Formulario Calculo Vectorial.docx

Formulario Unidad 3 Derivada Direccional Gradiente 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑠𝑒𝑛𝜃 ∇f(x, y) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑗 ∇f(x, y) ∗ u Incremento Punto Critico Max ‖∇f(x, y)‖ 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 Mim ‖∇f(x, y)‖ E. Plano Tangente 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 E. Plano Tangente a la Superficie 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) − (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 Max y Min relativos ∡ 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 2 |𝑛 ∙ 𝑘| |𝑛 ∙ 𝑘| 𝑑 = 𝑓 (𝑎, 𝑏)𝑓 (𝑎, 𝑏) − [𝑓 (𝑎, 𝑏)] 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = = ‖𝑛‖‖𝑘‖ ‖𝑛‖ Recta de Regresión 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ ∑ ∑ 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑦𝑖 1 𝑎= 𝑏 = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 ) 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 𝑖=1

𝑖=1

Th. Lagrange ∇f(x𝑜 , y𝑜 ) = λ∇g(x𝑜 , y𝑜 ) ∇f = λ∇g + μ∇h I. Iteradas ℎ2 (𝑦)

∫

𝑔2 (𝑦)

𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑋

∫

ℎ1 (𝑦)

𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑌

𝑔1 (𝑦)

Area de un Plano 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 (𝑥) 𝑏

𝑔2 (𝑥)

𝐴=∫ ∫ 𝑎

Region Plana 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑦 ℎ1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 (𝑦) 𝑑

𝑑𝑦 𝑑𝑥

ℎ2 (𝑦)

𝐴=∫ ∫

𝑔1 (𝑥)

𝑐

𝑑𝑥 𝑑𝑦

ℎ1 (𝑦)

TH. De Rubini 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 (𝑥) 𝑏

𝑔2 (𝑥)

𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑎

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑦 ℎ1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 (𝑦) 𝑑

𝑔1 (𝑥)

𝑐

Valor Promedio 1 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝐴

ℎ2 (𝑦)

𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ ∫

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦

ℎ1 (𝑦)

Coo. Polares (x, y) = (rcosθ, rsenθ)0 ≤ 𝑔1 (θ) ≤ 𝑟 ≤ 𝑔2 (θ) 𝛽

𝑔2 (𝜃)

∬ 𝑓 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝛼

Masa

𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑔1 (𝜃)

𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

Centro de masa 𝑀𝑦 𝑀𝑥 (𝑥̅ , 𝑦̅) = ( , ) 𝑚 𝑚

𝑀𝑥 = ∬ 𝑦 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

𝑀𝑦 = ∬ 𝑥 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

𝐼

Radio de Giro 𝑟̅ = √𝑚 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦 2 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

𝐼𝑦 = ∬ 𝑥 2 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

Área de una superficie

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , ℎ1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ2 (𝑥) 𝑦 𝑔1 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔2 (𝑥, 𝑦)

2

∬ √1 + [𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)]2 + [𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴

ℎ2 (𝑥)

𝑏

𝐴=∫ ∫ 𝑎

𝑚 = ∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝑔2 (𝑥,𝑦)

∫

ℎ1 (𝑥)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑔1 (𝑥,𝑦)

𝑀𝑦𝑧 = ∭ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝑀𝑥𝑧 = ∭ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝑀𝑦𝑧 𝑀𝑥𝑦 = ∭ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐼𝑥 = ∬ ∫(𝑦 2 + 𝑥 2 ) ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑉

𝐼𝑥𝑦 = ∬ ∫ 𝑧 2 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑉

𝐼𝑦 = ∬ ∫(𝑥 2 + 𝑧 2 ) ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑉

𝐼𝑥𝑧 = ∬ ∫ 𝑦 2 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑉

𝐼𝑧 = ∬ ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑉

𝐼𝑦𝑧 = ∬ ∫ 𝑥 2 ∗ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑉

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑦 + 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦 = 𝐼𝑥𝑦 + 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 = 𝐼𝑥𝑧 + 𝐼𝑦𝑧 Integrales triples en coordenadas cilíndricas θ2 𝑔2(θ) ℎ2(𝑟𝑐𝑜𝑠θ,rsenθ)

∭ 𝑓𝑑𝑉 = ∫ 𝑄

∫

∫

𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, rsenθ, z)𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑θ

θ1 𝑔1(θ) ℎ1(𝑟𝑐𝑜𝑠θ,rsenθ)

Integrales triples en coordenadas esféricas θ2 𝜙2 𝑝2

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑝𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠 θ, 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛 θ, 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙)𝑝2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝑝𝑑𝜙𝑑θ 𝑄

θ1 𝜙1 p1

𝑥 = 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠 θ 𝑦 = 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛 θ 𝑧 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙 Jacobianos

Cambio de variables en integrales dobles 𝑑𝑥 𝑑𝑢

𝑑(𝑥, 𝑦) | = 𝑑(𝑢, 𝑣) | 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑣

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑣

𝑑(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣)) | | 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑑(𝑢, 𝑣) 𝑠

| 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∗ − ∗ 𝑑𝑦 | 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣

𝑑𝑢

𝑅

Campo Cuadrático Inverso

Criterio para Campos Vectoriales Conservativos en el plano 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑘 𝑢 ‖𝑟‖2 Rotacional de un campo vectorial F(x, y, z) =

𝜕𝑃

Rot F(x,y,z)=𝛻 𝑥 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝜕𝑦 −

𝜕𝑁 )𝑖 𝜕𝑧

𝜕𝑃

− (𝜕𝑥 −

Criterio para Campos Vectoriales Conservativos en el espacio 𝜕𝑃 𝜕𝑁 𝜕𝑃 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = , = , = 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Integral de Línea

𝜕𝑀 )𝑗 𝜕𝑧

𝜕𝑁

+ ( 𝜕𝑥 −

𝜕𝑀 )𝑘 𝜕𝑦

Divergencia de un campo vectorial 𝑑𝑖𝑣 𝐹 = 𝛻 ∙ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑃 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑏

∫𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))√[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 + [𝑧´(𝑡)]2 𝑑𝑡 𝑎

ℂ

Integral de Línea de un campo vectorial 𝑏

∫𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = ∫𝐹 ∙ 𝑇 𝑑𝑠 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ∙ 𝑟´(𝑡) 𝑑𝑡 𝑐

𝑎

𝑐

Integrales de línea en forma diferencial ∫𝐹 ∙ 𝑐

𝑑𝑟 𝑑𝑡 = ∫(𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦) 𝑑𝑡 𝑐

Formulas de integración 𝑣 𝑎2 𝑣 √𝑎 2 − 𝑣 2 + 𝑆𝑒𝑛−1 + 𝐶 2 2 𝑎 2 𝑣 𝑎 ∫ √𝑣 2 ± 𝑎2 𝑑𝑣 = √𝑣 2 ± 𝑎2 ± 𝑙𝑛(𝑣 + √𝑣 2 ± 𝑎2 ) + 𝐶 2 2 √𝑎2 + 𝑣 2 → 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 √𝑎2 − 𝑣 2 → 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 √𝑣 2 − 𝑎2 → 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∫ √𝑎2 − 𝑣 2 𝑑𝑣 =