Fisica Y Quimica - Fisica Bup

© Julio Anguiano Cristóbal

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Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal. Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler Ley de Newton de la gravitación universal. Bases de la Gravitación Universal. Conceptos de masa inercial y masa gravitatoria. Campo y potencial gravitatorios. Energía potencial gravitatoria de una masa puntual. Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales. Ley de Gauss para el campo gravitatorio. Aplicaciones del teorema de Gauss Campo gravitatorio terrestre. Variación de g con la altura. Energía potencial gravitatoria terrestre Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape. Energía mecánica de un satélite en órbita. Velocidad de escape Trabajo sobre un satélite: a) para situarlo en una órbita de altura h y, b) para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre. Problemas propuestos de Interacción Gravitatoria Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios: Modelo geocéntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a través de los polos Norte y Sur de la Tierra y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrógrado del planeta Marte no se comprendía con este modelo y fue el problema durante 2000 años. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (círculo que se suponía descrito por un planeta alrededor de un centro que se movía en el deferente) alrededor de una curva deferente (círculo que se suponía descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epiciclos -deferente- que se utilizó hasta el siglo XVI. Modelo heliocéntrico: Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló un modelo más sencillo para entender el Universo. Esto se debió a que con la obtención de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocéntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Copérnico se plantea que las dificultades tenían su origen en la teoría y propone el modelo heliocéntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tiene como objetivo eliminar las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Copérnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema sea prácticamente inercial y, por tanto, más sencillo en su descripción. En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) publicó las leyes del movimiento planetario. Kepler analizó las observaciones astronómicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y publicó en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocéntrico pero considerando órbitas elípticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripción cinemática del movimiento planetario, pero no nos informan por qué los planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se publicó diez años después de las dos primeras. Leyes de Kepler: 1)

Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la elipse.

2)

La línea que conecta un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3)

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse de sus órbitas.

En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relación con Kepler, verificó con ayuda de un telescopio que los satélites de Júpiter cumplían leyes análogas a las de Kepler, respecto de éste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptación definitiva del Sistema Copernicano. Ley de Newton de la gravitación universal.Las leyes de Kepler proporcionan una descripción de cómo se mueven los planetas, pero no explican por qué se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontrar una expresión que describe la fuerza a la que están sometidos los planetas en

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sus órbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de Gravitación Universal que fue publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". Enunciado de la ley de gravitación universal: “la interacción gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”: G G G G Mm rG rG = − ⇒ = F = −G Mm u G u r r r r2 r3 M

ur

F

F

m

El vector de posición tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extremo en el centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. Bases de la Gravitación Universal: 1ª) Los planetas describen órbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atractiva, ya que si fuese repulsiva la órbita no sería cerrada. 2ª) Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central. Demostración: sea A el área barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea constante dr r A=(r·dr)/2

G G 1 G dA = r × dr 2 G G dA = 1 rG × dr = 1 rG × vG = 1 LG = cte. dt dt 2 2 2m

Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angular sea constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central: G G G dL = rG × F ext = M dt G G G G L = cte. ⇒ M = 0 ⇒ r & Fext La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. Otro aspecto, muy importante, es determinar la relación de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determinó, realizando una serie de cálculos matemáticos basados el análisis de las órbitas elípticas, que para que las órbitas elípticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra. Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza está asociada con la “cantidad de materia” o masa gravitatoria, en cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determinó la constante de proporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante de gravitación universal y que no depende del medio. 3ª) Para comprobar la 3ª ley de Kepler, vamos a consideremos órbitas circulares, en las cuales se ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria

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2 m v = G Mm r r2

⇒

v = GM r 2

 v2 = G M  r     2  v2 = 2π r2    T

⇒

( )

2 T 2 = 4π r 3 GM

Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria: G G G  F12 = −F21 a m1 La masa inercial se obtiene de  G ⇒ = − G2 G m2 a1  m1a1 = −m2a 2 Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las demás. G G La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso Fpeso = −mg D ur y la aceleración de la gravedad de la ley de gravitación universal g D = G

MT ≈ 9,8 m2 , lo que nos indica que g0 es independiente de R 2T s

la masa m del cuerpo que cae. Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleración. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravitatoria en la superficie de la Tierra (peso) sería igual G M T mg Fpeso = mi g D = G ( R T )2

⇒

gD = G

mg ( R T ) mi MT

2

Si la relación entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleración g0 será diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son indistinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria. La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae: G M m Fpeso = mg D = G T2 RT

⇒

MT =

g DR 2T G

Campo y potencial gravitatorios.Se llama Campo Gravitatorio a la situación física por la cual al colocar una masa en dicho campo ésta experimenta una interacción o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravitatorio un campo vectorial de fuerzas. Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interacción gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada posición dada por la ley de gravitación universal. Es decir, que la interacción entre las masas, m y M, va a depender de sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio podemos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M. En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad N·kg-1=m·s-2 : G G G g = lim F = −G M2 ur m→0 m r g M

ur g

La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la dirección y sentido hacia el centro de masas de la masa M.

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La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posición de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, la circulación del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final y la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Decimos entonces que en cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gravitatorio. Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravitatorio o campo G G gravitatorio g ⋅ dr = −dU Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo f

G G g ⋅ dr = −

∫ ∫ G G C = g ⋅ dr = 0 v∫ C=

i

f

i

G

f G MG  −G M  = −  −G M −  −G M   = − U − U = −∆U u ⋅ dr = − ( f    r i)  r  i rf  ri   r2 

M

La Representación gráfica un campo gravitatorio se hace mediante las líneas de fuerza. Una línea de fuerza se dibuja de tal forma que en cada punto la dirección del campo es tangente a la línea que pasa a través del punto. Por convenio, las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que su densidad es proporcional a la intensidad del campo. El campo gravitatorio, alrededor de una masa M, tiene las líneas de fuerza radiales y dirigidas hacia la masa M y las superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo gravitatorio, debido a una masa M, tienen simetría esférica. Energía potencial gravitatoria de una masa puntual: Si colocamos una masa, m, en un punto del espacio donde existe un campo gravitatorio, la fuerza que experimenta es el producto del valor de la masa m, que es escalar, por el vector intenG G sidad del campo gravitatorio en ese punto: F = mg . La fuerza tiene la dirección y sentido de la intensidad del campo gravitatorio en ese punto. Al ser el campo gravitatorio conservativo, la fuerza gravitatoria, es una fuerza conservativa. Por lo que en cada punto de un campo vectorial de fuerzas gravitatorias, podemos definir un potencial escalar, asociado a dicha fuerza, llamado energía potencial gravitatoria. Deducción:

∫ = ∫

Wpor = Wpor Wpor

f

i

G G Fg ⋅ dr

f G G    ur ⋅ dr = −  −G Mm  = −  −G Mm −  −G Mm   = −∆Ep(g ) = −m∆U −G Mm 2  r i rf ri   i r   f G G = Fg ⋅ dr = −∆Ep(g ) = − Wsobre f

∫

i

La energía potencial gravitatoria Ep(g ) = −G Mm = mU , es una propiedad del sistema de r dos partículas y no de una de ellas. No hay forma de dividir esta energía y saber cuanto le corresponde a una partícula y cuanto a la otra. Sin embargo, si una de las masas es muy superior a la otra (M>>m) se habla de la energía potencial de la menor m. Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales: Si tenemos una distribución de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Superposición: El campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El po-

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tencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada una de las masas

G G G g = g1 + g 2 + ... =

n

∑

i =1 n

U = U1 + U2 + ... =

 M G  G M G   g i =  −G 21 ur1  +  −G 22 ur2  + ... =     r1 r2    

∑U i =1

i

M  M    =  −G 1  +  −G 2  + .... = r1   r2  

n



Mi G  uri  2   i

∑  −G r

n

i =1

∑  −G r

Mi   i 

i =1

La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposición, que nos dice que la fuerza total sobre una partícula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por todas las demás partículas consideradas al mismo tiempo; la energía potencial para un sistema de partículas será la suma de las energías potenciales de cada par de partículas: n

G G G F = m ( g1 + g 2 + ...) = m

∑g G

G = mg

i

i =1

n

∑U

Ep = m ( U1 + U2 + ...) = m

i

= mU

i =1

Ley de Gauss para el campo gravitatorio.La ley del físico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie. Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a través de una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravitatorio por el vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al área y cuya dirección es normal al plano del área). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad del campo, del valor del área de la superficie y del ángulo entre los vectores respectivos (o de las orientaciones relativas).

g

S

+

dS dS

-

Expresiones del flujo a través de una superficie plana, S, y a través de una superficie irregular, que la dividimos en diferenciales de superficie dS: G G G G Φ = g ⋅ S = g ⋅ S ⋅ cos θ G G Φ = g1 ⋅ dS1 + ... = lim

n→∞

n

G

G

∑ g ⋅ dS = ∫∫ g ⋅ dS G

i

G

i

i =1

El flujo del campo gravitatorio, a través de una superficie, nos mide la cantidad de líneas del campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a través de una superficie Gausiana esférica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M será: n

Φ = lim

n→∞

G

G

∑ g ⋅ dS = w ∫∫ g ⋅ dS G

i

G

i

i =1

G G  G M G  Φ = g ⋅ S =  −G 2 ur  ⋅ 4πR 2ur = −4πGM  R 

(

Demostración infinitesimal:

)

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G G  G MG  dΦ = g ⋅ dS =  −G 2 ur  ⋅ ( rdθr sen θdφ·ur ) = −GM sen θdθdφ  r  2π π G G 2π π Φ= g ⋅ dS = −GM sen θdθ dφ = − GM [ − cos θ]0 [φ]0 = −4πGM

∫∫

∫

∫

0

0

z

dr r·d θ

θ

r y

x

Ø

r·senθ ·dØ

Enunciado de la ley de Gauss: “El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual a Φ = −4πGM , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribución de masas cuya suma es Mtotal.” En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a través de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo número de líneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la superficie cerrada, menos líneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay fuentes del campo que son las masas. Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gravitatorio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de tamaños mucho más pequeños que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaños de las masas no se pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto del campo, es más sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro de masas.

M R u

r

r

dS

Esfera imaginaria de radio r

En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss G G G G Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr 2ur = −4πGM G G g = − GM ur r2 El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde su centro de masas. b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esférica, de radio R, en un punto de su interior y a una distancia r de su centro de masas.

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M g

R

R

r

0 lineal r

r

1/r²

Esfera imaginaria de radio r

Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de masas de M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss G G G G Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr 2ur = −4πGm G G g i = −G m u 2 r r Si la esfera es homogénea su densidad permanece constante: ρ=

4 3

M = πR 3

4 3

m πr3

3 m = M r3 R

⇒ 3

M r3 G G G G m g i = −G 2 ur = −G R ur = −G Mr u 2 3 r r r R

El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia desde su centro de masas. Si se considera la Tierra homogénea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su centro de la Tierra. La velocidad con la que llega será calculada de la siguiente forma, si vi=0; ri=RT; rf=0 W = ∆Ec = −∆Ep W=

∫

f

i

G G mg i ⋅ dr =

W = ∆E c = vf = G

∫

f

i

f

−mG

1  G MT r G M ur ⋅ dr = −  mG 3T r 2  3 RT R T  i  2

  1 M m 1 1 M m mv 2f − 0 = − 0 − G T3 R 2T  = G T3 R 2T 2 2 RT RT   2

MT m RT

Campo gravitatorio terrestre. Satélites.El movimiento de los satélites viene regido por el campo gravitatorio terrestre. Para analizarlo, vamos a estudiar el campo gravitatorio terrestre considerando cómo varía éste con la altura, cómo varía la energía potencial gravitatoria y posteriormente analizaremos el movimiento de los satélites artificiales. Campo gravitatorio terrestre; variación de g con la altura: A mayor altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio terrestre disminuye. Sean MT y RT la masa y el radio de la Tierra. Si aplicamos el teorema de Gauss para el cálculo del campo gravitatorio a una distancia r>RT del centro de masas de la Tierra y exterior a ella, es decir, r=RT+h, siendo h la distancia desde la superficie terrestre o altura: G G G G Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr2ur = −4πGMT G G M G MT g = −G 2T ur = −G u 2 r r (R T + h)

Energía potencial gravitatoria terrestre: La energía potencial gravitatoria de una masa, m, en el campo gravitatorio terrestre disminuye con la altura h.

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Ep(g )

G G F ⋅ dr =

f

G  MT m G M m M m  M m   ur ⋅ dr = −  −G T  = −  −G T −  −G T   = −∆Ep(g ) r i r ri   i i r2   f  M m MT m = − G T = −G r RT + h

Wpor =

∫

f

∫

f

−G

Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape.Cuando un satélite está girando alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular está sintiendo la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es atractiva y perpendicular al desplazamiento, por tanto, la fuerza gravitatoria no realiza trabajo sobre el satélite y éste no varía su energía cinética. Al no variar la energía cinética del satélite no cambia el módulo de su velocidad. Sin embargo, el satélite está sometido a una fuerza, la gravitatoria, y ha de experimentar una aceleración que se invierte en cambiar la dirección de la velocidad. Velocidad orbital: G dv G G at = 0 = u dt t i G G G G G G G M mG Fg = −G T2 ur = ma = m ( a t + a n ) = ma n = Fn = Fcentrípeta r G v2 G M G a n = −G 2T ur = − orb ur r r Wpor = ∆Ec =

vorb = G

∫

f

G G F ⋅ dr = 0

⇒

G v = cte

⇒

MT MT = G r RT + h

Existe una relación entre velocidad orbital, altura y periodo. Un satélite a una altura ha de tener una velocidad orbital única y un periodo fijo. vorb = ω ⋅ r = 2π ⋅ r = 2π ⋅ ( R T + h ) T T 2π ( R T + h ) T= v orb

Energía mecánica de un satélite en órbita: Un satélite, de masa m, girando alrededor de la Tierra, a una distancia r del centro de masas de la Tierra, es decir, a una altura h sobre la superficie tiene una energía mecánica total que es la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria: Emecánica = Ecinética + Epotencial(gravitatoria) M m M M m M m MT m Em = 1 mv2orb − G T = 1 mG T − G T = − 1 G T = − 1 G 2 r 2 r r 2 r 2 (R T + h)

La energía mecánica total es la suma de la energía cinética, que es siempre positiva, y de la energía potencial gravitatoria, que es negativa. La energía potencial gravitatoria es el doble, en valor absoluto, que la energía cinética por lo que la energía mecánica total del satélite en órbita es negativa. Newton, haciendo los cálculos necesarios, demostró: 1º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese cero, la órbita no sería una elipse (órbita cerrada) sino una parábola. Por tanto, el satélite se escaparía del campo gravitatorio terrestre. Esto ocurre cuando la energía cinética, en valor absoluto, es igual que la energía potencial gravitatoria. 2º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese mayor que cero, la órbita sería una hipérbola. Es decir, si la energía cinética del satélite en órbita fuese mayor, en valor absoluto, que la energía potencial gravitatoria la energía del satélite sería positiva y se escaparía del campo gravitatorio. Velocidad de escape:

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Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra hemos de conseguir que la energía mecánica total sea cero. Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra se calcula de la siguiente forma: M m Em = 0 = 1 mv2esc − G T 2 RT v2esc = 2G

MT R2 = 2g D T = 2g DR T RT RT

vescape = 2g DR T

Es independiente de la masa del satélite, aunque el empuje requerido para acelerarlo, que será el producto de la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha velocidad, y obtener esa velocidad sí depende de la masa. En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido a que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el sentido de giro de la Tierra, es decir, en sentido Oeste-Este ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería menor. Y, si el lanzamiento se hace cerca del Ecuador mayor será esa velocidad relativa. Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre sería: MT m Em = 0 = 1 mv2esc − G 2 (R T + h) v2esc = 2G

MT m R 2T = 2g D (R T + h) (R T + h)

vescape = 2g D

R 2T (R T + h)

Trabajo sobre un satélite: Para colocar un satélite, en una órbita determinada, el trabajo que tienen que realizar los motores sobre el satélite, es decir, en contra de las fuerzas del campo gravitatorio, se invierte en incrementar su energía mecánica total: Wneto =

∫

f

i

G G Fneta ⋅ dr =

G

f

G

f

G

f

G

G G G ∫i (Fg + Fmotor ) ⋅ dr =∫i Fg ⋅ dr + ∫i Fm ⋅ dr = −∆Ep(g ) + Wmotor

Wneto = ∆Ec = −∆Ep(g ) + Wmotor

(

Wmotor = ∆Ec + ∆Ep(g ) = Ec + Ep(g )

)f − ( Ec + Ep(g ) )i

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde la superficie de la Tierra para situarlo en una órbita de altura h:

(

Wmotor = Ec + Ep(g )

)f − ( Ec + Ep(g ) )i

1 MT m   MT m  MT m M m 1 Wmotor =  mv2orb − G +G T >0  −  −G R  = − G RT R + h R + h 2 2 ( ) ( ) T  T T   

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde una órbita de altura hi para situarlo en otra órbita superior de altura hf:

(

Wmotor = Ec + Ep(g )

)f − ( Ec + Ep(g ) )i

1 MT m   1 MT m  2 Wmotor =  mv 2orb − G  −  mvorb − G ( R T + h ) f  2 ( R T + h ) i 2  1 MT m   1 MT m  Wmotor =  − G  − − G R h R + ) f  2 ( T + h ) i  2 ( T

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El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en la superficie de la Tierra para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape

(

Wmotor = Ec + Ep(g )

)f − ( Ec + Ep(g ) )i

M m  M m 1 1 2 2 − G T  −  0 − G T  = mvesc Wmotor =  mvesc R R 2 2   T f T i M m M m   Wmotor = ( 0 )f −  0 − G T  = G T = g ºR T m R T i RT 

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en una órbita a una altura h para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: En una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape

(

Wmotor = Ec + Ep(g )

)f − ( Ec + Ep(g ) )i

1 MT m   1 MT m  1 1 2 2 2 2 Wmotor =  mvesc −G  −  mv orb − G  = mvesc − mvorb 2 ( R T + h ) f  2 ( R T + h ) i 2 2 2 1 MT m  MT m 1 1 g ºR T m Wmotor = ( 0 )f −  mv2orb − G = + G = 2 (R T + h) 2 (R T + h) ( R T + h ) i 2

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Problemas de Interacción Gravitatoria.- G=6,67·10-11 Nm2kg-2; RT= 6,37·106 m; g0=9,80 ms-2. 1) Dos partículas, de masa m, están fijas en los puntos (a; 0) y (-a; 0). Calcular: a) campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función de la ordenada del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0; b) al pasar por el origen. [a) gy=-(2Gmy)/(a2+y2)1,5; b) v=[4Gm((a2+b2)½-a)/(a(a2+b2)½)]½] 2) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0; 0). Calcular: a) punto del eje OY en el que habría que colocar otra masa puntual de 6 kg para que una partícula libre, de 2 kg, se encuentre en reposo en el punto (0;2) m; b) energía potencial gravitatoria de la partícula libre. [a) (0;2+(3)½) m ; b) - 9,96·10-10 J] 3) Calcula: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad; b) el potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6.370 km de distancia de la Tierra. [a) 2.638 km; b) U=-31,3 MJ/kg] 4) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad de 1.000 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará; b) repetir el cálculo despreciando la variación de g con la altura y comparar el resultado con el del apartado anterior. [a) 51.274,7 m ; b) 51.020,4 m] 5) Calcula: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie terrestre hasta una altura igual al radio de la Tierra; b) velocidad con que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura. [a) W=+6,26·108 J; b) 7.912 m/s] 6) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) la velocidad orbital del satélite; b) la aceleración del mismo. [a) 3.957 m/s=14.243 km/h; b) 0,61 m/s2] 7) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcula: a) la velocidad del satélite; b) el radio de la órbita. [a) 11.071 km/h; b) 42.167 km ó 36.000 km de altura] 8) Calcula la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una altura de 2.000 km sobre dicha superficie. [a) 40.286 km/h; b) 35.145 km/h] 9) Un objeto que pesa 686 N en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie de un planeta cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) peso del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída desde una altura de 20 m sobre la superficie del planeta. [a) 1376 N; b) 1,4 s] 10) Calcula el campo gravitatorio en el interior de la Tierra. Posteriormente, determina la velocidad con la que llegaría un objeto que se deja caer desde la superficie de la Tierra, a través de un agujero a lo largo de un diámetro, al centro de la Tierra. v2 = GMT m ( R T )

−1

11) Se desea situar un satélite artificial, de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual al doble del radio terrestre. Calcule: a) la energía que hay que comunicar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.[a) 2,40 GJ; 5,64 km/s; b) 8 GJ] 12) Se desea situar un satélite artificial, de 100 kg de masa, en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual a 2,5·RT. Calcule: a) la energía que hay que comunicar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. [a) 5 GJ; 5 km/s; b) 1,25 GJ] 13) Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?. b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. Con qué velocidad llega a la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida. Razone las respuestas. 14) A una altura de 500 km giran dos satélites de masa 1000 kg, cada uno, describiendo la misma órbita circular, pero en sentido contrario, con lo que chocarán. Si la colisión es totalmente inelástica calcula: a) la energía mecánica inmediatamente después de la colisión; b) la velocidad con la que llegan al suelo si despreciamos el rozamiento con la atmósfera terrestre. Datos: g0=9,8 m·s2; R =6,37·106 m. [a) -1,16·1011J; b) 3014 m/s] T

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15) Un satélite, de 1000 kg, está girando alrededor de la Tierra en una órbita circular a una altura de 350 km. a) ¿Cuál es la energía mecánica del satélite?. b) ¿Cuál es la energía que se ha gastado para colocarlo en dicha órbita?. Datos: G=6,67·10-11N·m2·kg-2; g0=9,8 m·s-2; RT=6370 km. [a) 2,96·1010J; b) 3,28·1010J] 16) Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja caer libremente. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre. b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?. Datos: G, RT y MT.

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INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Interacción electrostática. Ley de Coulomb Campo y Potencial electrostáticos. Líneas del campo y superficies equipotenciales. Energía potencial electrostática. Ley de Gauss para el campo electrostático. Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos. Polarización. Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica Condensadores. Energía almacenada en un condensador cargado. Asociación de condensadores: serie y paralelo Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático. Campo magnético: origen y efectos Origen del campo magnético. Campo magnético producido por una carga eléctrica. Efectos del campo magnético. Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo. Efectos del campo magnético sobre una espira rectangular. Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento. Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético. Dipolos magnéticos Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento relativo Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movimiento Ley de Ampère. Aplicaciones de la ley de Ampère Comparación entre los campos electrostáticos y magnético estacionario Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday. Ley de Faraday-Henry de la inducción electromagnética Enunciado de la ley de Lenz. Autoinducción e inducción mutua. Transformadores Autoinducción. Energía almacenada en una bobina Inducción mutua. El Transformador. Detectores de metales Problemas propuestos de electromagnetismo Interacción electrostática. Ley de Coulomb.son:

El origen de la interacción eléctrica son las cargas eléctricas. Los aspectos más importantes

1)

Existen dos tipos de interacción, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de cargas eléctricas, positivas y negativas.

2)

La interacción atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interacción repulsiva entre las cargas del mismo tipo.

3)

Las cargas eléctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantificación de la carga eléctrica, se ha observado en la naturaleza, que son múltiplos de la carga elemental que es la carga del electrón, de valor -1,6·10-19 C. La conservación de la carga es un principio a considerar, ya que la carga eléctrica se puede mover a través de un objeto, pasar de un objeto a otro pero no se destruye.

Charles Augusto Coulomb (1736-1806) realizó una serie de experimentos para determinar la interacción entre dos cargas puntuales y llegó a la siguiente expresión, conocida como ley de Coulomb: “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo o en movimiento relativo muy lento, es directamente proporcional al producto del valor de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y su dirección es a lo largo de la línea que une las dos cargas. La interacción depende siempre del medio”. G G r u = G r G r Qq G Qq G  Fe = K e G 2 ur = K e G 3 r  r r K e = 1 = 1 4πε 4πεD εr 

1 , siendo 4πε ε = εD εr un parámetro (llamado permitividad) que depende de las propiedades eléctricas del medio, su valor es igual al producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio. Las propiedades eléctricas del medio que se expresan por la constante K e =

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Campo y Potencial electrostáticos.-

Concepto de campo electrostático creado por una carga puntual Q: Existe un campo electrostático en una región del espacio si al colocar una carga eléctrica ésta experimenta una fuerza eléctrica. La intensidad del campo electrostático creado por la carga puntual Q, en reposo, en un punto del espacio es una magnitud vectorial definida G G F Q G E = lim = K e 2 ur q →0 q r La intensidad del campo electrostático creado por una carga Q, en un punto del espacio, depende del vector de posición de dicho punto. Por tanto, el campo electrostático es un campo conservativo ya que la Circulación del campo electrostático no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final. Es decir, la Circulación del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Y decimos que en cada punto del campo electrostático podemos definir un potencial electrostático. G G E ⋅ dr =

f

 G  Q G Q Q Q u ⋅ dr =  −K e  = −  K e − K e  = −∆Ve 2 r r i rf ri  i i r   G G E ⋅ dr = −dVe f G G  G G C = E ⋅ dr = −∆Ve ⇒  i C = E ⋅ dr = 0

C=

∫

f

∫

f

Ke

∫

v∫

Concepto de potencial electrostático debido a una carga puntual Q: V = K e

Q r

Líneas del campo y superficies equipotenciales:

+

-

Energía potencial electrostática:

Si colocamos una carga eléctrica, q, en un punto del espacio, en el que existe un campo G G electrostático, experimenta una fuerza eléctrica que viene dada por Fe = qE . Al ser el campo eléctrico conservativo, la fuerza eléctrica también es conservativa. Por tanto, podemos definir en cada punto del campo eléctrico en el que coloquemos una carga q una magnitud escalar llamada energía potencial del campo electrostático asociada a la carga. Si el campo electrostático está creado por una carga Q:

∫

Wpor

∫

Ep(e)

f

f

G  Qq G Qq  Qq   Qq ur ⋅ dr =  −K e = − K e − Ke = −∆Ep(e)  2 r r ri  i r  i  f G G Fe ⋅ dr = −dEp( e ) f G G  = Fe ⋅ dr = −∆Ep(e) ⇒  G G i C = Fe ⋅ dr = 0  Qq = Ke r

Wpor =

Ke

v∫

La variación de energía potencial electrostática al cambiar de posición la carga q es igual al producto del valor de la carga q por la variación del potencial electrostático entre esos dos puntos: Wpor = −∆Ep(e) = −q∆Ve Campo y potencial electrostáticos de una distribución de cargas puntuales: Si tenemos una distribución de cargas puntuales (Q1, Q2, Q3, ..., Qn), para calcular el campo eléctrico en un punto del espacio aplicamos el Principio de Superposición:

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“El campo electrostático, producido por un conjunto discreto de cargas puntuales, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos electrostáticos debidos a cada una de las cargas G G G Q G Q G E = E1 + E2 + ... = K e 21 ur1 + K e 22 ur2 + ... = r1 r2

n

∑K i =1

e

Qi G ur ri2 i

Y, el potencial electrostático en el mismo punto es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas Ve = V1 + V2 + ... = K e

Q Q1 + K e 2 + ... = r1 r2

n

∑K i =1

e

Qi ri

Ley de Gauss para el campo electrostático: La ley de Gauss para el campo electrostático relaciona los campos electrostáticos, en la superficie Gausiana que es una hipotética superficie cerrada, y las cargas encerradas por dicha superficie. Por otra parte, la ley de Gauss relaciona el flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) con la carga neta, qneta, que está dentro de dicha superficie.

El enunciado de la ley de Gauss nos dice: “El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) es igual a la carga neta, qneta, que está en el interior de dicha q superficie dividido por la permitividad del vacío Φ = neta .” εD El flujo total de las líneas del campo eléctrico, a través de una superficie Gaussiana, nos mide la cantidad de líneas del campo que pasan a través de dicha esa superficie. El flujo puede ser cero, positivo o negativo. x

Si el flujo es cero, quiere decir que entran en la superficie Gaussiana el mismo número de líneas del campo que salen. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es cero (o no hay cargas o la suma de las positivas y negativas es cero).

x

Si el flujo es positivo, o mayor que cero, quiere decir que salen de la superficie Gausiana más líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es mayor que cero o positiva.

x

Si el flujo es negativo, quiere decir que salen menos líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie Gaussiana la qneta es menor que cero o negativa.

Determinación del flujo total a través de una superficie Gausiana: n

Φ = lim

n→∞

G

G

G

G

∑ E ⋅ dS = w ∫∫ E ⋅ dS i

i

i =1

z

dr r·d θ

θ

r y

x

Ø

r·senθ ·dØ

G  Q G  G G Q dΦ = E ⋅ dS =  u ⋅ rdθr sen θdφ·ur ) = sen θdθdφ  4πε r2 r  ( πεD 4   D 2π π Q Q Q Q sen θdθ dφ = 4π = Φ= [ − cos θ]0π [φ]02π = εD 4πεD 0 4πεD 4πεD 0

∫

∫

Ejemplos de aplicación de la ley de Gauss: a) Calcula el campo electrostático producido por la superficie de un conductor metálico plano cargado positivamente y uniformemente por toda la superficie, con una determinada densidad superficial de carga, σ = q , que es la relación entre exceso de la carga total sobre la superficie y la suS perficie del plano. Consideramos, como superficie Gausiana, un cilindro de bases superficiales, S,

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cuyo punto medio está en la superficie plana del conductor, y el flujo total por las dos bases (superficies) del cilindro será + + S S

+ S

+

Φ total

G G G G G G G q superficie σ S = E⋅S+ E⋅S = 2 E S = = εD εD

G E = σ 2 εD

El campo es independiente de la distancia al plano y es por tanto uniforme. b) Calcula el campo eléctrico producido por dos superficies planas, iguales y paralelas, que están uniformemente cargadas, una positivamente y la otra negativamente: en la zona comprendida entre las dos σ =Q/S

V1

V2

E>0

E=0

σ S

S +Q

E=0 -Q

1

2

d

consideramos la superficie Gausiana en forma de cilindro, de bases S, en la zona entre los dos planos paralelos en la que los campos electrostáticos (el de la positiva y el de la negativa) tienen la misma dirección y sentido, luego el flujo a través de la zona media del cilindro será la suma de flujo de la positiva y de la negativa: G G G G G G G G G q1 q 2 σ S σ S 2σ S Φ total = E + S + E − S = 2 E S = + = + = εD εD εD εD εD G E = σ εD La dirección del campo E va desde placa positiva a la negativa. G G E ⋅ dr = −dV G E ⋅ d = −∆V = − ( V− − V+ ) = V+ − V− c) Campo electrostático debido a una distribución de carga esférica, Q, de radio a:

G G

G

G

- Para un punto exterior (r>a): Φ total = E ⋅ S = E ⋅ 4πr2ur =

Q εD

⇒

G E=

Q 4πεD r2

G ur

- Para un punto interior (r
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ρ=

Q 4 3

πa 3

=

q 4 3

πr3

⇒

q=Q

G G G G q Φ total = E ⋅ S = E ⋅ 4πr2ur = εD

r3 a3 q G E = 4πε r2 D  ⇒ 3 r Q 3 G a E = 4πεD r2 

G ur G ur =

Qr 4πεDa 3

G ur

E a r

r

a

r

Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos.Conductores: Se llaman conductores a aquellos materiales que contienen partículas cargadas y se pueden mover libremente a través de ellos o en su interior. Son ejemplo de conductores los metales, las disoluciones electrolíticas (con iones) y los gases ionizados. En la presencia de un campo eléctrico las partículas cargadas, y que se pueden mover libremente, lo hacen de tal forma que las partículas cargadas positivamente van en el mismo sentido de las líneas del campo y las cargadas negativamente lo hacen en sentido contrario de las líneas del campo.

En el caso de un conductor metálico las únicas partículas cargadas que se pueden mover libremente son los electrones.

+ + - E=0 + + ++

En presencia de un campo eléctrico, los electrones se acumulan sobre la superficie del conductor, hasta que el campo eléctrico que ellas producen dentro del conductor, cancela completamente el campo eléctrico externo en el interior del conductor. Por tanto, en un conductor situado dentro de un campo eléctrico y el cual está en equilibrio electrostático, es decir, sin movimiento de cargas el campo eléctrico dentro es cero. Y el campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio es normal a la superficie. Dieléctricos: Los dieléctricos son materiales que no son conductores de la electricidad por no tener electrones que se puedan mover libremente a través de ellos ni dejar que estos pasen por su interior. Son ejemplos de estos materiales la goma, el caucho, los plásticos y en general todos los compuestos cuyos átomos estén unidos por enlaces covalentes, es decir, en los que los átomos que están unidos están compartiendo los electrones exclusivamente entre ellos. Polarización: Los dieléctricos, al estar constituidos por electrones, pertenecientes a los átomos, se alteran ante la presencia de un campo eléctrico. E -

+ p=q·d

Así, en los átomos aislados el centro de masas de los electrones (la carga negativa) coincide con el centro de masas de las positivas que es el centro del núcleo. Ahora bien, si colocamos unos átomos dentro de un campo eléctrico, el movimiento de los electrones se verá perturbado desplazando el centro de masas de los electrones (la carga negativa) hacia el origen del campo eléctrico y el centro de masas de las cargas positivas en el sentido del campo. Éste fenómeno se llama polarización y se mide con la magnitud física, de carácter vectorial, llamada momento dipolar.

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El momento dipolar es el producto de la magnitud de la carga desplazada por el desplazaG G miento, siendo el sentido del vector de la carga negativa a la positiva p = q ⋅ d . Las moléculas también pueden adquirir un momento dipolar eléctrico inducido por un campo eléctrico externo.

O -

p

H + + H

p

p total

Al no coincidir el centro de masas de las cargas positivas y de las negativas se les llama dipolos. Por lo que si un dieléctrico se coloca en el interior de un campo eléctrico sus átomos o moléculas llegarán a ser dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléctrico externo aplicado. Muchas moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente y se llaman polares, así el HCl tiene un momento dipolar de 3,43·10-30 C·m. En ausencia de un campo eléctrico externo, las moléculas polares están orientadas al azar y no se observa momento dipolar en el conjunto. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico los dipolos tienden a orientarse de tal forma que el polo negativo se orienta hacia el origen del campo y el positivo en su mismo sentido. Por tanto, un material dieléctrico en la presencia de un campo eléctrico se polariza. Y se define la polarización del material como el momento dipolar del medio por unidad de volumen. Si p es el módulo del momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y hay n átomos o moléculas por unidad de volumen, la polarización P será: G G  moléculas C  P = n⋅p  ⋅ Cm ≡ 2  3 m m   G G σ = P ⋅ un

La componente de la polarización de un dieléctrico en la dirección de la normal a la superficie del cuerpo es igual a la carga por unidad de área sobre la superficie del cuerpo polarizado. Luego la polarización coincide con la densidad superficial de carga inducida por la polarización.

En general, el vector polarización de un dieléctrico depende de tres factores: a) del campo eléctrico aplicado; b) del tipo de material de que esté constituido el dieléctrico especificado por la susceptibilidad eléctrica; c) del medio físico en el que se encuentre, especificado por la permiG G tividad. Siendo P = εD χe E . Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica: Si colocamos un dieléctrico dentro de un campo eléctrico producido por dos placas metálicas uniformemente cargadas, dentro del dieléctrico se crea una polarización con una carga superficial que contrarresta al campo eléctrico externo: E

+Q cargas

libres

+ + +

- εr

+

σp

σ libre

-Q -

+ + + σp

polarización

−σlibre

d -P σ neta = σ libre

∆ V=E·d

Por la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico entre las placas metálicas será: - sin el dieléctrico: Φ t = 2EDS =

2Qlibre 2σlibre S = εD εD

- con el dieléctrico σneta = σlibre + σpolarización

⇒

ED =

σlibre εD

izquierda: σneta = σlibre − P ⇒ derecha: σneta = −σlibre + P

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E=

σneta σlibre − P = εD εD

σlibre = P + εDE = εD χe E + εDE = εD ( χe + 1) E = εD εr E = εE = D E=

σlibre σlibre = ε εD ε r

La magnitud D, llamada desplazamiento eléctrico, depende solamente de las cargas libres que crean el campo. Su dirección y sentido es el mismo que el del campo eléctrico E. El desplazamiento eléctrico D, al depender sólo de las cargas libres es más operativo, ya que no hay forma directa de controlar la carga de polarización. Así, el desplazamiento eléctrico con dieléctrico y el desplazamiento eléctrico sin dieléctrico son iguales D=D0, pero el campo eléctrico depende del dieléctrico: DD = D = σlibre ε D E D = ε D ε r E = εE ED = ε r E ED rel="nofollow"> E

El campo eléctrico depende de la constante dieléctrica εr , que varía desde 1 (para el vacío) hasta 310 (titanato de estroncio), siendo para el agua a 25ºC igual a 78,5. La diferencia de potencial entre dos puntos del campo también varía con el medio: ( V+ − V− )D = ED ⋅ d = ε r E ⋅ d  ( V+ − V− ) = E ⋅ d

⇒

( V+ − V− )D

= εr ( V+ − V− )

⇒

εr =

( V+ − V− )D ( V+ − V− )

>1

Condensadores.-

Concepto de capacidad de un conductor: “Se define la capacidad de un conductor como la relación entre su carga y el potencial C=Q/V siendo la unidad 1 faradio (1 F=1C/1V)”. Consideremos una esfera conductora, de radio R, que contiene una carga Qlibre y rodeada del vacío, en primer lugar, y de un dieléctrico εr, posteriormente. La relación entre la carga Qlibre y el potencial eléctrico, en cada caso, en la superficie de la esfera conductora es constante e independiente de la carga Qlibre. Qlibre   CD = V    D   Q V = libre  D 4πεDR  

⇒

CD = 4πεDR;

Qlibre   C = V    V = Qlibre   4πεD εr R 

⇒

C = 4πεD ε r R = 4πεR

El razonamiento anterior es válido para todos los conductores cargados de distinta geometría. Concepto de condensador: Un condensador, o capacitor, está constituido por dos conductores aislados entre sí. Cuando un condensador se carga sus platos o conductores tienen igual carga pero opuesta. Cuando un conductor no está aislado su capacidad se afecta por la presencia de otros conductores que modifican su potencial.

