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FÍSICA I

UNIDADES Y MAGNITUDES I

En el univ ers o exi s ten ma gnit udes de todo tip o: Físicas, Químicas, Económicas, etc. Por lo que se hace necesaria su clasificación; de acuerdo a su origen y de acuerdo a su naturaleza.

El sistema científico de medidas se identifica por las letras iniciales de tres de sus unidades: el metro, el kilogramo y el segundo. Este sistema se llama sistema mks. El metro (m) y el kilogramo (kg) provienen del sistema métrico y son, respectivamente, las unidades fundamentales de longitud y de masa. La unidad llamada segundo (seg) procede del sistema de medidas usadas en la antigua Babilonia hace más de 4000 años.

Magnitud. Es todo aquello que es susceptible de ser medido, es decir, de ser comparado con otro de su misma especie. Unidad. Es aquella cantidad elegida como patrón de comparación, es decir, como patrón de medida.

1 . 1 C LASIFICACIÓN A) P OR

SU

DE LAS

O RIGEN :

*

M agnit udes fundament ales.- Son aquellas tomadas c onv enc ion alment e y s i rven d e bas e para las de más magnitudes.

*

Magnitudes auxiliares.- Son aquellas que al medirse no s e p ueden c o mparar c on ningu na de la s magnit udes fundamentales. Ellas son: el ángulo plano y el ángulo sólido.

*

En 1948 la CONFERENCIA GENERAL DE PESAS Y MEDIDAS delegó al COMITÉ INTERNACIONAL DE PESAS Y MEDIDAS la revisión de las unidades de medición con el fin de lograr un sistema de medidas más sencillo.

M AGNITUDES

En el año 1960 se crea el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) basado en fenómenos naturales que casi no ofrecen variación alguna que impida uniformizar internacionalmente las unidades de medidas. En el Perú su uso es oficial a partir de 1982. El Sistema Internacional de Unidades se fundamenta en siete unidades de base correspondientes a las magnitudes de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia, e intensidad luminosa. Estas unidades son conocidas como el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela, respectivamente. A partir de estas siete unidades de base se establecen las demás unidades de uso práctico, conocidas como unidades derivadas, asociadas a magnitudes tales como velocidad, aceleración, fuerza, presión, energía, tensión, resistencia eléctrica, etc.

Magnitudes derivadas.- Resulta de la combinación de las magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas magnitudes se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

B) P OR * *

SU

N ATURALEZA

M agnit udes Escalares.- Magnitudes que quedan perfectamente definidas con su valor numérico y su unidad respectiva. Magnitudes Vectoriales.- Estas magnitudes quedan definidas mediante el valor numérico, unidad y una determinada dirección.

1.2. S ISTEMA INTERNACIONAL

DE

Las definiciones de las unidades de base adoptadas por la Conferencia General de Pesas y Medidas, son las siguientes: El metro (m) se define como la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en un lapso de 1 / 299 792 458 de segundo (17ª Conferencia General de Pesas y Medidas de 1983).

UNIDADES (S.I.)

El kilogramo (kg) se define como la masa igual a la del prototipo (aleación de platino - iridio) internacional del kilogramo (1ª y 3ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1889 y 1901).

Se acostumbra medir longitudes o distancias en unidades como centímetros, metros o kilómetros; y medir el tiempo en unidades como segundos, minutos, horas, días y años. Cuando se usa una regla graduada o una cinta métrica se supone que sus resultados están de acuerdo con otros instrumentos parecidos para medir longitudes. Sin embargo, cuando se usa un reloj para medir el tiempo, se puede uno preguntar si dicho instrumento funciona correctamente.

El segundo (s) se define como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado base del átomo de cesio 133 (13ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967). El ampere (A) se define como la intensidad de una corriente constante, que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable, colocados a un metro de distancia entre sí en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 X 10-7 newton por metro de longitud (9ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1948).

Los científicos y muchas otras personas necesitan normalizar su sistema de medidas para que los datos suministrado por una persona pueden ser interpretados por otra. En verdad, las medidas de uso común metros y centímetros, horas y minutos, kilogramos y gramos tienen su estado legal basado en los patrones de medidas de los físicos. La Asamblea Nacional de Francia pidió a la Academia de Ciencias de ese país, la creación de un sistema de medición que lo puedan usar todos los países; resultando de esto el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

El kelvin (K) se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (13ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967). El mol (mol) se define como la cantidad de materia que contiene tantas unidades elementales como átomos existen en 0,012 kilogramos

215

de carbono 12 (12C) (14ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1971). La candela (cd) se define como la intensidad luminosa, en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 Hz y cuya intensidad energética en esa dirección es de 1/683 watt por esterradián (16ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1979). Las unidades básicas del sistema internacional son las que aparecen en la siguiente tabla.

MAGNITUDES AUXILIARES NOMBRE

UNIDAD NOMBRE

SIMBOLO

ángulo plano

radián

rad

ángulo sólido

estereoradián

sr

A partir de las unidades básicas y auxiliares pueden derivarse otras; algunas de estas tienen nombre propio, como se muestra en la tabla siguientes.

UNIDADES

DERIVADAS QUE TIENEN NOMBRE PROPIO

UNIDAD

MAGNITUD Actividad de un radionucleico Carga eléctrica, cantidad de electricidad Capacidad eléctrica Índice de dosis absorbida Inductancia Frecuencia Energía, trabajo Flujo luminoso Iluminancia Fuerza Resistencia eléctrica Presión Conductancia eléctrica Dosis equivalente Densidad de flujo magnético (Inducción magnética) Potencial eléctrico, fuerza electromotriz Potencia, flujo radiante Flujo magnético 216

FÍSICA I Las unidades derivadas s e definen c omo produc tos o cocientes de las unidades básicas o suplementarias aunque también pueden utilizars e unidades suplementarias con nombre propio. Para expresar las unidades derivadas pueden utilizarse los siguientes métodos:

Los símbolos de las unidades pueden verse afectados de prefijos que actúan como múltiplos y submúltiplos decimales. Estos prefijos se colocan delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio. El conjunto del símbolo más el prefijo equivale a una nueva unidad que puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente (positivo o negativo). Los prefijos decimales se muestran en las tablas siguientes.

-

MÚLTIPLOS DECIMALES

Prefijo

Símbolo

Factor

deca

da

10

1

hecto

h

10

2

kilo

k

10

3

mega

M

10

6

giga

G

10

9

tera

T

10

12

peta

P

10

15

exa

E

10

18

zetta

Z

10

21

yotta

Y

10

24

-

-

Los nombres de las unidades s e es criben s iempre c on minúsculas. Los nombres de las unidades llevan una s cuando se escriben en plural, excepto los que terminan en s, z o x. Los nombres de las unidades que corresponden a nombres de personas deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre correspondiente pero, como es lógico, con minúscula inic ial

SUBMÚLTIPLOS DECIMALES

Prefijo

Símbolo

Factor

deci

d

10

-1

centi

c

10

-2

mili

m

10

-3

micro

μ

10

-6

nano

n

10 -9

pico

p

10

-12

femto

f

10

-15

atto

a

10

-18

zepto

z

10

-21

yocto

y

10 -24

Poner las diferentes unidades una a continuación de otra sin separación; por ejemplo: As, Nm. En este caso se deben evitar las combinaciones en que una unidad que tiene el mismo símbolo que un prefijo se coloque delante ya que pueden dar lugar a confusión. Por ejemplo no debe utilizarse mN (que significa milinewton) en lugar de Nm (newton por metro). Poner las diferentes unidades separadas por un punto alto; por ejemplo: A·s, N·m. Esta disposición es preferible a la anterior. En este caso también conviene evitar las combinaciones que puedan dar lugar a confusión si el punto es poco visible (así hay que evitar, por ejemplo, m·N). En el caso de cocientes puede utilizarse: - Un cociente normal - La barra inclinada (m/s, m/s 2 ) evitando el uso de productos en el denominador; por ejemplo podemos escribir: kg/A/s 2 en lugar de kg/(A·s 2 ). - Potencias negativas; por ejemplo: kg·A -1 ·s -2 .

1 . 3 . E CU AC IO N ES DI M E NS I ON ALES [ ]

Los símbolos que corresponden a unidades derivadas de nombres propios se escriben con la letra inicial mayúscula (ejemplos: A, V, etc.). Siempre con letras romanas a excepción del ohm.

Son aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales. [x]: se lee ecuación dimensional de la magnitud x.

Los dem ás s ímbo los s e e s c ri ben c on letr as r oman as minúsculas.

= La M b T c θ d I e J f N g

Los símbolos de las unidades no cambian de forma para el plural (no incorporan ninguna s) y no van seguidos de punto.

Donde: a, b, c, ......g = Números reales

217

A. REGLAS

DE LAS

ECUACIONES DIMENSIONALES

B. F ÓRMULAS D IMENSIONALES B ÁSICAS

1ra. La adición o sustracción no se aplican a las ecuaciones dimensionales, pero si las demás operaciones aritméticas.

1.

[Area] = L2

2.

[ Volumen] = L3

3.

[ Densidad] = ML−3

4.

[ Velocidad ] = LT −1

5.

[Aceleración] = LT −2

2da.Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.

6.

[ Fuerza] = MLT−2

[número] = 1

7.

[Trabajo] = ML2 T−2

8.

[ Energía] = ML2T −2

9.

[ Potencia] = ML2T −3

LT−2 + LT −2 = LT −2 L−3M − L−3M = L−3M LMT−2 = LMT −3 T

Ejm: [senθ] = 1 [log 25] = 1

[2•10 40 ] = 1

10. [Pr esión] = ML−1T −2 11. [ Período] = T *

12. [ Frecuencia ] = T −1

Las constantes numéricas son adimensionales:

13. [ Velocidad angular ] = T−1

[π] = 1 [e] = [2,72 ...] = 1

14. [Caudal] = L3T −1

[ 2] = 1 *

15. [C arg a eléctrica] = I T

Pero las constantes físicas tienen su fórmula dimensional. m •m Ejm: F = G 1 2 2 d G : Constante (física) de gravitación universal G = 6,67•10 −11

N •m 2 kg

16. [Aceleración angular ] = T−2 17. [Torque] = L2MT −2 18. [Cantidad de movimiento] = LMT −1 19. [Impulso] = LMT −1

[G] = M −1L3T −2

2

20. [Peso específico] = L−2MT−2 21. [Coeficiente de dilatación] = θ −1 22. [Capacidad calorífica] = L2MT −2θ −1

Pr in ci pi o de H om og en ei da d.To da ec ua c ió n s e rá di mens iona lmen te c orre c ta s i todo s lo s té rmin os s on dimensionalmente iguales.

