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MATEMÁTICAS. 1.- ÁLGEBRA

1.- Suma de Números 



Cantidades con signos iguales: se suman y se escribe el signo que tengan ambas. 3+4=7 -3-4=-7 Cantidades con signos diferentes se restan y se escribe el signo de la de mayor valor absoluto. -5+2=-3 -2+5=3

2.- Multiplicación de números positivos y negativos. (+)*(+)=(+) (-)*(-)=(+)

(+)*(-)=(-) (-)*(+)=(-)

3.-Cuadrado de un Binomio. (a+b)2=a2+2ab+b2

4.-Cubo de un binomio. (a+b)3=a3+ 3a2b+3ab2 b3

5.-Producto de Binomios conjugados. (a+b)(a-b)= a2-b2

6.- Cuadrado de un Trinomio. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

7.- Factorización por factor común. bx+by+bz=b(x+y+z)

8.- Factorización de un TCP a2±2ab+b2=(a±b)2

9.- Factorización por Agrupación. ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)

10.-Factorización de un Trinomio No Cuadrado Perfecto, de la forma x2+bx+c x2+bx+c=(x+m)(x+n)

11.- Factorización de una suma de cubos. 𝑎3 ± 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

12.- Suma de Fracciones. 𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑐𝑏 + = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑

13.- Multiplicación de Fracciones. 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ∗ = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑

14.- División de Fracciones. 𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + = 𝑏 𝑑 𝑏𝑐

Regla de la Herradura.

15.- Leyes de Exponentes. a) 𝑥 𝑚 ∗ 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚+𝑛 b)𝑥 𝑚 ⁄𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚−𝑛 c)(𝑥 𝑚 )𝑛 = 𝑥 𝑚𝑛 𝑛

d) √𝑥 𝑚

=𝑥

e) (𝑥𝑦)𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 f)(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 g)𝑥 0 = 1 h)(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3

𝑚 𝑛

16.- Leyes de Radicales. a)

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

√𝑎 ∗ √𝑏 ∗ √𝑐 = √𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 𝑛

b) c) d) e)

√𝑎

𝑛

√𝑏

𝑛

𝑎

= √ 𝑏

𝑛

√𝑎 𝑛 = 𝑎

𝑛 𝑚

√ √𝑎 = 𝑎𝑚𝑛 𝑛 𝑛 ( √𝑎𝑚 )𝑟 = √𝑎𝑚𝑟

17.- Binomio de Newton y Triangulo de Pascal. Para un binomio a la n potencia: Coeficientes: 0

1

1

1

2

1

3

5

2

1

4

1

3

1 1

1

4

3 6

5

1 4

10

10

1 5

1

Exponentes: (a+b) n=an+an-1b1+an-2b2+an-3b3+…+bn

18.- Ecuación de segundo grado. a) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥=

Ecuación Completa

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

b) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0

Ecuación Incompleta

𝑥1 = 0

𝑥2 = −

c)𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0

𝑏 𝑎

Ecuación incompleta

𝑥 = ±√

−𝑐 𝑎

2.- TRIGONOMETRÍA 1.-Teorema de Pitágoras 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2

2.-Conversión de Grados a Radianes 𝑠 𝑅 = 180° 𝜋

S=grados R=Radianes

3.- Funciones Trigonométricas. 𝐶𝑎𝑡. 𝑂𝑝 𝐻𝑖𝑝. 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑. cos 𝜃 = 𝐻𝑖𝑝. 𝐶𝑎𝑡. 𝑂𝑝 tan 𝜃 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑. sin 𝜃 =

𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑. 𝐶𝑎𝑡. 𝑂𝑝. 𝐻𝑖𝑝. sec 𝜃 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑. 𝐻𝑖𝑝. csc 𝜃 = 𝐶𝑎𝑡. 𝑂𝑝. cot 𝜃 =

4.-Funciones Reciprocas. 1 csc 𝐴 1 cos 𝐴 = sec 𝐴 . 1 tan 𝐴 = cot 𝐴 sin 𝐴 =

1 tan 𝐴 1 sec 𝐴 = cos 𝐴 1 csc 𝐴 = sin 𝐴 cot 𝐴 =

5.- Funciones Complementarias. Si los ángulos A+B=90° sin 𝐴 = cos 𝐵 cos 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 tan 𝐴 = cot 𝐵

