Formulas.doc

FORMULAS PARA EL CURSO DE MUESTREO V (Y ) 

  N  n   n  N 1  2

(4.1)

Estimador de la media poblacional : n

  y 

y 1

i

(4.2)

n

Varianza estimada de y:  s  N  n V ( y)    n N  límite para el error de estimación:  s  N  n 2 V ( y)  2   n N  Estimador del total poblacional : 2

(4.3)

2

 n   yi    Ny  1  n  

  N   

(4.4)

(4.5)

varianza estimada de :  s2   V ( )  V ( Ny )    n 

 N  n  2  N  N  

(4.6)

Límite para el error de estimación:   s 2  N  n  2 V ( Ny )  2 N 2     n  N 

(4.7)

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA (4.8)

2 V ( y)  B

 s  N n V ( y)    n  N   2  N n V (Y )    n  N 1  2

(4.9) (4.10)

2  N n  B n  N 1 

2 V (Y )  2

(4.11)

Tamaño De Muestra Requerido Para Estimar  con límite de error de estimación B: N 2 B2 n ; D  (4.12) ( N  1) D   2 4 2N V ( y)  B (4.13) Tamaño De Muestra Requerido Para Estimar  con límite de error de estimación B: N B n ; D (4.14) ( N  1) D   4N Estimador de la proporción poblacional P: 2

2

2

2

n

 yi

p y 1

(4.15)

n

Varianza estimada de P: 1

PQ  N  n  Vˆ ( p )    n 1  N 

(4.16)

Límite para el error de estimación: Vˆ ( p )  2

n

PQ  N  n    n 1 N 

N 2 ; ( N  1) D   2

D

(4.17) B2 4

(4.18)

Tamaño De Muestra Requerido Para Estimar P con límite de error de estimación B: n

NPQ ; ( N  1) D  PQ

D

B2 4

(4.19)

MUESTREO CON PROBABILIDADES PROPORCIONALES AL TAMAÑO

 i =La probabilidad de que yi aparezca en la muestra Estimador del total poblacional : 1 n y  ˆoot    i  n i 1   i  varianza estimada de ˆ :

(4.20)

ppt

n  yi  1   ˆ ppt   n(n  1) i 1   i 

   V ( )  V ( Ny ) 

2

(4.21)

Límite para el error de estimación:   2 V ( )  2

n  yi  1   ˆ ppt   n(n  1) i 1   i 

2

(4.22) Estimador de la media poblacional 1 1 n  yi  ˆ ppt  ˆ ppt    n Nn i 1   i  ˆ Varianza estimada de  Vˆ ( ˆ ppt ) 

1 2 N n(n  1)

: (4.23)

ppt

 yi    ˆ ppt   i 1   i  n

2

(4.24)

Límite para el error de estimación: 1 2 N n( n  1)

2 Vˆ ( ˆ ppt )  2

 yi    ˆ ppt   i 1   i  n

2

(4.25) ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Y UN TOTAL POBLACIONALES Estimador de la media Poblacional : y ST 

1 N

N

I

yi

(5.1)

Varianza estimada de y :  N  n  s 2  1 Vˆ ( yst )  2  N i2  i i  i  N  N i  ni  st

(5.2)

Límite para el error de estimación:

2 Vˆ ( y st )  2

2 1 2  N i  ni  si     N  i  N  n  N2 i   i 

(5.3)

2

Estimador del total

:

l

ˆ  Nyst   N i yi

(5.4)

1

Varianza estimada de Ny :  N  ni Vˆ ( Ny st )  N 2Vˆ ( y st )   N i2  i  Ni Límite para el error de estimación: st

2 Vˆ ( Ny st )  2

 si2     ni 

(5.5)

 N i  ni  si2   N  N  n  i   i  2 i

(5.6)

ni=nwi

( (5.7)

Tamaño de muestra aproximada para estimar  o  con un límite de error B.

n

N

2 i

 i2 / wi

N 2 D   N i  i2

, donde

(5.8)

B2 ; Para estimar  4 el costo para el valor fijo de B2 un costo fijo: D ; Para estimar  4N 2 D

Asignación aproximada que minimiza V ( y st ) o que minimiza V ( y st ) para     N  / c   i i i n i  n    N k  k / ck     

(5.9)

     N k k / ck   N k k ck    n N D   N k 2

(5.10)

2 i

(para asignación óptima con la varianza de la media estratificada fija en D.)

c1=c2=

  N i i ni  n    N i i 

     

...=cL

n

(5.11)

Asignación de Neyman.     N i i   

2

(5.12)

N 2 D   N i i2

Asignación Proporcional: C1=C2=. . . =CL; σ1= σ1= . . . = σL 3

   Ni ni  n   N i 

   Ni     n N   

N 

2 i

i

n

1 ND  N

(5.13)

N  i

V ( yst ) =D

, donde

(5.14)

2 i

Estimación de una proporción poblacional Estimador de la proporción poblacional P: p st 

1 N

N

i

pi

(5.15)

Varianza estimada de Pst:  N  nI  pi qi  1   Vˆ ( pst )  2  N i2  i N N n  1   I  i Límite para el error de estimación:

(5.16)

 N i  ni  PiQi      N i  ni  1  Selección del Tamaño de muestra y Asignación: Tamaño de muestra aproximado para estimar P, con límite B para el error: 2 Vˆ ( pst )  2

n

N

2 i

1 N2

N

2 i

(5.17)

Pi Qi / wi

D=B2/4

N D   N i Pi Qi

(5.18)

2

Asignación aproximada que minimiza el costo

ni  n

N i Pi Qi / ci

N

k

(5.19)

Pk Qk / ck

N  n  n  i  1,2,3,..., L N i

i

Asignación Proporcional

(5.20)

ESTRATIFICACIÓN DESPUÉS DE SELECCIONAR LA MUESTRA N  N  y ST   I  y1   2  y 2  N   N  2

(5.21)

2

N  N  Vˆ ( y st )   1  Vˆ ( y1 )   2  Vˆ ( y 2 )  N   N 

5.22

ESTIMACIÓN DE RAZÓN Y  Y N Y  Y ny   ( X ) ; ˆY  y ( X ) ; ˆY  ( X )  ; Y   X N X  X X nx x

y

i

x

i

( x ) ;

R

y x

Estimador de la razón poblacional R: r

y x

i

(6.1) i

4

Varianza estimada de r:  N  n  1  Vˆ (r )    2  nN   x  Límite

 ( y  rx ) i

(6.2)

2

i

n 1 para el error de estimación

 ( y  rx )  i

 N  n  1  2 Vˆ (r )  2   2  nN   x 

(y

i

2

i

6.3

n 1

 rxi ) 2   yi2  r 2  xi2  2r  xi yi

(6.4)

Estimador de razón del Total Poblacional ˆ : y

n

y

ˆ y 

x

i

( x )  r x

(6.5)

i

n

Varianza estimada de ˆ : y

(y 

i

 rxi ) 2

 N  n  1  Vˆ (ˆy )   x2   2 n 1  nN   x  Límite para el error de estimación:

(6.6)

( yi  rxi ) 2     N  n  1  2 Vˆ (ˆy )  2  x2   2 n 1  nN   x  Estimador de razón de una media poblacional  y: ˆ y 

y

(6.7)

i

 xi

(  x )  r x

(6.8)

Varianza estimada de  y: ( yi  rxi ) 2    N  n 1    Vˆ ( ˆ y )   x2   2 n 1  nN   x  Límite para el error de estimación:

(y  N n

2 Vˆ ( ˆ x y )  2    nN 

i

(6.9)

 rxi ) 2

n 1

(6.10) r

y

i

 xi

(6.11)

Rˆ  r

(6.12)

ˆ y  r x

(6.13) 5

ˆ y  r x

(6.14)

 N  n  1  Vˆ (r )    2  nN   x 

 ( y  rx ) i

2

i

(6.15)

n 1

Vˆ (ˆ)   Vˆ ( r ) 2 x

(6.16)

Vˆ ( ˆ y )   x2Vˆ ( r )

(6.17)

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA 2 V (r )  B

(6.18)  N  n  1  Vˆ (r )    2  nN   x 

(y

i

 rxi ) 2

(6.19)

n 1

Se puede escribir la (6.19) como:  N  n  1  2 Vˆ (r )    2 s  nN   x 

(6.20)

 N  n  1  2 2 V (r )  2   2  B  nN   x 

(6.21)

Tamaño de muestra para estimar R, con límite B: n'

ˆ 2 

(y i 1

i

 rxi ) 2

n'1

N 2 ; n ; Nd   2

B 2  x2 D 4

(6.22)

2 V ( ˆ x )  B

(6.23)