23. [Calor latente] = L2T −2 24. [Campo eléctrico] = LMT −3I−1 25. [Potencial eléctrico] = L2MT −3I−1

[A] + [B] = [C] − [D] ⇒ [A ] = [B] = [C] = [D]

*

En cada operación de adición o sustracción se generará una igualdad.

**

Cuando existen expresiones con magnitudes físicas en los exponentes, deberá saberse que el exponente es adimensional.

A=

x•y mV 2p z

26. [Capacidad eléctrica] = L2M−1T 4I2 27. [Resistencia eléctrica] = L2MT −3I−2 28. [Carga magnética] = LI 29. [Inducción magnética] = MT−2I−1 30. [Flujo magnético] = L2MT −2I−1 31. [Iluminación] = L−2J 32. [tensión superficial] = MT −2 33. [viscosidad] = L−1MT −1

→

34. [potencia de una lente] = L−1

Ejm: Hallar [x]; si t=tiempo

y = A • e 5 xt Observamos que 5xt está en el exponente por lo tanto debe ser un número.

[Trabajo] = [Energía] = [Calor] = [Torque] = L2MT −2

[Frecuencia] = [Velocidad angular ] = T −1

5 x t → número [5 x t] = [número]

[Cantidad de movimiento]=[impulso]= LMT −1

[x] = T −1

[Peso] = [Fuerza] = LMT −2

218

FÍSICA I 03. La expresión mostrada: A =

V = Asen(Bt) + Ci t sen30° V=velocidad t=tiempo

⎡ 1 ⎤ ⎢ ln(3k)iB x + y CiD z ⎥ Reemplazando: [A] = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ E2

AB Determine la expresión dimensional de C a) T 2L−1

b) T −1 / 2

d) L2T −1

e) L2T −3 / 2

c) TL−3

LMT 2 = LMT

Resolución:

−2

M x + y i L i(ML−3 )z T2 −3z +1

=L

i M x + y + z i T −2

Luego igualamos los exponentes: x+y+z=1

Por principio de homogeneidad: [V] = [A sen(Bt)] = [Ci t sen30° ]

Clave: A

y también sabemos que: [ sen(Bt)] = 1

04. Determine las dimensiones de «x», en un sistema de unidades cuyas magnitudes fundamentales fueran: área (A); energía (E) y período (T). Si: m:masa; V: volumen y h:altura. a) E2T b) ET 2 c) ET d) AE2T e) AET2 Resolución: Por homogeneidad. y reemplazando

[Bt] = 1 [B] = T −1 igualamos y hallamos [A] y [C]

[V] = [A] = [Ci t sen30° ]

* [A] = [V] = LT −1

1 ⎡ ⎤ ⎢ 160 x ⎥ ⎡ sen30° ⎤ ⎢ m tan 30° ⎥ = ⎢(Vh + R) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ [Vh]=[R] ⎦ ⎣ ⎦ 1 [x] = (L3 iL)1 / 2 M

* * [V] = [Ci t sen30° ] LT −1 = [C]i T1 / 2 ⎯⎯→[C] = LT −3 / 2 LT −1 i T −1 = = T −1 / 2 ⎣⎢ C ⎥⎦ LT −3 / 2 ⎡ AB ⎤ = T −1 / 2 ⎣⎢ C ⎦⎥

Nos piden: ⎡ AB ⎤

[x] = L2M pero «x» debe expresarse en función de A, E y T

[x] = A x E y T z

Clave: B

02. Hallar la ecuación dimensional de

E2

Es dimensionalmente correcta; hallar x+y+z. Si A: fuerza; B: masa; C:altura; D; densidad; E:tiempo. a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2 Resolución:

01. La ecuación física es dimensionalmente homogénea. Donde:

ln(3k)B x + y iCi D z

L2M = (L2)x (L2MT −2)y T z L2M = L2x + 2y iM y i T −2y + z

xb 2 en la ecuación a

Igualando exponentes tenemos que: x=0, y=1; z=2 luego: [x]=ET 2

dimensionalmente homogénea.

Clave: B

⎡ 1 − a 2 ⎤⎥ x = A ln(bt)i tan ⎢θ + ⎣ a ⎦ Si: A=longitud.

05. En ensayos experimentales en un túnel de viento, se ha encontrado que la fuerza sustentadora (F) sobre el ala de un avión depende de la densidad (ρ) del aire, de la superficie (A) del ala, de la velocidad del viento (V) y del coeficiente K (adimens ional) de sustentac ión. Entonces la expresión adecuada para F es:

t=tiempo c) LT −2

b) L2T e) LT-1

a) LT d) LT-2 Resolución:

Por homogeneidad debe cumplirse:

⎡ ⎛ 1 − a2 [x] = ⎢ A ln(bt)i tan ⎜ θ + a ⎢ ⎝ 1 1 ⎣⎢

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦⎥

[b] = T

−1

b) Kρ 2 AV

d) Kρ 2 A 2 V 2

e) Kρ 2 AV 2

c) KρA 2 V 2

Resolución: La fuerza depende de: F = kρx i A y iV z reemplazando por sus ecuaciones dimensionales

por lo tanto: [x] = [A] = L también: [bt] = 1

a) KρAV 2

LMT −2 = (L−3M)x (L2)y (LT −1)z

[1] = [a 2 ]

LMT −2 = L−3x + 2y + z iM x iT −z

[a] = 1

x =1

⎡ xb 2 ⎤ L(T −1)2 = LT −2 Nos piden: ⎢ ⎥= ⎣ a ⎦ 1

⎫x = 1 ⎪

igualando los exponentes: −3x + 2y + z = 1⎬ y = 1

z=2 Clave: C

⎪z = 2 ⎭

entonces la expresión es: F = kρAV 2 Clave: A

219

VECTORES II cuando se conoce su módulo y su dirección.

2.1. V ECT OR

2.3. V EC TOR U N ITARI O (μ)

Designamos con este nombre a aquel elemento matemático, señalado por un segmento de recta orientado, que se emplean para representar gráficamente las cantidades vectoriales.

2.2. E LEMENTOS

DE UN

El vector unitario es un vector cuyo módulo es la unidad; se emplea para indicar la dirección de un vector.

V ECTOR

μ = vector unitario |μ| = 1 Ejm: Ubicamos vectores en una región cuadriculada de lado 1.

A) Módulo.- Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial.

A = 3μ

|V | → módulo del vector V

B = 2μ

B) Dirección.- Se define por el ángulo medido en sentido antihorario a partir del eje "+x"

C = −4μ

α → dirección del vector V

Ejemplo:

Podemos observar que:

entonces en general tendremos la siguiente relación.

A =|A|• μ A

μA = * *

El módulo de la velocidad será: 540 m/s La dirección de la velocidad será: α = 30º

En Conclusión: Un vector queda correctamente definido

220

A |A|

FÍSICA I μ A : vector unitario del vector A

PROPIEDAD Si dos vectores son paralelos tienen los mismos vectores unitarios es decir, Si: A / / B entonces:

B μ A = μB A |A|

=

→

→

→

R = A+ B

A

En el caso de más vectores sería así:

B |B|

α

α

2.4. V ECTORES UNITARIOS R ECTANGULARES Se utiliz a para señalar la dirección en las coordenadas rectangulares (x;y;z)

→

→

→

→

→

R = a+ b+ c + d

Si el polígono vectorial resultara cerrado por los mismos vectores se tendrá que la resultante de los mismos es nula.

| i |= 1 | j|= 1

→

2.5.

A DICIÓN

→

R=O

|k|= 1 DE VECTORES CONCURRENTES

A) M ét odo del Polígono.- Es te método c onsis te en trasladar paralelamente a uno de los vectores, para colocarlo a continuación del otro, de modo que exista entre ellos una continuidad, la resultante es el vector que cierra el polígono. →

B) M é t o do d el Pa ra le lo gr am o.- Es t e m éto do f ue descubierto por Simón Stevinus y es válido para cualquier par de vectores a los que debemos trasladar a un plano y hacer que sus orígenes coincidan en un mismo punto. De ac ue rdo c on es te mét odo s e c ons t ruye un paralelogramo.

→

Ejm: Se tiene los vectores A y B

→

→

Ubicaremos el B a continuación del A y cerraremos el →

triángulo con otro vector resultante ( R ) trazando del origen del vector A hacia el extremo del vector B. Así:

Donde podemos emplear la siguiente ecuación.

|R|=|A + B|=

221

A 2 + B 2 + 2AB cos θ

*

I MPORTANTE : *

Cuando el ángulo entre los vectores es ( α = 0º ) la resultante obtenida es máxima (Rmáx.)

R máx. = A + B *

Cuando el ángulo entre los vectores es: θ = 180º ; la resultante obtenida es mínima (Rmin).

*

Sumar las componentes que se ubican en un mismo eje y por separado, de modo que:

Resultante del eje x

Resultante del eje y

Rx=ΣVx

Ry=ΣVy

Hallamos el vector resultante:

R mín. = A − B

| R | = R 2x + R 2y

O BSERVACIÓN →

→

Un caso particular es la diferencia de vectores (A − B) , graficando

*

Para la dirección de la resultante (α )

podemos deducir la siguiente relación:

|A − B|= A 2 + B 2 − 2AB cos θ

tanα =

Ry Rx

I MPORTANTE : El módulo de la suma de dos vectores y el módulo de la diferencia son iguales cuando A y B son perpendiculares.

| A + B |=| A − B |⇔ A ⊥ B C) Descomposición Rectangular en el Plano.- Es la operación que consiste en descomponer un vector en fun c ión de otro s ub ic ad os s obre dos rec tas perpendiculares (x;y), obteniéndose las componentes rectangulares Vx y Vy .

C ASOS PARTICULARES : 1. R =a 3

en el gráfico se cumple las siguientes relaciones:

Vx = V cos θ

∧

Vy = Vsenθ

par a s u mar vari os v ec to res por el m étod o de la de s c om pos i c ión rec tang ular s e s igu e el s ig uien te procedimiento: *

Descomponer rectangularmente cada uno de los vectores, según el par de ejes (x e y)

222

FÍSICA I También debemos saber que: | A × B | = área del paralelogramo

2.

sombreado.

R=a 2

C=A x B

B

ω

3.