6.- Ley de Senos. 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶

cot 𝐴 = tan 𝐵 sec 𝐴 = csc 𝐵 csc 𝐴 = sec 𝐵

7.- Ley de Cosenos. 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 ∗ cos 𝐶 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 cos 𝐶 = 2𝑎𝑏

8.-Identidades Trigonométricas. 1.- sin 𝐴 ∗ csc 𝐴 = 1

9.- sin2 𝐴 =

2.- cos 𝐴 ∗ sec 𝐴 = 1

2

10.- cos 𝐴 =

3.- tan 𝐴 ∗ cot 𝐴 = 1 4.- tan 𝐴 =

1−cos2 𝐴

11.- tan 2𝐴 =

sin 𝐴

2 1+cos2 𝐴 2 2 tan 𝐴 1−tan2 𝐴 cot2 𝐴−1

12.- cot 2𝐴 = 2 cot 𝐴 13.sin 2𝐴 = 5.- cot 𝐴 = sin 𝐴 2 sin 𝐴 ∗ cos 𝐴 2 2 14.- cos 2𝐴 = 6.- sin 𝐴 + cos 𝐴 = 1 cos 2 𝐴 − sin2 𝐴 7.- 1 + tan2 𝐴 = sec 2 𝐴 15.- cos 2𝐴 = 1 − sin2 𝐴 8.- 1 + cot 2 𝐴 = csc 2 𝐴 16.- cos 2𝐴 = 2 cos 2 𝐴 − 1 17.-sin 𝑚𝐴 ∗ cos 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (sin(𝑚 + 𝑛) 𝐴 + sin(𝑚 − 𝑛) 𝐴) 18.- sin 𝑚𝐴 ∗ sin 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (cos(𝑚 + 𝑛) 𝐴 − cos(m − n)𝐴) 19.- cos 𝑚𝐴 ∗ cos 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (cos(𝑚 + 𝑛) 𝐴 + cos(𝑚 − 𝑛) 𝐴) 20.-sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 ∗ cos 𝐵 ± cos 𝐴 ∗ cos 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐴

21.- cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 ∗ cos 𝐵 ± sin 𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵 22.-tan(𝐴 ± 𝐵) = 23.- cot(𝐴 ± 𝐵) =

tan 𝐴±tan 𝐵 1±tan 𝐴∗tan 𝐵 cot 𝐴∗cot 𝐵±1 cot 𝐵±cot 𝐴

24.- sin2 𝐴 = 1⁄2 cos 2𝐴 25.- 𝐴2 = (asin 𝐵)2 + (acos 𝐵)2 1

1

26.-cos 2 𝐴 = + cos 2𝐴 2 2 cot(−𝑥) = − cot 𝑥 27.-sin(−𝑥) = − sin 𝑥 cos(−x) = cos x sec(−𝑥) = sec 𝑥

tan(−𝑥) = − tan 𝑥 𝑥 28.-2 sin2 = 1 − cos 𝑥

2 2𝑥 29.-2 cos 2

csc(−𝑥) = − csc 𝑥 𝑥 1−cos 𝑥 30.-tan = 2 𝑥

= 1 + cos 𝑥

31.-cot = 2

1

1

sin 𝑥 1∓cos 𝑥 sin 𝑥

32.- sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 + 𝑦) ∗ cos (𝑥 − 𝑦) 2 1

2 1

2 1

2 1

33.-sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 cos (𝑥 + 𝑦) ∗ cos (𝑥 − 𝑦) 34.- cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos (𝑥 + 𝑦) ∗ cos (𝑥 − 𝑦) 2 1

2 1

2

2

35.-cos 𝑥 − cos 𝑦 = − 2 sin (𝑥 + 𝑦) ∗ cos (𝑥 − 𝑦)

