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Walter Edwin Canaza Trujillo

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INTRODUCCION AL ANÁLISIS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL GRÁFICA Y TRASLACIÓN DE FUNCIONES PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO

y  x2

y  a  k ( x  b)2 y  3  ( x  2)2

y  3  ( x  2)2

y   x2

HIPÉRBOLA DE PRIMER ORDEN

y

1 x

ya 

k xb y4 

1 x 3

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Tenga en cuenta que los valores de “k” para la hipérbola no cambiara la forma de las curva.

y a  k xb

VALOR ABSOLUTO

y x

y x

y 8  x  4

y 7   x4

FUNCIONES ESPECIALES

1 x 0  y  sgn( x)   0 x  0 1 x 0 

y x n ; nx

n 1

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FUNCIONES MAYORMENTE FRECUENTES

y

1 x2

y x

y  ex

y  log( x)

INECUACIONES Las inecuaciones no son más que desigualdades que se pueden presentar: Ej. Ilustrativo: Hallar las soluciones de la inecuación.

x  x  2   x 2  2 x  10 

 x2  2

2

0

Solución: Para la solución se deben llevar los términos del denominador al numerador pero tenga en cuenta que este no recibirá la igualdad de la inecuación para evitar las divisiones entre cero y que no se debe tomar en cuenta las raíces imaginarias.

x  0; x  2  0  x  2; x 2  2 x  10  0  x  ok

ok

2  6i 2 ; x  2  0  x   2i Solo tomamos en cuenta 2 No No

las raíces reales cualquier intervalo  

x  1 

I2

I1





 1  1  2   1

2

-2

2

I3

evaluemos

con

un

valor

de

0

  0      0 Falso

 2  1  10

 1  2 2

ahora

Como el valor de (-1) pertenece al ”I2“



este será Falso por tanto La representación de la solución estará dada por:

-2

0

CS : x  , 2  0,  Página 2|9

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INECUACIONES CON RADICALES

Para este tipo de inecuaciones existirán los siguientes casos:  si n  Z ; n  1 El estudiante puede ver la veracidad de las formulas con solo darle calores a las funciones.

   II ) P ( x)  b; b  0  P ( x )  0  P ( x )  b     III ) P ( x)  Q ( x)  P ( x )  0  Q ( x )  0  P ( x )  Q ( x )     IV ) P ( x)  Q ( x)  P ( x )  0  Q ( x )  0  P ( x )  Q ( x )     V ) P( x)  Q( x)  P ( x)  0  Q ( x)  0  P ( x)  Q( x)     VI ) P( x)  Q( x)  P ( x)  0  Q ( x )  0   Q ( x )  0  P ( x )  Q ( x )        I)

2n

P ( x)  b; b  0  P ( x )  0  2 n P ( x )  b  

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n

2n



2n



VII ) P( x)  Q( x)  k ; k  0  P( x)  0  Q( x)  0  P ( x)  k  Q ( x) VI 

INECUACIONES EXPONENCIALES Las formulas siguientes son las que se presentan en las inecuaciones exponenciales. El estudiante puede ver la veracidad de las formulas con solo darle calores a las funciones.

I) caso si a  0

i)a

f  x

ii )a I)

f  x

a

g  x

a

g  x

II) caso si 0  a  1

 f  x  g  x

i )a

 f  x  g  x

ii )a

f  x f  x

a

g x

a

g x

 f  x  g  x  f  x  g  x

VALOR ABSOLUTO Definición de valor absoluto

 x.....x  0 x   x.....x  0 II)

Propiedades

1) a  0, a  R 3) a  a 5) III)

a a  b b

,

2) a  a, a  R

, 4) ab  a b , 6) a  b  a  b ,  desigualdad triangular 

Propiedades básicas para resolver inecuaciones.

1) a  0,  a  0 , 2) a  b,  b  0   a  b  a  b  

3) a  b ,   a  b  a  b  4) si b  0 : a  b  b  a  b, a  b  b  a  b 5) si a, b  R a  b   a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  6) a  a 2 , a  a 2 2

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

FUNCIONES Función Inyectiva. Estas funciones se las reconocen por la siguiente demostración:

f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2

Ej. Ilustrativo: compruebe si la función es o no Inyectiva. f ( x)  Solución: como : f ( x1 ) 

2 x 1

2 2 2 2 ; f ( x2 )     x1  1  x2  1 x1  1 x2  1 x1  1 x2  1

 x1  x2 es Inyectiva Función Inversa. Estas funciones se las reconocen cuando para un valor de “x” existe un valor de “y” Ej. Ilustrativo: compruebe si la función es o no Inversa. f ( x)  Solución: como : f  x   y 

