Fracciones+algebraicas
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FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. Comprueba en cada caso si las fracciones dadas son equivalentes: 2 x+2 1 x + x x +1 a) y b) y 2 3x + 6 3 x x 3x 3 3x - 3 1 c) 2 y d) y 2 9 x - 9 3x - 3 x - x x-2 Sol: a) Sí; b) Sí; c) No; d) No 2. Calcula: 1 3 1 2 1 3 3 x + b) a) - 2 + c) 2 3x 2x x x x -1 3x x 2x 2 4x + 3 5 2 - x + 3x - 3 Sol: a) ; b) ; c) ; d) 2 6x 6 x2 x (x - 1) x -1 3. Saca factor común y luego simplifica: 2 5x + 5 - 3x a) b) x 3x + 3 2x - 6 x 6 Sol: a) 5/3; b) x/2; c) ; d) x -1 2x + 1
2 +x c) x 2 x -1
d)
1 1 x - 1 x+1
d)
12x 4 x 2 + 2x
4. Recuerda los productos notables, descompón en factores y simplifica: 2 2 2 2 -1 x -1 x + 4x + 4 x -4 a) x b) c) d) 2 x+1 2x - 4 (x - 1 )2 x -4 2 2 2 x (x + 2) x - 16 x - 6x + 8 x -9 f) 2 g) h) e) 2 2 4 x + 4x + 4 x + 8x + 16 x -9 x - 81 1 x +1 x+2 x+2 x-4 x x-3 Sol: a) x-1; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 1; g) ; h) 2 x -1 2 x-2 x+4 x+2 x+3 x +9 5. Descompón en factores el dividendo y el divisor y después simplifica: 2 2 3 2 + 3x + 2x - 3 + 4 2 + 3x + 2x - 3 a) x2 b) x 3 2 c) x 2 x d) x 2 x + x -6 x -x x + x -6 x + 4x - 5 2 x x+3 +x x+3 Sol: a) ; b) 2 ; c) x ; d) ; x-2 x-2 x+5 x 6. Opera y simplifica: 2 x+ 2 1 4 1 x -4 a) b) . - x : + x 2 (x + 2 )2 x x 2 1 1 c) + . x : x x +1 x + 1 x 2 x + 2 x+1 1 3 2 d) x . e) 2 + : . 2 x2 x x-2 2 x x+2 x
Sol: a) 4-2x; b)
2 x-2 x + x+2 ; c) 3x+2; d) x2+2x; e) - 2 x x (x - 2)
7. Reduce a una sola fracción y resuelve: 2 x+3 2 2 2 2 a) - x + b) 2 = 0 - 2 = 0 x+1 x -1 x -1 x - 2x + 1 x - 1 x + 1 x+2 x+1 x + 5 c) =0 + x+1 x+2 x+ 2 Sol: a) x=2, x=0; b) x=3, x=-1/3; c) x=0 8. Haz las operaciones indicadas y simplifica: x+ y 1 1 x- y x y x+ y . a) b) + x+ y y x xy x- y x y
2xy . x+ y