R=a A

Si conoces las componentes cartesianas de los vectores, puedes calcular las componentes del producto vectorial mediante:

2.6. P RODUC TO E SCALAR : El producto escalar de dos vectores es un escalar (un número) que se obtiene mediante el producto de los módulos de ambos por el coseno del ángulo que forman. También: i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 (paralelismo)

ˆi

ˆj

a × b = ax

ay

a z = i (a y bz − bya z ) − ˆj(a x bz − a z bx ) + k(a x by − a y bx )

bx

by

bz

kˆ

Producto vectorial de los vectores unitarios:

z

a ⋅ b =|a ||b |cos θ

2.7. P ROD UCTO V ECTORI AL : k

El producto es calar de dos vec tores es un vec tor cuya dirección es perpendicular al plano que determinan ambos, su sentido lo determina la regla del sacacorchos o de la mano derecha y su módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman.

i

y j

x

C=A x B

B

*

i × i = j× j = k × k =0

*

i×j= k j× k = i k ×i = j

A *

k × j =−i

| C |=| A × B |=| A || B| senφ -

j × i =−k

i ×k = − j

Si conocemos las componentes cartesianas podemos hallar el producto escalar

El producto escalar es conmutativo, el vectorial no. Ten cuidado.

a ⋅ b = (a x i + a y j + a z k) ⋅ (b x i + b y j + b z k) a ⋅ b = (a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z )

223

R = a 2 + a 2 + 2a 2 cos α

α

a

− a 2 = 2a 2 cos α

α

1 2 α = 120°

cos α = −

R=a

01. En el sistema de vectores mostrado, hallar el ángulo θ : si: a

A + B + C = O , | A |= 7u , | B|= 8 u y | C |= 13 u .

Clave: D

A

03. La resultante de los tres vectores mostrados está en la dirección positiva «x» y su módulo es 20U. Si se sabe además θ

que | A |= 20 2 U y | C |= 50 U , hallar el módulo de B y la

B

medida del ángulo « θ »

C a) 10° d) 37°

b) 30° e) 53°

c) 60°

y

A

Resolución:

B

Para que la resultante sea cero, el módulo de la suma de dos vectores debe ser igual al módulo del tercero y opuesto a él. A

45°

θ

x

A+B

θ B

C

C b) 30U y 30° e) 40U y 45°

a) 40U y 37° d) 50U y 53°

c) 50U y 37°

Resolución: Descomponiendo los vectores: A y B y

| A + B|=| C | por el método del apralelogramo

A

72 + 82 + 2(7)(8) cos θ = 13

45°

θ Bcosθ

x

C por condición del problema:

ΣVy = 0

20 + Bsenθ − 50 = 0

a

Bsenθ = 30.........................(1)

b

a

ΣVx = 20 B cos θ − 20 = 20

α b) 45° e) 150°

B

50

02. Hallar la medida de « α » para que la resultante de los dos vectores sea de magnitud «a».

a) 30° d) 120°

Bsenθ

20

Clave: C

a

20 2

20

113 + 112 cos θ = 169 1 cos θ = 2 θ = 60°

a

B cos θ = 40.........................(2)

c) 60°

Dividimo (1) ÷ (2)

Resolución:

Bsenθ 30 3 = → tan θ = B cos θ 40 4 θ = 37°

Descomponiendo los vectores en el plano:

Reemplazando en (1)

Bsen37° = 30

a

B = 50U

cero

Clave: C α a

Haciendo coincidir los orígenes y trazamos la resultante que tiene un módulo igual a «a».

224

FÍSICA I 06. Calcule el módulo del vector resultante, sabiendo que la figura es un hexaedro.

04. Determine el vector unitario de la resultante de los vectores mostrados en la siguiente figura. y

z 2N

2a 4m

a

a a) i + 2 j

d)

(i + j)

b)

(i + 2 j)

c)

3

4 2N

( −i − j)

4m x

5

Resolución: Descomponiendo los vectores y expresando en función de los vectores unitarios i y j . y

a)

2N

b)

5N

c)

d)

15 N

e)

20 N

10 N

Trazando los vectores de posición r1 y r2 z 2N F1

a a a

2N

Resolución:

a a

y

2

(i − 2 j)

e)

5

x

2a

4m

x

a

R x = ai y R y = 2a j

r1

Luego la resultante del sistema de vectores será:

4 2m

R = ai + 2a j

y

r2

El módulo de R 4m

| R |= a 2 + (2a )2 = a 5 hallando el vector unitario: μ =

x

R |R |

=

ai + 2a j a 5

=

i + 2j

F2

2N

Los vectores unitarios de F2 y r1 sean iguales.

5

μF1 = μr1

Clave: D. 05. La máxima resultante de dos vectores es 8U y es 7U cuando forman 60°. Halle la mínima resultante que podría obtenerse entre los vectores. a) 1U b) 2U c) 3U d) 4U e) 5U

F1 (4i + 4 j + 4 2 k ) = 2 42 + 42(4 2 )2

F1 = i + j + k

Resolución:

Y también de F1 y F2

La resultante máxima: R max = A + B = 8......(1) La resultante es 7U cuando el ángulo es 60°

μF1 = μr2

A 2 + B 2 + 2AB cos 60° = 7

F2

A 2 + B 2 + AB = 49........................(2)

2

de (1)

=

A i + 4j 4 2

F2 = i + j

(A + B)2 = 8 2

La resultante de F1 y F2

A 2 + 2AB + B 2 = 64.....................(3) reemplazando (2) en (3)

FR = F1 + F2

AB + 49 = 64

FR = 2i + 2j + 2 k

⎧A = 3 AB = 15 → ⎨ ⎩B = 5

finalmente hallamos el módulo:

| FR |= 22 + 22 + ( 2 )2

finalmente, la resultante mínima será: Rmin=A-B=2U

| FR |= 10 N

Clave: B

Clave: C

225

CINEMÁTICA III

C INEMÁTICA

C) Vector posición ( r ).- Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posición instantánea del móvil.

Es una parte de la mecánica que estudia las propiedades geométricas del movimiento mecánico que describen los cuerpos prescindiendo de su inercia (masa) y de la interacción con otros cuerpos (fuerzas aplicadas)

3.1.

Ejm: Una partícula está en el punto (A), luego su vector de posición será:

M OVIMIENTO

Una partícula experimenta movimiento cuando su posición (ubicación) cambia a través del tiempo con relación a un punto tomado como referencia. «El movimiento mecánico es relativo»

r A = (6 ; 8) = 6 i + 8 j

Si queremos hallar su módulo

|r A |= 6 2 + 8 2 = 10m

3.2.

E LEMENTOS

z

DEL

M OVIMIENTO M ECÁNICO

D) Trayectoria.- Es el camino que describe el móvil, puede ser rectilíneos o curvilineos. De acuerdo a la trayectoria que describe el móvil, el movimiento puede ser.

móvil

Trayectoria

Movimiento rectilíneo

d(distancia recorrida)

V(velocidad)

Movimiento parabólico

Movimiento circular

desplazamiento (Δr)

ro rf

(vector de posición)

y

sistema de referencia

E. Distancia recorrida (d) .- Es la medida de la longitud de la trayectoria.

x

A

A) Móvil.- Objeto o partícula que está en movimiento. B) Sistema de Referencia.- Es el lugar donde el cual el obs e r vador aprec i a el mo vimien to. Se repres enta mediante el origen de las coordenadas rectangulares (x; y; z).

10m

dAB=10m

12m

24m B dAB=12m

226

dAB=24m

FÍSICA I I M P O R TA N T E : El movimiento que describe un cuerpo depende del sistema de referencia que se tome, debido a ello concluimos que el movimiento mecánico es relativo.

G . VELOCIDAD

Es una magnitud vectorial que nos expresa la rapidez con la cual un cuerpo cambia de posición.

d pp = 28m

F.

Desplazamiento ( Δ r ).- Es el vector que representa el

De acuerdo al intervalo de tiempo relativamente grande o pequeño, podemos es tablecer la veloc idad media o la velocidad instantánea.

cambio de posición, desde un punto inicial hasta el punto final. →

→

(V)

→

Δ r = r f − ro

G.1.VELOCIDAD M EDIA ( V m )

El módulo del desplazamiento: Nos expresa la rapidez c on que un c uerpo cambia de posición.

→

|Δ r| = módulo del desplazamiento

A

A

8m

cuando regresa al mismo punto

A

12m B

B

B

Ejm : Si un móvil se desplaza del punto A hasta el punto B. Hallar el módulo de su desplazamiento.

→

Δr r f − ro Vm = = t t *

La

vel oc id ad m edia

FH m IK s Vm

es

c o line al

c on

el

desplazamiento (Δ r) *

Para el módulo de la velocidad media: →

|Δ r| |Vm|= t G.2. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Llamada también velocidad tangencial. Señala la dirección del movimiento. Sus vectores de posición serán ( r )

rA = (5 ; 31) y rB = (12 ; 7) →

Luego podemos hallar su vector desplazamiento (Δ r ) → Δr = r − r B

A

→ Δ r = (12 ; 7) − (5; 31) → Δ r = (7 ; − 24)m

|V|= rapidez

→

El módulo de su desplazamiento |Δ r| →

Ojo: La velocidad (V) es tangente a la trayectoria.

|Δ r|= 7 2 + 24 2 →

Si s u rapidez del móvil es c ons tante s e tratará de un movimiento uniforme.

|Δ r|= 25 m

227

*

M OVIMIENTO UNIFORME: Un movimiento será uniforme si su rapidez (módulo de su velocidad) permanece constante; pero sí podría cambiar la dirección de su velocidad; pueden ser rectilíneo o curvilíneo.

5m/s

5m/s

8m/s

10m/s

10m/s

8m/s 5m/s

8m/s

(movimiento uniforme)

-

10m/s

(B) (movimiento uniforme)

(A)

-

(movimiento rectilínea uniforme)

10m/s

(C)

El los gráficos (A) y (B) los módulos de sus velocidades (rapidez) no cambian pero sin embargo la velocidades son variables porque cambia su dirección. En el gráfico (C) no cambia su rapidez ni su dirección entonces su velocidad es constante (M.R.U.) En los gráficos (A), (B) y (C) el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales por lo que será validad la siguientes ecuación.

V=

d t

m /s

«OJO»: Esta ecuación es válida cuando el movimiento es UNIFORME (puede ser recitlíneo o curvilíneo)

3.3.

R APIDEZ M EDIA (υ)

Es la relación entre la distancia total recorrida por el móvil con respecto al tiempo empleado.

