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MATEMÁTICAS – FIME – E2015 C

CALCULO DIFERENCIAL

𝐷𝑥 (𝑢)𝑛 = 𝑛(𝑢)𝑛−1 𝑑𝑢 𝐷𝑥 [𝑢 ∗ 𝑣] = 𝑢𝐷𝑥 𝑣 + 𝑣𝐷𝑥 𝑢 𝑢

𝐷𝑥 [𝑣 ] =

𝐷 𝑢

𝑥 𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢] = √1−𝑢 2

𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑢] = √1−𝑢2

1 𝐷 𝑢 𝑢 𝑥

𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑢] = 1+ 𝑥𝑢2

𝐷𝑥

[𝑒 𝑢 ]

𝑢

= 𝑒 𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥

[𝑎𝑢 ]

𝑢

+𝐶

𝐧 ≠ −𝟏

∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶

𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢] = |𝑢|√𝑢2

∫

𝑑𝑢 𝑢

= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶

Propiedades: Ln (pq) = Ln p + Ln q Ln e=1 𝑝

Ln( ) = 𝐿𝑛(𝑝) − 𝐿𝑛(𝑞) 𝑞

−1

𝒆 = 𝑪𝒕𝒆. 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖

−𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑢] = |𝑢|√𝑢2

FUNCION LOGARITMICA

FUNCIONES EXPONENCIALES

−𝐷 𝑢

1 𝐷 𝑢 𝑢𝑙𝑛𝑎 𝑥

𝑢𝑛+1 𝑛+1

En donde u es una función polinomial o trascendental

𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑢] = 1+ 𝑢2

𝐷𝑥 [𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑢] =

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

−𝐷𝑥 𝑢

𝑣𝐷𝑥 𝑢−𝑢𝐷𝑥 𝑣 𝑣2

𝐷 𝑥 [𝑙𝑛𝑢] =

CAMBIO DE VARIABLE

𝑢

𝐿𝑛 1 = 0

𝐷𝑥 [𝑆𝑒𝑛𝑢] = 𝐶𝑜𝑠𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝑆𝑒𝑛ℎ𝑢] = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝐷𝑢

𝑎 Ln 𝑝𝑟 = 𝑟 𝐿𝑛 𝑝 +𝐶 ln 𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

𝐷𝑥 [𝐶𝑜𝑠𝑢] = −𝑆𝑒𝑛𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝐶𝑜𝑠ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢

∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠(𝑢) + 𝐶

𝐷𝑥 [𝑇𝑎𝑛𝑢] = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝑇𝑎𝑛ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑐ℎ2 (𝑢)𝐷𝑢

∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶

𝐷𝑥 [𝐶𝑜𝑡𝑢] = −𝐶𝑠𝑐 2 𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝐶𝑜𝑡ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ2 (𝑢)𝐷𝑢

∫ 𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢)| + 𝐶

𝐷𝑥 [𝑆𝑒𝑐𝑢] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑇𝑎𝑛𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝑆𝑒𝑐ℎ𝑢] = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢

= −ln|𝐶𝑜𝑠(𝑢)| + 𝐶

𝐷𝑥 [𝐶𝑠𝑐𝑢] = −𝐶𝑠𝑐𝑢𝐶𝑜𝑡𝑢𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [𝐶𝑠𝑐ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝐷𝑢

∫ 𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢)| + 𝐶

−1

∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =

= 𝑎 ln𝑎𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝑆𝑒𝑛ℎ−1 𝑢] = 𝐷𝑥 [ 𝐶𝑜𝑠ℎ

−1

𝑢] =

𝐷𝑥 [ 𝑇𝑎𝑛ℎ−1 𝑢] =

𝐷𝑥 𝑢 √𝑢2 + 1

𝐷𝑥 𝑢 √𝑢2 − 1

𝐷𝑥 𝑢 1 − 𝑢2

REGLAS BASICAS DE LA INTEGRACION ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑛+1 𝑛+1

∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢)| + 𝐶 +𝐶

∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢) − 𝐶𝑜𝑡 (𝑢)| + 𝐶 𝐊 = 𝐜𝐭𝐞

𝐷 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝐶𝑜𝑡ℎ−1 𝑢] = 1 −𝑥 𝑢2 −𝐷𝑥 𝑢

𝐷𝑥 [ 𝑆𝑒𝑐ℎ−1 𝑢] =

𝑢 √1−𝑢2

𝐷𝑥 [ 𝐶𝑠𝑐ℎ−1 𝑢] =

|𝑢|√1−𝑢2

−𝐷𝑥 𝑢

= ln|𝑆𝑒𝑛(𝑢)| + 𝐶

∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐(𝑢) + 𝐶

Forma equivalente de las integrales que dan como resultado HIPERBÓLICAS INVERSAS

FUNCIONES HIPERBÓLICAS ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢) + 𝐶

∫√

∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑢| + 𝐶 ∫ 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑢| + 𝐶 ∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶

𝑑𝑢 𝑢2 ± 𝑎 2

= ln (𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2 ) + 𝐶

𝑑𝑢

∫ 𝑎 2 − 𝑢2 = ∫

𝑑𝑢 𝑢

1 2𝑎

𝑎+𝑢

𝑙𝑛 |𝑎−𝑢| + 𝐶 1

√𝑎 2 ± 𝑢 2

= − 𝑎 𝑙𝑛 (

𝑎+√𝑎2 ± 𝑢2 |𝑢|

)+𝐶

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

II : Factores cuadráticos distintos. CASO III. A cada factor cuadrático (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) le 𝑆𝑒𝑛𝑛 (𝑢) 𝐶𝑜𝑠 𝑚 (𝑢)𝑑𝑢 ; ∫ corresponde una fracción de la forma En donde al menos un exponente 𝐴𝑥 + 𝐵 es entero impar positivo, utilizar: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒖) + 𝑪𝒐𝒔𝟐 (𝒖) = 𝟏 CASO IV. Factores cuadráticos repetidos. de manera similar al CASO I A cada factor cuadrático repetido (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘 le NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares corresponde la suma de k fracciones parciales de la positivos se cambia el impar menor forma:

∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ2 (𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢) + 𝐶

Forma  Sustitución  la raíz se sustituye por:

∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶

√𝑎2 − 𝑢2  u= aSen𝜃  aCos𝜃

𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝐴𝑘 𝑥 + 𝐵𝑘 + ⋯+ 2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘

∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶

√𝑎2 + 𝑢2  u= aTan𝜃  aSec𝜃

TEOREMAS DE SUMATORIAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 𝑑𝑢

∫ √𝑎2 − 𝑢2 = 𝑑𝑢

∫ 𝑎 2 + 𝑢2 =

𝑢 𝑆𝑒𝑛−1 ( ) + 𝑎

𝐶

1 𝑢 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 𝑎 𝑎

𝑑𝑢

∫ 𝑢 √𝑢2 − 𝑎2 =

1 𝑢 𝑆𝑒𝑐 −1 ( ) + 𝑎 𝑎

∫ √𝑎2 + 𝑢2 =

𝑢 𝑆𝑒𝑛ℎ−1 (𝑎 ) +

𝑑𝑢

𝑢 𝐶𝑜𝑠ℎ−1 (𝑎 ) +

∫ √𝑢2 − 𝑎2 =

𝐶

𝑑𝑢

∫ 𝑢 √𝑎2 + 𝑢2 =

−1 𝑢 𝐶𝑠𝑐ℎ−1 (𝑎 ) + 𝑎

𝐶

𝑑𝑢

−1 𝑢 𝑆𝑒𝑐ℎ−1 (𝑎 ) + 𝑎

𝐶

∫ 𝑢 √𝑎2 − 𝑢2 = 𝑑𝑢

∫ 𝑎 2 − 𝑢2 =

1

𝑢

1. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒄 𝒇(𝒊) = 𝒄 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊)

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

2. ∑𝒏𝒊=𝟏[𝒇(𝒊) ± 𝒈(𝒊)] = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) ± ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒈(𝒊)

𝑇𝑎𝑛ℎ−1 (𝑎) + 𝐶 𝑎

𝒏 3. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) = ∑𝒎 𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) + ∑𝒊=𝒎+𝟏 𝒇(𝒊) 𝒎 < 𝒏

I: Factores lineales distintos. CASO I.

4. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒄 = 𝒏𝒄

A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 (𝑢)𝑑𝑢; ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛 (𝑢)𝑑𝑢 fracción de la forma: En donde n es entero impar 𝐴 positivo

5. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊 =

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐

6. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊𝟐 =

𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏) 𝟔

𝑎𝑥 + 𝑏

𝐶

Sean m y n enteros positivos, c= constante

INTEGRAL POR PARTES

FRACCIONES PARCIALES CASOS TRIGONOMÉTRICOS

𝐶

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS 𝑑𝑢

√𝑢2 − 𝑎2  u= aSec𝜃  aTan𝜃

Expresar: CASO II: Factores lineales repetidos. 𝑆𝑒𝑛𝑛 (𝑢) = 𝑆𝑒𝑛𝑛−1 (𝑢) 𝑆𝑒𝑛 (𝑢) A cada factor lineal repetido (ax + b)𝑘 . Le 𝟐 (𝒖) Usar: 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒖) = 𝟏 −de 𝑪𝒐𝒔 corresponde la suma k fracciones parciales de la forma: 𝐶𝑜𝑠 𝑛 (𝑢) = 𝐶𝑜𝑠 𝑛−1 (𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑢) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝟐 (𝒖) Usar: 𝑪𝒐𝒔𝟐 (𝒖) + = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏 + ⋯ + 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘

7. ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊𝟑 = [

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐 ] 𝟐

SUMA DE RIEMANN 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑐𝑖 )∆𝑥 ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

, 𝑐𝑖 = 𝑎 + 𝑖 ∗ ∆𝑥

CASOS TRIGONOMETRICOS Tipo de Integral 1 2

𝑛

𝑛

∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢, ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢, 𝑛

𝑚

∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢,

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Condición donde n es un entero impar positivo donde n o m es un entero impar positivo

𝑛

∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢, ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑢 𝑑𝑢,

donde n y m son enteros pares positivos

∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑢)𝑑𝑢 ∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢

𝑆𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶𝑜𝑠 𝑢 = 1

𝑛

∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑢 𝑑𝑢,

𝑆𝑒𝑛2 𝑢 =

1−𝐶𝑜𝑠 2𝑢

𝐶𝑜𝑠 2 𝑢 =

2

1 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 2𝑢 2

donde n y m son cualquier número

𝑛

∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢

7

∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑚 𝑢 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑚 𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑢 𝑑𝑢

8

∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑚 𝑢 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑢 𝑑𝑢

𝑔 (𝑥)

Cuando el eje de revolución es horizontal 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑦)ℎ(𝑦)𝑑𝑦 𝑎

Cuando el eje de revolución es vertical 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

1

VOLUMEN / METODO DEL DISCO O ARANDELA

1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡 2 𝑢 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑢

𝑏

V= 𝜋 ∫𝑎 [(𝑅 2 (𝑥) − 𝑟 2 (𝑥)]𝑑𝑥 𝑏

V= 𝜋 ∫𝑎 [(𝑅 2 (𝑦) − 𝑟 2 (𝑦)]𝑑𝑦 LONGITUD DE ARCO

donde n es un entero par positivo donde m es un entero impar positivo

∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫𝑎 ∫𝑔 2(𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 1

2

𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = [ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) + 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)]

1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡 2 𝑢 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑢

𝑆 = ∫𝑎 √1 + [𝑓´(𝑥)]2 𝑑𝑥

1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 1 + 𝐶𝑜𝑡 2 𝑢 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑢

𝑆 = ∫𝑐 √1 + [𝑔´(𝑦)]2 𝑑𝑦

𝑏

𝑑

TRABAJO 𝒃

𝑾 = ∫𝒂 𝑭(𝒙)𝒅𝒙

CALCULO DE INTEGRALES DOBLES 𝑏

1+𝐶𝑜𝑠 2𝑢

1 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 = [ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) − 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)] 2

donde n es un entero par positivo

∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 𝑚

𝑏

𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎)]𝑑𝑦 𝑎

donde n es cualquier número entero

∫ 𝑇𝑎𝑛𝑛 𝑢 𝑑𝑢,

6

𝑎

𝑆𝑒𝑛2 𝑢 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑢 = 1

2

5

𝑏

𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)]𝑑𝑥

2

1 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 = [𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵)] 2

∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢

4

2

VOLUMEN / METODO DE CAPAS O CORTEZA

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑢 𝑑𝑢,

3

ÁREA:

Identidad útil

𝑏

𝑔 (𝑦)

∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫𝑎 ∫𝑔 2(𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 𝑆𝑒𝑛(𝑢) =

1 𝐶𝑠𝑐(𝑢)

𝐶𝑜𝑠(𝑢) =

1 𝑆𝑒𝑐(𝑢)

𝑇𝑎𝑛(𝑢) =

1 𝐶𝑜𝑡(𝑢)

Csc(𝑢) =

1 𝑆𝑒𝑛(𝑢)

𝑆𝑒𝑐(𝑢) =

1 𝐶𝑜𝑠(𝑢)

𝐶𝑜𝑡(𝑢) =

1 𝑇𝑎𝑛(𝑢)

𝑆𝑒𝑛(−𝐴) = −𝑠𝑒𝑛(𝐴) 𝐶𝑜𝑠(−𝐵) = cos(𝐵)

𝑇𝑎𝑛(𝑢) =

𝑆𝑒𝑛(𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑢)

𝐶𝑜𝑡(𝑢) =

𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑢) = 1

𝑠𝑒𝑛(0) = 0

𝑠𝑒𝑐ℎ2 (𝑢) + 𝑡𝑎𝑛ℎ2 (𝑢) = 1

𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0

3

𝑠𝑒𝑛 (2𝜋) = −1

𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑢) = 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢)cosh(𝑢)

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0

𝑠𝑒𝑛(−𝑛𝜋) = −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0

cosh(2𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑢)

𝑠𝑒𝑛 [(2𝑛 − 1) 2 ] = −(−1)𝑛 = (−1)𝑛+1

𝑐𝑜𝑡ℎ

− 𝑐𝑠𝑐ℎ

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑢) =

PITAGÓRICAS

2 (𝑢)

=1

𝜋

𝜋

𝑐𝑜𝑠(0) = 1

2tanh(𝑢)

𝐶𝑜𝑠(𝑢) 𝑆𝑒𝑛(𝑢)

𝜋

𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) = 1

𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 0

2 (𝑢)

𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑢) = 1+𝑡𝑎𝑛ℎ2 (𝑢)

FORMA DE COCIENTE

VALORES IMPORTANTES DEL SENO Y COSENO

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) = 0

𝑐𝑜𝑠(𝜋) = −1

3

𝑐𝑜𝑠 (2𝜋) = 0

𝑐𝑜𝑠(2𝜋) = 1

𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)−1 2

𝑐𝑜𝑠(2𝑛 − 1)𝜋 = −1

𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝜋) = 1

𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)+1 2

𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛

𝜋

𝜋

𝑐𝑜𝑠 [(2𝑛 − 1) 2 ] = 𝑐𝑜𝑠 [(1 − 2𝑛) 2 ] = 0

𝑆𝑒𝑛2 (𝑢) = 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑢)

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2

𝐶𝑜𝑠 2 (𝑢) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑢)

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 =

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2

𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑊𝑜𝑡) = (𝑒 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 + 𝑒 −𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 )

𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑊𝑜𝑡) =

𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑆𝑒𝑐 2 (𝑢) = 1 + 𝑇𝑎𝑛2 (𝑢) 𝑇𝑎𝑛

2 (𝑢)

𝐶𝑠𝑐

2 (𝑢)

𝐶𝑜𝑡

2 (𝑢)

= 𝑆𝑒𝑐

2 (𝑢)

−1

2

= 1 + 𝐶𝑜𝑡 (𝑢) = 𝐶𝑠𝑐

2 (𝑢)

−1

𝑐𝑜𝑠(−𝑛𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛 1 2

1 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 ) 2𝑗

LEYES DE EXPONENTES

𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑠𝑐ℎ𝑥 = 1

𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑜𝑡ℎ𝑥 = 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Cos2u = 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑢) − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑢)

𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝐻𝑖𝑝

𝐶.𝑂.

𝐶𝑜𝑡𝜃 = 𝐶.𝑂.

𝐶.𝐴.

𝑆𝑒𝑐𝜃 =

1−cos(2𝑢) 2

𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝐻𝑖𝑝

𝐶𝑜𝑠 2 (𝑢) =

1+cos(2𝑢) 2

𝑇𝑎𝑛𝜃 = 𝐶.𝐴.

𝐶.𝑂.

𝐶.𝐴.

𝐻𝑖𝑝. 𝐶.𝐴.

𝐶𝑠𝑐𝜃 =

𝐻𝑖𝑝. 𝐶.𝑂.

𝑎 𝑚

𝑎𝑚

𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

(𝑏 ) = 𝑏𝑚

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛

(𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 𝑏 𝑚

𝑎 𝑞 = √𝑎𝑝

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥𝑆𝑒𝑐ℎ𝑥 = 1 ANGULO DOBLE Sen2u= 2Sen(u)Cos(u)

𝑆𝑒𝑛2 (𝑢) =

𝑒 ±𝑗𝑛𝜋 = cos(𝑛𝜋) ± 𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)

𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚−𝑛

𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑛−𝑚

1

1

𝑚>𝑛 𝑚<𝑛

𝑝

𝑞

𝑎0 = 1

TRANSFORMADAS DE LAPLACE TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES f(t) 1

t

3

𝒆𝒂𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

6

Cos at

8

Senh at Cosh at

10 11 12 13

𝒔 ,𝒔 > 0 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐

𝒔𝟐

𝒆 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕

𝒔−𝒃 (𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐 𝒂 (𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

𝒃𝒕

𝒆 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕 𝒃𝒕

𝒆 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕

𝐹(𝑠) ℒ {∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡} = 𝑠 0

𝒔−𝒃 (𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

2 3 4

ℒ{𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛 𝐹 𝑛 (𝑠)

Primera Propiedad de Traslación ℒ −1 {𝑓(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡)

División por s 𝑡 𝑡 𝐹(𝑠) ℒ −1 { 𝑛 } = ∫ … ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 … 𝑑𝑡 𝑠 0 0

𝟏 𝒔−𝒂

5

C t 𝒕𝒏 𝒏! 𝒆𝒂𝒕

𝒔𝟐

𝟏 + 𝒂𝟐

𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒂

𝒔𝟐

𝒔 + 𝒂𝟐

Cos at

𝒔𝟐

𝟏 − 𝒂𝟐

𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕 𝒂

𝒔𝟐

𝒔 − 𝒂𝟐

Cosh at

6

Transformada Inversa de la Derivada ℒ −1 {𝐹 𝑛 (𝑠)} = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)

𝟏 𝒔𝒏+𝟏

Multiplicación por 𝐭 𝐧

𝒔 , 𝒔 > |𝑎| − 𝒂𝟐

𝒂 (𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

𝒃𝒕

𝑪 𝒔 𝟏 𝒔𝟐

1

𝑡

𝒂 , 𝒔 > |𝑎| 𝟐 𝒔 − 𝒂𝟐

𝒏 𝒂𝒕

𝒕 𝒆

Transformada de la Integral

𝟏 ,𝒔 > 𝑎 𝒔−𝒂 𝒂 ,𝒔 > 0 𝟐 𝒔 + 𝒂𝟐

𝒏! (𝒔 − 𝒂)𝒏+𝟏

9

ℒ{𝑓 (𝑛) (𝑡)} = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝐹(0) − 𝑠 𝑛−2 𝐹′(0) − ⋯ − 𝑠𝐹 (𝑛−2) (0) − 𝐹 (𝑛−1) (0)