2 x 1

2 2 2  x   1  f 1  x    1 x 1 y x

Tiene inversa Función Sobreyectiva (Suryectiva) y  Rang, x  Dom Toda segunda comp. tiene una primera Ej. Ilustrativo: analizar si A y B son Sobreyectivas sea A(1,2,3,4) y B(a,b,c) Solución: para que sean Sobreyectivas debe de cumplirse que:

 f 1  c, f  2  a, f 3  b, f  4  b Función Biyectiva estas funciones se caracterizan por ser Inyectivas y Sobreyectivas.

f ( x)  f ( x)

Función Par Estas funciones se las reconocen por la siguiente demostración: Ej. Ilustrativo: analizar si la función es par: f ( x)  cos  x  Solución: cos  x   cos   x  la relación es afirmativa.

cos  x   cos   x  Función Impar Estas funciones se las reconocen por la siguiente demostración: f ( x)   f ( x) Ej. Ilustrativo: analizar si la función es impar: f ( x)  sin  x  Solución: sin  x    sin  x  la relación es afirmativa.

sin  x    sin  x  Función

Periodica

f (T  x)  f ( x)

Estas funciones se las reconocen por la siguiente demostración:

Ej. Ilustrativo: analizar si la función es Periodica: f ( x)  sin  x  Solución: cos  2  x   cos  x  la relación es afirmativa.

T  2 Composición de funciones Las composiciones de funciones se las realiza de las siguientes maneras  f g  ( x)  f ( g ( x)) Ej. Ilustrativo: Analizar la composición de f a g siendo: f ( x)  sin  x  ; g ( x) 

1 x 1 2

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Solución: Analizando la composición:

f ( x)  sin  x  ; g ( x) 

f

g  ( x)  f ( g ( x))

1  1   f ( x) g ( x)  sin  1   f ( g ( x ))  sin  2   2   x 1  x2  1  x 1 

Dominio de funciones El Dominio de funcion no es más que aquellos valores del gráfico de las funcion que se reflejan en el eje “x”, por tanto serán las restricciones que tendrá la función. 2 Ej. Ilustrativo: Hallar el Dominio de la función: f ( x)  1  1  x Solución: Analizando las restricciones:

 

1  1  x2  0  1  1  x2 

 1 

2

2



1  x2



2

 1  1  x 2  1  x 2  0  x 2  0   x  1 x  1  0 R

1 x 1

 D f  x / x   1,1 Observe que el grafico nos muestra el mismo dominio. OJO tenga en cuenta que para hallar el Dominio no es necesario realizar el grafico. Rango de funciones (codominio) El Rango de función no es más que aquellos valores del gráfico de la función que se reflejan en el eje “y”, por tanto serán las restricciones que tendrá la función inversa. Ej. Ilustrativo: Hallar el Rango de la función: f ( x)  Solución: Hallemos la función inversa.

y

x2 x 3

x2 5  x  3  y 1  0  y  1 x 3 y 1  R f  y / y  R  1

OJO tenga en cuenta que para hallar el Rango no es necesario realizar el grafico. Propiedades:

 f g  ( x)  f ( g ( x))  f  g h  f h g

Df g

;

h;

f

f

g  h  f ( g h) ; f

1

 ( x)   f

  f1 ( x) x  D f1 f ( x )   Si:   f 2 ( x) x  D f 2  D f  Dg

1

 f  g

h  f h g h

f  ( x )  x ;  f g  ( x)   g 1 f 1  ( x) 1

D f  D f1  D f2 R f  R f1  R f 2

D f  g  D f  Dg D f / g  D f  Dg Df

g

  x / x  Dg  g ( x)  D f 

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Funciones Especiales

1 x0  x x0  x  ; x  n ; n  x  n  1 ; sgn( x) =  0 x  0  x x  0 1 x  0  x Propiedades: x  n  x  n ; sgn( x)  x LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición

lim f ( x)  L x a

    para f ( x)  L    x  a  

0  , ,   ,   0,1 , 0 , 00 0 

Indeterminaciones Propiedades de los Límites

lim xa



1 1 n  ; lim  f ( x)   lim f ( x) xa g ( x) lim g ( x) x a



n

x a

lim e

f ( x)

xa

lim f ( x )

 e x a

;lim f ( x)  lim f ( x) ; lim log( f ( x))   log lim f ( x )  x a x a x a  x a 

lim f ( x )

; lim g ( x) f ( x )  lim g ( x) xa xa

x a

Límites Algebraicos: En este tipo de límites se tienen polinomios tanto en el numerador y denominador y se debe factorizar la tendencia del límite.

