Formulario Calculo

Formulario de Prec´ alculo. 1.

5. Leyes de los logaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)   P b) loga = loga (P ) − loga (Q) Q

Los N´ umeros.

1. Leyes de los exponentes y radicales. m n

a) a a = a d)

 a n b

g) a1/n j)

m+n

m n

b) (a ) = a

n

mn

c) loga (Qn ) = n loga (Q)

n

c) (ab) = a b

m

a bn √ = na

a = am−n an √ h) am/n = n am r √ n a a k) n = √ n b b

=

e)

√ √ √ n n ab = n a b

n n

d ) aloga (x) = x

1 an √ m = ( n a)

f ) a−n =

e) loga (ax ) = x

i) am/n

f ) loga (1) = 0

l)

p√

m

n

a=

g) aloga (a) = 1

√ a

mn

h) log(x) = log10 (x)

2. Productos Notables.

i) ln(x) = loge (x) 2

a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y 2

2

2

b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y

j ) Cambio de base:

2

c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

loga (Q) =

logb (Q) logb (a)

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas

2

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2

e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3

6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.

3

g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

a) La Ecuaci´ on Cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0 tiene soluciones: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a 2 El n´ umero b −4ac se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes. ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales. iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjugadas.

4

h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 5

j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: (x + y)n =

n   X n n−r r x y r r=0

b) Para la Ecuaci´ on C´ ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0 sean:

  n n! Nota: = n Cr = r!(n − r)! r

3b − a2 9ab − 27c − 2a3 , R= 9 54 q q p p 3 3 S = R + Q3 + R 2 , T = R − Q3 + R 2 Q=

4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) 3

3

2

Entonces las soluciones son: a x1 =S + T − 3   S+T a x2 = − + + 2 3   S+T a x3 = − + − 2 3

2

c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2





h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2




i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4





j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2

l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2

m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2 1

√ ! (S − T ) 3 i 2 √ ! (S − T ) 3 i 2

El n´ umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son complejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.

3.

Funciones Trigonom´ etricas.

3.1.

Relaciones nom´ etricas. csc(A) =

entre

1 sen(A)

Funciones

cos3 (A) =

1 sec(A) = cos(A)

sec (A) − tan (A) = 1

sen(A) cos(A)

csc2 (A) − cot2 (A) = 1

tan(A) =

1 2

cos2 (A) =

1 2

3

sen (A) =

4.

3 4

−

1 2

+

1 2

sen5 (A) =

5 8

sen(A) −

5 16

sen(3A) +

1 16

sen(5A)

cos5 (A) =

5 8

cos(A) +

5 16

cos(3A) +

1 16

cos(5A)

cos(2A) +

sen(A) −

cos(4A)

2

3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´ etricas.

sen(A) + sen(B) = 2 sen

A+B 2

sen(A) − sen(B) = 2 sen

A−B 2

cos(A) + cos(B) = 2 cos

A+B 2

cos(A) − cos(B) = 2 sen

A+B 2

sen(A) sen(B) =

1 2

cos(A) cos(B) =

1 2

sen(A) cos(B) =

1 2

cos(2A) 1 4

1 8

+

cos(2A)

sen(3A)




cos

A−B 2

cos

A+B 2




cos

A−B 2

sen

B−A 2



















 cos(A − B) − cos(A + B)



 sen(A − B) + sen(A + B)



 cos(A − B) + cos(A + B)

Funciones Hiperb´ olicas.

Seno hiperb´olico de x = senh(x) =

ex − e−x 2

Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) =

Cosecante hiperb´olica de x = csch(x) =

ex + e−x 2

Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) =

4.1.

1 2

3 8

Potencias de Funciones Trigonom´ etricas.

sen2 (A) =

cos(3A)

cos4 (A) =

cos(A) 1 = cot(A) = sen(A) tan(A)

3.2.

1 4

cos(A) +

3 1 1 4 Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)

sen2 (A) + cos2 (A) = 1

2

3 4

Secante hiperb´olica de x = sech(x) =

ex − e−x ex + e−x

2 ex − e−x

2 ex + e−x

Cotangente hiperb´olica de x = coth(x) =

ex + e−x ex − e−x

Relaci´ on entre las Funciones Hiperb´ olicas.

tanh(x) =

coth(x) =

senh(x) cosh(x) 1 cosh(x) = tanh(x) senh(x)

sech(x) =

1 cosh(x)

cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 sech2 (x) + tanh2 (x) = 1

1 csch(x) = senh(x)

coth2 (x) − csch2 (x) = 1

2

Formulario de C´ alculo.

Funciones Trigonom´ etricas:

Derivadas. En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x), u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. F´ ormulas B´ asicas: Funci´ on:

Su Derivada:

f =k

f′ = 0

Funci´on:

Su Derivada:

f = sen(u)

f ′ = cos(u) · u′

f = cos(u)

f ′ = − sen(u) · u′

f = tan(u)

f ′ = sec2 (u) · u′

f = csc(u)

f ′ = − csc(u) cot(u) · u′

f = sec(u)

f ′ = sec(u) tan(u) · u′

f = cot(u)

f ′ = − csc2 (u) · u′

Linealidad de la derivada: f =k·u

f ′ = k · u′

f =u±v

f ′ = u′ ± v ′

f =k·u±c·v

′

′

f =k·u ±c·v

Funciones Trigonom´ etricas Inversas: Funci´on:

f = arc cos(u)

u′ ; f′ = −√ 1 − u2

f = arctan(u)

f′ =

f = arccsc(u)

u′ f′ = − √ u u2 − 1

f = arcsec(u)

u′ ; f′ = √ u u2 − 1

f = arccot(u)

f′ = −

′

Regla del Producto: f =u·v

f = arc sen(u)

Su Derivada: u′ f′ = √ ; |u| < 1 1 − u2

f ′ = u · v ′ + v · u′

Regla del Cociente: u f= v

v · u′ − u · v ′ f′ = v2

Regla de la Cadena (Composici´ on de funciones) f = u(x) ◦ v(x)

f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x)

Regla de la Potencia: f = vn

f ′ = n · v n−1 · v ′

f = k · vn

f ′ = k · n · v n−1 · v ′

f ′ = eu · u ′

f = au

f ′ = au · ln(a) · u′

Funciones Logar´ıtmicas: f = ln(u) f = loga (u)

u′ f = u ′

f′ =

u′ 1 + u2

u′ ; 1 + u2

|u| > 1 |u| > 1

Funciones Hiperb´ olicas:

Funciones Exponenciales: f = eu

|u| < 1

u′ u · ln(a)

Una Funci´ on elevada a otra Funci´ on:   v · u′ v ′ v ′ f =u f = u v · ln(u) + u 3

Funci´on:

Su Derivada:

f = senh(u)

f ′ = cosh(u) · u′

f = cosh(u)

f ′ = senh(u) · u′

f = tanh(u)

f ′ = sech2 (u) · u′

f = csch(u)

f ′ = −csch(u) coth(u) · u′

f = sech(u)

f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′

f = coth(u)

f ′ = −csch2 (u) · u′

Funciones Hiperb´ olicas Inversas:

17)

Funci´ on:

Su Derivada:

18)

f = arcsenh(u)

u′ f = √ 1 + u2

19)

f = arccosh(u)

f = arctanh(u) f = arccsch(u)

f = arcsech(u)

f = arccoth(u)

′

u′ f′ = √ ; u2 − 1 f′ =

′

u ; 1 − u2

f′ = −

20)

′

u √ ; |u| 1 + u2

u′ f = ; 1 − u2

22)

|u| < 1

u′ f′ = − √ ; u 1 − u2 ′

21)

|u| > 1

23)

u 6= 0

24) 25)

0
26)

|u| > 1

F´ ormulas B´ asicas. 2)

0dx = C

R

kdx = kx + C

R R (k · u ± w · v)dx = k udx + w vdx + C R n+1 para n 6= −1. 4) Regla de la potencia un du = un+1 R u 5) Regla exponencial e du = eu R 6) Regla logar´ıtmica ln |u| du = u ln |u| − u

3)

7)

8)

R

R

u

37) 38) 39)

= ln |u| + C

40)

Trigonom´ etricas. 9)

R

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

R

sec u tan udu = sec u

cot2 udu = − cot u − u sen2 udu =

u 2

−

sen 2u 4

= 12 [u − sen u cos u]

R

cos2 udu =

u 2

+

sen 2u 4

= 12 [u + sen u cos u]

R

csc u cot udu = − csc u

R

senh udu = cosh u

R

tanh udu = ln[cosh u]

R

cosh udu = senh u

R

coth udu = ln[senh u]

R

Integrales con au + b.

au au du = +C ln(a)

R du

R

R

sechudu = sen−1 [tanh u] = 2 tan−1 [eu ] R   28) cschudu = ln tanh u2 = −2 coth−1 [eu ] R 29) sech2 udu = tanh u R 30) csch2 udu = − coth u R 31) tanh2 udu = u − tanh u R 32) coth2 udu = u − coth u R 33) senh2 udu = senh4 2u − u2 = 21 [senh u cosh u − u] R 34) cosh2 udu = senh4 2u + u2 = 21 [senh u cosh u + u] R 35) sechu tanh udu = −sechu R 36) cschu coth udu = −cschu 27)

En este formulario: k, w, C ∈ R son constantes reales, u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x.

R

tan2 udu = tan u − u

Hiperb´ olicas.

Integrales.

