Formulario De Calculo Avanzado.docx

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FORMULARIO DE CÁLCULO AVANZADO Desplazamientos verticales y horizontales 𝑆𝑖 π’š = 𝒇(𝒙) 𝑦 𝒄 > 𝟎 Entonces la grΓ‘fica se desplaza C unidades: π’š = 𝒇(𝒙) + 𝒄 ≫ π»π‘Žπ‘π‘–π‘Ž π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž β‰ͺ π’š = 𝒇(𝒙) βˆ’ 𝒄 ≫ π»π‘Žπ‘π‘–π‘Ž π‘Žπ‘π‘Žπ‘—π‘œ β‰ͺ π’š = 𝒇(𝒙 + 𝒄) ≫ π»π‘Žπ‘π‘–π‘Ž π‘™π‘Ž π‘–π‘§π‘žπ‘’π‘–π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘Ž β‰ͺ

HipΓ©rbola: (𝒙 βˆ’ 𝒉)𝟐 (π’š βˆ’ π’Œ)𝟐 βˆ’ =𝟏 π’‚πŸ π’ƒπŸ (π’š βˆ’ π’Œ)𝟐 (𝒙 βˆ’ 𝒉)𝟐 βˆ’ =𝟏 π’ƒπŸ π’‚πŸ

π’š = 𝒇(𝒙 βˆ’ 𝒄) ≫ π»π‘Žπ‘π‘–π‘Ž π‘™π‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘β„Žπ‘Ž β‰ͺ

Grafica en R3

Reflexiones

Lineal (plano):

𝑆𝑖 π’š = 𝒇(𝒙)

𝑨𝒙 + π‘©π’š + π‘ͺ𝒛 + 𝑫 = 𝟎

Entonces la grΓ‘fica se refleja:

Elipsoide:

π’š = βˆ’π’‡(𝒙) ≫ π‘…π‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ π‘Žπ‘™ 𝑒𝑗𝑒 π‘₯ β‰ͺ π’š = 𝒇(βˆ’π’™) ≫ π‘…π‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ π‘Žπ‘™ 𝑒𝑗𝑒 𝑦 β‰ͺ

π’™πŸ π’šπŸ π’›πŸ + + =𝟏 π’‚πŸ π’ƒπŸ π’„πŸ

π’š = βˆ’π’‡(βˆ’π’™) ≫ π‘…π‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘œ π‘Žπ‘™ π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘”π‘’π‘› β‰ͺ

Hiperboloide de una hoja: Alargamientos y compresiones 𝑆𝑖 π’š = 𝒇(𝒙) 𝑦 𝒄 > 𝟏 Entonces la grΓ‘fica de:

π’™πŸ π’šπŸ π’›πŸ + βˆ’ =𝟏 π’‚πŸ π’ƒπŸ π’„πŸ Hiperboloide de dos hojas:

π’š = 𝒄𝒇(𝒙) ≫ 𝑆𝑒 π‘Žπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž π‘£π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘™π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝐢 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 β‰ͺ

π’™πŸ π’šπŸ π’›πŸ βˆ’ + =𝟏 π’‚πŸ π’ƒπŸ π’„πŸ

𝟏 π’š = 𝒇(𝒙) ≫ 𝑆𝑒 π‘π‘œπ‘šπ‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’ π‘£π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘™π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝐢 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 β‰ͺ 𝒄

βˆ’

π’š = 𝒇(𝒄𝒙) ≫ 𝑆𝑒 π‘π‘œπ‘šπ‘π‘Ÿ. β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘–π‘§π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘™π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝐢 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 β‰ͺ

Paraboloide hiperbΓ³lico (Silla de montar):

𝟏 π’š = 𝒇 ( 𝒙) ≫ 𝑆𝑒 π‘Žπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘–π‘§π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘™π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝐢 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 β‰ͺ 𝒄

