Servomotores
CAPITULO 6: SERVOMOTORES Prof. M. Aníbal Valenzuela L. INTRODUCCIÓN Los servomotores son motores especialmente diseñados para aplicaciones de control de movimiento donde se requiere una rápida respuesta a cambios en la referencia en tareas de seguimiento y/o posicionamiento. Un servosistema básico está formado por el servomotor propiamente tal, el accionamiento o amplificador que provee la energía regulada al servomotor y uno o más lazos realimentación. El esquema más usual utiliza tres lazos anidados de torque/corriente, velocidad y posición. Asimismo, en muchas aplicaciones se requiere controlar simultáneamente varios ejes de movimiento en perfecta sincronización. Los tres tipos de motores más usados en estas aplicaciones son: • Servomotor C.C. son escobillas • Servomotor C.C. sin escobillas • Servomotor sincrónico de imanes permanentes
origen a la aparición de oscilaciones torsionales que degradan la respuesta del servosistema y limitan la rapidez (BW) que puede fijarse en los lazos de regulación. En este curso se modelará el conjunto servomotor-carga como un sistema rígido. Modelo Rígido (1M) La figura muestra la representación esquemática de un servomotor C. C. Puede observarse que es muy similar a la vista anteriormente para el motor C. C. de excitación independiente, usando ahora una excitación con imanes permanentes y cambios de notación de algunos parámetros y variables. Las ecuaciones eléctrica y mecánica son: +
En este capítulo se presentarán / desarrollarán los modelos básicos de cada uno de estos motores y se analizará la forma en que ellos se controlan.
R
V
L
NS
E T
SERVOMOTORES C. C. CON ESCOBILLAS
−
Corresponden básicamente a motores C. C. con excitación fija mediante imán permanente, y construidos con materiales de alta calidad que aseguren una estabilidad de sus características en el largo plazo y una alta precisión en su respuesta.
V = R ⋅i + L ⋅
Utilizan imanes permanentes de “tierras raras” (neodimio, boro) de alta densidad de energía y estabilizados térmicamente
ωm Tf
di + K E ⋅ ωm dt
Te = KT ⋅ i = ( J m + J L )
Principales Consideraciones de Diseño -
I
d ωm + D ⋅ ωm + T f + TL 14243 dt pérdidas del motor
donde:
-
Escobillas son del tipo metalizadas (con plata) con un desgaste mínimo y mínimos requerimientos de mantención
K E , KT : constantes del motor (análogas a KΦ ) T f : torque de fricción estática del motor
-
Diseño del motor con radio pequeño y mayor largo axial para reducir la inercia y mejorar la respuesta dinámica
TL : torque de carga
-
Usualmente traen incorporados los sensores de velocidad y/o posición (tacogenerador, encoder o resolver)
Para la modelación de los servosistemas, dada las altas exigencias de respuesta dinámica, en general se requiere considerar el efecto de los ejes de acoplamiento entre el servomotor y la carga conectada y, eventualmente, el conjunto tacogenerador/encoder. Esta situación genera un sistema de 2 o 3 masas unidas por ejes elásticos, que da M. Aníbal Valenzuela L.
D ⋅ ωm : torque de fricción viscosa
Aplicando Laplace e incluyendo T f en el torque de carga TL , se tendrá: V ( s ) = ( R + sL ) ⋅ I ( s ) + K E ⋅ Ω m ( s ) KT ⋅ I ( s ) = ( D + Js ) ⋅ Ω m ( s ) + TL ( s )
A partir de las relaciones anteriores se puede obtener el diagrama en bloques de un servomotor C. C.