1)

R

41)

sen udu = − cos u R cos udu = sen u R tan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C R cot udu = ln sen u R 
 sec udu = ln[sec u + tan u] = ln tan u2 + π4   R csc udu = ln[csc u − cot u] = ln tan u2 R sec2 udu = tan u R csc2 udu = − cot u

42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 4

R

du au+b

=

1 a

ln (au + b)

R

udu au+b

=

u a

−

R

u2 du au+b

=

(au+b)2 2a3

R

u3 du au+b

=

(au+b)3 3a4

R

du u2 (au+b)

1 b

b a2

ln (au + b) −

− 

R

du u(au+b)

R

du (au+b)2

=

−1 a(au+b)

R

udu (au+b)2

=

b a2 (au+b)

R

u2 du (au+b)2

=

au+b a3

R

du u(au+b)2

R

du u2 (au+b)2

R

du (au+b)3

=

ln

=

=

−

1 b(au+b)

a b2

+



ln

1 a2

+

1 b2

−

b2 a3

+

au+b u

ln (au + b)

3b2 (au+b) a4

−

b3 a4




ln (au + b)

b2 a3 (au+b)

−a b2 (au+b)

−1 2(au+b)2

+

3b(au+b)2 2a4

u au+b

1 = − bu +

=

2b(au+b) a3

ln 1 b2 u

− 

2b a3

ln (au + b) 

u au+b

+

2a b3

ln

au+b u




ln (au + b)

49) 50) 51) 52) 53) 54)

55)

R

R

R

R

R

R

R

udu (au+b)3

=

−1 a2 (au+b)

+

b 2a2 (au+b)2

u2 du (au+b)3

=

2b a3 (au+b)

−

b2 2a3 (au+b)2

57) 58)

59)

60)

n

(au + b) du =

(au+b)n+1 (n+1)a

61)

n

u (au + b) du = n

u2 (au + b) du =

64) 65) 66) 67) 68)

69) 70)

−

(au+b)n+3 (n+3)a3

b(au+b)n+1 (n+1)a2

−

√

2 √u du au+b

=

2(3a2 u2 −4ab u+8b2 ) √ au 15a3

R

√du u au+b

u2

=

√du au+b

    

=−

√1 b

ln

√2 −b √

R

77) 78)

+b

tan−1

au+b bu

81) +b

82)

√  √au+b−√b au+b+ b

√

a 2b

−

2(3au−2b) 15a2

q R

83)

au+b −b

84)

√du u au+b

85) 86)

q 3 (au + b)

87)

q √ 2(15a2 u2 −12ab u+8b2 ) u au + b du = (au + b)3 105a3 2

√

√

au+b du u au+b u2 du m

√u du au+b

um

du √ au+b

√ R = 2 au + b + b =− =

√ au+b u

√ 2um au+b (2m+1)a

√

a 2

−

R

89)

√du u au+b

2mb (2m+1)a

au+b = − (m−1)bu m−1 − m

88)

√du u au+b

√

√ um au + bdu =

√

+

2u (2m+3)a (au

R

90) um−1 √ du au+b

(2m−3)a R (2m−2)b

91)

du √ um−1 au+b

92)

+ b)3/2 R m−1 √ 2mb − (2m+3)a u au + bdu

√

au+b um du

au+b = − (m−1)u m−1 +

au+b um du

=

−(au+b)3/2 (m−1)bum−1

−

a 2(m−1)

(2m−5)a (2m−2)b

R

R

2(au+b)(m+2)/2 a(m+2)

R

(au + b)m/2 du =

R

u2 (au + b)m/2 du =

R

(au+b)m/2 du u

=

(au+b)m/2 du u2

= − (au+b)bu

R

du u(au+b)m/2

R

R

u(au + b)m/2 du =

2(au+b)(m+4)/2 a2 (m+4)

2(au+b)(m+6)/2 a3 (m+6)

4b(au+b)(m+4)/2 a3 (m+4)

−

2b2 (au+b)(m+2)/2 a3 (m+2)

+

2(au+b)m/2 m

(au+b)(m−2)/2 du u

R

+b

(m+2)/2

=

2b(au+b)(m+2)/2 a2 (m+2)

−

+

ma 2b

2 b(m−2)(au+b)(m−2)/2

+

1 b

u2 u2 +a2



(au+b)m/2 du u

R

du u(au+b)(m−2)/2

R

Integrales con u2 + a2 .

80)

√ R√ 2 (au+b)3 au + b du = 3a

R

76)

79)

R

R

75)

au + b.

2(au−2b) √ au 3a2

R

b2 (au+b)n+1 (n+1)a3

u (au + b) du =  um+1 (au+b)n R m n−1 nb  + m+n+1 u (au + b) du  m+n+1    m R m−1 n u (au+b)n+1 mb = − (m+n+1)a u (au + b) du (m+n+1)a     R m  −um+1 (au+b)n+1 + m+n+2 u (au + b)n+1 du (n+1)b (n+1)b

=

R

+

74)

n

m

√udu au+b

R

para n 6= −1, −2

2b(au+b)n+2 (n+2)a3

√ 2 au+b a

R

72)

para n 6= −1, −2, −3

R √ 62) u au + b du = 63)

(au+b)n+2 (n+2)a2

=

R

ln (au + b)

para n 6= −1

√ du au+b

R

1 a3

73)

R

R

+

(au+b)2 2a

(au + b) du =

Integrales con 56)

71)

93) 94)

du √ um−1 au+b √

au+b um−1 du

95) 5

R

du u2 +a2

=

1 a

tan−1

R

udu u2 +a2

=

1 2

ln u2 + a2

R

u2 du u2 +a2

= u − a tan−1

R

u3 du u2 +a2

=

u2 2

−

R

du u(u2 +a2 )

=

1 2a2

R

du u2 (u2 +a2 )

= − a21u −

R

du u3 (u2 +a2 )

= − 2a21u2 −

R

du (u2 +a2 )2

=

u 2a2 (u2 +a2 )

R

udu (u2 +a2 )2

=

−1 2(u2 +a2 )

R

u2 du (u2 +a2 )2

=

−u 2(u2 +a2 )

+

1 2a

R

u3 du (u2 +a2 )2

=

a2 2(u2 +a2 )

+

1 2

R R R

du




u a

ln u2 + a2

ln





u2 u2 +a2 1 a3


u a

tan−1 1 2a4

+

1

=

u(u2 +a2 )2

a2 2

u a

2a2 (u2 +a2 )

du u2 (u2 +a2 )2

= − a41u −

du u3 (u2 +a2 )2

= − 2a41u2 −

ln

1 2a3



ln(u2 + a2 )

+

1 2a4

ln

u 2a4 (u2 +a2 )

=

2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1

R

udu (u2 +a2 )n

=

−1 2(n−1)(u2 +a2 )n−1

R

um du (u2 +a2 )n

R

du u(u2 +a2 )n

du

u

=

=

um (u2 +a2 )n

=

um−2 du (u2 +a2 )n−1 1 a2

R

u2

(u2 +a2 )

− a2 du

R

3 2a5

−

+

1 2a2 (n−1)(u2 +a2 )n−1

R



1 2a4 (u2 +a2 )

du

R

u a

tan−1

(u2 +a2 )n

R

u a

tan−1

tan−1

1 a6

ln

2n−3 (2n−2)a2

+

um (u2 +a2 )n−1

−



1 a2

R



R

u a

u2 u2 +a2



du (u2 +a2 )n−1

du u(u2 +a2 )n−1

um−2 du (u2 +a2 )n

−

1 a2

R

du um−2 (u2 +a2 )n

Integrales con u2 − a2 . 96) 97) 98) 99)

R

R

R

R

100) 101) 102) 103) 104)

105) 106) 107) 108) 109) 110) 111) 112) 113) 114)

du u2 −a2

=

udu

=

u2 −a2 u2 du u2 −a2 u3 du u2 −a2

R

R

1 2a



ln

1 2

u−a u+a



122)

= − a1 coth−1

=

du u(u2 −a2 )

R

du u3 (u2 −a2 )

R

udu (u2 −a2 )2

R

du (u2 −a2 )2

R

u2 du (u2 −a2 )2 3

+

1 2a2

=

du u2 (u2 −a2 )

a2 2

=

2

ln u − a  2 2 ln u u−a 2 +

1 2a2 u2

=

125)

2

1 a2 u

1 2a3

−

−u 2a2 (u2 −a2 )

=

−1 2(u2 −a2 )

=

−u 2(u2 −a2 )

=

−a 2(u2 −a2 )



ln

1 2a4

=

ln

+

1 4a

+

1 2

127)



ln

2

u u2 −a2



du u2 (u2 −a2 )2

= − a41u −

R

du u3 (u2 −a2 )2

= − 2a41u2 −

R

du (u2 −a2 )n

=

−u 2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1

R

udu (u2 −a2 )n

=

−1 2(n−1)(u2 −a2 )n−1

R

R R

du

u(u2 −a2 )n um du (u2 −a2 )n

du um (u2 −a2 )n

ln

u 2a4 (u2 −a2 )

um−2 du (u2 −a2 )n−1

=

1 a2

R

+ a2

R

131) 132)

u2 u2 −a2 3 4a5

+



ln

1 a6

133) 

ln

2n−3 (2n−2)a2

−

1 a2

R

u−a u+a



R



+

1 a2

u2 u2 −a2



du (u2 −a2 )n−1

du

116) 117) 118) 119) 120) 121)

