Fourier Dönüşümü

FOURIER SERİLERİ Fourier serileri sadece sin veya cos trigonometrik fonksiyonunu içerdiğinden, karmaşık fonksiyonların hesaplarında ve bunlarla gerçekleştirilen işlemlerde kolaylık sağlamaktadır.  2π 

Temel periyodu T0 (ω0 =  ) olan herhangi bir f = x( t ) fonksiyonu,  T0  üç farklı gösterimdeki Fourier seri açılımlarıyla ifade edilebilir. Bunlar;1 a.Fourier Serilerinin Trigonometrik Formu τ Periyodundaki bir x(t) sinyalini Fourier serileri ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. a x(t ) = 0 + a1 cos wt + a 2 cos 2wt + .... + a n cos nwt + b1 sin wt + b2 sin 2 wt + .... + bn sin nwt 2 [a.1] ao Buradaki sabit terim olmakla birlikte frekansın olduğu andaki dc 2 terimi ifade eder. 2.1 nolu denklem serilerin genel ifadesidir. Bunu normal bir sinyal şeklinde ifade edebilmemiz için an ve bn terimlerinin bulunması gereklidir. Bu terimlerin bulunmasında integral fonksiyonundan faydalanacağız. Denklemle ilgili faydalı integrallerin sonuçları aşağıda verilmiştir. τ

τ

∫ sin( nwt )dt = 0

∫ cos( nwt )dt

0

=0

0

τ

∫sin( nwt ). sin( mwt )dt =0 o

=

⇔

τ

⇔

2

τ

∫ cos( nwt ). cos( mwt )dt =0

m≠ n m=n

⇔

m≠ n

0

=

τ 2

⇔

τ

∫sin( nwt ). cos( mwt )dt =0

m=n

⇔

bütün m ve n’ler için

0

a.1 nolu denklem için ±

1

τ 2

sınırları için integral alınırsa,

İleri Programlama Uygulamaları-Dr.Fahri VATANSEVER-Seçkin Yayınları

1

τ

+

τ

+

2

∫ x(t )dt =

∫τ

τ

−

2

−

2

a0 dt 2

2

=

a 0τ 2

Olur. (Sağ taraftaki terimler üstte verilen

integral sonuçlarına göre sıfır olur.) τ

+

a 0 ’ı buradan çekersek,

a0 =

2

∫τ x(t )dt

−

olur. Burada sadece a 0 ’ ı

2

bulduk a n ve bn ’leri bulmak için ana denklemin her iki tarafını cos( nwt ) ile çarpıp integral alırsak +

τ

+

2

∫ x(t ) cos nwt = τ

−

2

τ 2

∫τ a

−

n

cos nwt .dt

Olur.

Baştaki trigonometrik formüllerin

2

integral sonuçlarına göre n ve m nin eşit olduğu cos’lu çarpım hariç diğer çarpımlar sıfır olur, buradan da denklem τ

an =

2

τ

+

2

∫τ x(t ) cos nwt .dt

−

Halini alır. n yerine sıfır koyarsak baştaki a 0

2

formülü elde edilir. Aynı şekilde ana denklemin her iki tarafı sin( nwt ) ile çarparsak bn bulunur.

bn =

2

τ

τ

+

2

∫τ x(t ) sin nwt .dt

−

Olur.

2

Denklemlerini daha güzel bir şekilde ifade edersek 3 ana denklem elde ederiz. ∗

x(t ) =

∞ ∞ a0 + ∑ a n cos nwt + ∑ bn sin nwt .dt 2 n =1 n =1

[a.2]

τ

∗

an =

2

τ

+

2

∫τ x(t ) cos nwt .dt

−

2

[a.3]

2

bn =

∗

2

τ

+

τ 2

∫τ x(t ) sin nwt .dt

−

(w =

2π

τ

)

[a.4]

2

ÖRNEK 1: Kare dalga sinyali için Fourier katsayılarını bulup açılımını yazınız.

ÇÖZÜM: Fourier katsayılarını bulabilmek için hangi aralıkta integral almamız gerektiğini belirlemeliyiz. Genellikle integral alınacak aralık küçük parçalara (aralıklara)bölünür ve her aralık için farklı bir fonksiyon kullanılır. τ Aralığı − ≤ t <0 alırsak; 2

x (t ) = −V x (t ) = +V

−

τ 2

≤ t <0

0 ≤t <

τ

2 a n Katsayısını bulmak için 2.3 nolu denklemi kullanırsak;

2

an =

τ

+

τ 2

∫τ x(t ) cos nwt .dt

−

2

τ 0

Τ

2 22 2V a n = ∫ ( −V ) cos nwt .dt + ∫ ( +V ) cos nwt ..dt = [( − sin nwt ) I 0τ + (sin nwt ) I 02 ] − τ −τ τ 0 nwt 2 2

=

2V nwt nwt [0 + sin( − ) + sin − 0] = 0 nwt 2 2 τ

bn =

2

τ

2

∫τ x(t ) sin nwt .dt

−

2

3

2 bn = τ

τ 2

0

τ

2 2V 0 ∫τ (−V ) sin nwt .dt + τ ∫0 (+V ) sin nwt .dt = nwt [(cos nwt ) I −τ2 + (− cos nwt ) I 02 ]