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Servomotores
V +
1 R + Ls
−
TL −
I K T T +
τe
Ωm 1 D + Js
L : constante de tiempo eléctrica R R⋅J : constante de tiempo electromecánica K E ⋅ KT
τ em
KE
Y, haciendo TL = 0 se obtiene la siguiente función de transferencia:
V
Ωm ( s) KT = V ( s) ( R + sL ) ⋅ ( D + sJ ) + K E ⋅ KT
Gm ( s ) =
Gm ( s ) =
LJs 2 + ( RJ + LD ) s + RD + K E KT = 0
-
Dependiendo de la relación entre las constantes de tiempo eléctrica y electromecánica se tendrá o no respuestas desacopladas entre el transiente eléctrico y el transiente mecánico
-
Lo anterior dependerá principalmente de la inercia de carga J L y se tendrán situaciones con ambas constantes de tiempo aproximadamente iguales y/o τ em > τ e
Fricción viscosa despreciable e inductancia
Resulta de interés evaluar el modelo simplificado en que se desprecia la fricción viscosa D y se considera L pequeña (ambos supuestos plenamente válidos en los servosistemas). Con ello, la función de transferencia del servomotor queda: Ω ( s) KT Gm ( s ) = m = V ( s) LJs 2 + RJs + K E ⋅ KT
p1,2 =
resolviendo
Caso 2: Inductancia y fricción viscosa despreciables ( L ≈ 0, D ≈ 0 )
Haciendo la inductancia y fricción viscosa nulas, la función de transferencia simplificada queda: Gm =
KT 1/ K E = sJR + K E KT 1 + s ⋅ RJ / K E KT
Gm =
1/ K E 1 + sτ em
− RJ ± ( RJ ) 2 − 4 LJK E KT 2 LJ
Como L es pequeña, ( RJ ) 2 − 4 LJK E KT > 0 y los polos son reales. Además:
( RJ )2 − 4 LJK E KT
= RJ 1 −
Con L pequeña, usando
( RJ )
2
1/ K E (1 + sτ e )(1 + sτ em )
Comentarios:
Modelos 1M Simplificados
Los polos se obtienen 2 LJs + RJs + K E ⋅ KT = 0 . Queda:
Ωm
Y la función de transferencia aproximada queda:
La ecuación característica correspondiente será:
- Caso 1: pequeña
1/ K E (1 + sτ e )(1 + sτ em )
El diagrama en bloques reducido y la respuesta de frecuencia respectiva son los mostrados en las figuras.
4 LK E KT
V
R2 J
1/ K E 1 + sτ em
Ωm
1 − x ≈ 1 − x / 2 , se tendrá:
⎛ 2 LK E KT ⎞ − 4 LJK E KT ≈ RJ ⎜ 1 − ⎟ R2 J ⎠ ⎝
Gm fb
Así, para p1 y p2 queda: K K p1 = − E T RJ R p2 ≈ − L
Se definen las constantes de tiempo:
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f [ Hz ]
Para la frecuencia de quiebre, se tendrá: fb =
K ⋅K 1 = E T 2π ⋅τ em 2π ⋅ R ⋅ J
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SERVOMOTORES C.C. SIN ESCOBILLAS
Los motores C.C. sin escobillas (BLDC, brushless DC motors) son motores que operan en forma similar a los motores C.C. convencionales (con escobillas), en los que se reemplaza el sistema conmutador mecánico por una conmutación electrónica. Adicionalmente, el campo magnético principal se provee mediante imanes permanentes (PM, permanent magnets). Con esto se obtiene un motor de características similares a los motores C.C. con escobillas, pero sin los requerimientos de mantención de estos y de alta eficiencia. Así, estos motores son ampliamente utilizados en aplicaciones de velocidad variable tales como máquinas herramientas, manipuladores robóticos, graficadores de alta velocidad, unidades de discos de computadores, aplicaciones automotrices, equipos de aire acondicionado, líneas automatizadas de ensamblaje, envasado y etiquetado, aparatos electrodomésticos, etc.