x 1 x +1 c) . x x x - 1 x+1 4y 3x + 1 Sol: a) 4; b) ; c) x+ y x 9. Resuelve las siguientes ecuaciones: x 3 x +1 1+ x x 3x + 5 x2 b) + = 2 a) = 2 x -1 x +1 x-3 x+2 x - x -6 x -1 2 x +1 x 7x + 2 x+2 c) 2 x d) + = 2 = - 2 x-2 x+2 x+1 x + 2x + 1 x -4 Sol: a) x=1, x=-2/5; b) x=0, x=-1/2; c) x=-4; d) x=3, x=0 10. Opera: 1 1 x -1 1 3 x +1 a) + - 2 b) + - 2 x -1 x - 3 x - 4x + 3 x+2 x -1 x + x - 2 x 3 x -1 x 3 x+2 c) 2 - 2 d) 2 - 2 x - x - 2 x + 1 x - 3x + 2 x - 1 x +1 x + x - 2 1 3x + 4 - 3x + 5 2 - 3x Sol: a) ; b) 2 ; c) 2 ; d) 2 x -1 x +x-2 x - x-2 x -1 11. Simplifica: 9 + 6x + x2 3 x2 - x3 · 9 - x2 3 x 2 + x3 a) 2x - 4 2 2 - 8x + 8 : x 3/4 + 2/8 x-2 2 2 x + 2x + 1 4 x - 4x · 2 x +1 x −1 c) 2 2x + 14 x + 20 x −5 : 2 3 2 3 x − 50 + 2 x - 25 x 2 x - 20 x + 50x
2 3 + 6x + 5 x - 2 x - 2x b) x 2 · 2 + 2 x - 5x + 4 x - 4 x - 4x
2 2 x - 1 · 2 x - 8x - 10 2 + 2x + 1 x -1 d) x 2x + 2 x+1 : 3 2 2 x + x - 2 x - 4 x - 7x + 10
2 x3 - 6 x 2 + 11x - 6 x 2 + 2x - 3 x +x-2 . : 2 2 2 x -9 x - 3x + 2 x + 4x + 4 e) 2 x2 - 2x 3 x 2 + 12x + 12 _ 3 x2 + 3x - 6 2x
x-3 x+3 x+3 x+3 _ x 3 f) 3- x x+3 - 1 3x x-3 x 1+ y h) 2 2 x -y xy - y 2 1+
2 3 + 2 - 6x - 9 x2 - 5x + 6 g) x 2x _ 3 x 2 : 2 x +x x + 6 x + 9x x +x
2 2 a - 1 - a +1 a+b 1 + 2 2 2 2 + 1 a - 1 a + 1 a - 2a + 1 a-b i) a : _ j) 2 a - 1 a +1 a a +b (a 1 ) 1a +1 a - 1 a -b 4 3 2 x (x - 3) x + 2 x + 5 x + 10x + 18 ; c) 1; d) 1; e) 1; f) ; g) 1; Sol: a) 1; b) 3 (x - 1) (x - 4) (x + 2) 2 a a h) 1; i) 2 ; j) 2 b ( a +1 )
12. Simplifica: 2 2 a + 6a + 9 a + 9 a) : 2 4 a -9 a - 81 16 - x4 c) : (32 - 8 x2 ) = 4x + 8 36 3x x+ y x+ y e) : = 6 1 x− y x2 − y2 2y y -1 3- y g) = y -1 3y y
a-b 2 a 2 - 4ab + 2 b2 : 3x - 6 4x - 8 4 16 - x d) : (32 + 8 x 2 ) = 4x + 8
b)
f)
2 x-2 x -4 : = 2 2 a+b a -b
y y y - 2 = y - 2 y - 3y + 2 y - 1 2- x 2 4 + x2 Sol: a) (a+3)2; b) 8(a-b)/3; c) ; d) ; e) ; 32 x (x + y) 32 (x + 2)
h)
2
f)
x+2 2 (4 y - 5y + 4) ; g) ; h) 0 a-b 3y (y - 1)
13. Opera y simplifica cuando sea posible: 2 3+ x 1 x a) = 3- x - x - 3 9 - x2 x 2 − 3 x − 10 x2 − 4 · 3 2 c) x − 2 x − 4 x + 8 2x − 5 = x + 2 6x − 2x · 3 − x 2x 2 − 4x 2 x2 + 5x + 2 e) 3 2 = 2 x + x - 8x - 4
b)
1 2y + 1 y + 2 + = y +1 y -y y -1
d)
x -3x = 4 3 2 x -6 x +9 x
f)
2x + 6 x+5 x -1 - 2 + = 2 2x - 6 x - 3x x - 4x + 3
2
4
3
3
2
3 5x + 12 x 1 y + y + 2y + 1 x - x - 12 Sol: a) ; b) ; c) 1; d) ; e) ; f) (x + 3) (3 - x) y(y - 1)(y + 1) x-3 x-2 2x(x - 3)(x - 1)
