Fonction Exponentielles Et Puissances

CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

1 Introduction à la fonction exponentielle 1. Équation différentielle ● On

appelle équation différentielle une égalité dans laquelle figurent une fonction et ses dérivées successives. Les solutions d’une telle équation sont des fonctions.

● Théorème

Il existe une unique fonction non nulle, dérivable sur  telle que f ′ = f et f ( 0 ) = 1, qui soit solution de l’équation différentielle f ′ = kf. Cette fonction est la fonction exponentielle notée exp. : ( ∀x ∈  ) exp′x = exp x exp 0 = 1 On note : exp x = e x .

● Conséquences

2. Propriétés • Propriété fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles : ( ∀x ∈  ) ( ∀y ∈  )

f(x + y) = f(x) × f(y)

soit exp ( x + y ) = ( exp x ) × ( exp y ) ou bien e x + y = e x × e y . • Quels que soient les réels x et y : exp x  0 ⇔ e x  0 ex exp x -------------- = exp ( x – y ) ⇔ -----y = e x – y exp y e 1 1 – y ------------- = exp ( – y ) ⇔ e = -----y exp y e n ∈ , ( exp x ) n = exp ( nx ) ⇔ ( e x ) n = e nx .

3. Conséquences La fonction exponentielle base e, dont la dérivée est elle-même, est strictement croissante sur . Elle est continue et bijective. ( ∀x ∈  ) ( ∀y ∈  ), exp x = exp y ⇔ x = y (bijection) exp x  exp y ⇔ x  y (stricte croissance). 182

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exemples d’application  En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la propriété caracté1 ristique, démontrer que pour tout réel x : exp x  0 et exp ( – x ) = -------------- . exp x

corrigé commenté

• Pour montrer que exp x  0, il est nécessaire de prouver qu’il n’existe pas de réel x 0 tel que exp x 0 = 0.

Supposons qu’il existe un réel x0 tel que exp x 0 = 0, alors pour tout réel x : exp x = exp ( x 0 + ( x – x 0 ) ) = exp x 0 × exp ( x – x 0 ) = 0 donc la fonction « exp » serait la fonction nulle, ce qui contredit la définition. x x x x Par ailleurs ( ∀x ∈  ) exp ( x ) = exp  --- + --- = exp  --- × exp  --- .  2 2  2  2 x 2 Soit exp ( x ) =  exp --- d’où  2

exp x  0.

• exp 0 = 1 ⇔ exp ( x + ( – x ) ) = 1 ⇔ exp x × exp ( – x ) = 1 soit : 1 exp ( – x ) = -------------exp x

car exp x ≠ 0.

 Simplifier les écritures des nombres a et b suivants : exp ( – 3 ) × ( exp ( 3 ) ) a = ---------------------------------------------------( exp 1 ) 2

et

exp ( – x ) × ( exp x ) 2 b = -------------------------------------------------- . exp x

corrigé commenté

Il est souvent plus facile d’utiliser la notation e x pour expx.

1 e –3 × e 3 e0 1 a = ------------------= ----2- = ----2- d’où a = ----2-. e e e ( e1 )2 e– x × ( ex )2 b = -------------------------- = e – x × e 2x × e – x = e 0 d’où ex

b = 1.

183

CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

2 Étude de la fonction exponentielle base e 1. Étude et représentation graphique ● La

fonction exponentielle base e est continue et bijective et elle admet la fonction logarithme népérien pour fonction réciproque. • x ∈  et exp x = y ⇔ x = ln y avec y ∈  +∗ d’où ln ( exp x ) = x et exp ( ln x ) = x. • lim exp x = 0 ; lim exp x = + ∞ x → –∞

x → +∞

donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe représentative de la fonction « exp ». • e ≈ 2,718. x

–∞

exp′ ( x )

0 +

1 +

e

+∞

1

B

+ e

exp

+∞

1

A

exp

0

0

1

Remarques La tangente en A à exp a pour équation y = x + 1 et la tangente en B a pour équation y = ex. Les courbes représentant ln et exp sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite d’équation y = x.