vuelven a conmutar electrónicamente las fases produciendo una rotación del fasor de fuerza magnetomotriz (f.m.m.) en 60º y originando nuevamente un desfase de 90º. Modelo Motor BLDC
i). Relaciones v − i Dada la variación no-sinusoidal de las fems en cada fase, se prefiere establecer el modelo del motor C.C. sin escobillas directamente en variables de fase. Así se tiene: ⎡ va ⎤ ⎡ R + pLs 0 0 ⎤ ⎡ia ⎤ ⎡ea ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vb ⎥ = ⎢ 0 R + pLs 0 ⎥ ⋅ ⎢ib ⎥ + ⎢eb ⎥ ⎢⎣ vc ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 R + pLs ⎥⎦ ⎢⎣ic ⎥⎦ ⎢⎣ec ⎥⎦ va , vb y vc : voltajes de fase ia , ib e ic : corrientes de fase ea , eb y ec : tensiones inducidas
Constructivamente están formados por un rotor con imanes permanentes que cubren esencialmente todo su perímetro, un bobinado de estator, normalmente de bobinas concentradas y típicamente trifásico, y sensores magnéticos de la posición del rotor que se utilizan para la implementación de la conmutación electrónica.
Ea ia
ωt Eb
ib
ωt Ec
ic
ωt
T1 T2
ωt ωt ωt
T3 T4 T5
ωt ωt ωt
T6 Torque
ωt 0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
ii). Torque El torque desarrollado por el motor BLDC se puede obtener de la potencia convertida dividida por la velocidad. Luego: Te =
Principio de Operación
Los imanes permanentes del rotor al girar enfrente de las bobinas concentradas del estator producen en estas un campo magnético trapezoidal, que a su vez induce tensiones trapezoidales en cada fase del estator, las que se encuentran desfasadas entre sí en 120º eléctricos. Mediante el control electrónico se inyectan en cada fase del estator pulsos rectangulares de corriente, los que se hacen coincidir con los intervalos de fem constantes de cada bobina. De esta forma se obtiene un desfase inicial de 90º entre la resultante de la fmm de estator y el campo de los imanes permanentes del rotor. Para cada avance angular de 60º, se M. Aníbal Valenzuela L.
( ea ⋅ ia + eb ⋅ ib + ec ⋅ ic ) ωm
Asumiendo que se inyectan pulsos rectangulares de corriente que se hacen coincidir con los intervalos constantes de las tensiones inducidas (control de corriente de 6-pulsos), se tendrá: E = k ⋅ Φ ⋅ ωm
Y, considerando que en cada intervalo de 120º la potencia convertida proviene de las contribuciones de 2 fases en serie: Pconv = ωm ⋅ Te = 2 ⋅ E ⋅ I = 2 ⋅ k ⋅Φ ⋅ ωm ⋅ I
de donde:
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Te = 2 ⋅ k ⋅Φ ⋅ I = KT ⋅ I
T1
T3
T5
D1
D3
T6
T2
KT : constante de torque
Como el torque depende solo de la magnitud de la corriente de fase, el control de torque del motor BLDC corresponde esencialmente a un control de la corriente.
T4
D4
Sistema de Control de Motor BLDC
El sistema de control del motor BLDC consiste básicamente del motor, un convertidor electrónico de potencia, sensores de posición y corriente, y un controlador.
D6
D5
ra
Lc
rb
Lc
rc
Lc
Ea
Ec
D2
a). T1 encendido
b). T1 apagado iii). Sensores de posición del rotor i). Convertidor El convertidor usado en el sistema de control del motor BLDC está formado por un rectificador y un inversor trifásico. El rectificador es usualmente un rectificador de puente de diodos a menos que se requiera capacidad de regeneración. El inversor es el encargado de la conmutación electrónica y de la regulación de corriente. Para el control de corriente de 6 pasos (six-step current control), si los bobinados del motor están conectados en estrella sin neutro, en cada instante solamente fluye corriente por 2 de las 3 fases. Así, la amplitud de la corriente del enlace DC es siempre igual a la de las corrientes de fase.