υ= *

3.4.

d t

También conocida como rapidez promedio.

M OVIMIENTO R ECTILÍNEO U NIFORME (MRU)

El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) es el movimiento más simple de la cinemática, su característica principal es que: * *

En el MRU la velocidad permanece constante. En el MRU la velocidad no cambia de dirección ni rapidez.

Consideramos un auto que se traslada con una velocidad constante tal que su rapidez, es 6m/s. * Notamos que el móvil recorre 6m en cada segundo, entonces la distancia recorrida es directamente proporcional con el tiempo.

OBSERVAMOS:

d AB t AB

=

d BC t BC

=

d CD t CD

=

d DE t DE

U| 6m = cons tan te (V) V| 1 s W

228

FÍSICA I Conclusiones : * La trayectoria es una recta (movimiento rectilíneo) * En intervalos iguales de tiempo, la distancia que recorre el móvil son iguales. * La distancia recorrida por el móvil es proporcional al tiempo. * La velocidad media e instantánea son iguales y se mantiene constante.

*

El MRU se caracteriza por que el móvil no experimenta cambios en su velocidad, en consecuencia su aceleración es nula (a = 0) . En general se cumple:

*

V=d t

d V|t

Unidades:

I MPORTANTE : km

Cuando necesites hacer cambios de unidades de h *

m o viceversa Jonacito te recomienda hacer lo sis

Rapidez de la luz en el aire

guiente.

VL = 300 000 km / s *

Rapidez del sonido en el aire

VS = 340 m / s *

x km = x • 5 m / s h 18

*

y• m = y • 18 km / h s 5

3.5.

E NCUENTRO

DE

M ÓVILES

CON

Rapidez de la luz en el agua.

VL = 225 000 km / s *

MRU

A. Cuando dos móviles, separados una distancia "d", van uno al encuentro del otro realizando MRU, el tiempo de encuentro se calcula así:

Rapidez de la luna alrededor de la tierra

VT = 1000 m / s *

*

Rapidez de la tierra alrededor del sol

VT = 30 000 m / s *

a

Rapidez del sonido en el agua

VS = 1450 m / s

tE =

229

d VA + VB

B . Cuando dos móviles se trasladan en igual dirección y

3.6.

uno alcanza al otro, el tiempo de alcance (t al) es:

t al =

L EY

DE

K EPLER

PARA EL

MRU.

"El vector posición describe áreas iguales en tiempos iguales"

d VA − VB

C. Cua ndo s e t iene móv iles que tie nen long itud es considerables (trenes) y deben cruzar puentes o túneles, el tiempo que estos emplean en cruzar será: A1 = A 2

3.7.

POSICIÓN

DE UNA

PARTÍCULA

El desplazamiento que experimenta una partícula en el eje "x" es igual al cambio de posición.

Tc =

L1 + L 2 V

Δr

D. Cuando dos trenes se cruzan por dos vías paralelas, el tiempo que emplean en cruzarse.

x f = x o + Δr x f = xo + V • t

Tc =

L1 + L 2 V1 + V2

230

FÍSICA I 02. Cuando el niño Eduardo pasa por «A» ocurre una explosión en «M»; si el niño escucha el eco al pasar por «B»; determine «d» (considere que el atleta realiza MRU y que la rapidez del sonido es 340m/s). 01. La figura muestra un cubo de lado 10m de arista. Una partícula sigue la trayectoria. ABCDE empleando 10s en recorrerla. Determine su velocidad media y su rapidez media.

10m/s

z

C

M

D

A

B

d

15m

40m

a) 320m d) 480

B

b) 400 e) 510

c) 415

Resolución: E O

y

Graficando:

A x

tsonido a) ( i + j )m / s; 2m / s

b) (2i + j )m / s; 6m / s

c) ( i + 2 j )m / s; 4m / s

d) ( −i + j )m / s; 4m / s

10m/s tedú M

e) (i − j )m / s; 8m / s

A d

10m/s

B 15m

40m

Resolución: El tiempo empleado por el sonido es igual al tiempo empleado por el niño Edú.

Sabemos que el desplazamiento es: Δ r = rf − ro

tsonido = t edú d + 15 + 80 15 = 340 10 d = 415m

z

Clave: C 03. Un bus de 8m de longitud que realiza MRU; en t segundos avanza «x» metros y en t+2 segundos avanza (x+4) metros. Determine el tiempo que se mantiene en el interior de un túnerl de 64m de longitud.

E

Δr

y

a) 20s e) 30

A

Sabemos que:

Hallando los vectores de popsición:

rA = 10i (m) ; rE = 10 j (m)

Si:

*

V=

x x+4 = t t+2

x − (x + 4) = V = 2m / s t − (t − 2)

Hallando el tiempo que emplea en el interior de un túnel de 64m de longitud.

Δr 10 j −10i = = (−i + j)m / s t 10

La rapidez media υ =

d t

a c a−c = = cte → = cte b d b−d

entonces:

La velocidad media: ( V m )

Vm =

V=

Jonacito te recuerda:

El desplazamiento: (Δr )

Δr = rE − rA = (10 j −10i )m *

c) 28

Resolución:

x

*

b) 25 e) 32

d 40 = = 4m / s t 10 Clave: D

231

Resolución:

TUNEL t

2m/s

km

56m

25

8m

t=

56 → t = 285 2

t=0,5h

40km/h

Clave: C 04. Un cic lis ta que s e mueve c on una rapidez de 4m/s y paralelamente a las vías de un tren, observa que la mitad de la longitud de un tren que se mueve en dirección contraria con una rapidez de 8m/s, tarda en pasar por su costado 12s. Determine la longitud del tren. Considere que el ciclista y el tren realizan MRU. a) 288m d) 125

b) 100 e) 120

d

c) 50

t=0,5h

40km/h

d

Hallando la distancia «d» d=40(0,5)=20km

Resolución:

luego podemos tener el siguiente triángulo

Graficando:

8m/s 4m/s

P Vviento

a

25km

b

a

Donde: b=15km

El ciclista cruzará la mitad del tren cuando llega al punto «P»

d V1 + V2 a 12 = → a = 144 12 t=

20km la distancia que tiene que recorrer el humo en 30min es b; luego podemos afirmar.

luego la longitud del tren será:

b = Vviento it

L tren = 2a = 288m

15 = Vviento i(0,5) Vviento = 30km / h

Clave: A 05. Dos trenes que viajan en vías paralelas y en direcciones contrarias, son fotografiados desde el aire después de 30 minutos de habers e c ruz ado. Si dic ha fotografía es tá representada en el gráfico, y los dos trenes viajan c on rapideces iguales cuyo valor es 40km/h; determine la rapidez del viento.

rastro del humo de la locomotora

25 km a) 10km/h d) 25

Clave: E

b) 15 e) 30

c) 20

232

FÍSICA I

IV

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Antes de desarrollar el MRUV analizaremos un parámetro que en este movimiento es muy importante "la aceleración".

Ahora analicemos.- Dos instantes de un movimiento.

Se puede cambiar la velocidad de algo si se cambia su rapidez, si se cambia su dirección o si se cambian las dos. Que tan rápido cambia la velocidad es la ACELERACIÓN.

Aceleración =

Para hallar

cambio de velocidad int ervalo de tiempo

Vf − Vo

Estamos familiarizados con la aceleración de un autmóvil. Al manejar lo sentimos cuando tendemos a recargarnos más en los asientos.

La aceleración se hallará asi:

El término aceleración se aplica tanto a disminuciones como a aumentos de la velocidad. Por ejemplo, decimos que los frenos de un automóvil producen grandes desaceleraciones, esto es, que hay una gran disminución de la velocidad del vehículo en un segundo. Con frecuencia se llama a esto desaceleración. Sentimos cuando nos sentimos impulados hacia adelante del asiento.

am =

Vƒ − Vo t

F mI Hs K 2

El módulo de l variación de la velocidad

Aceleramos siempre que nos movemos en trayectorias curvas, a un cuando nos movamos a rapidez constante, porque nuestra dirección cambia y por consiguiente cambia nuestra velocidad. Sentimos esta aceleración cuando algo nos impulsa hacia el exterior de la curva. Por este motivo hacemos la distinció entre rapidez y velocidad y definimos la aceleración como la razón con la que cambia la velocidad en el tiempo, y con ello abarcamos tanto a la rapidez como la dirección.

|Vf − Vo|=

V o2 + V f2 + 2 Vo • Vf •cos θ

Cuando el móvil cambia su dirección se debe tener presente al trabajar con su característica vectorial de la aceleración:

4.1. Aceleración Media (am) .- Es una magnitud vectorial, y nos mide: "LA RAPIDEZ CON QUE UN MÓVIL CAMBIA SU VELOCIDAD".

El módulo de la aceleración media: |am| =

*

|Vf − Vo| t

La aceleración media (am) es colineal con el vector cambio de velocidad (Δ V)

Ejm : Un automóvil voltea una esquina con una rapidez constante de 10m/s, si el giro lo realiza en 10s. Determinar el módulo de su aceleración media.

233

como el móvil cambia de dirección se debe considerar la característica vectorial de la aceleración media.

Notamos que la velocidad se incrementa en cada instante, esto es debido a que la velocidad ( V ) y la aceleración (a ) tienen la misma dirección ; por lo que el movimiento será ACELERADO también puede suceder que la velocidad disminuye cada vez que transcurra un determinado tiempo, entonces, la velocidad ( V ) y la aceleración (a ) tendran direcciones opuestas, tratándose de un movimiento DESACELERADO.

Por lo que:

Hallando el módulo: |Vƒ − Vo|

|Vƒ − Vo|= 10 2 + 10 2 = 10 2 m / s finalmente el módulo de la aceleración media.

C ONCLUS IONES : |am|=

|Vƒ − Vo| t

=

10 2 = 2 m / s2 10

1. La trayectoria que describe el móvil es una línea rec ta. 2. La aceleración (a) del móvil es colineal con veloci-

Jonacito te Recuerda

dad (V) 3. En un MRUV la aceleración es constante, cuando en tiempos iguales la velocidad varía en cantidades iguales.

Si un móvil describe una trayectoria curva, su aceleración instantánea siempre apunta hacia la "concavidad" de la trayectoria.

4. La aceleración media en cualquier tramo que se escoja no cambia, es decir, se mantiene constante. 5. La aceleración media e instantánea es la misma.

4.2. E CUACIONES

EN

EL

*

En el MRUV la aceleración es constante y en todo momento es colineal con la velocidad, Se hallará con la siguiente relación.

