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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

FLUIDOS PERFECTOS-ECUACIÓN DE BERNOULLI DOCENTE:

ING. CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS INTEGRANTES:

  

GALLARDO GUERRERO JHUNIOR MESTANZA DIÁZ, JOSÉ ZAPATA CHAVEZ, RENZO CICLO:

IV

24 de Noviembre del 2016

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INTRODUCCIÓN Existen varios tipos de Fluidos que estudia la rama de Mecánica de Fluidos y uno de ellos es la dinámica de fluidos perfectos que son conocidos como fluidos ideales. Tiene una cierta característica, la cual es que la viscosidad es cero, es decir, que no hay fricción. Una parte muy importante en el estudio de la Dinámica de Fluidos Perfectos es la utilización de sus propiedades y leyes. En este presente informe se explicará la Dinámica de Fluidos Perfectos. Este fluido esta inicialmente en reposo y no puede ser obligado a rotar porque es un fluido irrotacional, es decir, no se puede ejercer ningún torque ni reflujos.

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I. OBJETIVOS  OBEJETIVO GENERAL:  Conocer la importancia del estudio de la Dinámica de Fluidos Perfectos aplicando la Ecuación de Bernoulli.

 OBEJETIVOS SECUNDARIOS:  Definir y señalar las propiedades de Fluidos Perfectos diferenciándolo del otro fluido existente.  Demostrar la Ecuación de Euler.  Analizar la ecuación de Bernoulli por Energía.  Aplicar las Ecuaciones demostradas en los ejercicios de aplicación.

Daniel Bernoulli

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II. MARCO TEORICO DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS

1. FLUIDOS IDEALES Llamamos fluido ideal a aquel que fluye sin dificultad alguna, aquel cuya viscosidad vale cero. Tal fluido no existe pero en ciertas circunstancias en las que resulta una razonable aproximación a la realidad se pueden aplicar algunas de sus propiedades y leyes de movimiento a los fluidos de verdad. Sus propiedades:  Viscosidad cero  Son incompresibles (su densidad es constante)  El flujo es laminar (se desplaza ordenadamente sin hacer remolinos, ni reflujos)  La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.

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2. FLUIDOS REALES Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre los filetes fluidos.

Cuando un elemento de fluido se mueve respecto a los elementos contiguos, este movimiento es obstaculizado por la existencia de esfuerzos tangenciales o cortantes que tienden a disminuir la velocidad relativa del elemento considerado con respecto a los elementos contiguos. Entonces se dice que el fluido es viscoso, y el fenómeno recibe el nombre de viscosidad.  La

VISCOSIDAD viscosidad

es

característica

de

todos

los

fluidos,

tanto líquidos como gases. Es lo opuesto de fluidez; puede definirse de modo simplificado, como la mayor o menor resistencia que ofrece un líquido para fluir libremente.

Fluido viscoso

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

VISCOSIDAD EN LOS FLUIDOS

La viscosidad de un fluido indica el movimiento relativo entre sus moléculas, debido a la fricción o rozamiento entre las mismas y se puede definir como la propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. Esta propiedad es la responsable por la resistencia a la deformación de los fluidos. Algunos líquidos presentan esta propiedad con mayor intensidad que otros. Como por ejemplo: aceites pesados, las melazas, el alcohol.

3. FLUJO LAMINAR. Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido

se

mueve

en láminas paralelas

sin

entremezclarse

y

cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el

mecanismo de transporte lateral

es exclusivamente molecular. El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas, mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos.

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4. FLUJO TURBULENTO se

llama flujo

turbulento o corriente

turbulenta al

movimiento

de

un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido a esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más precisamente caótica.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTOS Estudiaremos el elemento diferencial octaédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.

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Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

p

p dx x ;

p

p dy y ;

p

p dz z

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero. a⃗ = Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa (concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico de volumen d   dxdydz );

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘 Dónde: 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 Son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa. Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y A su aceleración interna y R la fuerza que actúa, se puede escribir:

mA  R

mA x i  mA y j  mA z k  Rx i  Ry j  Rzk Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos: m Ax = Rx …. (1) m Ay = Ry….. (2) mAz = Rz ….. (3)

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Desarrollo de (1): ∑ ax = m. AX pdydz − (p +