Para sincronizar la conmutación de las fases del estator con la posición del rotor, es necesario utilizar sensores de posición, comúnmente de efecto Hall. Los sensores de efecto Hall detectan los cambios en el campo magnético al pasar frente a ellos los imanes permanentes del rotor. Para el algoritmo de control de corriente de seis pasos, la posición del rotor solamente necesita ser detectada en seis puntos de cada ciclo eléctrico. Para ello, se montan tres sensores de efecto hall, espaciados cada 120° sobre la periferia del estator. Las señales digitales de los sensores Hall son usadas para determinar la posición del rotor y generar las señales de disparo para los interruptores del inversor.
Para regular la corriente de la máquina se utilizan controladores de corriente PWM, de manera que se crea un juego de formas de ondas rectangulares de corrientes. Caso: Intervalo 0-60º (switches T1 y T6) Durante este intervalo, el switch inferior T6 está siempre activo y el switch superior T1 es conmutado on/off de modo de controlar el valor de la corriente en el valor deseado. ii). Sensor de corriente Dado que la amplitud de la corriente de enlace DC es siempre igual que las corrientes de fases del motor, en el control de corriente de seis pasos, basta con medir la corriente en el enlace. Usualmente, se utiliza la resistencia del filtro del enlace como el sensor de corriente.
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iv). Controlador El controlador o procesador del sistema de control del motor BLDC, lee las realimentaciones de corriente y posición, implementa un algoritmo de control de velocidad o torque, y finalmente genera las señales de disparo para la alimentación de las fases del motor.
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Servomotores Cualquier controlador análogo o procesador digital de señales sirve como buen controlador. La opción más utilizada es usar una tarjeta DSP.
Modelo del MSIP en Variables de Fase
La figura muestra un corte del enrollado trifásico simplificado del estator con las fases designadas como asas’, bs-bs’, y cs-cs’, respectivamente. Por simplicidad, las bobinas son mostradas como bobinados concentrados, pero en realidad están distribuidas sobre la periferia del estator. El rotor es de 2 polos y la velocidad mecánica y la posición del rotor son denotadas como ωm y θ m , respectivamente. La velocidad y la posición del rotor en unidades eléctricas, ωr y θ r , son definidos como ( P 2 ) veces la unidad mecánica correspondiente.
MOTOR SINCRÓNICO PERMANENTES (MSIP)
DE
IMANES
Los motores sincrónicos de imán permanente (MSIP; en inglés, PMSM: permanent magnet synchronous motors), están formados por un rotor de imanes permanentes y un estator normalmente trifásico de enrollados distribuidos que producen distribuciones sinusoidales de fuerzas magnetomotrices y en los cuales se inducen tensiones también sinusoidales. A diferencia de los motores CC sin escobillas, como operan con tensiones inducidas y corrientes esencialmente sinusoidales, el torque obtenido presenta un muy bajo nivel de pulsaciones (ripple < 2%), lo que los hace especialmente apropiados para aplicaciones donde se requiere una rápida dinámica y marcha suave. Para conformar estas ondas sinusoidales se requiere conocer en todo instante la posición del rotor y estar permanentemente conmutando la alimentación en las tres fases del estator. La posición instantánea del rotor se obtiene desde un encoder óptico o un resolver. La figura muestra un corte axial del estator y rotor de un motor sincrónico de imanes permanentes de 4 polos y 24 ranuras. Para obtener una distribución de tipo sinusoidal se utilizan ranuras sesgadas y paso acortado en el bobinado de estator.
