Fonon Dan Vibrasi Kristal

FONON DAN VIBRASI KRISTAL 1.Siti Wulan Suci (16030184039) 2.Muhammad Iqbal M S (16030184065) 3. Dina Eliana (16030184085)

Kristal merupakan urutan atom yang sempurna Namun, solid yang ideal seperti itu tidak ada sama sekali di alam. Semuanya mengandung sejumlah besar berbagai cacat atau ketidaksempurnaan. Ketidaksempurnaan seperti itu disebut dengan vibrasi kristal. Namun tidak setiap saat atom bergetar pada frekuensi ,amplitudo, energi yang sama, sehingga tidak ada titik maksimum maupun minimum. Kristal akan bergetar pada frekuensi yang tinggi dengan amplitudo rendah

Getaran kristal dapat disebabkan oleh : • Zat padat yang menyerap energi panas. • Gelombang yang merambat pada kristal.

Fonon Fonon adalah kuantum pada model padatan kristal di mana atom kisi berperilaku sebagai osilator tiga dimensi bergetar dengan energi terkuantisasi, sehingga satu kuantum energi vibrasi atau gelombang terkuantisasi disebut fonon

kecepatan gelombang elastik:

regangan pada batang :



hukum Hooke sebagai berikut:

menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

du dx

 E

.............................(1) .................................(2)

F  A{ (x  dx) -  (x)} ...........(3)

Besar percepatan Massa elemen batang

 d 2u   2u Adx 2  E  2 dx ……………………. (5) t  dx 

• Subtitusi persamaan 5 dan 4 menghasilkan  2u x 2

2     u    2 E  t  

……………………. (6) Sama dengan persamaan gelombang umum

DENGAN MODEL CORAT CORET, SRET SRETTTT.... JADILAH RUMUS ELASTIS DIATAS :’’)

Dari persamaan 6  x

2

       E   t

2

……………………. (6) 2𝜋

k= 𝜆

Mengabaikan nilai t karena gelombang bergantung pada posisi x

y

Syarat gelombang harus memenuhi syarat periodic

L

x

0 X=0

=

X=L

atau

Pendekatan gelombang Disebut pendekatan gelombang pendek apabila : • Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom.

Disebut pendekatan gelombang panjang apabila : • gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang.

k=

2𝜋 𝑙𝑛 [ ] 𝐿 𝑖

n = 0, 1, 2, 3 bilangan gelombang k berharga diskrit

Jika L>> (panjang batang besar) maka jarak 2π/L akan mendekati nol hal ini disebut gelombang kontinu

Persamaan Gerak

Monoatomik Grafik

MONOATOMIK Transverse mode

Longitudinal mode

[1 11]

[ 1 10] [1 0 0]

Ketika sebuah gelombang merambat sepanjang salah satu dari arah-arah itu,seluruh bidang atom bergerak dalam fase dengan perpindahan baik paralel atau Bidang mengalami vibrasi secara tegak lurus terhadap arah vektor logitudinal gelombang tersebut

Penyimpangan posisi pada bidang atom yang termasuk gelombang transversaal

Longitudinal

Transverse

𝐹𝑠 = 𝐶 𝑈𝑠+1 − 𝑈𝑠 + 𝐶 𝑈𝑠−1 − 𝑈𝑠 = 𝐶 𝑈𝑠+1 − 𝐶 𝑈𝑠 + 𝐶 𝑈𝑠−1 − 𝐶 𝑈𝑠 = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝐶 𝑈𝑠−1 − 𝐶 𝑈𝑠 − 𝐶 𝑈𝑠 = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝐶 𝑈𝑠−1 − 2𝐶 𝑈𝑠 𝐹𝑠 = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝑈𝑠−1 − 2 𝑈𝑠

𝐹=𝐹 𝑚. 𝑎 = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝑈𝑠−1 − 2 𝑈𝑠 𝑑 2 𝑈𝑠 𝑚. = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝑈𝑠−1 − 2 𝑈𝑠 𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑈𝑠 𝑚 2 = 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝑈𝑠−1 − 2𝑈𝑠 …………..(2) 𝑑𝑡 Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t) yang dinyatakan oleh: 𝑈𝑠 = 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 Karena pers (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka : 𝑑 2 𝑈𝑠 𝑑 2 −𝑖𝜔𝑡 = 2 𝑒 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 2 𝑈𝑠 2 . 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = −𝜔 𝑑𝑡22 𝑑 𝑈𝑠 2. 𝑈 = −𝜔 𝑠 𝑑𝑡 2

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah : Oleh karena itu pers (2) dapat ditulis : −𝜔2 . 𝑈𝑠 𝑚

= 𝐶 𝑈𝑠+1 + 𝑈𝑠−1 − 2 𝑈𝑠 …………….(3)

Solusi 𝑈𝑠 = 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 𝑈𝑠 =

𝑒 −𝑖𝜔𝑡

≈𝑒

−𝑖

2𝜋 𝑣𝑡 𝜆

𝑈𝑠 = 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 = 𝑒 −𝑖𝑘𝑠𝑎 …………………………(4) 𝑈𝑠+1 = 𝑈. 𝑒 −𝑖𝑘(𝑠±1)𝑎 = 𝑈. 𝑒 −𝑖𝑘𝑠𝑎 . 𝑒 ±𝑖𝑘𝑎

𝑈𝑠+1 = 𝑈. 𝑒 ±𝑖𝑘𝑎 ………..(5)