Sea el condensador formado por dos conductores planos paralelos cargados con +Q y con Q. La capacidad del sistema que se llama capacitor o condensador depende de si hay entre los conductores un dieléctrico: CD =

Qlibre σlibre ⋅ S S = = εD ∆VD ED ⋅ d d

Qlibre σlibre ⋅ S S = = ε D ε r = ε D CD ∆V E⋅d d C > CD C=

Por tanto, si se introduce un dieléctrico en un condensador observamos que: a) disminuye el campo eléctrico en su interior (E<E0); b) disminuye la diferencia de potencial entre las placas (VC0).

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Energía almacenada en un condensador cargado: Cargar un conductor requiere gastar energía debido a que hay que vencer la repulsión entre las cargas y, por tanto, hay que hacer un trabajo sobre el sistema. Éste trabajo se manifiesta en el incremento de la energía potencial del conductor. Supongamos que, en un instante dado, una carga q’ se ha transferido desde un plato a otro. La diferencia de potencial V’ entre los platos en ese instante será q’/C. Si un incremento extra de carga dq’ se transfiere entonces el incremento de trabajo necesario será Wsobre = ∆Ep(e)   q' dW = V ' dq ' = dq ' C 

⇒

Wsobre =

∫

Q

0

q' Q2 1 dq ' = 1 = CV 2 = 1 QV C 2 C 2 2

Densidad de energía: es la energía potencial por unidad de volumen entre los platos del condensador. Si consideramos un condensador de platos planos y paralelos de superficie S y siendo d la distancia entre los platos:

U=

Ep(e) S⋅d

=

1 CV 2 2

S⋅d

=

1ε ε S 2 D r d

V2

S⋅d

=

1 V2 1 εD ε r 2 = εD ε r E2 2 2 d

Asociación de condensadores: serie y paralelo.- Los condensadores en un circuito se pueden combinar de distintas formas, las más sencillas son en serie y en paralelo. Ahora vamos a calcular el condensador equivalente a una combinación determinada, es decir, la capacidad de un único condensador que tenga la misma capacidad que la combinación dada de condensadores. Serie: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en serie a una batería, que mantiene una diferencia de potencial V que cruza los terminales de la combinación en serie. Esto produce las diferencias de potenciales V1 y V2 en los condensadores C1 y C2. Al estar en serie la carga de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de cualquiera de ellos y la diferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la suma de las diferencias de potencial de cada uno ∆Vtotal = ∆V1 + ∆V2 Qtotal Q Q Q = + = Ctotal C1 C2 Ceq 1 + 1 = 1 C1 C2 Ceq

Paralelo: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en paralelo a una batería. Los terminales de la batería están conectados a los platos de los dos condensadores. Como la batería mantiene una diferencia de potencial V entre los terminales, aplica la misma diferencia de potencial V a cada condensador. Al estar en paralelo la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la carga sobre cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de los dos y la diferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la de cada uno. Qtotal = Q1 + Q2 Ceq ∆V = C1∆V + C2 ∆V Ceq = C1 + C2

Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático.-

Característica de la fuerza

Gravitatoria

Electrostática

Fuentes de la fuerza

La masa

Las cargas eléctricas (+ y -)

Tipo de fuerza

Central, conservativa y atractiva

Central, conservativa y atractiva y repulsiva

Relación entre fuerzafuentes

Directamente proporcional al producto de las Directamente proporcional al producto de las masas cargas

Relación entre fuerzadistancia

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

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Intensidad de la fuerza

G=6,67·10-11 Nm2kg-2

Kvacío=9·109 Nm2C-2

Influencia del medio en la fuerza

No influye

Inversamente proporcional a la constante dieléctrica

Campo magnético: origen y efectos.-

La palabra magnetismo procede de una ciudad de Asia Menor llamada Magnesia donde se observaron, por primera vez, los fenómenos magnéticos. Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, tales como el imán o magnetita (Fe3O4), tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. La propiedad se manifiesta, en su estado natural, por el hierro, cobalto, manganeso y por muchos compuestos de estos metales. Esta propiedad no está relacionada con la fuerza gravitatoria ya que no la presentan todos los cuerpos y parece estar concentrada en determinados lugares del mineral. Tampoco está relacionada con la interacción electrostática, ya que no son atraídos, por estos minerales ni trozos de corcho ni de papel. Las regiones del cuerpo donde el magnetismo parece estar concentrado son llamadas polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se llama un imán. La Tierra es un enorme imán. Por ejemplo, se observa que si una varilla imanada se deja girar libremente, en algún lugar de la superficie de la Tierra, siempre se orienta y de la misma forma hacia los polos geográficos, llamados Norte y Sur. Éste experimento también sugiere que hay dos tipos de polos magnéticos, que se designan con las letras N y S. Si dos varillas imanadas se ponen cerca, los polos de igual nombre se repelen hasta enfrentarse los de distinto nombre. De tal forma que: “La interacción entre polos magnéticos iguales es repulsiva y entre polos magnéticos distintos es atractiva”. Podríamos medir la intensidad de un polo magnético definiendo una masa magnética o una carga magnética, e investigando la dependencia de la interacción magnética con la distancia entre los polos. Sin embargo los físicos desconocían la naturaleza del magnetismo. Por otra parte, una dificultad fundamental apareció cuando se quisieron hacer las medidas de intensidad, y es que experimentalmente ha sido imposible aislar un polo magnético o aislar un tipo de partícula que tenga un sólo tipo de magnetismo (N ó S), como sí ha ocurrido con las cargas eléctricas. Origen del campo magnético:

Los hechos experimentales que demostraban la conexión entre la electricidad y el magnetismo (electromagnetismo) son: 1)

En 1820, el danés C. Oersted descubrió que una corriente eléctrica, al pasar por un hilo conductor, producía un campo magnético a su alrededor. De tal forma que al pasar la corriente eléctrica por el hilo que tiene cerca unos imanes perpendiculares al hilo los orienta dependiendo del sentido de la intensidad de corriente. Sin embargo, Oersted no determinó ninguna ley cuantitativa del descubrimiento ni dio una explicación correcta del fenómeno. Pero las noticias de su descubrimiento llegaron a Francia donde Biort y Savart interpretaron éste fenómeno.

2)

En el mismo año, de 1820, y a las pocas semanas de que Oersted publicara su descubrimiento, Andre Marie Ampère (1775-1836) presentó los resultados de una serie de experimentos en los que se ponía de manifiesto la interacción magnética entre hilos conductores por los que pasan distintas corrientes eléctricas.

La experiencia, ha demostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento relativo a un observador. Por esta razón, las interacciones eléctricas y magnéticas se deben considerar siempre bajo el nombre más general de interacción electromagnética. Podemos decir que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas o las cargas eléctricas en movimiento relativo.

Como veremos a lo largo del tema, las interacciones eléctricas y magnéticas están muy relacionadas, siendo sólo dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, sus cargas eléctricas. Consideremos dos circuitos eléctricos, 1 y 2, con intensidades I1 y I2, siendo F12 y F21 las fuerzas respectivas de uno sobre otro. La F12 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 1 debido al 2. La F21 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 2 debido al 1:

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Circuito 1

I2

F

21

r 21

dl 1

dl2

I1 F12 r

r1

2

Circuito 2

O

La ecuación obtenida nos expresa la fuerza que un circuito, denominados 1 y 2, ejerce sobre otro por los que están pasando intensidades de corriente eléctrica I1 y I2, respectivamente. Siendo F21 la fuerza que ejerce sobre el circuito 2 el circuito 1 y F12 la fuerza que ejerce sobre el circuito 1 el circuito 2: G G G G dl2 × r12 F12 = K mI1I2 dl1 × G 3 1 2 G G r12  F12 = −F21 ⇒  G G G dl1 × r21 G F21 = K m I2I1 2 dl2 × 1 G 3 r21  Km =

La constante µD = 4π10−7

N A2

µD = 10−7 4π

v∫

v∫

v∫

v∫

N A2

se le llama permeabilidad magnética del vacío.

La ecuación de interacción entre corrientes, obtenida por Ampère, es análoga a la de la ley de Coulomb de la interacción electrostática. La explicación de los hechos experimentales anteriores se debió a Biot y Savart que dijeron: 1)

Una corriente eléctrica al pasar por un circuito crea en el espacio que lo rodea un campo magnético de la misma forma que un imán.

2)

Un campo magnético interacciona con una corriente eléctrica.

El valor del campo magnético lo dedujeron de las ecuaciones obtenidas por Ampère sobre las fuerzas entre corrientes. Por tanto, de las ecuaciones anteriores, se pueden separar los términos correspondientes al circuito 1 y al circuito 2: G G G G G G dl2 × r12 =I1 dl1 × B12 F12 = I1 dl1 × K mI2 G 3 1 2 1 r12  G G  G G G dl1 × r21 G F21 = I2 2 dl2 × K m I1 1 G 3 = I2 2 dl2 × B21 r21  G Siendo B21 el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 1 en el cirG cuito 2, y B12 el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 2 en el circuito 1.

v∫

v∫

v∫

v∫

v∫

v∫

Por tanto, el campo magnético, en un punto, producido por una espira por la que pasa una intensidad de corriente, viene dado por la ley de Biot y Savart:

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G B12 = K mI2   G B21 = K m I1 

G G dl2 × r12 G 3 2 r12 G G dl1 × r21 G 3 1 r 21

v∫ v∫

G G G dl2 × r12 µD ⇒ dB12 = I2 G 3 4π r12 G G G dl × r µ ⇒ dB21 = D I1 1G 321 4π r21

Algunos campos magnéticos: en la superficie de la Tierra es de 10-4 T, en el espacio interestelar es de 10-2 T, un electroimán 1,5 T y en la superficie de una estrella de neutrones 108 T. Campo magnético producido por una carga eléctrica:

El campo magnético producido por una carga eléctrica q, que se mueve respecto de un punto O, con una velocidad v, viene dado por: G G G G G µ v×u v×r µ B= D q G3 = D q G2r 4π 4π r r Es decir, una carga eléctrica en movimiento relativo al observador produce un campo magnético añadido a su campo eléctrico. La unidad de campo magnético B se denomina tesla (T), en honor de Nikola Tesla: 1T=1 N/(1A·1m). Un tesla corresponde al campo magnético que produce una fuerza de un newton sobre una carga de un culombio moviéndose a una velocidad perpendicular al campo de un metro por segundo. E

Campos E y B r q+

v

B

En un punto determinado, el vector campo magnético es perpendicular al vector velocidad de la carga y al vector posición del punto respecto de la carga. Para cargas que se mueven con una velocidad muy inferior a la velocidad de la luz (v<
q 2

G ur

4πεD r G G µD vG × u G G G G G q G q r B= q = µD v × u = µD εD v × u = µ D εD v × E 2 2 r 2 r 4π r 4πr 4πεD r

Por tanto, aunque una carga en reposo produce sólo un campo eléctrico, “una carga en movimiento relativo al observador, produce un campo eléctrico y un campo magnético”. Estando los dos campos relacionados por la ecuación anterior. Los campos eléctricos y magnéticos son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, la carga eléctrica. Es más apropiado usar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento. Otra propiedad interesante es la siguiente: “dos observadores en movimiento relativo miden diferentes velocidades de la carga eléctrica en movimiento y por tanto también miden diferentes campos magnéticos”. En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo de la carga y del observador. Efectos del campo magnético:

Los efectos del campo magnético son las fuerzas magnéticas. Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo conductor debido a un campo magnético producido por otro hilo conductor:

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G G G F  m = I dl × B  G G G dFm = Idl × B G G G µD dl1 × u dB = I1 G 2 r 4π r

v∫

I1

I

B

B

dl dF=I·dl·B

B

Los efectos del campo magnético sobre una espira rectangular son los siguientes:

Analizamos el dibujo con la espira rectangular cuyo plano no está colocado perpendicularmente al campo magnético B G G G 1) Sobre cada lado del rectángulo aparece una fuerza magnética de valor dFm = Idl × B 2)

Sobre los lados superior e inferior, las fuerzas son iguales pero de sentido contrario.

3)

Sobre los lados izquierdo y derecho, las fuerzas también son iguales, pero si la espira está girada, formando un ángulo, respecto al campo magnético B, aparece un par de fuerzas.

4)

El par de fuerzas, aplicado sobre la espira, genera un momento sobre la espira cuyo efecto es girar la espira hasta que esté perpendicular al campo magnético B. Lo que haría es que el vector superficie de la espira estuviese paralelo al campo magnético B hasta que el momento del par de fuerzas sea cero. F

F

F

I

B

B

I

B B

S B F

I

espira rectangular

I

S

B F

θ

Norte

Sur

Galvanómetro

F espira vista desde arriba

El momento del par de fuerzas es:

G G G G G G dM = r × dF = r × Idl × B G G G G G G G G M = I r × dl × B = IS × B = m × B

v∫ (

( )

)

Siendo S la superficie de la espira y m el momento magnético de la espira. El par de fuerzas tiende a orientar el momento magnético de la espira m paralelamente al campo magnético B.

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Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento:

“La fuerza ejercida por un campo magnético B, sobre una carga eléctrica, en movimiento, es proporcional a la carga eléctrica y a la componente de la velocidad de la carga en una dirección perpendicular a la dirección del campo magnético”. G G G Fm = qv × B La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano que forman los vectores velocidad y campo magnético. Si la velocidad es paralela a la dirección del campo magnético la fuerza magnética es cero. Consideremos que la partícula se mueve en una región donde existen los campos eléctrico y magnético la fuerza total, denominada fuerza de Lorentz, será: G G G G G G G G G Ft = Fe + Fm = qE + qv × B = q E + v × B

(

)

Conclusiones:

1)

La fuerza magnética siempre es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo físico 2G 2G G G G G Fm ⋅ dr = Fm ⋅ vdt = 0 = ∆Ec . sobre la carga q: Fm ⊥ v ⇒ W =

∫

1

∫

1

2)

Como no se aplica trabajo sobre la carga, no varía su energía cinética, y no se altera el módulo de su velocidad.

3)

La fuerza magnética está definida para cada punto del espacio, por donde pasa la carga, y el efecto físico sobre ella será que le produce una aceleración centrípeta y no tangencial: G G  dv  G G G G G G v2 G = 0 ⇒ a t = 0  ⇒ Fm = ma = m ( a n + a t ) = ma n = m un ∆Ec = 0 ⇒ v = cte ⇒ dt R  

4)

El resultado sobre la carga es que ésta va a describir una trayectoria curvilínea sin cambiar el módulo de su velocidad.

Ahora bien, si la partícula cargada se estuviera moviendo perpendicularmente a un campo magnético uniforme, es decir, con la misma intensidad y dirección en todos los puntos, entonces la fuerza es perpendicular a la velocidad y su efecto es cambiar la dirección de la velocidad sin cambiar su magnitud y el resultado es un movimiento circular uniforme. G G G G G G G G G Fm = qv × B = −qB × v  G q G −qB × v = m ( ω × v )  ⇒ G G   ⇒ ω= −mB G G G  G −qB = mω  Fm = ma n = m ( ω × v )  G G v ⊥ B  G G G v2  Fm = q v B = m R  R = mv qB 

hacia dentro

q positiva

······

.

hacia nosotros

q negativa

········ B está dirigido hacia arriba

Éste fenómeno, viendo la dirección de giro de la carga al entrar en un campo magnético, tiene aplicación para determinar si una partícula está cargada positiva o negativamente. Si la partícula cargada se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendicular al campo magnético, podemos separar la velocidad en dos componentes paralelo y perpendicular al campo. La componente paralela permanece constante y la componente perpendicular cambia continuamente en la dirección pero no en magnitud.

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Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético:

Espectrómetro de masas (espectrógrafo de masas): Se utiliza para separar iones por su masa distinta, como pueden ser los isótopos de un elemento químico. Se aceleran los iones haciéndolos pasar por unas rendijas metálicas, una positiva y otra negativa, que tienen una diferencia de potencial, lo que contribuye a la variación de su energía cinética. Posteriormente, los iones se encuentran un campo magnético uniforme, que es perpendicular a su trayectoria, lo que hace que describan una semicircunferencia, en un sentido o en otro dependiendo de la carga, hasta chocar con una placa fotográfica. Al pasar las placas metálicas el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual al incremento de la energía cinética de los iones: Wpor = ∆Ec =

1 mv2 = q∆V 2

⇒

v=

2q∆V m

Al entrar en el campo magnético la fuerza magnética es igual a la fuerza centrípeta, ya que los iones giran describiendo una circunferencia: G G v⊥B G 2 G G Fm = q v B = m v R q 2q∆V v = BR = m m 2 ∆V q = m ( BR )2 Como se obtiene la relación q/m en función de B, ∆V y R. Esta técnica se puede aplicar a electrones, protones y otras partículas cargadas, átomos o moléculas. Si medimos la carga independientemente, podemos obtener la masa de la partícula. El experimento con el espectrómetro de masas se usa también para obtener la variación del momento con la velocidad de una partícula que se mueve con diferentes velocidades. Se ha encontrado que, considerando que q permanece constante, p varía con la velocidad no de la forma p=mv sino como se expresa mediante la teoría de la relatividad: p R = mv = qB qB p = qBR

G mv relativa G G p = mv propia = 2 1 − ( cv )

Por tanto, la carga eléctrica es invariante, es la misma para todos los observadores en movimiento relativo uniforme, pero el momento de la partícula varía en total acuerdo con las predicciones de la teoría de la relatividad. Experimento de Thomson: Este experimento, realizado por J. J. Thomson en 1897, sirvió para descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Llegó a la conclusión de que eran partículas cargadas negativamente y determinó la relación qe/m. Hoy se aplican en los tubos de TV y en los osciloscopios. Se hacen pasar los rayos catódicos entre dos placas de longitud a, una positiva y la otra negativa. Entre las placas existe un campo eléctrico E y los electrones se desvían de su trayectoria, formando un ángulo θ, hasta que impactan en la pantalla, a una distancia L de las placas. Y

+++++++++ V0

a

d L --

E

---------------

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G  Fe = q  G q a = m 

2   G q G  x  G 1   y= E E =ma  x = vD x t   2 m  vD x  d qEa      1 2 ⇒  ⇒ ⇒ = G L = y at mv2D qEa   dy      E 2 tan θ = =       dx  x =a mv2D  

Si aplicamos también un campo magnético B, dirigido hacia el interior del papel, la fuerza magnética Fm que experimenta el electrón es hacia abajo. Que es en sentido contrario a la fuerza eléctrica Fe que experimenta el electrón. Si conseguimos que las dos fuerzas sean iguales Fm=Fe, la fuerza neta es cero y los rayos catódicos no se desvían de su trayectoria. De esta forma, calculamos la velocidad inicial v0 de las partículas cargadas que constituyen los rayos v0=E/B. Si sustituimos este valor en la ecuación anterior podemos determinar la relación q/m para las distintas experiencias G G q E = q vG D B     ⇒ E vD =    B

 d qEa   L = mv 2    D   dv2D dE  q  m = LEa = LB2a 

Ciclotrón: El ciclotrón es un aparato que sirve para acelerar partículas cargadas. Desde el punto de vista electrostático se pueden acelerar partículas cargadas haciendo que pasen por una zona en la que exista una diferencia de potencial alta, pero para conseguir que una partícula cargada tenga una alta energía cinética (alta velocidad) se necesitan diferencias de potencial muy altas. Hemos visto que una partícula cargada en un campo magnético sigue un camino circular. El ciclotrón se dice que es un acelerador cíclico, es decir, que acelera cíclicamente o cada cierto tiempo, a una carga eléctrica que pasa muchas veces a través de una diferencia de potencial relativamente pequeña. El ciclotrón consiste en una cavidad cilíndrica dividida en dos mitades (llamadas Dees por la forma) y situadas en un campo magnético uniforme paralelo a sus ejes. Las dos Dees están eléctricamente aisladas una de la otra. En el centro de la cavidad cilíndrica entre las dos Dees, en la que está hecho el vacío, se coloca la fuente de iones. Se aplica entre las Dees una diferencia de potencial alternativa del orden de 10 kV. Dipolos magnéticos:

Cuando una partícula cargada se mueve en una órbita cerrada, como un electrón en un átomo, produce un campo magnético en el que las líneas de fuerza dan vueltas con la órbita. Las líneas de fuerza siguen a la partícula en su movimiento, si la partícula se mueve muy rápidamente el campo magnético es el promedio estadístico del campo producido en cada instante. Siendo el cálculo bastante complejo.

V

B

Si la partícula se mueve con movimiento circular uniforme, la velocidad de la partícula es v = ωr , siendo ω la velocidad angular que es perpendicular al radio r. Por tanto, el campo magnético en el centro es igual a B =

µD qv . 4π r 2

G G G El momento angular de la partícula es L = r × p = rmv . Y, el campo magnético en O en

función de L es igual a

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µD qv   B = 4π 2  r G  G  L = rG × p = rmv   

⇒

G µD q L B= 4π mr3

Una partícula cargada describiendo una pequeña órbita, como un electrón atómico, constituye un dipolo magnético. Se define el momento magnético de la partícula cargada en una órbita cerrada y el campo magnético G G µD 2 M q G M= L ⇒ B= 2m 4π r 3 Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento relativo:

Considera dos cargas q y q’, en movimiento relativo y con velocidades relativas v y v’ respecto de un observador O. La fuerza eléctrica producida por q’ sobre q y medida por O es qE. El campo magnético producido por q’ es del orden de magnitud de v’E/c2 y la magnitud de la fuerza sobre q es del orden de G G 1 G G G  B = µD εD v '× E = c2 v '× E      v 'E vv ' vv '   F = qvB = qv  = qE = F m e  2   c2  c  c2 

Fm vv ' ≈ 2 Fe c

⇒

Si las velocidades de las cargas son pequeñas, en comparación con la velocidad de la luz, la fuerza magnética es muy inferior a la fuerza eléctrica. Sin embargo, si las cargas tienen una velocidad del orden de 106 m/s, que es la velocidad de los electrones en los átomos, entonces la relación Fm/Fe es del orden de 10-4. Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica:

Queremos calcular el campo magnético producido por el hilo conductor, por el que pasa una corriente eléctrica de intensidad I, en un punto P que está a una distancia R desde el punto O que es el más cercano del hilo. Consideremos un hilo conductor recto de longitud infinita, en el eje Y, con la intensidad de corriente dirigida hacia el eje positivo. Sea un diferencial del hilo, dl, a una distancia l, sobre OY, del punto O, y que se encuentra a una distancia r del punto P. Se forma un triángulo rectángulo de cateto, sobre el eje OY, de longitud l, el cateto sobre el eje OX, de longitud R, y la hipotenusa de longitud r. Siendo θ el ángulo formado por el sentido de la corriente y el vector de posición desde dl hasta el punto P. El campo magnético, dB, producido por dl en P vendrá dado por la ley de Biot-Savart cos θ   R   l = −R sen θ  sen θ = r     ⇒  R R tan(180 − θ) = − tan θ =  dl = dθ  2  l  (sen θ )   G G  G µD dl × ur  I G2 dB =  4π G µ r   ⇒B= D I G G   G µD ∞ dl × ur µD ∞ sen θ  4π B  = 4π I −∞ G 2 = 4π I −∞ G 2 dl  r r  

∫

∫

∫

π

0

senθ R

2

(sen θ )2

R

(sen θ )

2

dθ =

µD I 4πR

∫

π

0

senθdθ =

µD I 2πR

Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movimiento: G Supongamos un conductor de sección S , en el que hay n partículas cargadas por unidad de volumen, cada una con una carga q. Si les aplicamos un campo eléctrico se mueven, en la misma G dirección, con una velocidad v . Las cargas que en el tiempo ∆t pasan a través de una sección GG son las que están dentro del volumen limitado por Sv∆t . GG La carga ∆Q = qnSv∆t y la corriente I serán:

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GG  qn Sv∆t GG ∆ Q I = = = qnSv G GG G G G  ∆t ∆t ⇒ Idl = jS dl = jdV = nqvdV  G G I G = qnv  j = S G G G G G µ Idl × ur µD qv × ur = B= D G2 G 2 ndV 4π 4π r r G G µD qvG × u r B= 4π rG 2

(

)

∫

( )

∫

Ley de Ampère.-

Considera una corriente rectilínea infinita de intensidad I. El campo magnético en un punto P a una distancia r desde la corriente es perpendicular a OP. I B r

G µI G B = D ut 2πR C = fmm =

v∫

G G µI B ⋅ dl = D 2πR = µDI 2πR

La circulación magnética es proporcional a la corriente eléctrica I, y es independiente del radio de la trayectoria cerrada. Por tanto, si dibujamos diversos círculos alrededor de la corriente I, la circulación magnética, alrededor de todos ellos, es la misma y es igual a µDI . Haciendo un análisis más elaborado, se obtiene que la ecuación anterior es válida para cualquier forma de la corriente, y no necesariamente la rectilínea. Si tenemos varias corrientes I1, I2, I3,... unidas por una línea cerrada, cada corriente contribuye a la circulación del campo magnético a lo largo de la línea cerrada. Por lo que se establece la ley de Ampère: “La circulación del campo magnético (fuerza magnetomotriz) a lo largo de una línea cerrada, que enlaza las corrientes I1, I2, ..., es igual al producto de la permeabilidad magnética del vacío por la intensidad neta que pasa por el interior de la trayectoria cerrada”. G G B ⋅ dl = µDI = µD ( I1 + I2 + I3 + ...)

v∫

En el tema de electrostática usamos la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico causado por una distribución de cargas. Sin embargo, para distribuciones complejas utilizamos la ley de Gauss. La situación en el estudio del magnetismo es similar. Podemos calcular el campo magnético causado por una distribución de corriente con la ley de Biot y Savart (equivalente magnética a la ley de Coulomb), pero en casos complicados utilizaremos la ley de Ampère. Las dos leyes son uniones entre una distribución de corriente y el campo magnético que ella genera. Para calcular la intensidad neta, consideramos que una corriente es positiva si pasa a través de la trayectoria cerrada, L, en el sentido indicado por el dedo pulgar de la mano derecha, al tener la mano derecha cerrada y los dedos restantes indicando la dirección del camino cerrado L. +I

I

+I

B

L

L

r

dl -I

+I

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Aplicaciones de la ley de Ampère:

1º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r>a: G G B ⋅ dl = B dl = BL = B2πr = µDI

v∫

v∫

L

B=

L

µD I 2πr

2º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r
v∫

v∫

L

L

µ I' µ Ir B= D = D 2 2πr 2πa

3º) Campo magnético en el centro de un solenoide muy largo: Consideremos un solenoide que tiene n vueltas por unidad de longitud llevando una corriente I. Si las vueltas están muy próximas en el espacio y el solenoide es muy largo, el campo magnético está enteramente confinado en su interior, como se confirma experimentalmente. Si aplicamos la ley de Ampère a un camino correspondiente a un rectángulo que tiene la base inferior dentro del solenoide, y paralela al campo, y la base superior fuera del solenoide. Al calcular la circulación del campo magnético en el rectángulo, la contribución de los lados que hacen de altura a la circulación del campo es cero porque son perpendiculares al campo, la contribución de la base superior también es cero por no existir campo. Por tanto, sólo contribuye la base interior del solenoide. Siendo N vueltas por L longitud: n=N/L

v∫

PQRS

G G B ⋅ dl =

∫

Q

P

G G B ⋅ dl = Bx = µD nxI

B = µD nI

S

R

........................ P

Q

B

***************** Comparación entre los campos electrostático y magnético estacionario:

Los campos magnéticos difieren de los campos eléctricos en algunos aspectos: 1)

Los campos magnéticos son producidos por cargas eléctricas en movimiento relativo al observador, tales como una corriente eléctrica, y los campos electrostáticos por cargas en reposo relativo.

2)

Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas, es decir, no comienzan en algún punto y terminan en otro, sino que están curvadas alrededor de las cargas en movimiento o de la corriente eléctrica. Esto se debe a que no se han encontrado los polos magnéticos o “masas magnéticas”.

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3)

Si consideramos una superficie cerrada en el interior de un campo magnético, el flujo magnético entrante es igual al saliente. Por lo que decimos que el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es siempre cero. El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada no es cero, es igual a la relación entre la carga neta en su interior y la permitividad del vacío.

4)

El campo magnético no es conservativo ya que la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es cero. El campo electrostático sí es conservativo.

5)

Como el campo magnético no es conservativo no podemos asociar, en cada punto del espacio de un campo magnético, una energía potencial magnética asociada a una carga en movimiento, ni a masa magnética o a carga magnética.

Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère.-

Considera dos conductores rectilíneos y paralelos, con corrientes rectilíneas de intensidades I y I’, que van en el mismo sentido: I

I'

F'

F B'

B

R

La fuerza que ejerce un conductor rectilíneo sobre el otro será F’ y F. El hilo conductor que lleva la corriente I atrae a la I' con una fuerza por unidad de longitud f: G G µD I G µDII 'L ' G G F ' = I ' dl '× B = I ' dl ' 2πR ( −ur ) = 2πR ( −ur )  G  F ' µ II ' µ 2II '  D D f = L ' = 2πR = 4π R G G µD I ' G µDII 'L G G F = I dl × B ' = I dl 2πR ur = 2πR ur  G  F µ II ' µ 2II '  D D f = L = 2πR = 4π R

v∫

v∫

v∫

v∫

Por tanto, obtenemos que: “dos hilos con corrientes paralelas en la misma dirección se atraen mutuamente con una fuerza inversamente proporcional a su separación como resultado de su interacción magnética; si las corrientes paralelas están en dirección opuesta, se repelen mutuamente”. Definición de ampere: “Un ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 m uno de otro, en el vacío, producirá entre estos conductores una fuerza igual a 2·10-7N por metro de longitud”.

Por tanto, el culombio se define como la cantidad de carga que fluye cruzando la sección transversal de un conductor en un segundo cuando la corriente es de un amperio. A continuación vamos a estudiar las leyes del campo electromagnético considerando campos que varían con el tiempo y veremos que un campo magnético variante con el tiempo requiere la presencia de un campo eléctrico (ley de Faraday-Henry) y un campo eléctrico variante con el tiempo requiere un campo magnético (ley de Ampère-Maxwell). Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday.-

El fenómeno de la inducción electromagnética fue descubierto simultáneamente en 1831, por M. Faraday y por Henry. La inducción electromagnética es el principio por el que funcionan los generadores eléctricos, el transformador y muchos otros aparatos de uso diario. Supongamos un conductor eléctrico que forma un camino cerrado o circuito, denominado malla, de superficie S, y lo colocamos en una región donde existe un campo magnético B. Si el flu-

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jo magnético a través de la malla varía con el tiempo, se observa una corriente en el conductor mientras el flujo está variando. El flujo magnético tiene de unidad Weber (Wb) G G G G Φ m = B ⋅ S = B S cos θ La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico actuando sobre las cargas libres en el conductor. Este campo eléctrico produce una fuerza electromotriz a lo largo del circuito, que se llama fuerza electromotriz (fem) inducida. Hechos experimentales:

1)

Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galvanómetro, se coloca próximo a un imán que se está moviendo, el galvanómetro demuestra que se produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.

2)

Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galvanómetro, se mueve próximo a un imán que está en reposo, el galvanómetro demuestra que se produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.

3)

Si colocamos dos circuitos cerrados próximos, uno conectado a un galvanómetro que indica que no pasa corriente y el otro, conectado a una batería mediante un interruptor cerrado, por el que sí está pasando una corriente. Al abrir el interruptor se cierra la corriente y se observa una fem inducida en el primero que no se observaba cuando había una corriente estacionaria.

4)

Mientras mayor sea la variación del flujo magnético, con respecto del tiempo, a través del circuito cerrado mayor es la fem inducida.

El cambio, con respecto del tiempo, en el flujo magnético puede ser debido al cambio del campo magnético o al movimiento del circuito con respecto del campo magnético o a la deformación relativa del circuito con respecto del campo magnético. La dirección en la cual actúa la fem inducida depende de si el flujo magnético a través del circuito se incrementa o disminuye. La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico actuando sobre las cargas libres del conductor. Este campo eléctrico produce una fem a lo largo del circuito, que se llama fem inducida. La medida de esta fem inducida nos demuestra que depende de la velocidad con la que varíe el flujo magnético. A mayor velocidad de cambio del flujo magnético mayor es la fem inducida. El signo de la fem inducida es siempre opuesto al de la variación del flujo magnético. B (decrece)

B (aumenta)

ε

ε ε=−

dΦ m d G G =− B S cos θ dt dt

(

)

Ley de Faraday-Heny de la inducción electromagnética: “En un circuito cerrado, o malla, situado en un campo magnético, se produce una fem inducida si varía el flujo magnético a través del circuito, siendo el valor de la fem la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito”. Si variamos el flujo magnético a través de un carrete o bobina de N vueltas, aparece una fem en cada vuelta, y estas fem se suman

ε = −N

dΦ m dt

La fem implica la existencia de un campo eléctrico no conservativo ε=

G

G

v∫ E '⋅ dl = − L

dΦ m d =− dt dt

G

G

∫∫ B ⋅ dS L

La ecuación anterior es válida para una línea arbitraria cerrada L aunque no coincida con un conductor eléctrico. Es decir, “Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que la circulación del campo eléctrico a lo largo de un camino cerra-

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do arbitrario es igual al negativo de la rapidez de cambio del flujo magnético a través de la superficie envuelta por el camino. En 1834, justo tres años después de la promulgación de la ley de inducción, Heinrich F. Lenz publicó la regla, conocida como ley de Lenz, para determinar la dirección de una corriente inducida en un circuito cerrado o malla. Demostró que las corrientes inducidas se mueven en un sentido tal que tiende a oponerse a cualquier cambio en el flujo magnético presente. Es decir, si aumenta el flujo los electrones se moverán para disminuirlo y si disminuye el flujo los electrones se moverán para aumentarlo. Enunciado de la ley de Lenz: “Una corriente inducida en una malla aparecerá en una dirección tal que se opone al cambio que la produzca”.

El signo menos que aparece en la ley de Faraday nos expresa la oposición. La ley de Lenz se refiere a corrientes inducidas y no a fem inducidas, lo que significa que sólo la podemos aplicar directamente a conductores cerrados, formando una malla. Interpretaciones de la ley de Lenz:

1)

Si acercamos un imán, por su polo N (Norte), a una malla o circuito eléctrico cerrado, le produce a esta una corriente inducida. La corriente inducida en la malla, lo hace de tal forma que se opone al acercamiento del imán, creando un polo N próximo al del imán.

2)

Si alejamos un imán, por su polo N, a una malla, le produce una la corriente inducida. La corriente inducida se opondrá creando un polo S sobre la cara de la malla próxima al polo N del imán.

3)

Si acercamos o alejamos un imán hacia una malla siempre experimentaremos una fuerza de resistencia y tendremos que realizar un trabajo. Aplicando el principio de conservación de la energía, este trabajo debe ser exactamente igual a la energía térmica que aparece en el enrollamiento, ya que estas son las dos energías que aparecen en el sistema aislado (ignorando la energía radiada desde el circuito como onda electromagnética).

Autoinducción e inducción mutua. Transformadores.-

Descripción del fenómeno autoinducción: Consideremos un circuito llevando una corriente eléctrica I. De acuerdo con la ley de Ampère la corriente produce un campo magnético que, en cada punto, es proporcional a I. B I

Por tanto, el flujo magnético a través del circuito debido a su propio campo magnético, llamado el autoflujo es proporcional a la intensidad de corriente I. Si la corriente I cambiase con el tiempo, el autoflujo a través del circuito también cambiaría y, de acuerdo con la ley de la inducción electromagnética, una fem es inducida en el circuito. Este caso especial de inducción electromagnética se llama autoinducción. G G Φm = B ⋅ dS

∫∫

v∫

G G B ⋅ dl = µDI

Φ autoflujo = LI

El coeficiente L depende de la forma geométrica del conductor y se llama inductancia del circuito. La inductancia es una magnitud eléctrica que sirve para caracterizar los circuitos según su aptitud para engendrar corrientes inducidas. La unidad de inductancia es el henry (H), siendo 1 henry=1 weber/1 ampere. Inductor: En el tema anterior analizamos que un capacitor o condensador es una estructura que podemos utilizar para producir un campo eléctrico conocido en una determinada zona del espacio. Simétricamente, podemos definir un inductor como una estructura que podemos usar para

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producir un campo magnético conocido en una región. Consideramos como prototipo de un inductor la porción central de un solenoide muy largo, en el que se especifica su campo magnético asociado.