14. Divide y comprueba: a) z5-2z4-3z3+6z2+2z-4:z2-2 b) x5-3x2-1:x2-1 c) y6-3y4+3y3+2:y3-y+1 Sol: a) z3-2z2-z+2; b) C:x3+x-3, R:x-4; c) C:y3-2y+2, R:-2y2+2y 15. Halla a para que x3-ax+125 sea divisible entre x+5. Sol: a=0 16. Hallar el valor que toma el polinomio p(x) = x2-6x+1 para x=2-%. Sol: 2%-5 17. Opera y simplifica: x -1 x 1 x 1 x -1 a) 2 = b) 2 + + 2 = x -1 x + 2x + 1 x + 1 x - 1 x -x x -1 2 x x x +x 1 1 c) x 2 d) 2 + = + = x+1 x - 1 x +1 x - 1 x -1 x -1 2 x -1 3(x - 1) 2x 1 1 x x +1 e) f) 2 + = - 2 + = x x +1 x +1 x - 1 x - 1 x+1 x +x x+2 2 3x g)2 h) 2 + 2 = x - x x -1 x -1 3 2 3x + 1 x - x-3 - x - 3x x +x-2 Sol: a) 2 ; b) 2 ; c) 2 ; d) - 2 ; e) 2 ; ( x + 2x + 1) (x - 1) x -1 x -1 x -1 x -1 2 2 - + x+2 2 + x+2 f) x 2 ; g) 1; h) x 2 x ( x - 1) x +x 18. Opera y simplifica si es posible: x x + x +1 = a) x - 1 x x x +1 x - 1 x2 + 3x + 2 x 2 - x + 1 2x - 2 x 2 _ 2 x 1 (x + 1 )2 (x 1 ) = c) 2 2 + 2x + 1 2x + 1 x + x 2 1 (x + 1 )2 x e) x
g)
2
+ 2x - 3 3x + 1 x 2 - 2x + 1 + = x -1 2x 3x
x -1 x -1 x-3 + = x -1 x + 3 x+1
2 2 x - 2x + 1 - x - 1 x +1 = b) x - 1 x 1 + 2 x -1 x -1 2 2 x - 1 + x + 2x + 1 x+1 d) x + 1 = 1 1 - 2 2 x - 3x + 2 x + x - 6 2 2 x + 2x + 1 x - x +1 − x−1 ( x - 1) 2 f) = 2 x +1 x + 2x + 1 + 2 x+1 x -1 3 x-2 2x h) 2 + = x + 1 (x - 1 )2 x -1
3 2 x (x + 3) ( x2 - 3x + 2) 4 x 2 + 31x + 1 x -3x - x-3 ; d) ; e) ; 2 2 2 x +3 x +3 2 - 2 + 2x - 2 + 4x + 11 2 3 - 3 2 - 4x - 1 f) x 2 ; g) x ; h) x 2 x (x + 3) (x + 1) ( x - 1) (x - 1) x
Sol: a) -x; b) 0; c)
19. Opera y simplifica: 2 x + 3x + 2 2 -1 3x - 3 x-3 x+ 2 = b) x a) + - 2 = (x + 2)(x + 1) x+2 x+3 x + 5x + 6 x -1 x-3 x-3 x - 1 3x - 3 2x - 2 c) + - 2 = d) = + x+2 x + 3 x + 5x + 6 x+2 x+3 x+ 2 3 2 2x x-2 x -1 x+ 2 e) = f) - 2 + = + x +1 x - 1 x -1 x +1 x+ 3 x +1 3 2 1 3 (x - 1) +6 2 + x - 6 2 2 -6 + 6x + 1 Sol: a) ; b) x 2 x ; c) 2 x ; d) ; e) x ; x+2 (x + 3) (x + 2) (x + 3) (x + 1) x + 5x + 6 x + 5x + 6 2 2 + 5x - 5 f) x 2 x -1 20. Opera y simplifica: 3 2 x 3x x + 2 3x - 1 a) - 2 + = b) = x +1 x - 1 x -1 x - 1 x + 1 x2 - 1 3 2 x 3 2 x - 2 + - 2 + x+1 x - 1 x-1 x+1 x - 1 x -1 c) = d) = 2 x+5 x − 25 x-5 x 2 − 4x - 5 3 2 x - 2 + 1 1 x x+1 x - 1 x -1 e) = f) + + 2 = 2 2 x -1 (x - 1 ) x - 6x + 5 x -1 2 x -1 x+5 x-5 x+5 2 x2 2 x2 - x + 3 Sol: a) ; b) ; d) 1; e) ; f) ; c) 2 x+1 x +1 x-5 (x - 1 )2 (x + 1) x -1