9.-En gráficas de Funciones Trigonométricas. 0𝑅 = 0° 𝜋 = 90° 2

𝜋 = 180° 3𝜋 = 270° 2

4.- LOGARITMOS 1.- log 𝐴𝐵 = log 𝐴 + log 𝐵 𝐴 2.- log = log 𝐴 − log 𝐵 𝐵 3.- log 𝐴𝑛 = 𝑛 ∗ log 𝐴 log 𝐴 𝑛 4.- log √𝐴 = 𝑛 5.- log a 1 = 0 6.- log a 0 = ∞ 7.- log a 𝑎 = 1 8.- ln 𝑒 𝑥 = 𝑥 9.- 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 10.- log b 𝑁 = 𝑥 ∴ 𝑁 = 𝑏 𝑥 11.- ln 𝐴 = 2.3 log 𝐴 ln 𝐴 = log e 𝐴 𝑒 = 2.1782 … log 𝑥 12.- log10 𝑥 = 13.- ln 𝑥 = 14.- 𝑒

− ln 𝑥

log 10 log10 𝑥 log10 𝑒 1

=

𝑥

2𝜋 = 360°

3.- GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.-Distancia Entre 2 Puntos. 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

2.- División de un Segmento. 𝑥=

𝑥1 + 𝑟𝑥2 𝑟+1

𝑦=

𝑦1 + 𝑟𝑦2 𝑟+1

3.-Punto Medio. 𝑥=

𝑥1 + 𝑥2 2

𝑦=

𝑦1 + 𝑦2 2

4.-Pendiente de una Recta. 𝑚 = tan 𝜃

𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

5.-Rectas Paralelas. 𝑚1 = 𝑚2

𝜃 = tan−1 𝑚

6.- Rectas Perpendiculares. 𝑚1 = −

1 𝑚2

𝑚2 = −

1 𝑚1

7.-Ángulo Entre dos Rectas. tan 𝛼 =

𝑚2 − 𝑚1 1 + 𝑚2 ∗ 𝑚1

8.-Ecuación de la Recta. a)Rectas paralelas a los ejes b)Ecuación dos puntos c)Ecuación Punto Pendiente d) Ecuación Pendiente O. origen. e) Ec. O. y abscisa al origen. f) Ec. General de la

𝑥 =𝑘o𝑦 =𝑘 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Recta 𝐴 𝑚=− 𝐵

𝑏=−

𝐶 𝐵

𝑐=−

𝐶 𝐴

9.-Distancia de un Punto a una Recta. 𝑑=

𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2

10.-Ecuación de la Circunferencia. a) Centro en el Origen b) Centro fuera del Origen

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

11.-Ecuación de la Parábola. a)Vértice en el Origen 𝑦 = 𝐶𝑎𝑥 𝑥 2 = 𝐶𝑎𝑦 b)Vértice fuera del Origen 2 (𝑦 − 𝑘) = ±𝐶𝑎(𝑥 − ℎ) (𝑥 − ℎ)2 = ±𝐶𝑎(𝑦 − ℎ) 2

12.-Ecuación de la Elipse. a)Centro en el Origen 2

2

𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥2 𝐸𝐻 = 2 + 2 = 1 𝐸𝑉 = 2 + 2 = 1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 b)Centro fuera del Origen (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 𝐸𝐻 = + 𝐸𝑉 = + 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 =1 =1

13.- Ecuación de la Hipérbola. a)Centro en el Origen 2

2

𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥2 𝐸𝐻 = 2 − 2 = 1 𝐸𝑉 = 2 − 2 = 1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 b)Centro fuera del Origen (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 𝐸𝐻 = − 𝐸𝑉 = − 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 =1 =1

14.-Lados Rectos y Excentricidad. Parábola: Elipse:

𝐿𝑟 = 4𝑎; 𝑒 = 1 2𝑏 2 𝑐 𝐿𝑟 = ;𝑒 = ;𝑒 < 1 𝑎 𝑎

2𝑏 2 𝑐 𝐿𝑟 = ;𝑒 = ;𝑒 > 1 𝑎 𝑎

Hipérbola:

15.-Ecuación General de 2° Grado. 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Representa: Elipse si: −𝐴𝐶 < 0 Parábola si: -AC=0 Hipérbola si: -AC>0 2 2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Representa: Elipse si: 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 Parábola si: 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 Hipérbola si: 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0

