Formulari.pdf

Moment d’un vector ! M ! o: Vector moment V! : Vector del que calculem el moment r : Vector posició de V respecte l’origen ! ! ! Moment d’un vector respecte un punt: M = r × V o

! ! Vectors ! ! Producte escalar: a ⋅ b =| a || b | cosθ = ax bx + ayby + az bz

!" rot A =

" j

" k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

Ax

Ay

Az

! j

! k

Producte vectorial: a × b =| a || b | sin θ = ax !

ay

az

bx

by

bz

!

!

! !

! àrea =| a × b |

Camps vectorials ! !!!!" ⎛ ∂φ ∂φ ∂φ ⎞ Sigui 𝜙 un camp escalar: gradφ = ∇φ = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ !" " !" ∂Ax ∂Ay ∂Az Sigui A un camp vectorial: divA = ∇·A = + + ∂x ∂y ∂z " i

! i

! an

T=

t

! ! ! v(t) = v0 + ∫ a(t ')dt '

[!!!] F − Px < Ff ⇒ a = 0 ! Ff ≥ F ⇒ v = 0

Moviment vibratori harmònic simple x(t) = Asin(ω t + ϕ 0 ) F = −kx ! dx(t) ! k = mω 2 v(t) = dt ! dv(t) ! a(t) = = −ω 2 x(t) dt

t0

f=

v = ω ·r MCU ω = const.

! v

! an

! at

1 T

! ! v2 an = = ω 2r r ! d |v | at = an ·r = dt

! | aT |= at2 + an2

MCUA

1 s(t) = s0 + v0t + aT t 2 2 1 ϕ (t) = ϕ 0 + ω 0t + α t 2 2 dϕ (t) ω (t) =

Moviment oscil·lant harmònic simple

dt dω (t) α (t) = dt ! at = α r

(molla) F = −kx 1 2 kA cos 2 (ω t + ϕ 0 ) 2 1 Epe = kA 2 sin 2 (ω t + ϕ 0 ) 2 Ec =

s = ϕ ·r

Treball d’una força constant W = FΔx cosθ

ΔEM = 0

En cas contrari ΔE M = WFNC Moment lineal !" d p !" = F ext dt !" " p = m⋅v

1 W = m(v22 − v12 ) = ΔEc 2

Ff = 0 ⇒ EM = cnt.

2 1

E M = Ec + E p 1 2 mv 2 E pg = mgh Ec =

1 E pe = kΔx 2 2

dW !" " P= = F ⋅v dt dU(x) F(x) = − dx !"

el treball entre dos punts és igual a l’increment d’energia cinètica entre aquests dos punts

W12 = U1 − U 2 = ΔU la diferència d’energia potèncial entre dos punts és igual al treball per desplaçar-se entre aquests dos punts | at (t) |=

F=0 d 2U(x) estable ⇔ >0 dx 2 d U(x) innestable ⇔ <0 dx

F = −ΔU

Fg = −G

m1 ·m2 R2

!" " W = ∫ F ⋅ dr 2

2 1

1c

Potencial gravitatòri: φ (r) =

EP (r) m

Com que és conservativa, es ⇒ E = −G· Mm p R conserva el moment cinètic V.aeorolar: Va = πr² / T = L/2m intensitat del camp grav en una closca

! M! g = −G 2 u R

a l’interior g = 0

d | v(t) | dt

Equilibri

Fconservativa ⇔ rot F = 0

Moment 2d’inercia ⋅r !I" = m !" L = I ⋅ω

1 ⇒ E = kA 2 2

ω=

g L

L

Sistemes de partícules Teorema de conservació del moment lineal: ! !

Treball i energia

Si totes les forces són conservatives

k m

ω=

ω 2 = ω 02 + 2αϕ

at = const.

W f = −Ff Δx

Ff = µ ·N

! ! ! v 2 − v02 = 2 aΔx

t0

2π ω

∑ F = m·a

Cinemàtica ! dr (t) ! 1 MRUA : x0 + v0t + at 2 v(t) = dt 2 ! t dv(t) ! ! ! ! a(t) = r (t) = r0 + ∫ v(t ')dt ' dt

Moviment circular Longitud d’un arc de circunferència: L= 𝜃·r

! v

Moviment rectilini uniformement accelerat

intensitat en un cos sòlid interior (perforar la terra) ! M ! g = −G 3 r 'u = −kr R MHS : ω = k / m

Fext = 0 ⇔ P = cnst

Centre de masses (depèn de Fs externes) ∑ mi ⋅ ri (t) Rc = ! ! ∑ mi Fext = 0 ⇒ VCM = cnst ∑ mi ⋅ vi (t) Vc = ∑ mi

!"

" !"

Moment angular (cinètic): L = r × p = r ⋅ m ⋅ v ⋅sin α

!" d L " !" " " = r × F = m ⋅(r × a) dt

!

Col·lisions Δp = 0 Xoc elàstic: s’enganxen ΔEc = 0 Efecte compton: hc λ ! h p= λ

Ec =

c = 3·108m h = 6.6252·10-34Js 𝜆 = long. de l’ona

Gravitació Lleis de Kepler: 1) Tots els planetes es mouen en òrbites el·líptiques al voltant del Sol en un dels focus. 2)La línia q uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals per 2 3 a temps iguals. 3)On a = dist mitj del Sol T = ca

! Lcnst ⇒ Moviment al pla (x,y) i |L| cnst E(r) =

1 2 L Mm µr + −G = cnst 2 2 µr 2 r

2 3 T 2 = 4π R GM

On L2 Mm −G = U ef (r ) 2 µr 2 r Mm µ= M +m

! qq ! ! Fe = K ! 1 !2 3 (r2 − r1 ) | r2 − r1 | K = 8.99 ⋅10 9 Nm 2 / C 2 Llei de Gauss:

! ! 1 ∫ E ⋅ ds = qint ε0

ε0 =

1 4π K

Per closques:

! ! ∫ E ⋅ ds = E ⋅ 4π r 2

i signe igual que el total de càrrega

Electromagnetisme