R R

R

R

R

R

R

udu a2 −u2

= − 21 ln(a2 − u2 )   a+u = −u + a2 ln a−u

u du a2 −u2 u3 du a2 −u2

ln

2

= − u2 −

du u(a2 −u2 )

=

1 2a2

a+u a−u



=

2

1 2a



du a2 −u2

1 a

tanh−1

R

du um (u2 −a2 )n−1

=

du u3 (a2 −u2 )

= − 2a21u2 +

+

1 2a3

ln

1 2a4

a+u a−u

ln



u2 du (a2 −u2 )2

=

u 2(a2 −u2 )

−

1 4a

R

u3 du (a2 −u2 )2

=

a2 2(a2 −u2 )

+

1 2

R

du u(a2 −u2 )2



= − a41u +

R

du u3 (a2 −u2 )2

= − 2a41u2 +

dx (a2 −x2 )n

=

x 2(n−1)a2 (a2 −x2 )n−1

R

xdx (a2 −x2 )n

=

1 2(n−1)(a2 −x2 )n−1

R

R√ u2 + a2 du =

√



a+u a−u

a+u a−u

u2 (a2 −u2 )2

R

du

ln

ln





ln(a2 − u2 )  2  + 2a14 ln a2u−u2

1 2a2 (a2 −u2 )

=

1 4a3

+

u

2a4 (a2 −u2 )

+

1 2a4 (a2 −u2 )

3 4a5

+

ln

1 a6



ln

2n−3 (2n−2)a2

+

a+u a−u



R

u2 + a2 .

√ u u2 +a2 2

+

a2 2

ln u +

√

u 2 + a2

3/2 √ √ 2 u(u2 +a2 ) 2 2 u2 u2 + a2 du = − a u 8u +a 4 √
4 − a8 ln u + u2 + a2

R R

R

2 √u du u2 +a2

=

3 √u du u2 +a2

=

−

a2 2

ln u +

(u2 +a2 ) 3

= − a1 ln

√du u2 +a2

=−

√
u 2 + a2

√ − a2 u 2 + a2  √  3/2

√ du u u2 +a2 u2

√ u u2 +a2 2

143)

R

147) 148) 

149) 6

R

u3

√

√

√du u2 +a2

=−

a+ u2 +a2 u

√ u2 +a2 a2 u √ u2 +a2 2a2 u2

√ u2 +a2 u √ 2 2 − u2u+a 2

u2 +a2 du u2

=−

u2 +a2 du u3

=

R

du (u2 +a2 )3/2

=

R

udu (u2 +a2 )3/2

=

√ −1 u2 +a2

R

u2 du (u2 +a2 )3/2

=

√ −u u2 +a2

R

u3 du (u2 +a2 )3/2

=

R

du u(u2 +a2 )3/2

a2

√

=

√u u2 +a2

+

√
+ ln u + u2 + a2  √  2 2 1 − 2a ln a+ uu +a

u 2 + a2 +

a2

1 2a3

+ ln u +

√1 u2 +a2

√
u 2 + a2

2 √ a u2 +a2

−

1 a3

ln





dx (a2 −x2 )n−1

3/2 R √ (u2 +a2 ) u u2 + a2 du = 3

R



u2 a2 −u2

 √  2 2 ln a+ uu +a  √  √ R √u2 +a2 2 + a2 − a ln a+ u2 +a2 142) du = u u u

u a

u2 a2 −u2

R

R

146)



1 2(a2 −u2 )

141)

145)



=

R

140)

u a2 −u2

du u2 (a2 −u2 )

udu (a2 −u2 )2

137)

144)

ln(a2 − u2 )  2 

R

R

139)

a2 2

ln

1 a2 u

=

u 2a2 (a2 −u2 )

134)

138)

u(u2 −a2 )n−1

Integrales con a2 − u2 , u2 < a2 . 115)

=

5/2 3/2 √ a2 (u2 +a2 ) (u2 +a2 ) u3 u2 + a2 du = − 5 3 √
R = ln u + u2 + a2 = senh−1 ua 135) √udu 2 +a2 √ R 136) √uudu = u 2 + a2 2 +a2

um−2 du (u2 −a2 )n

du um−2 (u2 −a2 )n

du (a2 −u2 )2

Integrales con


2

−

−

2a2 (n−1)(u2 −a2 )n−1

R



1 2a4 (u2 −a2 )

−1

=

=

1 2a4

130) 



ln u2 − a

+

129)



u−a u+a

u−a u+a

R

−1 2a2 (u2 −a2 )

=



ln

u du (u2 −a2 )2

du u(u2 −a2 )2

128)



u−a u+a

1 4a3

−

126)




R

R

123) 124)


ln u2 − a2   = u + a2 ln u−a u+a u2 2

u a

R

 √ a+ u2 +a2 u




150) 151)

152)

153) 154)

155)

156)

157)

R

R

R R

R

du u2 (u2 +a2 )3/2

=−

du u3 (u2 +a2 )3/2

=

u2 + a


2 3/2

2

u u +a

u2 u2 + a

R (u2 +a2 )3/2 u

R (u2 +a2 )3/2 u2

R (u2 +a2 )3/2 u3

159) 160) 161) 162) 163) 164) 165) 166) 167)

168) 169) 170)

R

R R R R

R

R

a4

−1 √ 2a2 u2 u2 +a2

−

3 2a5

du =


2 3/2

 √ a+ u2 +a2 u

R

R

174)

√ 3a u u2 +a2 8

2 3/2

)

2

du −

175) 176)

5 2 5/2

2

2

du =

(u2 +a2 ) 3

177)

2 3/2

u(u +a ) a u(u +a ) = − 6 24 √ √ 4 6 2 2 a u u +a − a16 ln u + u2 16 2

+

√ + a2 u 2 + a2  √ 

a2

178)




179)

a+ u2 +a2 u

− a3 ln

√

(u2 +a2 )3/2

2

180)

2

+ 3u u2 +a u √
+ 32 a2 ln u + u2 + a2

du = −

du = −

(u2 +a2 )

− 32 a ln

√

=

√ u u2 −a2 2

=

(u2 −a2 )

+

3/2

3

u2

√du u2 −a2

=

u3

√du u2 −a2

=

sec−1

√

√ u 2 + a2 

182)

√ a+ u2 +a2 u

183) 184)

u2 −a2 2a2 u2

a2 2

185)

ln u +

√
u 2 − a2

u a

186)




+

187) 188)

1 2a3

√ u u2 −a2 2

sec−1

−

a2 2

u a




ln u +

189) √
u 2 − a2

190) 191)

3/2 √ √ 2 u(u2 −a2 ) 2 2 u u2 − a2 du = + a u 8u −a 4 √
4 − a8 ln u + u2 − a2

192)

2

5/2 √ (u2 −a2 ) u u2 − a2 du = + 5

3

√ u2 −a2 du u √ u2 −a2 du u2

a2 (u2 −a2 ) 3

√ = u2 − a2 − a sec−1

=−

√ u2 −a2 u

+ ln u +

R

√

u2 −a2 du u3

√ u2 −a2 2u2

=−

193)

3/2

194) 195)

u a

√
u 2 − a2

196) 7

1 2a

+

du (u2 −a2 )3/2

= − a2 √uu2 −a2

udu (u2 −a2 )3/2

=

R

u2 du (u2 −a2 )3/2

= − √u2u−a2 + ln u +

R R R

R

u3 du

=

(u2 −a2 )3/2

du u(u2 −a2 )3/2

=

du

R

du u3 (u2 −a2 )3/2

R

u 2 − a2

R

u u 2 − a2

√−1 u2 −a2

2a2 u2

u(u −a2 ) 6

du =

(u

2

2

−a 3

ln u +

)

√
u 2 − a2

√

2

3/2

3

= − a1 ln( a+

u3

√du a2 −u2

=−

2

√ 3 u2 −a2 2

− 32 a sec−1

+

a2 2

sen−1

u a

√ − a2 a2 − u 2

√

a2 −u2 ) u

√ a2 −u2 2a2 u2

−

√ u a2 −u2 2

1 2a3

+

ln( a+

a2 2

√ a2 −u2 ) u

sen−1

u a

R √ (a2 −u2 )3/2 u a2 − u2 du = − 3

R

u a

√ a2 −u2 a2 u

R√ a2 − u2 du = R

u a

a2 − u2 .

3 √u du a2 −u2

(a2 −u2 )

+

2u2

√

5/2

√ − a2 u2 − a2 + a3 sec−1

(u2 −a2 )3/2

R

=−

2

a2 (u2 −a2 ) 5

+

(u2 −a2 )3/2

√ a2 −u2 2

√du a2 −u2

u a

3/2

+ 3u u2 −a u √
− 32 a2 ln u + u2 − a2

u2

sec−1

a2 u(u2 −a2 ) 24

+

7

= −u

R

a6 16

2 3/2

2 √u du a2 −u2

R

+

5/2

(u2 −a2 )

√ udu a2 −u2

√ du u a2 −u2

√

2

3 2a5

−

5

R

R

√3 u2 −a2

(u2 −a2 )

= sen−1 ua √ = − a2 − u 2

=

2a4

7/2

du = −

R

−

√ a4 u u2 −a2 16

R (u2 −a2 )3/2 √ du a2 −u2

u2 −a2

2

du = −

R

a4

5/2

du =

R (u2 −a2 )3/2 u3

√u u2 −a2

−

− 3a u 8u −a √
+ 38 a4 ln u + u2 + a2

du =

u 3 u 2 − a2

u a

sec−1

3/2


3/2

R

1 a3

√
u 2 − a2

u(u2 −a2 ) 4

du =

−

u2

1 √


2 3/2

u2 u2 − a

−

√ u2 −a2 a4 u

du =


3/2

R

u

a2

=


3/2

2 √ a u2 −a2

u 2 − a2 −

=−

u2 (u2 −a2 )3/2

R (u2 −a2 )3/2

√ −1 u2 −a2

√

u a

sec−1

R

Integrales con

√ + a2 u 2 − a2

u2 −a2 a2 u

√



3 2

√
u 2 − a2

√ u 2 − a2

1 a

+

181)

u2 − a2 .