x2  6 x  3 Ej. Ilustrativo: Hallar el límite de la función: lim x 3 x 3 0 Solución: vemos que se presenta la forma procederemos racionalizar como sigue a continuación: 0 3

x 2  6x  3 L  lim  x 3 x 3 3

L  lim x 3

3

3

x x

2

 6x   3 3 x 2  6x  32

2

 6x   3 x  6 x  3

2

2

3

2

 x  3  x  9  x  3   3  x 2  6x  

2

  3 3 x 2  6x  32  

3

 lim x 3

2

x

x 3

 6x   33

 x  3   3  x 2  6x  

 lim

2

3

2

  3 3 x 2  6x  32  

 x  9 2 3 2 3 2 2   x  6x   3 x  6 x  3   



4 9

Límites al infinito

an x n  an 1 x n 1  ...... L m 1 x  b x m  a x  ...... m m 1

lim

    , , , Caso1    

 a mn  a L n mn  bm   m  n

Caso2 Se tiene    factorizar, racionalizar hasta llegar al caso 1 Luego se debe dividir tanto numerador como denominador por el “x” elevado al Grado Absoluto del numerador o denominador, debe ser el mayor de este. Página 6|9

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 2 Ej. Ilustrativo: Hallar el límite de la función: lim  2 x  x  4  2 x  3 x  2 

  Solución: vemos que se presenta la forma    procederemos racionalizar como sigue a x 

continuación:

2x 2  x  4  2x 2  3x  2 2 2   L  lim 2x  x  4  2x  3x  2  x    2x 2  x  4  2x 2  3x  2

 L  lim

2x 2  x  4

  2

2x 2  3x  2



2

 lim

6  2x

x  2x 2  x  4  2x 2  3x  2 2x 2  x  4  2x 2  3x  2 6  6  x   2 x   2 1 x    L  lim   x    2 1 4 3 2  1 4 3 2  x  2  2  2  2  x  2  2  2  2  x x x x         x 

Límites Trigonométricos Este tipo de limites se los reconocen cuando existen funciones trigonométricas. Para este tipo de límites pueden usarse las siguientes relaciones:

sin u 1  cos u 1 1  cos u  1 ; lim  ; lim 0 2 u 0 u 0 u u 2 u 0 u

lim

Se recomienda los siguientes pasos para la solución de estos: 1) 2) 3)

Tratar que siempre tienda a “0” Siempre en función de seno o coseno Aplicar las formulas Ej. Ilustrativo: Hallar el límite de la función: Solución:

tan x  sin x x 0 x3

lim

sin x  sin x sin x 1  cos 2 x  sin x 1  cos x  tan x  sin x cos x L  lim  lim  lim  lim 3 x 0 x 0 x 0 x 0 x cos x 1  cos x  x3 x3 x 3 cos x sin 3 x L  lim 3  lim x 0 x cos x 1  cos x  x 0

 sin x     x 

3

1

1 1 1  13  x 0 cos x 1  cos x  11  1 2

 lim

Límites Exponenciales Este tipo de límites se los reconocen cuando existen funciones exponenciales. Para este tipo de límites pueden usarse las siguientes relaciones: 1 eu  1 au  1  1 ; lim(1  u) u  e ; lim  ln a u 0 u 0 u 0 u u

lim

eax  ebx x 0 x

Ej. Ilustrativo: Hallar el límite de la función: lim Solución:

e ax  1  e bx  1 e ax  e bx e ax  1  1  e bx  lim  lim x 0 x 0 x 0 x x x ax bx ax bx e  1  e  1  lim a e  1  b e  1  a  b L  lim x 0 x 0 x x ax bx

L  lim

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Combinación de limites Este tipo de limites se los resuelve mediante la siguiente forma: 1) Exponencial 2) Trigonometrico 3) Algebraico 1

 1  tgx  sin x Ej. Ilustrativo: lim   x  0 1  sin x   Solución: 1

1

1  tgx  1  tgx  sin x   sin x L  lim   lim 1   1  x 0 1  sin x x 0    1  sin x   1  tgx   L  lim 1   1 x 0   1  sin x  

L e L e

 1tgx  1 lim  1 x  0  1sin x  sin x lim

x 0

e

1cos x 

1sin x  cos x

 1tgx  1 1  1  1sin x  sin x 1tgx 1 1sin x

e

   

 tgx sin x  1 lim   x  0 1sin x  sin x

lim

x 0

e

lim

x 0

sin x 1cos x 

1

1sin x  cos x sin x

1cos 0

1sin 0 cos 0

 e0  1

Continuidad de funciones La función es continua cuando cumple las siguientes relaciones:

i )f (a)

ii ) lim f ( x) x a

iii ) lim f ( x)  f (a) x a

 e x  e2 x  Ej. Ilustrativo: calcular el valor de “A” para que la función sea continua: f  x    ln 1  2 x  A 

x0 x0

e x  e2 x e x  e2 x iii) f (0)  A  lim x 0 ln 1  2 x  x 0 ln 1  2 x 

Solución: i) f (0)  A ii) lim

 1 e x  1 e 2 x  1  e x  1  e 2 x  1 e x  1  e 2 x  1 1 3 1  1  lim  lim     1  1   1 x 0 x 0 x 0 2 1 1 x 2 x  2  ln e 2  2 x ln 1  2 x  2 x ln 1  2 x  ln 1  2 x  2 x  2x 2x

A  lim

Asíntotas y=mx+b

 f  x  m  lim   f  x   mx   , b  xlim  x   x 

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