Fmi Ii Tema 3 Ecuaciones Diferenciales.pdf

Ecuaciones Diferenciales

Índice

TEMA 3: Ecuaciones diferenciales Índice 1.

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

2.

EDO. Definiciones. Teorema de existencia y unicidad de solución.

3.

EDO de primer orden. a) Ecuaciones de variables separables b) Ecuaciones homogéneas c) Ecuaciones Lineales de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli e) Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.

4.

EDO Lineales de orden n

5.

EDO Lineales de segundo orden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes 1

Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales  Muchos problemas de la Física, la Química, las Ingenierías, la Sociología, la Economía, la Geometría, la Biología, la Medicina…se plantean matemáticamente mediante ecuaciones que involucran a las derivadas de funciones. Toda ecuación en que interviene una función y una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.  Las ecuaciones diferenciales aparecen en tantos ámbitos porque las derivadas expresan tasas de cambio, y muchas leyes de la naturaleza o leyes propias del resto de materias, expresan relaciones entre una función y sus tasas de cambio.

 Veamos un ejemplo relacionado con la Ingeniería Química, donde uno de los principios más importantes es la ley de conservación de la masa. 2

M. J. Pujol, V. Pérez

1

Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción

Ejemplo: Modelado EDO

Consideremos un reactor continuo tipo tanque agitado de 100m3 de volumen, con una concentración inicial de una sustancia de 10 mg/m3 . Se bombea hacia el reactor un fluido con velocidad Q=5 m3 /min y concentración de entrada de sustancia cE=50mg/m3 . La velocidad del fluido que sale es la misma a la que entra. La concentración de sustancia en el reactor cambia con el tiempo, como resultado de los flujos de entrada y salida. Determinar la concentración c en función de t. El flujo de la masa que entra es igual al producto de la velocidad del fluido Q=5 m3 /min por la concentración de entrada cE =50 mg/m3. Q cE=250 mg/min

La tasa de cambio (derivada) de masa en el reactor, cuando el volumen es constante, es el producto del volumen por la tasa de cambio de concentración.

Tasa Cambio de masa = Flujo entrada – Flujo salida

𝑑𝑐 = 𝑄𝑐𝐸 − 𝑄𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑐 100 = 250 − 5𝑐 𝑑𝑡

El flujo de la masa que sale es igual al producto de la velocidad del fluido Q=5 m3 /min por la concentración de salida. Como está bien mezclado, la concentración de salida es la misma que en el interior del reactor

𝑉

QcE Qc

Ecuación Diferencial 3

Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción

Ejemplo: Modelado EDO 𝑑𝑐 1 = 2.5 − 𝑐 𝑑𝑡 20 Integrando, y teniendo en cuenta que en este problema 50 − 𝑐 20𝑑𝑐 = 𝑑𝑡 ⟹ −20 ln 50 − 𝑐 + ln 𝐶 = 𝑡 ⟹ 50 − 𝑐 Constante de integración 𝐶 𝐶 ln =𝑡⟹ = 𝑒𝑡 ⟹ 50 − 𝑐 20 50 − 𝑐 20

𝐶 = 50 − 𝑐 𝑒𝑡

20

⟹ 50 − 𝑐 = 𝐶1 𝑒 −𝑡

C1=

C1/20

20

⟹ 𝑐 𝑡 = 50 + 𝐾𝑒 −𝑡

20

= 50 − 𝑐

(1)

K = -C1

• Como la concentración inicial de sustancia es de 10 mg/m3 , c(0)=10, sustituyendo en (1) −𝑡 10 = 𝑐 0 = 50 + 𝐾𝑒 0 = 50 + 𝐾 ⟹ 𝐾 = −40 . Luego 𝑐(𝑡) = 50 − 40𝑒

20

4

M. J. Pujol, V. Pérez

2

Ecuaciones Diferenciales

Índice

TEMA 4: Ecuaciones diferenciales Índice 1.

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

2.

EDO. Definiciones. Teorema de existencia y unicidad de solución.

3.

EDO de primer orden. a) Ecuaciones de variables separables b) Ecuaciones homogéneas c) Ecuaciones Lineales de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli e) Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.

4.

EDO Lineales de orden n

5.

EDO Lineales de segundo orden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes 5

Ecuaciones Diferenciales

2. Definiciones. Teorema existencia-unicidad solución

2. Definiciones  Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una expresión del tipo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , ⋯ , 𝑦 𝑛 ) = 0 donde x es la variable independiente, y es la incógnita de la ecuación y es una función que depende de x, e 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , ⋯ , 𝑦 𝑛 son las sucesivas derivadas de y respecto a x.