Usando notación matricial, los voltajes de estator en variables abc (coordenadas estacionarias) se expresan como: Vabc , s = Rs ⋅ iabc, s +
d λabc , s dt
donde para cada vector de variables Vabc, s , iabc, s , λabc, s , se tiene: T f abc , s = [ f as
fbs
f cs ]
La ecuación de los enlaces de flujo puede ser expresada por:
λabc, s = Ls ⋅ iabc, s
⎡ ⎢ sin θ r ⎢ ⎢ 2 ⋅π ⎛ + λm' ⋅ ⎢sin ⎜ θ r − 3 ⎢ ⎝ ⎢ ⎛ 4 ⋅π ⎢sin ⎜ θ r − 3 ⎣ ⎝
⎤ ⎥ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
Donde λm' indica la amplitud del enlace de flujo establecido por el imán permanente visto desde el bobinado de cada fase del estator. Notar que el campo magnético que
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Servomotores atraviesa cada fase varía en forma sinusoidal y está desfasado 120° uno del otro. La matriz de inductancias Ls es una matriz de 3 × 3 elementos, todos ellos no nulos y dependientes de la posición del rotor. Así al desarrollar la derivada del enlace de flujo las expresiones resultantes de los voltajes quedan formadas por diez términos que dependen senoidalmente del tiempo y de la posición, lo que hace el análisis en variables de fase dificultoso. Modelo del MSIP en Variables de Rotor (coordenadas qd0)
El modelo en variables de fase no resulta cómodo para el análisis de las situaciones de interés, por lo que conviene expresar las relaciones v − i y de torque en términos de un sistema coordenado que gire solidario con el rotor. La transformación de las variables trifásicas a variables q − d ortogonales entre sí y montadas en el sistema rotórico se define como: f qd 0,r = K r ⋅ f abc , s
Te =
v
r qs
= rs ⋅ i
r qs
+ ωr ⋅ λ
r ds
+
v r ds = rs ⋅ i r ds − ωr ⋅ λ r qs +
d λ r qs dt d λ r ds dt
λ r qs = Lqs ⋅ i r qs λ
r ds
= Lds ⋅ i
r ds
+λ
'r m
Donde las inductancias propias de los ejes d y q se obtienen por: Lq s = Lls + Lmq
Ld s = Lls + Lmd
Se observa que el modelo obtenido en variables transformadas no depende de la posición del rotor y en condiciones de régimen estable, los voltajes, corrientes y enlaces de flujo en coordenadas q − d son constantes. Asimismo, el torque electromagnético puede escribirse como:
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)
caso de imanes superficiales, ambas inductancias son iguales), el segundo término de la ecuación contribuye con un torque negativo. Para obtener una máxima razón torque/corriente, la referencia de corriente del eje d (directo) se ajusta en cero durante el control de torque constante, de manera que el torque sea solamente proporcional a la corriente de eje q (cuadratura). Por lo tanto, a partir del control de la corriente de eje q de cuadratura se regula el torque electromagnético. Sistema de Control del MSIP
El sistema de control del MSIP consiste en los bloques mostrados en la figura. Este sistema es similar al usado con los motores BLDC y consiste básicamente en un MSIP, el convertidor de potencia, los sensores y el controlador. Ld
Aplicando la transformación a las relaciones de voltajes y flujos, se obtiene:
(
Se puede apreciar que el torque está relacionado solamente con las corrientes de ejes q y d. Dado que para motores con imanes permanentes enterrados Lq > Ld (en el
donde: ⎡ 2 ⋅π ⎞ 2 ⋅ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⎢ cos (θ r ) cos ⎜ θ r − 3 ⎟ cos ⎜ θ r + 3 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎢ 2 ⎢ 2 ⋅π ⎞ 2 ⋅π ⎞ ⎥ ⎛ ⎛ K r = ⋅ ⎢ sin (θ r ) sin ⎜ θ r − ⎟ sin ⎜ θ r + ⎟⎥ 3 ⎢ 3 3 ⎠⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎢ 1 ⎥ 1 1 ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ 2 ⎦
3 ⎛ P ⎞ ⎡ 'r r ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ λm ⋅ i qs + Lds − Lqs ⋅ iqs ⋅ ids ⎤ ⎦ 2 ⎝2⎠ ⎣
D1
T1
D3
T3
T5
Vs
MSIP
C T4 D4
T6
T2
D2 T1 - T6
ibs CONTROLADOR
ias
