Fonksiyonlar

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)

İNŞAAT TEKNOLOJİSİ

FONKSİYONLAR

ANKARA 2006

Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen modüller; •

Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının 02.06.2006 tarih ve 269 sayılı Kararı ile onaylanan, Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında kademeli olarak yaygınlaştırılan 42 alan ve 192 dala ait çerçeve öğretim programlarında amaçlanan mesleki yeterlikleri kazandırmaya yönelik geliştirilmiş öğretim materyalleridir (Ders Notlarıdır).

•

Modüller, bireylere mesleki yeterlik kazandırmak ve bireysel öğrenmeye rehberlik etmek amacıyla öğrenme materyali olarak hazırlanmış, denenmek ve geliştirilmek üzere Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında uygulanmaya başlanmıştır.

•

Modüller teknolojik gelişmelere paralel olarak, amaçlanan yeterliği kazandırmak koşulu ile eğitim öğretim sırasında geliştirilebilir ve yapılması önerilen değişiklikler Bakanlıkta ilgili birime bildirilir.

•

Örgün ve yaygın eğitim kurumları, işletmeler ve kendi kendine mesleki yeterlik kazanmak isteyen bireyler modüllere internet üzerinden ulaşabilirler.

•

Basılmış modüller, eğitim kurumlarında öğrencilere ücretsiz olarak dağıtılır.

•

Modüller hiçbir şekilde ticari amaçla kullanılamaz ve ücret karşılığında satılamaz.

İÇİNDEKİLER AÇIKLAMALAR ....................................................................................................................ii GİRİŞ ....................................................................................................................................... 1 ÖĞRENME FAALİYETİ–1 .................................................................................................... 2 1. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR ......................... 2 1.1. Bir Açının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntıları.................................. 2 1.2. Trigonometrik Fonksiyonların Biri Belli İken Diğerlerinin Hesaplanması .................. 4 1.2.1. Sinüs Bilindiğine Göre .......................................................................................... 4 1.2.2. Kosinüs Bilindiğine Göre ...................................................................................... 6 1.2.3. Tanjant Bilindiğine Göre ....................................................................................... 7 1.2.4. Kotanjant Bilindiğine Göre.................................................................................... 8 1.3. Bazı Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Hesabı............................................... 10 1.3.1. 45 Derece Açının ................................................................................................. 10 1.3.2. 30 Derece ve 60 Derece Açının ........................................................................... 11 ÖLÇME DEĞERLENDİRME........................................................................................... 16 ÖĞRENME FAALİYETİ–2 .................................................................................................. 19 2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARLA İLGİLİ TEOREMLER................................ 19 2.1. Sinüs Teoremi ............................................................................................................. 19 2.2. Cosinüs Teoremi ......................................................................................................... 21 2.3. Küçük Açıların Trigonometrik Fonksiyonları ............................................................ 23 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME .................................................................................... 28 MODÜL DEĞERLENDİRME .............................................................................................. 30 CEVAP ANAHTARLARI ..................................................................................................... 31 KAYNAKÇA ......................................................................................................................... 32

i

AÇIKLAMALAR AÇIKLAMALAR KOD ALAN DAL/MESLEK MODÜLÜN ADI MODÜLÜN TANIMI SÜRE ÖN KOŞUL YETERLİK

581MSP021 İnşaat Teknolojisi Alan Ortak Fonksiyonlar Bu modül, trigonometrik fonksiyon hesaplamaları ile ilgili konulardan oluşan öğrenme materyalidir. 40/32 Ölçü Birimleri modülünü başarmak Trigonometrik fonksiyon hesaplamalarını yapabilmek Genel Amaç: Gerekli ortam sağlandığında trigonometrik fonksiyon hesaplamalarını kuralına uygun olarak yapabileceksiniz.

MODÜLÜN AMACI

EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

Amaçlar: Gerekli ortam sağlandığında; ¾ Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki bağıntıları kuralına uygun olarak hesaplayabileceksiniz. ¾ Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili teoremler ile hesaplamaları kuralına uygun olarak yapabileceksiniz.

Hesap makinesi, kâğıt, kalem, silgi vb. Modülün içinde yer alan her bir öğrenme faaliyetinden sonra verilen ölçme araçları (çoktan seçmeli) ile kendinizi değerlendirebileceksiniz. Modül sonunda ise kazandığınız bilgi ve becerileri ölçmek amacıyla hazırlanacak ölçme araçları ile değerlendirileceksiniz.

ii

GİRİŞ GİRİŞ

Sevgili öğrenci, 21. yüzyılın başlarında olduğumuz şu günlerde ülkemizin her alanda yapmış olduğu kalkınma ve çağı yakalama azmi gözler önündedir. Ülkemizin medenî ülkeler seviyesine çıkmak için harcadığı bu gayret gerçekten de takdire layıktır. Bilindiği gibi ülkemizin en büyük sorunlarından biri de çarpık yapılaşma ve kentleşmedir. Bu sorun ne kadar büyük olursa o güzelim şehirlerimiz insanlar için yaşanmaz bir hale gelmiş ve gelmektedir. Bu büyük ve bizce milli sorunumuzun çözümünde haritacılığın katkısı şüphe götürmez bir gerçektir. Harita bilgilerinin ana konusu da matematiğin temel konularından trigonometridir. Bu modül ile trigonometrinin; trigonometrik fonksiyonlar ve aralarındaki bağıntılarla bu fonksiyonlar ilgili teoremler hedef alınmıştır. Bu modül sonunda trigonometrik fonksiyonlar, aralarındaki bağıntılar ve bu fonksiyonlar ile ilgili teoremleri bilip bunlarla ilgili problemleri çözebilecek ve bunları mesleğinize yansıtabileceksiniz. Umarız bu bilgileriniz ileriki harita teknisyenliği hayatınızda size yardımcı olur ve mesleğinizde başarılı olursunuz.