Extra: Algunas Funciones Trigonométricas es posible encontrarlas como: arcsin 𝜃 = sin−1 𝜃 = asin 𝜃 arccos 𝜃 = cos −1 𝜃 = acos 𝜃 arctan 𝜃 = tan−1 𝜃 = atan 𝜃 arccot 𝜃 = cot −1 𝜃 = acot 𝜗 arcsec 𝜗 = sec −1 𝜃 = asec 𝜃 arccsc 𝜃 = csc −1 𝜃 = acsc 𝜃

5.- CÁLCULO DIFERENCIAL

1.-Regla General de Derivación. 1.

Dar un Incremento a X. 2. Calcular ∆𝑦. 3. 4.

Dividir,

∆𝑦 ∆𝑥

.

Calcular: lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

2.-Infinitos. 𝑐 =∞ 0 𝑐∗∞=∞

𝑐 =0 ∞

∞ =∞ 𝑐 0 =0 𝑐

3.-Fórmulas de Derivadas. 𝑑(𝑎𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑(𝑐) =0 𝑑𝑥 𝑑(𝑎𝑥) =𝑎 𝑑𝑥 𝑑(𝑢 + 𝑣 + 𝑧) 𝑑𝑥

𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑧 + + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑐 ∗ 𝑣) 𝑑𝑣 =𝑐∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑢 ∗ 𝑣) 𝑑𝑣 𝑑𝑢 =𝑢∗ +𝑣∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑( ) 𝑣 ∗ −𝑢∗ 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑣 𝑑(𝑢𝑛 ) 𝑑𝑢 = 𝑛 ∗ 𝑢𝑛−1 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

1

𝑑𝑥 𝑑𝑦

para x=f(y)

𝑑 √𝑣 1 𝑑𝑢 = ∗ 𝑑𝑥 2√𝑣 𝑑𝑥

=

𝑑(𝑢 ∗ 𝑣 ∗ 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑣 =𝑢∗𝑣∗ +𝑢∗𝑧∗ +𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 ∗𝑧∗ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑦 para y=f(u); u=f(y)

4.- Derivadas Trigonométricas 1.2.-

5.6.-

𝑑𝑥

𝑑(cos 𝑣) 𝑑𝑥

3.4.-

𝑑(sin 𝑣)

𝑑(tan 𝑣 𝑑𝑥

𝑑(cot 𝑣) 𝑑𝑥

𝑑(sec 𝑉) 𝑑𝑥

𝑑(csc 𝑣) 𝑑𝑥

= cos 𝑣 ∗

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= − sin 𝑣 ∗ = sec 2 𝑣 ∗

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= − csc 2 𝑣 ∗

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= sec 𝑣 ∗ tan 𝑣 ∗

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= − csc 𝑣 ∗ cot 𝑣 ∗

𝑑𝑣 𝑑𝑥

5.- Derivadas Exponenciales. 1.-

𝑑(𝑎𝑣 ) 𝑑𝑣 = 𝑎𝑣 ∗ ln 𝑎 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥

2.-

𝑑(𝑒 𝑣 ) 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥

6.- Derivadas Logarítmicas. 1.-

𝑑(ln 𝑣) 𝑑𝑥

=

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝑣

2.-

𝑑(log 𝑣) 𝑑𝑥

=

𝑑𝑣 𝑑𝑥

𝑣

∗ log 𝑒

7.- Derivadas Trigonométricas Inversas. 1.2.3.4.5.-

𝑑𝑣 𝑑(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑣) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑣 2 𝑑𝑣 − 𝑑(arccos 𝑣) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑣 2 𝑑𝑣 𝑑(arctan 𝑣) = 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 1+𝑣 𝑑𝑣 − 𝑑(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡 𝑣) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 1 + 𝑣2 𝑑𝑣 𝑑(arcsec 𝑣) = 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √𝑣 2 − 1

6.-

𝑑𝑣 𝑑(arccsc 𝑣) = 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √𝑣 2 − 1

8.-Máximos y Mínimos.