Tamaño de muestra para estimar y con limite de error B: N 2 B2 n ; D  ND   2 4 Tamaño de muestra para estimar ˆ con límite de error B:

(6.24)

y

2 V (ˆy )  B

(6.25)

N B ; D 2 ND   4N 2  ˆ E (ˆ)    x  x ESTIMACIÓN DE RAZON EN MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO  N  y   N  y  ˆ yRS   A  A (  xA )   B  B (  xB )  N  x A   N  xB  n

2

2

nA

N  Vˆ ( ˆ yRS )   A   N  ˆ yRC

S/N y  st (  x ) xst

2

(y 

 N A  nA    N AnA 

I 1

i

 rA xi )

nA 1

nA

2

N   B   N 

2

(y 

 N B  nB    N B nB 

I 1

i

(6.26) (6.27)

S/N

 rB xi ) 2

nB  1 S/N 6

N  Vˆ ( ˆ yRC )   A   N 

2

 N A  n A  1  nA   ( yi  y A i )  rC ( xi  x A ) 2     N A n A  na  1  I 1 2

n  N   N  nB  1  A    ( yi  y B i )  rC ( xi  x B ) 22   B   B  N   N B nB  nB  1  I 1 S/N

ˆ yRS  Nˆ yRS ˆyRC  Nˆ yRC

S/N

ESTIMACION DE REGRESION Estimador de Regresión de la media poblacional  ˆ yL  y  b(  x  x ) donde: b

(y

y x

 y )( x i  x )

i

 (x

i

 i

 x)

x

2

ˆ Varianza estimada de 

2 i

i

y

(6.28)

 nyx

 nx 2

yL

  N  n  1   2 2 2 Vˆ ( ˆ yL )      ( yi  y )  b ( ( xi  x )   Nn  n  2   

(6.29)

Límite para el error de estimación   N  n  1   2 2 2 2 Vˆ ( ˆ yL )  2     ( yi  y )  b ( ( xi  x )   Nn  n  2   

Estimador de Diferencia de la media poblacional  ˆ yD  y  (  x  x )   x  d ;

Varianza estimada de

 (d  N n

Vˆ ( ˆ yD )     Nn 

i

ˆ yD

d  yx

 d )2

(6.30) y

(6.31)

(6,32)

n 1

Límite para el error de estimación

 (d  N n

2 Vˆ ( ˆ yD )  2    Nn 

i

 d )2

(6,33)

n 1

MUESTREO SISTEMÁTICO Estimación de una media y un total Poblacionales

y

i

ˆ  ysy 

(7.1)

n

Varianza estimada de y

sy

s  N n Vˆ ( y st )    n  N  2

(7.2)

Límite para el error de estimación: 7

s2  N  n  2 Vˆ ( y st )  2   n  N  2  N n V ( y)    n  N 1 

V ( yst ) 

(7.3) (7.4)

2 1  (n  1)   n

(7.5)

Estimador del Total Poblacional : ˆ  N y sy Varianza estimada de ˆ

(7.6)

 s 2  N  n  Vˆ ( Nyst )  N 2     n  N 

(7.7)

Límite para el error de estimación:  s 2  N  n  2 Vˆ ( Ny st )  2 N 2     n  N 

(7.8)

ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL Estimador de la proporción poblacional P: p sy  y sy 

y

i

(7.9)

n

Varianza estimada de psy P Q  N n Vˆ ( psy )  sy sy   n 1  N  Límite para el error de estimación P Q  N n Vˆ ( psy )  2 sy sy   n 1  N  Selección del tamaño de muestra para estimar mu:

(7.10)

(7.11)

2 V ( ysy )  B

n

(7.12)

N ; ( N  1) D   2 2

D

2

B 4

(7.13)

Selección del tamaño de muestra para estimar P con límite B: n

NPQ ( N  1) D  PQ

(7.14)

MUESTREO SISTEMATICO REPLICADO Estimador de la media poblacional µ:

ˆ 

y

i

(7.15)

ns

Varianza estimada de mu

(y  N n

i

 ˆ ) 2

(7.16)

Vˆ ( ˆ )     N  ns (ns  1)

Límite para el error de estimación:

(y  N n

i

  )2

2 Vˆ ( ˆ )  2    N  ns (ns  1)

(7.17)

8

Selección del total :

ˆ  Nˆ  N

y

i

(7.18)

ns

Varianza estimada de :

(y  N n

 ˆ ) 2

i

(7.19)

Vˆ (ˆ)  N 2    N  ns (ns  1)

