D= Dtop el sistema es ordenado o débilmente desordenado. Si D> Dtop entonces es fuertemente desordenado. Si se piensa al sistema como un retículo y se emplean los sitios de dicho retículo para medir las distancias a los sitios vecinos, se obtienen relaciones análogas. La cantidad de interés en este caso es el número de sitios M(R) a una distancia R de un sitio dado. Al número M(R) se lo llama masa de una esfera de radio R y resulta M(R) ∝ RD a medida que R crece, la ecuación se llama ecuación de radio-masa. A D mayores, mayor capacidad para llenar el espacio. d)

Dimensión espectral (Ds): Si se deja que una partícula realice una caminata aleatoria sobre un sistema, se tendrá una visión microscópica del proceso de difusión sobre el mismo. Si la probabilidad P(t) de que la partícula regrese al punto de origen luego de un tiempo t decrece como P(t ) ∝ t

−

Ds 2

Para tiempos altos, entonces Ds es la dimensión espectral (o fracton). Para apreciar a Ds como una dimensión, apelaremos a la solución fundamental c(x,t) de la ecuación de difusión en un espacio euclídeo d-dimensional,

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∂ c ( x, t ) = k∇2 c ( x, t ) ∂t c ( x, t ) =δ( x − x 0 )

donde k es el coeficiente de difusión y ∇2 es el Laplaciano. Su solución es la distribución gaussiana d 2

− ( x − x0 ) 2 4 kt

c( x, t ) = (4πkt ) e Esta da la probabilidad de que una partícula se encuentre en x al tiempo t. De este modo, la probabilidad de que vuelva al punto de origen x0 es c ( x, t ) = ( 4πkt )

d 2

, la cual depende de la dimensión del espacio de difusión como

se estableció en un comienzo. Por ejemplo, cualquier tipo de curva que no posea ramificaciones puede ser convertida mediante deformación en una línea recta. De esta manera, a medida que aumenta la ramificación del sistema, la probabilidad de que la partícula regrese al origen disminuirá, creciendo por lo tanto la dimensión espectral. e)

Dimensión de difusión (Dw): Se define a Dw como el exponente del cuadrado de la distancia recorrida por la caminata aleatoria en un sistema fractal cuando en el mismo se cumple R 2 (t ) ∝ t Dw

Por lo expuesto anteriormente, su valor está dado por Dw = Ds / D f)

Dimensión de procesos de tiempo fractal (Dt): En un proceso de tiempo fractal, los eventos con que se compone el proceso se encuentran distribuidos en forma autosimilar. Esto significa que los eventos ocurren en ráfagas separadas por intervalos de tiempo. Se define a un proceso de tiempo fractal como de dimensión Dt cuando el número medio de eventos en función del tiempo está determinado por la expresión N (t ) ∝ t Dt

ya sea éste determinístico o estocástico, Dt adquiere valores entre cero y uno. Por ejemplo, en el conjunto de Cantor (bien conocido para los matemáticos) se tiene Dt = ln2/ln3

Fractales y Caos A modo de resumir y ubicar lo anteriormente desarrollado es necesario señalar, que si bien el caos y los fractales tienen mucho en común, no son sinónimos ya que poseen diferencias características. Se denomina caos al comportamiento impredecible de un sistema determinista, debido a la gran sensibilidad respecto a las condiciones 15

iniciales (C.I.). Esto provoca que dos puntos arbitrariamente juntos diverjan exponencialmente, de modo que su evolución futura no es predecible. El ejemplo muy conocido y que lo ilustra muy bien es que el batir de alas de una mariposa puede afectar de tal forma a la evolución meteorológica que puede determinar la diferencia entre la calma y el huracán un tiempo después. Caótico no es sinónimo de Fractal. Se confunden a veces porque se tratan conjuntamente en publicaciones especializadas y porque ambos se utilizan como modelos matemáticos de fenómenos y objetos naturales complejos. Las claves del caos son la sensibilidad a las condiciones iniciales y la impredictibilidad, a pesar de que el proceso tenga un conjunto de ecuaciones deterministas. En cambio un fractal se caracteriza por la autosimilitud y la invarianza a escala. Muchos fractales no son en absoluto caóticos. El punto en común es que, bastantes fenómenos caóticos tienen una estructura fractal subyacente (por ejemplo sus atractores). Y pese a su aparente complejidad ambos suelen tener una formulación sencilla. La autosemejanza de los fractales se debe a una aplicación continua que pliega una y otra vez sobre sí mismo el espacio de fases, dando lugar a una estructura en capas, y expresa la continuidad de las fuerzas que producen la dinámica. Veamos la diferencia:

CAOS

FRACTALES

Las claves del caos son la sensibilidad a las C.I. y la impredictibilidad, a pesar de que el proceso tenga un conjunto de ecuaciones deterministas.

