Fluidos

FLUIDOS Introducción La mayor parte de la materia puede ser convenientemente descrita clasificándola dentro de una de las tres fases: sólida, líquida o gaseosa. Los sólidos y los líquidos (llamados también materia condensada) tienen cierto grupo de propiedades en común; por ejemplo, son relativamente incompresibles, es decir, por más que los apretemos no se achican o lo hacen muy poco. Su densidad es casi constante en un cierto rango de presiones y temperaturas. Esto no pasa con los gases, ya que estos pueden comprimirse fácilmente y su densidad varía enormemente con la temperatura. Pero, a pesar de estas diferencias, podemos agrupar en forma conjunta a los gases y a los líquidos bajo la denominación de fluidos. En estos dos estados de agregación, las fuerzas que ejercen las moléculas entre sí no son lo suficientemente intensas para lograr que queden fijas las unas a las otras. Esto permite a estos materiales fluir adoptando la forma del recipiente que los contiene. En este capítulo se estudiará la mecánica de fluidos, esto es, las propiedades dinámicas de los fluidos en reposo y en movimiento. Para ello nos serviremos de conceptos desarrollados en capítulos anteriores para estudiar la mecánica de una partícula, más precisamente el de energía mecánica. Mecánica de fluidos La presión (P) de un fluido es la fuerza normal por unidad de área que el fluido ejerce sobre una superficie. Si un fluido ejerce una presión P uniforme sobre una superficie de área A, entonces la magnitud de la fuerza normal F que actúa sobre la porción de superficie es: F = P*A ó P = F/A La unidad de presión en el sistema internacional es el Pascal (Pa) donde 1Pa = 1N/m2 = 1kg/(m*s2). El aire es un fluido que también ejerce presión sobre los cuerpos. Esa presión, llamada presión atmosférica (P0), es, a nivel del mar, aproximadamente igual a 101325Pa. La presión manométrica es la diferencia entre la presión total y la atmosférica es decir, Pman = P – P0 La densidad (δ) de un fluido es igual a la masa por unidad de volumen. Es decir δ = m/V Para fluidos incompresibles la densidad puede considerarse constante en un amplio rango de temperaturas y presiones. En el S.I. la densidad se mide en

kg/m3 .El agua en estado líquido, a temperatura ambiente, tiene una densidad aproximada de 1000kg/m3. El caudal (Q) de un fluido en movimiento es el volumen de fluido que se transporta de un lugar a otro por unidad de tiempo. Puede también calcularse como el producto de la velocidad promedio (v) del fluido por la sección que atraviesa. Esto sería: Q = Vol/t

ó

Q = v*S

Las unidades para el caudal en el S.I. son m3/s Ecuación de continuidad. Si un caudal Q1 de un fluido incompresible ingresa a una tubería debe salir, por el otro lado de la misma, un caudal Q2 igual al que ingresó. Esto es Q1 = Q2 v1*S1 = v2*S2

Donde v1 y v2 son las velocidades promedio del fluido a la entrada y a la salida de la tubería respectivamente. La energía mecánica por unidad de volumen de un fluido incompresible en un punto del mismo depende de tres variables dinámicas: la velocidad, la altura y la presión en ese punto. Esto sería

Energía mecánica Energía cinética Energía potencial Energía de presión por unidad de = por unidad de + por unidad de + por unidad de volumen volumen volumen volumen

Las expresiones de estas energías son muy parecidas a las expresiones de la energía mecánica para una partícula. Para la energía cinética puede considerarse, con un escaso margen de error, a la velocidad promedio. Sabiendo que la masa por unidad de volumen es la densidad y la energía de

presión por unidad de volumen es la misma presión del fluido, la ecuación puede escribirse como

EM/Vol = ½*δ*v2 + δ*g*h + P

Las unidades de las energías por unidad de volumen son las mismas que la de la presión. En el S.I. serán Pascales (Pa)

Un fluido ideal es aquel que, al fluir de un lugar a otro, no pierde energía mecánica o disminuye muy poco en comparación con la que tiene en el punto inicial. Más adelante se verá una propiedad de los fluidos que provoca una disminución de su energía mecánica al fluir. Si un fluido ideal tiene una presión P1, una velocidad v1 y una altura h1 en un punto, entonces en otro punto del mismo fluido y conectado con el primero a una altura h2 tendrá una presión P2 y una velocidad v2 dadas por ½*δ*v22 + δ*g*h2 + P2 = ½*δ*v12 + δ*g*h1 + P1