DEL

MRUV

MRUV:

Escalarmente sabemos que:

a=

Vƒ − Vo a= t

ΔV Vƒ − Vo = t t

de donde tenemos que:

⎛m⎞ ⎜ 2⎟ ⎝s ⎠

Vƒ = Vo + at Pero cuando el móvil acelera (+a) o desacelera (-a) entonces en forma general:

Entonces una partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente variado si al desplazarse su trayectoria es una recta y su rapidez aumenta o disminuye uniformemente.

Vƒ = Vo ± at ......................(I)

Ahora examinemos el siguiente movimiento; la velocidad del móvil varía en 6m/s cada vez que transcurre 1 segundo. Podemos expresarlo así:

Si deseamos hallar la distancia (d) que recorre el móvil podemos emplear la definición de la rapidez media ( ν)

Δ V 6m / s a= = = 6m / s 2 (esta es la aceleración) 1s t

ν=

V=0

234

d t

→ d = ν • t .........(α)

FÍSICA I En el MRUV la rapidez media es igual a la media aritmética entre la velocidad inicial (Vo ) y la velocidad final (Vƒ ) .

ν=

Vo + Vƒ 2

reemplazando en (α)

FV GH

o

d=

+ Vƒ 2

I •t JK ................(II)

Números de Galileo.- Un móvil que parte del reposo con MRUV en tiempos iguales recorre distancias proporcionales a los números:

si reemplazamos (I) en (II)

1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ...... (2n - 1)

LM V + (V ± at) OP•t N 2 Q L 2V ± a t OP•t d=M N 2 Q o

d=

o

o

1 2 a t ................(III) 2

d = Vo • t ±

POSICIÓN

DE UNA PARTÍCULA

Si de la ecuación (I) despejamos "t"

Vƒ − Vo ±a

=t

si reemplazamos en (II)

FV GH

o

d=

+ Vƒ 2

IF V − V I JK GH + a JK ƒ

o

xf = x o + Vot + 1 at 2 2

± 2 a d = V ƒ2 − V o2 Ejemplo: 2 ƒ

V =V

2 o±

Si la posición de una partícula depende del tiempo, para hallar la velocidad y aceleración emplearemos la primera y segunda derivada.

2 a d ..................(IV)

Elaborando un resumen, tendremos las ecuaciones: EN FO RM A

EN FO RM A

ESCALAR

V E C TO R IA L

Vƒ = Vo ± a t

Vƒ = Vo + a t

V

2 ƒ

= V

2 o

± 2 ad

d = Vo • t ± 1 a t 2 2 d =

FG V H

o

IJ K

+ Vƒ •t 2

V

r

2 2 = V + 2ad f 0

o

+ Vƒ 2

V=

dr (velocidad ins tan tánea) dt

a=

dv (aceleración ins tan tánea) dt

Ejm: Si la posición de una partícula depende del tiempo según:

d = Vo • t + 1 a t 2 2

FV d = G H

→ ƒ(t )

r = (5 t 3 − 2 t + 2)m ; t en segundos.

It JK

Hallar la velocidad y aceleración en t =1s. *

Sabemos que:

SIGNOS

V=

(+) la rapidez aumenta

dr dt

V=

d (5 t 3 − 2 t + 2) dt

El exponente de "t" multiplica al coeficiente y se reduce en uno.

(–) La rapidez disminuye

V = 15 t 2 − 2 Si (t = 1s) V = 13 m / s

Distancia recorrida en el n-enésimo segundo.

para la aceleración:

dv d = (15 t 2 − 2) dt dt a = 30 t Si (t = 1s)

a=

dnº = Vo ± 1 a (2n − 1) 2

a = 30m / s 2

235

20 = VA (1) +

1 a(1)2 2

a 2 a VA = 20 − ...................(1) 2

20 = VA + 01. Un tren de 100m de longitud realiza un MRUV comienza a ingresar al túnel con una rapidez de 10m/s. Si cuando ha ingresado la mitad presenta una rapidez de 20m/s; determine con que rapidez saldrá completamente del túnel de 200m de longitud. a) 10 19m / s

b) 30

d) 10 13

e) 50

En el tramo AC:

44 = VA (2) +

c) 40

1 a(2)2 2

22 = VA + a

Resolución:

VA = 22 − a...................(2)

Aplicando:

igualando (1) y (2)

20 − 10m/s

20m/s P

Vf=?

P

100m

50m

a = 4m / s 2

P

150m

a = 22 − a 2

en (1): V A=18m/s finalmente hallamos V O

100m

V − Vo a= f t 18 − Vo 4= → Vo = 6m / s 3

cuando ingresa la mitad tiene una velocidad de 20m/s, hallamos su aceleración:

Vp 2 = Vo 2 + 2ad

Clave: D

20 2 = 10 2 + 2(a)(50)

03. En el instante mostrado, el tubo liso de 2m de longitud es soltado, determine el tiempo que permanece la esfera en su interior. Considere que ambos cuerpos tienen la misma aceleración.

a = 3m / s 2 cuando sale completamente del tunel:

Vf 2 = 20 2 + 2(3)(250) Vf = 10 19m / s Clave: A

VO=10m/s

02. La gráfica muestra a una partícula que realiza MRUV en dos segundos consecutivos. Determine la rapidez del móvil, 3s antes de pasar por A.

θ a) 0,1s d) 0,5

a

V

b) 0,2 e) 0,4

c) 0,3

Resolución: La esfera y el extremo del tubo se van al encuentro. 20m

A

a) 5m/s d) 6

24m

B

b) 8 e) 4

C

VO=0

c) 10

Resolución:

a

2m

Graficando:

a

a 3s

1s

1s

d tubo + d esfera = 2 1 2 1 at + 10t − t 2 = 2 2 2 t = 0, 2s

Vo A

B 20m

10m/s

C 24m

En el tramo AB:

Clave: B

236

FÍSICA I 04. Una par tíc u la t iene mov imie nto rec t ilín eo c on u na aceleración «a» en (m/s 2 ) observándose que en 1 segundo recorre x(metros). Determine la longitud (en metros) que se recorrerá en siguiente segundo. a)

(2x + a) 2

b)

d) 2(x+a)

(3x + a) 2

06. A partir del instante mostrado, el sistema es soltado. Si el blo que ( A) in ic ia un M RUV c on 2m /s 2 , d eter mine la aceleración del bloque (B).

c) x+a

A

e) 3(x+a)

Resolución:

B

Graficando:

a

1s

a) 4m/s2

1s

A

B

c) 3

Resolución:

C

x

b) 2 5 e) 6

d) 2,5

Graficando:

d

En el tramo AB:

a

1 x = VA + a(1)2 2 a a x = VA + → x − = VA ......(1) 2 2

A

En el tramo AC:

B a

las aceleraciones en la polea:

x + d = V A(2) +

1 a(2)2 2

a x + d = ⎛⎜ x − ⎞⎟ (2) + 2a ⎝ 2⎠ d =x+a

a

2a Clave: C

B

05. Una partícula se mueve a lo largo del eje «x» de acuerdo con la ecuación x=2t-5t2 donde «x» está en metros (m) y «t» en segundos (s). Halle el instante en que la partícula invierte el sentido de su movimiento. a) 0,1s d) 0,4

b) 0,2 e) 0,5

aP

finalmente hallamos la resultante

a P = (2a)2 + a 2 = a 5 = 2 5m / s 2

c) 0,3

Resolución:

Clave: B

Teniendo la ecuación de la posición, podemos hallar la ecuación de la velocidad mediante la primera derivada.

x = 2t − 5t2 V = 2 −10t Notamos que cuanto mas aumenta el tiempo la velocidad disminuye, luego cambiará la dirección de su movimiento cuando V = 0 .

2 −10t = 0 t = 0,2s Clave: B

237

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO REFERIDOS AL TIEMPO V

5.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

5.1.2 V ELOCIDAD - T IEMPO :

5.1.1 POSICIÓN - T IEMPO :

V

La ley del movimiento:

d

X

t

t θ

t AREA = d

xo

V

V

X f = Xo + V t xo: posición inicial

t

A) Es una recta inclinada B) La pendiente de la línea recta nos indica la velocidad.

t V

tanθ = V

x

El móvil se dirige hacia la derecha

x xo

t

t V xo

El móvil se aleja hacia la derecha

El móvil se dirige hacia la izquierda

A) Es una recta paralela al eje del tiempo. B) área = distancia que recorre el móvil.

xo

V

V

Se dirige hacia la izquierda

238

FÍSICA I 5.2.2 V ELOCIDAD - T IEMPO :

5.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE V ARIAD O

A) Es una línea recta inclinada. B) La pendiente de la recta nos indica a la aceleración del movimiento.

5.2.1 POSICIÓN - T IEMPO :

V

La gráfica de MRUV tendrá una pendiente variable, lo que indica que la velocidad también varía.

X

θ

Vo

d t

P α

t

tan θ=a La pendiente indica la aceleración.

Ley del movimiento X f = X o + Vo t +

área = distancia recorrida

1 2 at 2

Los gráficos pueden ser:

A) Es una parábola B) La pendiente de la recta tangente a la parábola indica la velocidad instantánea.

V

V t

VP = tanα

podemos tener los siguientes gráficos x

t

x Movimiento acelerado

Movimiento acelerado

V

V t

t

t

Mov. acelerado alejándose del observador

Mov. desacelerado alejándose del observador

V t x

x

Movimiento desacelerado

Movimiento desacelerado

5.2.3 A CELERACIÓN - T IEMPO : (MRUV) A) Es una recta paralela al eje del tiempo. B) El área bajo la curva da el cambio producido t Mov. acelerado acercándose al observador

en la velocidad.

t Mov. desacelerado acercándose al observador

a

ΔV t

área = ΔV = V f − Vo

239

II. El BC el movimiento es acelerado III. E n C D e l m ó v i l t i e n e a c e l e r a c i ó n c o n s t a n t e a = + IV. La distancia recorrida por el móvil es 18km. a) I y II b) II y IV c) I y III d) todas e) I, III y IV 01. De la siguiente gráfica señale verdad (V) o falso (F).

1 k m

/

2

Resolución: En el gráfico:

x(m)

V(km/h)

4 4 M RU V

D

0

5

2

t(s)

7

−2

I. EL móvil cuando t=0 se encuentra a 1m del observadior. II. Desde t=0 hasta t=2s se aleja del observador a razón +2m/s III. Cuando t=3s el cuerpo está en reposo IV. Cuando t=6s tiene MRU. a) VFFV b) VFVV c) FFVV d) VFVF e) VVVV

A1 A MRU

4 C θ 6 M RU V

1

A2

t(h)

10

B

Interpretación lineal de la gráfica:

2km/h A

B

2km/h

V=0

t=0

t=4h

t=6h

Resolución:

t=10h 4km/h

En el gráfico:

I.