1

ÖĞRENME FAALİYETİ–1 ÖĞRENME FAALİYETİ–1

AMAÇ Bu faaliyet ile gerekli bilgiler verildiğinde trigonometrik fonksiyonlar ve aralarındaki bağıntıları kuralına uygun çözebileceksiniz.

ARAŞTIRMA Trigonometrik fonksiyonlar nelerdir? Bize nerelerde gerekecektir? Bu fonksiyonların aralarında ne gibi bağıntılar olabilir? Mesleğimizde bize gerekecek midir? Araştırınız ve araştırma sonucunu sınıfta arkadaşlarınızla tartışınız.

1. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR 1.1. Bir Açının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntıları Trigonometrik fonksiyonların tanımından faydalanarak bu fonksiyonların çözümünde çok önemli olan bağıntıları şekle göre şöyle çıkartabiliriz.

sin α =

cos α =

a a c ; tg α = ; sec α = c b b

b b ; cotg α = ; c a

cosec α =

c a

Şekil 1

2

Bu tanımlardan faydalanarak;

1

sin α =

cos ecα

1 sin α

⇒ sin α . cosec α = 1

1 1 ; sec α = sec α cos α

⇒ cos α . sec α = 1

1 1 ; cotg α = cot gα tgα

⇒ tg α . cotg α = 1

cos α =

tg α =

; cosec α =

sin α a/c a = = = tg α cos α b/c b

⇒ tg α =

sin α cos α

cos α b/c b = = = cotg α sin α a/c a

⇒ cotg α =

cos α sin α

bağıntıları elde edilir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların tanımlarından, sin 2 α + cos 2 α = a 2 /c 2 + b 2 /c 2 = ( a 2 + b 2 ) / c 2 eşitliği yazılır. Şekil 1’deki ACB dik üçgeninde, pisagor ( bk. ölçü ve ölçekler modülü) teoremini yazarsak a 2 +b 2 = c 2 bu eşitliği sin 2 α + cos 2 α = a 2 /c 2 + b 2 /c 2 = ( a 2 + b 2 ) / c 2 formülünde yerine koyarsak sin2 α + cos2 α = 1 bağıntısı bulunur. Bu bağıntının her iki tarafını bir defa cos2 α , bir defa da sin2 α ile bölersek tg2 α + 1 =

1 cos 2α

ve cotg2 α + 1 =

1 sin 2α

bağıntıları elde edilir.

Ayrıca sin2 α + cos2 α = 1 bağıntısı yardımı ile sin α =

1 − cos 2 α

tg α = sin α / cos α 1 + tg2 α = 1 +

sin 2 α cos 2α

ve cos α =

1 − sin 2 α

bağıntıları elde edilmiş olur.

bağıntısının her iki tarafının karesi alınıp 1 ilave edilirse olur. Sağ tarafın paydası eşitlenirse

1 + tg2 α = (sin2 α + cos2 α ) / cos2 α olur. Burada sin2 α + cos2 α = 1

3

bağıntısı yerine konursa tg2 α + 1 =

1 1 = sec2 α benzer yolla da cotg2 α + 1 = = cosec2 α 2 cos α sin 2α

bağıntıları elde edilir.

Trigonometrik fonksiyonlar arasında kurulan bağıntılara genel olarak Trigonometrik özdeşlik denir. Bu nedenle tanımlanan trigonometrik fonksiyonlar arasında kurulmuş olan bağıntılara, temel trigonometrik özdeşlikler olarak bakılabilir. Özdeşliklerin doğruluğunu göstermek demek; verilen özdeşliğin sadece sol tarafını alıp bunu bilinen trigonometrik bağıntılar yardımıyla değiştirerek özdeşliğin diğer tarafına aynen benzetmek demektir. Örnek 1 tg α .

1 − sin 2 α = sin α olduğunu gösteriniz.

Çözüm 1 tg α =

sin α cos α

ve

cos α =

1 − sin 2 α dır.

Bunlar verilen eşitliğin sol tarafında yerine konulup gerekli sadeleştirme yapıldığında, tg α .

1 − sin 2 α =

sin α . cos α = sin α cos α

verilen eşitliğin sağ tarafında sin α bulunduğundan özdeşliğin doğruluğu gösterilmiş olur.

1.2. Trigonometrik Fonksiyonların Biri Belli İken Diğerlerinin Hesaplanması 1.2.1. Sinüs Bilindiğine Göre ACB dik üçgeninde, sin α belli ise Hipotenüs = AB = 1 birim alınırsa sin α =

BC BC = = BC AB 1

AC = AB 2 − BC 2 = (pisagor teoremi)

1 − sin 2 α Şekil 2

4

Böylece 3 kenarı belli olan dik üçgende ; cos α =

AC = AB

tg α =

BC = AC

sec α =

AB = AC

1 − sin 2 α = 1 sin α

1 − sin 2 α

1 − sin 2 α 1 1 − sin 2 α

1 − sin 2 α sin α

AC = BC

cotg α =

;

; cosec α =

1 AB = BC sin α

olur.