 El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que aparecen en la ecuación. NOTA: • Ordinaria hace referencia a que y depende de una única variable. Ejemplos: 𝑑𝑦 = 3, Incógnita 𝑦 ′ − cos 𝑦 = 8𝑥, 𝑦 ′′′ − 𝑥𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

• Ejemplo de ecuación diferencial en derivadas parciales:

z=z(x,y)

𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 6

M. J. Pujol, V. Pérez

3

Ecuaciones Diferenciales

2. Definiciones. Teorema existencia-unicidad solución

2. Definiciones  Una solución particular de la Ecuación Diferencial es una función y=f(x) que la verifica. 1 Por ejemplo, 𝑦 = 3𝑥, son 𝑦 = 3𝑥 − 3, 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑑𝑦 soluciones particulares de 𝑑𝑥 = 3 . La solución 𝑦 = 3𝑥 + 𝐶 se denomina solución general o integral general.

 El conjunto de todas las soluciones particulares lo llamamos integral general o solución general. Una ecuación diferencial de orden n tiene una solución general con n constantes. Dando valores concretos a las constantes se obtienen todas las soluciones particulares. A veces, la ecuación diferencial posee otras soluciones que no se pueden obtener dando valores a las constantes, son las soluciones singulares. 7

Ecuaciones Diferenciales

2. Definiciones. Teorema existencia-unicidad solución

2. Definiciones  Se llaman condiciones iniciales de la Ecuación Diferencial de orden n al conjunto de n condiciones 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 ,

𝑦 ′ 𝑥0 = 𝑦1 ,

⋯,

𝑦 𝑛−1 𝑥0 = 𝑦𝑛−1

 Mediante las condiciones iniciales obtenemos soluciones particulares de la ecuación diferencial. Así, la ecuación diferencial 𝑑𝑐 1 = 2.5 − 𝑐 𝑑𝑡 20 tiene por integral general 𝑐 𝑡 = 50 + 𝐾𝑒 −𝑡 20 . La condición inicial c(0)=10 nos conduce a la solución particular 𝑐(𝑡) = 50 − 40𝑒 −𝑡 20 El problema de hallar la solución particular de una ecuación diferencial con condiciones iniciales se llama Problema de Cauchy o Problema de valores iniciales. 8

M. J. Pujol, V. Pérez

4

Ecuaciones Diferenciales

2. Definiciones. Teorema existencia-unicidad solución

Para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, vamos a ver un teorema que proporciona condiciones suficientes, pero no necesarias, para que el problema de valor inicial dado tenga una única solución definida al menos en un intervalo que contiene al punto 𝑥0 .

Teorema de Picard Si 𝑓 𝑥, 𝑦

𝜕𝑓

y 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦

son funciones continuas en un

rectángulo 𝑅 = 𝑥, 𝑦 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 , entonces para cada punto 𝑥0 , 𝑦0 interior de R existe una única ′ solución del problema de valor inicial 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0

definida al menos en un intervalo que contiene al punto 𝑥0 . 9

Ecuaciones Diferenciales

Índice

TEMA 4: Ecuaciones diferenciales Índice 1.

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

2.

EDO. Definiciones. Teorema de existencia y unicidad de solución.

3.

EDO de primer orden. a) Ecuaciones de variables separables b) Ecuaciones homogéneas c) Ecuaciones Lineales de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli e) Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.

4.

EDO Lineales de orden n

5.

EDO Lineales de segundo orden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes 10

M. J. Pujol, V. Pérez

5

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0

a) Ecuaciones de variables separables. Son de la forma 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) . O equivalentemente

𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) 𝑑𝑥

Si g(y) no se anula, podemos poner

𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑔(𝑦)

Variables separadas

e integrando en ambos miembros de la igualdad tenemos la solución general 𝑑𝑦 𝑔(𝑦)

=

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶

NOTA: A veces las podemos encontrar como 𝐹 𝑥 + 𝐺(𝑦)𝑦 ′ = 0, es decir 𝐺 𝑦 𝑑𝑦 = −𝐹 𝑥 𝑑𝑥, integrando obtenemos la solución general 𝐺 𝑦 𝑑𝑦 = −𝐹 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶. 11

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  EJEMPLO Ecuaciones de variables separables. Resolver 𝑥𝑦 ′ − 2𝑒 −𝑦 = 0 • Escribimos 𝑥

𝑑𝑦 − 2𝑒 −𝑦 = 0, 𝑑𝑥

• separamos las variables • entonces

𝑒 𝑦 𝑑𝑦 =

𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑒 −𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2 , −𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥

𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 2

𝑑𝑥 𝑥

Propiedades de logaritmos

• Integrando 𝑒 𝑦 = 2 ln 𝑥 + 𝐶 = ln 𝑥 2 + 𝐶 ⟹ 𝑒 𝑦 = ln 𝑥 2 + 𝐶 12

M. J. Pujol, V. Pérez

6

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables se convierten en separables tras un cambio de variable. Este es el caso de las ecuaciones diferenciales de la forma 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) siempre que f sea una función homogénea. Definición Una función f(x, y) se dice que es homogénea de grado n cuando verifica 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) para todos los puntos de un cierto conjunto. EJEMPLOS