(F) debido a que su velocidad es negativa sólo podemos afirmar que se dirige hacia la izquierda. II. (F) en el tramo BC su velocidad disminuye de 2km/h a 0, por lo tanto es desacelerado. III. (V) la pendiente de la gráfica (V-t) indica la aceleración

x(m) REPOSO M RU

4 α

(a CD )

U MR

1

a = tan θ =

t(s) 0

2

5

7

IV. (V) la distancia recorrida viene dada por el área.

Interpretación de la gráfica:

x=0

(4)(4) 6+4⎞ d = A1 + A 2 = ⎛⎜ ⎟× 2+ ⎝ 2 ⎠ 2 d = 18km

t=2s t=5s

t=0

4 = +1km / h 2 4

Clave: A

x=4m

x=1m

03. En el MRUV la gráfica x-t está determinada de la siguiente forma, entonces podemos afirmar que:

t=7s I.

(V) porque el observador debe estar ubicado en el origen de coordenadas. II. (F ) la vel oc id ad e s tá s eñ alad a po r la pen dien te

V1 = tan α =

x(m)

3 = 1,5m / s 2

18

III. (V) el móvil está en la posición x=4m desde t=2s hasta t=5s. IV: (V) la gráfica posición - tiempo es una recta por lo tanto es un MRU.

8 0

Clave: B

V(km/h)

−2 A

I.

D 4 C 6

10

3

t(s)

I. El móvil tiene un movimiento acelerado II. El módulo de su aceleración es 4m/s 2 III. EL móvil parte del reposo. IV. Cuando ha recorrido 18m su velocidad es 12m/s a) I y II b) I, II y III c) todos d) Ninguno e) sólo III

02. En una trayectoria recta la velocidad del móvil varía según la siguientes gráfica. Señale lo incorrecto.

4

2

t(h)

B

En AB el móvil tiene MRU acercándose al observador.

240

FÍSICA I Resolución:

Resolución:

En el gráfico, obtenemos los datos:

Teniendo la gráfica a Vs t podemos hallar la variación de la velocidad mediante el área entre t=0 y t=8s.

x(m) 18

2

a(m/s )

B

A α

0 I.

12

θ

8

3

2

6

t(s)

AREA

(V) Al hallar la veloc idad en los dos puntos de la trayectoria notamos que:

θ > α → tan θ > tan α VB > VA

37° 8

0

t(s)

16

12 + 6 ⎞ AREA = Vf − Vo = ΔV = ⎛⎜ ⎟×8 ⎝ 2 ⎠ ΔV = 72m / s

luego el movimiento es acelerado II. (V) para hallar su aceleración:

Clave: E

1 2 at 2

05. Si el móvil parte del origen (x=0) en una trayectoria rectilínea. Señale las proposiciones verdaderas.

d = Vo t +

8 = 2Vo +

I. De t=2s a t=3s el auto está en reposo II. La distancia total recorrida es 5m III. En el instante t=5s el auto se encontraba en la posición inic ial IV. En el instante t=4s el auto se encontraba a 2m del origen

1 a(4) 2

Vo + a = 4 Vo = 4 − a................(1) 18 = 3Vo + Vo = 6 −

2

1 a(9) 2

3

3 a................(2) 2

1

4

5

2

t(s)

−2

Igualando (1) y (2)

4−a =6−

V(m/s)

a) sólo I y II d) sólo II y IV

3 a 2

b) sólo III c) sólo I, II y IV e) todas son verdaderas

Resolución:

a = 4m / s 2

En la gráfica:

III. (V) en (1) hallamos la velocidad inicial:

V(m/s)

Vo = 4 − 4 = 0

2

IV. (V) por la ecuación:

A1

⎛ V + Vf ⎞ d=⎜ o ⎟t 2 ⎠ ⎝ ⎛V ⎞ 18 = ⎜ f ⎟i3 → Vf = 12m / s ⎝ 2⎠

0

3 2

1

5

4

t(s)

A2

−2

I. (V) efectivamente entre t=2s y t=3s su velocidad es cero. II. (V) la distancia recorrida será:

Clave: C 04. A partir del gráfico a vs t se pide calcular, en cuánto cambio su velocidad en el intervalo [0;8]s

(2)(2) 2 + 1⎞ d = A1 + A 2 = ⎛⎜ ⎟ i2 + ⎝ 2 ⎠ 2 d = 5m

2

a(m/s )

III. (F )

12

ha llan do

el

va lor

del

des p laz a mien to

Δr = A1 − A 2 = 3 − 2 = 1m entonces se desplazó +1m. IV. (V) hallando el valor del desplazamiento entre t=0 hasta t=4s

0

a) 56m/s d) 70

37°

b) 60 e) 72

t(s)

Δr = 3 − c) 64

(1)(2) = 2m 2 Clave: C

241

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE VI

*

Las cosas caen a causa de la fuerza de gravedad, cuando un objeto cae verticalmente o es lanzado hacia arriba, libre de toda influencia: sin fricción de aire o de cualquier especie: se mueve bajo la influencia de la gravedad. El objeto se encuentra en caída libre que puede ser vertical, parabólico o circular. En este capítulo analizaremos sólo el movimiento de caída libre vertical.

*

Es un MRUV que se realiza en las inmediaciones de la superficie terrestre.

*

Se dice que un cuerpo ésta en caída libre cuando al moverse sólo se ve afectado por la fuerza de gravedad.

*

La ac el erac ión vert ic al es prod uc id a po r la fue rz a gravitacional.

*

La aceleración que experimenta permanece constante y su 2 v a l o r e s g = 9 , 8 m / s (ap roxi mada mente ). Para altu ras mayores este valor de la aceleración disminuye.

*

gpolo = 9,83m / s2

*

g ecuador = 9,79m / s 2

*

A continuación graficamos dos movimientos verticales, uno de subida y el otro de bajada cuando g=10m/s 2 , donde notamos que la velocidad cambia en cada s egundo en 10m/s

Cuando el móvil sube el movimiento es: DESACELERADO

6.1. PROPIEDADES Y BAJADA :

Cuando el móvil baja el movimiento es: ACELERADO

DE UN MOVIMIENTO VERTICAL DE SUBIDA

El diagrama muestra un movimiento completo de caída libre (subida y bajada) en donde se cumple.

* t subida = t bajada Interpretación de "g"

* |V1|=|V5|

Δ V 10m / s Si: g = 10m / s2 = 10m / s → = 1s ΔT 1s

* |V2|=|V4| * V3 = 0

Entendemos que; en cada segundo (de su movimiento), su velocidad varía en 10m/s.

* g=constante

242

FÍSICA I I MPORTANTE : ECUACIONES ESCALARES

ECUACIONES VECTORIALES

Vf = Vo ± g t

Vf = Vo − g t

V f2=

V o2 ±

Cuando aproximamos g=10m/s2, logramos hallar la velocidad y los desplazamiento verticales que producen en cada segundo de su caída libre de un cuerpo.

V=0

2g h

V 2f = V o2 − 2 g •h

h = Vot ± 1 g t 2 2

h = Vot − 1 g t 2 2

1s

10m/s

F V + V I •t GH 2 JK

1s

20m/s

h=

F V + V I •t H 2 K f

o

h=

f

o

(+) cuando baja (–) cuando sube

1s

1s

5m

1s

15m

1s

25m

1s

35m

40m/s

1s

45m

50m/s

1s

55m

10m/s

20m/s

30m/s

* Altura recorrida en el enésimo segundo.

hnº = Vo ± 1 g (2n − 1) 2

1s

1s

30m/s 40m/s

50m/s

* Si la trayectoria es una sóla (de subida o de bajada) utilizar las ecuaciones escalares. * Si la trayectoria es de subida y bajada es decir, trayectoria tipo bastón, así:

60m/s G RÁFICAS A.

+h

(− )V

−h

t/2

*

Altura máxima: h = V

t

t

V ELOCIDAD V S T IEMPO

V

E CUACIONES P ARTICULARES Tiempo de vuelo: t V =

POSICIÓN V ERTICAL V S TIEMPO

parábola

B.

*

M.V.C.L.

h

te recomiendo utilizar las ecuaciones vectoriales donde debes considerar la dirección de las cantidades vectoriales.

(+)V

DEL

+V1

2Vo g

2t t

2 0

2g

−V1

243

t

h = Vo −

Aplicando:

1 g (2n − 1) 2

h subida = h bajada 01. Si el niño Eduardo, lanza un pequeño objeto, tal como se muestra, determine luego de qué tiempo el objeto impactará en el piso (g=10m/s 2 ).

1 1 Vo − (10)[2(2) − 1] = − ⎛⎜ Vo − (10)[2(7) − 1] ⎞⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Vo − 15 = −Vo + 65 2Vo = 80

20m/s

Vo = 40m / s

1,6m

Clave: E 03. Si el joven «A» lanza una pequeña piedra como se muestra: determine, luego de cuánto tiempo el joven «B» escucha el sonido producido por el impacto entre la piedra y el suelo (V sonido=350m/s)

23,4m

a) 4s d) 7

b) 5 e) 10

15m/s

c) 6

A

Resolución: Graficando:

B

50m 20m/s

21m 28m

25m

a) 5,2s d) 6,2

b) 5,1 e) 6,1

c) 7,3

Resolución: Graficando:

y luego empleando la ecuación vectorial

t1

1 h = V ot − gt 2 2 − 25 = 20t − 5t2

15m/s

simplificando y luego igualando a cero; para luego factorizar

t 2 − 4t − 5 = 0 t t

A

−5

1

35

(t − 5)(t + 1) = 0 → t = 5s

28m hallando el tiempo que emplea en impactar con el piso «t 1 »

02. Edú lanza una canica con una velocidad V O, hacia arriba. Determine V O, de tal forma que, la distiancia recorrida en el segundo y séptimo segundo son iguales (g=10m/s 2 ). b) 15 e) 40

21m

m

C

Clave: B

a) 10m/s d) 35

B

t2

50m

vectorialmente:

c) 25

h = V ot −

1 2 gt 2

− 50 = 15t1 − 5t12

t12 − 3t1 − 10 = 0

Resolución:

factorizando: (t − 5)(t + 2) = 0 1 1

Para que las alturas sean iguales cuando el lanzamiento es hacia arriba, entonces vectorialmente igualamos.

t1 = 5s hallando el tiempo del sonido que emplea en trasladarse desde C hasta B.