−

2

bn =

2V nw τ nw τ 2V nw τ [1 − cos( − ) − cos( ) +1] = [2 − 2 cos( )] nw τ 2 2 nw τ 2

Burada w = bn =

4V nπ

olur. Böylece denklem

⇔ n tek (n>0)

bn = 0

x(t ) =

2π nwτ ⇒ = nπ τ 2

⇔ n çift

4V

1 1 1 [sin wt + sin 3wt + sin 5wt + .... + sin nwt ] π 3 5 n

b.Fourier Serilerinin Exponansiyel Formu Temel x(t) sinyalini doğal logaritma tabanında kullanarak daha kolay ifade edebiliriz. cos nwt =

e jnwt + e − jnwt 2

ve sin nwt =

e jnwt − e − jnwt 2j

eşitliklerini denklem a.2’de

yerine yazar isek; ∞ ∞ a e jnwt + e − jnwt (e jnwt − e − jnwt ) x(t ) = 0 + ∑ a n ( ) + ∑ bn 2 n =1 2 2j n =1 x (t ) =

∞ a0 ( a − jbn ) ∞ ( a n + jbn ) − jnwt + ∑ e jnwt . n +∑ e 2 n =1 2 2 n =1

a ve b’li ifadelere katsayılar atarsak, ∞

∞

n =1

n =1

x(t ) = C 0 + ∑ C n e jnwt + ∑ C * n e − jnwt ∞

x(t)=

∑C

n =− ∞

C n ise

n

buradan,

e jnwt bütün şartlarını sağlar.

a n − jbn idi. 2 τ

Cn =

12 2τ

2

∫ x(t ).(cos nwt − j sin nwt )dt = τ

−

2

τ

1 2

2

∫τ x(t ).e

−

− jnwt

dt

2

4

τ ∞

böylece x(t) çekilirse x(t)=

∑C n e jnwt

Cn =

n =− ∞

1

τ

2

∫τ x(t )e

−

− jnwt

dt

2

şeklinde iki çok basit sade formül elde ederiz.

2

c. Harmonik Fourier serisi ∞

x( t ) = R0 + ∑ Rk . cos ( kω 0 t + θ k ) k =1

veya ∞

x( t ) = R0 + ∑ Rk . sin ( kω0 t + θ k ) k =1

Bu eşitlikte ♦ R0 ,Doğru akım bilşeni, ♦ Rk ,harmonik genliği, ♦ θk da faz açısını göstermekte olup Rk . cos ( kω0 t + θ k ) veya Rk . sin ( kω0 t + θ k ) , k. harmonik bileşen olarak adlandırılır. Tabloda bazı periyodik fonksiyonlara ait seri açılımları ve grafikleri verilmektedir. Periyodik açılımı

 x( t ) =   x( t ) =

fonksiyon

ve

seri Grafiği

, 0
1

4 sin ( 3t ) sin ( 5t )  + + ...   sin ( t ) + π 3 5 

x (t ) = t

,

0 < t < 2π

sin ( 2 x ) sin ( 3 x )   x( t ) = π − 2 sin ( x ) + + + ...  2 3  

2

http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837

5

x (t ) = t

,

0
cos( 3t ) cos( 5t ) π 4  −  cos( t ) + + + ...  2 2 2 π 3 5 

x( t ) =

,

x (t ) = t

−π < t <π

sin ( 2 x ) sin ( 3 x )   x( t ) = 2 sin ( x ) − + + ...  2 3  

ÖRNEK:

 x(t ) =  

0 5

, −4 < t < 0 , 0
fonksiyonunun Fourier seri açılımını yapınız. 2π π T0 = 8 → w0 =

2 a0 = T0 ak = =

2 T0

8

=

4 4

2 ∫T x( t ) dt = 8 ∫0 5dt 0

∫ x( t ). cos ( kω0 t ) dt =

T0

2  kπt  5 cos  dt ∫ 80  4  4

4 5 4  kπt    sin      4  kπ  4  0 

=5

{1 − cos( kπ )} kπ

∞ 1 a 0 + ∑ {a k . cos ( kω0 t ) + b . sin ( kω0 t )} 2 k =1 ∞  5 5  1 − cos( kπ )    kπt   = + ∑  . sin     2 π k =1  k    4  

x( t ) =

=

 5 10   πt  1  3πt  1  5πt  + sin   + sin   + sin   + .... 2 π  4 3  4  5  4  

6

3

1.Simetri Etkisi Önceki örnekte a n katsayıları 0 dır. Ve dikkat edersek x(t) fonksiyonu tek bir fonksiyondu. Biz biliyoruz ki x(-t)=x(t) çift fonksiyonları temsil eder. x(-t)=-x(t) ise tek fonksiyonları temsil eder. Buna göre cosinüs fonksiyonu çift bir fonksiyondur. Sinüs ise tek bir fonksiyondur. Tabi ki bunların tüm harmonikleri de aynı özelliğe sahiptir. Bu özellikten yola çıkarak tek bir fonksiyon Fourier serisinde yalnız tek fonksiyon tarafından temsil edilir. Aynı şekilde çift bir fonksiyonda çift fonksiyon tarafından temsil edilir. Fourier serilerinin trigonometrik gösteriminde sinüs ve cosinüs fonksiyonlarını kullandığımıza göre eğer x(t) sinyali çitse bu sinyali cosinüs sinyal cinsinden tek ise sinüs sinyali cinsinden yazarız. Bunun sonucu olarak ta sinyal tekse serinin açılımındaki tüm a n ler 0, çiftse tüm bn ler 0 dır. 1.1

Yarım dalga simetri Şayet bir simetrik sinyal tek ya da çift ise onun tek yarım dalga simetri veya çift yarım dalga simetriye sahip olup olmadığı araştırılır. τ τ x(t + ) = x(t ) temel sinyalin periyodu ise; 2