• 𝑓 𝑥, 𝑦 • 𝑓 𝑥, 𝑦

= 𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 es homogénea de grado 3, porque

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆𝑥 2 𝜆𝑦 − 4 𝜆𝑥 3 + 3𝜆𝑥 𝜆𝑦 2 = 𝜆3 𝑥 2 𝑦 − 4𝜆3 𝑥 3 + 3𝜆3 𝑥𝑦 2 = = 𝜆3 𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 = 𝜆3 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos

𝑥 𝑦

es homogénea de grado 0, 𝑓

𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = cos

𝜆𝑥 𝑥 𝑥 = cos = 𝜆0 cos = 𝜆0 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜆𝑦 𝑦 𝑦 13

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden b) Ecuaciones homogéneas. Se dice que la EDO de primer orden M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es homogénea cuando M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado. O, si la ecuación se escribe 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) , es homogénea si f es una función homogénea. Teorema Una ecuación homogénea puede transformarse en una ecuación de variables separables mediante la sustitución y=vx, siendo v una función diferenciable de x. EJEMPLO 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 − 2𝑥𝑒 −𝑦 Integrar En forma diferencial

𝑥

=0

𝑥𝑑𝑦 + −𝑦 − 2𝑥𝑒 −𝑦

N(x, y)

𝑥

𝑑𝑥 = 0

M(x, y)

14

M. J. Pujol, V. Pérez

7

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  EJEMPLO Ecuaciones homogéneas. M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas de grado 1, luego la Ecuación diferencial propuesta es homogénea. Vamos a convertirla en una ecuación de variables separables mediante la sustitución y=vx. 𝑦 = 𝑣𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥

Así la Ecuación Diferencial 𝑥𝑑𝑦 + −𝑦 − 2𝑥𝑒 −𝑦 𝑥 𝑥𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑥 + −𝑣𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑣𝑥

𝑥

𝑥

𝑑𝑥 = 0 se transforma en

𝑑𝑥 = 0

⟹ 𝑥 2 𝑑𝑣 − 2𝑥𝑒 −𝑣 𝑑𝑥 = 0 𝑥 𝑑𝑣 + 𝑥𝑣𝑑𝑥 + −𝑣𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 0 𝑥𝑑𝑣 − 2𝑒 −𝑣 𝑑𝑥 = 0 Ecuación de variables separables 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =2 ⟹ 𝑒 𝑣 𝑑𝑣 = 2 ⟹ 𝑒 𝑣 = ln 𝑥 2 + 𝐶 ⟹ 𝑒 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 2 + 𝐶 𝑒 −𝑣 𝑥 𝑥 2

−𝑣

Integrando

Deshaciendo cambio y=vx 15

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden c) Ecuaciones lineales de primer orden. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥) Si expresamos la ecuación lineal en su Forma normal 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) buscamos una solución a esta ecuación en un intervalo I en el cual las funciones 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) sean continuas. Teorema La solución general de la ecuación lineal 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) es

𝑦 𝑥 =

𝑞(𝑥)𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

NOTA: Si 𝑞 𝑥 = 0 la ecuación lineal 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 se llama lineal homogénea. En ese caso también es de variables separables, y su solución general es 𝑦 𝑥 = 𝐶𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 16

M. J. Pujol, V. Pérez

8

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  EJEMPLO Ecuaciones lineales de primer orden. 𝑑𝑐 = 250 − 5𝑐 Resolver 100 𝑑𝑡 𝑑𝑐 1 100 = 250 − 5𝑐 ⟹ 100𝑐 ′ + 5𝑐 = 250 ⟹ 𝑐 ′ + 𝑐 = 2.5 𝑑𝑡 20 Ecuación Lineal

Forma normal

𝑐 ′ + 𝑝 𝑡 𝑐 = 𝑞(𝑡)

𝑝 𝑡 = 1 20 ,

𝑞 𝑡 = 2.5

Tras identificar p(t), procedemos a calcular 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 y después sustituimos en