Dari pers (3) −𝜔2 . 𝑈𝑠 𝑚 = 𝐶 𝑈𝑠 𝑒 ±𝑖𝑘𝑎 + 𝑈𝑠 𝑒 −𝑖𝑘𝑎 − 2 𝑈𝑠 −𝜔2 𝑚 = 𝐶 𝑒 ±𝑖𝑘𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑎 − 2 …………………….(6) −𝜔2 𝑚 = 𝐶(2 cos 𝑘𝑎 − 2) 𝜔2 𝑚 = −𝐶(2 cos 𝑘𝑎 − 2) 𝜔2 𝑚 = −𝐶(−2 + 2 cos 𝑘𝑎) 𝜔2 =

−𝐶(−2 + 2 cos 𝑘𝑎) 𝑚

Relasi dispersi gelombang dalam kisi monotomik adalah : 𝝎𝟐

𝟐𝑪 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒂) 𝒎

𝝎=

𝟐𝑪 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒂) 𝒎

𝝎=

𝟐𝑪 𝒎

𝝎𝟐

𝟏 𝟐

C  ka  2 Sin   m  2  ka    m Sin    2

(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒂) ………………………(7)

𝟐𝑪 𝟏 𝟐 = (𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒌𝒂) 𝒎 𝟐

C m  2 m

Kecepatan Grup Pada saat ka = 

V  dω g dk

2π a  π  λ  2a λ

π

c

Gradien atau arah

v a cos  0 g m 2 Artinya tidak ada gradien /kemiringan

d c 1   2 sin ka  dk  m 2  c a ka cos 2 m2 2

Pada saat

………………(9)

ka 

π 2

2π

π

a  λ  4a λ 2

c c π v a cos 0,74a g m m 4 Artinya ada gradien /kemiringan

Diatomik

Persamaan Gerak Grafik

Diatomik Transverse mode

Longitudinal mode

Diatomik getaran (cabang akustik dan optik)

Transversal akustik

Transversal optik

Persamaan cabang optic dan askutik didapat dari Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx Untuk m1 → m1

d 2U s = c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us) dt 2

2 m1 d U s = c { Vs + Vs-1 - 2 Us}.........(1)

dt 2

Untuk 2 m2 → m2 d U2 s = c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs) m2

dt d 2U s = c { U s+1 + Us - 2 Vs}.........(2) 2 dt

M1 Persamaan Gerak

M2

Untuk m  m 1 1 m

Untuk

d2Us 1

dt 2

m2  m2

m2

d 2 Vs 2

M1

d2Us

dt 2



 c Vs  U s

M2

 Vs  1  U s 



cV V  2U s s s 1 d 2 Vs dt 2





 c U s  1  Vs

 c U s  1  U s  2V s

 .................... (1)  U

V s

s



 ............................ (2)

Solusinya : Us  Ue

Vs  V e Us  1

dU

iksa  ωt  



dt

 s  U i(- ω( e i  ksa  ωt

d 2 Us dt

iksa  ωt  



 



iksa  ωt   ika e Ue

V Ve s 1

 U ω2 e

i ksa  ωt

 

i ksa  ωt

 

e

.............. (3)

 ika

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh : iksaωt   iksaωt  iksaωt  iksaωt 2 m Uω e  cVe Ve 2Ue  1    m ω 2 U  cV 1 e- ika  2cU .............................. (4) 1  

 m2 ω 2 V  cU 1 eika - 2cV ................................... (5)  

Determinan dari persamaan (4) dan (5) 2c m1ω2

(c)(1 eika ) U

(c)(1eika )

2c-m2ω2

2c  m1ω 2

(c)(1 eika )

(c)(1 eika )

2c-m2ω2

0

V =0

{(2c  m1ω 2 )(2c  m 2 ω 2 )} - {(  c)(1  e ika ) (c)(1  e  ika )}  0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2-c2(2+ eika+ e-ika)=0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2+2c2(1- cos ka)=0

Rumus abc:

(12)2 =

2c(m 1  m 2 )  {2c(m 1  m 2 )}2  4(m 1m 2 )(2c2 )(1 cos ka) 2(m m )

ω untuk vibrasi kristal diatomik 1 1 (1,2) C   C  m1 m2  2

1 1 4 2  ka sin      2  m1 m2  mm 1 2 2

Untuk cabang optik

 2       2 2 1 1  coska  1  C    C 1  1   m1 m2  m1 m2  mm mm  1 2 1 2   

1 2

   

Untuk cabang akustik

 2       2 2 1 1 1 1  2  C    C      coska mm m1 m2   m1 m2  mm  1 2 1 2   

1 2

   

1 2

1 2

Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik Cabang optik

ωop={2c()}1/2

√(2c/m1)

√(2c/m2)

Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

Cabang akustik -π/a

-π/2a

0

π/2a

π/a

k

KECEPATAN GROUP Untuk cabang optik

1 Vg1  k 1

2   2   1 1   1 1 2 2 Vg1  C    C      coska   k m1 m2  m1 m2  m1 m2 m1m2         1  2 2    1 1 a 2 2   1 1   Vg1 Csinka C   C     coska  2mm   m1 m2 m1m2 m1m2 1 2   m1 m2   1 2

1 2

  1 1  2 2  coska      m1 m2  m1m2 m1m2 2

Titik-titik merah kecepatan Grup

Untuk cabang akustik Vg 2 

2 k

 2    1    1 1  1 C  2 2        Vg2  C  coska m m  k m1 m2  m1 m2  m1m2   1 2    

1

1

2   

2

 12

  2     1    1 1 1 2 2     C        C   cos ka m m   m m m m m m     1 2 1 2 1 2 2 aC sin ka   1 Vg 2     2 2m1m2    1   1 2 2        cos ka m m   1   2 m m 1 2 m m1 2 1

2