𝒛=

π’™πŸ π’šπŸ βˆ’ π’‚πŸ π’ƒπŸ

𝒛=

π’šπŸ π’™πŸ βˆ’ π’ƒπŸ π’‚πŸ

Graficas en R2 Recta: 𝑨𝒙 + π‘©π’š + π‘ͺ = 𝟎

Paraboloide elΓ­ptico:

π’š = π’Žπ’™ + 𝒃 𝒛= ParΓ‘bola: π’š = π’™πŸ Circunferencia: (𝒙 βˆ’ 𝒉)𝟐 + (π’š βˆ’ π’Œ)𝟐 = π’“πŸ Elipse: (𝒙 βˆ’ 𝒉)𝟐 (π’š βˆ’ π’Œ)𝟐 + =𝟏 π’‚πŸ π’ƒπŸ

π’™πŸ π’šπŸ + π’‚πŸ π’ƒπŸ

𝒛=βˆ’

π’™πŸ π’šπŸ βˆ’ π’‚πŸ π’ƒπŸ

Cono elΓ­ptico: π’™πŸ π’šπŸ π’›πŸ + βˆ’ =𝟎 π’‚πŸ π’ƒπŸ π’„πŸ

FORMULARIO DE CÁLCULO AVANZADO

𝒇(𝒙, π’š) = 𝒄

𝝏 𝝏𝒛 𝝏𝟐 𝒛 𝝏𝟐 𝒇 ( )= = = π’›π’šπ’™ = π’‡π’šπ’™ (𝒙, π’š) 𝝏𝒙 ππ’š ππ’™ππ’š ππ’™ππ’š

Superficies de Nivel

Teorema de Clairaut

𝒇(𝒙, π’š, 𝒛) = 𝒄

π’‡π’™π’™π’š = π’‡π’™π’šπ’™ = π’‡π’šπ’™π’™

Derivadas ordinarias

Diferenciales

π’…π’š 𝒇(𝒙 + βˆ†π’™, ) βˆ’ 𝒇(𝒙) = π₯𝐒𝐦 𝒅𝒙 βˆ†π’™β†’πŸŽ βˆ†π’™

πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ 𝑒π‘₯π‘Žπ‘π‘‘π‘œ: βˆ†π’› = π’›πŸ βˆ’ π’›πŸ

Curvas de nivel

Derivadas parciales 𝝏𝒛 𝒇(𝒙 + βˆ†π’™, π’š) βˆ’ 𝒇(𝒙, π’š) = π₯𝐒𝐦 𝝏𝒙 βˆ†π’™β†’πŸŽ βˆ†π’™ 𝝏𝒛 𝒇(𝒙, π’š + βˆ†π’š) βˆ’ 𝒇(𝒙, π’š) = π₯𝐒𝐦 βˆ†π’šβ†’πŸŽ ππ’š βˆ†π’š 𝑆𝑖 𝑧 = 𝑓(π‘₯, 𝑦), π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘ : 𝝏𝒛 𝝏𝒇(𝒙, π’š) = = 𝒛𝒙 = 𝒇𝒙 (𝒙, π’š) = 𝑫𝒙 𝒇(𝒙, π’š) 𝝏𝒙 𝝏𝒙

πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ 𝑑𝑒 𝑧 π‘Žπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘₯: 𝒅𝒛 =

𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙 + π’…π’š 𝝏𝒙 ππ’š

Regla de la cadena 𝑆𝑖 π’š = 𝒇(𝒖) 𝑦 𝒖 = 𝒇(𝒙) π’…π’š π’…π’š 𝒅𝒖 = βˆ™ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 Una variable indepentiente. 𝑆𝑖 𝒛 = 𝒇(𝒙, π’š) ; 𝒙 = π’ˆ(𝒕) ; π’š = 𝒉(𝒕)

𝝏𝒛 𝝏𝒇(𝒙, π’š) = = π’›π’š = π’‡π’š (𝒙, π’š) = π‘«π’š 𝒇(𝒙, π’š) ππ’š ππ’š

𝒅𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙 𝝏𝒛 π’…π’š = βˆ™ + βˆ™ 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 ππ’š 𝒅𝒕

Derivadas parciales evaluadas en el punto (π‘Ž, 𝑏)

Dos variables independientes.

𝒇𝒙 (𝒂, 𝒃)

𝑆𝑖 𝒛 = 𝒇(𝒙, π’š) ; 𝒙 = π’ˆ(𝒔, 𝒕) ; π’š = 𝒉(𝒔, 𝒕)

π’‡π’š (𝒂, 𝒃)

𝒅𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒛 ππ’š = βˆ™ + βˆ™ 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒔 ππ’š 𝝏𝒔

Derivadas parciales de orden superior

𝒅𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒛 ππ’š = βˆ™ + βˆ™ 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒕 ππ’š 𝝏𝒕

Derivar a veces respecto de x. 𝝏 𝝏𝒛 𝝏𝟐 𝒛 𝝏𝟐 𝒇 ( ) = 𝟐 = 𝟐 = 𝒛𝒙𝒙 = 𝒇𝒙𝒙 (𝒙, π’š) 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 Derivar a veces respecto de y. 𝝏 𝝏𝒛 𝝏𝟐 𝒛 𝝏𝟐 𝒇 ( ) = 𝟐 = 𝟐 = π’›π’šπ’š = π’‡π’šπ’š (𝒙, π’š) ππ’š ππ’š ππ’š ππ’š Derivar primero respecto a β€œx” y luego respecto de β€œy”. 𝝏 𝝏𝒛 𝝏𝟐 𝒛 𝝏𝟐 𝒇 ( )= = = π’›π’™π’š = π’‡π’™π’š (𝒙, π’š) ππ’š 𝝏𝒙 ππ’šππ’™ ππ’šππ’™ Derivar primero respecto a β€œy” y luego respecto a β€œx”.

Formular regla de la cadena. 𝑆𝑖 π’˜ = 𝒇(𝒙, π’š, 𝒛, 𝒕) ; 𝒙 = 𝒙(𝒖, 𝒗) ; π’š = 𝒉(𝒖, 𝒗); 𝒛 = 𝒛(𝒖, 𝒗); 𝒕 = 𝒕(𝒖, 𝒗)

π’…π’˜ ππ’˜ 𝝏𝒙 ππ’˜ ππ’š ππ’˜ 𝝏𝒛 ππ’˜ 𝝏𝒕 = βˆ™ + βˆ™ + βˆ™ + βˆ™ 𝒅𝒖 𝝏𝒙 𝝏𝒖 ππ’š 𝝏𝒖 𝝏𝒛 𝝏𝒖 𝝏𝒕 𝝏𝒖 DerivaciΓ³n parcial implΓ­cita 𝑆𝑖 𝑭(𝒙, π’š) = 𝟎 π’…π’š 𝑭𝒙 (𝒙, π’š) =βˆ’ 𝒅𝒙 π‘­π’š (𝒙, π’š) 𝑆𝑖 𝑭(𝒙, π’š, 𝒛) = 𝟎

FORMULARIO DE CÁLCULO AVANZADO 𝝏𝒛 𝑭𝒙 (𝒙, π’š, 𝒛) =βˆ’ 𝝏𝒙 𝑭𝒛 (𝒙, π’š, 𝒛)

π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  𝑓, 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 π‘šπ‘Žπ‘₯π‘–π‘šπ‘œ π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘œ 𝑒𝑛 (π‘Ž, 𝑏) 3. 𝑆𝑖 𝐷 < 0

π‘­π’š (𝒙, π’š, 𝒛) 𝝏𝒛 =βˆ’ ππ’š 𝑭𝒛 (𝒙, π’š, 𝒛)

π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  𝑓, 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘ π‘–π‘™π‘™π‘Ž 𝑒𝑛 (π‘Ž, 𝑏) 3. 𝑆𝑖 𝐷 = 0

Gradiente de una funciΓ³n 𝛁𝒇(𝒙, π’š) =

𝑒𝑠𝑑𝑒 π‘π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘œ π‘›π‘œ π‘‘π‘Ž π‘–π‘›π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘› π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’