2 +x c) x 2 x -1
d)
1 1 x - 1 x+1
d)
12x 4 x 2 + 2x
4. Recuerda los productos notables, descompón en factores y simplifica: 2 2 2 2 -1 x -1 x + 4x + 4 x -4 a) x b) c) d) 2 x+1 2x - 4 (x - 1 )2 x -4 2 2 2 x (x + 2) x - 16 x - 6x + 8 x -9 f) 2 g) h) e) 2 2 4 x + 4x + 4 x + 8x + 16 x -9 x - 81 1 x +1 x+2 x+2 x-4 x x-3 Sol: a) x-1; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 1; g) ; h) 2 x -1 2 x-2 x+4 x+2 x+3 x +9 5. Descompón en factores el dividendo y el divisor y después simplifica: 2 2 3 2 + 3x + 2x - 3 + 4 2 + 3x + 2x - 3 a) x2 b) x 3 2 c) x 2 x d) x 2 x + x -6 x -x x + x -6 x + 4x - 5 2 x x+3 +x x+3 Sol: a) ; b) 2 ; c) x ; d) ; x-2 x-2 x+5 x 6. Opera y simplifica: 2 x+ 2 1 4 1 x -4 a) b) . - x : + x 2 (x + 2 )2 x x 2 1 1 c) + . x : x x +1 x + 1 x 2 x + 2 x+1 1 3 2 d) x . e) 2 + : . 2 x2 x x-2 2 x x+2 x
Sol: a) 4-2x; b)
2 x-2 x + x+2 ; c) 3x+2; d) x2+2x; e) - 2 x x (x - 2)
7. Reduce a una sola fracción y resuelve: 2 x+3 2 2 2 2 a) - x + b) 2 = 0 - 2 = 0 x+1 x -1 x -1 x - 2x + 1 x - 1 x + 1 x+2 x+1 x + 5 c) =0 + x+1 x+2 x+ 2 Sol: a) x=2, x=0; b) x=3, x=-1/3; c) x=0 8. Haz las operaciones indicadas y simplifica: x+ y 1 1 x- y x y x+ y . a) b) + x+ y y x xy x- y x y
2xy . x+ y
x 1 x +1 c) . x x x - 1 x+1 4y 3x + 1 Sol: a) 4; b) ; c) x+ y x 9. Resuelve las siguientes ecuaciones: x 3 x +1 1+ x x 3x + 5 x2 b) + = 2 a) = 2 x -1 x +1 x-3 x+2 x - x -6 x -1 2 x +1 x 7x + 2 x+2 c) 2 x d) + = 2 = - 2 x-2 x+2 x+1 x + 2x + 1 x -4 Sol: a) x=1, x=-2/5; b) x=0, x=-1/2; c) x=-4; d) x=3, x=0 10. Opera: 1 1 x -1 1 3 x +1 a) + - 2 b) + - 2 x -1 x - 3 x - 4x + 3 x+2 x -1 x + x - 2 x 3 x -1 x 3 x+2 c) 2 - 2 d) 2 - 2 x - x - 2 x + 1 x - 3x + 2 x - 1 x +1 x + x - 2 1 3x + 4 - 3x + 5 2 - 3x Sol: a) ; b) 2 ; c) 2 ; d) 2 x -1 x +x-2 x - x-2 x -1 11. Simplifica: 9 + 6x + x2 3 x2 - x3 · 9 - x2 3 x 2 + x3 a) 2x - 4 2 2 - 8x + 8 : x 3/4 + 2/8 x-2 2 2 x + 2x + 1 4 x - 4x · 2 x +1 x −1 c) 2 2x + 14 x + 20 x −5 : 2 3 2 3 x − 50 + 2 x - 25 x 2 x - 20 x + 50x