2. Limites remarquables et croissances comparées ex – 1 • lim -------------- = 1 ; exp x ≈ 1 + x dans un voisinage de zéro. x x→0 ex lim ----- = + ∞ ; lim xe x = 0 ; x → +∞ x x→– ∞ ex lim ----- = 0 ; avec α  0 ; x → + ∞ xα lim x α e x = 0 ; avec α  0. x→–∞

ln x • lim --------; x → + ∞ xα

avec α  0.

an • Si α  0 et a  1, lim -----α- = + ∞. n 184

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exemples d’application  Soit f et g deux fonctions telles que : f ( x ) = e ln x

et

g ( x ) = e ln x .

1. Indiquer les ensembles de définition de f et g. 2. Suivant les valeurs de x, donner une écriture de f(x) et g ( x ) sans barre de valeur absolue.

corrigé commenté

1. La fonction « ln » est définie sur  +∗ , or x  0 et x = 0 si, et seulement si, x = 0, donc

D f =  ∗ et D g =  +∗ .

2. Si x  0, alors x = x, Si x  0, alors x = – x ,

donc donc

f(x) = e ln x = x. f(x) = e ln ( –x ) = – x .

Rappel : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. • ln x = ln x ⇔ ln x  0 ⇔ x  1. ln x = – ln x ⇔ 0  x  1, donc : si x  1, g ( x ) = e ln x = x ; 1 1 si 0  x  1, g ( x ) = e ( – ln x ) = --------- = --- . x e ln x x

e –1 ]0 ; + ∞[ par f ( x ) = ln  -------------- .  x  Déterminer les limites de f en 0 et + ∞.

 Soit la fonction f définie sur

corrigé commenté

ex – 1 Pour tout x de ]0 ; + ∞ [ , --------------  0 donc f ( x ) existe bien. x ex 1 ex 1 , ex – 1 • -------------- = ----- – --- or lim ----- = + ∞ et lim --- = 0, x x x x → +∞ x x → +∞ x ex – 1 lim f ( x ) = + ∞ . donc lim -------------- = + ∞ et lim ln X = + ∞ d’où x x → +∞ X → +∞ x → +∞ ex – 1 • D’après le cours, lim -------------- = 1 et lim ln X = 0 d’où x x→0 X→1

lim f ( x ) = 0.

x→0

185

CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

3 Autres fonctions 1. Dérivées et primitives • Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I. ( exp ◦ u )′ = u′ × ( exp ◦ u ). • Les primitives des fonctions u′exp ( u ) sont les fonctions ( exp ◦ u ) + C avec C ∈ .

2. Fonctions exponentielles base a ● Soit a un réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme de base « a » est une bijection de  +∗ sur  qui admet pour réciproque la fonction exponentielle de base a notée x  a x .

ln x ln a

Rappel : ln a ( x ) = ----------

a ∈ ]0 ; 1 [  ] 1 ; + ∞ [ .

avec

● Propriétés

• a 0 = 1 ; a 1 = a ; ( ∀x ∈  ) ( ∀y ∈  ) ax • a x – y = -----y ; a nx = ( a x ) n avec n ∈ . a • Pour x  0 et a  0, a x = e x ln a .

ax + y = ax × ay .

a1

0a1 x a0

x  ax

x 0  a  1 x  ax

–∞

0

–∞

0 1

1 a

+∞

a = e

a

+∞ e

0

1

1

a

+∞

+∞ 0

1 a 0

1

3. Fonctions puissances ● Pour x  0 et pour tout réel α, on appelle fonctions puissances les fonctions x  x α .

x α = e α ln x 186

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Remarque : on définit la fonction racine nième, noté +

n

de x  x n avec n  2 et n ∈ . On note aussi

corrigés

, comme la réciproque sur n

1 ---

x = xn .