𝝏𝒇 𝝏𝒇 π’ŠΜ‚ + 𝒋̂ 𝝏𝒙 ππ’š

𝑒𝑙 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘–π‘π‘œ. MΓ©todo de multiplicadores de LaGrange

βƒ— = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 π’ŠΜ‚ + 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒋̂ 𝒖 𝛁𝒇(𝒙, π’š, 𝒛) =

1. π‘…π‘’π‘ π‘œπ‘™π‘£π‘’π‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘ 

𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝝏𝒇 Μ‚ π’ŠΜ‚ + 𝒋̂ + π’Œ 𝝏𝒙 ππ’š 𝝏𝒛

𝒇𝒙 (𝒙, π’š) = π€π’ˆπ’™ (𝒙, π’š)

Derivada direccional

π’‡π’š (𝒙, π’š) = π€π’ˆπ’š (𝒙, π’š)

𝑆𝑖 𝑧 = 𝑓(π‘₯, 𝑦)

π’ˆ(𝒙, π’š) = 𝟎

βƒ— 𝑫𝒖⃗ 𝒇(𝒙, π’š) = 𝛁𝒇(𝒙, π’š) βˆ™ 𝒖

2. πΈπ‘£π‘Žπ‘™π‘’π‘Žπ‘Ÿ 𝑓 𝑒𝑛 π‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘’π‘›π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘œπ‘  π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘  π‘ π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–π‘œπ‘› 𝑑𝑒𝑙 π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘ 

𝑆𝑖 𝑀 = 𝑓(π‘₯, 𝑦, 𝑧)

π‘Ž) 𝐸𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ π‘šπ‘Žπ‘  π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘‘π‘’ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 π‘šπ‘Žπ‘₯π‘–π‘šπ‘œ 𝑑𝑒 𝑓

βƒ— 𝑫𝒖⃗ 𝒇(𝒙, π’š, 𝒛) = 𝛁𝒇(𝒙, π’š, 𝒛) βˆ™ 𝒖

𝑏)𝐸𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ π‘šπ‘Žπ‘  π‘π‘’π‘žπ‘’π‘’Γ±π‘œ 𝑒𝑠 π‘’π‘™π‘šπ‘–π‘›π‘–π‘šπ‘œ 𝑑𝑒 𝑓

Derivada direccional mΓ‘xima βƒ— π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  𝐷𝑒⃗ 𝑓(π‘₯, 𝑦) = 0 1. 𝑆𝑖 βˆ‡π‘“(π‘₯, 𝑦) = 0

Área de una regiΓ³n plana 𝒃

π’ˆπŸ (𝒙)

𝑨=∫ ∫

π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘‘π‘œπ‘‘π‘œ π‘£π‘’π‘π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑒 βƒ—

𝒂

2. πΏπ‘Ž π‘‘π‘–π‘Ÿπ‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘› 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘Žπ‘₯π‘–π‘šπ‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑑𝑒 𝑓 π‘’π‘ π‘‘π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ βˆ‡π‘“(π‘₯, 𝑦) 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž

π’…π’š 𝒅𝒙

π’ˆπŸ (𝒙)

𝑔1 (π‘₯) ≀ 𝑦 ≀ 𝑔2 (π‘₯) π‘Žβ‰€π‘₯≀𝑏

π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘šπ‘Žπ‘₯π‘–π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑠 β€– βˆ‡π‘“(π‘₯, 𝑦)β€–

𝒅

3. πΏπ‘Ž π‘‘π‘–π‘Ÿπ‘’π‘π‘π‘–π‘œπ‘› 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘–π‘›π‘–π‘šπ‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑑𝑒 𝑓 π‘’π‘ π‘‘π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ βˆ’ βˆ‡π‘“(π‘₯, 𝑦) 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘šπ‘Žπ‘₯π‘–π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑠 βˆ’ β€– βˆ‡π‘“(π‘₯, 𝑦)β€– Extremos de funciones de dos variables