2 3 + 6x + 5 x - 2 x - 2x b) x 2 · 2 + 2 x - 5x + 4 x - 4 x - 4x
2 2 x - 1 · 2 x - 8x - 10 2 + 2x + 1 x -1 d) x 2x + 2 x+1 : 3 2 2 x + x - 2 x - 4 x - 7x + 10
2 x3 - 6 x 2 + 11x - 6 x 2 + 2x - 3 x +x-2 . : 2 2 2 x -9 x - 3x + 2 x + 4x + 4 e) 2 x2 - 2x 3 x 2 + 12x + 12 _ 3 x2 + 3x - 6 2x
x-3 x+3 x+3 x+3 _ x 3 f) 3- x x+3 - 1 3x x-3 x 1+ y h) 2 2 x -y xy - y 2 1+
2 3 + 2 - 6x - 9 x2 - 5x + 6 g) x 2x _ 3 x 2 : 2 x +x x + 6 x + 9x x +x
2 2 a - 1 - a +1 a+b 1 + 2 2 2 2 + 1 a - 1 a + 1 a - 2a + 1 a-b i) a : _ j) 2 a - 1 a +1 a a +b (a 1 ) 1a +1 a - 1 a -b 4 3 2 x (x - 3) x + 2 x + 5 x + 10x + 18 ; c) 1; d) 1; e) 1; f) ; g) 1; Sol: a) 1; b) 3 (x - 1) (x - 4) (x + 2) 2 a a h) 1; i) 2 ; j) 2 b ( a +1 )
12. Simplifica: 2 2 a + 6a + 9 a + 9 a) : 2 4 a -9 a - 81 16 - x4 c) : (32 - 8 x2 ) = 4x + 8 36 3x x+ y x+ y e) : = 6 1 x− y x2 − y2 2y y -1 3- y g) = y -1 3y y
a-b 2 a 2 - 4ab + 2 b2 : 3x - 6 4x - 8 4 16 - x d) : (32 + 8 x 2 ) = 4x + 8
b)
f)
2 x-2 x -4 : = 2 2 a+b a -b
y y y - 2 = y - 2 y - 3y + 2 y - 1 2- x 2 4 + x2 Sol: a) (a+3)2; b) 8(a-b)/3; c) ; d) ; e) ; 32 x (x + y) 32 (x + 2)
h)
2
f)
x+2 2 (4 y - 5y + 4) ; g) ; h) 0 a-b 3y (y - 1)
13. Opera y simplifica cuando sea posible: 2 3+ x 1 x a) = 3- x - x - 3 9 - x2 x 2 − 3 x − 10 x2 − 4 · 3 2 c) x − 2 x − 4 x + 8 2x − 5 = x + 2 6x − 2x · 3 − x 2x 2 − 4x 2 x2 + 5x + 2 e) 3 2 = 2 x + x - 8x - 4
b)
1 2y + 1 y + 2 + = y +1 y -y y -1
d)
x -3x = 4 3 2 x -6 x +9 x
f)
2x + 6 x+5 x -1 - 2 + = 2 2x - 6 x - 3x x - 4x + 3
2
4
3
3
2
3 5x + 12 x 1 y + y + 2y + 1 x - x - 12 Sol: a) ; b) ; c) 1; d) ; e) ; f) (x + 3) (3 - x) y(y - 1)(y + 1) x-3 x-2 2x(x - 3)(x - 1)