● Propriétés Pour α ∈ , β ∈ , x  0 et y  0 :

x α y α = ( xy ) α ; x α x β = x α + β ; ( x α ) β = x αβ . α1

α0 x x

0

+∞

αx α – 1

α = 1

– +∞

x  xα

0 0  α 1

α0 x

0

α = 0

+∞

x  αx α – 1

α0

+ +∞

x  xα

0

0

exemple d’application e3 4 e Simplifier les nombres suivants : -------------- ; 3 2 e

5 ---

(5 e)3 .

corrigé commenté

Indication : on utilise les propriétés des racines nièmes. 1 ---

1 3 + ---

13

2

31

------ – -------e3 4 e e3 e4 e 4 - = e 4 3 = e 12 = • -------------- = ------------1- = ----------2 3 2 ----e e3 ( e2 )3 5 1  5--- 1------• ( 5 e ) 3 =  e 3 5 = e 3 =

3

12

e 31 .

e.

187

CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

4 Équations différentielles du premier ordre 1. Équations différentielles du premier ordre sans second membre Ce sont les équations différentielles dont le second membre est nul et qui lient une fonction et sa dérivée première. Ces équations sont de type y′ – ay = 0 ⇔ y′ = ay. Les solutions sont les fonctions x  Ce ax avec C ∈ . Remarque : il existe une unique solution s’il y a une condition initiale y 0 = f ( x 0 ). Cette condition permet de déterminer la constante C.

2. Équations différentielles du premier ordre avec second membre Ce sont des équations différentielles dont le second membre est une fonction quelconque. Pour résoudre une telle équation, on cherche une solution particulière de même forme que le second membre, puis on la résout en suivant toutes les indications du texte.

exemple d’application Soit l’équation différentielle (E) : y′ + 2y = 2x 3 – 4x + 7. 1. Déterminer un polynôme P du troisième degré solution de (E). 2. Soit (E′) l’équation différentielle sans second membre telle que y′ + 2y = 0. Résoudre l’équation (E′). 3. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E) si, et seulement si, g – P est solution de (E′). Écrire les solutions g de (E). 1 4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f ( 0 ) = – --- . 4

corrigé commenté

1. Soit P le polynôme défini sur  par : P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d avec a ≠ 0. P est solution de (E) si, et seulement si, P′ + 2P = 2x 3 – 4x + 7. P′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.

188

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P est solution de (E) si, et seulement si, quel que soit x de  : 2ax 3 + ( 3a + 2b )x 2 + ( 2b + 2c )x + c + 2d = 2x 3 – 4x + 7. Par identification des deux polynômes, quel que soit x de  : a  2a = 2 b    3a + 2b = 0  ⇔ c   2b + 2c = – 4   c + 2d = 7   d  d’où :

= 1 3 = – --2 1 = – --2 15 = -----4 3 1 15 P ( x ) = x 3 – --- x 2 – --- x + ------ . 2 2 4

2. (E′) : y′ + 2y = 0 ⇔ y′ = – 2 y. Les solutions de (E′) sont les fonctions : x  Ce –2x avec C ∈  . 3. • La fonction ( g – P ) est solution de (E′) si, et seulement si, ( g – P )′ + 2 ( g – P ) = 0 soit g′ + 2g – ( P′ + 2P ) = 0 ; soit ( ∀x ∈  )

1 15 ( g′ + 2g ) ( x ) –  3x 2 – 3x – --- + 2x 3 – 3x 2 – x + ------ = 0 ;  2 2

soit ( ∀x ∈  ) l’équation (E).

( g′ + 2g ) ( x ) = 2x 3 – 4x + 7 ce qui signifie que g est solution de

• La fonction g – P est solution de (E′) signifie que g ( x ) – P ( x ) = Ce –2x avec C ∈  soit : 1 3 15 g ( x ) = x 3 – --- x 2 – --- x + ------ + Ce –2x . 2 2 4 4. Soit f la fonction g particulière telle que 1 1 15 f ( 0 ) = – --- d’où ------ + Ce 0 = – --- ⇔ C = – 4. 4 4 4 Par suite : 1 3 15 f ( x ) = x 3 – --- x 2 – --- x + ------ – 4e –2x . 2 2 4

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