𝑐 𝑡 =

𝑞(𝑡)𝑒

𝑐 𝑡 =

2.5𝑒

= 50𝑒 𝑡

𝑝 𝑡 𝑑𝑡

1 20 𝑑𝑡 𝑑𝑡

20

𝑑𝑡 + 𝐶 𝑒 −

+ 𝐶 𝑒−

+ 𝐶 𝑒 −𝑡

20

𝑝 𝑡 𝑑𝑡

1 20 𝑑𝑡

=

= 50 + 𝐶𝑒 −𝑡

2.5𝑒 𝑡 20

20

𝑑𝑡 + 𝐶 𝑒 −𝑡

20

=

=𝑐 𝑡 17

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli. Se llama ecuación de Bernoulli a toda ecuación de la forma 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦 𝑛 𝑛 ∈ ℝ Si 𝑛 = 0, 𝑛 = 1 la ecuación es lineal. Para 𝑛 ≠ 0 y 𝑛 ≠ 1, si multiplicamos la ecuación primero por 𝑦 −𝑛 y después por 1 − 𝑛 , la sustitución 𝑧 = 𝑦1−𝑛 reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

EJEMPLO 𝑑𝑦 Resolver la ecuación 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥𝑦 2 𝑛=2 𝑥 1 La multiplicamos por 𝑦 −2 : 𝑦 −2 𝑦 ′ + 𝑦 −1 = 𝑥 (A) 𝑥

Escribimos la ecuación como

= z

M. J. Pujol, V. Pérez

18

9

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden Sigue EJEMPLO Multipliquemos la ecuación (A) por 1 − 𝑛 = 1 − 2 = −1 −1 −1 −𝑦 −2 𝑦 ′ + 𝑦 = −𝑥 𝑥 Si llamamos 𝑧 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦 −1 ⟹ 𝑧 ′ = −𝑦 −2 𝑦 ′, la ecuación anterior queda 𝑧′ +

𝑒

−1 𝑧 = −𝑥 𝑥

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑞(𝑥)𝑒

𝑧=

=𝑒

−1 𝑑𝑥 𝑥

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑞(𝑥)𝑒

𝑑𝑥 =

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑝 𝑥 = −1 𝑥 , 𝑞 𝑥 = −𝑥

Ecuación Lineal, que vamos a resolver en 0, +∞

= 𝑒 − ln 𝑥 = 𝑒 ln 𝑥 1 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −

Deshaciendo el cambio

−1

= 𝑥 −1 =

1 𝑥

𝑒

−𝑝 𝑥 𝑑𝑥

=𝑒

1 𝑑𝑥 𝑥

=𝑥

−𝑑𝑥 = −𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 + 𝐶 𝑥 = −𝑥 2 + 𝐶𝑥

1 1 = −𝑥 2 + 𝐶𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑦 𝐶𝑥 − 𝑥 2 19

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden e) Ecuaciones diferenciales exactas. Una EDO de la forma M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 se llama Diferencial Exacta si existe una función diferenciable U(x, y) tal que dU=M(x, y)dx+N(x, y)dy En este caso la ecuación diferencial es dU=0, y la solución general será U(x, y)=C, siendo C una constante. Teorema Sea 𝐷 ⊂ ℝ2 un abierto simplemente conexo. Sean M(x,y), N(x,y) funciones diferenciables. La ecuación diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es exacta si y sólo si 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 20

M. J. Pujol, V. Pérez

10

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  Resolución Ecuaciones diferenciales exactas. Si M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es Diferencial Exacta existe una función U(x, y) tal que dU=M(x, y)dx+N(x, y)dy, esto es 𝜕𝑈 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑈 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦

(1)

(2)

•La solución de la ecuación es U(x, y)=C. Para calcular U podemos integrar cualquiera de ellas. Así, integrando (1), (análogo si integramos (2)) 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝐶(𝑦) (3)

•Para hallar C(y) usamos (2): derivamos (3) respecto de y e igualamos a (2) 𝜕𝑈 𝜕 = 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝐶 ′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 ⟹ 𝐶 ′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −

𝜕 𝜕𝑦

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

• Integrando 𝐶 ′ 𝑦 obtenemos C(y), que sustituida en (3) da la función U(x, y). 21

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden EJEMPLO Ecuaciones diferenciales exactas. Resolver

𝑦′ =

𝑥𝑦 2 − cos 𝑥 sen 𝑥 𝑦 1 − 𝑥2

𝑑𝑦 𝑥𝑦 2 − cos 𝑥 sen 𝑥 = ⟹ cos 𝑥 sen 𝑥 − 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑦 1 − 𝑥2

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

Ecuación 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = −2𝑥𝑦 = ⟹ Diferencial 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Exacta

• Si cos 𝑥 sen 𝑥 − 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 es Diferencial Exacta existe una función U(x, y) tal que dU=M(x, y)dx+N(x, y)dy, esto es 𝜕𝑈 = 𝑀 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥 sen 𝑥 − 𝑥𝑦 2 (1) 𝜕𝑥

𝜕𝑈 = 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑦 1 − 𝑥 2 𝜕𝑦

(2) 22

M. J. Pujol, V. Pérez

11

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden EJEMPLO Ecuaciones diferenciales exactas. • La solución de la ecuación es U(x, y)=C. Para calcular U podemos integrar cualquiera de ellas. Así, integrando (2), 𝑈 𝑥, 𝑦 =

