Formulario Segundo Parcial (mat-101).pdf

UMSA

Facultad de Ingeniería

2do. PARCIAL

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO BASICO I/2019

MAT-101

FORMULARIO SEGUNDO PARCIAL AUX. UNIV.RUDDY LLANQUI CONDORI MG.SC.ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUERTA DERIVABILIDAD Y DEFINICION -Derivabilidad. Para que exista

y0 '  f ' x0  

dy debe cumplir dx x x0

 u  ' u ' v  uv ' ;v0    v2 v Derivada Enésima de un Producto (Fórmula de Leibniz).

f x0 

Continuidad.

Derivada de un Cociente.

 n

 uv 

L  lim f x   lim f x  

 

x0 0

x0 0

0

  0

L  f x0 

REGLA DE LA CADENA

Si u  uv , v  v x funciones.

Derivabilidad f ' x   f ' x   lim

  0

  0

f x  h  f x0 



0

h 0



h

 lim

u' 

f x  h  f x0 



0

h 0



h

  Si y  f x entonces y  n

y  f x entonces:

Derivada de primer orden. y' 

du du du dv v'    dv dx dv dx

DERIVADA ENESIMA

-Definición

Si:

n     u  n  k  v k  k 0  k  n

f x  h   f x  dy  lim dx h0 h

i.

Generalizaciones conocidas.  n a! xa  x a n  a  n !

 

Derivada de una Constante.  k  '  0

iii.

 a   a  ln a    e   a e

Derivada de una Suma.

iv.

 ln x     1

PROPIEDADES DE LA DERIVADA

Si u  u x , v  v x funciones y k constante.

 u  v  '  u ' v ' Derivada del Producto de una Función y una Constante.

 ku  '  k  u ' Derivada de un Producto.

ii.

v. vi.

dny dx n

x

 n

ax

n

x

n

n ax

n

n 1

 n 1!

xn n sen  ax     an sen  x  n2    n  cos  ax    an cos  x  n2   

 uv  '  u ' v  uv '

UNIV. RUDDY LLANQUI CONDORI

Página 1

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dy dy dt xt  y'    dx dx yt  dt TABLA DE DERIVADAS

xi. xii.

vi.

senh u  '  cosh u  u '  cosh u  '   senh u  u '  tgh u  '  sech2 u  u '  csch u  '   csch u  ctgh2 u  u ' sech u  '  sech u  tgh u  u '  ctgh u  '   csch 2 u  u '

vii.

 arcsenh u  ' 

viii.

 arccosh u  ' 

i. ii. iii.

Logaritmos y exponenciales.

iv.

ii. iii. iv.

u  '  au u ' e  '  e u '  a  '  a ln  a  u ' u  '  u  v 'ln u  v uu'  a 1

a

u

u

v

u

u

1 u' u

 ln u  ' 

vi.

 loga u  ' 

ix.

1 u' u ln  a 

x.

Trigonométricas

vi.

sen u  '  cos u  u '  cos u  '   sen u  u '  tg u  '  sec2 u  u '  csc u  '   csc u  ctg2 u  u ' sec u  '  sec u  tg u  u '  ctg u  '   csc2 u  u '

vii.

 arcsen u  ' 

i. ii. iii. iv. v.

viii. ix. x.

v.

v

v.

 arccos u  '  

1 1 u2 1

xi. xii.

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u'

u' u2 1 1  arctgh u  '  2 u ' 1 u 1  arccsch u  '   2 u ' u u 1 1 u'  arcsech u  '   u 1 u2 1  arcctgh u  '  2 u ' 1 u

entonces c / a  c  b . i. Teorema de Rolle.

f a  fb  f 'c  0 Teorema de la Media.

fb   f a 

u'

1 u' 1 u2 1  arccsc u  '   2 u ' u u 1

1 u2 1

Sea f x y g x  continuas y derivables en  a, b

ii.

 arctg u  ' 

1

TEOREMAS DE LAS DERIVADAS

u'

1 u2

u' u u2 1 1  arcctg u  '   2 u ' 1 u

Hiperbólicas

Si u  u x , v  v x funciones y a constante. i.

1

 arcsec u  ' 

DERIVADA PARAMETRICA

Si x  xt  , y  yt  entonces:

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ba iii.

 f 'c

Teorema de Lagrange.

f b   f a  g b   g  a 



f 'c g 'c Página 2

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APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.

Recta Normal.

ANALISIS DE GRAFICOS

Criterio de la Primera Derivada. Curva Creciente ó Decreciente. Si f ' x  0 entonces f  xS  es Creciente

2do. PARCIAL

LN : y  y0   iii.

.

Si f ' x  0 entonces f  xS  es Decreciente

Segmento Tangente.

T

.

Puntos Críticos.

iv.

f ' x  0  xi

N  y0 1   y0 ' v.

Si f '' xi   0 entonces f xi   Máximo Local.

ST  vi.

S N  y0  y0 ' REGLA DE L’HOPITAL

Si L  lim x a

f x  g x 

0  donde L   L  entonces: 0 

L  lim

f '' x  0  xk

x a

o viceversa. ANALISIS DE GRAFICOS

Sea y0 '  f ' x0   y

dy y y0  f x0  . dx x  x0

LN

LT N

T

g ' x

METODO NUMERICO DE NEWTON RAPHSON

Si f x  0 es una ecuación implícita y x0 es un valor inicial aproximado.

xn1  xn 

f xn  f ' xn 

; n  0,1, 2,3,...

1.1.1. Velocidad de una Partícula. x0

ST

x

SN

α

i.

f ' x

1.1. Cinemática. Sea xt  es el desplazamiento de una partícula.

y=f(x)

y0

y0 y0 '

Segmento Subnormal.

Puntos de Inflexión.

xk  Puntos de Transición de Cóncava a Convexa

2

Segmento Subtangente.

Si f '' x  0 entonces f  xS  es Convexa  . Máximos y Mínimos Locales. Si f '' xi   0 entonces f xi   Mínimo Local.

y0 2 1   y0 ' y0 '

Segmento Normal.

xi  Puntos de Transición de Creciente a Decreciente o viceversa. Criterio de la Segunda Derivada. Curva Cóncava ó Convexa. Si f '' x  0 entonces f  xS  es Cóncava  .

1  x  x0  y0 '

Recta Tangente.

LT : y  y0  y0 '  x  x0   m  tg   y0 '

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vt   xt  

dx dt

1.1.2. Aceleración de una Partícula. d 2x at   xt   2 dt

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