⇒ Çift yarım dalga simetri vardır. τ x(t + ) = −x(t ) ⇒ tek yarım dalga simetri vardır. 2

Bir simetrik sinyal çift yarım dalga simetriye sahip ise onu Fourier serisinde tek katsayılı harmonikler olmaz. Aynı şekilde tek yarım dalga simetri varsa Fourier serisinde çift katsayılı harmonikler olmaz. Bu da bize hesaplamada kolaylık sağlar çünkü sadece n’nin tek ve çift değerleri için hesap yaparız. ÖRNEK: −To + To Peak V voltaja sahip [ , ] periyotlu bir üçgen dalga sinyalin Fourier 2 2 seriye açılımını bulunuz. ÇÖZÜM: Bu sinyali simetriklik bakımından incelediğimiz zaman tek simetriye sahip olmakla beraber yarım dalga simetri özelliği de vardır. Böylece sadece bn katsayılarını n’in tek değerleri için hesaplamamız yeterlidir. Öyle ise; 4Vt To

0 ≤ t ≤ To / 4

V(t)= 2V 3

4Vt To

To / 4 < t ≤ To / 2

İleri Programlama Uygulamaları-Dr.Fahri VATANSEVER-Seçkin Yayınları

7

buradan bn katsayıları a.4 nolu denklemle bulabiliriz;

4 bn = To

To / 4

∫ 0

4Vt 4 sin nwo t.dt + To To

To / 2

∫

(2V −

To / 4

4Vt ) sin nwo t.dt To

bu uzun integralin sonucunu yazarsak bn =

yazarsak;

8V nπ sin 2 2 2 nπ ∞

8V

V(t)= ∑ n π n= 1 n ,t e k

2 2

s i n wo t

n’ in tek değerleri için Fourier seriye açınımını

şeklinde olur.4

FOURİER DÖNÜŞÜMLERİ Fourier serileri, sonlu sınırları olan periyotlarda tekrarlanan fonksiyonlar içindir. Bir fonksiyon periyodik değilse ve aynı zamanda bütün uzayda tanımlıysa Fourier serisi anlamsızdır. Bu durumlarda, Fourier serilerinin genel biçimi olarak kabul edilecek olan Fourier dönüşümü ele alınmalıdır. Matematikte benzer integral dönüşümleri kullanılmaktadır. Örnek olarak Laplace dönüşümü verilebilir. Fourier dönüşümü esas olarak Fourier serisinden türetilir. Ancak dönüşümün sonunda elde edilen artık bir serinin terim katsayıları değil, bir fonksiyondur. Fourier dönüşümü, birbiriyle bir integral dönüşümü altında ilişkili olan iki uzay arasındaki dönüşümdür. Bir başka deyişle, bir olay bu uzayların her ikisinde de gözlenebilir. Örneğin kartezyen koordinatlarda konum değişkeni x olan bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, gözlenen olayı değişkeni 1/x ile orantılı olan bir uzaya taşır.5 1.Fourier Dönüşümünün Elde Edilişi: f ( x) =

∞ a0 nπx nπx + ∑ ( ( a n cos + bn sin ) 2 n =1 T T

ve 1 an = T

T

∫ f ( x). cos

−T T

nπx .dx T

1 nπx f ( x ). sin .dx olduğunu biliyoruz. Bu durumda T → ∞ ∫ T −T T olduğunda Fourier Serisi yerini Fourier İntegrallerine bırakıyor. Eğer f(x) ve f’(x)parçalı sürekli fonksiyonlar ve, bn =

4

http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837

5

Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık

8

∞

∫

f ( x ) dx < ∞

ise;

−∞ ∞

1. f ( x) = ∫ ( A(α ). cos αx + B(α ). sin αx)dα 0

∞

1

2. A(α) =

π 1

∫ f (u ). cos αu.du

−∞ ∞

f (u ). sin αu.du π −∫∞ 2. ve 3.’ü 1.’de yerine koyarsak;

3. B(α) =

∞

1 2 −∫∞

f ( x) =

=

0.i =

f ( x) = f ( x) = f ( x) =

1  π 

 1 ∫−∞ f (u ). cos αu.du  cos αu +  π ∞

 ∫ f (u ). sin αu.du . sin αx ]dα

∞

−∞

∞ ∞

1 f (u )[ cos αu. cos αx + sin αu. sin αx ]du .dα 2 −∫∞−∫∞

f ( x) =

f ( x) =

[

1 2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 2π

F (α) =

∞ ∞

∫ ∫ f (u ) cosα ( x − u )du.dα

− ∞− ∞ ∞ ∞

∫ ∫ i. f (u ) sin α ( x − u )du.dα

− ∞− ∞ ∞ ∞

∫ ∫ f (u ).( cosα ( x − u) + i sin α ( x − u)du.dα ) du.dα

− ∞− ∞ ∞ ∞

∫ ∫ f (u ).e

iα ( x − u )

∫ ∫ f (u ).e

iαx

− ∞− ∞ ∞ ∞

du.dα

e −iαu du.dα

− ∞− ∞

∞  iαx  ∫ f (u ).e −iαu du  e d α ∫−∞    −∞  ∞

∞

∫ f (u )e

−iαu

du f(u)’nun fourier dönüşümü (1)denir.

−∞

1 F (u ) = 2π

∞

∫ F (α )e

iαx

dα

Ters fourier dönüşümüdür.(2)Yani;

−∞

F(α)’nın bilinmesi halinde f(u)’nun bulunması için kullanılır.Ters dönüşümün varlığı, yani (2)’deki integralin yakınsak olması ve yakınsaklık halinde gerçekten f(u)’yu vermesi için f(u)’nun sürekli olması yeterlidir. 2.Özel Durumlar: 1)f(x) tek ⇒ A(α ) = 0

9

F ( x) =

2

π

∞

∞

0

0

∫ sin αxd α = ∫ f(u)sin αu.du

∞

Fs (α) = ∫ f(u)sin αu.du

Fourier-Sin Dönüşümü

0

f ( x) =

2

π

∞

∫ F (α ) sin αxdα s

0

2)f(x) çift ⇒ B(α ) = 0 f ( x) =

2

π

∞

∞

0

0

∫ cos αx.dα = ∫ f(u)cos αu.du

∞

Fc (α) = ∫ f(u)cos αu.du

Fourier-Cos Dönüşümü

0

∞

f ( x ) = ∫ Fc (α)cos αx.d α

6

0

3.Fourier Dönüşümünün Özellikleri a.Doğrusallık Fourier dönüşümü, doğrusal özellikli bir dönüşümdür. Eğer bir f(t) fonksiyonu f1(t), f2(t), f3(t)… fonksiyonlarının doğrusal birleşimi şeklindeyse, yani c1, c2, c3… sabitler olmak üzere f (t ) = c1 f 1 (t ) + c 2 f 2 (t ) + c3 f 3 (t ) +........ (1.6) biçiminde ise, bunun Fourier dönüşümü F { f (t )} = c1 F { f 1 (t )} + c 2 F { f 2 (t )} + c3 F { f 3 (t )} +........ (1.7) olacaktır. Bu özellik ters dönüşüm için de geçerlidir. b.Türev özelliği Bir f(t) fonksiyonunun türevinin Fourier dönüşümü, dönüşümün tanımı ve kısmi integrasyon yöntemi kullanarak (Denklem 1.1 ve 1.2) kolayca gösterilebilir. df (t )  F1 (ω) = F   = −iωF (ω)  dt 

(1.8)

 df 2 (t )  2 F2 (ω) = F   = −ω F (ω) 2  dt 

(1.9)

ifadede F( ω ) , Teorem 1.1 ile tanımlanan f(t) fonksiyonunun dönüşümüdür. Benzer biçimde, fonksiyonun ikinci türevinin Fourier dönüşümü de,

olacaktır. Genel biçimiyle bir fonksiyonun herhangi bir n mertebeli türevinin Fourier dönüşümü,  df n (t )  n Fn (ω) = F   = (−iω) F (ω) n  dt 

(1.10)

olarak verilir. Türev özelliği, çeşitli fiziksel olayları temsil eden diferansiyel denklem çözümlerinde büyük kolaylık sağlar. 6

http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22770

10

Örnek: Şekilde verilen elektronik devrenin girişine bir sinyal uygulandığı zaman çıkıştan nasıl bir sinyal alınacağını, yani devrenin tepkisini inceleyelim. L indiktörü ve C kapasitörü üzerinden geçen akım I alınırsa, Kirchoff gerilim yasasına göre devrenin denklemi, Vg =

q dl +L C dt

olur.R1 ve R2 dirençlerinin çıkış sinyal şekline doğrudan katkısı olmadığı için bunlar denklemde dikkate alınmayacaktır. Denklemin zamana göre türevi alınırsa, I =

dq olduğundan, dt

dV R 1 d 2t = I +L 2 dt C dt şeklindeki diferansiyel denklem elde edilecektir. çözümünden elde edilen I akımıyla çıkış sinyali bulunur.

Bu

denklemin

Şimdi denklemin frekans uzayına( ω ) Fourier dönüşümünü alalım:  dV g  1 d 2t  { } F = F I + LF   2  dt   dt  C

Denklem 1.10 ile verilen dönüşümün türev özelliği ile devre denklemi, − iωF {V g } =

d 2 t  1 F{ I } −ω2 F  2  C  dt 

olacaktır. Denklemi yeniden düzenleyerek iω F{ I} = F {V g } L (ω 2 − ω02 sonucunu elde ederiz. Bu ifadede ω0 = 1 / LC alınmıştır. Bu tür devrelerde ω0 devrenin rezonans frekansı olarak tanımlanır. Verilen bir giriş voltajının Fourier dönüşümü alınarak devre akımının Fourier dönüşüm ifadesi, ya da akımın frekans uzayındaki ifadesi bulunur. Bütün bunlardan sonra ters Fourier dönüşümü alınarak devre akımının zamana göre değişimi elde edilecektir. Devreye göre çıkış voltajı R2 I olacaktır. c.Katlanma (Convolution) f (t ) ve g (t ) fonksiyonlarını alalım. Bu fonksiyonların Fourier dönüşümleri de F (ω) ve G (ω) olsun. Fonksiyonların katlanması, ∞ 1 f ∗g = g ( s ) f (t − s ) ds (1.11) 2π −∫∞ olarak tanımlanır. Fourier dönüşümünü kullanarak ∞

∞

−∞

−∞

∫ g ( s) f (t − s)ds =

∫ F (ω)G (ω)e

−iωt

dω

(1.12)