En cambio un fractal se caracteriza por la autosimilitud y la invarianza a escala. Muchos fractales no son en absoluto caóticos.

La extrañeza de un atractor hace referencia a su característica geométrica y al hecho que la misma sea la de un conjunto "fractal", mientras que el término caótico hace referencia a una característica dinámica, conocida como una "sensible dependencia a las condiciones iniciales", o en forma equivalente, "divergencia de órbitas cercanas"; es decir son dos propiedades independientes. En la actualidad hay muchos indicios de que el ritmo cardíaco es un ejemplo de caos determinista debido a la existencia de un atractor extraño, mientras que una periodicidad regular suele preceder a un paro cardíaco. Pero también hay regímenes caóticos que son fatales como los que acontecen en el fenómeno de la fibrilación ventricular en el que, aunque las partes del corazón funcionan correctamente el músculo se retuerce descoordinado e incapaz de bombear sangre.

APLICACIONES Uno de los usos más populares es en las artes. Utilizando una programación especial en la computadora se pueden crear increíbles obras de arte. También está muy de moda la música fractal. Hay muchos lugares en Internet con muestras de imágenes fractales y de piezas musicales. Ciertas músicas, incluyendo las de Bach y las de Mozart, pueden ser reducidas y todavía retener la esencia del compositor. Están siendo 16

desarrolladas muchas nuevas aplicaciones software para el desarrollo de música fractal Pero su uso no se limita a las artes. Tanto en la geología, como en la Biología y la Ingeniería, se están empleando debido a que pueden describir patrones naturales complejos. Los fractales dan un marco teórico en el desarrollo de simulaciones de fenómenos naturales. Aunque la geometría fractal aún no se haya entendido completamente, posee aplicaciones realmente útiles en distintos campos. A continuación las más frecuentes: Comunicaciones

Modelado del tráfico en redes

Informática

Técnicas de compresión (audio y vídeo)

Robótica

Robots fractales

Infografía

Paisajes fractales y otros objetos

Biología

Crecimiento tejidos, organización celular Evolución de poblaciones Depredador-presa

Matemáticas

Convergencia de métodos numéricos

Música

Composición musical

Física

Transiciones de fase en magnetismo

Química

Agregación por difusión limitada (DLA)

Geología

Análisis de patrones sísmicos. Fenómenos de erosión Modelos de formaciones geológicas

Economía

Análisis bursátil y de mercado

Una de las aplicaciones más útiles de los fractales y de la geometría fractal está en la compresión de imágenes. Es también una de las ideas más controversiales. El concepto básico detrás de la compresión fractal de imágenes es tomar una imagen y expresarla como un Sistema de Funciones Iteradas (SFI). Un SFI es el conjunto de funciones que describen partes de un fractal que, una vez juntas, recrean dicho fractal en su totalidad. Si un fractal puede ser descrito por un número pequeño de funciones, el SFI es una descripción bastante compacta del fractal. La imagen puede ser rápidamente desplegada y a cualquier grado de magnificación con infinitos niveles de detalle fractal. El mayor problema detrás de esta idea es encontrar el SFI que describa la imagen. En la página www.epsilones.com se podrán observar imágenes fractales y se podrán crear propias imágenes fractales, como por ejemplo

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BIBLIOGRAFÍA • • •

Tesis “Aplicaciones de la Geometría Fractal. Análisis no-lineal de la variabilidad del ritmo cardíaco” Autor: Verónica Pastor. UNLP, Facultad. de Ciencias. Exactas, Departamento de Matemática. www.epsilones.com Fractales en la naturaleza. Autor: Eliseo Martínez. 18