Si se establece una corriente i en los enrollamientos o N vueltas de un inductor hay un Flujo Magnético Φ debido a la corriente a través de las vueltas, y se dice que las vueltas están vinculadas o unidas por este flujo compartido. La inductancia del inductor es igual a L = to NΦ se llama el flujo enlazado.

NΦ , siendo N el número de vueltas. El produci

.................................................. i . . B ×××××××××××××××× ××××××××××

Autoinducción:

Si dos carretes, que podemos llamar inductores, están muy próximos, una corriente i en uno de ellos crea un flujo magnético a través del segundo. Sabemos que si cambiamos este flujo, porque cambiemos la corriente, aparece una fem inducida en el segundo carrete, de acuerdo con la ley de Faraday. Además, aparece una fem inducida en un carrete si cambiamos la corriente en el mismo carrete. Este proceso se llama autoinducción y la fem que aparecen se llama autoinducida. NΦ = Li εL = −

d ( NΦ ) dt

= −L

di dt

El signo menos nos indica que la fem se opone al cambio en la corriente. Si la corriente se incrementa (dI/dt rel="nofollow">0) la fem autoinducida se opone a la corriente. Si la corriente decrece (dI/dt<0) la fem autoinducida actúa en la misma dirección que la corriente. Por tanto, la fuerza electromotriz autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la corriente. V

B

V I

I

I I (aumenta)

I (disminuye)

En un circuito de corriente alterna la fem autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la intensidad de la corriente y hace que la intensidad vaya retrasada respecto a la fem. ε + ε L = 0  εm   cos ( ωt ) dt di   ⇒ di = L εm cos ( ωt ) − L dt = 0  εm ε π  I= cos ( ωt ) dt = m sen ( ωt ) = Im cos  ωt −  L Lω 2 

∫

fem i 0

T/2 π

t T

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Energía almacenada en una bobina: Consideremos una bobina conectada a un generador de corriente alterna. Se ha de cumplir

Potencia suministrada = Potencia consumida εi = -εL i + i2R = Li

di 2 +i R dt

La potencia almacenada en la bobina es igual a -εL i = Li

di y lo hace en forma de campo magnétidt

co: di  dUB = Li  dt  dt dUB = Lidi

⇒

UB =

1 2 LI 2

Inducción mutua:

Consideremos dos carretes próximos, una corriente estacionaria i en un carrete crea un flujo magnético en el otro carrete. Si cambia la intensidad i con el tiempo, aparece una fem, dada por la ley de Faraday, en el segundo carrete; este proceso se llama inducción. Se le conoce como inducción mutua para sugerir la interacción mutua de los dos carretes y distinguirlo de la autoinducción en el que sólo hay un carrete. Por tanto, podemos decir que “Es la producción de una fem en un circuito por la variación de la intensidad de corriente que circula por otro”. Inducción Mutua Φ I

1

1 Φ2

1 2

1

I

2 2

Consideremos dos circuitos, 1 y 2, que están próximos. Cuando una corriente circula por el circuito 1, i1, se genera un campo magnético proporcional a la intensidad y a su alrededor. Como consecuencia, a través del circuito 2, hay un flujo magnético que es proporcional también a la intensidad. El flujo magnético que pasa por el circuito 2 debido a la intensidad de corriente que pasa por el 1: N2Φ 21 = M21i1 Siendo M21 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 2 por unidad de corriente en el 1. Similarmente, si una corriente eléctrica circula por el circuito 2, I2, se produce un campo magnético a su alrededor. Por lo que habrá un flujo magnético a través del circuito 1 que será proporcional a la intensidad del 2. El flujo magnético que pasa por el circuito 1 debido a la intensidad de corriente que pasa por el 2: N1Φ12 = M12i2 Siendo M12 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 1 por unidad de corriente en el 2. Los dos coeficientes, M21 y M12, dependen exclusivamente de las formas geométricas de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas. Se demuestra, matemáticamente, que los dos coeficientes son iguales y se llaman la inductancia mutua de los dos circuitos y se mide en Henry (Wb/A). εM2

Si la intensidad i1 por el circuito 1 es variable aparece una fem inducida sobre el circuito 2: di = −M 1 dt

1: εM1

Si por el circuito 2 la intensidad, i2, es variable aparece una fem inducida sobre el circuito di = −M 2 dt

El fenómeno de la inducción mutua nos indica que hay un cambio de energía entre dos circuitos cuando sus corrientes varían con el tiempo. Decimos que los circuitos están acoplados

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electromagnéticamente. “La energía puede ser cambiada entre dos circuitos vía el campo electromagnético”. Aplicaciones de la inducción mutua: el transformador, el telégrafo, la radio, la televisión, el radar, etc. La transmisión de una señal de un lugar a otro por producir una corriente variable en un circuito, llamado transmisor, y actúa sobre otro circuito acoplado a él llamado receptor. El transformador: Consta básicamente de dos arrollamientos, con diferentes número de vueltas, alrededor de un núcleo de hierro en forma de cuadro. Un arrollamiento llamado primario de Np vueltas está conectado a un generador de corriente alterna de fuerza electromotriz ε = εmsen ( ωt ) .

El otro arrollamiento, llamado secundario, y de Ns vueltas está conectado a una resistencia.

x Cuando se conecta el primario a una fem variable, este se convierte en un circuito constituido

por un generador de corriente alterna y una autoinducción pura, ya que la resistencia de la bobina es despreciable.

x Por la bobina del primario pasa una corriente alterna de intensidad desfasada en 90º respecto

de la tensión, que genera un campo magnético variable y, en consecuencia, un flujo variable a través de cada una de sus vueltas.

x La pequeña corriente alterna del primario induce un flujo magnético alterno en el núcleo de hierro.

x Como el núcleo de hierro se extiende a través del arrollamiento del secundario, este flujo inducido se extiende a través de las vueltas del arrollamiento secundario.

x Aplicando la ley de inducción de Faraday la fem inducida por vuelta es la misma para los dos arrollamientos, el primario y el secundario, ε vuelta .

x El voltaje en cada circuito es igual a la fem inducida en cada circuito. Por tanto, considerando valores cuadráticos medios: ε vuelta = − Vs = Vp

dΦ m Vp Vs = = dt Np Ns

Ns Np

Hasta ahora hemos considerado que el circuito secundario está abierto, por lo que no se transmite energía a través del transformador. Si lo cerramos el arrollamiento secundario está conectado a una resistencia.

x Una corriente alterna Is aparece en el secundario con la consiguiente disipación de energía I2·R·t en la resistencia.

x Esta corriente induce su propio flujo magnético variable en el núcleo de hierro e induce una fem opuesta en el arrollamiento primario, que es esencial en la operación del transformador.

x El voltaje del primario Vp no puede cambiar en respuesta a esta fem que se opone porque debe ser siempre igual a la fem que le proporciona el generador ε = εmsen ( ωt ) .

x Para mantener Vp, el generador produce ahora corriente alterna Ip en el circuito primario, con magnitud y fase constante que serán justa las que necesita para cancelar la fem opuesta generada en el arrollamiento primario por Is.

En lugar de analizar los anteriores procesos tan complejos en detalle, tenemos la ventaja de utilizar el principio de conservación de la energía. Para un transformador ideal con una resistencia, el factor de potencia es la unidad. Considerando que ε = Vp encontramos que la velocidad con la que el generador transfiere energía a la vuelta primaria es igual a Ip·Vp. Similarmente, la velocidad a la que la energía es transferida desde el primario al secundario es igual a Is·Vs . Con lo cual Pp=Ps, luego Ip·Vp=Is·Vs y la relación Is=Ip·(Np/Ns) nos da la “Transformación de corriente”.

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El transformador tiene una gran aplicación práctica en el transporte de energía eléctrica de unos lugares a otros muy lejanos, ya que el trabajo que hay que realizar: W(sobre)=I·V·t=I2·R·t, si disminuimos la R o la I disminuimos el trabajo en el transporte. Por tanto, en el transporte de energía eléctrica interesa que la intensidad sea lo más baja posible o la diferencia de potencial lo más alta posible. Esto se consigue con los transformadores. Detectores de metales:

Un detector de metales está formado por dos carretes perpendiculares llamados transmisor y receptor, Ct y Cr. Cuando una corriente it varía sinusoidalmente en el carrete transmisor Ct, el carrete produce a su alrededor un campo magnético que varía continuamente. Si un conductor, como una moneda de oro enterrada, está cerca el campo magnético induce una corriente que varía continuamente en el conductor. Es decir, la moneda actúa como otro carrete. La corriente que varía continuamente en el conductor produce su propio campo magnético variable, el cual induce una corriente ir en el carrete receptor Cr del detector y señala la presencia de la moneda u otro conductor. Así, el carrete Ct no induce directamente una corriente en el carrete Cr ya que enmascararía la señal desde el conductor enterrado, los dos carretes se montan con sus ejes centrales perpendiculares entre sí. El campo magnético de Ct está aproximadamente paralelo al plano de cada vuelta en Cr y no produce flujo magnético a través de Cr e inducir una corriente en Cr.

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Problemas del campo electrostático:

Ke=9·109 N·m2·C-2; εD =8,85·10-12 C2·N-1·m-2; qe=-1,6·10-19 C; me=9,1·10-31 kg. 1) Se desea trasladar, una a una, cuatro cargas de valor Q situadas en el infinito, hasta los cuatro vértices de un cuadrado de lado a. Calcular: a) trabajo necesario para el desplazamiento sucesivo de cada una de las cargas; b) energía potencial electrostática del sistema de cargas en la situación final. a) 0; K Q2a −1; K Q2a −1 1 + 1 ; K Q2a −1 1 + 1 + 1 ; b) K Q2a −1 4 + 2  e e e e  2 2 2  

(

)

(

)

(

)

2) Dos cargas positivas, de 2·10-6 C y 4·10-6 C, están situadas, respectivamente, en los puntos (0;2) m y (0;-2) m. Calcular: a) el campo y el potencial electrostáticos en el punto (4,0) m; b) trabajo necesario para trasladar una carga de 6·10-3 C desde el infinito hasta el punto (4,0) m. [a) Ex=2415 N/C; Ey=402,5 N/C; V=12075 V; b) 72,45 J] 3) Una carga negativa de valor q=-0,7·10-6 C, se encuentra fija en un punto de la mediatriz del segmento que une dos cargas iguales, una positiva y la otra negativa, de valor 0,4·10-6 C, que están fijas y a una distancia de 10 cm. La fuerza que actúa sobre la carga de -0,7·10-6 C es de 1,4·10-3 N. Calcular: a) la dirección y sentido de la fuerza sobre q; b) la distancia a que se encuentra q del segmento que une las otras dos cargas. [a) paralela al segmento que las une y sentido de la positiva; b) 0,56 m] 4) Dos esferas muy pequeñas, de radio despreciable, pesan 4 N cada una y están suspendidas de un mismo punto por sendos hilos de 5 cm de longitud. Al cargar cada una de las esferas con la misma carga negativa, los hilos se separan y, en la situación de equilibrio, forman un ángulo de 45º con la vertical. Calcular el valor de la carga. [1,5·10-6 C] 5) Un electrón, con una velocidad de 10 km/s, penetra en la región comprendida entre dos conductores planos y paralelos, de 8 cm de longitud y separados entre sí 1 cm, en la que existe un campo eléctrico uniforme. El electrón penetra en la región por un punto equidistante de los dos conductores planos y, a la salida, pasa justamente por el borde del conductor superior. Calcular: a) el campo eléctrico que existe entre los dos conductores y la diferencia de potencial entre ellos; b) la variación de energía cinética del electrón. [a) 888,7 V/m; 8,88 V; b) 7,1·10-19J=0,225 eV] 6) Una carga positiva de valor 4·10-6 C está distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de 10 cm de radio. Calcular: a) trabajo necesario para desplazar radialmente una carga de 3·10-6 C, desde un punto situado a 10 cm de la superficie esférica a una distancia de 15 cm ; b) en qué puntos sería nulo el campo si colocamos una carga puntual de 6·10-6 C a 20 cm de distancia de la superficie esférica. [a) -0,108 J; b) 16,5 cm y 13,5 cm] 7) a) Determinar, aplicando el teorema de Gauss, el campo electrostático creado por una distribución plana uniforme, de densidad de carga σ C·m-2, en un punto situado a una distancia d del plano. b) ¿Cuál seria el campo creado por dos planos paralelos, separados por una distancia d, cargados con densidades +σ y −σ , respectivamente.

 σ σ ;    2 εD εD 

8) Dos esferas metálicas de radios 4 cm y 6 cm, muy alejadas entre sí, se cargan con 3·10-6 C cada una. Calcular: a) diferencia de potencial entre ambas esferas; b) potencial y carga de cada esfera después de unirlas mediante un hilo conductor de capacidad despreciable. [a) V4=675 kV y V6=450 kV; 225 kV; b) 540 kV y q4=2,4·10-6 C y q6=3,6·10-6 C] 9) Calcula la fuerza de atracción entre un ion cloruro y un ion sodio a una distancia de 2,0·10-8 cm el uno del otro, si se encuentran: a) en el vacío (la constante dieléctrica es uno); b) en agua (la constante dieléctrica es 81). [a) 5,76 nN; b) 0,0711 nN] 10) Un condensador de placas planas paralelas tiene las placas a 1 mm. Si no hay materia entre ellas, la capacidad es de 3·10-6 F y la intensidad del campo eléctrico entre las placas es de E0 = 1000 V/m. Le introducimos un dieléctrico de vidrio de constante dieléctrica 6. Calcula: a) la diferencia de potencial entre las placas, sin dieléctrico y con dieléctrico; b) la capacidad del condensador con dieléctrico; c)la energía potencial del condensador sin dieléctrico y con dieléctrico; d) la carga de las armaduras. [a) 1 V; 1/6 V; b) 18 mF; c) 1,5·10-6 J; 0,25·10-6 J; d) 3·10-6 C] 11) Un condensador de platos paralelos tiene una capacidad de 1,0·10-12 F. La carga sobre cada plato es de 1,0·10-6 C y su separación es de 1 mm. a) Calcula la diferencia de potencial y el campo eléctrico entre los platos; b) considerando que la carga permanece constante, calcula la diferencia

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de potencial y el campo eléctrico entre los platos si la separación entre ellos se hace de 2 mm; c) calcula el trabajo requerido para realizar la separación entre los platos. [a) 1 MV y 1 GV/m; b) 2 MV; c) 0,5 J] 12) Un electrón se acelera en dirección horizontal, desde el reposo, mediante una diferencia de potencial de 100 V. A continuación, penetra en una región en al existe un campo eléctrico uniforme vertical de 200 N·C-1. a) Dibuje la trayectoria seguida por el electrón y calcule la velocidad con la que entra en la región del campo. b) Calcule el vector velocidad del electrón cuando ha recorrido una distancia horizontal de 0,4 m en el campo. [a) 6000 km/s; b) vx = 6·106m/s; vy = 2,3·106m/s] 13) Una partícula con una carga de 1 pC, inicialmente en reposo, es acelerada por un campo eléctrico uniforme de 8·106 N·C-1 hasta alcanzar una velocidad de 8 m·s-1. Si la partícula tarda 2s en alcanzar dicha velocidad, calcule: a) la masa de la partícula y el espacio recorrido en ese tiempo; b) la diferencia de potencial entre las posiciones inicial y final. [a) 2 mg y 8 m; b) 64 MV] 14) Una partícula de 6·106 C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N·C-1, dirigido en el sentido positivo del eje OY. a) Describe la trayectoria seguida por la partícula hasta el instante en que se encuentra en el punto A, situado a 2 m del origen. ¿Aumenta o disminuye la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento?, ¿en qué se convierte dicha variación de energía?. b) Calcule el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento de la partícula y la diferencia de potencial entre el origen y el punto A. [b) 6 mJ; 1000 V] 15) Una carga puntual q1=+1,0·10-3C está en el origen (0,0) m y otra carga q2=-2,0·10-3C en el punto (5·10-3; 0) m. Determina: a) los puntos sobre el eje OY en los que el potencial del campo electrostático sea cero; b) el trabajo realizado por el campo si q2 se traslada desde su posición a un punto en el que el potencial es cero. [a) ±2,9·10-3m; b) 2,6 MJ] 16) Dos platos paralelos tienen la misma área 100 cm2 y la misma carga pero opuesta de valor 8,9·10-7C. Si se llena el espacio entre los platos con un material dieléctrico el campo eléctrico dentro del dieléctrico es 1,4·106 V/m. a) Calcula la constante dieléctrica del material. b) Calcula la carga de polarización inducida sobre cada superficie del dieléctrico. Dato: ε0=8,85·10-12F/m. [a) 7,2; b) 7,7·10-5 C/m2 ó 7,7·10-7 C] 17) Dos láminas no conductoras están cargadas uniformemente por toda la superficie. Una de ellas, cargada positivamente, tiene una densidad superficial de carga de 6,8·10-6 C·m-2 y la otra, cargada negativamente, tiene una densidad superficial de carga de -4,3·10-6 C·m-2. Si se colocan paralelas determina la intensidad del campo eléctrico: a) entre las láminas; b) a los lados de cada una. Dato: ε0=8,85·10-12 C2·N-1·m-2. [a) 6,3·105N/C; b) 1,4·105N/C] 18) En las proximidades de la superficie terrestre se aplica un campo eléctrico uniforme. Se observa que al soltar una partícula de 2 g cargada con 5·10-5 C permanece en reposo. a) Determine razonadamente las características del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido). b) Explique qué ocurriría si la carga fuera de 10·10-5 C y de –5·10-5 C. 19) Dos cargas puntuales iguales de –5·10-8 C, están fijas en los puntos (0,0) m y (5,0) m. Calcule: a) el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto (10,0) m; b) la velocidad con que llega al punto (8,0) m una partícula de carga 8·10-9 C y masa 5·10-3 g que se abandona libremente en el punto (10,0) m. Dato: Ke. 20) Las armaduras de un condensador plano están a 10 mm, siendo la intensidad del campo eléctrico, entre ellas, de 50 MV/m si están en el vacío. Si se llena la mitad del espacio entre las armaduras con un dieléctrico, homogéneo e isótropo, de constante dieléctrica 6. Para los dos casos de los dibujos a) y b), determina la diferencia de potencial entre las dos armaduras del condensador y la intensidad del campo eléctrico en ambas mitades en los dos casos siguientes: 1º) si las cargas en las armaduras permanecen constantes con la introducción del dieléctrico; 2º) si se mantiene constante la diferencia de potencial entre las armaduras con la introducción del dieléctrico. Soluciones: a) caso 1: ∆ V0=500 kV; ∆ V=291,7 kV; E1=50 MV/m; E2=(50/6) MV/m; caso 2: E’1=85,7 MV/m; E’2=14,3 MV/m; b) caso 1: ∆ V=14,28 kV; E1= E2=14,28 MV/m caso 2: ∆ V0=500 kV; E’1=85,7 MV/m; E’2=14,3 MV/m;

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a)

b)

d

1

1

2

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Problemas de electromagnetismo: εD = 8,85 ⋅ 10−12

C2 N⋅m2

; µD = 4π ⋅ 10−7

N A2

;q e = −1,6 ⋅ 10−19 C; me = 9,1 ⋅ 10−31 kg

1) Un electrón que se mueve con una velocidad de 50km/s, en el sentido positivo del eje OX. Penetra en una región en la que existe un campo magnético de 0,05 T dirigido en el sentido negativo del eje OZ. Calcular: a) la aceleración del electrón; b) el radio de la órbita descrita y el período orbital. [a) 4,40·1014 m/s2 hacia -OY; b) 5,70 mm y 0,714 ns] 2) Un electrón con velocidad de 40 km/s en el sentido positivo del eje OX, penetra en una región en la que existe un campo magnético de 0,5 T en el sentido positivo del eje OZ. Calcular: a) la diferencia de potencial necesaria para que el electrón adquiera la energía cinética inicial; b) el campo eléctrico que habría que aplicar para que el electrón mantuviera rectilínea su trayectoria. [a) 4,55 mV; b) 20.000 V/m hacia + OY] 3) En un espectrógrafo de masas los iones de diversos isótopos de un elemento son acelerados mediante una diferencia de potencial de 4 kV y, a continuación, penetran en una región de campo magnético uniforme de 0,1 T que les obliga a describir un arco de 180º y alcanzar un colector donde son recogidos. ¿A qué distancia habrá que colocar los colectores para recoger los isótopos del catión cobre(II) cuyos números másicos son 65 y 63?. Datos: 1u=1,66·10-27kg; qe=1,6·10-19C. [para el 65 a 1038 mm y para el 63 a 1022 mm] 4) Entre las placas de un condensador plano, situado en el vacío, existe un campo eléctrico de 100 kN/C. La distancia entre las placas es de 1 cm y despreciamos la interacción gravitatoria. a) Dibuje el condensador, indicando la dirección y sentido de las líneas del campo y calcule la diferencia de potencial entre las placas. ¿Cuál de las placas está a más potencial?. b) Si se lanza, paralelamente a las placas y en su punto medio un electrón con una velocidad de 1000 km/s, la trayectoria de éste se curvará ¿cuánto tiempo tardará el electrón en golpear la placa positiva?. c) Si hacemos coincidir el semieje positivo OX con la trayectoria inicial del electrón, es decir, equidistante de las placas y paralelo a ellas, calcular la intensidad, dirección y sentido del campo magnético que habría que colocar entre las placas para que el electrón no se desvíe de su dirección inicial. 5) Una fuente de iones produce 6Li (de masa 6·u) con carga +e. Los iones son acelerados por una diferencia de potencial de 10 kV y pasan horizontalmente por una región en la que hay un campo magnético vertical y uniforme de 1,2 T. Calcula la intensidad del campo eléctrico que se ha de colocar en la misma región para que los iones 6Li no se desvíen. [680 V/m] 6) Una partícula alfa (α) tiene de carga +2e y de masa 4,0·u. En un campo magnético de 1,2 T describe una trayectoria circular de radio 4,50 cm. Calcula: a) su velocidad; b) su período de revolución; c) su energía cinética en eV; d) la diferencia de potencial por la que se ha acelerado para alcanzar esa energía. [a) 2,60·106m·s-1; b) 1,09·10-7 s; c) 1,4·105eV; d) 70 kV]. 7) Un protón, un deuterón y una partícula alfa se aceleran por la misma diferencia de potencial, entran en una región de campo magnético uniforme B y se mueven perpendicularmente a B. a) Compara sus energías cinéticas. Si el radio de la trayectoria circular del protón es de 10 cm determina los radios del deuterón y de la partícula alfa. Datos: 1H de masa 1,00·u; 2H de masa 2,01·u; 4He de masa 4,00·u. [a) 2·Kp=2·Kd=Kα; b) Rd=Rα=14 cm] 8) Dos conductores rectilíneos paralelos, recorridos por corrientes del mismo sentido de 10 y 20 A, respectivamente, están separados entre sí 10 cm. Calcular: a) el campo magnético en un punto situado a 10 cm del primer conductor y a 20 cm del segundo; b) fuerza por unidad de longitud sobre un conductor rectilíneo situado en el mismo plano que los otros dos conductores, paralelo y equidistante de ambos, por el que circula una corriente de 5 A de sentido contrario a las de los otros dos. [a) 0,040 mT; b) 2·10-4 N/m hacia el de 10 A] 9) Sobre dos raíles paralelos al eje OX, situados en un plano horizontal y separados 30 cm, se apoya una barra de cobre de 0,1 kg. Se hace circular de un raíl al otro, a través de la barra de cobre, una corriente de 30 A. Calcular el campo magnético que habría que aplicar para que la ba-

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rra se deslice sobre los raíles con velocidad constante si el coeficiente de rozamiento barra-raíl es de 0,2. [21,8 mT] 10) Dos hilos de cobre están colocados perpendicularmente al plano XY. El primero en el punto (1;0) m lleva una intensidad de 1 A en sentido del eje Z, y el segundo en el punto (1;0) m lleva una intensidad en sentido del eje -Z. Calcula la intensidad del campo magnético, debido a los dos hilos, en un punto a 2 m de cada hilo en el eje OY. [Bx=½·3½·10-7T; By=½·3·10-7T; |Bneto|=3½·10-7T a 60º con el eje OX] 11) Dos hilos paralelos, perpendiculares al plano XY sobre el eje X, distan 5,3 cm y llevan corrientes de 15 A y 32 A en direcciones opuestas. ¿Cuál es el campo magnético resultante, en magnitud y dirección, en un punto situado a 3,75 cm de los dos?. [1,89·10-4 T a 70º del eje X] 12) Cuatro hilos de cobre están colocados paralelamente en los extremos de un cuadrado de 20 cm de lado. Cada uno lleva una corriente de 20 A, dos contiguos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario. Calcula la magnitud y dirección del campo magnético B en el centro del cuadrado. [8,0·10-5T] 13) Por una espira rectangular de 10 cm de base sobre el eje X y de 20 cm de altura sobre el eje Y, circula una corriente de 5 A en sentido horario. Se aplica un campo magnético de valor 2 T y dirigido en el sentido positivo del eje OY. Calcular: a) la fuerza magnética sobre cada lado de la espira; b) momento sobre la espira. a) 1 k N y -1 k N; b) 0, 2 i N $ m . 14) Un cable coaxial está formado por un conductor cilíndrico de radio R y otro conductor, también cilíndrico, de radios interior y exterior R1 y R2, respectivamente. Ambos conductores están recorridos por corrientes de 1 A, y de sentidos contrarios. Calcula el campo magnético: a) en un punto situado entre los dos conductores; b) en un punto exterior al cable; c) en un punto rR2 el valor de B=µ0I/(2πr); b) que en el punto R1
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21) Una bobina que está formada de 200 vueltas y su radio es de 0,10 m se encuentra perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,2 T. Calcula la fem inducida en el carrete si, en 0’1 s, a) el campo magnético se dobla, b) el campo se hace cero, c) el campo invierte su dirección, d) la bobina rota 90º, e) la bobina rota 180º. [a) -4π V siendo el sentido de giro contrario al aumento de B; b) +4π V siendo el sentido de giro el mismo a la disminución de B; c) +8π V; d) +4π V; e) +8π V]. 22) Dos carretes se encuentran en posiciones fijas. Cuando por el carrete 1 no pasa corriente y la corriente en el carrete 2 se incrementa a la velocidad de 15,0 A/s, la fem en el carrete 1 es 2,5·102V. a) Determina su inductancia mutua. b) Cuando el carrete 2 no tiene corriente y el carrete 1 tiene una corriente de 3,60 A, ¿cuál es el flujo enlazado en el carrete 2?. [a) 1,67·10-3 H; b) 6,0·10-3 Wb] 23) Dos carretes A y B tienen 200 y 800 vueltas. Una corriente de 2 A en el carrete A produce un flujo magnético de 1,8·10-4 Wb en cada vuelta del carrete B. Calcula: a) el coeficiente de inducción mutua M; b) el flujo magnético a través del carrete A cuando hay una corriente de 4 A en el carrete B; c) la fem inducida en el carrete B cuando la corriente en el carrete A cambia desde 3 A hasta 1 A en 0,3 s. [a) 0,072 H; b) 1,44·10-3 Wb; c) +0,48 V] 24) El carrete 1 tiene N1=100 vueltas y L1=25 mH y el carrete 2 tiene N2=200 vueltas y L2=40 mH. Están fijos y el coeficiente M12=3 mH. Una corriente de 6 mA en el carrete 1 está variando a 4 A/s. a) ¿Cuál es el flujo enlazante 12 en el carrete 1 y cuál es la fem autoinducida que aparece en él?. b) ¿Cuál es el flujo enlazante 21 en el carrete 2 y la fem inducida mutuamente?. [a) 1,5·10-4 H y 0,1 V; b) 1,8·10-5 H y 0,012 V] 25) Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados 10 cm, transportan corrientes de 5 y 8 A, respectivamente, en sentidos opuestos. Determine: a) el campo magnético en un punto del plano definido por los dos conductores situado a 2 cm del primero y a 12 cm del segundo; b) la fuerza por unidad de longitud entre los dos conductores. Dato: µ0.

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“INTERACCIÓN NUCLEAR” Núcleo atómico. Fuerzas nucleares. Revisión de los modelos atómicos. Núcleo y electrones Análisis de la mecánica cuántica: Partículas y campos Partículas nucleares: protón y neutrón. Tamaño y densidad nucleares. Momento Angular del núcleo. Fuerzas nucleares. Propiedades de la interacción fuerte Estabilidad nuclear. Energía de enlace. Equivalencia masa-energía. Teoría de la Relatividad Defecto de masa y energía de enlace nuclear. Energía de enlace por nucleón. Dependencia con el número másico Fisión nuclear. Fusión nuclear Radiactividad. Leyes de la desintegración radiactiva. Actividad. Vida media Radiactividad natural y artificial. Radiactividad Alfa, Beta y Gamma. Radiactividad artificial Leyes de conservación que se han de cumplir en todos los procesos radiactivos. Familias radiactivas Reacciones nucleares: Fisión y fusión. Leyes de conservación en una reacción nuclear Aplicaciones de la radiactividad y de las reacciones nucleares. Efectos biológicos Problemas propuestos Núcleo atómico. Fuerzas nucleares.Revisión de los modelos atómicos. Núcleo y electrones: Análisis histórico hasta el modelo nuclear del átomo: 1)

En 1895 se descubren los rayos catódicos, su nombre se debe a que son una radiación procedente del cátodo. La radiación se produce entre dos electrodos, por aplicación de varios miles de voltios, colocados dentro de un tubo con un gas a una presión muy baja (100 Pa ó 0,001 atm).

2)

En 1896 se descubre la radiactividad natural por la que se demostraba que todos los elementos químicos tienen algo en común. Así, los elementos químicos más pesados tienen las propiedades de las radiactividades alfa (partículas positivas), beta (partículas negativas) y gamma (radiación de muy alta energía).

3)

En 1897 J.J. Thomson estudiando las propiedades de los rayos catódicos descubre que estos rayos están constituidos de partículas cargadas negativamente y establece la existencia de los electrones.

4)

En 1904 Thomson propuso el primer modelo atómico en el que se consideraba el átomo como una esfera cargada positivamente de radio 10-10m con los electrones entremezclados sobre su volumen.

5)

Entre 1909 y 1911 Geiger, Marsden y Rutherford realizan los experimentos de dispersión de partículas alfa por láminas muy finas de metales, que no se podían explicar con el modelo atómico de Thomson. 1.000.000

Número de partículas α registradas

100.000 lámina de Au 10.000

φ 1000

Fuente de partículas α Detector

100

0º

20º

40º

60º

80º

Ángulo de dispersión

100º

120º

140º

φ

En 1911 Ernest Rutherford propuso un nuevo modelo atómico, en el que consideraba al átomo constituido por un núcleo cargado positivamente de tamaño muy pequeño (10-14m) con los electrones distribuidos alrededor a distancias de 10-10m. Estando la masa concentrada en los núcleos ya que la masa de los electrones era muy pequeña. Por lo que el año 1911 se considera el año de creación de la Física Nuclear. El modelo nuclear de Rutherford tiene una dificultad importante y es que supone que los electrones en su movimiento poseen una aceleración radial y, por las leyes de la electrodinámica clásica, una partícula cargada y acelerada debe perder energía por radiación, cuya frecuencia se-

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ría cambiante con el tiempo. Sin embargo, los experimentos demuestran que los espectros atómicos de emisión son fijos, es decir, a unas frecuencias constantes. En 1913 Moseley determinó la carga nuclear de los átomos analizando el espectro de rayos-X de los elementos químicos. Los fotones de rayos X se producen cuando un electrón muy energético choca con un átomo y le arranca un electrón. Si el electrón es de la capa n=1 ó capa K deja un hueco al que cae un electrón de otra capa externa emitiendo un fotón de rayos X. Si el electrón cae desde n=2 ó capa L tenemos una línea K. Conocidos los espectros de rayos-X de muchos elementos químicos, representó gráficamente en el eje de ordenadas la raíz cuadrada de la frecuencia emitida de la radiación, del espectro de rayos-X, denominada la línea Kα y en el eje de abscisas el número del elemento en la Tabla Periódica. Se comprueba que existe una regularidad lineal, por lo que Moseley dice: “Esta regularidad lineal es una prueba de que en cada átomo hay una cantidad fundamental, que se incrementa con regularidad cuando se pasa desde un elemento químico al siguiente. Esta cantidad sólo puede ser la carga sobre el núcleo central”. La medición de la carga nuclear encontrada por Moseley establece una relación sencilla entre la frecuencia f de la radiación característica de rayoX y la carga nuclear Z: ν = aZ − b . Las constantes a y b no dependen del elemento. Esto le permitió ordenar los elementos desde el Ca hasta el Zn por su número atómico. Además, el método de Moseley ayudó a determinar la posición de ciertos elementos que no se habían descubierto, por entonces, en la Tabla Periódica y también confirmó el fenómeno conocido como captura-K. En 1913 Niels Bohr propuso un nuevo modelo para superar las dificultades del de Rutherford y explicar el espectro de emisión del átomo de Hidrógeno. Bohr supone, como primera aproximación, que el núcleo coincide con el centro de masas del átomo y está en reposo en el sistema-C. La energía electrónica total del átomo es la suma de la cinética y potencial: E = Ec + E p =

1 Ze2 1 Ze2 Ze2 1 Ze2 me v2 − K e = Ke − Ke = − Ke 2 r 2 r r 2 r

Dentro del contexto clásico no hay limitaciones posibles de los valores de la energía de un electrón en un átomo. Sin embargo, hay evidencia experimental para sugerir que “la energía de un electrón en un átomo puede tener sólo ciertos valores E1, E2,..., En,... Es decir, la energía del movimiento electrónico está cuantizada”. Los estados correspondientes a las energías posibles se llaman estados estacionarios. El estado que tiene la menor energía posible es el estado fundamental. En el caso del átomo de H se ha encontrado experimentalmente analizando los espectros de átomos hidrogenoides que la energía de los estados estacionarios cumplen una expresión de la forma:

(

)

2

(

)

2

2 2 me me 1 Ze2 1 2 Ze 1 1 2 Ze 2,18 ⋅ 10−18 13,6 E = − Ke K J = − 2 eV = − Ke = − = − e 2 2 2 2 2 2 r 2 n = n 2 n n =

En=-2,177×10-18·Z2/n2 J=-13,598×Z2/n2 (eV) donde n es un número entero. La existencia de estados estacionarios en los átomos unielectrónicos requiere que el momento angular del electrón L=mevr se encuentre limitado sólo a ciertos valores. De acuerdo con la h = n= . Por tanto, “el momenteoría de Bohr los posibles valores del momento angular son L = n 2π to angular de un electrón en un átomo puede tener sólo ciertos valores L1, L2,..., Ln,..., por lo que el momento angular del movimiento electrónico está cuantizado”. El hecho de que la energía y el momento angular estén cuantizados, en el modelo de Bohr, es una manifestación de que debemos tomar en cuenta principios nuevos para analizar el movimiento del electrón. La teoría correspondiente se llama mecánica cuántica. La mecánica cuántica es el resultado de los trabajos originales de Louis de Broglie (18921987), Erwin Schrödinger (1887-1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros quienes la desarrollaron en la década de 1920. La mecánica cuántica es esencial para conocer el comportamiento de los constituyentes fundamentales de la materia. Análisis de la mecánica cuántica: Partículas y campos Nuestra experiencia sensorial nos lleva a considerar que los objetos que nosotros tocamos tienen una forma y tamaño bien definidos por lo que están bien localizados en el espacio. Por tanto, tendemos a extrapolar y consideramos que las partículas fundamentales (electrones, protones,

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etc.) tienen forma y tamaño y las imaginamos como pequeñas esferas con un radio determinado, con una masa y carga. Los experimentos nos demuestran que nuestra extrapolación sensorial de los constituyentes básicos de la materia es errónea. El comportamiento dinámico de los átomos y de las partículas subatómicas requiere que asociemos a cada partícula un campo (un campo de materia), de la misma forma que asociamos un fotón (que puede considerarse equivalente a una partícula) con un campo electromagnético. Postula que los electrones se mueven en órbitas estacionarias, de tal forma que el momento angular del electrón, que es constante, tienen unos determinados valores, que son múltiplos de la constante de Planck. Por tanto, cada órbita estacionaria está a una distancia determinada y tiene una energía determinada, y la emisión o absorción de energía de radiación por un átomo es causada siempre por una transición de un electrón desde una órbita a otra. Estando la frecuencia de la radiación en una correspondencia lineal con las diferencias de energía de los estados participantes en la transición. Con ayuda de unos cálculos sencillos basados en los postulados de Bohr se pudo obtener teóricamente las líneas espectrales y el valor de la constante de Rydberg. La teoría de Bohr fue posteriormente modificada y perfeccionada, ya que se consideró el movimiento de los núcleos alrededor del centro de masa, y las órbitas circulares fueron sustituidas por elípticas. Todo esto llevó a un mejor conocimiento de los espectros ópticos de los átomos y, en particular, pudo explicar el efecto Zeeman. En 1926 Heisenberg y Scrödinger propusieron una nueva aproximación para describir los fenómenos microscópicos llamada mecánica cuántica. Esta nueva mecánica surgió del principio de la dualidad onda-corpúsculo y del principio de incertidumbre. El antiguo modelo del átomo fue sustituido por uno nuevo, en el que la posición de los electrones en el átomo no se puede especificar exactamente pero hay una cierta probabilidad dada por una función de onda, la cual es solución de la ecuación de onda. La mecánica cuántica no sólo confirmó todos los resultados de la teoría de Bohr sino que explicó por qué un átomo dado no emite energía en un estado estacionario. También permitió un cálculo de las intensidades de las líneas espectrales. Además, la mecánica cuántica explicó la difracción de electrones, un fenómeno incomprensible desde el punto de vista clásico. La mecánica cuántica también se utilizó para explicar los fenómenos nucleares, como la explicación de la radiación alfa en 1928 (Gamow). Partículas nucleares: protón y neutrón.En 1919 se realizaron dos importantes descubrimientos. Por una parte, Aston construye el espectrómetro de masas lo que permitió determinar con gran exactitud las masas atómicas y permitió conocer la existencia de los isótopos. Por otra parte, Rutherford continuando con sus experimentos de dispersión de partículas alfa descubrió la escisión del núcleo de Nitrógeno acompañado por el escape de una partícula cargada positivamente con carga e+ y una masa igual a la del núcleo del isótopo más ligero del hidrógeno igual a 1836,1me:

14 7N

*

+ 42 He →  189 F  → 11H + 178 O

El experimento fue repetido con otros materiales y en todos los casos, el núcleo de estos materiales emitía núcleos de H cuando eran bombardeados con partículas alfa rápidas. Así quedó probado que el núcleo contiene el núcleo de H más sencillo y se llamó protón. El descubrimiento del protón llevó a considerar que el núcleo está constituido por protones y electrones: A protones en el núcleo, (A-Z) electrones en el núcleo y Z electrones girando. Este modelo proporcionó una explicación natural del hecho que la masa atómica de los elementos es proporcional al número de masa A y la carga nuclear es proporcional al número atómico Z. Posteriormente se comprobó que en el núcleo no hay electrones debido a los siguientes hechos: 1º) En 1925 se introdujo el concepto espín del electrón para explicar la estructura fina de la radiación atómica. Después para explicar la estructura hiperfina de los espectros se consideró que los núcleos atómicos tienen espín y momento magnético. El electrón tiene número cuántico de espín s=½ y el número cuántico magnético de espín puede tener dos valores ms=±½. 2º) Un electrón es una partícula cargada, y con su momento angular hay asociado un momento magnético. El momento magnético surge del momento angular del electrón. El argumento clásico es que si una carga e- circula en una órbita de radio r, en el plano XY, a una velocidad v la coeV rriente es I = − 2πr Esta corriente origina un momento dipolar magnético con componente z igual a

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mz = IA = I 2πr2 = −

el 1 evr = − z = γ e l z 2 2me

l z = me vr G G G El vector momento magnético y el momento angular m = γ e l = − e l 2me

El electrón en un átomo puede tener dos tipos de momento angular, su espín y su momento angular orbital, por lo que existen dos causas o fuentes del momento magnético. Estos dos momentos magnéticos pueden interactuar y producen separaciones en las energías de los estados del átomo y estas separaciones afectarán la apariencia del espectro del átomo, y se llama estructura fina del espectro. 3º) Las propiedades del momento magnético orbital se derivan del propio momento angular. En concreto la componente z está cuantizada y tiene restringidos los valores posibles a mz = γ e ml = ( ml = 0;...; ± l ) La cantidad µB = −γ e = = 24J/T.

e= positiva se llama magnetón de Bohr, y su valor es igual a 9,274×102me

Siendo mz = −µB ml

4º) El momento magnético de espín, que surge del espín del electrón, por analogía con el momento magnético orbital podemos suponer que sea m = γ es , pero al no tener analogía clásica se deriva de la ecuación relativista de Dirac y da m = 2γ es , con un factor adicional de 2, luego el momento magnético debido al espín es el doble del valor esperado con una argumentación clásica. Siendo m = g e γ es y la componente sobre el eje z igual a mz = −g e µB ms ms = ±

1 2

5º) El núcleo más sencillo, el protón, tiene un momento angular intrínseco

1 = y un momento 2

magnético positivo igual a 2,7927×µN magnetones nucleares. El magnetón nuclear es µN =

e= J = 5,05 × 10−27 que comparado con el electrón es unas 658 ve2mp T

ces menor: Me/Mp=9,274×10-24 J/T/(2,7927×5,0504·10-27 J/T)=658. Medidas de los momentos magnéticos de otros núcleos atómicos demostraron que sus valores absolutos están próximos al momento magnético del protón y difieren considerablemente del momento magnético del electrón. Lo que supuso un serio argumento en contra del modelo nuclear electrón-protón. El deuterón, cuyo núcleo, en el modelo nuclear protón-electrón, consistirá en dos protones y un electrón, debería tener espín 12 = ó 3 12 = y los valores experimentales del espín del deuterón es de valor = lo que demuestra que no hay electrones en el núcleo. Con esta conclusión los núcleos no pueden estar compuestos solamente de protones ya que en este caso A será siempre igual a Z. Por tanto, debe de existir alguna partícula que junto a los protones constituya el núcleo. En 1930 continuando los experimentos de Rutherford, Bothe y Becker descubrieron que cuando bombardeaban con partículas alfa algunos elementos ligeros (Be, B) se produce una radiación muy penetrante. Esta radiación no estaba compuesta de partículas cargadas, ya que no le afectaban los campos eléctricos o magnéticos y pensaron que era una radiación de alta energía. Siendo el proceso 9 4 Be

*

+ 42 He →  136 C  → 136 C + γ

Pero los cálculos cuantitativos no eran buenos para explicar tanta energía emitida. En 1932 Irene y Frederic Joliot-Curie establecieron que la nueva radiación sale fuera del núcleo de los elementos ligeros. Pero fue considerada como radiación de alta energía.