Örnek: sin α = 0,5 ise cos α , tg α , cotg α , sec α , cosec α değerlerini bulalım Cevap: cos α =

1 − sin 2 α =

cos α =

0 ,25 × 3 = 0,5

tg α = cotg α =

sec α =

cosec α =

sin α 1 − sin α 2

1 − 0 ,5 2 =

=

0 ,5 3

1

=

3

1 − sin 2 α 0 ,5 × 3 = = sin α 0 ,5 1 1 − sin 2 α

=

1 0 ,5 3

0 ,75

3 = 0,866025 2

3 =

0 ,5

1 − 0 ,25 =

=

=

3 = 0, 577350 3

3 = 1,732051

2 3

=

1 1 = = 2 olur. sin α 0 ,5

5

2 3 = 1,154701 3

1.2.2. Kosinüs Bilindiğine Göre ACB dik üçgeninde, cos α belli ise, Hipotenüs = AB = 1 birim alınırsa cos α =

AC = AB

AC = 1

AC Şekil 3 BC =

1 − cos 2 α (pisagor teoreminden giderek)

sin α =

BC = AB

BC = tg α = AC sec α =

1 − cos 2 α = 1

1 − cos 2 α

1 − cos 2 α cos α

;

AB 1 = AC cos α

cotg α =

AC = BC

; cosec α =

AB = BC

cos α 1 − cos 2 α 1 1 − cos 2 α

Örnek: cos α =

3 ise sin α , tg α , cotg α , sec α , cosec α değerlerini bulalım 3

Cevap: sin α =

1 − cos 2 α =

1−

3 = 4

1 1 = = 0,5 4 2

0 ,5 1 3 1 − cos 2 α = = = tg α = cos α 3 3 3 2 3 cos α 3 = 2 = = 3 cotg α = 1 0 ,5 1 − cos 2 α

6

olur.

sec α =

1 = cos α

cosec α =

1 3 2

2

=

1 1 − cos 2 α

3

=

=

2 3 3

1 = 2 olur. 0 ,5

1.2.3. Tanjant Bilindiğine Göre ACB dik üçgeninde, tg α belli ise, Hipotenüs = AB = 1 birim alınırsa tg α =

BC BC = = BC AC 1

AB = 1 + tg 2α olur. (pisagor teoreminden giderek) Şekil 4

sin α =

BC = AB

cotg α =

cosec α =

tgα 1 + tg 2α

AC 1 = BC tgα

AB = BC

;

1 + tg 2α tgα

;

cos α =

AC = AB

sec α =

AB = AC

1 1 + tg 2α 1 + tg 2α

olur.

Örnek tg α =

3 ise sin α , cos α , cotg α , sec α , cosec α değerlerini bulalım 3

7

Cevap

tgα

sin α =

1 + tg 2α

1

cos α =

1 + tg α 2

cotg α =

sec α =

1 = tgα

1 + tg

cosec α =

2

3 3

=

3 1+ 9 1

=

1 3 3 α

=

=

=

1

3 3 = 3 = 1 2 2 3 12 3 =

3

2 3 2 3 3 3 3 = = 3 3 3

12 3 3

=

3 3 3 = 2×3 2

2 3 3

=

2 3 1 + tg α 3 = 2 olur. = tgα 3 3 2

1.2.4. Kotanjant Bilindiğine Göre ACB dik üçgeninde, cotg α belli ise Hipotenüs = AB = 1 birim alınırsa cotg α =

AC AC = = AC BC 1

AB = 1 + cot g 2α olur. (pisagor teoreminden giderek)

sin α =

BC = AB

1 1 + cot g 2α

Şekil 5

;

cos α =

8

AC = AB

cot gα 1 + cot g 2α

tg α =

BC 1 = AC cot gα AB = BC

cosec α =

AB = AC

sec α =

;

1 + cot g 2α

1 + cot g 2α cot gα

olur.

Örnek: cotg α =

3 ise sin α , cos α , tg α , sec α , cosec α değerlerini bulalım

Cevap:

1

sin α =

1 + cot g α

cot gα

cos α =

tg α =

1 + cot g α

AB sec α = = AC cosec α =

1 3

1+ 3

3

=

2

1 = cot gα

1

=

2

1+ 3

1

=

=

4

3 4

=

=

1 2

3 2

3 3

=

1 + cot g 2α = cot gα

1 + cot g 2α =

1+ 3 =

1+ 3 3

4

=

3

=

2 3 3

4 = 2 olur.

Bütün bu trigonometrik fonksiyonlar arasındaki bağıntılar tablo 1 de gösterilmiştir. Verilen Aranan sin α cos α tg α

sin α sin α

1 − sin α 2

sin α 1 − sin α 2

cos α

1 − cos α 2

cos α

1 − cos 2 α cos α

9

tg α

cotg α

tgα

1

1 + tg 2α

1 + cot g 2α

1

cot gα

1 + tg α 2

tg α

1 + cot g 2α 1 cot gα

1 − sin 2 α sin α

cotg α

cos α

1 tgα

1 − cos 2 α

cotg α

Tablo: 1

1.3. Bazı Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Hesabı 1.3.1. 45 Derece Açının Dik kenarları 1 birim kabul edilen ACB ikizkenar dik üçgen çizilir (45–45–90 üçgeni). AB = BC = 1 alınırsa AB = AC 2 + BC 2 = 2 bulunur. (pisagor teoreminden giderek) ACB ikizkenar dik üçgeninde taban açıları 45 0 olacağından,

sin 45 0 = sin

cos 45 0 = cos

π 4

π 4

=

=

1 2 1 2

=

=

2 = 0,707 2 2 = 0,707 2

Şekil 5

tg 45 0 = tg

;

;

π 4

=1

cotg 45 0 = cotg

10

π 4

=1

1.3.2. 30 Derece ve 60 Derece Açının Kenar uzunlukları 1 birim kabul edilen ABC eşkenar üçgen çizilir. Bu üçgenin B köşesinden tabana BD diki inilirse B köşesindeki açı ve AC kenarı iki eşit parçaya bölünür (30-60-90 üçgeni oluşur) Şekil 6’ daki gibi AB = 2 alınırsa AD = 1 alınırsa

AB 2 + AD 2 = 2 2 − 12 = 4 − 1 = 3 bulunur. BD =

Şekil 6

(pisagor teoreminden giderek) ABD dik üçgeninden istenilen açıların trigonometrik olanları; sin 30 0 = sin

cos 30 0 = cos

tg 30 0 = tg

π 6

π 6

π

0

=

6

1

=

cotg 30 0 = cotg Not: 30 ile 60 bulunur.