𝑦 1 − 𝑥 2 𝑑𝑦 + 𝐶 𝑥 =

• Para hallar C(x) usamos (1):

𝜕𝑈 = cos 𝑥 sen 𝑥 − 𝑥𝑦 2 𝜕𝑥

derivamos (3) respecto de x 𝜕𝑈 𝜕 𝑦2 = 1 − 𝑥2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

𝑦2 1 − 𝑥 2 + 𝐶(𝑥) (3) 2

e igualamos a (1)

+ 𝐶 ′ 𝑥 = −𝑥𝑦 2 + 𝐶 ′ 𝑥 = cos 𝑥 sen 𝑥 − 𝑥𝑦 2

1 cos 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = sen2 𝑥 2 • Sustituyendo C(x) en (3) da la función U(x, y). La solución general de la 1 ecuación diferencial es U(x, y)=C, esto es, 𝑦 2 2 2

Entonces 𝐶 ′ 𝑥 = cos 𝑥 sen 𝑥 ⟹ 𝐶 𝑥 =

2

Ecuaciones Diferenciales

1−𝑥

+ sen 𝑥 = 𝐶 2

23

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  Factores integrantes. Si M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 no es diferencial exacta, pero existe una función m(x, y) tal que al multiplicar la ecuación m(x, y) M(x, y) dx+ m(x, y) N(x, y) dy=0 ya es diferencial exacta, dicha función m(x, y) se llama factor integrante. • Aunque en general el problema de encontrar un factor integrante puede ser difícil, hay dos casos particulares cuyos factores se encuentran con facilidad: aquellos en que el factor depende únicamente de x, y aquellos en que depende únicamente de y.

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑓 𝑥 ⟹ la ecuación Si 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑔 𝑦 ⟹ la ecuación Si 𝑀

tiene el factor integrante

𝜇(𝑥) = 𝑒

tiene el factor integrante

𝜇(𝑦) = 𝑒

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑔 𝑦 𝑑𝑦

24

M. J. Pujol, V. Pérez

12

Ecuaciones Diferenciales

3. EDO de primer orden

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden  EJEMPLO Factores integrantes. Buscar un factor integrante de la ecuación diferencial 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝑥 ≠ 4𝑥 = ⟹ No es diferencial exacta 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝑥 − 4𝑥 −3𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Depende de x e y, no hay F.I. 𝜇 𝑥 = = 𝑁 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − + 3 −𝑥 + 4𝑥 3𝑥 3 𝜕𝑦 𝜕𝑥 3 𝑑𝑦 = = = ⟹ 𝜇 𝑦 = 𝑒 𝑦 = 𝑒 3𝑙𝑛𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑦 3 es un F.I. 𝑀 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦

Si multiplicamos la ecuación por el factor integrante 𝜇 𝑦 = 𝑦 3

𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 + 2𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑦 5 − 20𝑦 3 𝑑𝑦 = 0 ya es diferencial exacta. 25

Ecuaciones Diferenciales

Índice

TEMA 4: Ecuaciones diferenciales Índice 1.

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

2.

EDO. Definiciones. Teorema de existencia y unicidad de solución.

3.

EDO de primer orden. a) Ecuaciones de variables separables b) Ecuaciones homogéneas c) Ecuaciones Lineales de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli e) Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.

4.

EDO Lineales de orden n

5.

EDO Lineales de segundo orden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes 26

M. J. Pujol, V. Pérez

13

4. EDO Lineales orden n

Ecuaciones Diferenciales

4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de orden n Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma 𝑛

𝑎𝑛 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦

+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥)

donde 𝑎𝑛 𝑥 , ⋯ , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 , 𝑏(𝑥) son funciones continuas en un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, con 𝑎𝑛 𝑥 no idénticamente nula en I. Si

𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼

podemos expresar la ecuación lineal como

𝑛

𝑦

+ 𝑔𝑛−1 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ ⋯ + 𝑔1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑔0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Forma normal

 Llamaremos ecuación diferencial lineal homogénea si 𝑏 𝑥 = 0 𝑎𝑛 𝑥 𝑦

𝑛

+ 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0

En caso contrario la llamaremos ecuación diferencial lineal completa. NOTA 1: Toda ecuación diferencial lineal completa tiene una ecuación lineal homogénea asociada NOTA 2: Si 𝑎𝑛 𝑥 , ⋯ , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 son constantes, la EDO se llama lineal con coeficientes constantes. 27

4. EDO Lineales orden n

Ecuaciones Diferenciales

4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de orden n Teorema (Solución general EDO lineales homogéneas)  La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n 𝑦

es de la forma

𝑛

+ 𝑔𝑛−1 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ ⋯ + 𝑔1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑔0 𝑥 𝑦 = 0

𝑦 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛 𝑥

Sistema Fundamental de Soluciones

donde 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 , ⋯ , 𝑦𝑛 𝑥 es un conjunto n de soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea y 𝐶1 , 𝐶2 , ⋯ , 𝐶𝑛 son constantes.