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En el mismo año 1932 Chadwick demostró que todas estas dificultades desaparecen y se cumplen las leyes de conservación si en lugar de considerar que se emite energía alta (radiación gamma) se emiten partículas neutras que tengan una masa parecida a la de los protones. Esas partículas neutras se llamaron neutrones y el proceso se escribe de la siguiente forma 9 4 Be

*

+ 42 He →  136 C  → 126 C + 01n

Chadwick usó las leyes de conservación de la energía y del momento lineal para analizar los resultados experimentales de choque de partículas alfa sobre Be, la radiación saliente la dirigió hacia una cámara de ionización, la cual fue alternativamente llenada con Hidrógeno y Nitrógeno. El análisis de la colisión de la radiación entrante en la cámara con los núcleos de H y de N le llevó a la conclusión que eran partículas de masa parecida a la del protón pero sin carga, que les llamó neutrones.

El neutrón tiene una masa 1838,6 veces la masa del electrón y es más pesado que el protón. Las medidas de su espín y momento magnético indican que como el protón y el electrón tiene un espín de valor 12 = mientras su momento magnético es negativo y menor en 936 veces que el momento magnético del electrón. El momento magnético del neutrón es de 1,9131 magnetones nucleares Al poco tiempo del descubrimiento del neutrón Heisenberg estableció el modelo protónneutrón como estructura de los núcleos. Este modelo elimina completamente las dificultades asociadas con el modelo anterior protón-electrón. En este modelo todos los núcleos poseen dos tipos de partículas llamadas nucleones que son los protones y los neutrones. Hoy se conocen más de 2000 núcleos entre naturales y artificiales. Los núcleos difieren en el número de protones y neutrones. Un núcleo es un conglomerado de protones y neutrones ocupando una pequeña región del átomo. Se representa de la siguiente forma: AZ X . El número A es el número de nucleones o número másico, Z es el número de protones y la diferencia (A-Z)=N es el número de neutrones. Núcleos isótopos son los que tienen igual número de protones Z, núcleos isobaros los que tienen igual número de nucleones A y núcleos isotonos los que tienen igual número de neutrones. Tamaño y densidad nucleares.-

Para comprender la naturaleza de las fuerzas que retienen los protones y los neutrones unidos en los núcleos, es necesario analizar algunas propiedades físicas del núcleo además de la carga y la masa. Tamaño: Todos los resultados experimentales confirman que los núcleos tienen forma esférica, sin embargo el radio nuclear R difiere de unos métodos a otros pero siempre es proporcional a 1

A1/3, donde A es el número másico del núcleo. La relación es: R = rD A 3 donde r0 es un coeficiente empírico, aproximadamente el mismo para todos los núcleos. Su valor aceptado es r0=1,4×10-15m. Como el volumen de la esfera es 34 πR 3 , el volumen nuclear es proporcional al número de nucleo-

nes A: V =

4 3

πR 3 =

4 3

πrD3 A = 1,12 ⋅ 10−45 A m3

Esto sugiere que los nucleones están empaquetados a unas distancias promedio fijas, independientemente del número de partículas, por lo que el volumen por nucleón es una cantidad constante y la misma para todos los núcleos VD = 34 πrD3 . Otra conclusión es que la densidad de la materia nuclear es la misma para todos los núcleos. La densidad de la materia nuclear se puede determinar. Si la unidad de masa atómica es 1u=1,66×10-27kg, la masa de un núcleo de número másico A es aproximadamente M=Au kg, por lo que la densidad promedio de la materia nuclear es independiente de A. 1u = d=

1 m 12

M = V

(

12 6C

1  0,012 kg  1  0,012 kg ) = 12   = N   12  6,022 ⋅ 10

Au 4 3

πrD3 A

23

A

=

−27

kg

−45

3

1,66 ⋅ 10 1,12 ⋅ 10

m

= 1, 49 ⋅ 1018

kg m3

 −24 kg  = 1,66 ⋅ 10 

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Esta densidad de los núcleos es alrededor de 1015 veces mayor que la densidad de la materia en su conjunto como la conocemos en la superficie de la Tierra. También demuestra que la materia en su conjunto está vacía esencialmente y que la masa está concentrada en el núcleo, que ocupa una pequeña fracción del volumen atómico. Momento Angular del núcleo.-

El momento angular de un núcleo se llama, históricamente, espín nuclear. Pero esto no significa que el núcleo esté rotando como un cuerpo rígido. Lo que ocurre es que los protones y los neutrones poseen momento angular orbital asociado con su movimiento en los núcleos. El momento angular nuclear resultante (espín) se obtiene combinando el momento angular orbital y los espines de los nucleones que componen los núcleos. El espín nuclear se designa con el número cuántico I y la magnitud del espín nuclear es = I ( I + 1) 

La componente del espín nuclear en una dirección es Iz = mI = donde mI=±I, ±(I-1), ..., ±½ ó 0. Dependiendo si I es semientero o entero. Por tanto, hay (2I+1) orientaciones posibles del espín nuclear. Como el espín de los nucleones es ½ los valores de I son enteros, si A es par, o semienteros, si A es impar, en un rango desde cero, como en 4He y 12C, hasta 7 como en 176Lu. Prácticamente todos los núcleos que tienen un número par de neutrones y protones (parpar) tienen I=0, lo que nos indica que los nucleones idénticos tienden a emparejar sus momentos angulares en direcciones opuestas. Los núcleos par-impar tienen todos espín semientero, y es razonable considerar que el espín nuclear coincide con el momento angular del último nucleón desapareado. Los núcleos impar-impar tienen dos nucleones sin aparear, un neutrón y un protón, y los resultados experimentales son un poco más difícil de predecir, aunque sus momentos angulares son enteros cuando hay un número par de partículas. Fuerzas nucleares. Propiedades de la interacción fuerte.-

Las propiedades principales de las fuerzas nucleares que han sido determinadas experimentalmente se pueden resumir en los siguientes apartados: 1)

La fuerza nuclear es de corto alcance. Se llama de corto alcance porque sólo se pone de manifiesto cuando las partículas interactuantes están muy próximas, a una distancia del orden de 10-15m (1fm) o menos. A distancias mayores de 1014 m, correspondiente a las dimensiones nucleares la fuerza no se observa. En un núcleo, cada nucleón interactúa sólo con sus vecinos mientras que la repulsión de Coulomb se establece entre todos los protones.

2)

La fuerza nuclear es independiente de la carga eléctrica. Esto significa que las interacciones nucleares entre dos protones, dos neutrones, o un protón y un neutrón son básicamente las mismas. Esto se pone de manifiesto en el hecho de que la energía de enlace por nucleón es la misma independientemente de la mezcla de protones y neutrones en el núcleo.

3)

La fuerza nuclear depende de la orientación relativa de los espines de los nucleones interactuantes. Este hecho se ha confirmado por experimentos de dispersión y por análisis de los niveles de la energía nuclear. Se ha encontrado que la energía de un sistema de dos nucleones en el que los dos tienen espines paralelos es diferente de la energía del sistema cuando los espines son opuestos. De hecho, el sistema neutrón-protón tiene un estado enlazado, el deuterón, en el que los dos nucleones tienen sus espines paralelos (S=1), pero no existe con los espines opuestos (S=0).

4)

La fuerza nuclear no es completamente central; depende de la orientación de los espines relativa a la línea de unión de los nucleones. Esta propiedad se ha deducido porque se ha observado que hasta en el núcleo más simple, el deuterón, el momento angular orbital de los dos nucleones relativo a su centro de masa no es constante, lo que es contrario a la situación cuando las fuerzas son centrales.

5)

La fuerza nuclear a distancias muy cortas llega a ser repulsiva. Este hecho ha sido introducido para explicar la separación promedio constante entre los nucleones, de lo que resulta un volumen nuclear proporcional al número de nucleones.

Una expresión correcta de la energía potencial de la interacción nuclear entre dos nucleones no es bien conocida. En 1935 Yukawa propuso la siguiente expresión:

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G E ⋅ a − r/a Ep (r) = − D e r

Los parámetros E0 y a son constantes. La constante a está relacionada con el rango de la fuerza nuclear y E0 da la intensidad de la interacción. El factor e-r/a expresa el decrecimiento exponencial que se hace más rápidamente cero que el potencial eléctrico 1/r. Por otra parte hay dudas sobre si la interacción nuclear se pueda expresar en términos de una función de la energía potencial, de la misma forma que lo hacemos con las interacciones electromagnéticas y gravitatoria. La razón es que la fuerza nuclear es un efecto residual de la interacción fuerte entre los quarks que componen los protones y los neutrones. Estabilidad nuclear. Energía de enlace.Equivalencia masa-energía: Teoría de la Relatividad: Para cuerpos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz se ha de utilizar la Teoría de la Relatividad que considera como ley universal “la velocidad de la luz es una invariante física, teniendo el mismo valor para todos los observadores en movimiento relativo uniforme”.

Como consecuencia las transformación de Galileo t’=t no es correcta y todos los observadores en movimiento relativo uniforme son equivalentes. Y

Y’

P r’

r O

R

O’

X=X’

Vrelativa

Z

Z’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se encuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z,t) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’, t’) para el segundo O’X’Y’Z’. Las nuevas transformaciones compatibles con que la velocidad de la luz sea constante: Transformaciones Lorentz :

x' =

x − vr t v  1−  r   c 

2

; y ' = y; z ' = z; t ' =

t − v r x /c2 v  1−  r   c 

2

El principio de la relatividad especial “todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales que se muevan con velocidad relativa constante unos respecto de otros”. Con lo cual para que se cumpla el principio de conservación del momento lineal en partículas rápidas

G dp G  F = sobre   dt   G mv relativa G G G  = γmv relativa  p = mv propia = 2   1 − ( cv )  

  Ec   Et  E  t    Et

    1 = mc  − 1 = mc2 ( γ − 1) 2  1 − ( cv )    2

= Ec + mc2 = mc2 ( γ − 1) + mc2 = γmc2 =

=

1 1− (

)

v 2 c

mc2 = γmc2

( pc )2 + ( mc2 )

2

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Demostración: G G p = mv propia =  G G dp F = sobre  dt Ec =

Ec =

Ec =

∫

v

0

Ft ds =

mv2 1− (

)

v 2 c

G mvrelativa 1−(

∫

v

0

−

)

∫

vdp = vp −

∫

v

0

(

mcv c2 − v2

mv2 + m c2 − v2 1−

G = γmv relativa

v 2 c

( ) v2 c2

v

0

1 − ( cv )

2

mv2

dv =

) − mc

mv2

pdv =

1− (

mv

0

1 − ( cv )

2

v

)

v 2 c

−mc  − c2 − v2  =   0

  1 = mc   1− 

2

v

∫

−

2

( ) v2 c2

dv mv2 2

c −v c

2

+ mc c2 − v 2 − mc2

  − 1 = mc2 ( γ − 1)  

Para obtener la expresión de la energía total: la expresión del momento lineal la elevamos al cuadrado y despejamos la velocidad al cuadrado, la expresión de la energía cinética la elevamos al cuadrado y sustituimos la velocidad al cuadrado obtenida anteriormente. Obtenemos:

p=

mv 1−

 2 m2 v 2  p =  2 1 − v2   c    2 m2 v 2 c 2  p = 2  c − v2  

( )

⇒

( ) v2 c2

⇒

v2 =

p2 c 2 2 2

m c + p2

1  2 2 2 2 mc 2 Et = Ec + mc = mc ( γ − 1) + mc = γmc = 2 v 1− 2  c  2 2  2 2 c c E2t = mc2 = mc2 = m2c 4 + p2c2 2 2 2 2  c −v p c c2 − 2 2  m c + p2 

( )

(

Et =

)

(

)

( pc )2 + ( mc2 )

2

(

Esta expresión ( Et ) = ( pc ) + mc2 2

2

)

2

nos da la relación relativista entre el momento lineal,

p, y la energía total de la partícula, de masa m, sea de un electrón o de un protón. Defecto de masa y energía de enlace nuclear.- Conocidos los valores exactos de las masas del protón y del neutrón, se puede comparar la masa M de un núcleo atómico con la suma de las masas de todos los nucleones que constituyen el núcleo. Se ha encontrado que la masa de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas de todos sus neutrones y protones. Este resultado es muy natural ya que el núcleo es un sistema fuertemente enlazado de nucleones que se encuentran en un estado de energía mínimo.

La energía de enlace de un sistema es la energía desprendida cuando el sistema se forma o la energía que debemos suministrar al sistema para separarlo en sus componentes; es decir, en los nucleones individuales de un núcleo. La energía de enlace de un sistema de masa M, compuesto de partículas de masas mi se expresa por  Eenlace =   



n

∑ m − M  c i

2

i =1

La energía de enlace de un núcleo de masa M compuesto de A nucleones, de los que Z son protones y (A-Z) neutrones podemos escribir Eenlace =  Z mp + ( A − Z ) mn − M c2 J = 931, 48 ×  Z mp + ( A − Z ) mn − M c2 MeV

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En la primera expresión las masas en kg y en la segunda en unidades de masa atómica. Para la unidad de masa atómica (1u), a partir de E = mc2 = 931,48 MeV E = mc2 = 1u ⋅ c2 ×

1 eV 1,6 ⋅ 10

−19

C ⋅1 V

= 9,3148 ⋅ 108 eV = 931, 48 MeV

La energía de enlace de un núcleo (A nucleones y Z protones) relativa a todos los nucleones constituyentes será: Eenlace =  Z mp + ( A − Z ) mn − M ( A, Z )  c2 Eenlace =  Z Mat 1H + ( A − Z ) mn − Mat ( A, Z )  c2  

( )

La masa atómica difiere de la masa nuclear por una cantidad igual a la masa de Z electrones. La segunda ecuación es más conveniente ya que la masa de los átomos neutros se encuentra en las tablas. Energía de enlace por nucleón. Dependencia con el número másico.- Una indicación de la esE tabilidad de un núcleo es la energía de enlace promedio por nucleón ε = enlace A

ε

MeV

Energía de enlace por nucleón (MeV) como función del número á i A

10

6

− ε

ε1

Fe

8 He

ε2

ε

Li

U

Fisión

+

4

ì

Fusión

2 50 250

100

150

200

A

La energía de enlace por nucleón ε es un máximo para núcleos en la región de número másico A=60. Por tanto, si dos núcleos ligeros se unen (fusión) forman un núcleo de masa media y se libera energía, y si un núcleo pesado se divide (fisión) en dos fragmentos se libera también energía. El hecho de que la energía de enlace varíe menos del 10% por encima de A=10 nos sugiere que cada nucleón en el núcleo interactúa sólo con sus inmediatos, independientemente del número total de nucleones presentes en el núcleo. El pequeño decrecimiento después de A=60 se debe al efecto desestabilizador de la fuerza repulsiva de Coulomb entre protones. Si los valores de la energía enlazante por nucleón son calculados para todos los núcleos y dibujados en función de A y de Z obtenemos las gráficas siguientes:

ε

E

enlace

N

/A

100 90

Z

80

β−

70 60 50

β(+) β(−)

β+

40

estables

30 20 10

A 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Z

Los núcleos más estables están determinados por la ecuación: Z=A/(1,98+0,015A2/3) Análisis de la figura:

1)

Eenlace se incrementa rápidamente desde cero para A A=1 hasta 8 MeV para A=16, siendo el valor máximo 8,8 MeV para Al60 (58Fe y 62Ni), y en-

La energía enlazante por nucleón ε =

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tonces decrece gradualmente hasta 7,6 MeV para los elementos más pesados encontrados en la Naturaleza, como el U. Eenlace = 8 MeV es de 8 MeV para A la gran mayoría de los núcleos. Por lo que, en una primera aproximación, la energía enlazante del núcleo atómico Eenlace puede expresarse en términos del número másico: Eenlace ≈ ε A ≈ ( 8 A ) MeV

2)

El valor promedio de la energía enlazante por nucleón ε =

3)

Un análisis de la curva de la energía de enlace por nucleón y de la dependencia de la dependencia de la energía de enlace del número másico nos lleva a las siguientes conclusiones: 1ª) Al ser los valores de la energía positivos para todos los núcleos nos indica que las fuerzas nucleares son atractivas, siendo la energía de interacción entre los protones en el núcleo mayor que la energía de repulsión electrostática. Así, la energía promedio enlazante por nucleón es de 8 MeV, en el caso del helio-4 es de 7 MeV y la energía de repulsión electrostática para los dos protones a 1 fm es de 0,7 MeV. 2ª) La energía enlazante de un núcleo tiene una dependencia lineal con el número másico A y esto implica una saturación de las fuerzas nucleares. Así un nucleón interactúa con unos pocos a su alrededor y no con todos. Si cada nucleón en un núcleo interactuase con los (A-1) restantes, la energía enlazante total será proporcional a A·(A-1)≈A2 y no a A: 1·(A-1)+2·(A-1)+3·(A-1)+....=A·(A-1). Lo que implica que la saturación está relacionada con las interacciones de corto alcance. Así en núcleos pesados hay más neutrones que protones para mitigar la repulsión electrostática. 3ª) La energía enlazante por nucleón es especialmente grande en los núcleo par-par (Z par y N par). Los núcleos con número másico impar (Z par y N impar o Z impar y N par) tienen menor energía. Los núcleos impar-impar son radiactivos ya que tienen dos nucleones desapareados y menor energía enlazante por nucleón; sólo hay cuatro muy estables que son 2H; 6Li; 10B y 14N.

Los núcleos más estables son los que poseen los siguientes números de protones y/o neutrones: 2, 8, 20, 50, 82, 126 (éste último sólo neutrones). Para núcleos pesados se puede producir una fisión y una desintegración alfa, y para núcleos ligeros una fusión. La energía de enlace de un núcleo (A nucleones y Z protones) relativa a todos los nucleones constituyentes será: Eenlace = εA =  Z × mp + ( A - Z ) × mn - M ( A, Z )  c2

Fisión: La fisión nuclear consiste en la división de un núcleo grande en dos núcleos de tamaño comparable

A ZX

→

Qfisión = M − ( M1 + M2 )  c2 > 0

A1 Z1 X1

+

 A = A1 + A 2    Z = Z1 + Z 2 

A2 Z2 X 2

M ( A, Z ) c2 =  Z × mp + ( A - Z ) × mn  c2 - εA     2 2 M1 ( A1, Z1 ) c =  Z1 × mp + ( A1 - Z1 ) × mn  c - ε1A1  2 2 M2 ( A 2 , Z 2 ) c =  Z 2 × mp + ( A 2 - Z 2 ) × mn  c - ε2 A 2

Qfisión = M − ( M1 + M2 )  c2 = −εA − ( −ε1A1 − ε2 A 2 ) > 0  ε1A1 + ε2 A 2 ε1A1 + ε2 A 2 = εpromedio = A1 + A 2 A 

(

⇒

ε1A1 + ε2 A 2 = εpromedio × A

)

Qfisión = −εA + εpromedio A = εpromedio − ε A > 0

Fusión: La fusión nuclear consiste en la unión de dos núcleos que colisionan en un núcleo mayor

A1 Z1 X1

+

A2 Z2 X 2

→

A ZX

 A1 + A 2 = A    Z1 + Z 2 = Z 

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M1 ( A1, Z1 ) c2 =  Z1 × mp + ( A1 - Z1 ) × mn  c2 - ε1A1     2  = × + × M A , Z c Z m A Z m ( 2 2 ) n  c2 - ε2 A2  2 ( 2 2) p  2  2 2 M ( A, Z ) c =  Z × mp + ( A - Z ) × mn  c - εA

Qfusión = ( M1 + M2 ) − M c2 > 0

Qfusión = ( M1 + M2 ) − M c2 = ( −ε1A1 − ε2 A 2 ) + εA > 0

(

)

Qfusión = εA − εpromedio A = ε − ε promedio A > 0

Radiactividad. Leyes.-

Muchos núcleos son combinaciones estables de nucleones. Sin embargo, algunas combinaciones de protones y neutrones no constituyen una configuración nuclear estable. Estos núcleos son inestables o radiactivos. Los núcleos inestables tienden a alcanzar una configuración estable por pérdida de ciertas partículas y de energía. Estas partículas se observaron por primera vez a finales del siglo XIX por Becquerel (1852-1908), Pierre (1859-1906) y Marie Curie (18671934), y les llamaron partículas alfa(α) y beta(ß). La radiación desde los núcleos radiactivos se analizó en experimentos en los que se desviaba la radiación en campos eléctricos y magnéticos, así como su absorción en la materia. El resultado de los experimentos llevó a establecer que las sustancias radiactivas emiten tres tipos de radiación y, posteriormente, en 1911 Rutherford estableció que el núcleo atómico es la fuente de los tres tipos de radiación: 1)

Radiación alfa(), constituida de partículas pesadas y positivas que se mueven a una velocidad de unos 107 ms-1 y son absorbidas por una hoja de Al de unos pocos micrómetros de espesor. Posteriormente, se demostró por análisis espectral que son núcleos de 4He, compuestos de dos protones y dos neutrones.

2)

Radiación beta(ß), constituida de partículas ligeras y cargadas que se mueven a una velocidad próxima a la velocidad de la luz y absorbidas por una hoja de Al de 1 mm de espesor. Las partículas beta (ß) son electrones, que lleva una carga negativa e-, o positrones, con una carga e+. Los dos tipos de desintegración radiactiva beta (ß) se llaman ß- y ß+. En la desintegración-ß, también se emite un neutrino.

3)

Radiación gamma, γ, es una radiación muy penetrante que no se desvía en los campos eléctricos ni magnéticos. Su naturaleza es electromagnética y de longitud de onda inferior a los rayos-x.

Leyes de la desintegración radiactiva:

Una investigación detallada de la radiactividad por Rutherford en 1902 le llevó a descubrir un isótopo del gas radiactivo radón (Rn). El radón se obtiene como resultado de la desintegración α del Ra. Y una característica importante de este gas es que su actividad decrece notablemente con el tiempo. Así, después de pasar 3,8 días T12 su actividad se reduce a la mitad. Después de otros 3,8 días la actividad se reduce a la cuarta parte de su valor inicial, y así sucesivamente. Por lo que después de un tiempo t la actividad inicial A0 será −

A = AD ⋅ 2

t T1

2

t  ln A = ln A D − T1 ln 2 2   t ln 2 −  T  A = A ⋅ e 12  D

Este fenómeno, se interpretó como un decrecimiento en el número inicial N0 de átomos radiactivos t − T1

N = ND ⋅ 2

2

t  ln N = ln ND − T ln 2 1 2    t   − ln 2  T1   2  N = ND ⋅ e

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A0

N0 A=A 0 ·exp(-t·ln2/T½)

N=N ·exp(- λ ·t) 0

½A0

½N 0

¼A 0

¼N 0 T½

t

2·T½

T½

2·T

½

λ ·T½ =ln2

t

El tiempo T12 en el que el número inicial N0 de átomos radiactivos se ha reducido a la mitad se llama período de semidesintegración. El T12 es diferente para elementos diferentes pero es siempre el mismo para un isótopo determinado. Su rango varía desde 3·10-7 s (212Po) hasta 5×1015 años (144Nd). La radiactividad es una propiedad de los núcleos o, para ser más precisos, del estado de los núcleos. Es imposible alterar el proceso de la desintegración radiactiva sin cambiar el estado de los núcleos. Por lo que la probabilidad λ de desintegración radiactiva por unidad de tiempo es constante para un núcleo dado en un estado determinado de energía. Esto significa que el número dN de procesos de desintegración radiactiva en un tiempo dt se determina sólo por el número de núcleos radiactivos N en un instante dado de tiempo t: dN = −λ N dt La probabilidad λ de desintegración aparece en esta ecuación como un coeficiente llamado la constante de desintegración y se expresa en s-1 (o en el inverso de cualquier unidad de tiempo). El signo menos indica que la cantidad de sustancia decrece con el tiempo. Solucionando la ecuación anterior obtenemos la siguiente ley de variación del número de núcleos radiactivos con el tiempo: dN = −λ N dt   dN  N = −λdt

⇒

 N ln   = −λt   ND   −λt N = NDe

Si sustituimos el tiempo t en esta ecuación por T12 , período de semidesintegración, que es el tiempo para que los núcleos se reduzcan a la mitad, obtenemos la relación entre la constante de desintegración λ y el período de semidesintegración T12 t = T12   1 N = ND 2 

⇒

 12 ND = −λT12 ln ND  ln 2 = λT1 2 

⇒

λ=

ln 2 T12

Actividad:

La actividad de una sustancia radiactiva nos mide la rapidez en la desintegración radiactiva o el número de desintegraciones por segundo. dN = −λNdt Actividad:

dN ln 2 = −λN = − N dt T12

La velocidad de desintegración (dN/dt) es proporcional al número de núcleos presentes. Por tanto, la velocidad de desintegración o actividad decrece en la misma proporción con el período de semidesintegración como con el número de núcleos. La velocidad de desintegración se expresa en curies (Ci). El curie se define como la actividad de una sustancia cuando 3,70·1010 núcleos se desintegran por segundo. Esta velocidad es igual a la actividad de 1 g de Ra. En el S.I. la unidad de actividad es el becquerel (Bq). Un becquerel es igual a una desintegración por segundo: 1 Ci=3,70·1010 Bq.

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Para medir la actividad se mide el número de desintegraciones por unidad de tiempo (dN/dt) para un número dado N de núcleos radiactivos. La medida se realiza con una cámara de ionización, uno de cuyos electrodos está recubierto con una capa de material radiactivo. Las medidas de la actividad del radio demostraron que 1 g de radio (Ra) experimenta 3,70·1010 desintegraciones por segundo, que corresponde al período de semidesintegración siguiente: Nátomos = n × NA =

m 1g × NA = × 6,022 ⋅ 1023 g Pa 226 mol

átomos mol

= 2,665 ⋅ 1021 átomos

dN = −λNdt  ln 2    Actividad: dN = −λN = − ln 2 N  ⇒ T12 = − dN N  dt T12   dt ln 2 ln 2 T12 = − N=− 2,665 ⋅ 1021 átomos = 4,99 ⋅ 1010 s = 1580 años dN −3,7 ⋅ 1010 átomos s dt

Las ecuaciones que hemos obtenido dN = −λNdt   dN  N = −λdt

 N ln N = −λt D  N = N e −λt  D

⇒

dN = −λNdt   dN −λt  dt = −λN = −λNDe

son leyes estadísticas, que son válidas sólo cuando el número de núcleos es muy grande. Por tanto, no podemos hablar de período de semidesintegración de un sólo núcleo o predecir cuándo un núcleo dado se desintegrará. Por otra parte, λ da la probabilidad por unidad de tiempo para desintegrar un núcleo. Cada vez que ocurre una desintegración el número de núcleos radiactivos decrece. Por tanto, la actividad será igual a la variación en el número de núcleos que se desintegran por el intervalo de tiempo considerado. Mientras la desintegración de un núcleo individual ocurre completamente al azar, el número de desintegraciones por segundo que tienen lugar en una muestra es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes. Vida media:

El proceso de desintegración radiactiva viene dado por una función exponencial. Por lo tanto, en cualquier instante de tiempo t (lejano desde el instante inicial), siempre hay núcleos sin desintegrar con un tiempo de vida mayor que t. Por el contrario, todos los núcleos que han experimentado la desintegración en el instante t han tenido un tiempo de vida menor que t. Los núcleos que se estén desintegrando en el instante t tienen un tiempo de vida exactamente igual a t, y el número de esos núcleos será: dN = −λNdt dN(t) = λNDe −λt dt

Podemos calcular el tiempo de vida promedio τ = λ −1 de un determinado núcleo radiactivo calculando el valor promedio de tiempo t: ∞ ∞  t ⋅ dN t λNDe −λt dt ∞  0 0 t λe −λt dt τ = t = = = ∞ N 0  D dN  0  ∞ ∞ ∞ ∞  1  1 −λt  −λt −λt  −λt  t e dt t e e dt 0 e τ = λ = − − − = − =      0 λ 0 0  0 λ 

∫ (

∫ ∫

∫ (

1)

)

(

)

)

∫ (

)

∫

La vida media o tiempo de vida promedio de un núcleo radiactivo es el inverso de la constante de desintegración.

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2)

La constante de desintegración tiene el significado físico de la probabilidad de desintegración, es decir, la fracción de desintegraciones que tienen lugar por unidad de tiempo, o fracción de núcleos que se desintegran en un segundo.

Radiactividad natural y artificial: Radiactividad Alfa: La desintegración alfa o radiactividad alfa consiste en la emisión de una partícula 4He que es un núcleo de helio, constituido de dos protones y dos neutrones. Cuando un núcleo se desintegra y emite una partícula 4He el núcleo hijo tiene un número atómico con dos unidades menos y un número másico con cuatro unidades menos que su padre: A ZX

→

238 92 U

A −4 Z −2Y

+ 42 He

234 90Th

→

+ 42 He

Las partículas  tienen una estabilidad muy alta por lo que se comporta como una única partícula, similar a los protones y los neutrones, y se llaman heliones. La energía potencial de interacción de una partícula  con el resto del núcleo, que es similar a la de un protón, se indica en la figura siguiente: Ep Barrera Potencial

Nivel de Energía de α

Energía cinética partícula- α

E Repulsión Coulomb

0 Radio Nuclear

r

Atracción Nuclear

La energía de las partículas 4He (de 4 a 9 MeV) es menor que la altura de la barrera de Coulomb (de unos 40 MeV para muchos emisores de partículas 4He) en la superficie del núcleo, y la partícula 4He puede escapar sólo penetrando la barrera de potencial. La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo λ puede calcularse en términos de la probabilidad P de penetración de la barrera. La cantidad P se determina usando métodos mecánico-cuánticos. Los resultados coinciden bastante bien con los valores experimentales de λ . La energía liberada en la desintegración-alfa 4He se obtiene del cambio de masa que ocurre en el proceso: Q=(mX-mY-m)c2. Para que la desintegración ocurra naturalmente es necesario que Q>0. Cuando las masas se expresan en unidades de masa atómicas y Q se expresa en MeV la ecuación será: Q=931,48·(mX-mY-mα). Es importante destacar que la desintegración alfa es un proceso de dos cuerpos y es equivalente a la explosión de una granada en dos fragmentos. El exceso de energía del núcleo radiactivo se desprende en forma de energía cinética de la partícula alfa y del núcleo hijo. Además, se ha de conservar el momento lineal. Por tanto, la conservación de la energía y del momento lineal requiere que, para cada desintegración-, las partículas  han de tener una energía definida, lo que se ha confirmado experimentalmente. Sin embargo, la energía de las partículas  es ligeramente menor que Q porque parte de la energía se la lleva el núcleo hijo en su retroceso. En muchos casos, las partículas  procedentes de un núcleo no tienen todas las mismas energías. Por ejemplo, las partículas  procedentes del 238U tienen energías de 4,18 MeV y 4,13 MeV. Esto se debe a que aunque el núcleo padre puede estar en su estado fundamental, el núcleo hijo se puede formar en su estado fundamental o en un estado excitado. Por ejemplo, la desintegración 4He del 212Bi a 208Tl tiene un exceso de energía de 6,203 MeV (estando los dos núcleos en sus estados fundamentales) y puede hacerlo de seis formas distintas, siendo las energías de las partículas  desde 5,584 MeV hasta 6,203 MeV por lo que las partículas α estarían acompañadas de radiación γ

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212 83 Bi

→

208 81Tl

+ 42 He

Ejemplo: Calcula la energía cinética de las partículas- emitidas desde el integración: 232 U → 228 Th + 4 He .

232U.