∂p dx) dydz + ax m = m. AX dx

Pero m = masa contenida del elemento diferencial octaédrico 𝐦 = 𝛒𝐝∀ pdydz − (p +

pdydz − pdydz −

∂p dx) dydz + ax ρd∀= ρd∀ AX dx

∂p dxdydz + ax ρdxdydz − ρdxdydz AX = 0 ∂x

∂p dxdydz = ax ρdxdydz − ρdxdydz AX ∂x ∂p = ρ(ax − Ax ) … … (I) ∂x Análogamente, desarrollando 2 y 3 resulta: ∂p = ρ(ay − Ay ) … … (II) ∂y ∂p = ρ(az − Az ) … … (III) ∂z Sumando miembro a miembro I, II y III vectorialmente: ∂p ∂p ∂p ⃗ i + j + ⃗k = ρ(ax − Ax )i + ρ(ay − Ay )j + ρ(az − Az )k ∂x ∂y ∂z ⃗∇p = ρ(a⃗ − ⃗A) … … . . (IV)

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La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido Perfecto. Dónde: p = Presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial octaédrico más próximo al origen de coordenadas.  = densidad del fluido

⃗= 𝒂

Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen

considerado, como por ejemplo el peso. Es una aceleración, pero externa. ⃗⃗ = aceleración (interna) de la partícula fluida. 𝑨

⃗ = 0, entonces ∇ ⃗ p = ρ𝑎 Si A 1

⃗ = − ∇ ⃗ p + a⃗…… (V) De la expresión (iv), despejando resulta: A ρ

Se conoce que: ⃗ = A

∂v ⃗ 1 ⃗ (v 2 ) + (∇ ⃗ ×v + ∇ ⃗)×v ⃗ … … (VI) ∂t 2

Ecuación vectorial de la dinámica del fluido perfecto o ecuación de Euler: ⃗ 𝛛𝐕 𝛛𝐭

𝟏 ⃗ (𝐕 𝟐 ) + (𝛁 ⃗ ×𝐕 ⃗ )×𝐕 ⃗ = −𝟏𝛁 ⃗ 𝐩 + 𝐚⃗ …….. (M) + 𝛁 𝟐

𝛒

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ECUACIÓN DE BERNOULLI Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional. Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente. En estas condiciones, de la Ecuación ( M ), o Ecuación de Euler:

∂v ⃗

1 1 ⃗ xv + ⃗∇(v 2 ) + (∇ ⃗ )xv ⃗ = − ⃗∇p + a⃗ 2 ∂t 2

-

V 0 t ;

(Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se mantienen constantes).

-

Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas

condiciones:

𝐚⃗ = 𝐚𝐱 𝐢 + 𝐚𝐲 𝐣 + 𝐚𝐳 𝐤 Dónde :

𝐚𝐱 = 0 𝐚𝐲 = 0 𝐚𝐳 =-g

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Luego: F  gk

Y que remplazándolo en la ecuación anterior resulta:

1 1 (v 2 )  (  v)  v   p  gk 2  Proyectamos la expresión vectorial en la dirección dr (vector direccional de la partícula): dr  dx i  dy j  dzk

1 1 (v 2 )  dr  (  v)  v   dr   p  dr  gk  dr ........( ) 2 

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CASO 3: Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional Irrotacional: En movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional. = Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

p v2 z   Cte.  2g Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será: 2

2

p v p v z1  1  1  z2  2  2  Cte.  2g  2g “A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g), piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”

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TERMINOS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

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El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo: z= Energía de posición o potencial o carga de posición.

p  = Energía de presión o piezométrica o carga de presión.

v2 2g = Energía cinética o carga de velocidad.

Diagrama de la ecuación de Bernoulli

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Significado de los términos de la ecuación de Bernoulli  Primer Término: (z)

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”. Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos:

 Segundo Término:

𝐕𝟐 𝟐𝐠

Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:

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V2 Ec  m 2 Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Ec 

W V2 g 2

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Ec 

V2 2g

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.