=

=

3/2

2u2

R √ (u2 −a2 )3/2 u u2 − a2 du = 3

R

173)

3/2

R√ u2 − a2 du =

R

172)

√3 2a4 u2 +a2

(u2 +a2 )5/2

√ udu u2 −a2

√ du u u2 −a2

171)

+ √
+ 38 a4 ln u + u2 + a2

= ln u +

3 √u du u2 −a2



u(u +a 4

du =

√ du u2 −a2

2 √u du u2 −a2

ln 2


2 3/2

√u u2 +a2

−

+

Integrales con 158)

√ u2 +a2 a4 u

3/2 √ √ 2 4 u(a2 −u2 ) 2 2 u2 a2 − u2 du = − + a u 8a −u + a8 sen−1 4 5/2 √ (a2 −u2 ) u3 a2 − u2 du = − 5

3

a2 (a2 −u2 ) 2 3

u a

197) 198) 199) 200) 201) 202) 203) 204) 205) 206)

R

R

R

R R

R

R R

R R

√ a2 −u2 du u √ a2 −u2 du u2

=

udu (a2 −u2 )3/2

=

u du (a2 −u2 )3/2 u du (a2 −u2 )3/2

du u(a2 −u2 )3/2

=

a2


3/2

u 2 a2 − u 2

R

u 3 a2 − u 2

R (a2 −u2 )3/2 u

R (a

)

u3

ln

a4

a+ a2 −u2 u

√u a2 −u2

+

2a4



√3 a2 −u2

 √ a+ a2 −u2 u


3/2

du =

3/2

(a2 −u2 )7/2 7

+

214)

215) 216)

217)

R

du au2 +bu+c

R

udu au2 +bu+c

=

1 2a

=

u a

R

u2 du au2 +bu+c

2 3/2

−u u

)

−

2 3/2

−u ) 2u2

3 2 a ln

a2 (a2 −u2 ) 5

228)



−

√ 3u a2 −u2 2

+ 23 a2 sen−1

R

du u(au2 +bu+c)

+

 √ a+ a2 −u2 u

=

2

1 2c

ln

au2 +bu+c



u2 au2 +bu+c



−




b 2c

R

R

1 6a2

udu u3 +a3

=

1 6a

R

u2 du u3 +a3

=

1 3

du u2 (u3 +a3 )

R

231)

R

du (u3 +a3 )2

R

udu (u3 +a3 )2

233)

R

u2 du (u3 +a3 )2

234)

R

235) 236) 237) 8

=

R

du au2 +bu+c

du au2 +bu+c

du u3 +a3

230)

232)

b 2a

ln au + bu + c R b2 −2ac du 2a2

b 2c

−

du u(au2 +bu+c)

−

c a

= − cu(au21+bu+c) − 3a c R du − 2b c u(au2 +bu+c)2 um−2 du au2 +bu+c

R

R

b 4ac−b2

2c 4ac−b2

du au2 +bu+c du au2 +bu+c

R

R

du au2 +bu+c

du (au2 +bu+c)2

R

R

1 c

um−1 (m−1)a

R

du u(u3 +a3 )

u a

√ 3 a2 −u2 2


ln au2 + bu + c −

−

1 2c(au2 +bu+c)

2a 4ac−b2

+

a(4ac+b2 )(au2 +bu+c)

=

du un (au2 +bu+c)

R

229)

2 4ac−b2

b 2a2

R

+

(b2 −2ac)u+bc

+

=

du au2 +bu+c

R

2au+b (4ac−b2 )(au2 +bu+c)

=

um du au2 +bu+c

5/2

−

  tan−1 √2au+b 4ac−b2 =   √  √ 1 2au+b−√b2 −4ac  ln b2 −4ac 2au+b+ b2 −4ac √

u2 du

(au2 +bu+c)2

R

Integrales con au2 + bu + c.   

R

224)

a+ a2 −u2 u

− a3 ln

(a

= − (4ac−b2bu+2c )(au2 +bu+c) −

du u2 (au2 +bu+c)2

227)

√ + a2 a2 − u 2  √ 

3

du = −

udu (au2 +bu+c)2

R

R

226)

(a2 −u2 )3/2

2

1 cu

=

b2 −2ac 2c2

−

du (au2 +bu+c)2

R

−

b a

R

um−1 du au2 +bu+c

R 1 b du = − (n−1)cu n−1 − c un−1 (au2 +bu+c) R − ac un−2 (audu2 +bu+c)

Integrales con u3 + a3 .

5/2

(a



du (au2 +bu+c)2

+

ln

5

u(a2 −u2 ) a2 u(a2 −u2 ) + 6 24 √ a4 u a2 −u2 a6 + 16 sen−1 ua + 16

2

au2 +bu+c u2

R

=

223)

225)

(a2 −u2 )5/2

du = −

du =



ln

√

3/2 √ 2 u(a2 −u2 ) 2 2 + 3a u 8a −u 4 + 38 a4 sen−1 ua


3/2

du = −

R (a2 −u2 )3/2

3 2a5

du = −

2 3/2

−u u2

+

−1 √ 2a2 u2 a2 −u2


3/2

R

1 a3





du u2 (au2 +bu+c)

du u(au2 +bu+c)2

√ a a2 −u2

b 2c2

R

R

222)

2

−

√ 2 2 − aa4−u u

du =

u a

− sen−1

√1 a2 −u2

−

u a2 − u 2

213)

=

du u3 (a2 −u2 )3/2

2

220) 221)

√ u a2 −u2

=

R

219)

√ 1 a2 −u2

du u2 (a2 −u2 )3/2

208)

212)

√u a2 −u2

218)

− sen−1 ua  √  2 2 1 + 2a ln a+ au −u

√ = a2 − u 2 +

3

a2 − u 2

211)

√ a2 −u2 2u2

a2

=

R

210)

√ a2 −u2 u

=−

du (a2 −u2 )3/2

2

 √  √ 2 2 a2 − u2 − a ln a+ au −u

=−

√ a2 −u2 du u3

207)

209)

=

R R R

2

ln u3 + a3 1 3a3

=

ln



1 6a4

u 3a3 (u3 +a3 )

=

2√ 3a5 3

1√ 3a4 3

+

tan−1

u2 3a3 (u3 +a3 )

=




u3 u3 +a3

= − a31u −

+

+

tan−1

1√ a2 3

1 √ a 3

tan−1

tan−1

2u−a √ a 3

2u−a √ a 3

 2

2

−au+a ln u (u+a) − 2 1 9a5

1√ a4 3

tan−1

2

ln u2(u+a) −au+a2

2u−a √ a 3 1 18a4

2

2

−au+a ln u (u+a) 2

2u−a √ a 3

= − 3(u31+a3 )

du

=

u(u3 +a3 )2 du u2 (u3 +a3 )2

=

2

−au+a ln u (u+a) + 2

+

um du u3 +a3

2

ln u2(u+a) −au+a2 +

1

3a3 (u3 +a3 )

= − a61u −

um−2 m−2

du un (u3 +a3 )

=

− a3

R

+

1 3a6

ln

u2 3a6 (u3 +a3 ) um−3 du u3 +a3

−1 a3 (n−1)un−1

−

1 a3

R



u3

u3 +a3

−

4 3a6



R

udu u3 +a3

du un−3 (u3 +a3 )

2u−a √ a 3

Integrales con u3 ± a3 . 238)

239)

240)

241) 242) 243) 244) 245) 246) 247) 248) 249) 250) 251)

R R R

du u4 +a4

u2 du u4 +a4

=

 2  √ 2 √2+a ln uu2 +au 2 −au 2+a h   √  − 2a31√2 tan−1 1 − u a 2 − tan−1 1 +

u3 du u4 +a4

R

udu u4 +a4

=

= − a41u − 4a51√2 ln h  + 2a51√2 tan−1 1 −

=

du u(u4 +a4 )

R

du u3 (u4 +a4 ) du u4 −a4

R

udu u4 −a4

R

 √ 1√ u2 −au√2+a2 ln 2 2 4a 2 u +au 2+a h  √  − 2a1√2 tan−1 1 − u a 2 

R

R

=

1+

+

√ i u 2 a

263) 264) 265)

√ i u 2 a

√ u 2 a

=

i 266) 267) 268) 269)

u2 a2

tan−1

270) 2

271)

= − 2a41u2 − 2a16 tan−1 ua2   1 −1 u = 4a13 ln u−a u+a − 2a3 tan a =

1 4a2

u2 du u4 −a4

=

1 4a

u3 du u4 −a4

=

1 4

R

du u(u4 −a4 )