11

sonucu bulunur. Yani f (t ) ve g (t ) fonksiyonlarının Fourier dönüşümlerinin çarpımlarının ters dönüşümü iki fonksiyonun katlanması olarak tarif edilir. 7 HIZLI FOURİER DÖNÜŞÜMÜ Mikroişlemci hızları arttıkça Sayısal Fourier dönüşümü algoritması büyük sayıdaki data değerlerini değerlendirme açısında cazipliğini koruyabilir. Ancak düşük hızlardaki işlemciler için yüksek sayıda datayı işleme sokmak , sayısal Sayısal Fourier dönüşümü algoritması için oldukça zamana ihtiyaç duyulacağından pek tercih edilmez. Ölçüm sayısının çok sayıda olduğu işlemlerde hızlı Fourier dönüşümü tercih edilmelidir. Hızlı n Fourier dönüşümü algoritmasının uygulanabilmesi için data sayısının 2 olması gerekir. Bu özellik hızlı fourier dönüşümünün sayısal Fourier dönüşümüne göre bir dezavantajıdır, zira sayısal fourier dönüşümü de data sayısında bir kısıtlama bulunmamaktadır. Eğer Hızlı fourier dönüşümünde data sayısında eksiklik olursa ve datalar ‘0’ a doğru yakınsıyor ise ilk yol eksik dataları ‘0’ ile doldurmaktır. Böyle bir durum söz konusu değil ise n datalar içinden uygun görülenleri dışarı atarak data sayısını 2 ‘e çekmektir. Diğer bir yaklaşım ise İnterpolasyon yaparak yeni datalar üretmektir. MATLAB ortamında Fourier yöntemine ilişkin çeşitli komutlar bulunmaktadır. Bunlardan ilki hızlı fourier dönüşümü komutudur Hızlı Fourier dönüşümü matlab komutu fft’dir : Y=fft(y): hızlı fourier dönüşümünde kullanılan MATLAB komutudur. y vektörünün ayrık fourier dönüşümünü bulur.Bu işlem,hızlı fourier dönüşümü algoritması kullanılarak gerçekleştirilir. Y değerinin aranılan harmonik genliklerinin k/2 katıdır. Hızlı Fourier dönüşümü komutu kullanıldığında, örnekleme sayısının yarısı kadar (k/2) harmonik ve bunların genlikleri incelenir. Örnek olarak K=16 adet örnekleme yapılmış ise bu komut kullanıldığında doğru bileşen dahil k/2=8 adet harmonik ile ilgili bilgi alınır. Diğer kalan 16k/2=8 bileşen ise negatif bileşen değerleridir.1.bileşen doğru akım bileşenini, 2.,3.,4.,5.,6.,7., bileşenler pozitif bileşenleri verir.8. harmonik bileşeni ise Nyquist frekans bileşenidir. Nyquist frekansını takip eden bilenler ise (9-15) negatif bileşenlerdir.9. bileşen değeri 7. bileşenin eşleniğine (konjugesine) eşittir. 10. bileşen 6. bileşenin, 11. bileşen 5. bileşenin, 12. bileşen 4. bileşenin, 13. bileşen 3. bileşenin, 14. bileşen 2. bileşenin, 15. bileşen 1. bileşenin eşleniğidir. Yukarıda da bahsedildiği gibi hızlı fourier dönüşüm uygulamalarında n harmonik analizi yapılacak fonksiyonun (y) eleman sayısı (ne) ,2 özelliğini sağlamalıdır. k adet eleman içeren bir y fonksiyonuna Hızlı fourier dönüşümü komutu uygulandığında ancak k/2 kadar harmonik ve bunların genlikleri hakkında bilgi sahibi olunabilir.(doğru bileşen değeri bu harmonik sayısına dahildir).8 7

Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık

8

Simulink ve Mühendislik Uygulamaları 7.04- Prof. Dr. Uğur Arifoğlu

12

4.Fourier Serisinin Bir Limiti Olarak Fourier İntegrali: Fourier serisinin bu özelliğini geliştirmemizde Dirichlet Koşulları, herhangi bir periyodik fonksiyonun genişlemesini sağlamak için yeterlidir.Birçok mekanik ve elektrik sistemlerde genel periyodik karışıklıklara yanıt bulmayı olanaklı kılar.Diğer yandan, etkileyen güç yada voltaj içeren birçok problem periyodik değildir, çünkü tek bir tekrarlanmayan ahenkli kalp atışı gibidir.Bu kısa fonksiyon, Fourier serisinin doğrudan kullanımını kontrol altında tutamaz.Fourier Serisi, böyle seriler için sadece periyodik fonksiyonları tanımlamada faydalıdır.Ancak, verilen fonksiyonun periyodunu sonsuz olarak, Fourier Serisi tarafından yaklaşan limitini araştırmak, periyodik olmayan fonksiyon için uygun bir temsil olarak elde edilebilir.

Fp(t)

Şekil1.2p=4 periyodunda periyodik bir fonksiyon. Fourier İntegrali farklı bir formda yazılabilir.Bunun için; f (t ) =

 1 iwt ∞  −iwt . e f ( s ) . e . ds   dw ∫−∞ 2π −∫∞  ∞

∞

‘den yararlanabiliriz. ∞

1 f ( s).e −iws .ds ∫ 2π −∞ −∞ f(t) ve onun katsayı fonksiyonu g(w) olan bu iki ifadeyle, Fourier Dönüşümü olarak bilinen çifti oluşturabiliriz.Katsayı fonksiyonu g(w), f(t)’ye eşittir.Bu durumun ,fonksiyonun iki farklı temsiline etkisi;f(t)’nin zaman içinde ilgi alanı ve g(w)’nin bu ilgi alanında ne sıklıkta yer alacağıdır. f (t ) =

iwt ∫ g (w).e .dw

ve

g ( w) =

ÖRNEK:

1 , f (x) =  , 0

x a

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulmak için; ∞

F(f(x))=F(α)=

∫ f ( x).e

−iαx

.dx

−∞ a

F(α)=

∫ f ( x).e

−a

ÖRNEK: f(x)= e − mx

−iαx

.dx = −

1 −iαx 1 .e = − (e iαa − e −iαa ) iα iα

(m>0) olmak üzere Fourier-Cos dönüşümünü bulunuz.