Teorema (Solución general EDO lineales completas)  Si 𝑦𝑝 es una solución particular de la ecuación completa 𝑦

𝑛

+ 𝑔𝑛−1 𝑥 𝑦

𝑛−1

+ ⋯ + 𝑔1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑔0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)

e 𝑦ℎ es la solución general de la homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación completa es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛 𝑥 + 𝑦𝑝 28

M. J. Pujol, V. Pérez

14

4. EDO Lineales orden n

Ecuaciones Diferenciales

4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de orden n Criterio (soluciones linealmente independientes)  Sean 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 , ⋯ , 𝑦𝑛 𝑥 n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si el Wronskiano 𝑊 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 ≠ 0 para toda x en el intervalo, donde 𝑊 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 =

𝑦1 𝑦1′ ⋮

𝑦1 𝑛−1

𝑦2 𝑦2′ ⋮ 𝑦2 𝑛−1

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

𝑦𝑛 𝑦𝑛′ ⋮

𝑦𝑛𝑛−1

NOTA: el proceso de encontrar n funciones linealmente independientes que sean soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en general, no es fácil. De hecho, excepto para las lineales de primer orden, no existe método general. Pero, si la ecuación lineal tiene coeficientes constantes, ecuaciones que son muy importantes porque aparecen en muchos modelos físicos, el proceso se simplifica. 29

Ecuaciones Diferenciales

Índice

TEMA 4: Ecuaciones diferenciales Índice 1.

Introducción a las ecuaciones diferenciales.

2.

EDO. Definiciones. Teorema de existencia y unicidad de solución.

3.

EDO de primer orden. a) Ecuaciones de variables separables b) Ecuaciones homogéneas c) Ecuaciones Lineales de primer orden d) Ecuaciones de Bernoulli e) Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.

4.

EDO Lineales de orden n

5.

EDO Lineales de segundo orden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes 30

M. J. Pujol, V. Pérez

15

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes Particularizando la ecuación lineal de orden n ya definida en el apartado anterior 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥) al caso n = 2 y coeficientes constantes, tenemos que:  Una ecuación diferencial lineal de 2º orden con coeficientes constantes es una ecuación de la forma 𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑏 𝑥 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 ∈ ℝ, 𝑎2 ≠ 0 O también

𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥)

Forma normal

 Estas ecuaciones se utilizan como modelos matemáticos aplicados a circuitos eléctricos y a sistemas mecánicos masa-resorte.  Su solución general, por el teorema ya visto en el apartado anterior, será 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 + 𝑦𝑝

donde 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 son soluciones particulares linealmente independientes de la homogénea asociada, e 𝑦𝑝 es una solución particular de la completa. 31

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes ′′ ′  Son ecuaciones de la forma 𝑦 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 0

 Busquemos soluciones particulares suyas linealmente independientes 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 y la solución general, por el teorema visto, es 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥

La forma de la ecuación sugiere que pueda tener soluciones tipo 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥. Para ser solución debe verificar la ecuación. Derivando 𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 , 𝑦 ′ ′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥

y sustituyendo en la ecuación 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0: 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑝𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 𝑞𝑒 𝑚𝑥 = 0 ⟹ 𝑒 𝑚𝑥 𝑚2 + 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0

Así, como 𝑒 𝑚𝑥 ≠ 0, entonces 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 es solución si y sólo si m es raíz de 𝑚2 + 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0

Ecuación característica 32

M. J. Pujol, V. Pérez

16

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

a) EDO lineales de 2º orden homogéneas con coeficientes constantes 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0

𝑚2 + 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0

𝑚=

−𝑝 ± 𝑝2 − 4𝑞 𝑚1 = 𝑚 2 2

Solución General EDO lineal de 2º orden homogénea con coeficientes constantes • Si 𝑝2 − 4𝑞 > 0, las raíces son reales distintas: Las soluciones son 𝑒 𝑚 1 𝑥 , 𝑒 𝑚 2 𝑥 que son linealmente independientes, luego la solución general será

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚 2 𝑥 • Si 𝑝2 − 4𝑞 = 0, las raíces son reales iguales: La solución general es

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑚 1 𝑥

• Si 𝑝2 − 4𝑞 < 0, las raíces son complejas 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖, 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 La solución general la podemos escribir (por la fórmula de Euler):

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥 sen 𝛽𝑥 33

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales EJEMPLOS: Hallar la solución general de: 1) 2𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ − 3𝑦 = 0 2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0