R

− tan



 √ u2 −au√2+a2 u2 +au 2+a2  √  u 2 − tan−1 1 a


ln u4 + a4  4  = 4a14 ln u4u+a4 1 2a2

−1



1 4

R

R

262)

1√ 2

4a3

du u2 (u4 +a4 )

R

261)

du u2 (u4 −a4 ) du u3 (u4 −a4 )

ln

ln





2

2

u −a u2 +a2

u−a u+a





+

1 2a


ln u4 − a4  4 4 = 4a14 ln u u−a 4 = =

1 a4 u

+

1 2a4 u2

1 4a5

+



ln

1 4a6

ln

252) 253) 254) 255) 256) 257)

258) 259) 260)

R

R

sen(au)du =

275) 276) u−a u+a



2



+ 2

u −a u2 +a2

1 2a5

tan−1

u a

277)



278) 279)

u sen(au)du = 2

u sen(au)du =

2u a2



3u2 a2

u3 sen(au)du =

R

un sen(au)du = − u

R

sen2 (au)du =

R

R

n

un sen(au)du = − u

n

u 2

−

u cos(au) a

sen(au) +

R

R

280)

− cos(au) a sen(au) a2

−

6 a4

+

nun−1 a2

sen(2au) 4a

R

2

u a

sen(au)+

cos(au) a

−

−

−

n a

n(n−1) a2

3u 8

2 a3

+

sen3 (au)du = − cos(ax) + a sen4 (au)du =





cos(au) a

−

u2 4

u sen(2au) 4a

−

(au)3 3·3!

R

sen(au) du u

= au −

R

sen(au) du u2

= − sen(au) +a u

R

du sen(au)

=

1 a

R

udu sen(au)

=

R

du sen2 (au)

= − a1 cot(au)

du sen3 (au)

= − 2acos(au) sen2 (au) +

R

sen(pu) sen(qu)du =

R

1 a2

R

 au +

(au)3 18

(au)5 5·5!

+

− ...

cos(au) du u

R

ln [csc(au) − cot(au)] =

7(au)5 1800

+

+ ...+

=

1 a

tan

π 4

+

au 2

udu 1−sen(au)

=

u a

tan

π 4

+

au 2

R

du 1+sen(au)

= − a1 tan

R

=

− ua

 ln tan

sen[(p−q)u] 2(p−q)

du 1−sen(au)

π 4

−

π 4

1 a

tan

−

au 2

 ln tan

2(22n−1 −1)Bn (au)2n+1 (2n+1)!

1 2a

R

udu 1+sen(au)

cos(2au) 8a2

−




−

2 a2




+
au

au 2

 + ...




sen[(p+q)u] 2(p+q)

π 4

ln sen

−

au 2

2

au 2










π 4

+

au 2

π 4

+

au 2

π 4

−

ax 2










Integrales con cos(au).

Integrales con sen(au). R

u sen2 (au)du =

+ a22 ln sen
R du 1 π au 1 3 273) (1−sen(au)) 2 = 2a tan 4 + 2 + 6a tan R
1 π ax 1 dx 3 274) (1+senax) 2 = − 2a tan 4 − 2 − 6a tan 272)

u a

tan−1

R

R





281) cos(au)

6u a3

282) −

 3

u a

cos(au)

283)

un−1 cos(au)du

284) 285)

un−2 sen(au)du

+

cos(au)du =

R R

un cos(au)du =

cos(au) a2

R

u cos(au)du =

u2 cos(au)du =

2u a2

R

u3 cos(au)du =



R

un cos(au)du = − u

R

cos2 (au)du =

u 2

R

cos3 (au)du =

sen(au) a

R

cos4 (au)du =

3u 8

R

u cos2 (au)du =

u sen(au) a

cos(au) +

3u2 a2

−

6 a4

un sen(au) a n

−

sen(4au) 32a

=

9

R

1 a2

cos(au) du u

+

+

−

sen(au) a

n(n−1) R a2

u2 a

−

cos(au)+ n a

+

R



2 a3



sen(au)

u3 a

−

6u a3

n

(au)2 2

+

= ln u −

(au)4 8

+



sen(au)

un−1 sen(au)du

nun−1 a2

cos(au)

un−2 cos(au)du

sen(2au) 4a

+

u2 4





−

sen3 (au) 3a

sen 2(au) 4a

+

+

u sen 2(au) 4a

(au)2 2·2!

sen 4(au) 32a

+ 4

cos 2(au) 8a2 6

(au) + (au) 4·4! − 6·6! + . . . R R cos(au) 286) cos(au) − a sen(au) du u2 du = − u u R du  287) cos(au) = a1 ln [sec(au) + tan(au)] = a1 ln tan R udu 288) cos(au) =

sen(au)

cos3 (au) 3a

sen(2au) 4a

sen(au) a

R

5(au)6 144

+ ...+

En (au)2n+2 (2n+2)(2n)!

o + ...

π 4

+

au 2




289) 290) 291) 292) 293) 294) 295) 296) 297)

R

du cos2 (au)

=

tan(au) a

du cos3 (au)

=

sen(au) 2a cos2 (au)

R

cos(au) cos(pu)du =

R

317) +

1 2a

sen[(a−p)u] 2(a−p)

R

du 1−cos(au)

= − a1 cot au 2

R

udu 1−cos(au)

= − ua cot au 2 +

R

du 1+cos(au)

R

udu 1+cos(au)

R

du (1−cos(au))2

1 = − 2a cot au 2 −

R

du (1+cos(au))2

=

=

1 a

tan

=

u a

tan au 2 +

1 2a

π 4

 ln tan

2 a2

+

au 2




318)

sen[(a+pu)] 2(a+p)

−

319)

320) 321)

ln cos au 2

tan au 2 +

1 6a

1 6a

cot3

tan3

322)

au 2

323)

au 2

324)

Integrales con sen(au) y cos(au). 298) 299) 300) 301) 302) 303) 304) 305) 306) 307) 308) 309) 310) 311)

325)

R

sen(au) cos(au)du =

sen2 (au) 2a

sen(pu) cos(qu)du =

− cos[(p−q)u] 2(p−q)

R

senn (au) cos(au)du =

R

−

327)

n+1

(au) cosn (au) sen(au)du = − cos(n+1)a

R

du sen(au) cos(au)

2

sen (au) cos (au)du =

R

du sen2 (au) cos(au)

R

R R

=

du sen(au) cos2 (au) du sen2 (au) cos2 (au) sen2 (au) cos(au) du 2

cos (au) sen(au) du

1 a

 = a1 ln tan

328)

+


 au 2

329)
 au 2

+

−

1 a sen(au)

330)

1 a cos(au)

331)

= − 2 cot(2au) a

=

cos(au) a

R

π 4

 = a1 ln tan

=

du sen(au)±cos(au)

−

332)

 + a1 ln tan

 + a1 ln tan

=

1 √ a 2

ln tan

sen(au)du sen(au)±cos(au)

=

x 2

1 2a

cos(au)du sen(au)±cos(au)

= ± x2 +

∓

au 2

au 2


 au

+


 π 4

333)

2

±

π 8

334)




335)

ln [sen(au) ± cos(au)]

336)

Integrales con tan(au). 312) 313) 314) 315) 316)

R

tan (au) du = − a1 ln cos(au) =

R

tan2 (au)du =

tan(au) a

R

tan3 (au)du =

tan2 (au) 2a

R

tann (au)du =

tann−1 (au) (n−1)a

R

tann (au) sec2 (au)du =

1 a

337)

ln sec(au)

338)

−u +

1 a

339)

ln cos(au)

−

R

du tan(au)

1 a

R

u tan2 (au)du =

R

=

1 a

ln tan(au)

ln sen(au) u tan(au) a

+

1 a2

ln cos(au) −

u2 2

1 a

R

cot(au)du =

R

cot3 (au)du = − cot2a(au) −

R

csc2 (au) cot(au) du

R

ln sen(au)

−u cot2 (au)du = − cot(au) a 2

1 a

ln sen(au) n+1

R

(au) cotn (au) csc2 (au)du = − cot(n+1)a

R

du cot(au)

R

R

= − a1 ln cot(au)

= − a1 ln cos(au)

+ u cot2 (au)du = − u cot(au) a n−1

(au) cotn (au)du = − cot(n−1)a −

1 a2

ln sen(au) −

R

cotn−2 (au)du

u2 2

R

sec(au)du =

R

1 a

ln [sec(au) + tan(au)] =

R

sec2 (au)du =

tan(au) a

sec3 (au)du =

sec(au) tan(au) 2a

R

secn (au) tan(au)du =

R

u sec2 (au)du =

R R

du sec(au)

=

+

1 2a

1 a

ln tan

ax 2

+

π 4

ln [sec(au) + tan(au)]

secn (au) na

sen(au) a

secn (au)du =

x a

tan(au) +

1 a2

secn−2 (au) tan(au) a(n−1)

ln cos(au) +

n−2 n−1

R

secn−2 (au)du

Integrales con csc(au).

ln [sen(au) ± cos(au)]

1 2a

=

Integrales con sec(au).

sen 4(au) 32a

ln [tan(au)]

− sen(au) a

R R

u 8

2

R

R

326)

cos[(p+q)u] 2(p+q)

senn+1 (au) (n+1)a

R

sec2 (au) tan(au) du

Integrales con cot(au).