i). Convertidor La MSIP comparte la misma topología del convertidor de potencia del sistema de control del motor BLDC. El convertidor tiene la configuración standard de un puente rectificador, un enlace DC con condensador y un puente inversor trifásico de salida. El rectificador puede ser un puente de diodos o un rectificador controlado. Debido a la operación con señales sinusoidales del MSIP, se pueden usar los mismos algoritmos de control desarrollados para los otros motores AC, tales como el V/f y control vectorial. Si los bobinados del motor están conectados con conexión estrella sin neutro, las tres corrientes de fase pueden fluir a través del inversor en cualquier momento. Con respecto a los interruptores del inversor, como muestra la figura, tres de ellos, uno superior y 2 inferiores de tres piernas diferentes, están en conducción en cada intervalo de conmutación. Normalmente, para regular la corriente en cada fase de la máquina, se utiliza un control de corriente PWM. Para ello, se puede emplear cualquier controlador de histéresis, o
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Servomotores
un controlador PI con modulación PWM sinusoidal o trapezoidal, o una estrategia SVPWM. T3
T5
D1
D3
ra
Lc
rb
Lc
15 Sen(theta)
Ea
10
5
C
D5
Cos(theta)
Posición
Eb 0
T6 D4
T2 D6
rc
Lc
Ec -5
D2 -10
ii). Sensores En el sistema de control del MSIP se requieren dos tipos de sensores: sensores de corriente para medir las corrientes de cada fase y sensores de posición para medir la posición y la velocidad del rotor. Para las corrientes de fase se utilizan típicamente resistencias en serie con el interruptor de potencia como sensores de resistencia shunt. Durante la operación se requiere conocer la posición del rotor para la sincronización de la excitación del MSIP con la velocidad y la posición del rotor. Para ello, como sensores de posición se pueden usar encoders o resolvers. • Encoder: La figura muestra la estructura de un encoder óptico. Ésta consta de una fuente de luz, un disco ranurado, y foto sensores. El disco gira con el rotor. Los 2 foto-sensores generan una salida lógica “1”cuando detectan luz y cuando la luz es bloqueada, un “0” lógico. De esta manera cuando la luz pasa a través de las ranuras del disco e incide sobre el sensor, se genera un “1” lógico y cuando no incide se genera un “0” lógico. Las señales lógicas generadas por los sensores corresponden a dos trenes de pulsos desfasados en π/2. La velocidad del motor puede ser calculada por la cuenta del número de pulsos, y la dirección de rotación puede ser determinada por las detecciones de los cantos de subida (o bajada) de los canales A y B.
-15 0
0.5
1
iii). Controlador Como controlador del MSIP, es conveniente utilizar una tarjeta DSP. La figura muestra las conexiones entre las distintas señales y dispositivos utilizados. Tal como en el sistema de control del motor BLDC, se deben seleccionar tres canales de entrada para leer dos de las corrientes de fase y la señal del resolver. Si en lugar de utilizar un resolver se utiliza un encoder se debiera utilizar el módulo de lectura de encoders QEP, el que funciona sólo con la señal QEP que proporciona el encoder. Los pines de salida de la DSP PWM1-PWM6 son utilizados para alimentar las señales de disparo de los interruptores para formar las salidas del control del sistema. ia
ADCIN0
ib
ADCIN12
?
ADCIN
PWM1 - PWM6
Señales Disparo
DSP
El sensor y la estimación de la posición son de vital importancia en el control del MSIP, ya que la posición del rotor determina los instantes donde se debe aplicar los pulsos de excitación a las fases el estator. De esta manera el convertidor puede aplicar las tensiones lo más sinusoidales posible, y a través del módulo PWM realizar las conmutaciones necesarias para la regulación de la fase y la frecuencia, haciendo que el contenido armónico sea de una frecuencia mucho mayor a la fundamental.
• Resolver: Un resolver es básicamente un transformador electromecánico giratorio. Sus salidas son señales sinusoidales, de las cuales una onda es una función seno del ángulo del rotor θ, mientras la otra es una función coseno de θ. A partir de los valores instantáneos de estas señales se determina la posición del rotor. Un circuito integrado tal como el AD2S80 puede ser usado para decodificar las señales. M. Aníbal Valenzuela L.
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