La ecuación anterior es conocida como Ecuación de Bernoulli. Para el caso estático, el fluido tiene velocidad nula en todos sus puntos. Entonces, cancelando los términos de velocidad la ecuación queda:

caso estático δ*g*h2 + P2 = δ*g*h1 + P1

La viscosidad (η) de un fluido es una medida de la oposición que presenta a fluir. Un fluido viscoso no puede considerarse ideal ya que esa oposición produce una pérdida de energía mecánica. Un fluido muy viscoso como por ejemplo la miel cuesta más hacerlo fluir que a un fluido poco viscoso como el agua. En el sistema internacional la unidad para la viscosidad es el pascal por segundo o Pa*s. Un fluido no ideal es uno que pierde energía mecánica al fluir debido a la disipación por fuerzas de origen viscoso. En ese sentido, esas fuerzas juegan un papel análogo a las de fricción en mecánica de una partícula. A velocidades bajas, el fluido circula en forma laminar. Esto es, fluye como si estuviera formado por láminas de espesor diminuto. En la figura de la página siguiente puede verse ilustrado este comportamiento en un tubo de sección circular. La velocidad del fluido es cero en el borde de la pared y máxima en el centro. Se forma entonces un perfil de velocidades que tiene forma parabólica para este tubo de sección circular.

Este perfil de velocidades se forma debido a una fuerza en dirección tangencial por unidad de área que las paredes del tubo hacen contra la circulación del fluido. Para vencer a esta fuerza debe aplicarse una diferencia de presión ΔP = P1 – P2 positiva para que el fluido circule en la dirección indicada. Para lograr que un caudal Q circule por el tubo deberá aplicarse una diferencia de presión ΔP dada por ΔP = Q*RH Donde RH es la resistencia hidrodinámica y depende de las dimensiones del tubo y de la viscosidad del fluido. Para un tubo de sección circular de radio r y longitud L por el que circula un líquido de viscosidad η la resistencia hidrodinámica es RH = 8*η*L/(π*r4) La unidad para la resistencia hidrodinámica en el S.I. es el Pa*s/m3. Si se colocan dos o más tubos, uno a continuación del otro (tubos en serie), el caudal que circula será el mismo para todos los tubos. Por otra parte, se suman

las resistencias hidrodinámicas y las caídas de presión de cada tubo para obtener las totales del sistema. Esto es Tubos en serie:

ΔPtotal = ΔP1 + ΔP2 + ΔP3 +.... RHtotal = RH1 + RH2 + RH3 +... Qtotal = Q1 = Q2 = Q3 =...

Para un arreglo de tubos en paralelo, es decir, uno al lado del otro, las caídas de presión son iguales para todos los tubos y las caudales de cada uno se suman para dar el total. Entonces Tubos en paralelo:

ΔPtotal = ΔP1 = ΔP2 = ΔP3 =.... RHtotal = (1/RH1 + 1/RH2 + 1/RH3 +...)-1 Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 +...

Problemas resueltos Ejemplo 1 Dos líquidos inmiscibles están contenidos en un recipiente abierto en la parte de arriba como indica la figura. La densidad del líquido más pesado es de 1000kg/m3 y la del más liviano es 800kg/m3. La altura h1 es 1,2m mientras que h2 = 0,8m.

Si la presión atmosférica en ese instante es P0 = 105 Pa calcular: a) La presión de la interfase entre ambos líquidos b) La presión en el fondo del recipiente Resolución: Se debe resolver aplicando la ecuación de Bernoulli para el caso estático. Considero tres puntos: Uno en la superficie libre del líquido más liviano, otro en la interfase y un tercero en el fondo del recipiente. Al punto que se encuentra en la interfase puedo compararlo con cualquiera de los otros dos ya que sólo puedo comparar puntos del mismo fluido. Considerando los puntos A y B se debe plantear PA + δ*g*hA = PB + δ*g*hB Como el punto A es el mas bajo puedo considerar hA = 0m y, entonces, hB = 0,8m. La presión en B es la atmosférica, ya que el recipiente está abierto, es decir PB = 105Pa entonces PA = 105Pa + 800kg/m3*10m/s2*0,8m PA = 105Pa + 6400kg/(m*s2) PA = 106400Pa = 106,4kPa Al punto C puedo compararlo con A. Quedaría Pc + δ*g*hc = PA + δ*g*hA Ahora considero hA = 1,2m; hC = 0m y PA = 106400Pa. Entonces PC = 106400Pa + 1000kg/m3*10m/s2*1,2m PC = 118400Pa = 118,4kPa Ejemplo 2 Por un arreglo de 45 tubos puestos en paralelo circula un líquido de viscosidad η = 10-3Pa*s. Los tubos tienen un radio interior de 0,0254m y una longitud de 6,5m. Calcular la diferencia de presión que será necesaria aplicar para que circule por el sistema un caudal Q = 2,5m3/s.