 Tercer Término: (P/)

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua. La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a:

p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”.si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. ∆PÁGINA 18

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Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:

Ep = F L

;

pero F = p S

Ep = p S L

;

pero S L = 

Ep = p  Pero también: 

p

Ep =

W 

W  ,

;



luego:

W 

cuando W = 1 (kg o lb) Ep 

p 

Para tener una idea más concreta En nuestra realidad utilizamos tanques para almacenar agua, estando este ubicado a una cierta altura de nuestra vivienda, cuando este tanque está a una determinada elevación el fluido experimenta una energía, llamada energía potencial. Si antes de abrir la llave de un caño o de una manguera y le ponemos un manómetro, tendremos un presión que naturalmente es producida por el fluido en este caso el agua, ahora si abrimos la llave el líquido será evacuado instantáneamente, si vemos en la figura el chorro de agua que sale por la manguera es la energía cinética

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 1: Se tiene una casa en el sótano de dicha casa se tiene una bomba de agua el cual bombea agua a un grifo que se encuentra a 5m de altura con respecto al nivel del punto A. La presión de salida en el punto A es de 3 atm con una velocidad de 0.5 m/s el diámetro de la tubería es de 1 ½ pulgadas y el diámetro en el punto B es de ¾ pulgada hallar. A) con que velocidad llega el agua al punto B y también con que presión llega ha dicho punto.

SOLUCION DATOS 𝑃𝐴 = 3 𝑎𝑡𝑚

𝑉𝐵 = ? ?

𝑉𝐴 = 0.5 𝑚/𝑠

𝑃𝐵 = ? ?

𝐷𝐴 = 1 𝐷𝐵 =

HALLAR

1 𝑝𝑢𝑙𝑔. 2

1 𝑝𝑢𝑙𝑔. 2

PRIMERO CALCULAMOS 𝑽𝑩 𝑉𝐴 (𝐴𝐴 ) = 𝑉𝐵 (𝐴𝐵 ) 𝑉𝐵 =

𝑉𝐴 (𝐴𝐴 ) 𝑉𝐵

𝜋𝐷2 𝑉𝐴 ( 4𝐴 ) 𝑉𝐵 = 𝐴𝐵 ∆PÁGINA 20

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𝜋(42 ) 𝑂. 5( 4 ) 𝑉𝐵 = 𝜋(1.52 ) 4 𝑉𝐵 = 3.56 𝑚/𝑠

APLICAMOS LA ECUACION DE BERNOULLI 1 1 𝑃𝐴 + 𝜌𝑉𝐴2 + 𝜌𝑔𝑌𝐴 = 𝑃𝐵 + 𝜌𝑉𝐵2 + 𝜌𝑔𝑌𝐵 2 2 1 1 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴 + 𝜌𝑉𝐴2 + 𝜌𝑔𝑌𝐴 − 𝜌𝑉𝐵2 − 𝜌𝑔𝑌𝐵 2 2 1 1 𝑃𝐵 = 303975 + (1000)(0.5)2 + 𝜌𝑔𝑌𝐴 − (1000)(3.56)2 − (1000)(9.81)(5) 2 2 𝑷𝑩 = 𝟐𝟒𝟖𝟕𝟏𝟑. 𝟐 𝑷𝒂

EJERCICIO 2: De la siguiente figura el 𝐴1 = 0.6 𝑚2 , 𝐴2 = 0.08 𝑚2 , 𝑉1 = 3 𝑚⁄𝑠 ℎ1 = 0.2 𝑚 , ℎ2 = 1 𝑚 , 𝑃1 = 2𝑥 106 𝑁⁄𝑚2 .  Calcular la velocidad en el punto de área 2.  La presión del agua en el punto 2.  El caudal

Aplicando principio de continuidad: 𝐴1 𝑉1 = 𝐴2 𝑉2 𝑉2=

𝐴1

𝑉 𝐴2 1

0.6

𝑉2= 0.08 ∗ 3 𝑉2= 22.5 𝑚⁄𝑠

Aplicando la ecuación de Bernoulli ∆PÁGINA 21

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1

1

𝑃1 + 2 𝜌 𝑉1 2 + 𝜌𝑔 ℎ1 = 𝑃2 + 2 𝜌 𝑉2 2 + 𝜌𝑔 ℎ2 1

𝑃2 = 𝑃1 + 2 𝜌 𝑉1 2 + 𝜌𝑔 ℎ1 −

1 2

1

𝜌 𝑉2 2 − 𝜌𝑔 ℎ2 1

𝑃2 = 2𝑥 106 + 2 *1000(3)2 +1000(9.8)(0.2)–2(1000)(22.5)2 − 1000(9.8)(1) 𝑃2 = 1.743535 x 106 𝑁⁄𝑚2

Hallamos el caudal en el punto 2 𝑄 = 𝐴2 ∗ 𝑉2 Q= 0.08 𝑚

2

3

Q= 1.8 𝑚 ⁄𝑠

Q= 1.8 * 1000

∗ 22.5 𝑚⁄𝑠

Q= 1800 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 ⁄𝒔𝒆𝒈

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