El proceso de des-

Las masas m(232U) = 232,1095u; m(228Th) = 228,0998u; m(4He) = 4,0039u. Solución: A partir de la ecuación Q=931,48·(mX-mY-mα)=5,40 MeV. Al ser Q>0 el proceso es espontáneo. La energía se distribuye entre la partícula- y el núcleo hijo en proporción inversa a sus masas. E’c(Th)=(p’Th)2/(2mTh)=Q·mα/(mTh+mα)=0,10 MeV E’c(α)=(p’α)2/(2mα)=Q·mTh/(mTh+mα2)=5,30 MeV Las energías de los fragmentos de un cuerpo, inicialmente en reposo en el sistema-L, que explota en dos fragmentos de masas m1 y m2. Si el cuerpo está inicialmente en reposo, su momento lineal total es cero, después de la explosión los dos fragmentos separados en dirección opuesta con momentos p y p’ tal que p’1+p’2=0. Siendo los módulos iguales p’1=p’2 y la suma de las energías cinéticas inicial Ec(i)=0 y la final E’c(f)=E’c(1)+E’c(2)=(p’1)2/(2m1)+(p’2)2/(2m2)=½·[(1/m1)+(1/m2)]·(p’1)2=Q (p’1)2=(p’2)2=[2·Q·(m1·m2)/(m1+m2)] E’c(1)=(p’1)2/(2m1)=Q·m2/(m1+m2) E’c(2)=(p’2)2/(2m2)=Q·m1/(m1+m2) Radiactividad Beta:

Los núcleos que tienen demasiados neutrones comparados con el número de protones pueden ser inestables y emitir electrones, proceso llamado desintegración- β− . El núcleo hijo tiene el mismo número másico, A, pero un número atómico mayor en una unidad que el núcleo padre. Es decir, en la desintegración-ß- un neutrón se sustituye por un protón: A ZX

→

A Z +1Y

+

0 −1e

La carga total se conserva ya que Ze=(Z+1)e-1e. El número de nucleones también se conserva ya que A permanece constante. Por ejemplo, el 14C se transforma de acuerdo con el siguiente esquema: 14 6C

→ 147 N +

0 −1e

Los núcleos que tienen, relativamente, un mayor número de protones comparado con los neutrones también pueden ser inestables y sufrir una desintegración- β+ , un proceso que consiste en la emisión de positrones (con carga +e), que son partículas con la misma masa y espín que los electrones, pero su carga es positiva. En la desintegración- β+ el número atómico del núcleo hijo es menor en una unidad, con lo que cumple la ley de conservación de la carga, pero su número másico es el mismo que el del núcleo padre, con lo que cumple la ley de conservación de los nucleones. Por tanto, en la desintegración- β+ un protón se sustituye por un neutrón: A ZX

Por ejemplo, el

11C

→

A Z −1Y

+ 01e

se transforma de acuerdo con el siguiente esquema 11 6C

0 → 11 5 B + 1e

El núcleo hijo resultante de una desintegración- β puede estar en su estado fundamental o en un estado excitado; en el último caso los procesos van seguidos por emisión- γ

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20

14

F -

ß 5,41 MeV

ß

1,63 γ 20

O

+

1,84 MeV

2,30 γ

0

0

Ne

14

N

64 29Cu +

ß

ß

γ 0

-

0,57 MeV

64 30Zn

64 28Ni

0

En la figura podemos ver algunos esquemas de desintegración de emisores- β . Una característica interesante de la desintegración- β es que los electrones y los positrones son emitidos con un rango muy amplio de energías cinéticas y momentos, desde cero hasta el máximo compatible con la energía total posible. Es decir, los electrones y los positrones tienen un espectro continuo de energía. Sin embargo, las ecuaciones de la desintegración- β son procesos de dos cuerpos, similares a la desintegración- α , y las leyes de conservación de la energía y del momento lineal requieren que en el centro del sistema centro de masas, donde el núcleo padre está en reposo, la energía liberada debe dividirse en una relación fija entre el núcleo hijo y el electrón o positrón. Esto está en contradicción con los resultados experimentales. Esta dificultad la solucionó Wolfgang Puli en 1930 considerando que debe estar implicada otra partícula en la desintegración- β . Esta tercera partícula debe ser neutra para cumplir con la ley de conservación de la carga, y de masa muy pequeña, ya que la masa total se toma en cuenta en las dos partículas observadas. Por estas dos razones la nueva partícula se llamó neutrino (propuesto por Enrico Fermi que significa pequeño neutrón). Se ha encontrado que hay dos tipos de partículas, casi idénticas, asociadas a la desintegración- β . Una de ellas, el neutrino, se emite en la desintegración- β+ , mientras la partícula emitida en la desintegración- β− es un antineutrino. Por tanto, los procesos de desintegración- β deben reescribirse de la siguiente forma:

β− : β+ :

A ZX A ZX

→ →

A Z +1Y + A Z −1Y +

0 e −1e + ν 0 1e + ν e

Eβ− = [M(A, Z) − M(A, Z + 1) − me ] c2 = [Mat (A, Z) − Mat (A, Z + 1) − 2me ] c 2 > 0 Eβ+ = [M(A, Z) − M(A, Z − 1) − me ] c2 = [Mat (A, Z) − Mat (A, Z − 1) − 2me ] c2 > 0 β− : −

β : β− : β+ :

3 1H

→ 32 He +

0 −1e

+ ν e

14 14 0 e 6 C → 7 N + −1e + ν 234 234 0 90Th → 91Pa + −1e 11 11 0 6 C → 5 B + 1e + ν e

+ ν e

El neutrino es el que lleva la energía y el momento lineal necesario para restablecer la conservación de las dos cantidades. Además, el neutrino debe tener espín ½ para compensar el espín del electrón y asegurar la conservación del momento angular. En el centro del sistema de referencia centro de masas el momento lineal de las tres partículas resultantes debe ser cero. Pero hay un número infinito de formas en las que la energía total liberada se puede repartir entre las tres y es preciso explicar la distribución continua de energía de los electrones y positrones.

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P

ν

P X Pe

En algunos casos un núcleo puede capturar un electrón de las capas atómicas más internas, tal como un electrón-K. Estos electrones están en orbítales muy próximos al núcleo, por lo que su probabilidad de ser capturados por un protón es relativamente grande. Este proceso se llama captura electrónica (EC), el resultado es la sustitución de un protón por un neutrón en el núcleo hijo. El proceso se expresa por: Captura-e- : -

Captura-e :

A 0 A Z X + −1e → Z −1Y 7 0 7 4 Be + −1e → 3 Li

+ νe + νe

ECE = [M(A, Z) + me − M(A, Z − 1) ] c2 = [Mat (A, Z) − Mat (A, Z − 1)] c2 > 0

El neutrino fue una interesante invención para salvar dos leyes de conservación. Cuando se analizan los resultados experimentales se determina que la masa de los neutrinos es muy pequeña del orden de 10-3me y para muchos propósitos se considera que la masa es cero. El neutrino es insensible a los campos eléctricos y magnéticos. De hecho no se observó hasta 1956. Se puede explicar el proceso de desintegración- β considerando lo siguiente: 1)

En la desintegración- β− un neutrón se transforma en un protón de acuerdo con el siguiente esquema

2)

1 0n

→ 11 p +

0 −1 e

+ ν e

En la desintegración- β+ un protón se transforma en un neutrón de acuerdo con los esque1 1 0  1p → 0 n + 1e + νe mas  1 0 1  1p + −1e → 0 n + νe

En cualquiera de los tres caminos un núcleo se desprende de sus neutrones o protones en exceso sin desprenderse de ellas o sin emitirlas. Sin embargo, la masa de un neutrón excede, en 0,728 MeV, la suma de las masas del protón y del electrón, con lo que el primer proceso puede tener lugar con neutrones libres y se ha observado que estos se desintegran de esa forma, con un período de semidesintegración de 12 minutos. Por otra parte, el segundo proceso no puede ocurrir con los protones libres. Puede ocurrir sólo en núcleos donde los protones pueden usar parte de la energía enlazante del núcleo para la desintegración. Esto explica por qué el hidrógeno es muy abundante en el Universo pero no hay neutrones libres. Del análisis experimental de muchas desintegraciones-ß y de la necesidad de explicar las transformaciones de protones en neutrones y de los neutrones en protones, se ha llegado a la conclusión que el proceso se puede deber a una interacción especial diferente de la fuerza nuclear y llamada interacción débil. La intensidad de la interacción débil es del orden de 10-14 cuando se compara con la fuerte o interacción nuclear, o alrededor de 10-12 cuando se compara con la interacción electromagnética. Radiación gamma:

La radiación gamma es la emisión espontánea de un cuanto- γ por el núcleo. Por la emisión de un cuanto- γ el núcleo pasa desde un estado excitado a otro con menor energía (radiación o transición radiativa). La radiación γ es una radiación electromagnética de corta longitud de onda de origen nuclear. La energía del cuanto-γ nuclear varía desde 10 keV a 5 MeV. Es una radiación altamente penetrante que no se desvía por un campo eléctrico o magnético. Es una radiación de longitud de onda muy corta, mas corta que la de los Rayos-X. Radiactividad artificial:

Fue descubierta en 1934 por los esposos Frederic e Irene Curie cuando estaban estudiando reacciones nucleares producidas por bombardeo de elementos ligeros con partículas alfa. Una de las reacciones que observaron

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10 5B

El núcleo

13N

*

+ 42 He →  147 N  → 137 N + 01n

es inestable y se desintegra de acuerdo al siguiente esquema 13 7N

→ 136 C + 01e + ν e

Una forma de producir núcleos que tengan radiactividad- β− es por captura neutrónica, por lo que una muestra del material se expone a un flujo fuerte de neutrones. Por ejemplo, cuando el 59Co es bombardeado con neutrones se produce 60Co, que es radiactivo- β− y se desintegra en 60Ni que tiene un T ½ de 5,27 años y la emisión de electrón y dos rayos gamma de energías 1,17 MeV y 1,33 MeV: 59 27 Co

+ 01n →

60 27 Co

→

60 28 Ni

+

0 −1e

+ ν + γ1 + γ 2

El radio-núcleo 60Co es muy usado en radioterapia y para el análisis de los defectos en las estructuras metálicas. Una serie interesante de reacciones son aquellas que resultan cuando isótopos del 92U capturan un neutrón y su posterior desintegración- β− que producen nuevos núcleos con Z=93 (Np), Z=94 (Pu), Z=95 (Am), hasta Z=109 llamados transuránidos. Leyes de conservación que se han de cumplir en todos los procesos radiactivos:

1)

Conservación de la masa/energía.

2)

Conservación de la carga eléctrica.

3)

Conservación del momento lineal.

4)

Conservación del momento angular.

5)

Conservación del número de nucleones.

Familias radiactivas:

Cuando un núcleo inestable se descompone radiactivamente los núcleos resultantes, algunas veces, son también radiactivos, y así sucesivamente hasta llegar a producirse un núcleo estable. Esta radiactividad secuencial de un núcleo después de otro se llama serie de desintegración radiactiva o familia radiactiva. Ejemplo:

A 238

β

234 α

230 226 222 218 214 210 206 Hg Tl

Pb

80 81 82

Bi

Pb

83 84

At

Rn Fr

85

86 87

Ra Ac 88

89

Th

Pa

U

90

91 92

Reacciones nucleares. Fisión y fusión.-

Cuando dos núcleos se acercan dentro del rango de las fuerzas nucleares, venciendo sus fuerzas de repulsión de Coulomb, se puede producir una redistribución de nucleones. Esto puede resultar en una reacción nuclear, similar al reagrupamiento de átomos en moléculas que reaccionan durante una reacción química. Las reacciones nucleares se producen, usualmente, bombardeando un núcleo, que hace de blanco, con un proyectil nuclear, en muchos casos un nucleón (neutrón o protón) o un núcleo ligero como el deuterón o una partícula-.

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En general, cuando la energía de las partículas implicadas no es demasiado alta, una reacción nuclear ocurre en dos etapas. Primera, la partícula entrante o proyectil es capturado, resultando la formación de un intermediado o compuesto nuclear, el cual está en un estado altamente excitado. En la segunda etapa, el compuesto nuclear pierde energía, bien emitiendo una partícula, que podría ser la misma que la partícula entrante, o por algún otro medio. Por ejemplo, el bombardeo del nitrógeno-14 por partículas- α (En 1919 Rutherford observó que cuando una partícula alfa choca con un núcleo de nitrógeno, se produce un núcleo de oxígeno y un protón) *

14 7N

+ 42 He →  189 F  → 11H + 178 O

14 7N

( α, p ) 178 O

Generalmente, una vez producida la primera etapa en una reacción nuclear hay distintos modos de pérdida de energía para el compuesto nuclear. Por ejemplo, cuando se bombardea el alumnio-27 con protones se obtienen varios productos: *

24 12 Mg

*

27 14 Si

+ 01n

*

28 14 Si

+γ

*

24 11Na

27 13 Al

 + 11H →  28 14 Si  →

27 13 Al

 + 11H →  28 14 Si  →

27 13 Al

 + 11H →  28 14 Si  →

27 13 Al

 + 11H →  28 14 Si  →

+ 42 He

+ 311H + 01 n

Leyes de conservación en una reacción nuclear: Las reacciones nucleares son esencialmente procesos de colisión en los que se deben conservar la energía, el momento lineal, el momento angular, el número de nucleones y la carga.

Si la partícula entrante y saliente son las mismas el proceso se llama dispersión. La dispersión es elástica si el núcleo queda en el mismo estado y se conserva la energía cinética, e inelástica si el núcleo permanece en un estado diferente y la energía cinética de la partícula entrante es distinta de la saliente. Las reacciones nucleares frecuentemente se escriben en una notación corta:  105 B + 01n → 42 He + 73 Li  10 7  5 B ( n, α ) 3 Li

( γ, p ) 24 11Na 13 14 6 C ( p, γ ) 7 N 25 12 Mg

Las transmutaciones nucleares inducidas pueden usarse para producir isótopos que no se encuentran en la Naturaleza. En 1934, Enrico Fermi sugirió un método para producir elementos con un alto número atómico, superior al U (Z=92). Estos elementos se llaman elementos transuránidos y ninguno de ellos existen en la Naturaleza. Ellos son creados en una reacción nuclear. Por ejemplo el Pu se obtiene a partir del U mediante las siguientes reacciones 238 92 U

+ 01n →

239 92 U

(

)

+ γ T12 = 23,5 ' →

239 93 Np

+

0 −1e

(

)

+ γ T12 = 2, 4dias →

239 0 94 Pu + −1e

+γ

Fisión nuclear:

La fisión nuclear consiste en la división de la masa nuclear 235U y 90Th) en dos fragmentos de tamaño comparable. La fisión como proceso natural es muy rara, el 238U fisiona espontáneamente con un T½ de aproximadamente 1016 años. Un método de producir la fisión artificialmente es excitar el núcleo. El umbral o energía mínima de activación requerida para la fisión de un núcleo pesado es de 4 a 6 MeV. Otro método de fisión inducida es por captura neutrónica. La energía enlazante de la captura neutrónica es, en algunos casos, suficiente para excitar el núcleo por encima de la energía umbral y la división se produce. Este es el caso del 235U, que en 1939 cuatro científicos alemanes (Otto Hahn, etc.) descubrieron que un núcleo de U, después de absorber un neutrón, se rompe en dos fragmentos, con una masa menor que el núcleo original

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235 92 U

141  + 01n →  236 92 U  → 56 Ba +

92 36 Kr

+ 3 01n

235 92 U

140  + 01n →  236 92 U  → 54 Xe +

94 38 Sr

+ 2 01n

Algunas reacciones producen hasta 5 neutrones, siendo el número promedio de 2,5 neutrones. Cuando un neutrón colisiona con un núcleo de U y es absorbido, el núcleo comienza a vibrar y se distorsiona. La vibración continúa hasta que la distorsión viene a romper la fuerza nuclear fuerte atractiva y predomina la fuerza de repulsión electrostática entre los protones nucleares. En el momento en que el núcleo se rompe en sus fragmentos expulsa su energía en forma de energía cinética. La energía desprendida por los fragmentos es muy grande y en el núcleo original estaba en forma de energía potencial eléctrica. En promedio unos 200 MeV de energía es desprendida por fisión. En la naturaleza el 92U está compuesto fundamentalmente de dos isótopos, el uranio-238 (99,275%) y el uranio-235 235U (0,720%). El fisionable es el uranio-235 ya que captura el neutrón, con una energía cinética de 0,004 eV o menor. También es fisionable el plutonio-239. El hecho de que en el proceso de fisión se produzcan neutrones (una media de 2,5 por fisión) hace que el proceso se pueda auto-sostener. Una reacción en cadena es una serie de fisiones nucleares donde algunos de los neutrones producidos por cada fisión causa fisiones adicionales. 238U

Para otros núcleos, la energía enlazante del neutrón capturado no es suficiente para que la fisión tenga lugar y le neutrón debe tener también energía cinética. Esto es lo que le ocurre al 238U, que se fisiona sólo después de capturar un neutrón rápido con una energía cinética del orden de 1 MeV. La captura de neutrones lentos lleva a la producción de Np y Pu: 238 92 U

*

 + 01n →  239 92 U  →

239 93 Np

+

0 −1e

(

)

+ ν + γ T12 = 23,5 ' →

239 0 94 Pu + −1e

(

+ ν + γ T12 = 2, 4 dias

)

Por esta razón se producen grandes cantidades de Pu en los reactores nucleares. La razón para este diferente comportamiento está ligada con la estructura de los distintos núcleos. El núcleo 235U es par-impar, con 92 protones y 143 neutrones, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-par 236U. El neutrón capturado se aparea con el último neutrón impar del 235U eliminando la energía del apareamiento que es de 0,57 MeV. Sin embargo, el 238U es un núcleo par-par, con 92 protones y 146 neutrones, todos apareados, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-impar, el 239U, que no tiene energía extra. Por la misma razón el 239Pu con 145 neutrones experimenta la fisión por captura de neutrones lentos. Reacciones de fisión:

Los procesos de fisión tienen dos propiedades que hacen que estos procesos tengan aplicaciones prácticas: uno es que en la fisión se eliminan neutrones y el otro es que se libera energía. Para los núcleos pesados, tal como el U, la relación de neutrones a protones N/Z ≈ 1,55. Esta será también la relación de los fragmentos resultantes. Sin embargo, para los núcleos estables de masa media la relación N/Z ≈ 1,30. Esto significa que los fragmentos resultantes tienen demasiados neutrones y algunos se eliminan al mismo tiempo que ocurre la fisión. El número promedio de neutrones eliminados por fisión es de 2,5. Por la misma razón, los fragmentos presentan radiación-ß-. La energía es eliminada en la fisión nuclear porque la energía enlazante por nucleón es menor en los núcleos pesados que en los núcleos de masa media. Para un núcleo pesado, la energía enlazante es de 7,5 MeV por nucleón, pero para un núcleo de masa media, correspondiente a los dos fragmentos de la fisión, es de 8,4 MeV por nucleón, resultando un incremento de la energía enlazante de 0,9 MeV por nucleón, o un total de unos 200 MeV para todos los nucleones en un núcleo de U. Este es el orden de magnitud de la energía liberada en la fisión de un núcleo de U, que aparece como energía cinética de los dos fragmentos, de los neutrones liberados y de los productos de desintegración (electrones y neutrinos) resultantes de la desintegración-ß de los fragmentos radiactivos, además de radiación electromagnética. Como los neutrinos emitidos en la desintegración-ß normalmente escapan del material en el que tiene lugar la fisión, sólo unos 185 MeV por átomo se pueden retener, una energía que es todavía considerablemente mayor que la energía liberada en una reacción química, que es del orden de 3 a 10 eV por átomo. El hecho es que por cada neutrón absorbido para producir una fisión, se emiten más de dos neutrones, como promedio, lo que hace posible una reacción en cadena. Es decir, si después

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de cada fisión, al menos uno de los nuevos neutrones produce otra fisión, y de los neutrones liberados en ésta al menos uno produce una nueva fisión, y así sucesivamente, el resultado es un proceso auto-sostenido o sin parar. Estas reacciones en cadena son muy corrientes en química. Por ejemplo, la combustión es una reacción en cadena y requiere que una molécula tenga cierta energía de excitación para que se pueda combinar con una molécula de oxígeno. Excepto las primeras moléculas que están excitadas y se combinan con el oxígeno, la energía liberada es suficiente para excitar más moléculas del combustible y el resultado es la combustión. Si, en cada etapa de un proceso en cadena de fisión, se produce más de un neutrón por fisión que a su vez produce una nueva fisión, el número de fisiones se incrementa exponencialmente y el resultado es una reacción en cadena divergente. Esto es lo que ocurre en una bomba atómica. Pero si los procesos se controlan de tal forma que sólo un neutrón de cada fisión produce una nueva fisión, una reacción en cadena constante se mantiene bajo condiciones controladas. Esto es lo que ocurre en un reactor nuclear. En los reactores nucleares rápidos los neutrones se usan con la misma energía, de 1 a 2 MeV, con la que se liberan en los procesos de fisión. Pero en los reactores nucleares térmicos los neutrones, en primer lugar, se frenan haciendo que colisionen con átomos de una sustancia, llamado moderador, hasta que alcancen un equilibrio térmico con la sustancia y los neutrones se llaman térmicos. El moderador debe ser una sustancia con un número másico pequeño y que no capture neutrones. El agua, el agua pesada y el grafito son sustancias muy empleadas.

Fisión: La fisión nuclear consiste en la división de un núcleo grande en dos núcleos de tamaño comparable 239 94 Pu

+ 01n → 141 58 Ce +

A ZX

A1 Z1 X1

→

+

A2 Z2 X 2

96 42 Mo

+ 3 01n

 A = A1 + A 2    Z = Z1 + Z 2 

Qfisión = M − ( M1 + M2 )  c2 > 0

M ( A, Z ) c2 =  Z × mp + ( A - Z ) × mn  c2 - εA     2 2 M1 ( A1, Z1 ) c =  Z1 × mp + ( A1 - Z1 ) × mn  c - ε1A1  2 2 M2 ( A 2 , Z2 ) c =  Z 2 × mp + ( A 2 - Z 2 ) × mn  c - ε2 A 2

Qfisión = M − ( M1 + M2 )  c2 = −εA − ( −ε1A1 − ε2 A 2 ) > 0  ε1A1 + ε2 A 2 ε1A1 + ε2 A 2 = εpromedio = A1 + A 2 A 

⇒

(

ε1A1 + ε2 A 2 = ε promedio × A

)

Qfisión = −εA + εpromedio A = εpromedio − ε A > 0

Fusión: La fusión nuclear consiste en la unión de dos núcleos que colisionan en un núcleo mayor 1 1H 1 1H A1 Z1 X1

+

A2 Z2 X 2

→

A ZX

+ 11H → 21H + 01e + νe + 1,35 MeV + 21H → 31H + 01e + νe + 4,6 MeV

 A1 + A 2 = A    Z1 + Z2 = Z 

Qfusión = ( M1 + M2 ) − M c2 > 0

M1 ( A1, Z1 ) c2 =  Z1 × mp + ( A1 - Z1 ) × mn  c2 - ε1A1     2 2  M2 ( A 2 , Z 2 ) c =  Z 2 × mp + ( A 2 - Z 2 ) × mn  c - ε2 A 2  2 2 M ( A, Z ) c =  Z × mp + ( A - Z ) × mn  c - εA

Qfusión = ( M1 + M2 ) − M c2 = ( −ε1A1 − ε2 A 2 ) + εA > 0

(

)

Qfusión = εA − εpromedio A = ε − ε promedio A > 0

Debido a la repulsión Coulombiana, el núcleo que colisiona debe tener una energía cinética mínima para sobrepasar la barrera Coulombiana para que se aproximen bastante y la fuerza nuclear produzca la necesaria consolidación entre los núcleos. Este problema no aparece en la fi-

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sión nuclear porque los neutrones no tienen carga eléctrica, y se pueden aproximar a un núcleo aunque su energía cinética sea muy pequeña o prácticamente cero. Como la barrera Coulombiana se incrementa con el número atómico, la fusión nuclear tiene lugar a energías cinéticas razonables sólo para núcleos muy ligeros con bajo número atómico o carga nuclear baja. MeV

Ep

Interacción p-p

70 60 50 40

Barrera Coulomb Partícula entrante

30

Ec

20 10 0 Potencial Nuclear fuerte 10

r (fm)

20

30

Cuando dos núcleos de números atómicos Z1 y Z2 están en contacto, la energía potencial eléctrica de los dos es Ep=Ke·Z1·Z2/r donde r es la suma de los radios nucleares, del orden de 10-14 m, luego Ep=Ke·Z1·Z2/r = 9·1023 Z1·Z2 J = 1,5·105 Z1·Z2 eV = 0,15 Z1·Z2 MeV. Esto da la altura de la barrera y por tanto la energía cinética mínima que debe tener el núcleo para que ocurra la fusión. Si la energía es menor, hay una pequeña probabilidad de penetrar la barrera de potencial. La energía cinética promedio de un sistema de partículas teniendo una temperatura T es del orden de kT, o alrededor de 8,6·10-5T eV, donde T está en Kelvin. Así una energía de 105 eV corresponde a una temperatura de 109 K que es más alta que la temperatura en el centro del Sol.

Para que tenga lugar una fusión nuclear de un gran número de núcleos es necesario que el núcleo reaccionante esté a una temperatura muy superior a las generadas en las reacciones químicas más exoérgicas, creando un problema de recipiente para las partículas reaccionantes, ya que no se conoce material que pueda resistir esas temperaturas. Además, a esas temperaturas extremas los núcleos han perdido todos sus electrones y las sustancias consisten de una mezcla neutra de núcleos cargados positivamente y electrones negativos llamada plasma. El recipiente está formado por campos magnéticos y el calentamiento se hace con rayos láser. En la fusión nuclear de núcleos ligeros (A<20) se libera energía, ya que cuando dos núcleos ligeros se unen en uno pesado, la energía enlazante del núcleo producto es mayor que las energías de enlace de los dos núcleos ligeros. De hecho, se considera que todos los núcleos hasta el Fe se han producido por fusión en las estrellas. Después del hierro, la energía de enlace nuclear decrece y la fusión no puede ocurrir por lo que hay que considerar otros procesos para explicar la formación de los elementos químicos posteriores al Fe. Si las condiciones son apropiadas, la energía liberada en la fusión es suficiente para excitar otros núcleos y provocar una reacción en cadena. Si la reacción en cadena tiene lugar rápidamente se libera una gran cantidad de energía en un corto intervalo de tiempo y tendrá lugar una explosión nuclear. La reacción en cadena también puede tener lugar bajo condiciones controladas, aunque todavía no se han construido satisfactoriamente los reactores de fusión. La reacción de fusión más sencilla es la captura de un neutrón por un protón (o núcleo de hidrógeno) para formar deuterón: 11H + 01n → 21H + 2,224 MeV La gran ventaja de esta reacción es que no hay repulsión eléctrica que superar. La reacción anterior ocurre cuando los neutrones procedentes de un reactor nuclear se difunden a través de una sustancia con hidrógeno, como el agua y la parafina. Otra reacción de fusión sencilla es la que ocurre entre dos protones. Como un núcleo con dos protones solamente no existe, el proceso va acompañado por la conversión de uno de ellos a un neutrón y la emisión de un positrón y un neutrino 11H + 11H → 21H + 01e + ν e + 1,35 MeV

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Una tercera reacción de fusión es la que tiene lugar entre hidrógeno y deuterio, resultando un núcleo de tritio: 11H + 21H → 31H + 01e + ν e + 4,6 MeV Otra reacción, de importancia práctica, es la fusión de dos deuterones. Dos posibles reacciones ocurren con la misma probabilidad aproximada: 2 1H 2 1H

+ 21H → 31H + 11H + 4,2 MeV + 21H → 32 He + 01n + 3,2 MeV

Dos reacciones de fusión que liberan una gran cantidad de energía por unidad de masa son las que tienen lugar entre deuterio y tritio y entre deuterio y helio-3: 2 1H

+ 31H → 42 He + 01n + 17,6 MeV

2 1H

+ 32 He → 42 He + 11H + 18,3 MeV

Sin embargo, el tritio y el 3He no son disponibles fácilmente y han de ser fabricados. Por otra parte, la fusión de dos deuterones tiene la ventaja de usar una sola clase de núcleo. Aunque la energía liberada en una única fusión es mucho menor que la liberada en una reacción de fisión, la energía por unidad de masa es mayor, ya que el deuterio es un combustible muy ligero. Para la reacción de fusión deuterio-deuterio 2H-2H la energía es de 2·1014 J·kg-1 de combustible, que es más del doble que el valor de la fisión del uranio. La reacción deuterio-tritio es cuatro veces mayor 2H-3H. Debido a la abundancia relativa del deuterio, que es de aproximadamente un átomo de deuterio 2H por cada 7.000 átomos de hidrógeno 1H, y el bajo coste de extraerlo desde el agua, un reactor de fusión controlada nos proporcionaría una cantidad de energía ilimitada. Las reacciones de fusión son las principales fuentes de energía liberada en las estrellas, incluyendo el Sol. La fusión más corriente procede de cuatro protones en núcleo de helio 4 11H → 42 He + 2 01e + 2 ν + 26,7 MeV

Se estima que el desarrollo de esta fusión en el Sol consume 6,64·1011 kg de hidrógeno por segundo, con una emisión de 3,7·1025 W. De estos sólo 1,8·1016 W llegan a la Tierra, principalmente en forma de radiación electromagnética; sin embargo, esto es todavía 104 veces mayor que toda la potencia industrial generada sobre la Tierra. La fusión es el mecanismo por el que los elementos químicos ligeros o menos pesados se sintetizan en las estrellas. Aplicaciones de la radiactividad y de las reacciones nucleares.Efectos biológicos:

La radiación ionizante consiste de fotones y/o partículas moviéndose que tienen suficiente energía para golpear un electrón y sacarlo de un átomo o molécula, y formar un ion. Una energía de 1 a 35 eV es suficiente para ionizar átomos o moléculas y las partículas o rayos emitidos en una desintegración nuclear frecuentemente tienen energías de algunos millones de eV (MeV). Por tanto, una partícula alfa, beta o rayo gamma puede ionizar miles de moléculas. La radiación nuclear es potencialmente perjudicial para los humanos porque la ionización produce significativas alteraciones de las estructuras de las moléculas dentro de las células vivas. Las alteraciones le causan a la célula malfunciones y a la muerte de la célula y del organismo. A pesar del riesgo potencial, la radiación ionizante se puede usar en medicina para diagnósticos y terapia, tales como localización de fracturas y tratamiento del cáncer. El riesgo puede ser evitado sólo si las exposiciones son conocidas. Exposición es una medida de la ionización producida en aire por rayos-X o rayos-gamma, y se define de la siguiente manera. Un chorro de rayos se envía a través de una masa m de aire seco a temperatura estándar y presión estándar. Pasando a través del aire, el chorro produce iones positivos cuya carga total es q. Exposición se define como la carga total por unidad de masa de aire: Exposición=q/m (En el S.I. la unidad es C/kg).

La primera unidad de radiación se definió como roentgen (R) y es muy usada hoy. Exposición = q/(2,58·10-4m) Dosis absorbida (gray o Gy)=(energía absorbida)/(masa de materia absorbente) (J/kg)

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PROBLEMAS DE "INTERACCIÓN NUCLEAR"

1) El cloro tiene dos isótopos naturales. El 75,53% de los átomos son de cloro-35, cuya masa es de 34,96885 u, y el 24,47% restante de cloro-37, de masa 36,96590·u. Calcula la masa atómica del cloro. [35,457] 2) Determina el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón del isótopo helio-4. Datos: m(helio-4)=4,0026033; m(hidrógeno-1)=1,0078252; m(neutrón)=1,0086654. [7,08 MeV] 3) Un gramo de carbón, al arder produce 29,29 kJ. Calcular la cantidad de carbón necesaria para producir la misma energía que 1 kg de uranio-235, si la fisión de un núcleo de este elemento libera 200 MeV. [2,8·106 kg] 4) El período de semidesintegración del carbono-14 es de 5730 años. ¿Qué fracción de una muestra de carbono-14 permanecerá inalterada después de transcurrir un tiempo equivalente a cinco veces el período de semidesintegración?. [3,1%] 5) En una mezcla encontrada en la actualidad, de isótopos de uranio, el uranio-238 representa el 99,3% y el uranio-235 el 0,7%. Sus vidas medias son 4560 millones de años y 1020 millones de años, respectivamente. Calcular: a) el tiempo transcurrido desde que se formó la Tierra, suponiendo que eran igualmente abundantes en ese momento; b) actividad de un gramo de uranio238.Dato: (U-238)=238,05. [9390 millones de años; 12193 Bq] 6) El uranio-238 se desintegra emitiendo, sucesivamente, las siguientes partículas antes de alcanzar su forma estable: α, β, β, α, α, α, α, α, β, β, α, β, β, α. ¿Cuál es el núcleo final estable? [plomo206] 7) Formula la siguiente reacción

7 3 Li

( p, γ ) 84 Be

y calcula la frecuencia de la radiación emitida. Da-

tos: m(Be)=8,00777; m(Li)=7,01818; m(H)=1,00813. [4,18·1021 Hz] 8) Completa las siguientes reacciones nucleares: 23 11Na

+ 42 He →

26 12 Mg

+ ?;

105 48 Cd

+

0 −1e

→ ?;

12 6C

( d, n ) ?;

55 25 Mn

( n, γ ) ?

9) Una de las reacciones posibles de la fisión del plutonio-239 cuando capta un neutrón es la formación de cerio-141 y molibdeno-96, liberándose tres neutrones. Formula la reacción y calcular la energía liberada por cada núcleo fisionado. Datos: m(Pu) = 239,052158; m(Ce) = 140,908570; m(Mo) = 95,90499; m(n) = 1,008665; m(e) = 0,000549. [20,6 GeV] 10) Una muestra de cromo-51 contiene 4,1·1020 átomos. Si el período de semidesintegración del citado elemento es de 27 días, calcular: a) vida media del emisor radiactivo; b) número de átomos que habrá al cabo de un año y actividad de la muestra en ese momento. [a) 38,95 días; b) 3,5·1016 átomos y 0,28 Ci] 11) Calcula la masa de 14C de 1,0 Ci sabiendo que el período de semidesintegración del 5570 años. Dato: m(14C)=14,0077 u. [2,14·10-4 kg]

14C

es de

12) Calcula la energía cinética de las partículas-α emitidas desde el 232U. El proceso de desintegración: 232U → 228Th + 4He. Datos: m(232U)=232,1095 u; m(228Th)=228,0998 u; m(4He)=4,0039 u. [5,30 MeV] 13) Calcula la energía eliminada en la fisión del 235U por neutrones lentos. Considera el caso par1 95 139 1  236  ticular 235 92 U + 0 n →  92 U  → 42 Mo + 57 La + 2 0 n . Como los neutrones entrantes son lentos, podemos ignorar su energía cinética en el balance de energía y considerar sólo las masas. Datos: m(1n) = 1,0090u; m(235U) = 235,0439u; m(236U) = 236,0456u; m(139La) = 138,9061u; m(95Mo) = 94,9058u. [207,16 MeV] 14) El 131I es un isótopo radiactivo que se utiliza en medicina para el tratamiento del hipertiroidismo, ya que se concentra en la glándula tiroides. Su período de semidesintegración es de 8 días. a) Explique cómo ha cambiado una muestra de 20 mg de 131I tras estar almacenada en un hospital durante 48 días. b) ¿Cuál es la actividad de un microgramo de 131I?. Dato: NA.

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VIBRACIONES Y ONDAS Movimiento oscilatorio: el movimiento vibratorio armónico simple Cinemática del movimiento armónico simple. Dinámica del movimiento armónico simple. Energía de la partícula en el movimiento armónico simple. Introducción fenomenológica al movimiento ondulatorio. Rasgos diferenciales de ondas y partículas. Tipos de ondas. Pulsos y ondas Características del movimiento ondulatorio. Polarización Velocidad de propagación de una onda y su dependencia del medio. Ecuación de ondas. Ecuación de ondas armónicas. Definición de Onda Armónica Periodicidad espacial y temporal de las ondas Magnitudes de una onda y relación entre ellas Intensidad de una onda Propagación de ondas: reflexión y refracción Leyes de la reflexión y de la refracción Explicación teórica de las leyes Superposición de ondas. Nociones sobre los fenómenos de interferencia Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincronizadas Condición de fase: Determinación analítica Coherencia Determinación gráfica de la interferencia Interferencia de dos ondas que oscilan con las mismas frecuencia y amplitud A Ondas estacionarias Conceptos de nodo y de antinodo Ondas estacionarias y resonancia Ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético Problemas de movimiento ondulatorio Movimiento oscilatorio: el movimiento vibratorio armónico simple.Una partícula posee movimiento oscilatorio o vibratorio cuando se mueve periódicamente alrededor de una posición de equilibrio. Por ejemplo, el movimiento de un péndulo es oscilatorio, o un peso atado a una cuerda tensa, mientras oscila. Los átomos en un sólido y en una molécula están vibrando respecto de los otros átomos. Los electrones en una antena, radiando o recibiendo están en oscilación rápida. Para entender los fenómenos ondulatorios, relacionados con el sonido y la luz, es necesario conocer el movimiento vibratorio. Una propiedad importante del movimiento oscilatorio es su frecuencia, o el número de oscilaciones que son completadas cada segundo. El símbolo f para la frecuencia, y su unidad es el hertz (Hz), donde 1 hertz = 1 Hz = 1 oscilación por segundo. Relacionado con la frecuencia del movimiento f es el período del movimiento T, que se define como el tiempo para una oscilación completa, o ciclo. Siendo T=f-1. Cualquier movimiento que se repite en intervalos regulares se llama movimiento periódico o movimiento armónico. Existe un movimiento que se repite de una forma particular, si en el movimiento el desplazamiento de la partícula desde el origen viene dado como una función del tiempo x = x m cos ( ωt + φ ) en la que el desplazamiento depende sólo de la variable t, los demás parámetros x m , ω, φ son constantes. Este movimiento se llama movimiento armónico simple, un término que significa que el movimiento periódico es una función sinusoidal del tiempo. De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el llamado movimiento armónico simple. Además de ser el movimiento más sencillo de analizar y describir, constituye la mejor descripción de muchas oscilaciones que se encuentran en la naturaleza. Aunque no todos los movimientos oscilatorios son armónicos. La cantidad xm es una constante positiva, cuyo valor depende de cómo ha empezado el movimiento y se llama amplitud del movimiento. El subíndice m significa máximo porque la amplitud es el valor máximo del desplazamiento de la partícula en cualquier dirección. La función coseno varía entre los límites ±1, así que el desplazamiento x varía entre los límites ±xm. La cantidad variable con el tiempo ( ωt + φ ) se llama la fase del movimiento, y φ es la constante de fase o ángulo de fase. El valor de φ depende del desplazamiento y la velocidad de la partícula en el t=0.