𝑚=

La solución general es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

2

5 ± 25 + 24 3 = −1 2 4

2) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 0 𝑚2 − 6𝑚 + 9 = 0

La solución general es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 3𝑥 3)

𝑚=

6 ± 36 − 36 = 3 2

raíces reales distintas

raíces reales iguales

𝑦 ′′ + 25𝑦 = 0

𝑚2 + 25 = 0 ⟹ 𝑚 = ± −25 = ±5𝑖 raíces complejas 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 = 0 + 5𝑖, 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 = 0 − 5𝑖

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥 sen 𝛽𝑥 = 𝐶1 𝑒 0𝑥 cos 5𝑥 + 𝐶2 𝑒 0𝑥 sen 5𝑥 = 𝐶1 cos 5𝑥 + 𝐶2 sen 5𝑥 34

M. J. Pujol, V. Pérez

17

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes ′′ ′  Son ecuaciones de la forma 𝑦 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥)

 Su solución general, por el teorema ya visto en el apartado anterior, será 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 + 𝑦𝑝

donde 𝑦ℎ es la solución general de la homogénea asociada, e 𝑦𝑝 es una solución particular de la completa. Busquemos una solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) por el Método de los coeficientes indeterminados: • Este método se puede aplicar cuando f(x) es suma finita o producto de funciones 𝑥 𝑛 , 𝑒 𝑎𝑥 , cos 𝑏𝑥, sen 𝑏𝑥 n entero no negativo, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ • La idea intuitiva del método es ensayar soluciones 𝑦𝑝 de la misma forma que f(x), donde aparecerán algunos coeficientes por determinar. 35

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes Método de los coeficientes indeterminados: 1) Si f(x) es de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 (𝑥) , donde 𝑃𝑛 (𝑥) es un polinomio de grado n:

• Si a no es raíz de la ecuación característica, se considera

𝑦𝑝 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑄𝑛 (𝑥)

donde 𝑄𝑛 (𝑥) es un polinomio con coeficientes indeterminados de grado n. (Los coeficientes se hallan derivando 𝑦𝑝 y sustituyendo en la ec. diferencial, que verificará si es solución).

• Si a es raíz de la ecuación característica, se considera

𝑦𝑝 = 𝑥 𝑟 𝑒 𝑎𝑥 𝑄𝑛 (𝑥)

donde r es el grado de multiplicidad de la raíz a (r=1 o r=2). 36

M. J. Pujol, V. Pérez

18

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes Método de los coeficientes indeterminados: 2) Si f(x) es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 sen 𝑏𝑥 donde 𝑃𝑛 𝑥 , 𝑄𝑚 𝑥 son polinomios de grado n, m respectivamente,

• Si 𝑎 ± 𝑏𝑖 no es raíz de la ecuación característica, se considera 𝑎𝑥

𝑦𝑝 = 𝑒

𝑆𝑁 𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑇𝑁 𝑥 sen 𝑏𝑥

donde 𝑆𝑁 𝑥 , 𝑇𝑁 𝑥 son polinomios con coeficientes indeterminados de grado 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥 𝑛, 𝑚 .

• Si 𝑎 ± 𝑏𝑖 es raíz de la ecuación característica, se considera

𝑦𝑝 = 𝑥𝑒 𝑎𝑥 𝑆𝑁 𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑇𝑁 𝑥 sen 𝑏𝑥 37

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales 2º orden

5. EDO Lineales de 2ºorden con coeficientes constantes b) EDO lineales de 2º orden completas con coeficientes constantes Principio de superposición:  Si el segundo miembro de la ecuación es suma de varias funciones

𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝑓𝑘 𝑥 , sean 𝑦𝑝1 , 𝑦𝑝2 , ⋯ , 𝑦𝑝𝑘 soluciones particulares correspondientes, respectivamente, a las ecuaciones

𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓𝑖 𝑥 ,

𝑖 = 1, ⋯ , 𝑘

Entonces, la suma

𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2 + ⋯ + 𝑦𝑝𝑘 es solución particular de la ecuación

𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓1 𝑥 + ⋯ + 𝑓𝑘 𝑥 38

M. J. Pujol, V. Pérez

19

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO 1 Resolver 𝑦 ′′ − 𝑦 = 10 cos 2𝑥 La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

 PASO 1: resolver la ecuación homogénea asociada y calcular 𝑦ℎ

𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 ⟹ 𝑚2 − 1 = 0 ⟹ 𝑚 = ±1

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

Raíces Ecuación Característica. Son reales distintas

 PASO 2: proponer una solución particular 𝑦𝑝 (Método coeficientes Indeterminados).

𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 sen 𝑏𝑥 Como 𝑓 𝑥 = 10 cos 2𝑥 = 𝑒 0𝑥 10 cos 2𝑥 + 0sen 2𝑥

𝑎 ± 𝑏𝑖 = ±2𝑖

ensayamos una solución 𝑦𝑝 = 𝑒 0𝑥 𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵sen 2𝑥 = 𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵sen 2𝑥

𝑎 ± 𝑏𝑖 = ±2𝑖 no es raíz de la ecuación característica 39

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO  PASO 3: calcular los coeficientes de 𝑦𝑝

Como 𝑦𝑝 debe ser solución, debe verificar la ecuación 𝑦 ′′ − 𝑦 = 10 cos 2𝑥 Así pues, vamos a derivar y sustituir

𝑦𝑝 = 𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵sen 2𝑥

𝑦𝑝′ = −2𝐴 sen 2𝑥 + 2𝐵cos 2𝑥

𝑦𝑝′′ = −4𝐴 cos 2𝑥 − 4𝐵sen 2𝑥 𝑦𝑝′′ − 𝑦𝑝 = 10 cos 2𝑥 ⟹ −5𝐴 cos 2𝑥 − 5𝐵sen 2𝑥 = 10 cos 2𝑥

Identificando coeficientes: en coseno en seno

-5A=10, A=-2 ⟹ 𝑦𝑝 = −2 cos 2𝑥 -5B=0, B=0

 PASO 4: La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 − 2 cos 2𝑥 40

M. J. Pujol, V. Pérez

20

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO 2 Resolver 𝑦 ′′ − 𝑦 = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥 La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

 PASO 1: resolver la ecuación homogénea asociada y calcular 𝑦ℎ

𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 ⟹ 𝑚2 − 1 = 0 ⟹ 𝑚 = ±1 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

Raíces Ecuación Característica. Son reales distintas

 PASO 2: proponer una solución particular 𝑦𝑝 (Método coeficientes Indeterminados).

𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)

Como 𝑓(𝑥) = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥 ensayamos una solución

𝑎 = −1 es raíz de la ec. característica

𝑦𝑝 = 𝑒 −𝑥 𝐴 + 𝐵𝑥 𝑥 = 𝑒 −𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 41

5. EDO Lineales 2º orden

Ecuaciones Diferenciales EJEMPLO  PASO 3: calcular los coeficientes de 𝑦𝑝

Como 𝑦𝑝 debe ser solución, debe verificar 𝑦 ′′ − 𝑦 = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥 Así pues, vamos a derivar y sustituir

𝑦𝑝′ = 𝑒 −𝑥 −𝐵𝑥 2 + 2𝐵 − 𝐴 𝑥 + 𝐴

𝑦𝑝 = 𝑒 −𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2

𝑦𝑝′′

− 𝑦𝑝 = 2 − 4𝑥 𝑒

−𝑥

𝑦𝑝′′ = 𝑒 −𝑥 𝐵𝑥 2 + 𝐴 − 4𝐵 𝑥 + 2𝐵 − 2𝐴

𝑒 −𝑥 𝐵𝑥 2 + 𝐴 − 4𝐵 𝑥 + 2𝐵 − 2𝐴 − 𝑒 −𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥 Simplificando la exponencial 𝐵𝑥 2 + 𝐴 − 4𝐵 𝑥 + 2𝐵 − 2𝐴 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 = 2 − 4𝑥 Identificando coeficientes: en x -4B=-4 , B=1 ⟹ 𝑦𝑝 = 𝑥 2 𝑒 −𝑥 T.I. 2B-2A=2, A=0

 PASO 4: La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 𝑒 −𝑥 42

M. J. Pujol, V. Pérez

21

Ecuaciones Diferenciales

5. EDO Lineales 2º orden

EJEMPLO 3 Resolver 𝑦 ′′ − 𝑦 = 2𝑒 −𝑥 − 4𝑥𝑒 −𝑥 + 10 cos 2𝑥 Reagrupémosla 𝑦 ′′ − 𝑦 = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥 + 10 cos 2𝑥 La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2  PASO 1: resolver la ecuación homogénea asociada y calcular 𝑦ℎ

𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 ⟹ 𝑚2 − 1 = 0 ⟹ 𝑚 = ±1 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

Raíces Ecuación Característica. Son reales distintas

 PASO 2: calcular una solución particular 𝑦𝑝1 de 𝑦 ′′ − 𝑦 = 2 − 4𝑥 𝑒 −𝑥

𝑦𝑝1 = 𝑥 2 𝑒 −𝑥  PASO 3: calcular una solución particular 𝑦𝑝2 de 𝑦 ′′ − 𝑦 = 10 cos 2𝑥

𝑦𝑝2 = −2 cos 2𝑥

 PASO 4: La solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 𝑒 −𝑥 − 2 cos 2𝑥 43

M. J. Pujol, V. Pérez

22