1 = 0,5 2

=

3

π 6 0

=

;

sin 60 0 = sin

3 = 0,866… 2

;

cos 60 0 = cos

3 = 0,577 3

;

tg 60 0 = tg

=

3 = 1

π 3

π

3

3 = 1,732 ; cotg 60 0 = cotg

1 = 0,5 2

=

3

π

3 = 0,866… 2

=

=

π 3

3 = 1,732

=

1 3

=

3 = 0,577 3

açıları birbirlerinin tümleri olduğundan biri bulunduktan sonra diğeri de

11

Örnek sin 30 0 = cos 60 0 =

1 = 0,5 2

tg 30 0 = cotg 60 0 =

3 = 0,577 gibi. 3

I. Bölgede bulunan bazı açıların trigonometrik değerleri tablo 2’ de gösterilmiştir. Açı Tri.Fonk.

00

30 0

45 0

60 0

Sin α

0

1 2

Cos α

1

2 2 2 2

3 2 1 2

Tg α

0

1

3

∞

Cotg α

∞

1

3 2

0

3 2 3 3 3

Konu İle İlgili Örnekler Örnek 1: sin 42 0 ye karşılık gelen cos değeri nedir? Cevap 1: sin 42 0 = cos ( 90 0 - 42 0 )

buradan;

sin 42 0 = cos 48 0

olur.

Örnek 2: Bir dik üçgende tan x =

3 olduğuna göre cot x + sin x + cos x kaçtır? 4

12

90 0 1 0

Cevap 2: tan x . cotg x = 1

Buradan, AB = 3 birim alırsak,

3 . cotg x = 1 4 3 cotg x = olur 4

BC = 4 birim olur. AC hipotenüs olduğundan (pisagor teoreminden) AC 2 = AB 2 + BC 2

sinus ve kosinüs değerlerini bulmak için Önce bir dik üçgen çizip dar açılardan birinin ölçüsüne x diyelim.

AC

2

= 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25

AC = 5 birim olur.

Bu durumda, sin x =

3 verilmiş. Öyle ise, 4 AB 3 = dir. tan x = 4 BC

tan x =

olur. cot x + sin x + cos x sorulduğuna gore

3 3 4 + + ise, paydaları eşitlersek 4 5 5 4 × 5 + 3 × 3 + 4 × 3 20 + 9 + 12 41 = = 15 15 15 bulunur.

örnek 3: ∩

3 4 ve cos x = 5 5

∩

sin A = cos A olduğuna gore, A açısının ölçüsü kaç derecedir? Cevap 3: Sinüsü, kosinüsüne eşit tek açı 45 0 lik açıdır. Örnek 4:

sin 45 0 × cos 54 0 × tg 30 0 işleminin sonucu kaçtır? cot g 60 0 × sin 36 0 × cos 45 0

13

Cevap 4: Birbirlerini 90 0 ye tamamlayan açıların sinüsleri kosinüslerine, tanjantları da kotanjantlarına eşittir. sin 45 0 = cos 45 0 cos 54 0 = sin 36 0 tg 30 0 = cotg 60 0 olduğundan,

sin 45 0 × cos 54 0 × tg 30 0 = 1 olur. cot g 60 0 × sin 36 0 × cos 45 0 Örnek 5: ∩

0 < s ( x ) < 90 0 ise, (sinx) 2 + (cosx)

2

toplamı kaçtır?

Cevap 5:

(sinx) 2 + (cosx) 2 =

a2 + b2 c2

a 2 + b 2 = c 2 olduğundan, (sinx) 2 + (cosx) 2 = Bir ABC dik üçgeni çizersek

c2 c2

(sinx) 2 + (cosx) 2 = 1 olur.

b a ve cos x = dir. c c b2 a2 2 2 (sinx) + (cosx) = 2 + 2 c c sin x =

14

DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ Aşağıda hazırlanan değerlendirme ölçeğine göre kendinizin veya arkadaşınızın yaptığı çalışmayı değerlendiriniz. Gerçekleşme düzeyine göre evet hayır seçeneklerinden uygun olanı kutucuğa işaretleyiniz.

İŞLEM KONTROL LİSTESİ Dersin Öğrencinin Trigonometri adı Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki Amaç Adı soyadı bağıntıları çözebilme becerisinin ölçülmesi Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki Konu bağıntılar Sınıfı Nu Değerlendirme Kriterleri (çoktan seçmeli sorulardan 9. soru) 1 Size verilen şekli anladınız mı? Size verilen tg değerinden giderek AB ve AC uzunluk 2 değerlerini bulabildiniz mi? BAD dik üçgenin hangi özelliğe sahip bir dik üçgen 3 olduğunu görebildiniz mi? 4 5

Evet

Hayır

Bu dik üçgende BD uzunluk değerini bulabildiniz mi? BD uzunluk değeri ile DC uzunluk değeri arasındaki ilişkiyi şekilde görebildiniz mi?

6

DC uzunluk değerini buldunuz mu?

7

Tanjant formülünü biliyor musunuz?

8

Tanjant formülünde verileri yerlerine koyabildiniz mi?

9

Matematiksel işlemi doğru yapabildiniz mi?

10

Doğru sonucu bulabildiniz mi? Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları

DEĞERLENDİRME Bu değerlendirme sonucunda eksik olduğunuzu tespit ettiğiniz konuları tekrar ederek eksikliklerinizi tamamlayınız.