13

∞

Fc(α)=

∫

f(u).Cosαu.du

0

İki kez kısmi integral uygulanarak; e − mu ( −m.Cosαu + αSinαu ) = lim s →∞ m2 + α 2 e − ms (−m.Cosαs + αSinαs ) m Fc(α)= lim + 2 2 2 s →∞ m +α m +α 2 m = 2 m +α 2 ∞ 2 m e − mx = ∫ 2 .Cosαx.dx π 0 m +α 2

π − mx ∞ 1 e =∫ 2 .Cosαx.dx 2 2m m + α 0 ∞

∫t 0

2

sonucundan yararlanarak ;

π 1 e −( 4 x ) şeklinde bulabiliriz.9 .Costx.dt integralinin sonucunu 2(m = 4) + 16

ÖRNEK: Periyodu T=9.6 sn olan y(t) fonksiyonu içinden [0;T] aralığında, eşit zaman aralıkları ile 16 adet örnek (ölçme yöntemi ile) alınmaktadır. Elde edilen örnek (ayrık değerler) aşağıda verilmiştir. y=[0 4.7163 6.5026 5.6751 3.2878 0.5738 -1.5028 -2.4723 -2.3602 -1.5293… -0.4619 0.4301 0.9153 0.9619 0.6876 0.2770 -0.0979]; y ayrık vektörüne fft komutu kullanarak harmonik analizi yapınız. ÇÖZÜM: Zamana ilişkin başlangıç, artış ve bitiş değerleri t=0:0.6:9.6 saniye olarak verilmektedir. Örneklenmiş y vektörünün eleman sayıları 2 n =4 = 16 şartı sağlanmadır. Yukarıda, fft komutu kullanılarak ancak k/2sayıda harmonik hakkında bilgi sahibi olunabileceği belirtilmişti. Bu bilgiye göre ulaşılabilecek harmonik sayısı (m);verilen y vektörü için k/2=16/2=m=8 olmaktadır. Yatay eksen olarak t (zaman) geçildiğinde frekans artışı; ∆f = 1 / T = 1 / 9.6 = 0.10416

domeninden

f

(frekans)

domenine

Hz ;( ∆f = 0.6

sn olduğu unutulmamalıdır) Olacaktır. Fft komutu kullanılarak incelenebilecek en büyük harmonik frekansı(Nyquist frekansı); f max = ( k / 2) * ∆f = 8 * 0.10416 = 0.83 Hz Olacaktır. Bu soruda da yukarıda anlatıldığı gibi 3.harmonik genliği ile 14.harmonik genliği ve 7.harmonik genliği ile 9.harmonik genliği birbirlerine eşittir. Aynı şekilde Nyquist frekanslarının tek katları kendi

9

http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22770

14

aralarında ve çift katlarıda kendi aralarında eşit harmonik genlik değerine sahiptir. Yukarıda , ‘Y değerinin aranılan harmonik genliklerinin k/2 katı olduğu unutulmamalıdır’ ifadesi kullanıldı. Bundan hareketle; >>Y=fft(y) Komutu uygulandığında (aranılan gerçek harmonik genlik değerlerine ulaşmak için) Y harmonik genlik değerlerini k/2 sayısına bölmek gerekmektedir. Aşağıda verilen programda bu işlem; >>Yss(1:nt/2)=(2/nt)*Y(1:nt/2); satırında yapılmaktadır. Verilen programda; >>[fss ‘Yss’] ; satırında gerçek frekans ve gerçek harmonik genlik değerlerine ulaşılmaktadır. Örnekte verilen örnekleme şartlarında y vektörünün harmonik analizini yapan MATLAB programı aşağıda gösterilmiştir. nt=16; %örnekleme sayısı → 2 n şartını sağlamalı T=9.6; %periyot → (nt+1)*dt=T dt=T/nt; %örnekleme aralığı → ∆t = 0.6 sn df=1/T; %frekans artışı → ∆f =1 / T =1 / 9.6 = 0.10416 Hz fmax=(nt/2)*df; %Nyquist frekansı → f max = ( k / 2) * ∆f = 8 * 0.10416 = 0.83 Hz >> t=0:dt:(nt-1)*dt; %t=0:0.6:9; >> f=0:df:(nt-1)*df; %f=0:0.10146:fmax=0.83 % y harmonik analizi yapılacak y(t) fonksiyonunun örneklenmiş data değerleri >> y=[0 4.7163 6.5026 5.6751 3.2878 0.5738 -1.5028 -2.4723 -2.3602... -1.5293 -0.4619 0.4301 0.9153 0.9619 0.6876 0.2770] >> y=fft(y)%y vektörüne fft komutu uygulanır >> subplot(221),bar(t,abs(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('genlik(y)'); >> subplot(222),bar(t,real(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('real(y)'); >> subplot(223),bar(t,imag(y)),xlabel('zaman(sn)'),ylabel('imajiner(y)'); >> fss=0:df:(nt/2-1)*df; >> yss=zeros(1,nt/2); >> yss(1:nt/2)=(2/nt)*y(1:nt/2); %y değeri nt/2 ‘ye bölünüyor(an+jbn) değerleri >> disp('frekans harmonik sayısı gerçek genlik değerleri') >> [fss'[0:nt/2-1]'yss'] %aranılan harmonik ve gerçek genlik değerleri >> subplot(221), >> bar(fss,abs(yss)); %harmonik genliğinin çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('genlik (yss)'); >> subplot(222); >> bar(fss,real(yss)); %an katsayısının çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('reel (yss)'); >> subplot(223); >> bar(fss,imag(yss)); %bn katsayısının çubuk formunda çizimi >> xlabel('frekans (Hz)'),ylabel('imajiner(yss)'); >> >> >> >> >>