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Para interpretar la constante ω hacemos la siguiente consideración. El desplazamiento x debe volver a su valor inicial después de un período T del movimiento  x(t) = x m cos ( ωt + φ )  ( ωt + φ ) = ω(t + T) + φ x(t) = x(t + T) ⇒  ⇒ ⇒  x(t + T) = x m cos ( ω(t + T) + φ )  ωT = 2π 

ω=

2π = 2πf T

La cantidad ω se llama la frecuencia angular del movimiento. Su unidad es radián por segundo (rad·s-1). Cinemática del movimiento armónico simple: La velocidad de una partícula moviéndose con movimiento armónico simple dx d =  x m cos ( ωt + φ )  = −ωx m sen ( ωt + φ ) = v m sen ( ωt + φ ) dt dt  1   v = v m sen ( ωt + φ ) = v m cos  ( ωt + φ ) − π  2  

v=

La curva de la velocidad v, que es una función del seno, está retrasada en rresponde a

1 4

1 2

π rad, que co-

T respecto de la curva del desplazamiento.

π π π  sen ( ωt + φ ) = cos  ( ωt + φ ) −  = cos ( ωt + φ ) cos + sen ( ωt + φ ) sen = sen ( ωt + φ ) 2 2 2  −π 1 t = 2π2 = − T 4 T

La aceleración de la partícula en el movimiento armónico simple a=

dv d =  −ωx m sen ( ωt + φ )  = −ω2 x m cos ( ωt + φ ) dt dt 

a = a m cos ( ωt + φ ) = −ω2 x

Dinámica del movimiento armónico simple: Conocida la aceleración de una partícula y cómo varía con el tiempo, podemos usar la segunda ley de Newton para aprender qué fuerza puede actuar sobre la partícula, para que tenga esa aceleración. F = −kx   2  F = ma = −mω x 

⇒

k = mω2

⇒

  k ω =  m     m   T = 2π k 

El movimiento armónico simple es el movimiento ejecutado por una partícula de masa m sometida a una fuerza que es proporcional al desplazamiento de la partícula pero opuesta en signo. Cuando el desplazamiento es hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda, y cuando el desplazamiento es hacia la izquierda la fuerza apunta hacia la derecha. Por lo que la fuerza está apuntando siempre hacia el origen, que es el punto de equilibrio. La fuerza es central y atractiva. La constante k se llama constante elástica. Representa la fuerza por unidad de distancia requerida para desplazar la partícula. Energía de la partícula en el movimiento armónico simple: 2 1 1 1 mv2 = m  −ωx m sen ( ωt + φ )  = mω2 x 2m sen2 ( ωt + φ ) 2 2 2 1 1 1 Ec = mω2 x 2m 1 − cos2 ( ωt + φ )  = mω2 x 2m − mω2 x 2m cos2 ( ωt + φ ) 2 2 2 1 Ec = mω2  x 2m − x 2  2

Ec =

La energía cinética es máxima en el centro (x=0) y cero en los extremos de la oscilación (x=±xm).

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W= Ep =

∫

f

i

G G F ⋅ dr =

∫

f

i

f

G G 1  −kx ⋅ dx = −  kx 2  = −∆Ep 2  i

1 2 1 kx = mω2 x 2 2 2

La energía potencial tiene el valor mínimo en el centro (x=0) y se incrementa cuando la partícula se aproxima a cualquier extremo de la oscilación (x=±xm). E = Ec + E p =

1 1 1 mω2  x 2m − x 2  + mω2 x 2 = mω2 x 2m 2 2 2

La energía total es constante porque la fuerza es conservativa. Introducción fenomenológica al movimiento ondulatorio.El movimiento ondulatorio está relacionado con muchos fenómenos que ocurren en la Naturaleza o en la vida corriente, por ejemplo, hablar, escuchar una conversación, escuchar la radio, tocar un instrumento musical, golpear una campana, tirar una piedra a un estanque, encender una bombilla, escuchar los ruidos, transmitir una señal de televisión por el aire o por un cable de fibra óptica. El mecanismo, por el que se propaga una onda puede ser diferente, en los distintos casos mencionados anteriormente, pero todos tienen un hecho en común, es decir, “son situaciones físicas producidas en algún lugar del espacio, propagadas a través del espacio y detectadas posteriormente en otro punto del espacio”. Estos tipos de procesos son todos ejemplos de movimiento ondulatorio. Supongamos una propiedad física extendida sobre una cierta región del espacio. Esta propiedad puede ser una deformación en un muelle, una tensión en un sólido, la presión en un gas, un desplazamiento transversal en un muelle, un campo electromagnético. Si las condiciones en algún lugar llegan a depender del tiempo (dinámicas), es decir, hay una perturbación del estado físico en ese lugar. Dependiendo de la naturaleza física del sistema, la perturbación se puede propagar a través del espacio, alterando las condiciones en otros lugares. Por tanto, hablamos de una onda asociada con la propiedad física particular que se altera o es dependiente del tiempo. Por ejemplo, consideremos la superficie libre de un líquido. La propiedad física, en este caso, es el desplazamiento de cada punto de la superficie relativo a la posición de equilibrio. En condiciones de equilibrio, la superficie libre de un líquido es plana y horizontal. Pero si en algún punto las condiciones en la superficie se perturban o alteran arrojando una piedra al líquido, esta perturbación se propaga en todas direcciones a lo largo de la superficie del líquido. Para determinar el mecanismo de propagación y su velocidad, debemos analizar cómo el desplazamiento de cualquier punto en la superficie del líquido afecta al resto de la superficie. Desde este análisis obtenemos las ecuaciones dinámicas del proceso. Estas ecuaciones nos llevan a obtener información cuantitativa sobre la variación en el espacio y en el tiempo de la perturbación. En el movimiento ondulatorio, lo que se propaga es una condición física que es generada en algún lugar y se transmite a otras regiones. La gran mayoría de las ondas (sonido, cuerdas, etc.) corresponden a ciertos tipos de movimiento de átomos o moléculas a través del cual las ondas se propagan, sin embargo los átomos no se trasladan, se mueven en torno a sus posiciones de equilibrio. Por ejemplo, en una cuerda estirada horizontalmente, al mover un extremo verticalmente se transmite la vibración horizontalmente por toda la cuerda. Por tanto, no es materia lo que se propaga, pero sí se transfiere de una región a otra el estado de movimiento o condición dinámica de la materia. Como la condición dinámica de un sistema se describe en términos de momento y energía, podemos decir que en un movimiento ondulatorio, se propagan el momento y la energía. Definición de onda: “Una onda es la propagación de una perturbación de un observable de un medio material o de un campo, que se propaga por el espacio ocupado por el medio material o por el campo. Se propagan el momento y la energía.” Rasgos diferenciales de ondas y partículas: En la Física clásica, los conceptos de onda y de partícula han sido muy importantes, en el sentido de que casi siempre podemos asociar casi todos las ramas de la física con uno u otro concepto. Siendo los dos conceptos muy diferentes. La palabra partícula nos sugiere una pequeña

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concentración de materia capaz de transmitir energía. La palabra onda nos sugiere, exactamente todo lo opuesto, una amplia distribución de energía llenando el espacio a través del cual pasa la onda. Los rasgos diferenciales de las ondas y de las partículas son: 1)

Respecto de su velocidad, las partículas se desplazan y las ondas no desplazan materia.

2)

Respecto a las modificaciones que sufren las ondas cuando: a) cambian las propiedades físicas del medio (reflexión, refracción, polarización); b) se interponen en su camino diferentes tipos de obstáculos (difracción, dispersión); c) dos o más ondas coinciden en la misma región del espacio (interferencia).

Tipos de ondas: Los tipos de ondas se clasifican en función del observable. Ondas mecánicas: sonido, movimientos sísmicos, olas marinas, etc., la perturbación suele ser una deformación elástica ligada al incremento de una variable mecánica (desplazamiento, torsión, presión,...) que se propaga transportando exclusivamente energía mecánica de un punto a otro del medio. Cada partícula, del medio material, se mueve en el entorno de su posición de referencia, que es el estado no perturbado, y en su movimiento excita las partículas contiguas comunicándoles energía mecánica de oscilación. Las características principales de las ondas mecánicas son que están gobernadas por las leyes de Newton y que para existir necesitan de un medio material (aire, agua, cuerda estirada, varilla de acero). Ondas electromagnéticas: luz visible, rayos x, microondas, ondas de radio y televisión. Las ondas electromagnéticas para existir no necesitan de un medio material. La luz que viene desde las estrellas viaja hacia nosotros a través del espacio casi vacío. Todas las ondas electromagnéticas viajan a través del vacío con la misma velocidad c, cuyo valor exacto es igual a 299.792.458 m/s. Ondas de materia: electrones. Las ondas de materia se producen bajo ciertas condiciones experimentales, por ejemplo, un haz de partículas (electrones) pueden tener propiedades ondulatorias. Estas ondas de materia están gobernadas por las leyes de la física cuántica. Pulsos y ondas: La onda mecánica más sencilla es posiblemente la onda transmitida a lo largo de una cuerda estirada. Si cogemos una cuerda estirada por el extremo y le damos una única sacudida arriba y abajo, un impulso pasa a lo largo de la cuerda de partícula a partícula y así obtenemos una onda en la forma de un único pulso viajando a lo largo de la cuerda con velocidad v. Si movemos la mano arriba y abajo en un continuo movimiento armónico simple una onda sinusoidal viaja continuamente a lo largo de la cuerda a la velocidad v. Por tanto, cuando la fuente de la onda produce una perturbación aislada y de pequeña duración, decimos que se ha producido un pulso, que no es una onda por ser finito en el espacio y en el tiempo. Se denomina un tren finito de ondas a la onda generada por un conjunto finito de pulsos. Si el foco emisor engendra indefinidamente pulsos se engendra un tren indefinido de ondas. La superposición de un conjunto de infinitas perturbaciones armónicas de frecuencias infinitamente próximas se llama paquete de ondas o grupo de ondas. Características del movimiento ondulatorio: Los puntos de donde parten las perturbaciones se denominan focos, las direcciones de propagación, trayectorias de la transferencia energética, se llaman rayos. La perturbación ψ que G se transmite en una onda ψ = ψ(r, t) es una función del vector de posición y del tiempo. El lugar geométrico de puntos en los que simultáneamente, t=t0, la perturbación tiene un valor constante ψ D = ψ(x, y, z, tD ) constituye una superficie de onda. En el caso de una onda plana las superficies de onda son planos normales a los rayos, que son rectas paralelas a la dirección de propagación. En el caso de una onda esférica las superficies de onda son superficies esféricas normales a los rayos, que constituyen un haz de radios. Se distinguen dos tipos genéricos de ondas, que se diferencian en la dirección y forma de la perturbación respecto del rayo, longitudinales y transversales. Las ondas longitudinales, desplazamientos en dirección de los rayos, y son características de los fluidos como el sonido. Las ondas transversales, desplazamientos en dirección normal a los rayos. Son propias de los sólidos e hilos tensos, que también pueden propagar ondas longitudinales. Independientemente de la diversidad mostrada, por su naturaleza física o por la forma G analítica de la perturbación ψ = ψ(r, t) todas las clases de ondas experimentan un conjunto de fe-

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nómenos característicos de su naturaleza ondulatoria tales como la refracción, la reflexión, las interferencias y la difracción. Polarización: Las ondas transversales se caracterizan porque la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación. Ahora bien, si la perturbación se produce siempre a lo largo de una única dirección, que es perpendicular a la propagación, se dice que la onda está polarizada linealmente. Este fenómeno se pone de manifiesto en la luz. La luz es una onda electromagnética en la que el campo eléctrico oscila transversalmente, en todas las direcciones perpendiculares, a la dirección de propagación de la luz (onda no polarizada). Si la hacemos pasar a través de un material llamado polaroide, que es un filtro, sale únicamente con una dirección de vibración perpendicular (no perjudica al ojo). Velocidad de propagación de una onda y su dependencia del medio: Las propiedades del material1 o medio a través del cual viaja una onda determinan la velocidad de la onda. Por ejemplo, en la figura tenemos una onda transversal sobre una cuerda en la que hay dibujadas cuatro partículas. Onda transversal

1

c

2

3

4

Las partículas 1 y 2 se han desplazado hacia arriba, mientras las partículas 3 y 4 no están todavía afectadas por la onda. La partícula 3 será la siguiente en desplazarse hacia arriba porque la sección de la cuerda próxima a su izquierda tirará de ella hacia arriba. Por tanto, la velocidad con la que la onda se mueve hacia la derecha depende de la rapidez con la que una partícula de la cuerda sea acelerada hacia arriba en respuesta a la fuerza neta tirante que es ejercida por sus partículas vecinas. Aplicando la segunda ley de Newton una fuerza neta fuerte supone una aceleración grande y la onda se moverá rápidamente. La capacidad de una partícula para tirar de sus vecinas depende de cuanta fuerza hay que hacer para estirar la cuerda, es decir, de la tensión (la tensión es una manifestación de las fuerzas fundamentales que existen entre los átomos). En circunstancias iguales, mientras mayor sea la tensión mayor es la fuerza tirante de las partículas sobre las vecinas y la onda viaja más rápidamente. Además de la tensión, hay otro factor que influye en la velocidad de la onda, que está relacionado con la segunda ley de Newton, que es la inercia o masa de la partícula. En la figura anterior la masa de la partícula 3 afectará a la rapidez en ir hacia arriba por el tirón de la partícula 2. Para una fuerza tirante neta, mientras la masa sea menor provocará una aceleración mayor. Por tanto, en circunstancias iguales, una onda viaja más rápidamente sobre una cuerda cuyas partículas tengan una masa menor, o, sobre una cuerda que tenga una masa menor por unidad de longitud (densidad lineal). Si una onda viaja a través de un medio como el agua, aire, acero o una cuerda estirada, las partículas del medio oscilan cuando pasa la onda. Para que esto ocurra, el medio debe poseer inercia (para almacenar energía cinética) y elasticidad (para almacenar energía potencial). Estas dos propiedades determinan la rapidez de la onda por el medio. La velocidad de una onda, c, que es una propiedad muy importante, depende de las características del medio. Ejemplos: Cuerda: c =

T µ

siendo T la tensión en N y µ la densidad lineal en kg/m.

Y siendo Y la elasticidad del sólido en N/m2 y ρ la densidad en kg/m3. Ejemplos de ρ elasticidad Y(Al) = 0,70; Y(Cu) = 1,25; Y(acero) = 2,0.

Barra: c =

Medio elástico y homogéneo: En la Tierra, las Ondas sísmicas P, que son longitudinales, y las S, 3µ + λ µ ; siendo µ el módulo de rigidez o cizalladura (resis; cs = ρ ρ tencia al cambio de forma sin cambio de volumen) y λ el módulo de dilatación (resistencia al cambio de volumen sin variar la forma). Las cs no pasan los fluidos sólo los sólidos.

que son transversales: c p =

1

Las ondas electromagnéticas pueden viajar a través del vacío, igual que a través de materiales como el vidrio y el agua.

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Fluidos: c líquidos = k =

dp ; dρ

γp0 = ρ0

c gases =

γRT P.m.

Siendo k el coeficiente de compresibilidad y γ gamma el coeficiente adiabático. 1 εD µD

Vacío (ondas electromagnéticas): cD =

Ecuación de ondas: Consideremos una onda monodimensional en la que la perturbación se propaga en la dirección OX, tal como ocurre en las vibraciones de la cuerda de una guitarra. En el gráfico se esquematiza el perfil de la perturbación en dos instantes t=0 y t=t, ubicado su origen en dos posiciones de abscisas x=0 y x=c·t. En t=0 y x=X la perturbación es f(X) donde esta función determina la forma del perfil de la perturbación. Este perfil se traslada a lo largo del eje +OX con velocidad c, en el instante t se verifica X=x-c·t, de donde se sigue que la perturbación será igual a f(X)=f(x-c·t). Si el perfil se trasladase a lo largo del eje -OX la perturbación será igual a

(

f(X)=f(x+c·t). En general ψ(x, t) = f t ±

π c

)

ψ (x,t) t=0

t=t

c

ψ (x,t)=f(X)=f(x-c·t) X=x-c·t

f(X)

f(X) X

c·t x

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se encuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’) para el segundo O’X’Y’Z’. La relación entre los vectores de posición en cada sistema se relaciona por las ecuaciones siguientes: G G G r = R + r' G G G G G r ' = r − R = r − ct Ecuación de ondas armónicas.Cuando la perturbación inicial del medio es periódica, es decir, la perturbación se repite cada cierto intervalo de tiempo, es decir Ψ ( 0, t ) = Ψ ( 0, t + T ) , siendo T el período, que es el tiempo que tarda en repetirse la perturbación y su inverso (1/T) es la frecuencia. Para que se generen ondas periódicas el medio ha de ser poco absorbente. Fourier demostró matemáticamente que toda función periódica f(t)= f(t+T), de periodo T, puede expresarse como una serie de funciones sinusoidales o armónicas, de frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental: f(t) = a 0 + a1 cos ωt + a 2 cos 2ωt + ... + b1 sen ωt + b2 sen 2ωt + ...

Es por ello por lo que en el estudio de ondas periódicas podemos limitarnos a perfiles sinusoidales X  f(X) = A cos  2π  λ 

En el caso de una onda armónica propagándose con velocidad c a lo largo del eje OX, se sigue: X  ψ(x,0) = f(X) = A cos  2π  λ  x − ct    x ct  x t  ψ(x, t) = f(x − ct) = A cos  2π  = A cos 2π  −  = A cos 2π  −  λ   λ λ  λ T

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Definición de Onda Armónica: En una onda periódica, cualquiera de sus componentes sinusoidales, cuya frecuencia sea un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. Por ello, en el estudio de las ondas periódicas podemos limitarnos a perfiles sinusoidales en una dirección, por ejemplo el eje OX: 2π  x t   2π ψ(x, t) = A cos 2π  −  = A cos  x− t  = A cos ( kx − ωt ) T  λ T  λ

Periodicidad espacial y temporal de las ondas: Representaciones gráficas de la perturbación frente a la posición (en un instante) y de la perturbación frente al tiempo (para un punto determinado): Perturbación

Perturbación T (periodo)

longitud de onda posición

tiempo

para un instante

para un punto

Las ondas tienen una doble periodicidad: espacial y temporal. Temporal, porque cada cierto tiempo la perturbación se repite y espacial porque el mismo estado de perturbación se alcanza entre las superficies de onda, que son el lugar geométrico de los puntos en los que simultáneamente la perturbación tiene un valor constante. La utilización de las funciones seno o coseno es equivalente y sólo depende de la elección del instante inicial. Si el instante inicial, con x y t de valor cero, se elige con el máximo de perturbación, es decir, igual a la amplitud, entonces utilizaremos la función coseno ya que el coseno de cero vale uno. Si el instante inicial, se elige con la perturbación cero, es decir, el producto de la amplitud por la función será cero, luego utilizaremos la función seno ya que el seno de cero vale cero. Periodicidad espacial cada longitud de onda ψ ( x, t ) = ψ m sen k ( x − ct )      π π 2 2 ψ x + k , t = ψ m sen k x + k − ct = ψ m sen k ( x − ct ) + 2π  

(

)

(

)

⇒

(

)

ψ x + 2π , t = ψ ( x, t )    k    2π = λ  k 

Periodicidad temporal cada período de onda ψ ( x, t + T ) = ψ ( x, t )  ψ     ( x, t ) = ψ m sen k ( x − ct )   ⇒ kcT = 2π  x, t T sen k x c t T sen k x ct 2 ψ + = ψ  − +  = ψ  − − π  ( ) ( ) ( ) m m  λ = cT        

La ecuación establece una doble periodicidad, en el tiempo de período T, y en el espacio de período la longitud de onda. Si la onda es de desplazamiento hay que resaltar la diferencia entre la velocidad de propagación de la onda c y la velocidad de un punto del medio en el que la onda se propaga. En cada punto se establece una perturbación sinusoidal periódica en el tiempo

ψ ( x1, t ) = ψ m sen ( kx1 − ωt ) = ψ m sen φ φ = kx1 − ωt ≡ fase Simultáneamente, en cada instante los puntos del eje OX cuya distancia sea un múltiplo de la longitud de onda están en el mismo estado de perturbación. La fase de la onda en cada punto e instante dados es: φ = cte. = kx − ωt . Los puntos de igual fase están en un plano normal al eje OX que se desplaza con la siguiente velocidad

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λ c= T

⇒

φ = cte. = kx − ωt  dx d  φ + ωt  ω λ  c = dt = dt  k  = k = T   

Los puntos que se encuentran en el mismo estado de perturbación: φ2 − φ1 = kx 2 − kx1 = k ( x 2 − x1 ) = n2π 2π ( x 2 − x1 ) = n2π λ ( x 2 − x1 ) = nλ

Los puntos que se encuentran en oposición de fase: φ2 − φ1 = kx 2 − kx1 = k ( x 2 − x1 ) = ( 2n + 1) π

( x 2 − x1 ) =

( 2n + 1) 2

λ

Si la onda se transmite en dos o tres dimensiones: Y

Ψ= f (u·r-v·t) Ψ=Ψ sen [k(u·r-v·t)] onda armónica

plano Z

r

P

u

u es el vector unitario en la dirección de propagación r es el vector de posición de algún punto en el frente de onda

X (dirección de propagación)

GG G ψ(r, t) = A cos kr − ωt

(

)

Magnitudes de una onda y relación entre ellas:

→

Amplitud: la perturbación máxima que se puede alcanzar, y se mide dependiendo de la perturbación (m, Pa, etc.,).

→

Longitud de onda: la distancia que separa a dos puntos próximos que están en el mismo estado de perturbación en un instante determinado, su unidad es el metro. O bien, es la distancia avanzada por la onda en un período de tiempo.

→

Número de onda: el número de longitudes de onda contenidas en un metro, su unidad es mEl número de onda es el inverso de la longitud de onda.

1.

→

Período: el tiempo que tarda un punto en alcanzar el mismo estado de perturbación.

→

Frecuencia: el número de veces que tarda un punto en alcanzar el mismo estado de perturbación en un segundo, su unidad es el hertz Hz (s-1). La frecuencia es el inverso del período.

→

Velocidad de onda: la relación entre la distancia que recorre la perturbación y el tiempo que tarda en recorrerla. Es decir, la división entre la longitud de onda y el período, o la multiplicación de la longitud de onda por la frecuencia.

→

Pulsación o frecuencia angular de la onda (rad/s; Hz): el número de veces que tarda en alcanzar el mismo estado de perturbación en 2π segundos.

→

Vector número de onda nos indica la dirección y sentido de la onda y expresa el número de G G G 2π G 2π G ω G ondas contenidas en 2π metros: k = k u = u= u= u λ cT c

Intensidad de una onda:

En un movimiento ondulatorio lo que se propaga es una condición física generada en algún lugar y transmitida a otras regiones. Todas las ondas mecánicas corresponden a ciertos tipos de movimientos de los átomos o de las moléculas del medio, a través del que se propaga la onda. Sin embargo, los átomos permanecen, en promedio, en sus posiciones de equilibrio. Es decir, no se propaga materia pero sí se transfiere el estado de movimiento desde una región a otra, o condición dinámica de la materia.

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Puesto que la condición dinámica de un sistema se describe en términos de momento lineal y energía podemos decir: “en el movimiento ondulatorio se propaga energía y momento lineal”. La intensidad de una onda se define como la energía que fluye cruzando una unidad de área perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo. El flujo es la energía que en cada segundo emite un foco en el interior de un ángulo sólido dado. Luego la intensidad de una onda se define como la energía cuyo flujo cruza una unidad de área perpendicular a la dirección de propagación.  dE  Flujo =    dt promedio  dE     dt promedio Flujo Intensidad = = ≡ Superficie S

J s

m2

=

Jm s

m3

=

J m m3 s

La intensidad de la onda es proporcional a la densidad de energía y a su velocidad. En el caso de una onda elástica armónica y(x, t) = A sen ( kx − ωt ) la densidad de energía promedio se calcula de la siguiente forma. Considera que las partículas de la onda oscilan con movimiento armónico en dirección del eje OY, que es perpendicular al sentido de propagación de la onda +OX. La fuerza a que están sometidas las partículas viene dada por la ley de Hooke F = −ky = ma . Si la posición en cada instante es una función armónica dada por la expresión y = A sen ( ωt + α ) la velocidad y la aceleración y = A sen ( ωt + α ) dy d =  A sen ( ωt + α )  = ωA cos ( ωt + α ) dt dt  dv d k a= = ωA cos ( ωt + α )  = −ω2 A sen ( ωt + α ) = −ω2 y = − y  dt dt m 1 1 2 1 1 1 1 2 2  2 2 2 2 2 2 E = mv + ky = mω  A − y  + mω y = mω A = kA 2 2 2 2 2 2 2 v=

El oído humano escucha entre las frecuencias de 20 Hz y 20.000 Hz. En el caso del sonido, el umbral de audición está en una intensidad de I0=1,0·10-12 W/m2. Si la intensidad de una conversación es de I=3,2·10-6 W/m2, los decibelios o dB son  3,2 ⋅ 10−6 W2 I m 10 ⋅ log   = 10 ⋅ log  −12 W  I 1,0 ⋅ 10  D  m2

  dB = 65 dB  

Propagación de ondas: reflexión y refracción.-

La velocidad de propagación de las ondas depende de algunas propiedades físicas del medio a través del que se propagan las ondas. Por ejemplo, la velocidad de las ondas elásticas depende de un módulo de elasticidad y de la densidad del medio. La velocidad de las ondas electromagnéticas depende de la permitividad y de la permeabilidad de la sustancia a través de la que se propaga. La dependencia de la velocidad de propagación de una onda de las propiedades del medio da lugar a los fenómenos de reflexión y refracción, que tienen lugar cuando una onda cruza una superficie separando dos medios donde la onda se propaga con distintas velocidades. La onda reflejada es una onda nueva que se propaga volviendo hacia el mismo medio a través del cual la onda inicial se estaba propagando. La onda refractada es la onda transmitida hacia el segundo medio. La energía de la onda incidente se divide entre la onda reflejada y la onda refractada. En muchos casos la onda reflejada es la que recibe más energía, como ocurre en la reflexión por espejos. Los rayos corresponden a las líneas de propagación de la energía y momento lineal de la onda. Las superficies de onda que son perpendiculares a los rayos, se definen como la superficie cuyos puntos tienen alguna propiedad común, que equidistan del foco y se encuentran en el mismo estado de perturbación. La relación geométrica entre rayos y superficies de onda es similar a la relación entre líneas de fuerza y superficies equipotenciales. Los puntos, sobre distintas su-

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perficies de onda, que están unidos por un rayo determinado se llaman puntos correspondientes. El tiempo requerido para que una onda vaya desde una superficie de onda a otra es el mismo que el medido a lo largo de un rayo. En un medio isótropo, en el que la velocidad es la misma en todos los puntos y en todas direcciones, la separación entre dos superficies de onda debe ser la misma para todos los puntos correspondientes. En un medio isótropo homogéneo los rayos deben ser líneas rectas. Leyes de la reflexión y de la refracción:

Considera una onda plana propagándose en un medio 1. La experiencia nos dice que cuando la onda alcanza la superficie de separación de los dos medios, una onda es transmitida o refractada hacia el segundo medio y otra onda plana es reflejada y retrocede al mismo medio. Los ángulos θi , θr , θt que los rayos –incidente, reflejado y refractado o transmitido- tienen con la normal a la superficie de separación están relacionados por las siguientes leyes verificadas experimentalmente: 1)

Las direcciones de los rayos incidentes, reflejados y refractados están todos en un plano, que es normal a la superficie de separación y, por tanto, contiene la normal a la superficie.

2)

El ángulo del rayo incidente es igual al ángulo del rayo reflejado θi = θr

3)

La relación entre el seno del ángulo del rayo incidente y el seno del ángulo del rayo refractasen θi do es constante; = n21 siendo n21 el índice de refracción del medio 2 relativo al medio sen θt 1. Conocida como ley de Snell.

Eje Z (plano normal) medio 1

ángulo incidente ángulo reflejado

Eje X (Plano de separación de los dos medios) medio 2 ángulo refractado o transmitido

Explicación teórica de las leyes: Cuando una onda llega a la superficie que separa dos medios homogéneos, se divide en dos ondas, una reflejada que retrocede al primer medio y una transmitida o refractada que se dirige al segundo medio.

En los procesos de reflexión y refracción se cumple: 1)

El principio de conservación de la energía, la energía de la onda incidente es igual a la suma de la energía de la onda reflejada y de la energía de la onda transmitida.

2)

La frecuencia de la onda original permanece constante y la velocidad de la onda refractada o transmitida cambia.

3)

La fase de la onda incidente se altera. GG GG G ψ(r, t) = ψ m cos kr − ωt = ψ m cos ωt − kr

(

GG En z = 0 kr = cte.

)

(

)

c1 = λ1f  c 2 = λ 2f

G G G G G G k i r = k r r = k t r   2π G G 2π G G 2π G G  λ ui r = λ ur r = λ ut r 1 2  1

2πf G G 2πf G G 2πf G G ui r = ur r = ut r c1 c1 c2 G G G ui ur ut = = c1 c1 c2 sen θi sen θr sen θt = = c1 c1 c2

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A partir de estas ecuaciones se demuestran las leyes experimentales de la reflexión y refracción de las ondas: sen θi sen θr sen θt = = c1 c1 c2 n21

n = 2 = n1

cD c2 cD c1

=

c1 = c2

 θ i = θr  n2  sen θi c1  sen θ = c = n21 = n t 2 1 

ε 2µ 2 ε1µ1

El índice de refracción del segundo medio relativo del primero. →

Si n21>1, n2>n1, el ángulo del rayo incidente es siempre mayor que el ángulo del refractado o transmitido.

→

Si n21<1, n2
Para éste último caso, en el que el índice de refracción relativo de un medio respecto del otro, es menor que uno, para el ángulo crítico la onda refractada emerge tangente a la superficie y no pasa al segundo medio. Las fibras ópticas se construyen para aprovechar esta ley. Estas fibras, ha de tener un diámetro muy pequeño, de varios micrómetros, están construidas de fibra de vidrio de cuarzo o también de nylon, que es un material de menor índice de refracción. De tal forma que al entrar un rayo de luz, este viaja por el interior sin poder salir de la fibra. Superposición de ondas. Nociones sobre los fenómenos de interferencia.-

Cuando escuchamos un concierto a nuestros oídos llegan simultáneamente muchos sonidos, por lo que frecuentemente dos o más ondas pasan simultáneamente a través de la misma región. Supongamos que dos ondas viajan simultáneamente a lo largo de una misma cuerda estirada horizontalmente. Sean y1(x,t) e y2(x,t) los desplazamientos que la cuerda experimentará si cada una actúa por separado. El desplazamiento de la cuerda cuando actúan las dos ondas será la suma algebraica: y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t). Este es otro ejemplo del principio de superposición que ya hemos aplicado a los campos gravitatorio y eléctrico. Este principio nos dice que cuando algunos sucesos ocurren simultáneamente su efecto neto es la suma de los sucesos individuales. El principio de la superposición de ondas fue enunciado por Thomas Young (1773-1829) en 1802 y nos dice que: "Cuando en un punto del espacio se superponen dos o más ondas la perturbación resultante es la suma de las producidas separadamente por cada componente". Esto nos obliga a admitir que en una región del espacio en la que se propagan simultáneamente dos o más ondas, cada una lo hace con completa independencia de las otras. Supongamos que enviamos dos ondas sinusoidales, de la misma longitud de onda y amplitud, en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Si aplicamos el principio de superposición, podemos preguntarnos ¿cuál será la perturbación resultante en la cuerda?. Todo va a depender del grado en que están en fase las dos ondas. Si las dos ondas están en fase la perturbación resultante será el doble de cada una por separado. Y, si las dos ondas están en oposición de fase se cancelarán siempre y no producen perturbación. Este fenómeno de cancelación y de refuerzo de ondas le llamamos interferencia y se aplica a todos los tipos de ondas. Si dos o más ondas coinciden en el espacio y en el tiempo se produce una interferencia. La interferencia ocurre en la región donde coinciden las ondas incidente y reflejada, o cuando un movimiento ondulatorio es confinado a una región limitada del espacio. Una cuerda con sus dos extremos fijos, o un líquido en un cauce estrecho, o una onda electromagnética en una cavidad metálica. Dando lugar, estos últimos casos a ondas estacionarias.

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Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincronizadas:

Consideremos dos fuentes S1 y S2, que oscilan en fase con la misma frecuencia angular (omega) y amplitudes A1 y A2 distintas. Sus respectivas ondas esféricas son: r

P 1

r

2

S

S

1

2

a

ψ1 = A1 sen ( ωt − kr1 ) ψ 2 = A 2 sen ( ωt − kr2 )

Siendo r1 y r2 las distancias desde cualquier punto del medio a S1 y a S2. Hay que destacar que aunque las dos fuentes sean idénticas no producen la misma amplitud en un punto P si r1 y r2 son diferentes, ya que en las ondas esféricas la amplitud va disminuyendo de acuerdo a 1/r. Condición de fase: Supongamos que la perturbación es una propiedad escalar, tal como la alteración de la presión. Si la perturbación correspondiese a una magnitud vectorial, tal como un desplazamiento o un campo eléctrico, consideraríamos que las dos perturbaciones se producen en la misma dirección, por lo que la combinación de las dos ondas se puede tratar de una forma escalar. La onda resultante será: ψ r = ψ1 + ψ 2

ψ  r = A r sen ( ωt − α )  ψ1 + ψ 2 = A1 sen ( ωt − kr1 ) + A 2 sen ( ωt − kr2 )

Determinación analítica:

{ψ r = A r [sen ωt cos α − cos ωt sen α ] = sen ωt [ A r cos α ] − cos ωt [ A r sen α ]} ψ1 + ψ2 = A1 [sen ωt cos kr1 − cos ωt sen kr1 ] + A 2 [sen ωt cos kr2 − cos ωt sen kr2 ]    ψ1 + ψ2 = sen ωt [ A1 cos kr1 + A 2 cos kr2 ] − cos ωt [ A1 sen kr1 + A 2 sen kr2 ]  A r sen α = A1 sen kr1 + A 2 sen kr2 A r sen α A1 sen kr1 + A 2 sen kr2 ⇒ = = tan α  α = A cos A c os kr + A cos kr A r cos α A1 cos kr + A 2 cos kr2 1 2 2 1  r

Elevando las dos ecuaciones al cuadrado y sumándolas queda: ( A sen α )2 = ( A sen kr + A sen kr )2 1 1 2 2  r  2 2 ( A r cos α ) = ( A1 cos kr1 + A 2 cos kr2 )

⇒

A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 [cos kr1 cos kr2 + sen kr1 sen kr2 ] A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos [ kr1 − kr2 ]

La relación entre diferencia de fase, de las dos ondas, y la amplitud resultante es: δ = kr1 − kr2 =

2π ( r1 − r2 ) λ

A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos δ

Si la Amplitud es máxima se dice que la interferencia es constructiva y si la amplitud es mínima la interferencia es destructiva. Los valores de la amplitud resultante, Ar, máximo y mínimo son:

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A r(máximo) = A1 + A 2

cos δ = +1   2π  ( r1 − r2 ) = n2π λ ( r1 − r2 ) = nλ

A r(mínimo) = A1 − A 2

 cos δ = −1   2π  ( r1 − r2 ) = (2n + 1) π λ λ  ( r1 − r2 ) = ( 2n + 1) 2

→

La interferencia de dos ondas será constructiva en aquellos puntos en los que se cumpla que ( r1 − r2 ) = ±λ, ± 2λ; ± 3λ; ...

→

La interferencia de dos ondas será destructiva en aquellos puntos en los que se cumpla que ( r1 − r2 ) = ±1 2λ , ± 3 2λ ; ± 5 2λ ; ...

Coherencia:

El fenómeno de la interferencia nos dice que, en cada punto del espacio, el movimiento ondulatorio resultante tiene una amplitud característica determinada por la ecuación ψ r = A r sen ( ωt − α ) Por tanto, el resultado de la interferencia obtenida no tiene la forma de un movimiento ondulatorio avanzando sino el de una situación estacionaria donde en cada punto del espacio, el movimiento oscilatorio tiene unos valores fijos de amplitud y de fase. La razón para este resultado es que las dos fuentes oscilan con la misma frecuencia y mantienen una diferencia de fase constante, y se dice que son coherentes. Si las fuentes son incoherentes, o si su diferencia de fase cambia con el tiempo de una forma irregular, aunque tengan la misma frecuencia, no se observan interferencias estacionarias.