15

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ÖLÇME DEĞERLENDİRME

ÇOKTAN SEÇMELİ ÖLÇME SORULARI Öğrenme faaliyetinde edindiğiniz bilgileri ölçmeye yönelik çoktan seçmeli test hazırlanmıştır. Bu testi kendi kendinize uygulayınız. Test sonunda yer alan cevap anahtarı ile ölçü ve ölçekler hakkında ne derece bilgiler edindiğinizi gözlemleyiniz. Sonuçları öğretmeninizle değerlendiriniz. SORULAR 1. Şekildeki ABC üçgeninde [AB ] ⊥ [AC ] dir. a, b ve c bulundukları kenarların uzunlukları olduğuna göre, ∧

∧

sin B + sin C ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)

2c a

B)

2b a

C)

b+c a

D)

2. Şekildeki merdiven yer düzlemi ile x derecelik açı oluşturacak biçimde duvara yaslanıyor. sin x =

4 olarak verilmiştir. 5

Bu verilere göre merdiven tepe noktasının yerden yüksekliği aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2,5

B) 2,8

C) 3,2

16

D) 4

b×c a

3. Şekildeki ABC dik üçgeninde ∧

tg ( ACB ) =

1 veriliyor. 2 ∧

Buna göre sin ( CAB ) kaçtır?

2

A)

1

B)

5

C)

5

1

D)

3

1 2

4. Şekildeki ABC üçgeninde ∧

s ( BAC ) = 90 0 veriliyor.

[BC ]

⊥ [ AH ] dir.

Aşağıdakilerden hangisinde verilenler ile ABC üçgeninin alanı bulunamaz? A) [AC ] ile [CH ] ∧

B) [ AB ] ile [AH ] ∧

∧

D) [ AB ] ile sin B

C) s ( B ) ile s ( C ) ∧

5. 0 < s ( x ) < 90

0

ve tg x = 0,5 ise, cotg x kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

6. Şekildeki ABCD dikdörtgeninde [AC ] köşegendir? A(ABCD) = 48 cm 2 dir. BC = 6 cm dir. Buna göre cos α kaçtır?

A)

4 5

B)

3 5

C)

5 3

17

D)

5 4

7. Şekildeki ABC üçgeninde

[AH ]

⊥ [BC ] dir.

∧

∧

cotg B + cotg C = 2 ve AH = 5 cm ise,

BC kaç cm dir?

A) 8 8.

B)10 ∧

0 < s ( x ) < 90

A)

0

ve cos x =

5 12

B)

C) 12

5 13

D) 14

ise, tg x aşağıdakilerden hangisidir?

12 5

C)

5 8

C)

3 5

D)

3 5

9. Şekildeki ABC dik üçgeninde ∧

s ( BAC ) = 90 0 ve BD = DC ∧

tg ( ADB ) =

4 ise, 3

∧

tg ( ACB ) aşağıdakilerden hangisidir? A)

4 5

B)

2 3

D)

1 2

10. Şekildeki ABCD karesinde

AE = EB

ve

[DE ] ⊥ [EF ]

ise ∧

FEB üçgeninde cos( EFB ) değeri kaçtır? A)

1 3

B)

1 2

C)

1 3

D)

1 5

DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek değerlendiriniz Eksik olduğunuz konulara geri dönerek tekrarlayınız. Tüm soruları doğru cevapladıysanız diğer faaliyete geçiniz.

18

ÖĞRENME FAALİYETİ–2 ÖĞRENME FAALİYETİ–2

AMAÇ Bu faaliyet ile gerekli bilgiler verildiğinde trigonometrik fonksiyonlarla ilgili teoremleri kuralına uygun yapabileceksiniz.

ARAŞTIRMA Trigonometri nedir? Trigonometrik fonksiyonlar nelerdir? Bu fonksiyonlarla ilgili teoremler nelerdir? Mesleğimizde nasıl kullanacağımızı arkadaşlarınızla beraber araştırınız.

2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARLA İLGİLİ TEOREMLER 2.1. Sinüs Teoremi Teorem: Bir ABC üçgeninde kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleri ile orantılı olup bu oran çevrel çemberin çapına eşittir. İspat: R çevrel çemberin yarıçapı, 2R çevrel çemberin çapı olsun. Şekildeki ABC üçgeninde A ve C köşelerinden karşı kenarlara AH ve CD dikleri inelim. AH diki ile oluşan ABH ve AHC dik üçgenlerinden, AH = c × sin B = b × sin C yazılabilir.

Şekil 7

Bu eşitliğin her iki tarafını sin B × sin C ' ye böler ve sadeleştirirsek,

c × sin B b × sin C = sin B × sin C sin B × sin C

b c = sin B sin C

⇒

bulunur.

Aynı şekilde CD diki ile oluşan ADC ve BDC dik üçgenlerinden, CD = b × sin A = a × sin B yazılabilir. Bu eşitliğin her iki tarafını sin A × sin B ' ye bölersek,

19

b × sin A a × sin B = sin A × sin B sin A × sin B

b a = sin B sin A

⇒

bulunur.

c b b a = ve = eşitlikleri birleştirilerek üçgen kenarları sin C sin B sin B sin A ile açıları arasında, sinüs teoremi olarak bilinen ve üçgen çözümünde sıkça kullanılan

a b c = = eşitliği elde edilir. sin A sin B sin C

ABC üçgeninin köşelerinden geçen çevrel çemberin merkezi O olsun. OBC üçgeninde O dan BC ye inilen dik (OK), BC = a' yı iki eşit parçaya böler. (Merkezden kirişe inilen dikler kirişi iki eşit parçaya böler) BK = a/2 olur. Aynı dik COB merkez açısını da ikiye böler. COB merkez açısı CB yayını görür. A açısı da aynı yayı gördüğünden dolayı COB = 2A olur. Bu durumda O 1 = A olur. OBK üçgeninde; sinO 1 = sinA =

Buradan sinA =

BK a/2 a = = olur. OB R 2R

a a veya = 2R bulunur. 2R sin A

a a b c = 2R eşitliğini = = eşitliğine eklersek sin A sin A sin B sin C a b c = = = 2R eşitliği elde eldir. sin A sin B sin C Böylece sinüs teoreminin bir başka sonucu olarak, bir üçgende kenarların karşılarındaki açıların sinüslerine oranlarının, üçgenin çevrel çemberinin çapına eşit olduğu gerçeği ortaya çıkar. Haritacılıkta nirengi ve poligon ağlarında, birbirlerine açı ve kenar ölçmeleri sonucunda bağlanmış üçgenler oluşturulur. Bu tür üçgenlerin çözümünde, bilinen elemanlardan yararlanarak bilinmeyen elemanların hesaplanmasında sinüs teoremi çok kullanılır.