ln sen au 2

au 2 2 a2

R

tann−2 (au) du

340)

tann+1 (au) (n+1)a

341) 10

1 a

R

csc(au)du =

R

csc3 (au)du = − csc(au)2acot(au) +

R

du csc(au)

ln [csc(au) − cot(au)] =

R

csc2 (au)du = − cot(au) a

R

cscn (au) cot(au)du = − cscna(au)

R

u csc2 (au)du = − u cot(au) + a

R

1 2a

n

1 a

  ln tan au 2

h i ln tan (au) 2

= − cos(au) a

n−2

cscn (au)du = − csc

1 a2

ln [sen(au)]

(au) cot(au) a(n−1)

+

n−2 n−1

R

cscn−2 (au)du




Integrales de Funciones Trigonom´ etricas Inversas. 342)

R

sen−1 (u/a)du = u sen−1 (u/a) +

u3 3

sen−1 (u/a) +

sen−1 (u/a) du u

=

(u/a)3 2·3·3

sen−1 (u/a) du u2

= − sen

344)

R

R

345) 346) 347) 348) 349) 350) 351) 352) 353) 354) 355) 356) 357) 358) 359) 360) 361) 362) 363) 364) 365) 366) 367)

R

R R

R

R

R

R R

R

R

R R

R

R

R

R R



u2 sen−1 (u/a)du =

u sen−1 (u/a)du =

R



−

R

sen−1


u 2 a

u a

+

(u/a) u

du = u sen−1

u cos−1 (u/a)du = u cos

−1

(u/a) du u

cos−1 (u/a) du u2

cos−1



(u/a)du =

−1

cos


u 2 a

+

−1

cos−1 (u/a)du = u cos−1

2

a2 4

=

π 2

1 a

−

a2 4



−

u3 3

cos−1 ua

ln(u) − −1

= − cos

(u/a) u

du = u cos−1

ln

1 2

−1

tan

(u/a) du u

−1

tan

(u/a) du u2

√

−

1 a

+


u 2 a

9

cot−1 (u/a) du u −1

cot

(u/a) du u2

=

π 2

= − cot

a2 −u2

ln



√

a+ a2 −u2 u

a 2

ln u2 + a2

u a

(u/a) 32

3

+

(u/a) 52


2

a 2

1 2a

5

379)

au 2

ln

(u/a) 72

− 

R

7

+ ...

2

 2

u +a u2

cot−1 (u/a) + 2

+

1 2a

ln

380)




R

um cos−1 (u/a)du =

um+1 m+1

1 cos−1 (u/a)+ m+1

um tan−1 (u/a)du =

um+1 m+1

tan−1 (u/a) −

R

um cot−1 (u/a)du =

um+1 m+1

cot−1 (u/a) +

R

a m+1 a m+1

R

R

eau a




2u a

u2 −

+

2 a2




m+1 √u du a2 −u2 m+1 √u du a2 −u2

um+1 u2 +a2 du um+1 u2 +a2 du

11

R

R

eau u

R

du p+qeau

au 1·1!

= ln(u) +

+

−eau (n−1)un−1

(au)2 2·2!

+

(au)3 3·3!

(−1)n n! an

+ ···

eau un−1 du

R

eau un du

=

u p

−

1 ap

R

du (p+qeau )2

=

u p2

+

R

du peau +qe−au

R

eau sen (bu) du =

eau [a sen(bu)−b cos(bu)] a2 −b2

eau cos (bu) du =

eau [a cos(bu)+bsen(bu)] a2 +b2

R R

=

+

a n−1

R



ln (p + qeau ) 1 ap (p+qeau )

−

1 ap2

ln |p + qeau |

q  p au tan−1 e q   √ = au   2a√1−pq ln eau −√−q/p   

eau ln udu =

√1 a pq

e

eau ln u a

1 a

−

+

−q/p

eau u du

R

R

ln (u) du = u ln (u) − u 2

2

n

n

R R

ln2 udu = u ln2 u − 2u ln u + 2u

389)

R

du u ln u

391)

R

 

ln u2 − a2 du = u ln u2 − a2 − 2u + a ln u+a u−a

385)

387) R

1 a

u−

R

384)

u2 +a u2

1 sen−1 (u/a)− m+1

u2 eau du =

eau a

u eau du =

[ln (u)] du = u [ln (u)] − 2u ln (u) + 2u

386)  2

R

R

R

383)

au 2

3

eau du =

Integrales con ln(u).

382)


2

tan−1 (u/a) du u

(u/a) u




381)

ln u2 + a



378)




3

um+1 m+1

R

377)

√ − 2u − 2 a2 − u2 cos−1

um sen−1 (u/a)du =

R



cot−1 (u/a)+ au6 − a6 ln u2 + a2

ln u − −1

375)

376)

2

u2 + a u3 3

373)

sen(u/a) du u

cot−1 (u/a)du = u cot−1 (u/a) +

u2 cot−1 (u/a)du =

u a

√ u a2 −u2 4

−

(u2 −2a2 )

= − u1 tan−1 (u/a) −

1 2

372)

tan−1 (u/a)− au6 + a6 ln u2 + a2

= (u/a) −

u cot−1 (u/a)du =

+ ···

374)


u2 + a2 tan−1 (u/a) −

u3 3

u2 tan−1 (u/a)du =

u a

eau a

R

R n au un eau du = u ae − na un−1 eau du  n−2 au n−1 = e a un − nua + n(n−1)u + .... + a2 con n = entero positivo

371)

 √ a+ a2 −u2 u



cos−1

tan−1 (u/a)du = u tan−1 (u/a) − u tan−1 (u/a)du =

a2 −u2

1·3·5(u/a)7 2·4·6·7·7

+

370)

√ a2 − u 2

u2 2

R

9

√ − 2u + 2 a2 − u2 sen−1


u 2 −

√

(u2 +2a2 )

1·3(u/a)5 2·4·5·5

369)

√ u a2 −u2 4

sen−1 (u/a) +

a

u a

368)

√ a2 − u 2

u2 2

343)

Integrales con eau .

388)

R

[ln (u)] du = u [ln (u)] − n u ln (u) du =

u2 2

R

um ln udu =

um+1 m+1

ln u u du

=

R

ln u u2 du

= − lnuu −

R

lnn udu u

=

1 2



ln2 u

ln (u) − 

1 2

ln u −



R

n−1

[ln (u)]

1 m+1

du



1 u

lnn+1 u n+1

= ln (ln u)

R 390) ln u2 + a2 du = u ln u2 + a2 − 2u + 2a arctan ua

Integrales con senh(au). 392) 393) 394) 395) 396) 397) 398) 399) 400) 401) 402) 403) 404) 405)

cosh(au) a

R

senh(au)du =

R

u2 senh(au)du =

R

senh(au) du u2

R

senh2 (au)du =

R

du senh2 (au)

R

u senh(au)du =

R

senh(au) du u

R

du senh(au)

406)

u cosh(au) a



= au +

u2 a

− senh(au) a2  + a23 cosh(au) −

(au)3 3·3!

+

(au)5 5·5!

= − senh(au) +a u 
 = a1 ln tanh au 2

R

u senh(2au) 4a

u senh2 (au)du =

R

senh(au) senh(pu)du =

R

senhn (au)du =

R

du senhn (au)

407) 2u a2

senh(au)

408)

+ ...

409)

cosh(au) du u

410) 411)

senh(au) cosh(au) 2a

R

−

u 2

412)

cosh(2au) 8a2

−

−

u2 4

413)

= − coth(au) a

R

um senh(au)du =

R

senh(au) du un

5.

Integrales con cosh(au).

=

=

414) senh[(a+p)u] 2(a+p)

um cosh(au) a

−

m a

−

R

senh[(a−p)u] 2(a−p)

um−1 cosh(au)du

senhn−1 (au) cosh(au) n−1 − n an

− senh(au) (n−1)un−1

+

a n−1

− cosh(au) a(n−1) senhn−1 (au)

R

−

415)

R

416)

senhn−2 (au)du 417)

cosh(au) un−1 du

418)

n−2 n−1

419)

R

du senhn−2 (au)

R

cosh(au)du =

senh(au) a

R

u cosh(au)du =

R R

u senh(au) a

R

u2 cosh(au)du = − 2u cosh(au) + a2 cosh(au) du u

= ln u +

R

cosh(au) du u2

= − cosh(au) +a u

du cosh(au)

2 a

R

cosh2 (au)du =

R

du cosh2 (au)

=

(au)2 2·2!

tan−1 eau

(au)4 4·4!

R

u2 a

+

+

(au)6 6·6!

+

senh(au) cosh(au) 2a

R

u cosh2 (au)du =

u2 4

+

R

cosh(au) cosh(pu)du =

=



senh(au)

+ ...

u senh(2au) 4a

cosh(2au) 8a2

−

tanh(au) a

R

um cosh(au)du =

R

cosh(au) du un

R

coshn (au)du =

R

du coshn (au)

=

=

2 a3

senh(au) du u

u 2

senh[(a−pu)] 2(a−p)

um senh(au) a

−

m a

+

R

senh[(a+p)u] 2(a+p)

um−1 senh(au)du

coshn−1 (au) senh(au) n−1 + n an

− cosh(au) (n−1)un−1

+

a n−1

senh(au) a(n−1) coshn−1 (au)

F (t)

f (s)

F (t)

s s2 + a2

cos(at) a

1 (s − b)2 + a2

ebt sen(at) a

s−b (s − b)2 + a2

ebt cos(at)

1 s2 − a2

senh(at) a

s s2 − a2

cosh(at)

k s

k

1 s2

t

1 sn

tn−1 (n − 1)!