*Criterio de la primera derivada para obtener los máximos y mínimos de una función* a) b)

Es un máximo la función que pasa de CRECIENTE a DECRECIENTE, es decir el valor de la derivada de la función, pasa de POSITIVA a NEGATIVA. Es un mínimo la función que pasa de DECRECIENTE a CRECIENTE, es decir, el valor de la derivada de la función, pasa de NEGATIVA a POSITIVA.

De lo anterior tenemos una guía para obtener los MÁXIMOS y MÍNIMOS de una Función f(x): 1. Hallar la primera derivada de la Función. 2. El resultado anterior igualarlo a 0 y resolvemos la ecuación resultante. Las soluciones obtenidas son los valores críticos, para los cuales la función, puede tener un MÁXIMO, MÍNIMO o NINGUNO de los dos.

6.- CÁLCULO INTEGRAL

1.- Fórmulas de Integrales. 1.- ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 + ∫ 𝑑𝑤 2.- ∫ 𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣 3.- ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝑣 𝑛+1

4.- ∫ 𝑣 𝑛 𝑑𝑣 = 𝑛+1 + 𝑐 5.- ∫ 𝑣 −1 𝑑𝑣 = ln|𝑣| + 𝑐 𝑎𝑣

𝑣

6.- ∫ 𝑎 𝑑𝑣 = ln 𝑎 + 𝑐 7.- ∫ 𝑒 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑣 + 𝑐 8.- ∫ sin 𝑣 𝑑𝑣 = − cos 𝑣 + 𝑐 9.- ∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 = sin 𝑣 + 𝑐 10.-∫ sec 2 𝑣 𝑑𝑣 = tan 𝑣 + 𝑐 11.- ∫ csc 2 𝑣 𝑑𝑣 = − cot 𝑣 + 𝑐 12.- ∫ sec 𝑣 ∗ tan 𝑣 𝑑𝑣 = sec 𝑣 + 𝑐 13.- ∫ csc 𝑣 ∗ cot 𝑣 𝑑𝑣 = − csc 𝑣 + 𝑐 14.- ∫ tan 𝑣 𝑑𝑣 = − ln|cos 𝑣| + 𝑐 15.- ∫ cot 𝑣 𝑑𝑣 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑣| + 𝑐 16.- ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑣 = ln|sec 𝑣 + tan 𝑣| + 𝑐 17.- ∫ csc 𝑣 𝑑𝑣 = ln|csc 𝑣 − cot 𝑣| + 𝑐 𝑑𝑣

1

𝑑𝑣

1

𝑣

18.- ∫ 𝑣 2 +𝑎2 = 𝑎 arctan 𝑎 + 𝑐 𝑣−𝑎

19.- ∫ 𝑣 2 −𝑎2 = 2𝑎 ln |𝑣+𝑎| + 𝑐 20.-∫

𝑑𝑢

𝑑𝑣

𝑢

= ln 𝑢 + 𝑐 1

𝑎+𝑣

21.- ∫ 𝑎2 −𝑣 2 = 2𝑎 ln |𝑎−𝑣| + 𝑐 22.- ∫

𝑑𝑣

√𝑎2 −𝑣 2

𝑣

= arcsin + 𝑐 𝑎

23.- ∫

𝑑𝑣 √𝑣 2 ±𝑎2

= ln |𝑣 + √𝑣 2 ± 𝑎2 | + 𝑐 𝑎2

𝑣

𝑣

24.- ∫ √𝑎2 − 𝑣 2 𝑑𝑣 = 2 √𝑎2 − 𝑣 2 + 2 arcsin 𝑎 + 𝑐 2 25.- ∫ √𝑎2 ± 𝑣 2 𝑑𝑣 = 𝑣2 √𝑎2 ± 𝑣 2 ± 𝑎2 ln |𝑣 + √𝑣2 ± 𝑎2 | + 𝑐 1

1

1

1

26.- ∫ sin2 𝑣 𝑑𝑣 = 2 𝑣 − 4 sin 2𝑣 + 𝑐 27.- ∫ cos 2 𝑣 𝑑𝑣 = 2 𝑣 + 4 sin 2𝑣 + 𝑐 1

𝑛−1

28.- ∫ sinn 𝑣 = 𝑛 sinn−1 𝑣 ∗ cos 𝑣 + 𝑛 ∫ sinn−2 𝑣 𝑑𝑣 29.- ∫ cosn 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑛1 cosn−1 𝑣 ∗ sin 𝑣 + 𝑛−1 ∫ cos n−2 𝑣 𝑑𝑣 𝑛 n

30.- ∫ tan 𝑣 𝑑𝑣 =

tann−1 𝑣

31.- ∫ cot n 𝑣 𝑑𝑣 = −

𝑛−1

− ∫ tann−2 𝑣 𝑑𝑣

cotn−1 𝑣 𝑛−1

− ∫ cot n−2 𝑣 𝑑𝑣

2.- Integrales Elementales. 𝑢

*En determinadas integrales de la forma ∫ 𝑑𝑥 𝑣

1.

Cuando el exponente de x en el denominador es mayor en uno, al del numerador, se sube u y se integra v, para aplicar la fórmula 4 o 5. 2. Cuando x tiene igual exponente arriba y abajo, se suma el término independiente, arriba y se resta también abajo. 3. Cuando el exponente de x es mayor arriba, se hace una división como 𝑥 + 2⁄ . 𝑥3 4. En ocasiones hay que formar o completar un trinomio cuadrado perfecto.

3.- Métodos de Integración. 1)

Integrales de la forma: ∫ sinn 𝑥 𝑑𝑥 y de ∫ n 𝑥 𝑑𝑥 a) Cuando n es par: Se usan las identidades: 1 − cos 2 𝐴 1 + cos 2 𝐴 2 2 sin 𝐴 = ; cos 𝐴 = 2 2 b) Cuando n es impar: Se usa la identidad: sin2 𝐴 + cos 2 𝐴 = 1

2) Integrales de la forma : ∫ tann 𝑣 𝑑𝑣; ∫ cot n 𝑣 𝑑𝑣 Siempre se separa una tan2 𝑣 o una cot 2 𝑣 para sustituir la identidad: 1 + tan2 𝐴 = sec 2 𝐴 o bien 1 + cot 2 𝐴 = csc 2 𝐴 y se aplica la fórmula 4. 3) Integrales de la forma: ∫ sinm 𝑣 ∗ cos n 𝑣 𝑑𝑣 a) Cuando m o n es impar: Se descompone el exponente impar para obtener un sin 𝑥 o un cos 𝑥, se utiliza la identidad sin2 𝐴 + cos 2 𝐴 = 1 y se aplica la fórmula 4. b) Cuando m y n son pares: se aplican las identidades: sin2 𝐴 =

1−cos2 𝐴 2

𝑦 cos 2 𝐴 =

1+cos2 𝐴 2

sustituyéndose ambas a la vez, y se

aplican las fórmulas de integrales. 4) Integrales de la forma: ∫ tanm 𝑣 ∗ sec n 𝑣 𝑑𝑣 a) Cuando n es par: Se separa y se mantiene el término de sec 2 𝑣 y se transforman los términos sobrantes de sec 2 𝑣, mediante la identidad: 1 + tan2 𝐴 = sec 2 𝐴 y se integra con la fórmula 4. b) Cuando m y n son impares: se forma el producto sec 𝑥 ∗ tan 𝑥 para integrarlo y se transforman los términos sobrantes de tan 𝑥 mediante la identidad. Se aplica la fórmula 4. 5)

Integrales de la forma: ∫ sin 𝑚𝑥 ∗ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ sin 𝑚𝑥 ∗ sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥; ∫ cos 𝑚𝑥 ∗ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥; Se utilizan las identidades:

sin 𝑚𝐴 ∗ cos 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (sin(𝑚 + 𝑛) 𝐴 + sin(𝑚 − 𝑛) 𝐴) sin 𝑚𝐴 ∗ sin 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (cos(𝑚 + 𝑛) 𝐴 − cos(m − n)𝐴) cos 𝑚𝐴 ∗ cos 𝑛𝐴 = 1⁄2 ∗ (cos(𝑚 + 𝑛) 𝐴 + cos(𝑚 − 𝑛) 𝐴) Respectivamente, y enseguida, se integran parcialmente los términos de la suma, y se aplican las fórmulas de integrales trigonométricas inmediatas.