20

Örnek Bir üçgene ait a = 36 cm, B = 72° ve C = 55° elemanları bilindiğine göre diğer b ve c elemanlarını bulunuz. Cevap A = 180 - ( B + C ) = 180 - ( 72 + 55 ) = 53° bulunur. eşitliğinden

b=a ×

sin B sin 72 = 36 × = 42,87 cm olur. sin A sin 53

a c = eşitliğinden sin A sin C

c=a ×

sin C sin 55 = 36 × = 36,92 cm olur. sin A sin 53

a b = sin A sin B

2.2. Cosinüs Teoremi Teorem: Bir üçgende herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın ve aralarındaki açının cosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir. İspat: Şekildeki ABC dar açılı üçgeninde C köşesinden inilen dikle oluşturulan ACH ve BHC dik üçgenlerinde pisagor teoreminden, CH 2 =b 2 -AH 2 ve CH2=a 2 -HB 2 Şekil 8

bağıntıları yazılabilir.

Bu iki ifade birbirine eşitlenip HB = c - AH olarak yerine konursa, b2 - AH2 = a2 - (c - AH)2 = a2 - (c2 - 2AHc + AH2) = a2 - c2 - AH2 +2AHc b2 = a - c2 - AH2 +2AHc+ AH 2 =a 2 -c 2 +2AHc cosA =

AH b

⇒

AH = b cosA olur. Bu eşitliği

b2 = a - c2 - AH2 +2AHc+ AH 2 =a 2 -c 2 +2AHc formülünde yerine

21

koyarsak b2 = a -c2 + 2bc cosA elde edilir. Bunun düzenlenmesiyle, cosinüs teoremi olarak isimlendirilen ve üçgen çözümünde kullanılan a2 = b2 + c2 - 2 bc cosA eşitliği elde edilmiş olur. Diğer köşelerden de dikler inilerek aynı işlemler tekrarlanıp diğer kenarlar için de yazılırsa, b2 = a2 + c2 - 2 ac cosB c 2 = b 2 + a2–2 ab cosC

eşitlikleri elde edilir.

Bu teorem; iki kenarı ve arasındaki açısı veya üç kenarı bilinen üçgenin çözümünde kullanılır. ABC üçgeni, şekildeki gibi geniş açılı üçgen olursa C köşesinden inilen dikle oluşturulan BHC dik üçgeninde; a2 = CH2 + HB2 (1) ACH dik üçgeninde; CH2 = b2 - AH2 ve (2) HB = c + AH (3) 2 ve 3, 1 de yerine konursa

Şekil 9

a2= b2- AH2 + (c + AH)2= b2 - AH2 + c2+2 AHc + AH 2

(4)

ACH dik üçgeninde Cos ( 180 - A ) =

AH AH = - cos A = b b

Not: cos (180 - A) = - cos A dır. V, IV de yerine konursa a2 = b2 + c2 -2b c cos A

⇒ AH = - b cos B

(II. bölgede kosinüs (-) işaretli olduğundan )

eşitliği elde edilir.

Aynı şekilde b2 = a2 + c2 - 2 a c cos B c2 = b2 + a2 - 2 a b cos C

(5)

eşitlikleri tekrar bulunur.

22

Sonuç olarak üçgen ister dar açılı olsun, ister geniş açılı olsun kosinüs teoremi ile elde edilen eşitlikler her iki üçgende de geçerli olur. c2 = b2 + a2 - 2 a b cosC eşitliklerinden yararlanarak açılar kenarlar cinsinden yazılırsa cos A =

b2 + c − a2 , 2bc

cos B =

a2 + c2 − b2 , 2 ac

cos C =

a2 + b2 − c2 2ab

eşitlikleri elde edilir. Örnek Geniş açılı bir üçgende a = 218 m, kenarı uzunluğunu bulunuz.

b = 125 m ve C = 130 g veriliyor. Üçgenin c

Cevap c2 = b2 + a2 - 2 a b cos C eşitliğinden yararlanarak c2 = b2 + a2 - 2 a b cos C = (125)2 +(218)2 -2 (218) (125) cos130 c2 = 87891,4822 => c= 296,465 m olur.

2.3. Küçük Açıların Trigonometrik Fonksiyonları Küçük açıların trigonometrik fonksiyonları, matematiğin Maclaurin serisi ile tanımlanabilir. Bu tanıma göre her hangi bir f (x) fonksiyonu,

x2 x xn n f’ (0) + f”(0) +………+ f (0) + ……şeklinde f(x) =f(0) + 1! 2! n! yazılabilir. Bu fonksiyonda f’, f”, …., f n sembolleri f (x) fonksiyonunun x değişkenine göre sırasıyla 1, 2,… ,n türevlerini, ! sembolü ise faktöriyel (örneğin, 3! = 1 × 2 × 3 = 6) anlamındadır. Bu fonksiyonun açılımı sonucunda bu seriler, x açıların radyan cinsinden değeri olmak üzere ispatsız olarak aşağıda verilmiştir: sin x = x -

x3 x 5 x7 x9 + + ……….. 3! 5! 7! 9!