2°

7°

t2 =

35 = 0,1s 350

finalmente el tiempo total será:

Vo

t T = 5 + 0,1 = 5,1s Clave: B

244

FÍSICA I 04. Cuando un ascensor inicia un M.R.U.V con una aceleración de 10m/s 2 hacia arriba, un tornillo se desprende del techo en llegar al piso del ascensor cuya altura es de 2,5m (g=10m/s2). a) 0,5s d) 2

b) 1 e) 2,5

1 2 gt 2

Vectorialmente: h = Vo t −

c) 1,5

−1120 = 10t − 5t 2

Resolución:

t 2 − 2t − 224 = 0 (t + 14)(t − 16) = 0 t = 16s

Analizando el movimiento respecto al ascensor:

Clave: E Vo=0

06. El Prof. Jonacito, lanza desde el piso una pelota de tenis hacia arriba con una rapidez «V», si cada vez que rebota, su rapidez se reduce a la mitad. Determine la distancia que recorre la pelotita hasta detenerse.

g

a)

2V 2 3g

b)

V2 3g

d)

5V 2 3g

e)

8V 2 3g

2

a=10m/s

Hallando la gravedad efectiva (gef) dentro del ascensor.

c)

4V 2 3g

Resolución: Graficando:

gef = −g − a gef = −10 − 10 gef = −20m / s2

H1 H2

Luego hallamos el tiempio que emplea en llegar al piso.

h = Vot +

1 2 gt 2

V

V/2

V/4 V=0

1 g it 2 2 ef 20 2 2,5 = t → t = 0,5s 2 h=

para hallar la altura:

V2 H max = 0 2g

Clave: A 05. Un globo aeros tátic o as c iende vertic almente c on una velocidad de 22m/s y cuando se encuentra a una altura de 1120m, se lanza del globo una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 12m/s. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? (g=10m/s 2 ). a) 30s d) 18

b) 24 e) 16

c) 20

Resolución: Graficando y hallando la velocidad total (V T )

H1 =

V2 2g

H2 =

(V / 2)2 2g

H3 =

(V / 4)2 2g

la distancia recorrida:

d = 2H1 + 2H 2 + 2H 3 + ...∞ t

22m/s 12m/s

10m/s la velocidad total VT=10m/s

d=

V2 V2 V2 + + + ...∞ g 4g 16g

d=

V2 ⎛ 1 1 1 1+ + + + ...∞ ⎟⎞ g ⎜⎝ 22 4 2 8 2 ⎠ 4 3

d=

1120m

4V 2 g Clave: C.

245

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE VII

7.1. MOVIMIENTO C OMPUESTO

Eje x (MRU) se cumplirá:

Es aquel que puede ser analizado como la superposición de 2 o más movimientos simples.

d = Vx • t

Eje y (MVCL) siendo su velocidad vertical inicial cero se cumplirá:

"En todo movimiento compuesto, los movimientos "componentes" pueden ser analizados independientemente, uno del otro; existiendo como parámetro común a ambos: "el tiempo"

h = 1 g t2 2

Ejemplo 1. Cuando un bote cruza un río tendremos dos movimientos simultáneos del río y del bote, si estos tienen un MRU se cumplirá:

7.2.MOVIMIENTO P ARABÓLICO

DE

CAÍDA L IBRE

El movimiento parabólico esta compuesto por un movimiento vertical de caída libre (MVCL) y un movimiento horizontal uniforme (MRU)

⎤ ⎡ movimiento ⎤ ⎡movimiento ⎤ ⎡ movimiento ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ parabólico de⎥ = ⎢horizontal ⎥ + ⎢ vertical de caída ⎥ ⎢⎣ caída libre ⎥⎦ ⎢⎣(M .R.U) ⎥⎦ ⎢⎣libre (MRUV) ⎥⎦ Si obs ervamos el gráfico: vemos que la velocidad cambia constantemente en valor y dirección esto debido a la aceleración de la gravedad, por lo que se hace necesario su análisis en los ejes x e y en forma independiente. Eje x. para la corriente del río (MRU)

d x = Vrío • t Eje y. para el bote (MRU)

d y = Vbote •t Ejemplo 2 . Si lanzamos horizontalmente un objeto desde una determinada altura; se genera dos movimientos una horizontal (MRU) y otra vertical (MRUV) Proyección Horizontal.- Nótese que al analizar ésta proyección no se presenta aceleración por ello que en ésta proyección se tiene un "MRU" d x = Vx • t

246

FÍSICA I Proyección Vertical.- En ésta proyección la aceleración que se presenta es la aceleración de la gravedad por ello que en esta proyección se tiene un MRUV (vertical) y las ecuaciones que utilizaremos serán las mismas del MVCL. * Para la proyección vertical utilizaremos estas ecuaciónes

ECUACIONES ESCALARES

ECUACIONES VECTORIALES

Vf = Vo ± g t

Vf = Vo − g t

V f2= V o2 ± 2 g h

V 2f = V o2 − 2 g •h

h = Vot ± 1 g t 2 2

h = Vot − 1 g t 2 2

h=

F V + V I •t H 2 K f

o

h=

F V + V I •t GH 2 JK f

o

(+) cuando baja (–) cuando sube

* Relación entre la altura máxima y el alcance horizontal

tan θ =

4H L

* Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo

H=

gtv 2 8

Ejm: Si lanzamos un objeto con una velocidad V=50m/s y tomando g=10m/s2 podemos graficar.

x

53°

247

Ojo si deseamos hallar la velocidad en cualquier punto.

Vp

Vy

Vp = Vx2 + Vy 2

Vx

P

*

El alcance horizontal es máximo cuando el ángulo de elevación es 45°.

V 45° Lmax *

Con dos ángulos complementarios se logran los mismos alcances horizontales.

V V α

θ L

α + θ = 90 ° *

La ecuación de la trayectoria.

y

Vo y θ

x x

⎛ Voy y=⎜ ⎜ V ⎝ x

⎛ g ⎞ ⎞ ⎟ x2 ⎟x −⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ 2V ⎠ ⎝ x⎠

⎛ ⎞ g ⎟ x2 y = (tan θ)x − ⎜ 2 2 ⎜ 2V cos θ ⎟ ⎝ o ⎠ x⎞ ⎛ y = x tan θ ⎜1 + ⎟ ⎝ D⎠

248

FÍSICA I

45°

01. Determine el ángulo que forma la velocidad de la esfera y la horizontal luego de 0,2s (g=10m/s 2 ).

45°

5V

4V 53°

10m/s 53° a) 30° d) 53°

3V

3V 45°

3V

La velocidad horizontal (V X =3V) se mantiene constante. b) 37° e) 60°

En el punto de impacto graficamos la velocidad horizontal (3V); como esta veloc idad forma 45° con la horizontal podemos hallar la velocidad vertical que tendrá el mismo valor (V Y=3V).

c) 45°

Resolución: G r afic ando el movi mien to para bóli c o descomponiendo la velocidad de lanzamiento.

B

lue go

Finalmente trabajamos sólo en el eje vertical:

V f = V o − gt

VB

Vy g=10m/s

y

− 3V = 4V − 10(7)

V = 10m / s

α 6m/s

8m/s

Nos piden la velocidad inicial:

10m/s

VO = 5V = 50m / s A

53°

6m/s

Clave: E. 03. Se lanza una esfera en «A» impactando en B sobre el plano inclinado, determine la distancia AB (g=10m/s 2 ).

Verticalmente en el tramo AB

5m/s

V f = V o − gt Vy = 8 − 10(0,2) → Vy = 6m / s

37° A

Luego hallamos el ángulo « α »

tan α =

Vy Vx

B 37°

= 1 → α = 45° a) 4m d) 7

Clave: C

c) 6

Resolución:

02. Se lanza un dardo con una velocidad V, si luego de 7s impacta perpendiculamente sobre el plano, determine V, (g=10m/s 2 )

Descomponemos la velocidad de lanzamiento en los ejes x e y en el punto de lanzamiento.

3m/s

V 53°

a) 10m/s d) 40

b) 5 e) 8

45°

b) 20 e) 50

4m/s A

c) 30

3k

Resolución: Graficando todo el movimiento y haciendo que la velocidad inicial sea igual V O=5V.

5k

4k 37°

Descomponiendo la velocidad de lanzamiento en (dos vertical y horizontal).

249

B

en el eje horizontal se cumple:

Verticalmente:

d = Vx it

h = V ot −

4k = 4it

K = 45 3 t − 5t2................(2)

k = t..................(1)

(1) en (2)

en el eje vertical

15 3t = 45 3t − 5t 2 → t = 6 3s

1 h = V o t − gt2 2

reemplazamos en (1)

− 3k = 3t − 5t2................(2)

K = 15 3(6 3) = 270m

reemplazando (1) en (2)

nos piden la distancia de P hasta Q

− 3k = 3t − 5t2 Luego: k = t =

1 2 gt 2

d PQ = 2K = 540m

6 s 5

Clave: C: 05. Desde un mismo punto en una meseta plana horizontal se lanza 2 proyectiles A y B ambos haciendo un ángulo de 45° r e sp e c t o d e l p is o y r a p id e c e s in ic ia le s V y V B respectivamente. A

Nos piden: d AB = 5k = 6m Clave: C.

VA

04. Se lanza un proyectil con 90m/s, como se muestra en la fig. impactando en «Q», determine la longitud PQ (g=10m/s 2 ).

B

Q

Vo 30°

Si el proyectil «B» logra doble alcance que A. Halle: V

b)

2 2

d) 2

e)

5

c)

3

Resolución:

30°

P

a) 350m d) 550

a) 1

Graficando los dos casos: b) 450 e) 440

c) 540

Resolución: Descomponemos la velocidad de lanzamiento en los ejes x e y.

V

VA

Q 90m/s

60° P

2

5t1

2

5t2

VB 45°

d

2d

K relacionando las alturas:

30°

45m/s

t. 2 VB

45°

2K 45 3m / s

t1 A.

