Formulas Calculo 3.docx

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 y= sin 𝑥 𝑦´ = cos 𝑥 y= cos 𝑥 𝑦´ = − sin 𝑥 y= tan x y´= sec 2 x y= cot x y´= −csc 2 x y= sec x y´= sec x. tan x y= csc x y´= − csc x. cot x derivada de un producto 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑦´ = 𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥) Derivada de un cociente 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) 𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥) 𝑦= (𝑔(𝑥))2 Integrales ∫ sin 𝑥. 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐

1 csc 𝑥 1 tan 𝑥 = cot 𝑥 1 csc 𝑥 = sin 𝑥 1 sec 𝑥 = cos 𝑥 1 cot 𝑥 = tan 𝑥 sin 𝑥 =

tan 𝑥 =

sin 𝑥 cos 𝑥

cot 𝑥 =

cos 𝑥 sin 𝑥

Formula por partes ∫ 𝜇. 𝑑𝑣 = 𝜇. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢

𝑢´ 1 + 𝑢2 −𝑢´ 𝑦 = cot −1 𝑢 𝑦´ = 1 + 𝑢2 𝑢´ 𝑦 = sec −1 𝑢 𝑦´ = |𝑢|√𝑢2 − 1 −𝑢´ 𝑦 = csc −1 𝑢 𝑦´ = |𝑢|√𝑢2 − 1 Integrales 𝑑𝑢 𝑢 ∫ = sin−1 + 𝑐 𝑎 √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 1 𝑢 ∫ 2 = tan−1 + 𝑐 2 𝑎 +𝑢 𝑎 𝑎 |𝑢| 𝑑𝑢 1 ∫ = sec −1 +𝑐 𝑎 𝑢√𝑢2 − 𝑎2 𝑎 𝑦 = tan−1 𝑢 𝑦´ =

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS DE LA FORMA ∫ sin 𝑥 𝑚 . cos 𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥

∫ cos 𝑥. 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐 2

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐 ∫ sec 𝑥. tan 𝑥. 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐 ∫ csc 𝑥. cot 𝑥. 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝑐 ∫ tan 𝑥. 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝑐 ∫ cot 𝑥. 𝑑𝑥 = ln|𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐 ∫ sec 𝑥. 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐 ∫ csc 𝑥. 𝑑𝑥 = − ln|csc 𝑥 + cot 𝑥| + 𝑐

Identidades trigonometricas → 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2

𝐼 = 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎 𝐴 = 𝐴𝑙𝑒𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑇 = 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐸 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 Division sintetica 𝐷 𝑟 =𝑐+ 𝑑 𝑑 INTEGRALES EXPONENCIALES ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐 𝑑𝑢 = ln 𝑢 + 𝑐 𝑢 1 ∫ 𝑎𝑢 . 𝑑𝑢 = . 𝑎𝑢 + 𝑐 ln 𝑎 Propiedades ln(𝑥. 𝑦) = ln 𝑥 + ln 𝑦 𝑥 ln ( ) = ln 𝑥 − ln 𝑦 𝑦 ln 𝑥 𝑦 = 𝑦. ln 𝑥 ∫

2

→ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 − 1 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥𝑐 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 1

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Derivadas 𝑢´ 𝑦 = sin−1 𝑢 𝑦´ = √1 − 𝑢2 −𝑢´ 𝑦 = cos−1 𝑢 𝑦´ = √1 − 𝑢2

Identidades sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 1 − cos 2𝑥 sin2 𝑥 = 2 1 + cos 2𝑥 cos2 𝑥 = 2 Ecucaciones diferenciasles 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑦´ =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎 → ∫

→ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑦

𝐸𝐶𝑈. 𝐷𝐼𝐹𝐸 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿𝐸𝑆

𝑦´ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)

𝜇 = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥).𝑑𝑥 𝑠𝑜𝑙 = 𝜇. 𝑦 = ∫ 𝜇. 𝑞(𝑥) 𝐸𝐶𝑈. 𝐷𝐼𝐹𝐸 𝐸𝑋𝐴𝐶𝑇𝐴𝑆 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 1) 𝑚𝑦 =

𝑛𝑥 =

2) 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑑𝑥 𝑜 𝑑𝑦 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑖𝑙

𝑓(𝑥, 𝑦) = resultado integral dx+g(y) 𝑓(𝑥, 𝑦) = resultado integraldy=+g(x) 3)derivar respecto a g(y) o g(x) 4)𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 5)𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 6)𝑠𝑜𝑙 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑐