Formulario Di Analisi
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- Words: 1,237
- Pages: 13
Formulario di Analisi Daniele Cozzolino C.d.L Matematica, L'Aquila
3 dicembre 2008
Capitolo 1
Successioni e Serie 1.1
Limiti notevoli
sin n1
lim
=1
1 n
n→+∞
lim
1 − cos n1
lim
sin n1 −
=
12 n
n→+∞
1 n
12 n
n→+∞
1 2
=0
lim n! = +∞
n→+∞
lim nn = +∞
n→+∞
qn = +∞ con q ∈]1; +∞[, k ∈ R n→+∞ nk qn lim = 0 con q ∈] − 1; 1[, k ∈ R n→+∞ nk qn lim = 0 con q ∈ R n→+∞ n! n! lim =0 n→+∞ nn n 1 =e lim 1+ n→+∞ n log 1 + n1 lim =1 1 lim
n→+∞
n 1 n
lim
e −1 1 n
n→+∞
1
=1
1.2
Se X
Criteri di Convergenza
Allora an < +∞
lim an = 0 n→∞ X an < +∞ n∈N X an < +∞ n∈N X an < +∞
n∈N
|Sn+k − Sn | < X an è assolutamente convergente n∈N X bn ≥ an de nitivamente e bn < +∞ an = L ∈ ]0; +∞[ n→+∞ bn √ lim n an = L ∈ [0; 1[
n∈N
n∈N
an e bn hanno lo stesso comportamento X an < +∞ n∈N X an = +∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
√ n
an = L ∈ ]1; +∞]
n∈N
an+1 = L ∈ [0; 1[ n→+∞ an an+1 lim = L ∈ ]1; +∞[ n→+∞ an
X
lim
an < +∞
n∈N
X
se an ≥ 0 e an ≥ an+1 ∀n ∈ N
X n∈N
{Bn }n limitata, an ≥ 0 e an ≥ an+1 ∀n ∈ N
an < +∞ ⇔
2 a2n < +∞
n∈N X
(an bn ) < +∞
n∈N
2
an = +∞
Xn∈N n
Capitolo 2
Funzioni continue 2.1
Limiti Notevoli
Alcuni dei limiti notevoli sono gli stessi che valgono per le successioni. Forniremo adesso una stesura generalizzate di questi limiti per un qualsiasi punto di accumulazione nel domino delle funzioni. Sia f una funzione a valori nel domino di de nizione dei seguenti limiti, allora: lim f (x)→0
sin f (x) =1 f (x)
1 − cos f (x)
lim
f (x)
f (x)→0
2
sin f (x) − f (x)
lim
2
f (x)
f (x)→0
f (x)
lim
f (x)
1 2
=
=0
= +∞
f (x)→+∞
q f (x)
lim f (x)→+∞
= +∞ con q ∈]1; +∞[, k ∈ R
k
f (x)
q f (x)
lim f (x)→+∞
k
f (x)
= 0 con q ∈] − 1; 1[, k ∈ R 1+
lim f (x)→+∞
1 f (x)
f (x) =e
log (1 + f (x)) =1 f (x) f (x)→0 lim
ef (x) − 1 =1 f (x) f (x)→0 lim
3
2.2
Derivate
k∈R
=⇒
x , a 6= −1 1 x ex
=⇒
a
0
axa−1 1 =⇒ − 2 x =⇒ ex
sin x =⇒ cos x cos x =⇒
− sin x
tan x =⇒
1 + tan2 x =
1 cos2 x
sinh x =⇒
1 x cosh x
cosh x =⇒
sinh x
tanh x =⇒
1 − tanh2 x =
log x =⇒
1 1 − x2 −1 =⇒ √ 1 − x2 1 =⇒ 1 + x2 =⇒ ax log a 1 =⇒ x log a 1 √ =⇒ 2 x
arcsin x =⇒ arccos x arctan x ax loga x √
x
√
4
1 cosh2 x
Riproponiamo ora alcune di queste relazioni di derivazione per funzioni composte: a
a−1
af 0 (x)f (x) f 0 (x) − 2 f (x)
f (x) , a 6= −1 1 f (x)
=⇒
ef (x)
=⇒
f 0 (x)ef (x)
sin f (x)
=⇒
f 0 (x) cos f (x)
=⇒
−f 0 (x) sin f (x) f 0 (x) tan f (x) =⇒ cos2 f (x) f 0 (x) log f (x) =⇒ f (x) f 0 (x) arctan f (x) =⇒ 2 1 + f (x) p f 0 (x) p f (x) =⇒ 2 f (x) cos f (x)
=⇒
Ora illustreremo le relazioni fondamentali di derivazione: (f · g)(x)
=⇒
f (x) · g 0 (x) + g(x) · f 0 (x)
(f + g)(x) =⇒ f 0 (x) + g 0 (x) f (x) f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) =⇒ 2 g(x) g(x) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =⇒ f 0 (x)g 0 (f (x))
5
2.3
Sviluppi di Taylor
x2 xn + ... + + o(xn ) 2 n! x2 x3 xn log(1 + x) = x − + − . . . + (−1)n−1 + o(xn ) 2 3 n x5 x2n+1 x3 + − . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) sin x = x − 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n cos x = 1 − + − . . . + (−1)n + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! 2x5 x3 + + o(x6 ) tan x = x + 3 15 1 x3 1 · 3 x5 (2n − 1)!! x2n+1 arcsin x = x + + + ... + + o(x2n+2 ) 2 3 2·4 5 (2n)!! 2n + 1 1 x3 1 · 3 x5 (2n − 1)!! x2n+1 π −x− − − ... − + o(x2n+2 ) arccos x = 2 2 3 2·4 5 (2n)!! 2n + 1 x3 x5 x2n+1 arctan x = x − + − . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 1 = 1 + x + x2 + . . . + xn + o(xn ) 1−x x2 xn a (1 + x) = 1 + ax + a(a − 1) + . . . + a(a − 1) . . . (a − n + 1) + o(xn ) 2 n! x3 x5 x2n+1 sinh x = x + + + ... + + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n cosh x = 1 + + + ... + + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! x3 2x5 tanh x = x − + + o(x6 ) 3 15 ex
=
1+x+
6
2.4
Integrali
I seguenti integrali sono forniti con b 6= 0, k ∈ R, a 6= −1 e c > 0 k
=⇒
xa
=⇒
1 x ex
kx xa+1 a+1
=⇒
log |x|
=⇒
ex
sin x =⇒
− cos x
cos x =⇒
sin x
tan x
=⇒
− log | cos x|
log x
=⇒
x(logx − 1)
sinh x
=⇒
cosh x
cosh x
=⇒
sinh x
tanh x
=⇒
log cosh x
arcsin x
=⇒
p 1 − x2 p arccos x − 1 − x2 p arctan x − log 1 − x2 1 x arctan b b 1 |x − b| log 2b |x + b| p log x2 + k
arccos x =⇒ arctan x 1 2 x + b2 1 x 2 − b2 x x2 + k p x2 + k p c − x2 1 b − x2 1 √ c − x2 √
=⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
arcsin x +
x 1 arctan b k c x xp (arcsin √ + c − x2 ) 2 c c p log |x + x2 + b| x arcsin √ c
7
Capitolo 3
Gra ci di funzioni
8
9
10
11
12
3 dicembre 2008
Capitolo 1
Successioni e Serie 1.1
Limiti notevoli
sin n1
lim
=1
1 n
n→+∞
lim
1 − cos n1
lim
sin n1 −
=
12 n
n→+∞
1 n
12 n
n→+∞
1 2
=0
lim n! = +∞
n→+∞
lim nn = +∞
n→+∞
qn = +∞ con q ∈]1; +∞[, k ∈ R n→+∞ nk qn lim = 0 con q ∈] − 1; 1[, k ∈ R n→+∞ nk qn lim = 0 con q ∈ R n→+∞ n! n! lim =0 n→+∞ nn n 1 =e lim 1+ n→+∞ n log 1 + n1 lim =1 1 lim
n→+∞
n 1 n
lim
e −1 1 n
n→+∞
1
=1
1.2
Se X
Criteri di Convergenza
Allora an < +∞
lim an = 0 n→∞ X an < +∞ n∈N X an < +∞ n∈N X an < +∞
n∈N
|Sn+k − Sn | < X an è assolutamente convergente n∈N X bn ≥ an de nitivamente e bn < +∞ an = L ∈ ]0; +∞[ n→+∞ bn √ lim n an = L ∈ [0; 1[
n∈N
n∈N
an e bn hanno lo stesso comportamento X an < +∞ n∈N X an = +∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
√ n
an = L ∈ ]1; +∞]
n∈N
an+1 = L ∈ [0; 1[ n→+∞ an an+1 lim = L ∈ ]1; +∞[ n→+∞ an
X
lim
an < +∞
n∈N
X
se an ≥ 0 e an ≥ an+1 ∀n ∈ N
X n∈N
{Bn }n limitata, an ≥ 0 e an ≥ an+1 ∀n ∈ N
an < +∞ ⇔
2 a2n < +∞
n∈N X
(an bn ) < +∞
n∈N
2
an = +∞
Xn∈N n
Capitolo 2
Funzioni continue 2.1
Limiti Notevoli
Alcuni dei limiti notevoli sono gli stessi che valgono per le successioni. Forniremo adesso una stesura generalizzate di questi limiti per un qualsiasi punto di accumulazione nel domino delle funzioni. Sia f una funzione a valori nel domino di de nizione dei seguenti limiti, allora: lim f (x)→0
sin f (x) =1 f (x)
1 − cos f (x)
lim
f (x)
f (x)→0
2
sin f (x) − f (x)
lim
2
f (x)
f (x)→0
f (x)
lim
f (x)
1 2
=
=0
= +∞
f (x)→+∞
q f (x)
lim f (x)→+∞
= +∞ con q ∈]1; +∞[, k ∈ R
k
f (x)
q f (x)
lim f (x)→+∞
k
f (x)
= 0 con q ∈] − 1; 1[, k ∈ R 1+
lim f (x)→+∞
1 f (x)
f (x) =e
log (1 + f (x)) =1 f (x) f (x)→0 lim
ef (x) − 1 =1 f (x) f (x)→0 lim
3
2.2
Derivate
k∈R
=⇒
x , a 6= −1 1 x ex
=⇒
a
0
axa−1 1 =⇒ − 2 x =⇒ ex
sin x =⇒ cos x cos x =⇒
− sin x
tan x =⇒
1 + tan2 x =
1 cos2 x
sinh x =⇒
1 x cosh x
cosh x =⇒
sinh x
tanh x =⇒
1 − tanh2 x =
log x =⇒
1 1 − x2 −1 =⇒ √ 1 − x2 1 =⇒ 1 + x2 =⇒ ax log a 1 =⇒ x log a 1 √ =⇒ 2 x
arcsin x =⇒ arccos x arctan x ax loga x √
x
√
4
1 cosh2 x
Riproponiamo ora alcune di queste relazioni di derivazione per funzioni composte: a
a−1
af 0 (x)f (x) f 0 (x) − 2 f (x)
f (x) , a 6= −1 1 f (x)
=⇒
ef (x)
=⇒
f 0 (x)ef (x)
sin f (x)
=⇒
f 0 (x) cos f (x)
=⇒
−f 0 (x) sin f (x) f 0 (x) tan f (x) =⇒ cos2 f (x) f 0 (x) log f (x) =⇒ f (x) f 0 (x) arctan f (x) =⇒ 2 1 + f (x) p f 0 (x) p f (x) =⇒ 2 f (x) cos f (x)
=⇒
Ora illustreremo le relazioni fondamentali di derivazione: (f · g)(x)
=⇒
f (x) · g 0 (x) + g(x) · f 0 (x)
(f + g)(x) =⇒ f 0 (x) + g 0 (x) f (x) f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) =⇒ 2 g(x) g(x) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =⇒ f 0 (x)g 0 (f (x))
5
2.3
Sviluppi di Taylor
x2 xn + ... + + o(xn ) 2 n! x2 x3 xn log(1 + x) = x − + − . . . + (−1)n−1 + o(xn ) 2 3 n x5 x2n+1 x3 + − . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) sin x = x − 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n cos x = 1 − + − . . . + (−1)n + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! 2x5 x3 + + o(x6 ) tan x = x + 3 15 1 x3 1 · 3 x5 (2n − 1)!! x2n+1 arcsin x = x + + + ... + + o(x2n+2 ) 2 3 2·4 5 (2n)!! 2n + 1 1 x3 1 · 3 x5 (2n − 1)!! x2n+1 π −x− − − ... − + o(x2n+2 ) arccos x = 2 2 3 2·4 5 (2n)!! 2n + 1 x3 x5 x2n+1 arctan x = x − + − . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 1 = 1 + x + x2 + . . . + xn + o(xn ) 1−x x2 xn a (1 + x) = 1 + ax + a(a − 1) + . . . + a(a − 1) . . . (a − n + 1) + o(xn ) 2 n! x3 x5 x2n+1 sinh x = x + + + ... + + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n cosh x = 1 + + + ... + + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! x3 2x5 tanh x = x − + + o(x6 ) 3 15 ex
=
1+x+
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2.4
Integrali
I seguenti integrali sono forniti con b 6= 0, k ∈ R, a 6= −1 e c > 0 k
=⇒
xa
=⇒
1 x ex
kx xa+1 a+1
=⇒
log |x|
=⇒
ex
sin x =⇒
− cos x
cos x =⇒
sin x
tan x
=⇒
− log | cos x|
log x
=⇒
x(logx − 1)
sinh x
=⇒
cosh x
cosh x
=⇒
sinh x
tanh x
=⇒
log cosh x
arcsin x
=⇒
p 1 − x2 p arccos x − 1 − x2 p arctan x − log 1 − x2 1 x arctan b b 1 |x − b| log 2b |x + b| p log x2 + k
arccos x =⇒ arctan x 1 2 x + b2 1 x 2 − b2 x x2 + k p x2 + k p c − x2 1 b − x2 1 √ c − x2 √
=⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
arcsin x +
x 1 arctan b k c x xp (arcsin √ + c − x2 ) 2 c c p log |x + x2 + b| x arcsin √ c
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Capitolo 3
Gra ci di funzioni
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