Resolución: Primero se determinará la resistencia hidrodinámica total de todo el sistema de tubos. Para eso se deberá antes calcular la resistencia hidrodinámica de cada tubo. Esto sería RH = 8*η*L/(π*r4) = 8*10-3Pa*s*6,5m/(3,142*(0,0254m)4) RH = 39761Pa*s/m3 Para calcular la RHtotal usaremos la fórmula para un arreglo en paralelo RHtotal = (45*1/RH)-1 = (45/(39761Pa*s/m3))-1 = 39761Pa*s/m3/45 RHtotal = 884 Pa*s/m3 Ahora podemos calcular el ΔP necesario para hacer circular ese caudal por el sistema haciendo ΔP = Q*RH = 2,5m3/s*884Pa*s/m3 ΔP = 2210Pa

Ejemplo 3 A un tanque de gran sección abierto a la atmósfera, en cuyo interior se encuentra un líquido ideal de densidad δ, se le abre un pequeño orificio a una profundidad de h metros respecto de la superficie libre del líquido. La presión atmosférica es P0. Calcular con que velocidad sale el agua del orificio.

Resolución: Para aplicar la ecuación de Bernoulli se van a considerar dos puntos: el punto 1 sobre la superficie libre del líquido y el punto 2 donde está el orificio, de lado de afuera. El punto 1 está expuesto a la atmósfera, así como también lo está el punto 2, por lo que P1 = P0 y también P2 = P0. Se puede considerar que la velocidad en el punto 1 es casi nula ya que el tanque es muy grande, por lo que, v1 = 0. Entonces ½*δ*v22 + δ*g*h2 + P2 = ½*δ*v12 + δ*g*h1 + P1 ½*δ*v22 + P0 = δ*g*h1 + P0 Cancelo las presiones ya que son iguales a ambos lados ½*δ*v22 = δ*g*h v2 = (2*g*h)1/2 Que es la velocidad a la que sale el fluido del tanque.

Ejemplo 4 Se dispone de tres tubos de resistencia hidrodinámica RH = 10kPa*s/m3 cada uno. a) Calcular el caudal que circularía por los tres tubos puestos en serie si la caída de presión entre el extremo inicial y el final del sistema es de 30kPa. b) Calcular el caudal que circularía si, con la misma caída de presión, pusiéramos los tres tubos en paralelo. c) Si el arreglo consiste en uno de los tubos puesto en serie con los otros dos en paralelo, calcular la diferencia de presión que debe aplicarse entre los extremos del sistema para que circule un caudal de 3m3/s y calcular el caudal que circulará por cada uno de los tubos.

Respuestas: a) Qtotal = 1m3/s b) Qtotal = 9m3/s c) ΔPtotal = 45kPa; por el primer tubo circulan 3m3/s y por los dos que están en paralelo: 1,5m3/s por cada uno. Ejemplo 5 Se tiene un gato hidráulico como el de la figura. La densidad del líquido confinado en el interior es δ = 800kg/m3. Si la plataforma tiene una superficie de 8m2 y el pistón que acciona el gato tiene una área de 0.0314m2 calcular la fuerza F1 que se debe realizar para levantar un peso F2 = 60000N. La altura a la que se encuentra la plataforma respecto al pistón es de 1,2m.

Resolución: Aplicamos Bernoulli para el caso estático entre los puntos 1 y 2 considerando que la altura del punto 1 es cero y la del punto dos es h. Entonces P1 = δ*g*h + P2 Sabiendo que la presión es la fuerza por unidad de área, es decir P = F/A F1/A1 = δ*g*h + F2/A2

=>

F1 = 536,9N