5t12 = d ⎫⎪ t 1 1 ⎬ = 2 t 2 5t 2 = 2d ⎪⎭ 2

K 3

Horizontalmente:

relacionando las hipotenusas de los triángulos

d = Vx t K 3 = 45it

VA t1 = d 2 ⎫⎪ V A × 1 = 1 ⎬ V 2 2 VB t 2 = 2d 2 ⎪⎭ B VA 2 = VB 2

K = 15 3t...............(1)

Clave: B

250

FÍSICA I

MOVIMIENTO CIRCULAR VIII

Es aquel movimiento efectuado por un móvil que describe una trayectoria circular. Durante un movimiento circular el móvil avanza recorriendo simultáneamente una longitud de arco y barre un ángulo central respecto al centro de la circunferencia.

Oscilación < > ciclo < > vuelta < > revolución

8.2. M OVIMIENTO C IRCULAR U NIFORME (MCU) 8.2.1. Velocidad Tangencial (V) .- Denominada también

8.1. D EFINICIONES PREVIAS

Angulo Central o Desplazamiento Angular ( θ ).- Es el ángulo

*

velocidad lineal o instantánea, es aquella magnitud física vectorial que indica la dirección del móvil en un punto de su trayectoria y su rapídez. La dirección de esta velocidad es tangente a la curva.

central que barre el móvil con respecto a un observador ubicado en el centro de la circunferencia.

*

V está contenida en el plano de rotación.

Longitud de Arco (S).- Es aquella magnitud física que nos expresa la distancia recorrida por el móvil.

Si el movimiento es uniforme se cumplirá:

V = s t

S = θ •R Donde: R : radio de la circunferencia (m)

θ

Período (T).- Es el tiempo que emplea un móvil en realizar una vuelta completa.

Periodo Periodo Periodo Periodo Periodo

tiempo total Nº de vueltas

V = 2𠕃 R

8.2.2. Velocidad Angular (ω) .- Es aquel vector que nos indica la rapidez con que gira un cuerpo rígido o un radio vector.

: ángulo central (rad)

T =

(m/s) también:

*

ω : es perpendicular al plano de rotación.

*

V⊥ω

(s)

de rotación de la Tierra = 23h56min4s del horario de un reloj = 12h del minutero de un reloj = 60 minutos del segundero = 60s de la luna = 27 días 7h

Frecuencia (ƒ).- Es aquella magnitud física que nos expresa el número de vueltas realizado por un móvil en cada unidad de tiempo.

Nº de vueltas ƒ= 1 = T tiempo total

ω = θ t

⎛ rev ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ S ⎠ *

251

⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ También: ω = 2 π ƒ ⎝ s ⎠

Relación entre V y ω : V = ω R

Aceleración Centrípeta La única razón que justifica los cambios de velocidad es la existencia de una aceleración. Sin embargo, si sólo cambia la dirección de la velocidad sin que altere su módulo, ello solo puede deberse a un tipo especial de aceleración denominado aceleración centrípeta. *

La aceleración centrípeta es un vector que apunta hacia el centro de la circunferencia.

*

En todo movimiento en el cual varíe la dirección de la velocidad existirá una aceleración centrípeta.

| V | = constante

2 ac = V = ω 2 R R

P OLEAS U NIDAS

POR

FAJAS

O

V = s t ⎛m⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝s ⎠

C ADENAS

ω = constante

ω = θ t

ωA •RA = ω B R B

VA = VB

8 .3 . AC ELER AC I ÓN A NG ULAR ( α ) La aceleración angular es una magnitud vectorial que produce variaciones en la velocidad angular (ω) en un intervalo de tiempo(t).

VA = VB = VT ω A •R A = ωB •R B

RUEDAS S OLIDARIAS ( EL

MISMO EJE)

*

α siempre es perpendicular al plano A. Entonces matemáticamente expresaremos:

α = I.

ωA = ωB VA V = B RA RB

* 1. 2.

Conclusiones La trayectoria es una circunferencia. En el MCU la rapidez es constante más no la velocidad ya que cambia su dirección

3. 4. 5. 6.

V siempre es tangente a la circunferencia. La partícula barre ángulos iguales en tiempos iguales. El módulo de la aceleración centrípeta es constante. La velocidad angular es constante.

252

ωƒ − ωo t

F rad I Hs K 2

Si la velocidad angular aumenta uniformemente.

FÍSICA I II.

Si la velocidad angular disminuye uniformemente.

Comparación entre las ecuaciones del M.R.U.V. y el M.C.U.V.

V

M.R.U.V.

M.C.U.V.

V f = Vo ± at

ω f = ω o± α t

f2

ω ƒ2 = ω

= Vo 2 ± 2a d

8.4.

A CELERACIÓN

TANGENCIAL

(a T )

I.

o

OP Q

+ Vf •t 2

dnº = Vo + 1 a(2n − 1) 2

En el MCUV cambia la dirección y el módulo de la velocidad tangencial o lineal (V), por lo tanto existirán dos aceleración; una que cambia la dirección (ACELERACIÓN CENTRÍPETA y otra que cambia el módulo (ACELERACIÓN TANGENCIAL)

TEN DR EMOS

LM V N

± 2α θ

θ = ωo • t ± 1 α t2 2

h = Vo • t ± 1 a t 2 2 h =

2 0

θ = θ

nº =

LM ω N

o+

2

ω

f

OP • t Q

ω o + 1 α (2n − 1) 2

(+) movimiento acelerado (–) movimiento desacelerado

D OS C AS OS :

8. 5. A C E LE R AC I Ó N T O T A L ( D E N O M I N A D O ACELERACIÓN INSTANTÁNEA) ( a )

Cuando el módulo de la velocidad tangencial aumenta.

T AM B I É N

Cuando se produce un movimiento curvilíneo variable se comprobará que la velocidad tangencial cambia tanto de dirección como de módulo. Para estos cambios se produzca deberá existir una aceleración centrípeta (a c ) para lo primero y una aceleración tangencial (a T ) para lo segundo. Esto significa que la partícula experimenta una aceleración total (a)

Mov. Acelerado II.

Cuando el módulo de la velocidad tangencial disminuye.

Mov. Desacelerado Matemáticamente tendremos:

aT =

Vƒ T − Vo T t

m / s2

También: a T = α• R T

C ONCLUSIÓN : *

En el MCUV la aceleración angular (α) permanece constante.

*

La aceleración angular (α) y la velocidad angular (ω)

*

La aceleración angular (α) es perpendicular al plano de rotación.

*

La aceleración tangencial (a T ) es perpendicular a la

Donde:

son colineales.

ac : aceleración centrípeta (m/s 2 ) a T : aceleración tangencial (m/s 2 )

a: aceleración instantánea (m/s 2 )

aceleración centrípeta (a C )

253

ωP = ωC VP VC = ................(1) RP RC 01. Desde que altura se debe dejar caer la piedra para que pase por el agujero cuando el disco haya girado 3 vueltas, la

Por la ley de senos hallamos RP

rapidez angular del disco es 6πrad / s (g=10m/s 2 ).

37°

Vo=0 ω=cte

RP

h

a) 2cm d) 15

b) 5 e) 25

R 106° 37°

R

RP

R = sen106° sen27° 8 RP = R 5

c) 3

Resolución: Por la ecuación del MCU. en (1)

θ 3 vueltas 3(2πrad) t= = = ω 6 πrad / s 6π rad / s

VP 5 = → VP = 8m / s 8 R . R 5

t=1s En t=1s el objeto, partiendo del reposo desciende una altura «h»

h=

Clave: E 03. Los móviles describen MCU con periodos de 30 y 70s. ¿Luego de cuántos segundos a partir del instante mostrado logran cruzarse por segunda vez?

1 2 1 gt = (10)(1)2 = 5m 2 2

V2

Clave: B 02. El disco mostrado rueda sin resbalar, si la rapidez de su centro es 5m/s, halle el valor de la velocidad del punto «P».

P

V1

a) 28,5s d) 16,5

37°

b) 31,5 e) 20

c) 17

Resolución: a) 3m/s d) 6

b) 4 e) 8

Conociendo los períodos podemos hallar sus velocidades angulares de los móviles.

c) 5

Resolución: Respecto al punto de apoyo todos los puntos tienen la misma velocidad angular.

VP

P 37°

RP

R

5m/s

C 37° R

254

ω1 =

2π 2π π = = rad / s T1 30 15

ω2 =

2π 2π π = = rad / s T2 70 35

FÍSICA I El tiempo para encontrarse por primera vez.

05. Desde el reposo se da la partida de un móvil con MCUV. Halle la rapidez lineal del movil luego de 2s de movimiento. Si en ese instante, la aceleración normal es 2 3m / s 2 y forma 30° con la aceleración.

V2

a) 2m/s d) 8

θ= πrad

b) 4 e) 10

c) 6

Resolución: Graficando el móvil luego de 2s de movimiento.

V1

Conociendo la aceleración centrípeta podemos hallar la aceleración tangencial

θ π = π π ω1 + ω2 + 15 35 t1 = 10,5s t1 =

2

/s 3m 30° 2

El tiempo que emplean para cruzarse por segunda vez: En este caso el ángulo de separación es 2πrad

t2 =

2π → t 2 = 21s π π + 15 35

V − VoT a T = fT t VfT 2= 2 VfT = 4m / s

t T = t1 + t 2 = 31,5s Clave: B 04. Un móvil des cribe una c ircunferencia de 9m de radio. Determine la rapidez lineal del móvil en el instante en que su aceleración de módulo 15m/s 2 forma 37° con su velocidad. b) 6 e) 15

Clave: B

c) 9

06. Una partíc ula se mueve sobre una c irc unferenc ia con movimiento un ifor memente variado, de ac uerdo a la

Resolución:

ecuación θ = 7 + 3t 2 − 5t , donde θ está en radianes y t en

Graficando dicho instante:

segundos. Calcule su rapidez angular al cabo de 6s de iniciado su movimiento.

V

2

/s

a) 36rad/s d) 31

37°

9m

R=9m

2

F inalmente, en la relación hallamos la veloc idad final tangencial.

Finalmente sumamos los tiempos:

a) 3m/s d) 12

a T=2m/s

VO=0

12m/s 15m/s

b) 42 e) 39

d) 28

Resolución:

2

Conociendo la ecuaicón de la posición es posible hallar la velocidad mediante la primera derivada.

2

θ = 7 + 3t2 − 5t derivamos: Descomponiendo la aceleración instantánea podemos hallar la aceleración tangencial (12m/s 2 ) y la aceleración centrípeta (9m/s 2 ).

ω = 6t − 5

Hallamos el módulo de la velocidad tangencial:

Si: t=6s

aC =

V2 V2 →9= → V = 9m / s R 9

ω = 31rad / s Clave: D Clave: C

255