1 sn

tn−1 Γ(n)

1 s−a

eat

1 (s − a)n

tn−1 eat (n − 1)!

con n = 0, 1, 2, . . .

1 (s − b)2 − a2

ebt senh(at) a

1 (s − a)n

tn−1 eat Γ(n)

con n > 0

s−b (s − b)2 − a2

ebt cosh(at)

1 (s − a)(s − b)

ebt − eat b−a

1 + a2

+



R

+

R

coshn−2 (au)du

senh(au) un−1 du n−2 n−1

R

du coshn−2 (au)

Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (s)

s2

cosh(au) a2

−

con k = constante

con n = 0, 1, 2, . . .

con n > 0

sen(at) a

12

con a 6= b

f (s)

F (t)

f (s) s5 + a2 )3

F (t) (8 − a2 t2 ) cos(at) − 7at sen(at) 8

s (s − a)(s − b)

bebt − aeat b−a

1 (s2 + a2 )2

sen(at) − at cos(at) 2a3

3s2 − a2 (s2 + a2 )3

t2 sen(at) 2a

s (s2 + a2 )2

t sen(at) 2a

s3 − 3a2 s (s2 + a2 )3

1 2 t 2

cos(at)

s2 (s2 + a2 )2

sen(at) + at cos(at) 2a

s4 − 6a2 s + a4 (s2 + a2 )4

1 3 t 6

cos(at)

s3 (s2 + a2 )2

cos(at) − 21 at sen(at)

s3 − a2 s (s2 + a2 )4

t3 sen(at) 24a

s2 − a2 (s2 + a2 )2

t cos(at)

1 (s2 − a2 )2 s (s2 − a2 )2

con a 6= b

(s2

1 − a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) − 3at cosh(at) 8a5

at cosh(at) − sinh(at) 2a3

(s2

s − a2 )3

at2 cosh(at) − t senh(at) 8a3

t senh(at) 2a

(s2

s2 − a2 )3

at cosh(at) + (a2 t2 − 1) senh(at) 8a3

(s2

s3 − a2 )3

3t senh(at) + at2 cosh(at) 8a

(s2

s4 − a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at) 8a

(s2

s5 − a2 )3

(8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at) 8

(s2

s2 − a2 )2

senh(at) + at cosh(at) 2a

(s2

s3 − a2 )2

cosh(at) + 12 at senh(at)

s2 + a2 (s2 − a2 )2

(s2

t cosh(at)

(s2

1 + a2 )3

(3 − a2 t2 ) sen(at) − 3at cos(at) 8a5

3s2 + a2 (s2 − a2 )3

t2 senh(at) 2a

(s2

s + a2 )3

t sen(at) − at2 cos(at) 8a3

s3 + 3a2 s (s2 − a2 )3

1 2 t 2

cosh(at)

(s2

s2 + a2 )3

(1 + a2 t2 ) sen(at) − at cos(at) 8a3

s4 + 6a2 s + a4 (s2 − a2 )4

1 3 t 6

cosh(at)

(s2

s3 + a2 )3

3t sen(at) + at2 cos(at) 8a

s3 + a2 s (s2 − a2 )4

t3 senh(at) 24a

(s2

s4 + a2 )a3

(3 − a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at) 8a

1 s3 + a3

eat/2 3a2

13

√

3 sen

√

3at − cos 2

√

3at + e−3at/2 2

!

f (s)

F (t)

s s3 + a3

eat/2 3a

s2 s3 + a3

1 3

1 s3 − a3 s s3 − a3 s2 3 s − a3 1 s4 + 4a4 s s4 + 4a4 s2 s4 + 4a4

cos

3at √ + 3 sen 2

√

3at − e−3at/2 2

!

! √ 3at −at at/2 e + 2e cos 2

e−at/2 3a2

e3at/2 − cos

√

e−at/2 3a

1 3

√

eat

+

3 sen

√

√

2e−at/2 cos

3at 2

!

3at + e3at/2 2

!

3at √ − 3 sen 2

3at − cos 2

√

√

s2 s4 − a4

 1  senh(at) + sen(at) 2a

s3 − a4

1 √ s+a+ s+b

1 s s+a

 1  sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at) 2a

 1  senh(at) − sen(at) 2a3

 1  cosh(at) − cos(at) 2a2

√

sen(at) senh(at) 2a2

1 s4 − a4

s s4 − a4

√

 1  sen(at) cosh(at) − cos(at) senh(at) 4a3

cos(at) cosh(at)

F (t)

s4

! √ 3at 2

s3 s4 + 4a4

f (s)

√

1 s(s − a)

√

1 s−a+b

√

s2 + a2

√

14

1

1 s2 − a2

 1 cosh(at) + cos(at) 2 e−bt − e−at √ 2(b − a) πt3 √ fer at √ a √ eat fer at √ a

eat



√
1 2 √ − beb t fcer b t πt

J0 (at)

I0 (at)



A en grados

A en radianes

sen A

cos A

tan A

cot A

sec A

csc A

0◦

0

0

1

0

∞

1

∞

15o

π/12

30o

√
1 √ 6− 2 4

π/6

1 2

√
1 √ 6+ 2 4

45o

π/4

60o

π/3

75o

5π/12

90o

π/2

105o

7π/12

120o

2π/3

1√ 3 2

135o

3π/4

1√ 2 2

150o

5π/6

1 2

165o

11π/12

180o

π

195o

13π/12

210o

7π/6

225o

5π/4

−

1√ 2 2

240o

4π/3

−

1√ 3 2

255o

17π/12

270o

3π/2

285o

19π/12

300o

5π/3

−

1√ 3 2

315o

7π/4

−

330o

11π/6

345o

23π/12

360o

2π

2−

√

3

2+

√

√

3

6−

1√ 3 2

1√ 3 3

√

1√ 2 2

1√ 2 2

1

1

√

1√ 3 2

1 2

√

1√ 3 3

2

√
1 √ 6+ 2 4

√
1 √ 6− 2 4

1

0

√
1 √ 6+ 2 4

√
1 √ 6− 2 4

−

√
1 √ 6− 2 4 −

−

1 2

√
1 √ 6+ 2 4 −1

−

√
1 √ 6+ 2 4

√
3

√ − 3

−

1√ 2 2

−1

−

1√ 3 2

−

√
1 √ 6+ 2 4

− 2−

1√ 3 3

2−

√
3

√

3

− 2− −

√

3

√
3

−

√

√

6+

√
3

−

√

√

6−

−

√

6−

1√ 3 2

1√ 3 3

√

−

1√ 2 2

1

1

√ − 2

1 2

√

1√ 3 3

−2

√
1 √ 6− 2 4 0

2+

√

3

2−

− 2+

√
3

1√ 2 2

1√ 2 2

−1

1 2

1√ 3 2

−

√
1 √ 6− 2 4

√
1 √ 6+ 2 4

− 2−

1

15

3

−

√

− 2− −

√
3

√
3

√

1√ 3 3

√

6−

√

6+

√

√
3

√
2

√

∓∞

1

√

2

±∞ √
2

−

√

6+

√
2

−2 √ − 2 −

√
2

−

√

√

2

−

√ −

√

2√ 3 3 6−

√
2

−1 6−

√
2

2√ 3 3

√ − 2

2

6−

2

2

6+

2√ 3 3 √

√

2

2√ 3 3

6+

2

2√ 3 3

2

√ − 3 − 2+

√
2

∓∞

−1

1√ 3 3

0

√

−

0

±∞

√
1 √ 6− 2 4

3

√

1

−1 3

2

2

6−

2√ 3 3

−

3

√

2

√ − 2 −

√

2√ 3 3

−2

√ − 3

2+

√

±∞

1√ 3 3

− 2+

6+ 2

2

6+

±∞

√ − 3

0

√

−1

0

√
1 √ 6+ 2 4

− −

2−

√

2

2√ 3 3

3

0

1 2

− −

− 2+

−1 −

3

1 2

0 −

√

±∞

√
1 √ 6− 2 4 −

−

2+

3

√

−2 2

−

√

6+

∓∞

√
2

Definici´ on 1. Ecuaci´ on en Variables Separadas. Consideremos la ecuaci´on con forma est´andar: M (x)dx + N (y)dy = 0

(1)

La soluci´on se obtiene integrando directamente: Z

Z

M (x)dx +

N (y)dy = C

Definici´ on 2. Ecuaci´ on en Variables Separables. Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0

dy = f (x)g(y) dx

(2)

(3)

Para determinar la soluci´on de la Ec.(2), se divide la ecuaci´on entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:

La soluci´on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:

M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y)

1 dy = f (x)dx g(y) ahora s´olo se integra directamente: Z Z 1 dy = f (x)dx + C g(y)

ahora s´olo se integra directamente: Z Z N2 (y) M1 (x) dx + dy = C M2 (x) N1 (y) Definici´ on 3. Ecuaci´ on Lineal. La ecuaci´on lineal tiene la forma general:

a(x)y ′ + b(x)y = g(x)

(4)

a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma est´ andar: y ′ + P (x)y = Q(x)

(5)

´ n es: La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aqu´ı se obtiene la soluci´on de la Ec.(4), La solucio Z R  R − P (x)dx P (x)dx y(x) = e e Q(x)dx + C Si Q(x) = 0, la soluci´on es: y(x) = Ce R

El termino e

P (x)dx

−

R

P (x)dx

se llama Factor Integrante de la ecuaci´on.

