Fonction Exp

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle fonction solution de cette equation.

avec

. On admet qu'il existe une

Lemme Si

est une fonction solution de (E), alors pour tout ,

Propriété et définition :

.

Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée

.

Démonstration : Soit

une fonction solution de (E) et on pose

est défini sur

donc

, dérivable et :

est constante sur

Pour tout

.

réel,

et Conséquence :

donc pour tout réel ,

.

est une fonction strictement positive. La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur dérivable) et ne s'annnule pas.

(car

II. Propriété algébrique de l'exponentielle Propriété 1

Pour tous réels

et

Démonstration de la propriété 1 :

Soit la fonction est dérivable sur

.

et

d'où

car

pour tout réel

donc

Propriété 2 Pour tous réels

et

Démonstration de la propriété 2 :

(On procède par raisonnement par récurrence)

Pour

,

Pour ,

Pour

,

Notations simplifiées :

n'est pas rationnel (

), il est transcendant et irrationnel.

alors

,

Propriétés Par extension, si

,

sera noté

alors les propriétés vues s'écrivent :

Remarque : donc pour tout réel ,

III. Etude de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est définie et dérivable sur

.

La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).

Limites de

aux bornes de son ensemble de définition

Propriétés

Démonstrations :

Montrons que pour tout Soit

,

,

d'où

( est croissante sur

Pour tout

,

donc

et pour ).

d'où

on a

Propriétés Pour tout

,

Démonstration :

Montrons d'abord que

Pour cela, on établit que pour

Posons

Pour tout

,

,

,

donc

d'où pour tout

or

d'où

D'autre part :

On pose

(avec

et

(lorsque

tend vers

)

d'où

,

tend vers

)

d'où

IV. Dérivée de Si sur

est définie et dérivable sur

- Primitive associée de

, la fonction

et

De manière générale :

(Fonction composée)

est définie et dérivable