15

Yukarıda verilen programın çalıştırılması sonunda command window ortamında elde edilen harmonik sayısı ve gerçek genlik değerleri aşağıdaki gibidir. >>y y= 0 15.7010 %doğru akım bileşeni 0.6000 19.2996 +11.5735 % 1. harmonik nt/2 katı 1.2000 -11.2650 +13.8929i % 2. harmonik nt/2 katı 1.8000 -5.8754 + 2.3748i % 3. harmonik nt/2 katı 2.4000 -3.3826 + 0.8128i % 4. harmonik nt/2 katı 3.0000 -2.3512 + 0.3682i %5. harmonik nt/2 katı 3.6000 -1.8616 + 0.1811i %6. harmonik nt/2 katı 4.2000 -1.6322 + 0.0769i %7. harmonik nt/2 katı 4.8000 -1.5642 %fmax (nyquist ) frekansındaki genlik (nt/2 katı) 5.4000 -1.6322 -0.0769i %7. harmonik eşleniği nt/2 katı 6.0000 -1.8616 -0.1811i %6. harmonik eşleniği nt/2 katı 6.6000 -2.3512 -0.3682i %5.harmonik eşleniği nt/2 katı 7.2000 -3.3826 -0.8128i %4. harmonik eşleniği nt/2 katı 7.8000 -5.8754 -2.3748i %3.harmonik eşleniği nt/2 katı 8.4000 -11.2650 -13.8929i %2.harmonik eşleniği nt/2 katı 9.0000 19.2996 -11.5735i %1.harmonik eşleniği nt/2 katı ↑t değerleri >> frekans harmonik sayısı gerçek genlik değerleri ans= 0 0 1.9626 %doğru akım bileşeni= y ort

0.1042 genliği 0.2083 genliği 0.3125 genliği 0.4167 genliği 0.5208 genliği 0.6250 genliği 0.7292 genliği ↑frekans değerleri

1

2.4124 +1.4467i %1.harmonik

2

-1.4081 +1.7366i %2.harmonik

3

-0,7344 +0.2969i %3.harmonik

4

-0.4228 +0.1016i

%4.harmonik

5

-0.2939 +0.0460i

%5.harmonik

6

-0.2327 +0.0226i

%6.harmonik

7

-0.2040 +0.0096i

%7.harmonik

ÖRNEK:

y (t ) = 0.5 + sin( 2 * π * 3.125 * t ) + cos( 2 * π * 9.25 * t ) fonksiyonu ile değişen ve periyodu T=3.2 sn olan bir işaretin fft komutu yardımıyla harmonik analizi

16

yapın.y(t) fonksiyonundan periyot boyunca eşit zaman aralıklarında nt=64 adet örnek alınmaktadır ÇÖZÜM: y (t) değişimi şekil 1.1. de görülmektedir. Verilen problemi çözen MATLAB programı aşagıda gösterilmiştir.

Yukarıda verilen programın çalıştırılması sonunda command window ortamında elde edilen harmonik frekans değerleri ve harmonik genlik değerleri aşağıda gösterilmiştir. ans = 0 0.3125 0.6250 0.9375 1.2500 1.5625 1.8750 2.1875 2.5000

1.0272 0.0272 0.0272 0.0272 0.0271 0.0271 0.0271 0.0270 0.0270

-

0.0014i 0.0028i 0.0043i 0.0057i 0.0072i 0.0087i 0.0103i 0.0119i

% % % % % % % % %

doğru bileşen: y ort 1.h 2.h 3.h 4.h 5.h 6.h 7.h 8.h

17

2.8125 3.1250 3.4375 3.7500 4.0625 4.3750 4.6875 5.0000 5.3125 5.6250 5.9375 6.2500 6.5625 6.8750 7.1875 7.5000 7.8125 8.1250 8.4375 8.7500 9.0625 9.3750 9.6875

0.0269 - 0.0136i 0.0269 + 1.9846i 0.0268 - 0.0173i 0.0267 - 0.0193İ 0.0266 - 0.0214i 0.0264 - 0.0237i 0.0263 - 0.0263i 0.0261 - 0.0291i 0.0258 - 0.0322i 0.0255 - 0.0357i 0.0251 - 0.0397i 0.0246 - 0.0443i 0.0240 - 0.0498i 0.0231 - 0.0564i 0.0219 - 0.0646i 0.0202 - 0.0753i 0.0175 - 0.0899i 0.0130 - 0.1115i 0.0046 - 0.1473i -0.0159 - 0.2231i -0.1107 - 0.5318i 0.2830 + 0.6553i 0.1222 + 0.1214i

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

9.h 10.h 11.h 12.h 13.h 14.h 15.h 16.h 17.h 18.h 19.h 20.h 21.h 22.h 23.h 24.h 25.h 26.h 27.h 28.h 29.h 30.h 31.h

18

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ MATLAB KOMUTLARI y = ifft(x):x vektörünün ters ayrık fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak ) hesaplar. Eğer x bir matris ise her bir kolonun ters ayrık fourier dönüşümünü bulur. y=ifft(x,n): x vektörünün n noktalı ters ayrık Fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak) hesaplar y =ifft(x,n,dim) y = ifft(x,[],dim): Boyut (dim) boyunca, x vektörünün n noktalı ters ayrık Fourier dönüşümü (hızlı fourier dönüşümü algoritmasını kullanarak) hesaplar. y =ifft(…, ‘symmetric’): Aktif olan boyut (dim)boyunca eşlenik simetrik x matrisinin ters ayrık dönüşümünde kullanılır. Özellikle yuvarlama hataları dolayısı ile tam anlamı ile eşlenik simetrik olamayan x matrislerinde tercih edilir. y = (…, ‘nonsymmetric’): Aktif olan boyut(dim)boyunca simetrik olmayan x matrisinin ters ayrık dönüşümünde kullanılır.

eşlenik

İfft2 (x) : x vektör (ya da matrisinin)iki boyutlu Ters hızlı fourier dönüşümü bulur.