𝒏! ,𝒔 > 0 𝒔𝒏+𝟏

𝒕𝒏

4

7

𝑪 ,𝒔 > 0 𝒔 𝟏 ,𝒔 > 0 𝒔𝟐

C

2

5

F(s)

TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALES F(s) f(t)

Transformada de la derivada

7 8 9

𝟏 (𝒔 − 𝒂)𝒏+𝟏

𝒕𝒏 𝒆𝒂𝒕 𝒏!

Teorema de Convolución o Transformada Inversa del Producto

10

𝟏 (𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒂

Si ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) 𝑦 ℒ −1 {𝐺(𝑠)} = 𝑔(𝑡), entonces:

11

𝒔−𝒃 (𝒔 − 𝒃)𝟐 + 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕

12

𝟏 (𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕 𝒂

13

𝒔−𝒃 (𝒔 − 𝒃)𝟐 − 𝒂𝟐

𝒆𝒃𝒕 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕

ℒ

−1 {𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)}

𝑡

= ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢 0

𝑡

= ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢 0

SERIES DE FOURIER ∞

1 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑[𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 sen(𝑛𝜔0 𝑡)] 2 𝑛=1

𝑇

Fórmula General

𝑎0 =

𝑇

⁄2 2 ∫ f(t) 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇⁄

𝑎𝑛 =

2

Simetría Par

𝑎0 =

Simetría Impar

Simetría de Media Onda

Simetría de un cuarto de onda Par Simetría de un cuarto de onda Impar

Serie De Fourier (FORMA COMPLEJA) 𝑇

1 ⁄2 𝐶𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇⁄ 2

∞

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡 𝑛=−∞

n= 0±1±2±3…

f(t) 𝑑𝑡

𝑎𝑛 =

𝑎2𝑛−1

𝑎0 = 0

𝑇⁄ 2

f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡

1 (𝑎 𝑏 ) 2 𝑛−𝑗 𝑛

𝐶0 =

1 𝑎 2 0

f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡

𝑏2𝑛−1 = 0

f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡

𝑏2𝑛−1

𝑎2𝑛−1 = 0

Si se conoce 𝐚𝐧, 𝐚𝟎 y 𝐛𝐧 se obtiene:

𝑏2𝑛−1

f(t)sen(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡

𝑇⁄ 2

4 = ∫ 𝑇 0

𝑇⁄ 4

8 = ∫ 𝑇 0

𝑎0 = 0

𝑏𝑛 = 0

4 𝑏𝑛 = ∫ 𝑇 0

𝑇⁄ 2

4 = ∫ 𝑇 0

𝑎2𝑛−1

2

f(t)cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡

𝑎𝑛 = 0

𝑎0 = 0

2 ⁄2 ∫ f(t)sen(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇⁄

𝑇⁄ 2

4 ∫ 𝑇 0

𝑎0 = 0

𝐶𝑛 =

𝑇

𝑏𝑛 =

2

𝑇⁄ 2

4 ∫ 𝑇 0

2 ⁄2 ∫ f(t)cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇⁄

𝑇⁄ 4

8 = ∫ 𝑇 0

f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡

Si se conoce 𝐂𝐧 , 𝐂𝟎 se obtiene: 𝑎𝑛 = 2𝑅𝑒[𝐶𝑛 ] 𝑏𝑛 = −2𝐼𝑚[𝐶𝑛 ] 𝑎0 = 2𝐶0

𝜔𝑜 =

2𝜋 𝑇