Límite para el error de estimación:

(y  N n

2 Vˆ (ˆ)  2 N 2   N

 ˆ ) 2

i

(7.20)

  n s (n s  1)

MUESTREO POR CONGLOMERADOS n

y

y i 1 n

i

m

i

i 1

Estimador de la media poblacional µ: n

y

y i 1 n

i

m i 1

(8,1) i

Varianza estimada de y : n

( y  ym )   N n  i

Vˆ ( y)   2   NnM 

2

i

(8,2)

1

n 1

Límite para el error de estimación: n

( y  ym )  N  n  

2 Vˆ ( y )  2  2   NnM 

i

2

i

1

(8,3)

n 1

Estimador del total poblacional : n

My  M

y i 1 n

i

(8,4)

m i 1

i

Varianza estimada de

My :

9

n

( yi  ymi ) 2  N  n   Vˆ ( My )  M Vˆ ( y )  M   i 1 n 1  Nn  Límite para el error de estimación: 2

(8,5)

2

n

( yi  ymi ) 2  N  n   i 1 2 Vˆ ( My )  2 M 2   n 1  Nn  yt 

(8,6)

1 n  yi n 1

(8,7)

Estimador del total poblacional µ, el cual no depende de M: N n Ny t   y i n 1

Varianza estimada de

(8,8)

Ny : n

(y  N n

Vˆ ( Nyt )  N 2Vˆ ( y t )  N 2    Nn 

i

 yt ) 2

(8,9)

1

n 1

Límite para el error de estimación:

(y  N n

2 Vˆ ( Nyt )  2 N 2    Nn 

i

 yt ) 2

(8,10)

n 1

 N n  Vˆ ( y)   2 (sc2 )  NnM  n

s c2 

(y

i

 y mi ) 2

(8,11)

1

V ( y) 

n 1 N n ( c2 ) 2 NnM

(8,12)

Tamaño de muestra aproximado requerido para estimar µ con Un límite B para el error de estimación:

N c2 n ND   c2

D

B2M 2 4

(8,13)

Tamaño de muestra aproximado requerido para estimar  usando My con Un límite B para el error de estimación: N c2 n (8,14) ND   c2 B2 4N 2 Donde D

 N n 2 Vˆ ( Ny t )  N 2   st  Nn 

10

n

st2 

(y i

i

 yt ) 2

(8,15)

n 1

 N n 2 V ( Ny t )  N 2V ( y t )  N 2   t  Nn 

(8,16)

Tamaño de muestra requerido para estimar , usando Ny t con un límite B: N t2 n (8,17) ND   t2 ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL n

p

a i 1 n

i

m i 1

i

Estimador de la proporción poblacional P: n

p

a i 1 n

i

m i 1

(8,18) i

Varianza estimada de p: n

2 ( a  pm ) i i

 N n  Vˆ ( p)   2  i1  NnM  n  1

(8,19)

Límite para el error de estimación: n

2 ( a  pm ) i i

 N n  2 Vˆ ( p)  2  2  i1  NnM  n  1

(8,20)

Selección del tamaño de muestra para la estimación de proporciones

N c2 n ND   c2

n

s c2 

 (a i 1

i

 pmi ) 2

n 1 Muestreo por conglomerados con probabilidades proporcionales al tamaño m i  i M yi 1 n y 1 n M n yi M n ˆ ppt   i    yi  n n i 1  i n i 1 (mi / M ) n i 1 mi i 1 1 1 n ˆ ppt  ˆ ppt   yi M n i 1 Estimador de la media poblacional µ:

8,21

8,22

11

ˆ ppt 

1 n  yi n i 1

(8,23)

Varianza estimada de ˆ ppt : n 1 Vˆ ( ˆ ppt )   ( yi ˆ ppt ) 2 n(n  1) i 1 Límite para el error de estimación:

(8,24)

n 1  ( yi ˆ ppt ) 2 n(n  1) i 1 Estimador del total poblacional  :

2 Vˆ ( ˆ ppt )  2

(8,25)

M ˆppt  n

(8,26)

n

y i 1

i

Varianza estimada de ˆ ppt : n M2 ˆ V (ˆ ppt )  ( y i  ˆ ppt ) 2  n(n  1) i 1 Límite para el error de estimación: M2 n 2 Vˆ (ˆ ppt )  2 ( y i  ˆ ppt ) 2  n(n  1) i 1

(8,27)

(8,28)

12