19

Fourier : Sembolik işlemlerde fourier dönüşümünde kullanılır.Aşağıda bu komutun çeşitli kullanılışları gösterilmiştir. F = fourier (f) : Sembolik f(x) fonksiyonunun fourier transformunu bulur. f fonksiyonu (default olarak)x’e bağlıdır.Dönüşüm sonunda (default olarak)w ile değişen bir fonksiyon elde edilir.Diğer bir ifade ile f = f(x)fonksiyonuna fourier komutu kullanılarak dönüşüm uygulandığında, F =F(w)elde edilir.F fonksiyonu f fonksiyonunun fourier dönüşümüdür: ∞

F(w)=f{f(x)}=

∫

f(x)e −iwx dx

(1)

−∞

F=fourier(f,v): (1)eşitliğinde (default değer koyarak f fonksiyonunun fourier dönüşümünü bulur.

olan)w

yerine

v

∞

F (v)= f{f(u)}=

∫

f(u)e −ivx dx

−∞

F =fourier(f,u,v): (1)eşitliğinde (default değer olan)w yerine v ve (default değer olan )x yerine u koyarak f fonksiyonunun fourier dönüşümünü bulur: ∞

F(v)= f {(u)}

∫

f(u)e −ivu du

−∞

İfourier : Sembolik işlemlerde ters fourier dönüşümünde kullanılır. Aşağıda bu komutun çeşitli kullanılışları gösterilmiştir. f =ifourier (F): Sembolik F(w)fonksiyonunun ters fourier transformunu (f(x))bulur.F fonksiyonu (default olarak)w’ya bağlıdır.Dönüşüm sonunda (default olarak)x ile değişen bir f fonksiyonu elde edilir.Diğer bir ifade ile F = F(w)fonksiyonuna ifourier komutu kullanılarak dönüşüm uygulandığında f=f(x)elde edilir.f fonksiyonu F fonksiyonunun ters fourier dönüşümüdür: f(x)=f

−1

1 {F(w)}= 2π

∞

∫

F(w)e iwx dw

(2)

−∞

f =fourier(F,u) :(2)eşitliğinde (default değer olan)x yerine u koyarak F fonksiyonunun ters fourier dönüşümünü bulur: f(u)=f −1 {F(w)}=

1 2π

∞

∫

F(w)e iwu dw

(3)

−∞

f=fourier (F,v,u) : (2)eşitliğinde (default değer olan) w yerine v ve (default değer olan) x yerine u koyarak F fonksiyonu ters fourier dönüşümünü bulur: f(u)=f

−1

1 {F(v)}= 2π

∞

∫

F(v)e ivu dv

(4)

10

−∞

Fourier Dönüşümünü sürekli ve ayrık zamanda inceleyelim.

10

Simulink ve Mühendislik Uygulamaları 7.04- Prof. Dr. Uğur Arifoğlu

20

X (e

jw

)=

+∞

∫X

C

(t )e − jwt dt

Sürekli zamanlı Fourier dönüşümü

−∞

X (e j ) =

+∞

∫ x ( n )e

− jωn

dn

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü

−∞

Matlab’da kullandığımız dönüşüm ise hem zamanda hem de frekansta ayrık olduğu için DFT ve IDFT kullanırız. N −1

X (k ) = ∑x( n)e − jwk n n =0

x ( n) =

1 N

N −1

∑X ( k )

− jw k n

wk =

2π k N

Ayrık FT

Ters Ayrık FT

n =0

21

Şekil 1a’da sinyalin frekans cevabının mutlak değeri çizilmişken şekil 1b’de faz cevabı çizilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken husus faz cevabının bulunurken örnekleme frekansının yeterince büyük seçilmesinin gerekli olduğudur.

şekil 1a

şekil 1b Sinyalin Fourier dönüşümünden sonra sıfıra yakın değerler oluşmaktadır. Bu sayıların oluşumundan dolayı faz cevabı anlaşılır şekilde çıkmamıştır. Bu problemin çözülebilmesi için DFT işleminden sonra sıfıra yakın saylar sıfırlanır. Bu işlem verilen örnekte faz temizleme ile gösterilen kısmın açılmasıyla gerçekleştirilebilir.11

11

http://www.istanbul.edu.tr/eng/ee/labs/iletisim/lablar/lab1.pdf

22

KAYNAKLAR 1. İleri Programlama Uygulamaları-Dr.Fahri VATANSEVER-Seçkin Yayınları 2. Sayısal Çözümleme-Recep TAPRAMAZ-Literatür Yayıncılık 3. http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22770 4. http://www.gencbilim.com/odev/odevgoster.php?il=adapazari&id=22837 5. http://www.istanbul.edu.tr/eng/ee/labs/iletisim/lablar/lab1.pdf 6. Simulink ve Mühendislik Uygulamaları 7.04- Prof. Dr. Uğur Arifoğlu

23