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1) CUANDO UNA FUNCION ES CONTINUA La función ʄ es continua en el número a si ʄ esta definida en algún intervalo abierto que contenga a (a), y si para cualquier Ɛ > 0 existe una δ > 0 tal que: Si | x-a | < δ entonces | f (x) – f (a) | < Ɛ Criterios de continuidad de una función en un número Se dice que una función ʄ es continua en el numero a si y solo si se cumplen las Tres condiciones siguiente: (ɩ) ʄ (a) existe (ɩɩ) Lim ʄ (x) existe x 2 (ɩɩɩ) Lim ʄ (x) = ʄ (a) x 2

2) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función si

tal que para toda x en el dominio de la función

Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo si y sólo si

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente: •

Existe f(x1):

•

existe el límite por la izquierda:

•

existe el límite por la derecha:

•

El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

Parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que

.

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

3) DISCONTINUIDAD REMOVIBLE Se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x = a si y es finito. Si ocurre eso puede que, f(a) no exista o que f(a) exista pero

4) DISCONTINUIDAD ESENCIAL Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.

5) CONTINUIDAD LATERAL

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura. Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

7) PARTES DE LA RAÍZ ENÉSIMA] 1-Índice: Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical Ejemplo: El índice es el 3 formando una raíz cúbica. Cuando no existe índice en el símbolo de raíz es porque se trata de raíz cuadrada. Ejemplo: (Raíz cuadrada de tres) Radical de índice 2 o raíz cuadrada de x.

2- Radical: No es más que el símbolo de raíz.

3- Cantidad subradical o radicando:

Son la cantidad de dígitos o variables elevados a cualquier grado que están englobados dentro del radical. Ejemplo:

Las cantidades subradicales serían x2, y,z5

Casos de raíz enésima 1- Índice par y radicando positivo: El resultado de la raíz puede ser tanto positivo como negativo. Ejemplo. •

= 16

•

=±4

2- Índice par y radicando negativo: No existe número real alguno que su cuadrado resulte un número negativo. Es posible con las unidades imaginarias. 3- Índice impar y radicando positivo: El resultado de la raíz es positivo. Ejemplo: •

=3

•

=5

4- Índice impar y radicando negativo: El resultado es un número real negativo. Ejemplo: • •

= −2 = −4