Definici´ on 4. Ecuaci´ on de Bernoulli. Tiene la forma: y ′ + P (x)y = Q(x)y n

(6)

con n 6= 0 y n 6= 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a la ecuaci´on lineal: z ′ + (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x) ´ n de la Ec.(6) de Bernoulli es: al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucio   Z R R − (−n+1)P (x)dx (−n+1)P (x)dx −n+1 y =e (−n + 1) e Q(x)dx + C 16

(7)

Definici´ on 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales. Consideramos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(8)

donde se cumple: My = Nx . La soluci´on se obtiene de calcular: R R i) u = M (x, y)dx, iii) v = [N (x, y) − uy ]dy ii)

calculamos: uy

iv)

La soluci´ on general impl´ıcita es: u + v = C

Definici´ on 6. Factor Integrante. Consideremos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(9)

donde My 6= Nx . Para determinar la soluci´on de esta ecuaci´on, se tiene que reducir a una ecuaci´on exacta; as´ı que debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes: R My −Nx R Nx −My dx dy N M

1) µ(x) = e

primero se

2) µ(y) = e

segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta: µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0

(10)

la soluci´ on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9). Definici´ on 7. Funci´ on Homog´ enea. Se dice que una funci´ on f (x, y) es una “funci´ on homog´enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor real λ se cumple la propiedad: f (xλ, yλ) = λn f (x, y) donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´ on homog´enea de grado cero, se cumple que: f (xλ, yλ) = f (x, y) Definici´ on 8. Ecuaciones Homog´ eneas de Grado Cero. Consideremos las ecuaciones: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 dy = f (x, y) dx

(11) (12)

Se dice que la Ec.(11) es homog´enea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado. La Ec.(12) ser´a homog´enea si f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy . Si N es algebraicamente m´ as sencilla que M , se elige u = xy . Si M es algebraicamente m´ as sencilla que N , se elige v = xy . A) Con el cambio de variable u = yx .

 La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dx N (1, u) + du = 0 x M (1, u) + uN (1, u)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por

 La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: du dx = f (1, u) − u x

y x

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por

17

y x

R dx R N (1, u) + du = C x M (1, u) + uN (1, u)

en el resultado de la integral.

R

R dx du = +C f (1, u) − u x

en el resultado de la integral.

B) Con el cambio de variable v = xy .

 La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dy M (v, 1) + dv = 0 y N (v, 1) + vM (v, 1)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por

 La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dv 1 f (v,1)

−v

=

dy y

x y

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por

x y

R dy R M (v, 1) + dv = C y N (v, 1) + vM (v, 1)

en el resultado de la integral.

R

dv 1 f (v,1)

−v

=

R dy +C y

en el resultado de la integral.

I. Wronskiano.

W [y1 , y2 , . . . , yn ] =

y1

y2

′

y1

′

y2

′′

′′

yn

···

′

yn

Primera derivada de las funciones.

′′

Segunda derivada de las funciones. .. .

y1

y2

···

yn

.. .

.. .

.. .

.. .

(n−1)

y1

(n−1)

y2

Rengl´ on de las funciones.

···

···

(n−1)

yn

Derivada de orden n − 1 de las funciones.

• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD). • Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] 6= 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI). ´lculo de yh (x). Ecuaci´ (1) Ca on Auxiliar. Primero. Dada la ecuaci´on: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g(x)

(13)

establecer la ecuaci´on homog´enea asociada: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0

(14)

Segundo. Establecer la ecuaci´on auxiliar : an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0

(15)

la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener: ⋆ ra´ıces reales y diferentes ⋆ ra´ıces reales repetidas

⋆ ra´ıces conjugadas complejas, y ⋆ ra´ıces conjugadas complejas repetidas

Por esta raz´on yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los cuatro casos !! Caso i. Ra´ıces Reales y Diferentes, y1 (x). Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra´ıces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como: y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + · · ·

(16)

Caso ii. Ra´ıces Reales Repetidas, y2 (x). Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 · · · las ra´ıces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + · · ·

18

(17)

Caso iii. Ra´ıces Conjugadas Complejas, y3 (x). Sean m1 = α1 ± β1 i, m2 = α2 ± β2 i, m3 = α3 ± β3 i, . . . las ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:   y3 (x) = eα1 x C1 cos(β1 x) + C2 sen(β1 x) +

  eα2 x C3 cos(β2 x) + C4 sen(β2 x) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.

  eα3 x C5 cos(β3 x) + C6 sen(β3 x) + · · · (18)

Caso iv. Ra´ıces Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x). Sean m1 = α ± βi = m2 = α ± βi = m3 = α ± βi = · · · las ra´ıces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:   y4 (x) = eαx C1 cos(βx) + C2 sen(βx) +

  xeαx C3 cos(βx) + C4 sen(βx) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.

  x2 eαx C5 cos(βx) + C6 sen(βx) + · · · (19)

• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14). ´lculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13). (2) Ca

Primer M´ etodo:Coeficientes Indeterminados. La soluci´on yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta raz´on se utiliza la siguiente tabla: entonces yp (x) se propone como

si g(x) es k − cte an

xn

+ an−1

A xn−1

+ · · · + a2

x2

+ a1 x + a0

An xn + An−1 xn−1 + · · · + A2 x2 + A1 x + A0

cos(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

sen(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

eax

Aeax

Si g(x) es una multiplicaci´ on de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicaci´ on de las respectivas yp (x).

Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la soluci´on general homog´enea yh (x) y verificar que los t´erminos de yp (x) no aparezcan en yh (x); pero si alg´ un t´ermino de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber´a multiplicar dicho t´ermino por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho t´ermino de la soluci´on particular yp (x) no aparezcan en la soluci´on yh (x). Despu´es yp (x) debe derivarse seg´ un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.

Segundo M´ etodo:Variaci´on de Par´ametros. Cuando el t´ermino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados, es cuando se utiliza variaci´ on de par´ ametros. Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´enea asociada (14). En general, una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on general homog´enea yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + · · · + Ck yk (x), el CFS es: {y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}

Primero.S´olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos fundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, seg´ un se trate de una EDO de segundo o tercer orden respectivamente.

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Segundo. Caso i. Ecuaci´on de segundo orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 donde: u′1 =

−g(x)y2 , W [y1 , y2 ]

u1 =

Z

−g(x)y2 dx W [y1 , y2 ]

u′2 =

g(x)y1 , W [y1 , y2 ]

u2 =

Z

g(x)y1 dx W [y1 , y2 ]

Caso ii. Ecuaci´on de tercer orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 donde: ′

u′1 =

′

g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] , W [y1 , y2 , y3 ] ′

g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] , W [y1 , y2 , y3 ]

u′3

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] = , W [y1 , y2 , y3 ]

′

′

Z

g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

u2 =

Z

g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

u3 =

Z

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

′

u′2 =

′

u1 =

′

′

′

′

′

Finalmente la soluci´on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coeficientes indeterminados y/o por variaci´on de par´ametros. II. Transformada de Laplace L . La transformada de Laplace de una funci´on f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de orden exponencial. L {f (t)} =

Z

∞

e−st f (t)dt

0

una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}. Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . . Propiedades de la Transformada de Laplace. • La transformada de Laplace es lineal porque: L {kf (t)} = kL {f (t)}

L {k1 f (t) + k2 g(t)}

= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}

donde: k, k1 y k2 son constantes. • Transformada de una Derivada. L {y} = ′

L {y } = L {y ′′ } =

L {y ′′′ } = .. . (n) L {y } =

Y (s) sY (s) − y(0) s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)

s3 Y (s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0) sn Y (s) − sn−1 y(0) − sn−2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)

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• Primer Teorema de Traslaci´on o de Desplazamiento: L {eat f (t)} = F (s − a) Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s) s=s−a , y as´ı se cumple que L {eat f (t)} = F (s − a). • Funci´on Escal´on Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a).  0, 0 ≤ t ≤ a; H(t − a) = U (t − a) = 1, t ≥ a.

• Funci´on por partes en t´erminos la funci´on escal´on unitario. Sea  f1 (t) 0 ≤ t ≤ a    f2 (t) a ≤ t < b f (t) = f3 (t) b ≤ t < c    f4 (t) t ≥ c entonces:

      f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) − f1 (t) U (t − a) + f3 (t) − f2 (t) U (t − b) + f4 (t) − f3 (t) U (t − c)

• Segundo Teorema de Traslaci´on:

  L {f (t)U (t − a)} = e−as L f (t) t=t+a

  Primero se identifica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) t=t+a . Tercero se calcula L f (t) t=t+a . Y as´ı se tiene   que L {f (t)U a} = e−as L f (t) t=t+a

III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .

Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna funci´on f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de Laplace de F (s), y se denota con L −1 {F (s)} = f (t). • La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:

L −1 {kF (s)} = L −1 {k1 F (s) + k2 G(s)} =

kL −1 {F (s)} k1 L −1 {F (s)} + k2 L −1 {G(s)}

donde: k, k1 y k2 son constantes. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. • Forma Inversa del Primer Teorema de Traslaci´on. L −1 {F (s − a)} = eat f (t) • Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslaci´on. L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a

Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t) t=t−a y as´ı se tiene que L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a.

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