14. Divide y comprueba: a) z5-2z4-3z3+6z2+2z-4:z2-2 b) x5-3x2-1:x2-1 c) y6-3y4+3y3+2:y3-y+1 Sol: a) z3-2z2-z+2; b) C:x3+x-3, R:x-4; c) C:y3-2y+2, R:-2y2+2y 15. Halla a para que x3-ax+125 sea divisible entre x+5. Sol: a=0 16. Hallar el valor que toma el polinomio p(x) = x2-6x+1 para x=2-%. Sol: 2%-5 17. Opera y simplifica: x -1 x 1 x 1 x -1 a) 2 = b) 2 + + 2 = x -1 x + 2x + 1 x + 1 x - 1 x -x x -1 2 x x x +x 1 1 c) x 2 d) 2 + = + = x+1 x - 1 x +1 x - 1 x -1 x -1 2 x -1 3(x - 1) 2x 1 1 x x +1 e) f) 2 + = - 2 + = x x +1 x +1 x - 1 x - 1 x+1 x +x x+2 2 3x g)2 h) 2 + 2 = x - x x -1 x -1 3 2 3x + 1 x - x-3 - x - 3x x +x-2 Sol: a) 2 ; b) 2 ; c) 2 ; d) - 2 ; e) 2 ; ( x + 2x + 1) (x - 1) x -1 x -1 x -1 x -1 2 2 - + x+2 2 + x+2 f) x 2 ; g) 1; h) x 2 x ( x - 1) x +x 18. Opera y simplifica si es posible: x x + x +1 = a) x - 1 x x x +1 x - 1 x2 + 3x + 2 x 2 - x + 1 2x - 2 x 2 _ 2 x 1 (x + 1 )2 (x 1 ) = c) 2 2 + 2x + 1 2x + 1 x + x 2 1 (x + 1 )2 x e) x
g)
2
+ 2x - 3 3x + 1 x 2 - 2x + 1 + = x -1 2x 3x
x -1 x -1 x-3 + = x -1 x + 3 x+1
2 2 x - 2x + 1 - x - 1 x +1 = b) x - 1 x 1 + 2 x -1 x -1 2 2 x - 1 + x + 2x + 1 x+1 d) x + 1 = 1 1 - 2 2 x - 3x + 2 x + x - 6 2 2 x + 2x + 1 x - x +1 − x−1 ( x - 1) 2 f) = 2 x +1 x + 2x + 1 + 2 x+1 x -1 3 x-2 2x h) 2 + = x + 1 (x - 1 )2 x -1
3 2 x (x + 3) ( x2 - 3x + 2) 4 x 2 + 31x + 1 x -3x - x-3 ; d) ; e) ; 2 2 2 x +3 x +3 2 - 2 + 2x - 2 + 4x + 11 2 3 - 3 2 - 4x - 1 f) x 2 ; g) x ; h) x 2 x (x + 3) (x + 1) ( x - 1) (x - 1) x
Sol: a) -x; b) 0; c)
19. Opera y simplifica: 2 x + 3x + 2 2 -1 3x - 3 x-3 x+ 2 = b) x a) + - 2 = (x + 2)(x + 1) x+2 x+3 x + 5x + 6 x -1 x-3 x-3 x - 1 3x - 3 2x - 2 c) + - 2 = d) = + x+2 x + 3 x + 5x + 6 x+2 x+3 x+ 2 3 2 2x x-2 x -1 x+ 2 e) = f) - 2 + = + x +1 x - 1 x -1 x +1 x+ 3 x +1 3 2 1 3 (x - 1) +6 2 + x - 6 2 2 -6 + 6x + 1 Sol: a) ; b) x 2 x ; c) 2 x ; d) ; e) x ; x+2 (x + 3) (x + 2) (x + 3) (x + 1) x + 5x + 6 x + 5x + 6 2 2 + 5x - 5 f) x 2 x -1 20. Opera y simplifica: 3 2 x 3x x + 2 3x - 1 a) - 2 + = b) = x +1 x - 1 x -1 x - 1 x + 1 x2 - 1 3 2 x 3 2 x - 2 + - 2 + x+1 x - 1 x-1 x+1 x - 1 x -1 c) = d) = 2 x+5 x − 25 x-5 x 2 − 4x - 5 3 2 x - 2 + 1 1 x x+1 x - 1 x -1 e) = f) + + 2 = 2 2 x -1 (x - 1 ) x - 6x + 5 x -1 2 x -1 x+5 x-5 x+5 2 x2 2 x2 - x + 3 Sol: a) ; b) ; d) 1; e) ; f) ; c) 2 x+1 x +1 x-5 (x - 1 )2 (x + 1) x -1