4.- Integración por Sustitución Trigonométrica. Para las expresiones que contienen: √𝑎2 − 𝑣 2 o bien √𝑣 2 ± 𝑎2 1.

En caso de tener: √𝑎2 − 𝑣 2 Sustituir 𝑣 = 𝑎 sin 𝑧

2.

En caso de tener: √𝑣 2 + 𝑎 Sustituir 𝑣 = 𝑎 tan 𝑧

En caso de tener: √𝑣 2 − 𝑎2 Sustituir 𝑣 = 𝑎 sec 𝑧 Además, cuando es necesario usar el teorema de Pitágoras: 3.

5.- Integración por Partes. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢0

6.-Integral Definida. 𝑏

∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

Límites de Infinitos. +∞

∫

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎 𝑏

𝑏→+∞ 𝑎 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

𝑎→−∞ 𝑎

7.- Volúmenes de Sólidos de Revolución. Si se gira del eje de las x: 𝑏

𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑎

Si se gira alrededor del eje de las y: 𝑏

𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑎

7.- EUCACIONES PARAMÉTRICAS Y ECUACIONES POLARES. Una Ec. Polar se Representa con la estructura: “ r = a func. trig. 𝜃”. Las ecuaciones paramétricas nos ayudan a definir las curvas de una manera más sencilla.

1.- Encontrar una Ecuación Cartesiana en Base a una Ec. Polar. 𝑥 = 𝐴𝑡 + 𝐵 ; 𝑦 = 𝐶𝑡 + 𝐷 𝑦−𝐷 𝑡= 𝐶 𝑦−𝐷 𝑥 = 𝐴( )+𝐵 𝐶 Despejamos y hacemos operaciones: 𝐴𝑦 − 𝐴𝐷 𝑥= +𝐵 𝐶 𝐴𝑦 − 𝐴𝐷 𝑥−𝐵− =0 𝐶 Nota: Al realizar estos pasos es necesario que se elija la ecuación más sencilla para eliminar el parámetro.

2.-Tangentes y Áreas. Para encontrar la tangente a una curva se usa la derivada. 𝑥 = 𝑓(𝑡) ; 𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑑𝑥 𝑥′ = = 𝑓 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦′ = = 𝑔′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 ′ 𝑔 (𝑡) 𝑑𝑦 𝐹 ′ (𝑥) = ′ = 𝑑𝑡 = 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Nota: El valor 0 de la derivada indica que existe una tangente horizontal, se presenta cuando el numerador de la derivada es igual a 0. Una tangente vertical se presenta cuando el valor de la función es 0.

3.- Segunda Derivada. La segunda derivada nos ayuda a conocer las concavidades.

𝑑𝑦 𝑑( ) 𝑑𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡

Dependiendo del resultado, sabremos si la concavidad es positiva (+) o negativa (-).

8.- LONGITUD DE CURVA. AL igual que las funciones de una variable, en las curvas paramétricas la longitud de arco en el intervalo [a, b] se calcula con la integral definida: 𝑏

𝐿 = ∫ √(𝑥′)2 + (𝑦′)2 𝑑𝑡 𝑎

Hay que tener cuidado, si los valores evaluados son negativos, la raíz de t deben ser negativos también.

9.- COORDENADAS POLARES. Hay muchas maneras de representar el mismo punto en las coordenadas polares, su representación es: “(𝑟, 𝜃)”. Es importante destacar que se miden en radianes.

1.-Transformación de Coordenadas polares y cartesianas. Para transformar las coordenadas polares a cartesianas es necesario realizar: 𝑥 = 𝑟 ∗ cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 ∗ sin 𝜃 Para transformar coordenadas cartesianas a polares es necesario realizar: 𝑥 cos 𝜃 = 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑟 𝑦 sin 𝜃 = 𝑟 𝑦 tan 𝜃 = 𝑥

COLABORADORES. Ing. Saúl López Herrera. Moisés Leonardo Cervantes Moreno. Edgar Alejandro Torres Carrillo. Luis Eduardo González Téllez. Joel Adrián Vega Zamora. Patricia Andrea Salvo Carreño.