I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle fonction solution de cette equation.
avec
. On admet qu'il existe une
Lemme Si
est une fonction solution de (E), alors pour tout ,
Propriété et définition :
.
Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée
.
Démonstration : Soit
une fonction solution de (E) et on pose
est défini sur
donc
, dérivable et :
est constante sur
Pour tout
.
réel,
et Conséquence :
donc pour tout réel ,
.
est une fonction strictement positive. La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur dérivable) et ne s'annnule pas.
(car
II. Propriété algébrique de l'exponentielle Propriété 1
Pour tous réels
et
Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction est dérivable sur
.
et
d'où
car
pour tout réel
donc
Propriété 2 Pour tous réels
et
Démonstration de la propriété 2 :
(On procède par raisonnement par récurrence)
Pour
,
Pour ,
Pour
,
Notations simplifiées :
n'est pas rationnel (
), il est transcendant et irrationnel.
alors
,
Propriétés Par extension, si
,
sera noté
alors les propriétés vues s'écrivent :
Remarque : donc pour tout réel ,
III. Etude de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est définie et dérivable sur
.
La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).
Limites de
aux bornes de son ensemble de définition
Propriétés
Démonstrations :
Montrons que pour tout Soit
,
,
d'où
( est croissante sur
Pour tout
,
donc
et pour ).
d'où
on a
Propriétés Pour tout
,
Démonstration :
Montrons d'abord que
Pour cela, on établit que pour
Posons
Pour tout
,
,
,
donc
d'où pour tout
or
d'où
D'autre part :
On pose
(avec
et
(lorsque
tend vers
)
d'où
,
tend vers
)
d'où
IV. Dérivée de Si sur
est définie et dérivable sur
- Primitive associée de
, la fonction
et
De manière générale :
(Fonction composée)
est définie et dérivable