(- ∞ <X<+ ∞ )

cos x = 1 -

x2 x 4 x6 x8 + + ………. 2! 4! 6 ! 8!

(- ∞ <X<+ ∞ )

x3 2 x 5 17 x 7 + + ……….. tg x = x + 3! 15 315 23

( x <π/2 )

⎤ 1 ⎡ x 2 x 4 2x6 cotg x = − − − ......⎥ ⎢1 − x ⎣ 3 45 945 ⎦ sec x = 1 +

cosec x =

(0< x < π )

x2 5x4 61x 6 + + + …… 2 24 720

( x <π/2 )

1 x 7 x3 31x 5 + + + + ……. x 6 360 15120

(0< x < π )

olarak elde eldir. Bu seriler yardımıyla küçük açıların tüm trigonometrik fonksiyonlarının değerleri bulunabilir. Konu ile İlgili Örnekler Örnek 1: Bir üçgende β = 56 g 18 c 64 cc , γ = 41 g ,3971 ve çevresel çember yarıçapı R = 1514,108 m verildiğine göre üçgenin a,b ve c kenar uzunluklarını bulunuz. Cevap 1

a b c = = = 2R sin A sin B sin C eşitliğinden yararlanarak

b = 2R ⇒ b = 2R × sin β sin β b = 2 × 1514, 108 sin 56 g , 1864 = 2338, 92 m b=2338, 92 m

c = 2R ⇒ c = 2R × sin γ sin γ c = 2 × 1514, 108 sin 41 g ,3971 = 1833, 27 m c=1833, 27 m

α = 200 g - (56 g ,1864 + 41 g ,3971) α = 102 g ,4165 a ⇒ a = 2R × sin α 2R = sin α a = 2 × 1514, 108 sin 102 g , 4165 a = 3026, 03 m olur.

α = 200 g - ( β + γ ) 24

Örnek 2: a kenarı 426,95 m ve α açısı 54 g ,4692 olarak ölçülen dış çember yarıçapını (R) hesaplayınız. Cevap 2:

a b c = = = 2R eşitliğinden sin A sin B sin C R=

a 426 ,95 = = 282,76 m olur. 2 sin α 2 × sin 54 g ,4692

Örnek 3: Bir üçgenin kenarları a = 3, b = 7, c = 8 birim verildiğine göre B açısını derece ve grad olarak bulunuz. Cevap 3: cos B =

32 + 8 2 − 7 2 a2 + c2 − b2 a2 + c2 − b2 eşitliğinden cos B = = = 0, 5 2 ac 2ac 2×3×8

B = arc cos 0,5 = 60 0 = 66 g , 6666 olur. Örnek 4: Aralarında engel nedeni ile şekildeki AB uzaklığını, b = 42,50 m a= 73,65 m γ = 93 g , 25 ölçülerinden yararlanarak hesaplayınız.

Cevap 4: c2 = b2 + a2 - 2 a b cos C eşitliğinden yararlanarak AB =

a 2 + b 2 − 2ab × cos γ

AB =

( 73 ,65 ) 2 + ( 42 ,50 ) 2 − ( 73 ,65 )( 42 ,50 ) cos 93 g ,25 = 81, 04 m olur.

25

Örnek 5: x = 1 0 nin sinüs ve kosinüs değerlerini seriler yardımıyla bulunuz. Cevap 5 x = 1 0 nin sinüs ve kosinüs değerlerini seriler yardımıyla bulmak için önce x açısının ;

radyan değeri 0

=

1

ρ

0

=

π 1 = = 0.01745329 180 180 π 1 = 1,00000000

x = 0,01745329 3

-

x = -0,000000886 6

___________________ sin x = + 0,017452406

-

x2 = - 0,00015231 2

_________________ cos x = +0,999847691

olarak bulunur.

26

DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ Aşağıda hazırlanan değerlendirme ölçeğine göre kendinizin veya arkadaşınızın yaptığı çalışmayı değerlendiriniz. Gerçekleşme düzeyine göre evet, hayır seçeneklerinden uygun olanı kutucuğa işaretleyiniz.

İŞLEM KONTROL LİSTESİ Dersin Trigonometri adı Trigonometrik fonksiyonları kuralına Amaç uygun çözebilme becerisinin ölçülmesi Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili Konu teoremlerle üçgenleri çözme

Öğrencinin Adı soyadı Sınıfı Nu

Gözlenecek Davranışlar 1

( örnek 4. sorudan) Öğretmeninizin verdiği noktaları arazide bulabildiniz mi?

2

Bu noktalardan ölçüm yapabildiniz mi?

3

İki kenarı ve bir açısı belli olan üçgeni kâğıda çizebildiniz mi?

4

Soruyu anlayabildiniz mi?

5

Hangi formülü kullanacağınızı buldunuz mu?

6

Formülde verileri yerlerine koyabildiniz mi?

7

Matematiksel işlemi doğru yapabildiniz mi?

8

Sonucu doğru bulabildiniz mi?

Evet

Hayır

Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları DEĞERLENDİRME Bu değerlendirme sonucunda eksik olduğunuzu tespit ettiğiniz konuları tekrar ederek eksikliklerinizi tamamlayınız.

27

ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

ÇOKTAN SEÇMELİ ÖLÇME SORULARI AÇIKLAMA Öğrenme faaliyetinde edindiğiniz bilgileri ölçmeye yönelik çoktan seçmeli test hazırlanmıştır. Bu testi kendi kendinize uygulayınız. Test sonunda yer alan cevap anahtarı ile ölçü ve ölçekler hakkında ne derece bilgiler edindiğinizi gözlemleyiniz. Sonuçları öğretmeninizle değerlendiriniz. 1. Bir üçgende C = 63 0 ve a = 3b olduğu bilindiğine göre üçgenin diğer açılarını bulunuz. A) A= 97 0 , 7’ B= 19 0 , 3

B) A = 19 0 , 3 B = 97 0 , 7’

C) A = 39 0 , 2 B = 77 0 , 8

D) A = 77 0 , 8 B = 39 0 , 2

2. α = 30 0 olarak verilen bir açının sinüs ve kosinüs değerlerini seriler yardımıyla bulunuz. A) sin α = 0.866 cos α = 0,5

B) sin α = 0,5 cos α = 0.866

C) sin α = 0.330 cos α = 0.454

D) sin α = 0.454 cos α = 0.330

3. A = 92 g .158, a = 122 m ve b 2 + c bulunuz.

2

=16 960 olarak verilen üçgenin b ve c kenarını

A) b = 76 c = 108

B) b = 88 c = 96

C) b = 108 c = 76

D) b = 96 c = 88

4. a ve b gibi iki kenarı ve α açısı verilen üçgenin c kenarını hesaplayınız. a = 50 cm b = 20 cm α = 70 0 A) 55,17

B) 54,17

C) 53.17

28

D) 52.17

5. a = 36 cm ve β = 72 0 ve γ = 55 0 verilen üçgenin b ve c kenarlarını hesaplayınız. A) b = 42.87 c = 36.92

B) b = 45 c = 33

C) b = 36.92 c = 42.87

D) b = 33 c = 45

6. a ve b gibi iki kenarı ve α açısı verilen üçgenin β açısını hesaplayınız. a = 36 cm

b = 28 cm α = 27 0 30’

A) 22 0

B) 22 0 3’

C) 21 0

D) 21 0 3’

7. a, b, c gibi üç kenarı verilen üçgenin α açısını bulunuz. a = 4 b = 13 c = 15 A) 12 0 15’

B) 13 0 15’

C) 14 0 15’

D) 15 0 15’

8. a ve b kenarları verilen ile arlarındaki γ açısı verilen üçgenin c kenarını bulunuz. a = 10 b = 8 γ = 70 0 A) 10. 45

B) 11. 45

C) 12. 45

D) 13. 45

9. a kenarı ile β ve γ açıları verilen üçgenin b kenarını hesaplayınız. a = 24 β = 53 0 γ = 104 γ A) 48.05

0

B) 49.05

C) 50.05

D) 51.05

10. a ve b kenarları verilen ile arlarındaki γ açısı verilen üçgenin c kenarını bulunuz. a = 8 b = 10 γ = 120 A) 13.62

B) 14.62

C) 15.62

D) 16.62

DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız. Bu değerlendirme sonucunda yanlış cevaplarınız varsa faaliyete tekrar dönerek eksikliklerinizi tamamlayabilirsiniz. Tüm cevaplarınız doğru ise modül değerlendirmeye geçiniz.

29

MODÜL DEĞERLENDİRME MODÜL DEĞERLENDİRME Öğretmeniniz, modüldeki faaliyetleriniz ve araştırma çalışmalarınız sonunda kazandığınız bilgi ve becerilerinizi ölçme araçlarıyla ölçerek sizin modül ile ilgili durumunuzu değerlendirecek ve sonucunu size bildirecektir. Öğretmeninizin arazide göstermiş olduğu noktaların ölçümünü basit bir şekilde yapınız. Ölçüm sonucuna göre şekli çiziniz. Ortaya çıkan şekilde aralarında engel olan bir AB uzaklığını belirleyiniz. Ölçüm sonuçlarından trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla AB uzaklığını hesaplayınız. PERFORMANS TESTİ Dersin Meslek Hesapları adı Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili Amaç teoremleri kuralına uygun çözebilme Aralarında engel olan AB uzaklığını Konu Trigonometrik fonksiyonlar yardımı ile bulabilme

Öğrencinin Adı soyadı Sınıf Nu Başlangıç saati Bitiş saati Toplam süre

Zaman Değerlendirme Kriterleri 1

Noktaları arazide tespit edebildiniz mi?

2

Noktalar arası doğru ölçüm yapabildiniz mi?

3

Ölçüm sonuçlarını kâğıt üzerinde gösterebildiniz mi?

4

İstenilen şekli kâğıt üzerine çıkarabildiniz mi?

5

Ortaya çıkan şekli anladınız mı?

6

Üçgenin hesaplamasının nasıl yapılacağını biliyor musunuz?

7

Verileri formüldeki yerine koyabildiniz mi?

8

Matematiksel işlemleri doğru yapabildiniz mi?

9

Arasında engel olan AB uzaklığını bulabildiniz mi?

Evet

Hayır

Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları Not: Zümre öğretmenler kararı ile farklı performans testi uygulanabilir. DEĞERLENDİRME Performans testi değerlendirmesi sonucunda eksik olduğunuz konuları yeniden tekrar ederek eksik bilgilerinizi tamamlayınız. Kendinizi yeterli görüyorsanız bir sonraki modüle geçmek için öğretmeninize başvurunuz.

30

CEVAP ANAHTARLARI CEVAP ANAHTARLARI ÖĞRENME FAALİYETİ. 1 CEVAP ANAHTARI 1 2 3 4 5 6

C D A C B B

7 8 9 10

B B D D

ÖĞRENME FAALİYETİ. 2 CEVAP ANAHTARI 1 2 3 4 5 6

A B D C A D

7 8 9 10

C A B C

31

KAYNAKÇA KAYNAKÇA ¾

ERSOY Dr. Nihat, Trigonometri, Ankara 2001

¾

LGS Matematik Konu Anlatımlı, Güvender Yayınları, Aralık 2003

¾

KARAYEL Bekir, Trigonometri, Yayınlanmamış Ders Notları

¾

ÖZAY Ali, Trigonometri, Yayınlanmamış Ders Notları

32