Esto es lo que ocurre con fuentes de luz constituidas de un gran número de átomos del mismo tipo, los cuales emiten luz de la misma frecuencia. Aunque hay muchos átomos constituyendo cada fuente, no oscilan en fase, y no se observa el fenómeno de la interferencia. Por esta razón no se observa interferencia entre dos bombillas de luz. Para salvar esta dificultad y producir dos rayos de luz coherentes se han diseñado varias fuentes. La forma más sencilla es la utilizada por Thomas Young, quien con sus primeros experimentos demostró que la luz era un fenómeno ondulatorio, su aparato consiste en una pantalla con una fuente de luz situada detrás de ella, en la pantalla hay dos rendijas o agujeros muy próximos. Las rendijas se comportan como dos fuentes coherentes cuyas ondas interfieren sobre la otra zona de la pantalla. Las figuras de difracción se observan sobre una segunda pantalla colocada paralela a la primera. Las figuras observadas son franjas alternativas brillantes y oscuras. Una forma efectiva es dividir un rayo láser en dos y recombinarlos en un punto mediante un biprisma de Fresnel. Otro método es producir interferencias con el interferómetro de Michelson. Determinación gráfica de la interferencia: 2

Y

2

A r =A1 +A2 -2·A 1 ·A 2 ·cos (π−δ) 2

Ar

A2 δ Φ2

O

Φr

π−δ Φ1

A1 X

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Y

Ar

A2

A2 y =A ·sen Φ 2 2 2 A1

Φr

Φ2 y = A1· sen Φ 1 1

Φ1

O

x 1 =A 1 ·cos Φ 1

ψ r = ψ1 + ψ2

x 2 =A ·cos Φ2 2

ψ r = A r sen φr  ψ1 + ψ 2 = A1 sen φ1 + A 2 sen φ2

A 2r = A12 + A 22 − 2A1A 2 cos ( π − δ ) = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos δ φr = arctan

A1 sen φ1 + A 2 sen φ2 A1 cos φ1 + A 2 cos φ2

Interferencia de dos ondas que oscilan con las mismas frecuencia y amplitud A:

Consideremos que las dos fuentes de las ondas (S1 y S2) oscilan en fase con la misma frecuencia angular (omega) y la misma amplitud A (A1 = A2). La perturbación resultante de la interferencia es igual a ψ r = A r sen ( ωt − α ) ψ r = ψ1 + ψ2

ψ   r = A r sen ( ωt − α )   ψ1 + ψ2 = A sen ( ωt − kr1 ) + A sen ( ωt − kr2 ) 

 A 2r = A 2 + A 2 + 2A 2 cos δ = 2A 2 (1 + cos δ )   2 δ δ  δ δ  2  2  2 δ − sen2  = 2A 2 2 cos2  A r = 2A 1 + cos  +   = 2A 1 + cos 2 2 2  2 2     sen kr1 + sen kr2 2sen = tan α = cos kr1 + cos kr2 2 cos

( (

kr1 + kr2 2 kr1 + kr2 2

) cos ( ) cos (

kr1 − kr2 2 kr1 − kr2 2

⇒

A r = 2A cos

) = tan ( )

kr1 + kr2 2

δ 2

)

kr + kr2   kr − kr2   sen  ωt − 1 ψ r = A r sen ( ωt − α ) = 2A cos  1   2 2     La interferencia es constructiva si la Amplitud es máxima y destructiva si es mínima   kr1 − kr2  cos   = +1 2     kr1 − kr2 A r(máximo) = 2A  = n2π 2  r1 − r2 = n2λ     kr1 − kr2  cos  =0 2     kr1 − kr2 π A r(mínimo) = 0  = ( 2n + 1) 2 2   λ r1 − r2 = ( 2n + 1) 2 

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Fórmulas trigonométricas que se utilizarán: sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = ( sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b ) + ( sen a ⋅ cos b − cos a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ sen a ⋅ cos b    sen ( a + b ) − sen ( a − b ) = ( sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b ) − ( sen a ⋅ cos b − cos a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ cos a ⋅ sen b    cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = ( cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b ) + ( cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ cos a ⋅ cos b  cos a + b − cos a − b = cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b − cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b = −2 ⋅ sen a ⋅ sen b  ( ) ( ) ( ) ( )   a + b) + (a − b)   ( ( a + b ) + ( a − b ) = 2a ⇒ a =  2   + − − a b a b ) ( )  a + b − a − b = 2b ⇒ b = ( ( ) ( ) 2    ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ cos ( a + b ) − ( a − b )  sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = 2 ⋅ sen  2 2   sen A + sen B = 2 ⋅ sen A + B ⋅ cos A − B    2 2  ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ sen ( a + b ) − ( a − b )  sen ( a + b ) − sen ( a − b ) = 2 ⋅ cos  2 2   sen A − sen B = 2 ⋅ cos A + B ⋅ sen A − B    2 2  ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ cos ( a + b ) − ( a − b )  cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = 2 ⋅ cos  2 2   cos A + cos B = 2 ⋅ cos A + B ⋅ cos A − B  2 2  

Vamos a desarrollar la interferencia para ondas armónicas o monocromáticas. Las ecuaciones de la perturbación hacia el eje +OX y hacia el eje –OX son ψ + OX = ψ m sen ( ωt − kx ) ψ −OX = ψ m sen ( ωt + kx )

Ondas estacionarias.-

Ahora analizaremos lo que le ocurre a una onda que se restringe a viajar en una región limitada del espacio que es un problema de gran aplicación práctica y teórica. Para hacer los cálculos más sencillos consideraremos sólo ondas en una dimensión. Ondas estacionaras sobre una cuerda: Una cuerda estirada situada sobre el eje X, con uno de sus extremos fijo en el origen O y el otro puede oscilar transversalmente en el eje Y.

Una onda transversal incidente se mueve hacia el extremo fijo en el punto O, es decir, en el sentido -X (hacia la izquierda). Al llegar la onda al punto fijo O es reflejada y se produce una nueva onda (reflejada) propagándose en el sentido +X (hacia la derecha). La onda incidente tiene la ecuación y la onda reflejada tiene de ecuación y i (x, t) = A i sen ( ωt + kx ) y r (x, t) = A r sen ( ωt − kx )

Escribimos una amplitud diferente para las ondas incidente (Ai) y reflejada (Ar) para tener en cuenta el posible cambio de amplitud en la reflexión. El desplazamiento en algún punto de la cuerda, perpendicular al eje X, es el resultado de la interferencia o superposición de las dos ondas. Por tanto: y t (x, t) = y i + y r = A i sen ( ωt + kx ) + A r sen ( ωt − kx )

En el extremo fijo de la cuerda (punto O) el valor de la coordenada x es cero. Además el punto O está fijo, lo que quiere decir que la perturbación total en ese punto es siempre cero ytotal(0,t)= 0. y total (0, t) = 0

y total (0, t) = A isen ( ωt + k0 ) + A r sen ( ωt − k0 ) = A isen ( ωt ) + A r sen ( ωt ) Ai = −Ar

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Por tanto, las amplitudes de la onda incidente (Ai) y de la onda reflejada (Ar) son iguales y de distinto signo. En otras palabras, cuando la onda incidente se refleja en el extremo o punto fijo la onda sufre un cambio de fase de 180º aunque no cambia el valor de la amplitud. La ecuación resultante de la perturbación será si Ai=Ar=A: y total (x, t) = y i + y r = A sen ( ωt + kx ) + A sen ( ωt − kx ) y total (x, t) = A sen ( ωt + kx ) + sen ( ωt − kx )  = A [2 cos ωt sen kx ] y total (x, t) = 2A sen kx cos ωt = A total cos ωt A total = 2A sen kx

Sin embargo, en la ecuación anterior, la fase de la onda resultante sólo es función del tiempo y no de la posición. Por lo que en cualquier instante, tiene el mismo valor en todos los puntos del medio. Este resultado significa que no existe velocidad de fase y el perfil de la onda no se desplaza, es decir, es estacionario. Por tanto, no hay transporte de energía de un punto a otro.

La expresión de una onda viajera es de la forma y = A m sen φ = A m sen ( ωt ± kx ) La ecuación obtenida representa una onda estacionaria, es decir, es la expresión de un movimiento armónico simple cuya amplitud varía desde punto a punto, y está dada por la amplitud resultante: A total = A resul tan te = 2 A sen ( kx ) . En una onda viajera sinusoidal la amplitud de la onda es la misma para todos los elementos de la cuerda. Esto no ocurre en una onda estacionaria, en la que la amplitud varía con la posición. En la ecuación de la onda estacionaria anterior la amplitud varía como lo haga sen (kx). Por ejemplo, la amplitud es cero para los valores de kx en los que el seno sea cero. Conceptos de nodo y de antinodo:

Nodo: Son los puntos en los que la Amplitud resultante es cero.

Si la amplitud resultante es A total = 0 = 2 A sen ( kx ) , luego ha de ser sen ( kx ) = 0 , que se 2π 1 , obtenemos que x nodo = n λ . Luego los nodos λ 2 son los puntos que se encuentran desde x=0 a una distancia que es un múltiplo de la mitad de la longitud de onda.

cumple cuando kx = nπ ( n = 0,1,2,...) . Como k =

 A total = 0 = 2 A sen ( kx )    sen ( kx ) = 0 

⇒

kx = nπ ( n = 0,1,2,...)   nπ nπ 1 = λ=n λ  x nodo = k 2π 2 

Antinodo: Son los puntos en los que la Amplitud resultante es máxima ± 2·A.

Si la amplitud resultante es A total = ±2 A = 2 A sen ( kx ) , luego sen ( kx ) = ±1 , que se cumple π 1 ( n = 0,1,2,...) . Obtenemos que x antinodo = ( 2n + 1) λ son los puntos que se 2 4 encuentran a un múltiplo (n+½) de la mitad de la longitud de onda. Luego el primer antinodo 1 1 desde x=0 está a λ y entre ellos a λ a mitad de camino de los nodos. 2 4

cuando kx = ( 2n + 1)

 A total = ±2 A = 2 A sen ( kx )    sen ( kx ) = ±1 

⇒

π  kx = ( 2n + 1) 2 ( n = 0,1,2,...)   π π ( 2n + 1) ( 2n + 1)  1 2 2 = λ = ( 2n + 1) λ  x antinodo = k 2π 4 

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Ondas estacionarias y resonancia:

Cuando la frecuencia de las excitaciones exteriores es muy próxima a la frecuencia propia del oscilador aparece la resonancia. Es un fenómeno de ampliación de las oscilaciones que se presentan en el oscilador armónico. El fenómeno de la resonancia aparece si imponemos la condición que el otro punto extremo de la cuerda estirada y total ( x, t ) = 2A sen ( kx ) cos ( ωt ) de longitud L esté fijo también, obtenemos el siguiente resultado: y total ( x, t ) = 2A sen ( kx ) cos ( ωt )

 y total ( 0, t ) = 0 = 2A sen ( k ⋅ 0 ) cos ( ωt )  sen ( k ⋅ 0 ) = 0 nπ 1  λ=n λ L=  y total ( L, t ) = 0 = 2A sen ( kL ) cos ( ωt )   2π 2   ⇒ kL = nπ ( n = 0,1,2,...) ⇒  sen ( kL ) = 0  λ = 2L  n

Esto nos indica que las longitudes de onda posibles para una longitud de cuerda L dada 2L estará determinada por λ = para n=1,2,3,.... También, la longitud de la cuerda L debe ser un n múltiplo de la mitad de la longitud de onda L = n 12 λ . Por tanto, la restricción de que los extremos de la cuerda estén fijos, automáticamente limita las longitudes de ondas de las ondas estacionarias que pueden existir sobre esta cuerda a los valores dados por λ=

2L n

 λ1 = 2L ; 

λ2 = L ;

λ3 =

2  L ; ... 3 

fcuerda =

c n⋅c n = = 2L 2L λ

T µ

Para n=1 se obtiene la frecuencia fundamental o primer armónico f1=c/(2L). El segundo armónico es el modo de oscilación con n=2, y así sucesivamente. Las posibles frecuencias de oscilación, llamados armónicos, son todos múltiplos de la frecuencia fundamental. El sistema es resonante a estas frecuencias. Si la cuerda vibra a otras frecuencias de las frecuencias resonantes no es posible una onda estacionaria y las oscilaciones de la cuerda no son importantes. Si la cuerda se está moviendo a una frecuencia no resonante no será posible transferir energía eficazmente a la cuerda desde el agente oscilante externo. Durante algunos intervalos de tiempo, el agente externo, como un vibrador mecánico, hará trabajo sobre la cuerda; durante otros intervalos de tiempo, la cuerda trabajará sobre el vibrador. Sin embargo, en resonancia, es decir, en todas las frecuencias resonantes, el flujo de energía enteramente va del vibrador a la cuerda. De este importante resultado se deduce: x

Que las frecuencias y las longitudes de onda están cuantizadas, es decir, son múltiplos de una frecuencia fundamental.

x

La cuantización es el resultado de las condiciones límites impuestos en los extremos de la cuerda.

El fenómeno de la resonancia es común a todos los sistemas oscilantes. En física cuántica los estados en los que los átomos pueden existir se interpretan como modos de oscilación de las ondas de materia que representan los electrones atómicos. Ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético.-

Las ondas electromagnéticas fueron predichas por J.C. Maxwell en 1873 como resultado del análisis realizado con lo que se conoce con el nombre de las ecuaciones de Maxwell o ecuaciones del campo electromagnético. La interacción electromagnética entre las partículas que componen la materia está asociada con una propiedad llamada carga eléctrica. La interacción electromagnética se describe por el campo electromagnético, caracterizado por dos vectores, el campo eléctrico y el campo magnético o de inducción magnética.

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Ecuaciones de Maxwell:

1ª: Ley de Gauss para el campo eléctrico

2ª: Ley de Gauss para el campo magnético 3ª: Ley de Lenz-Faraday:

v∫

4ª: Ley de Ampère-Maxwell:

G G d E '⋅ dl = − dt

v∫

G

G

Q

v∫ E ⋅ dS = ε

∫∫

v∫

D

G G B ⋅ dS = 0

G G B ⋅ dS

⇒

G G d B ⋅ dl = µDI + µD εD dt

∫∫

Ε=−

dΦ m dt

G G E ⋅ dS

La separación del campo electromagnético en su componente eléctrico y magnético depende del movimiento relativo del observador y de las cargas que producen el campo. Por otra parte, los campos E y B están directamente relacionados por las leyes de Lenz-Faraday y la ley de Ampére-Maxwell. La ley de Lenz-Faraday es la que nos expone que la circulación de un campo eléctrico a lo largo de una trayectoria cerrada (fem) es igual a menos la rapidez de cambio del flujo magnético a través de una superficie definida. La ley de Ampère, fue ampliada por Maxwell, considerando que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético. En la cuarta, un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar, tal que la circulación del campo magnético a lo largo de un camino o trayectoria cerrada arbitraria es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético a través de una superficie encerrada por el camino o trayectoria. Haciendo unos desarrollos matemáticos con las cuatro ecuaciones, Maxwell obtuvo las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, donde se obtenía que la velocidad de dichas ondas era 1 igual a cD = µD εD Casi al final del siglo XIX, Hertz demostró experimentalmente, que el campo electromagnético se propaga en el vacío a la velocidad de la luz. Tal como suponía Maxwell, Hertz originó las ondas electromagnéticas con campos eléctricos variables periódicamente, esto es, conectando dos varillas metálicas a los terminales de un generador de corriente alterna y, que van a servir de antena Antena

emisora

T

1/2·T

-

+

Antena

E

L

c.a.

+ t:

-

0 1/4·T 3/4·T

C

Antena B L

B C

Análisis: x

El campo eléctrico E se crea por las cargas sobre las varillas de la antena emisora, y el flujo de las cargas constituye una corriente eléctrica que crea un campo magnético B (E = c·B).

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x

La frecuencia de la onda electromagnética se determina por la frecuencia de la vibración de las cargas eléctricas en la fuente de la onda (el generador).

x

El campo eléctrico E que llega a la antena receptora fuerza a los electrones a oscilar y se crea una corriente alterna que por ajuste del condensador se determina la frecuencia.

x

El campo B de la onda se determina por la otra antena, que tiene forma de lazo para que el flujo magnético variable induzca una corriente eléctrica en el lazo.

Ecuaciones de las ondas: E ( y, t ) = Em sen k ( x − ct )    B ( z, t ) = Bm sen k ( x − ct ) 

Em = cBm    E = cB 

Espectro electromagnético:

Las ondas electromagnéticas cubren un rango muy amplio de frecuencias y longitudes de onda por lo que se clasifican de acuerdo a sus principales fuentes y efectos cuando actúan sobre la materia. x

Radiofrecuencias: las longitudes de onda varían desde unos pocos km hasta 0,3 m y las frecuencias desde unos pocos Hz hasta 1 GHz. Estas ondas son usadas en TV y radio y son generadas por dispositivos electrónicos que son circuitos oscilantes.

x

Microondas: las longitudes de onda varían desde 0,3 m hasta 1 mm y las frecuencias desde 1 GHz hasta 30 THz (30 Terahercios). Estas ondas son usadas en radar y otras comunicaciones.

x

Infrarrojos: las longitudes de onda desde 1 mm hasta 780 nm y las frecuencias desde 30 THz hasta 0,4 PHz (Pentahercios). Son producidas por las moléculas a alta temperatura.

x

Luz visible: las longitudes de onda desde 780 nm hasta 380 nm. Es producida por átomos y moléculas como resultado de su ajuste interno, principalmente de los electrones.

x

Ultravioleta: las longitudes de onda desde 380 nm hasta 0,6 nm. Son producidas por átomos excitados y moléculas en descargas eléctricas. La energía asociada es del orden de la ionización atómica y la disociación molecular.

x

Rayos X: las longitudes de onda desde 0,6 nm hasta 6 pm.

x

Rayos gamma: de origen nuclear.

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Problemas de VIBRACIONES Y ONDAS

1) Un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje OX tiene de período de 3 ms y la distancia entre los dos puntos más próximos, cuya diferencia de fase es de 12 π rad, es de 30 cm. Calcular: a) longitud de onda; b) velocidad de propagación. [ 1,2 m; 400 m/s] 2) Escribe la expresión de una onda sinusoidal que se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje OX. La amplitud es de 2 cm, la frecuencia de 60 Hz y la velocidad de propagación de 10 m/s. [ y = 0,02 cos 2π ( 6x − 10t ) ] 3) La ecuación de una onda transversal es y = 10 sen ( 2πt − 10πz ) en el S.I. de unidades. Calcular: a) velocidad de propagación; b) velocidad y aceleración máxima de las partículas de la cuerda; c) frecuencia, período, pulsación, vector de onda y longitud de onda. [a) 0,2 m/s; b) 20π m/s y 40π2 m/s2 ; c) 1 Hz; 1 s; 2π rad/s ; 10π m-1; 0,20 m] 4) Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda. El tiempo que transcurre entre el instante de elongación máxima y el de elongación nula en un punto de la cuerda es de 0,17 s. Calcular: a) período y frecuencia de la onda; b) velocidad de propagación de la onda si su longitud de onda es de 1,4 m. [a) 0,68 s; 1/0,68 Hz; b) 1,4/0,68 m/s] 5) Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte en el sentido negativo del eje OX y la distancia entre los dos puntos más próximos en fase es de 20 cm. El foco emisor, fijo a un extremo del resorte vibra con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de 25 Hz. Determinar: a) la velocidad de propagación de la onda; b) la expresión de la onda sabiendo que la perturbación en el instante inicial en x=0 es nula; c) velocidad y aceleración máximas de un punto del resorte. [a) 5 m/s; b) y = 0,03 sen 2π

(

x 0,2

)

+ 25t ; c) 1,5π m/s y 75π2 m/s2]

6) Calcular la perturbación resultante en el punto x=0,4 m al superponerse las ondas: π y1 = 0,04 sen ( 2πt − 0,5πx ) ; y 2 = 0,04 sen 2πt − 0,5πx + 6π  y = 0,08 cos 12 sen ( 2πt − 0,12π )  .  

(

)

( )

7) Escribe la expresión de la onda resultante si en un medio interfieren las dos ondas (y1; y2). Posteriormente determina sus características. y1 = 0,04sen π ( 2t − 0,1x ) ; y 2 = 0,04sen π ( 2t + 0,1x ) .  y r = 0,08 cos ( 0,1πx ) sen ( 2πt ) 

8) La vibración de una cuerda viene descrita por la expresión: y = 0,5sen ( 13 πx ) cos ( 40πt ) siendo x,y en cm y t en segundos. Calcular: a) la distancia entre los nodos; b) la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x=1,5 cm en el instante t=9/8 s: c) la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición podría generar la vibración. [a) 3 cm; b) v = −20π sen

( 12 π ) sen π ; c) 0,25 cm y 120 cm/s]

9) La ecuación de una onda transversal en una cuerda es: y = 10 cos π ( 2x − 10t ) siendo x,y en cm y t en segundos. a) Escribe la expresión de la onda que, al interferir con ella, produciría una onda estacionaria; b) indica la distancia entre nodos de dicha onda y la amplitud en un antinodo. [a) igual con signo +; b) 0,5 cm; 20 cm] 10) Una onda transversal se propaga por una cuerda: y = 0, 4 cos (100t − 0,5πx ) en el S.I. Calcula: a) la longitud de onda y la velocidad de la onda; b) el estado de perturbación de la partícula a 20 cm en el tiempo 0,5 s después de empezar la vibración. [a) 4π m; 200 m/s; b) 0,37 m] 11) La ecuación de una onda viene dada en el S.I. por: y = 0,5 cos 4π (10t − x ) . Calcula la diferencia de fase que existirá entre dos puntos del medio de propagación separados por la distancia de 0,5 m y por la distancia de 0,25 m. [En fase 2π rad; en oposición de fase π rad] 12) Sean las ondas y1 = 0,3 cos ( 200t − 0,05x1 ) ; y 2 = 0,3 cos ( 200t − 0,05x 2 ) . Halla la onda resultante de la interferencia de las dos ondas. Posteriormente, determina la amplitud resultante en un punto a 10 m (x1) y a 12,5 m (x2) de los centros emisores.  y r = 0,6cos 0,025 ( x 2 − x1 ) cos ( 200t − 0,025 ( x 2 + x1 ) ) ;0,598 m  

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13) Sean las ondas y1 = 0,04sen ( 50t − 0,5x ) ; y 2 = 0,04sen ( 50t + 0,05x ) en unidades del SI. Halla la onda resultante de la interferencia de las ondas siguientes. Posteriormente determina la velocidad de propagación de cada onda y la distancia de separación entre los nodos 2º y 5º. 0,08 cos ( 0,5x ) sen ( 50t ) ;100 m;6π m  14) La ecuación y = 2sen 2π (10t − 0,1x ) en unidades del SI es la de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa. Determina: a) período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda; b) velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda. [a) 0,1 s; 10 m; 100 m/s; b) (40·3,1416) m/s ; 800·9,87 m/s2 ] 15) Una cuerda tensa de 0,50 m de longitud, con sus extremos fijos, vibra con una frecuencia de 30 Hz en su modo fundamental. La amplitud del antinodo es de 0,05 m. a) Escribe la ecuación de la onda estacionaria. b) Calcula la velocidad máxima del punto medio de la cuerda y la velocidad de propagación de una onda viajera transversal que se propaga en dicha cuerda. a) y = 0,05 sen ( 2πx ) cos ( 60πt ) ; b)v m = 0,05 ⋅ 2π ⋅ 30 sen ( 0,5π ) ;30 m  s 

16) Una onda transversal de 0,05 m de amplitud y 600 Hz se propaga en el sentido negativo del eje OX con una velocidad de 300 m/s. a) Escribe la ecuación de la onda si en t=0 la elongación en el punto x=0 es máxima. b) Calcula el cambio de fase, en una misma posición, al cabo de dos segundos y el desfase entre las elongaciones, en un mismo instante, en dos posiciones distantes  100 m. a) y = 0,05 cos 2π ( 2x + 600t ) ; b)2400π rad ; 400π rad s s  17) La ecuación y = 0, 4 sen π (100t − 4x ) SI corresponde a una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda. Determine: a) la velocidad de propagación de la onda, la longitud de onda y el sentido de propagación; b) la velocidad máxima de una partícula de la cuerda y los instantes en que el punto que está a 5 cm del origen alcanza dicha velocidad máxima. [a) 25 m/s; ½ m; +OX; b) 40π m/s; 0,002+n·0,01 s (n=0,1,2,)] 18) La ecuación de una onda es y = 3 cos π ( 6t + 6x ) SI. Determine la característica de esta onda. Calcule la elongación y la velocidad de un punto situado a 1 m del foco 1s después de iniciarse el movimiento ondulatorio. 19) Una onda electromagnética cuya frecuencia es de 1014 Hz y cuyo campo eléctrico de 2 V/m de amplitud, está polarizado en la dirección del eje OY, se propaga en el vacío, en el sentido negativo del eje OX. a) Escribe la expresión del campo eléctrico de la onda electromagnética; b) calcula la longitud de onda e indica la dirección del campo magnético de la onda. a) E = 2sen 2π 1014 t − 1 106 x V ; b) 3 µm en OZ  3 m  

(

)

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“LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS” Introducción histórica de la Naturaleza de la luz. Teoría corpuscular de Newton. Teoría ondulatoria de la luz La Teoría electromagnética de Maxwell Dificultades de la teoría clásica: radiación térmica y efecto fotoeléctrico Efecto fotoeléctrico. Análisis de los resultados del efecto fotoeléctrico Cuantización de la energía. Fotones Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie Teoría de la Relatividad Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos Ondas de materia: verificación experimental El experimento de Davisson-Germer El experimento de G.P. Thomson Aplicaciones de las ondas de materia La función de onda Ondas de luz y fotones Ondas de materia y electrones El átomo de hidrógeno Efecto túnel Principio de incertidumbre de Heisenberg Problemas de LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Introducción histórica de la Naturaleza de la luz: La naturaleza de la luz fue especulada desde la antigüedad por los filósofos, cuando era conocida la propagación rectilínea, la refracción y la reflexión. Los primeros escritos sobre óptica se deben a los filósofos y matemáticos griegos [Empedocles (490-430 a.C.) y al matemático Euclides (300 a.C.). Descartes (1596-1650) consideró, por sus ideas metafísicas, que la luz era esencialmente una presión transmitida a través de un medio perfectamente elástico (el éter), el cual llena todo el espacio, y atribuyó la diversidad de los colores a movimientos rotatorios con diferentes velocidades de las partículas en este medio. Hasta después de Galileo (1564-1642), quien demostró, por su desarrollo de la mecánica, el poder del método experimental que la óptica aplicó sobre unos fundamentos firmes. La ley de la reflexión era conocida desde los griegos, la ley de la refracción fue descubierta experimentalmente en 1621 por Snell. En 1657 Fermat enunció el principio de tiempo mínimo que considera que la luz sigue siempre el camino que condice a su destino en el tiempo más corto, y de esta consideración distintos medios tendrán distinta “resistencia” y se deduce la ley de la refracción. El primer fenómeno de interferencia, conocido como “anillos de Newton”, fue descubierto independientemente por Boyle (1627-1691) y Hooke (1635-1703). Hooke también observó la presencia de luz en la sombra geométrica, la difracción de la luz, aunque este fenómeno fue observado por Grimaldi (1618-1663). Hooke fue el primero en considerar que la luz consiste en rápidas vibraciones que se propagan instantáneamente, o a una velocidad muy alta, sobre cualquier distancia y considerando que en un medio homogéneo cada vibración generará una esfera que se extenderá uniformemente1. Por medio de estas ideas Hooke intentó dar una explicación del fenómeno de la refracción y una interpretación de los colores. La cualidad básica del color fue revelada sólo cuando Newton (1642-1727) descubrió en 1666 que la luz blanca puede descomponerse en sus colores componentes por medio de un prisma, y encontró que cada color puro se caracteriza por un índice de refracción. Teoría corpuscular de Newton: Las dificultades que la teoría ondulatoria encontró para explicar la propagación rectilínea de la luz y el fenómeno dela polarización2 llevaron a Newton a considerar una teoría de la emisión (o corpuscular) en la que se consideraba que la luz se propaga desde un cuerpo luminoso en forma de partículas diminutas.

1

Hay que especificar que las primeras teorías ondulatorias de Hooke y Huygens opera con simples “pulsos” en lugar de con trenes de ondas de longitudes de onda determinadas. 2El fenómeno de la polarización fue descubierto por Huygens 1678.

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En el tiempo de la publicación de la teoría del color de Newton no era conocido si la luz se propaga o no instantáneamente. El descubrimiento de la velocidad finita de la luz fue realizado en 1675 por Römer desde las observaciones de los eclipses de los satélites de Júpiter. Teoría ondulatoria de la luz: Entre sus primeros iniciadores se encontraba Hooke, y fue mejorada y extendida por Huygens (1629-1695) en su libro “Tratado de la luz” completado en 1678 y publicado en 1690. Enunció el principio conocido por su nombre que nos dice que “cada punto del éter sobre el que llega la perturbación luminosa puede convertirse en un centro de nuevas perturbaciones que se propagan en forma de ondas esféricas; estas ondas secundarias se combinan de tal forma que sus envolventes determinan el frente de onda en un tiempo posterior”. Con ayuda de este principio Huygens explicó las leyes de la reflexión y de la refracción. También pudo explicar la doble refracción del espato de Islandia (descubierto en 1669 por Bartholinus) considerando que en el cristal hay, además de la onda esférica primaria, una onda elipsoidal secundaria. Fue en el transcurso de esta investigación cuando Huygens hizo el descubrimiento de la polarización: “cada uno de los dos rayos que salen de la refracción del espato de Islandia pueden anularse pasando a través de un segundo cristal del mismo material si el segundo cristal está girado alrededor de la dirección del rayo”. Este fenómeno de la polarización no lo pudo interpretar Newton ya que la interpretación era contraria a la teoría corpuscular de Newton. Según el propio Newton para interpretar estos fenómenos asume que los rayos tienen “lados”, y de hecho esta “transversalidad” le lleva a él a una objeción insuperable para aceptar la teoría ondulatoria, ya que en aquel tiempo los científicos estaban familiarizados sólo con ondas longitudinales (la propagación del sonido). El rechazo de la teoría ondulatoria por Newton, que poseía una gran autoridad en el mundo científico, la lleva al olvido durante cien años. Aceptación de la teoría ondulatoria: A principios del siglo XIX se realizó un descubrimiento decisivo que llevó a aceptar la teoría ondulatoria. La primera etapa fue el enunciado en 1801 por Young (1773-1829) del principio de interferencia y la explicación de los colores de pequeñas películas. En esta misma época, en 1808, fue descubierta la polarización de la luz por reflexión por Malus (1775-1812). Una tarde, desde una ventana acristalada, observó la reflexión del sol a través de un cristal de espato de Islandia, y encontró que las dos imágenes obtenidas por doble refracción varían en intensidad relativa cuando el cristal va rotando alrededor de la línea de visión. Malus no encontró explicación de este fenómeno, siendo de la opinión de que las teorías conocidas eran incapaces de dar una explicación. Mientras tanto, la teoría de la emisión o corpuscular de Newton había sido desarrollada por Laplace (1749-1827) y Biot (1774-1862). Sus defensores propusieron un galardón en 1818 dado por la Academia de París sobre el tema de la difracción, esperando que un tratamiento de este tema llevaría al triunfo de la teoría de la emisión. Pero sus esperanzas se vieron truncadas, a pesar de una fuerte oposición, el premio fue concedido a Augustin J. Fresnel (1788-1827) cuyo tratamiento se basó en la teoría ondulatoria, y fue el primero en realizar una serie de investigaciones que le llevaron, en el curso de unos años, al descrédito completo de la teoría corpuscular. La esencia de las memorias de Fresnel consiste en una síntesis del principio de construcción de Huygens con el principio de interferencia de Young. Fresnel demostró la propagación rectilínea de la luz y las pequeñas desviaciones de ésta en el fenómeno de difracción. Fresnel calculó la difracción causada por pequeños objetos, aberturas y pantallas; fue particularmente impresionante la confirmación experimental por Arago de una predicción, deducida por Poisson desde la teoría de Fresnel, por la que en el centro de la sombra de un disco pequeño circular aparecerá una mancha brillante. En el mismo año de 1818 Fresnel investigó el problema tan importante de la influencia del movimiento de la Tierra en la propagación de la luz. L cuestión era si existía diferencia entre la luz de las estrellas y la de las fuentes terrestres. Arago (1786-1853) encontró desde experimentos que no hay diferencia entre la luz que viene de las estrellas y la de fuentes terrestres. Junto con Arago, Fresnel investigó la interferencia de rayos polarizados de luz y encontró en 1816 que dos rayos polarizados hacia la derecha uno del otro nunca interfieren. Este hecho no se podía explicar suponiendo que las ondas son longitudinales. Young, que tuvo conocimiento del descubrimiento de Arago, encontró la clave a la solución en 1817 asumiendo que las vibraciones eran transversales.

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En 1850 se realizó un experimento crucial que confirmó la teoría ondulatoria. El experimento sugerido por Arago fue realizado por Foucault, Fizeau y Breguet. La teoría corpuscular explica la refracción en términos de atracción de los corpúsculos-luz en el límite hacia el medio ópticamente más denso, lo que implica una velocidad mayor en el medio más denso. Sin embargo, en la teoría ondulatoria, aplicando la construcción de Huygens, se obtiene una velocidad menor en un medio más denso ópticamente. La medida directa de la velocidad de la luz en aire y agua se decide sin ambigüedad a favor de la teoría ondulatoria. Las décadas siguientes llevaron al desarrollo de la teoría del éter elástico. Navier desarrolló la teoría considerando que la materia está constituida de partículas muy pequeñas (masa puntuales, átomos) que se ejercen fuerzas a lo largo de las líneas que las unen. Una objeción al éter es explicar cómo se mueven los planetas a velocidades altas por el éter sin que ofrezca resistencia. La explicación de Stokes es que la velocidad de los planetas era muy pequeña comparada con las velocidades de las partículas etéreas en las vibraciones de la luz. En una primera etapa, se consideró la existencia de un éter elástico (MacCullagh en 1880). A pesar de las dificultades la teoría del éter elástico persitió durante bastantes años y un gran número de físicos del siglo XIX contribuyeron a ella, entre ellos W. Thomson, Neumann y Kirchhoff. La Teoría electromagnética de Maxwell: Mientras tanto, las investigaciones en electricidad y magnetismo se desarrollaban independientemente de la óptica, culminando en el descubrimiento de la inducción electromagnética de Faraday (1791-1867). El fenómeno de la inducción electromagnética indica la posibilidad de transmitir una señal desde un lugar a otro usando un campo electromagnético dependiente del tiempo. James Clerk Maxwell (1831-1879) predijo la existencia de las ondas electromagnéticas como resultado de las ecuaciones del campo electromagnético demostrando que los campos eléctrico y magnético satisfacen una ecuación de ondas. Ecuaciones de Maxwell: 1ª: Ley de Gauss para el campo eléctrico

2ª: Ley de Gauss para el campo magnético 3ª: Ley de Lenz-Faraday:

v∫

4ª: Ley de Ampère-Maxwell:

G G d E '⋅ dl = − dt G

G

G

Q

v∫ E ⋅ dS = ε

∫∫

v∫

D

G G B ⋅ dS = 0

G G B ⋅ dS

G

d

⇒

Ε=− G

dΦ m dt

G

v∫ B ⋅ dl = µ I + µ ε dt ∫∫ E ⋅ dS D

D D

La separación del campo electromagnético en sus componentes eléctrico y magnético depende del movimiento relativo del observador y de las cargas que producen el campo. Por otra parte, los campos E y B están directamente relacionados por las leyes de Lenz-Faraday y la ley de Ampére-Maxwell. La ley de Lenz-Faraday es la que nos expone que la circulación de un campo eléctrico a lo largo de una trayectoria cerrada (fem) es igual a menos la rapidez de cambio del flujo magnético a través de una superficie definida. La ley de Ampère, fue ampliada por Maxwell, considerando que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético. En la cuarta, un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar, tal que la circulación del campo magnético a lo largo de un camino o trayectoria cerrada arbitraria es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético a través de una superficie encerrada por el camino o trayectoria. Haciendo unos desarrollos matemáticos con las cuatro ecuaciones, Maxwell obtuvo las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, donde se obtenía que la velocidad de dichas ondas era igual a cD = ( µD εD )

− 12

. Resumió todas las experiencias previas en este campo en un sistema de

ecuaciones, y la consecuencia más importante de ellas fue establecer la posibilidad de ondas electromagnéticas, propagadas con una velocidad que se puede calcular con medidas puramente eléctricas.

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Cuando Kohlrausch (1809-1858) y Weber (1804-1891) realizaron en 1856 estas medidas la velocidad coincidía con la de la luz. Esto llevó a Maxwell a considerar que las ondas de luz son ondas electromagnéticas; esta consideración fue verificada por experimentación en 1888 por Hertz (1857-1894). A pesar de esto, la teoría electromagnética de Maxwell tuvo que realizar una gran lucha para su aceptación general. La teoría electromagnética de la luz es capaz de explicar, en sus principales características, todos los fenómenos relacionados con la propagación de la luz. Sin embargo, falla al explicar los procesos de emisión y absorción, en la cual las características de la interacción entre materia y campo óptico se ponen de manifiesto.