π’‰πŸ (π’š)

𝑨=∫ ∫ 𝒄

𝒅𝒙 π’…π’š

π’‰πŸ (π’š)

β„Ž1 (𝑦) ≀ π‘₯ ≀ β„Ž2 (𝑦) 𝑐≀𝑦≀𝑑 Integrales dobles (De volumen)

𝑆𝑖 𝒇𝒙 (𝒂, 𝒃) = 𝟎 𝑦 π’‡π’š (𝒂, 𝒃) = 𝟎 𝑽 = ∬ 𝒇(𝒙, π’š) 𝒅𝑨

Calcular el discriminante: 𝑫 = [𝒇𝒙𝒙 (𝒂, 𝒃)][π’‡π’šπ’š (𝒂, 𝒃)] βˆ’ [π’‡π’™π’š (𝒂, 𝒃)]

𝟐

1. 𝑆𝑖 𝐷 > 0 𝑦 𝑓π‘₯π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) > 0, π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  𝑓, 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 π‘šπ‘–π‘›π‘–π‘šπ‘œ π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘œ 𝑒𝑛 (π‘Ž, 𝑏) 2. 𝑆𝑖 𝐷 > 0 𝑦 𝑓π‘₯π‘₯ (π‘Ž, 𝑏) < 0,

𝑹

𝑑𝐴 = {

𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑π‘₯

FORMULARIO DE CÁLCULO AVANZADO Relación entre coordenadas polares y rectangulares

Sistema de coordenadas esfΓ©ricas

(𝒓, 𝜽)

𝒛 = 𝝆 𝒄𝒐𝒔𝝋

𝒙 = π’“π’„π’π’”πœ½

𝒓 = 𝝆𝒔𝒆𝒏 𝝋

π’š = π’“π’”π’†π’πœ½

π†πŸ = π’™πŸ + π’šπŸ + π’›πŸ π’š π’•π’ˆ 𝜽 = 𝒙 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝝋 = βˆšπ’™πŸ + π’šπŸ + π’›πŸ

π’“πŸ = π’™πŸ + π’šπŸ π’š 𝜽 = π’•π’ˆβˆ’πŸ 𝒙 Área en coordenadas polares 𝜽𝟐

π’ˆπŸ (𝜽)

𝑨=∫ ∫ 𝜽𝟏

𝒓 𝒅𝒓 π’…πœ½

π’ˆπŸ (𝜽)

(𝝆, 𝜽, 𝝋)

𝒙 = 𝝆 𝒔𝒆𝒏𝝋 π’„π’π’”πœ½ π’š = 𝝆 𝒔𝒆𝒏𝝋 π’”π’†π’πœ½

𝑔1 (πœƒ) ≀ π‘Ÿ ≀ 𝑔2 (πœƒ)

𝒛 = 𝝆 𝒄𝒐𝒔𝝋

πœƒ1 ≀ πœƒ ≀ πœƒ2

𝒅𝑽 = π†πŸ 𝒔𝒆𝒏𝝋 𝒅𝝆 𝒅𝝋 π’…πœ½

π’“πŸ

π’‰πŸ (𝒓)

𝑨=∫ ∫ π’“πŸ

𝒓 π’…πœ½ 𝒅𝒓

π’‰πŸ (𝒓)

β„Ž1 (π‘Ÿ) ≀ πœƒ ≀ β„Ž2 (π‘Ÿ) π‘Ÿ1 ≀ π‘Ÿ ≀ π‘Ÿ2 Integrales Triples en coordenadas rectangulares 𝑽 = ∭ 𝒅𝑽 𝑸

𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑π‘₯ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑π‘₯ 𝑑𝑧 𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ Integrales Triples en coordenadas cilΓ­ndricas (𝒓, 𝜽, 𝒛) 𝑽 = ∭ 𝒅𝑽 𝑸

𝑑𝑉 = π‘Ÿ 𝑑𝑧 π‘‘π‘Ÿ π‘‘πœƒ

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