Las leyes que gobiernan estos procesos son el objeto de la óptica moderna y por tanto de la física moderna. Su historia comienza con el descubrimiento de ciertas regularidades en espectros. La primera etapa se debe a Fraunhofer, que descubrió en 1815 las líneas oscuras del espectro solar, y su interpretación como líneas de absorción, dada en 1861 por Bunsen y Kirchhoff, sobre la base de experimentos. La luz del espectro continuo del conjunto del sol, pasando los gases enfriados de la atmósfera solar, pierde por absorción justo aquellas longitudes de onda que son emitidas por los gases. Este descubrimiento fue el comienzo del análisis espectral que se basa en el reconocimiento que cada elemento químico gaseoso posee un espectro de líneas característico. El problema de como la luz se produce y se destruye en los átomos no es exclusivo de una naturaleza óptica sino que implica también la mecánica del propio átomo; y las leyes de las líneas espectrales no revelan mucho la naturaleza de la luz y sí de la estructura de las partículas emisoras. Así, la espectroscopia proporciona los cimientos empíricos para la física de átomos y moléculas. Los métodos de la mecánica clásica son inadecuados para la descripción de los fenómenos que ocurren dentro de los átomos y se sustituyen por la mecánica cuántica, que se originó en 1900 por Max Planck. Sus aplicaciones a la estructura atómica, llevaron en 1913, a la explicación por Bohr de la sencilla ley de las líneas espectrales de los gases. El concepto de “Naturaleza de la Luz” ha sido muy influenciado por la teoría cuántica. En una primera forma debido a Planck aparece una proposición que es contraria a las ideas clásicas, a saber un sistema eléctrico oscilando no da su energía al campo electromagnético de una manera continua sino en cantidades finitas o “cuantos”, que son proporcionales a la frecuencia de la luz, siendo la constante de proporcionalidad la constante de Planck. Sobre la base de la teoría de Planck, Einstein (1879-1955) en 1905 hizo revivir la teoría corpuscular de la luz de una nueva forma, considerando que la energía de los cuantos de Planck existen como partículas-luz reales, llamados “cuantos de luz” o fotones. Con esta teoría se explican los fundamentos de los fenómenos fotoeléctrico y fotoquímico, que son inexplicables con la teoría ondulatoria. En fenómenos de este tipo la luz no comunica a una partícula una energía proporcional a su intensidad, como expresa la teoría ondulatoria. La energía comunicada a otras partículas es independiente de la intensidad y depende sólo de la frecuencia de la luz. Ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético.-

Las ondas electromagnéticas fueron predichas por J.C. Maxwell en 1873 como resultado del análisis realizado con lo que se conoce con el nombre de las ecuaciones de Maxwell o ecuaciones del campo electromagnético. La interacción electromagnética entre las partículas que componen la materia está asociada con una propiedad llamada carga eléctrica. La interacción electromagnética se describe por el campo electromagnético, caracterizado por dos vectores, el campo eléctrico y el campo magnético o de inducción magnética. Ecuaciones de Maxwell:

1ª: Ley de Gauss para el campo eléctrico

v∫

2ª: Ley de Gauss para el campo magnético 3ª: Ley de Lenz-Faraday:

G

G

d

G

G Q G E ⋅ dS = εD

v∫

G G B ⋅ dS = 0 G

v∫ E '⋅ dl = − dt ∫∫ B ⋅ dS

⇒

Ε=−

dΦ m dt

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4ª: Ley de Ampère-Maxwell:

v∫

G G d B ⋅ dl = µDI + µD εD dt

∫∫

G G E ⋅ dS

La separación del campo electromagnético en su componente eléctrico y magnético depende del movimiento relativo del observador y de las cargas que producen el campo. Por otra parte, los campos E y B están directamente relacionados por las leyes de Lenz-Faraday y la ley de AmpéreMaxwell. La ley de Lenz-Faraday es la que nos expone que la circulación de un campo eléctrico a lo largo de una trayectoria cerrada (fem) es igual a menos la rapidez de cambio del flujo magnético a través de una superficie definida. La ley de Ampère, fue ampliada por Maxwell, considerando que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético. En la cuarta, un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar, tal que la circulación del campo magnético a lo largo de un camino o trayectoria cerrada arbitraria es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético a través de una superficie encerrada por el camino o trayectoria. Haciendo unos desarrollos matemáticos con las cuatro ecuaciones, Maxwell obtuvo las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, donde se obtenía que la velocidad de dichas ondas era 1 igual a cD = µD εD Casi al final del siglo XIX, Hertz demostró experimentalmente, que el campo electromagnético se propaga en el vacío a la velocidad de la luz. Tal como suponía Maxwell, Hertz originó las ondas electromagnéticas con campos eléctricos variables periódicamente, esto es, conectando dos varillas metálicas a los terminales de un generador de corriente alterna y, que van a servir de antena Antena

emisora

T

1/2·T

-

+

Antena

E

L

c.a.

+ t:

-

0 1/4·T 3/4·T

C

Antena B L

B C

Análisis: x

El campo eléctrico E se crea por las cargas sobre las varillas de la antena emisora, y el flujo de las cargas constituye una corriente eléctrica que crea un campo magnético B (E = c·B).

x

La frecuencia de la onda electromagnética se determina por la frecuencia de la vibración de las cargas eléctricas en la fuente de la onda (el generador).

x

El campo eléctrico E que llega a la antena receptora fuerza a los electrones a oscilar y se crea una corriente alterna que por ajuste del condensador se determina la frecuencia.

x

El campo B de la onda se determina por la otra antena, que tiene forma de lazo para que el flujo magnético variable induzca una corriente eléctrica en el lazo.

Ecuaciones de las ondas:

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E ( y, t ) = Em sen k ( x − ct )    B ( z, t ) = Bm sen k ( x − ct ) 

Em = cBm    E = cB 

Espectro electromagnético:

Las ondas electromagnéticas cubren un rango muy amplio de frecuencias y longitudes de onda por lo que se clasifican de acuerdo a sus principales fuentes y efectos cuando actúan sobre la materia. x

Radiofrecuencias: las longitudes de onda varían desde unos pocos km hasta 0,3 m y las frecuencias desde unos pocos Hz hasta 1 GHz. Estas ondas son usadas en TV y radio y son generadas por dispositivos electrónicos que son circuitos oscilantes.

x

Microondas: las longitudes de onda varían desde 0,3 m hasta 1 mm y las frecuencias desde 1 GHz hasta 30 THz (30 Terahercios). Estas ondas son usadas en radar y otras comunicaciones.

x

Infrarrojos: las longitudes de onda desde 1 mm hasta 780 nm y las frecuencias desde 30 THz hasta 0,4 PHz (Pentahercios). Son producidas por las moléculas a alta temperatura.

x

Luz visible: las longitudes de onda desde 780 nm hasta 380 nm. Es producida por átomos y moléculas como resultado de su ajuste interno, principalmente de los electrones.

x

Ultravioleta: las longitudes de onda desde 380 nm hasta 0,6 nm. Son producidas por átomos excitados y moléculas en descargas eléctricas. La energía asociada es del orden de la ionización atómica y la disociación molecular.

x

Rayos X: las longitudes de onda desde 0,6 nm hasta 6 pm.

x

Rayos gamma: de origen nuclear.

Propagación de ondas: reflexión y refracción.-

La velocidad de propagación de las ondas depende de algunas propiedades físicas del medio a través del que se propagan las ondas. Por ejemplo, la velocidad de las ondas elásticas depende de un módulo de elasticidad y de la densidad del medio. La velocidad de las ondas electromagnéticas depende de la permitividad y de la permeabilidad de la sustancia a través de la que se propaga. La dependencia de la velocidad de propagación de una onda de las propiedades del medio da lugar a los fenómenos de reflexión y refracción, que tienen lugar cuando una onda cruza una superficie separando dos medios donde la onda se propaga con distintas velocidades. La onda reflejada es una onda nueva que se propaga volviendo hacia el mismo medio a través del cual la onda inicial se estaba propagando. La onda refractada es la onda transmitida hacia el segundo medio. La energía de la onda incidente se divide entre la onda reflejada y la onda refractada. En muchos casos la onda reflejada es la que recibe más energía, como ocurre en la reflexión por espejos. Los rayos corresponden a las líneas de propagación de la energía y momento lineal de la onda. Las superficies de onda que son perpendiculares a los rayos, se definen como la superficie cuyos puntos tienen alguna propiedad común, que equidistan del foco y se encuentran en el mismo estado de perturbación. La relación geométrica entre rayos y superficies de onda es similar a la relación entre líneas de fuerza y superficies equipotenciales. Los puntos, sobre distintas superficies de onda, que están unidos por un rayo determinado se llaman puntos correspondientes. El tiempo requerido para que una onda vaya desde una superficie de onda a otra es el mismo que el medido a lo largo de un rayo. En un medio isótropo, en el que la velocidad es la misma en todos los puntos y en todas direcciones, la separación entre dos superficies de onda debe ser la misma para todos los puntos correspondientes. En un medio isótropo homogéneo los rayos deben ser líneas rectas. Leyes de la reflexión y de la refracción:

Considera una onda plana propagándose en un medio 1. La experiencia nos dice que cuando la onda alcanza la superficie de separación de los dos medios, una onda es transmitida o refractada hacia el segundo medio y otra onda plana es reflejada y retrocede al mismo medio. Los ángulos θi , θr , θt que los rayos –incidente, reflejado y refractado o transmitido- tienen con la normal a la superficie de separación están relacionados por las siguientes leyes verificadas experimentalmente:

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1)

Las direcciones de los rayos incidentes, reflejados y refractados están todos en un plano, que es normal a la superficie de separación y, por tanto, contiene la normal a la superficie.

2)

El ángulo del rayo incidente es igual al ángulo del rayo reflejado θi = θr

3)

La relación entre el seno del ángulo del rayo incidente y el seno del ángulo del rayo refractasen θi do es constante; = n21 siendo n21 el índice de refracción del medio 2 relativo al medio sen θt 1. Conocida como ley de Snell. Eje Z (plano normal) medio 1

ángulo incidente ángulo reflejado

Eje X (Plano de separación de los dos medios) medio 2 ángulo refractado o transmitido

Explicación teórica de las leyes: Cuando una onda llega a la superficie que separa dos medios homogéneos, se divide en dos ondas, una reflejada que retrocede al primer medio y una transmitida o refractada que se dirige al segundo medio.

En los procesos de reflexión y refracción se cumple: 1)

El principio de conservación de la energía, la energía de la onda incidente es igual a la suma de la energía de la onda reflejada y de la energía de la onda transmitida.

2)

La frecuencia de la onda original permanece constante y la velocidad de la onda refractada o transmitida cambia.

3)

La fase de la onda incidente se altera. GG GG G ψ(r, t) = ψ m cos kr − ωt = ψ m cos ωt − kr

(

)

GG En z = 0 kr = cte.

(

)

c1 = λ1f  c 2 = λ 2f

G G G G G G k i r = k r r = k t r   2π G G 2π G G 2π G G  λ ui r = λ ur r = λ ut r 1 2  1

2πf G G 2πf G G 2πf G G ui r = ur r = ut r c1 c1 c2 G G G ui ur ut = = c1 c1 c2 sen θi sen θr sen θt = = c1 c1 c2

A partir de estas ecuaciones se demuestran las leyes experimentales de la reflexión y refracción de las ondas: sen θi sen θr sen θt = = c1 c1 c2 n21

n = 2 = n1

cD c2 cD c1

=

c1 = c2

 θ i = θr  n2  sen θi c1  sen θ = c = n21 = n t 2 1 

ε 2µ 2 ε1µ1

El índice de refracción del segundo medio relativo del primero. →

Si n21>1, n2>n1, el ángulo del rayo incidente es siempre mayor que el ángulo del refractado o transmitido.

→

Si n21<1, n2
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Para éste último caso, en el que el índice de refracción relativo de un medio respecto del otro, es menor que uno, para el ángulo crítico la onda refractada emerge tangente a la superficie y no pasa al segundo medio. Las fibras ópticas se construyen para aprovechar esta ley. Estas fibras, ha de tener un diámetro muy pequeño, de varios micrómetros, están construidas de fibra de vidrio de cuarzo o también de nylon, que es un material de menor índice de refracción. De tal forma que al entrar un rayo de luz, este viaja por el interior sin poder salir de la fibra. Superposición de ondas. Nociones sobre los fenómenos de interferencia.-

Cuando escuchamos un concierto a nuestros oídos llegan simultáneamente muchos sonidos, por lo que frecuentemente dos o más ondas pasan simultáneamente a través de la misma región. Supongamos que dos ondas viajan simultáneamente a lo largo de una misma cuerda estirada horizontalmente. Sean y1(x,t) e y2(x,t) los desplazamientos que la cuerda experimentará si cada una actúa por separado. El desplazamiento de la cuerda cuando actúan las dos ondas será la suma algebraica: y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t). Este es otro ejemplo del principio de superposición que ya hemos aplicado a los campos gravitatorio y eléctrico. Este principio nos dice que cuando algunos sucesos ocurren simultáneamente su efecto neto es la suma de los sucesos individuales. El principio de la superposición de ondas fue enunciado por Thomas Young (1773-1829) en 1802 y nos dice que: "Cuando en un punto del espacio se superponen dos o más ondas la perturbación resultante es la suma de las producidas separadamente por cada componente". Esto nos obliga a admitir que en una región del espacio en la que se propagan simultáneamente dos o más ondas, cada una lo hace con completa independencia de las otras. Supongamos que enviamos dos ondas sinusoidales, de la misma longitud de onda y amplitud, en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Si aplicamos el principio de superposición, podemos preguntarnos ¿cuál será la perturbación resultante en la cuerda?. Todo va a depender del grado en que están en fase las dos ondas. Si las dos ondas están en fase la perturbación resultante será el doble de cada una por separado. Y, si las dos ondas están en oposición de fase se cancelarán siempre y no producen perturbación. Este fenómeno de cancelación y de refuerzo de ondas le llamamos interferencia y se aplica a todos los tipos de ondas. Si dos o más ondas coinciden en el espacio y en el tiempo se produce una interferencia. La interferencia ocurre en la región donde coinciden las ondas incidente y reflejada, o cuando un movimiento ondulatorio es confinado a una región limitada del espacio. Una cuerda con sus dos extremos fijos, o un líquido en un cauce estrecho, o una onda electromagnética en una cavidad metálica. Dando lugar, estos últimos casos a ondas estacionarias. Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincronizadas:

Consideremos dos fuentes S1 y S2, que oscilan en fase con la misma frecuencia angular (omega) y amplitudes A1 y A2 distintas. Sus respectivas ondas esféricas son: r

P 1

r

2

S

S

1

2

a

ψ1 = A1 sen ( ωt − kr1 ) ψ 2 = A 2 sen ( ωt − kr2 )

Siendo r1 y r2 las distancias desde cualquier punto del medio a S1 y a S2. Hay que destacar que aunque las dos fuentes sean idénticas no producen la misma amplitud en un punto P si r1 y r2 son diferentes, ya que en las ondas esféricas la amplitud va disminuyendo de acuerdo a 1/r. Condición de fase: Supongamos que la perturbación es una propiedad escalar, tal como la alteración de la presión. Si la perturbación correspondiese a una magnitud vectorial, tal como un desplazamiento o un campo eléctrico, consideraríamos que las dos perturbaciones se producen en

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la misma dirección, por lo que la combinación de las dos ondas se puede tratar de una forma escalar. La onda resultante será: ψ r = ψ1 + ψ 2

ψ  r = A r sen ( ωt − α )  ψ1 + ψ 2 = A1 sen ( ωt − kr1 ) + A 2 sen ( ωt − kr2 )

Determinación analítica:

{ψ r = A r [sen ωt cos α − cos ωt sen α ] = sen ωt [ A r cos α ] − cos ωt [ A r sen α ]} ψ1 + ψ 2 = A1 [sen ωt cos kr1 − cos ωt sen kr1 ] + A 2 [sen ωt cos kr2 − cos ωt sen kr2 ]   ψ1 + ψ 2 = sen ωt [ A1 cos kr1 + A 2 cos kr2 ] − cos ωt [ A1 sen kr1 + A 2 sen kr2 ]   A r sen α = A1 sen kr1 + A 2 sen kr2   A r cos α = A1 cos kr1 + A 2 cos kr2

A r sen α A1 sen kr1 + A 2 sen kr2 = = tan α A r cos α A1 cos kr + A 2 cos kr2

⇒

Elevando las dos ecuaciones al cuadrado y sumándolas queda: ( A sen α )2 = ( A sen kr + A sen kr )2 1 1 2 2  r  2 2 ( A r cos α ) = ( A1 cos kr1 + A 2 cos kr2 )

⇒

A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 [cos kr1 cos kr2 + sen kr1 sen kr2 ] A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos [ kr1 − kr2 ]

La relación entre diferencia de fase, de las dos ondas, y la amplitud resultante es: δ = kr1 − kr2 =

2π ( r1 − r2 ) λ

A 2r = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos δ

Si la Amplitud es máxima se dice que la interferencia es constructiva y si la amplitud es mínima la interferencia es destructiva. Los valores de la amplitud resultante, Ar, máximo y mínimo son:

A r(máximo) = A1 + A 2

cos δ = +1   2π  ( r1 − r2 ) = n2π λ ( r1 − r2 ) = nλ

A r(mínimo) = A1 − A 2

 cos δ = −1   2π  ( r1 − r2 ) = (2n + 1) π λ λ  ( r1 − r2 ) = ( 2n + 1) 2

→

La interferencia de dos ondas será constructiva en aquellos puntos en los que se cumpla que ( r1 − r2 ) = ±λ, ± 2λ; ± 3λ; ...

→

La interferencia de dos ondas será destructiva en aquellos puntos en los que se cumpla que ( r1 − r2 ) = ±1 2λ , ± 3 2λ ; ± 5 2λ ; ...

Coherencia:

El fenómeno de la interferencia nos dice que, en cada punto del espacio, el movimiento ondulatorio resultante tiene una amplitud característica determinada por la ecuación ψ r = A r sen ( ωt − α ) Por tanto, el resultado de la interferencia obtenida no tiene la forma de un movimiento ondulatorio avanzando sino el de una situación estacionaria donde en cada punto del espacio, el movimiento oscilatorio tiene unos valores fijos de amplitud y de fase.

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La razón para este resultado es que las dos fuentes oscilan con la misma frecuencia y mantienen una diferencia de fase constante, y se dice que son coherentes. Si las fuentes son incoherentes, o si su diferencia de fase cambia con el tiempo de una forma irregular, aunque tengan la misma frecuencia, no se observan interferencias estacionarias.

Esto es lo que ocurre con fuentes de luz constituidas de un gran número de átomos del mismo tipo, los cuales emiten luz de la misma frecuencia. Aunque hay muchos átomos constituyendo cada fuente, no oscilan en fase, y no se observa el fenómeno de la interferencia. Por esta razón no se observa interferencia entre dos bombillas de luz. Para salvar esta dificultad y producir dos rayos de luz coherentes se han diseñado varias fuentes. La forma más sencilla es la utilizada por Thomas Young, quien con sus primeros experimentos demostró que la luz era un fenómeno ondulatorio, su aparato consiste en una pantalla con una fuente de luz situada detrás de ella, en la pantalla hay dos rendijas o agujeros muy próximos. Las rendijas se comportan como dos fuentes coherentes cuyas ondas interfieren sobre la otra zona de la pantalla. Las figuras de difracción se observan sobre una segunda pantalla colocada paralela a la primera. Las figuras observadas son franjas alternativas brillantes y oscuras. Una forma efectiva es dividir un rayo láser en dos y recombinarlos en un punto mediante un biprisma de Fresnel. Otro método es producir interferencias con el interferómetro de Michelson. Determinación gráfica de la interferencia: 2

Y

2

A r =A1 +A2 -2·A 1 ·A 2 ·cos (π−δ) 2

Ar

A2 δ Φ2

Φr

Φ1

O

Y

π−δ A1 X

Ar

A2

A2 y =A ·sen Φ 2 2 2 A1

Φr Φ1

O

x 1 =A 1 ·cos Φ 1

ψ r = ψ1 + ψ 2

Φ2 y = A1· sen Φ 1 1 x 2 =A ·cos Φ2 2

ψ r = A r sen φr  ψ1 + ψ 2 = A1 sen φ1 + A 2 sen φ2

A 2r = A12 + A 22 − 2A1A 2 cos ( π − δ ) = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos δ φr = arctan

A1 sen φ1 + A 2 sen φ2 A1 cos φ1 + A 2 cos φ2

Interferencia de dos ondas que oscilan con las mismas frecuencia y amplitud A:

Consideremos que las dos fuentes de las ondas (S1 y S2) oscilan en fase con la misma frecuencia angular (omega) y la misma amplitud A (A1 = A2). La perturbación resultante de la interferencia es igual a ψ r = A r sen ( ωt − α ) ψ r = ψ1 + ψ 2

ψ   r = A r sen ( ωt − α )   ψ1 + ψ 2 = A sen ( ωt − kr1 ) + A sen ( ωt − kr2 ) 

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 A 2r = A 2 + A 2 + 2A 2 cos δ = 2A 2 (1 + cos δ )   2 δ δ  δ δ  2  2  2 δ − sen2  = 2A 2 2 cos2  A r = 2A 1 + cos  +   = 2A 1 + cos 2 2 2 2 2      

sen kr1 + sen kr2 2sen tan α = = cos kr1 + cos kr2 2 cos

( (

kr1 + kr2 2 kr1 + kr2 2

) cos ( ) cos (

kr1 − kr2 2 kr1 − kr2 2

⇒

A r = 2A cos

) = tan ( )

kr1 + kr2 2

δ 2

)

kr + kr2   kr − kr2   ψ r = A r sen ( ωt − α ) = 2A cos  1 sen  ωt − 1   2 2    

La interferencia es constructiva si la Amplitud es máxima y destructiva si es mínima   kr1 − kr2  cos   = +1 2     kr1 − kr2 A r(máximo) = 2A  = n2π 2  r1 − r2 = n2λ     kr1 − kr2  cos  =0 2    π  kr1 − kr2 A r(mínimo) = 0  = ( 2n + 1) 2 2   λ r1 − r2 = ( 2n + 1) 2 

Fórmulas trigonométricas que se utilizarán: sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = ( sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b ) + ( sen a ⋅ cos b − cos a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ sen a ⋅ cos b    sen ( a + b ) − sen ( a − b ) = ( sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b ) − ( sen a ⋅ cos b − cos a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ cos a ⋅ sen b    cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = ( cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b ) + ( cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b ) = 2 ⋅ cos a ⋅ cos b  cos a + b − cos a − b = cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b − cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b = −2 ⋅ sen a ⋅ sen b  ( ) ( ) ( ) ( )   a + b) + (a − b)   ( ( a + b ) + ( a − b ) = 2a ⇒ a =  2    a + b − a − b = 2b ⇒ b = ( a + b ) − ( a − b )  ( ) ( ) 2    ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ cos ( a + b ) − ( a − b )  sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = 2 ⋅ sen  2 2   + − A B A B sen A + sen B = 2 ⋅ sen  ⋅ cos 2 2    ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ sen ( a + b ) − ( a − b )  sen ( a + b ) − sen ( a − b ) = 2 ⋅ cos  2 2   sen A − sen B = 2 ⋅ cos A + B ⋅ sen A − B    2 2  ( a + b ) + ( a − b ) ⋅ cos ( a + b ) − ( a − b )  cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = 2 ⋅ cos   2 2   A + B A − B cos A + cos B = 2 ⋅ cos  ⋅ cos 2 2  

Vamos a desarrollar la interferencia para ondas armónicas o monocromáticas. Las ecuaciones de la perturbación hacia el eje +OX y hacia el eje –OX son ψ + OX = ψ m sen ( ωt − kx ) ψ −OX = ψ m sen ( ωt + kx )

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Problemas de LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

1) Determina la energía de un fotón para: a) ondas de radio de 1.500 kHz; b) luz verde de longitud de onda 500 nm; c) Rayos-X de 0,06 nm. Considera el medio de propagación el vacío. [a) 9,9·10-28 J; b) 3,6·10-19J; c) 3,3·10-15J] 2) Una estación de radio emite con una longitud de onda de 25 m. Calcula: a) la frecuencia de las ondas electromagnéticas emitidas; b) la energía de los fotones; c) el número de fotones emitidos por segundo si la potencia de la emisora es de 6 kW. [a) 11,99·106Hz; b) 7,95·10-27J; c) 7,55·1029] 3) Un haz de luz de 400 nm incide sobre una placa de Ce, cuyo trabajo de extracción es de 1,8 eV. Calcular: a) energía máxima de los fotoelectrones; b) número de fotones emitidos por segundo y unidad de superficie para un haz de 0,001 W/m2. [a) 2,08·10-19J; b) 4,8·1015 fotones] 4) Una radiación de 1,5·10-6m incide sobre una superficie metálica y produce la emisión de fotoelectrones con una velocidad de 0,1·106m/s. Calcular: a) trabajo de extracción del metal; b) frecuencia umbral de foto emisión. [a) 1,28·10-19J; b) 1,9·1014Hz ó 1,55·10-6m] 5) Calcula la longitud de onda asociada a: a) el electrón acelerado por una diferencia de potencial de 100 V; b) el electrón de energía cinética de 1 eV; c) la bala de 10 g que se mueve a 500 m/s; d) el automóvil de 1000 kg con velocidad de 100 m/s. [a) 1,23·10-10m; b)1,23·10-9m; c) 6,6·10-39m] 6) Calcula la incertidumbre en la posición en los siguientes casos: a) electrón cuya velocidad, de 7.000 km/s, se ha medido con una incertidumbre del 0,003%; b) partícula de 50 g que se desplaza a una velocidad de 300 m/s, medida con la misma incertidumbre que en el caso anterior. [a) 5,51·10-7m; b) 2,34·10-31m] 7) Una superficie de Ni, cuyo trabajo de extracción es 5,0 eV, se irradia con luz ultravioleta de longitud de onda 200 nm. Calcule: a) la diferencia de potencial que debe aplicarse entre el Ni y un cátodo para detener totalmente los electrones emitidos; b) la energía con que estos alcanzan el ánodo si la diferencia de potencial aplicada se reduce a 1/4 del valor anterior. [a) 3,10 V; b) 6,9·10-20J] 8) Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda 200 nm, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 2 V, mientras que si la longitud de onda es 240 nm, el potencial de frenado se reduce a 1 V. Obtenga: a) el trabajo de extracción del metal; b) el valor que resulta para la constante de Planck, h, a partir de esta experiencia. Datos: e=1,6·10-19C; c=3·108m·s-1. [a) Wextrac-34J·s] ción=4eV; b) h=6,40·10 9) Calcula la función trabajo del sodio a partir de los datos siguientes: f0=4,3·1014Hz; h=6,63·10[2,9·10-19J=1,8 eV]

34J·s.

10) En un experimento fotoeléctrico en el que se utiliza una superficie de sodio, al iluminar la superficie metálica con una longitud de onda λ1=300 nm y el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 1,85 V, mientras que si la longitud de onda es 400 nm, el potencial de frenado es de 0,820 V. A partir de estos datos calcula: a) el valor que resulta para la constante de Planck h; b) el trabajo de extracción del metal sodio; c) la longitud de onda para el sodio. [a) 6,59·10-34J·s; b) 2,27 eV; c) 544 nm] 11) El potencial de frenado para los fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada por luz de longitud de onda 491 nm es de 0,710 V. Cuando la luz incidente se cambia a un nuevo valor el potencial de frenado es de 1,43 V. a) ¿Cuál es la nueva longitud de onda?. b) ¿Cuál es la función trabajo de esa superficie?. [a) 382 nm; b) 1,82 eV] 12) Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se puede cargar, en parte, debido a la pérdida de electrones causada por el efecto fotoeléctrico inducido por la luz del Sol sobre la superficie externa. Supongamos que el satélite está recubierto con platino, que es un metal que tiene un trabajo de extracción muy alto: 5,32 eV. Determina la mayor longitud de onda de los fotones que pueden arrancar fotoelectrones del platino. [233 nm] 13) La función trabajo del wolframio es de 4,50 eV. Calcula la velocidad de los fotoelectrones más rápidos emitidos cuando fotones de energía 5,80 eV inciden sobre una lámina de wolframio. [676 km/s] 14) Un electrón de energía cinética 12 eV se puede demostrar que tiene una velocidad de 2,06·106 m·s-1. Si consideramos que podemos medir su velocidad con una precisión del 1,50%. Determina la incertidumbre con la que simultáneamente podemos medir la posición del electrón. Dato: ’=1,055·10-34J·s [3,77 nm que es unas 71 veces en rB=52,9 pm]

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15) La longitud de onda umbral de una célula fotoeléctrica de sodio es 5,83·10-7m. Calcule: a) la diferencia de potencial con la que debe acelerarse un electrón para que su energía cinética sea igual al trabajo de extracción del sodio; b) la longitud de onda asociada a dicho electrón, tras ser acelerado. Datos: qe=1,6·10-19C; c=3·108m·s-1; h=6,63·10-34J·s; me=9,1·10-31kg. [a) 2,13 V; b) 0,841 nm] 16) Al iluminar una superficie de wolframio con luz monocromática ultravioleta de longitud de onda 1,88·10-7 m, se obtienen fotoelectrones con energía cinética máxima Em. Si se ilumina la misma superficie con luz de longitud de onda 1,77·10-7m, la energía cinética máxima de los fotoelectrones es el triple de la anterior. Si conoces c y h calcula: a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones en las dos situaciones anteriores; b) el trabajo de extracción del wolframio.[ a) 3,21·10-19J=2 eV y 6 eV; b) 7,37·10-19J=4,6 eV] 17) Al absorber un fotón se produce en un átomo de transición electrónica entre dos niveles separados por una energía 12·10-19 J. a) Explique, energéticamente, el proceso de absorción del fotón por el átomo, ¿volverá espontáneamente el átomo a su estado inicial?. b) Si el mismo fotón incidiera en la superficie de un metal cuyo trabajo de extracción es de 3 eV, ¿se producirá emisión fotoeléctrica?. Datos: h y me. 18) Un electrón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Calcule: a) la energía cinética, la cantidad de movimiento y la longitud de onda de De Broglie del electrón acelerado; b) la frecuencia mínima de la radiación que debería incidir sobre un metal con trabajo de extracción de 3 eV, para obtener fotoelectrones de la misma energía cinética que los del apartado a).

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“LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA” Introducción histórica de la Naturaleza de la luz. Teoría corpuscular de Newton. Teoría ondulatoria de la luz La Teoría electromagnética de Maxwell Dificultades de la teoría clásica: radiación térmica y efecto fotoeléctrico Efecto fotoeléctrico. Análisis de los resultados del efecto fotoeléctrico Cuantización de la energía. Fotones Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie Teoría de la Relatividad Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos Ondas de materia: verificación experimental El experimento de Davisson-Germer El experimento de G.P. Thomson Aplicaciones de las ondas de materia La función de onda Ondas de luz y fotones Ondas de materia y electrones El átomo de hidrógeno Efecto túnel Principio de incertidumbre de Heisenberg Problemas propuestos Dificultades de la teoría clásica: radiación térmica y efecto fotoeléctrico.Radiación térmica: Los problemas más importantes en la Física son la naturaleza fundamental de la materia y la evolución del universo. Uno de los fenómenos más desconcertantes estudiados a fines del siglo XIX fue la distribución de longitudes de onda, o distribución espectral, de la radiación emitida por objetos a altas temperaturas. La radiación emitida por un atizador calentado al rojo o una fogata depende de muchas variables. Pero en 1900 se estudió la radiación emitida por un “radiador ideal”, es decir, un radiador cuya radiación emitida depende sólo de la temperatura del radiador. En el laboratorio podemos hacer un radiador ideal realizando una cavidad dentro de un cuerpo y calentando las paredes de la cavidad a una temperatura uniforme. Taladramos un agujero pequeño a través de la pared de la cavidad y una muestra de la radiación, del interior de la cavidad, se escapará hacia el laboratorio, donde se podrá estudiar. La cavidad se consigue con un tubo de wolframio que se calienta hasta que se ponga incandescente por el paso de una corriente, se hace el taladro de 1 mm de diámetro. Se observa que la radiación de la cavidad es más brillante que la radiación de otra pared externa de la cavidad, aunque la temperatura de las paredes internas y externas son más o menos iguales. Los experimentos demuestran que la radiación procedente de esa cavidad tienen un espectro muy sencillo que depende solamente de la temperatura de las paredes. Un cuerpo negro es un sistema que absorbe toda la radiación que incide sobre él; y puede aproximarse por una cavidad con una abertura muy pequeña. Las características de la radiación emitida y absorbida por las paredes de la cavidad en equilibrio térmico dependen solamente de la temperatura de las paredes. La propiedad de la radiación de la cavidad que queremos medir se llama su brillo espectral S ( λ ) definido de tal forma que S ( λ ) dλ nos da la potencia radiada por unidad de área de la apertura de la cavidad que se encuentra en el intervalo de longitud de onda de λ → λ + dλ La curva continua, de la gráfica, nos indica el brillo espectral para una cavidad cuyas paredes están a 2000 K.

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LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA Página 2 de 15 Radiación Espectral 2 W/cm · µ m

Teoría

Visible

Clásica

50 Experimental

T=2000 K

40

30

20

10

1

2 3 Longitud de onda

4

5

6

λ(µm)

La predicción de la teoría clásica para la variación del brillo espectral con la longitud de onda, a una temperatura dada, es conocida como la ley de radiación clásica: S(λ ) =

2πckT λ4

Aquí c es la velocidad de la luz y k es la constante de Boltzmann cuyo valor es igual a R k= = 1,38 ⋅ 10−23 KJ . La ecuación anterior comparada con la experimental nos indica que se NA cumple a longitudes de onda altas. En 1900, el físico alemán Max Panck propuso una fórmula para el brillo espectral que coincidía con los resultados experimentales perfectamente en todas las longitudes de onda y para todas las temperaturas. Ley de la radiación de Planck: S (λ) =

2πc2h λ

5

1 e

hc /( λkT )

−1

Para obtener esta ecuación Planck introduce la constante h, llamada constante de Planck, y cuyo valor es 6,63·10-34J·s. La aceptación de la ecuación anterior de la ley de radiación de Planck implica dos suposiciones muy importantes, que suponen una ruptura con la Física clásica. x

En primer lugar, supone que la energía de la radiación de la cavidad está cuantizada. Es decir, la energía de la radiación existe en forma de múltiplos de la constante h por la frecuencia de la radiación (E=hf).

x

En segundo lugar, supone que la energía de los átomos que forman las paredes de la cavidad está cuantizada. Es decir, “los átomos que forman las paredes de la cavidad pueden existir sólo en estados que correspondan a valores específicos de energía; los estados con energías intermedias están prohibidos”.

Por tanto, para obtener la ley de Planck hemos de aceptar el principio de cuantización de la energía, para la radiación en la cavidad y para los átomos en las paredes de la cavidad. La ley de radiación de Planck se transforma en la ley de radiación clásica que se cumple bien para los experimentos con longitudes de onda larga.

S (λ) =

2πc 2h λ

5

1 e

hc /( λkT )

−1

  x x2 x3  + hc  e = 1 + x +  lim →0 ⇒ 2 6  λ→∞ λkT   x   e − 1 = x   2 S λ = 2πc h λkT = 2πckT ( )  hc λ5 λ4

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Efecto fototeléctrico: Quizás es irónico que en el famoso experimento de Hertz, en 1887, en el cual produjo y detectó en el laboratorio ondas electromagnéticas, confirmando, por consiguiente, la teoría de Maxwell, se descubriera el efecto fotoeléctrico. Hertz usaba un descargador de arco en un circuito resonante para generar las ondas y otro circuito similar para detectarlas. Notó accidentalmente que cuando la luz proveniente del generador se bloqueaba y no llegaba al receptor, el arco receptor tenia que hacerse mas corto para que se produjeran las chispas. La luz de cualquier chispa que llegaba a los terminales del arco, facilitaba el paso de las chispas. Hertz no continuó esta investigación más allá, pero muchos otros sí lo hicieron. Se encontró que cuando una superficie limpia era expuesta a la luz se emitían partículas negativas. En 1900, Lenard: x

Desvió estos “rayos” en un campo magnético y encontró que tenían una razón de carga a masa de la misma magnitud que la medida por Thomson para los rayos catódicos.

x

Encontró que la corriente fotoeléctrica era proporcional a la intensidad de luz.

x

Si el cátodo se hacía positivo, se observaba aún algo de corriente, lo cual indicaba que los electrones se emitían con alguna energía cinética.

x

En la figura se representa un aparato para estudiar el efecto fotoeléctrico:

x

Luz de frecuencia f ilumina una placa metálica P (negativo ó cátodo) y los electrones son arrancados del plato.

x

Una diferencia de potencial V entre P y el colector C (positivo ó ánodo), en forma de taza, donde golpean los fotoelectrones, manifestándose como una corriente fotoeléctrica en el amperímetro A.

x

La diferencia de potencial V es igual a V = Vext + Vcpd en el que el primer término representa la lectura del voltímetro ( Vext = ε + − iR = −ε − + iR ) y el segundo es la medida de la diferencia de potencial de contacto (un efecto batería) introducido por el hecho de que el plato y el colector están hechos de diferentes materiales. Cristal de cuarzo Vacío

b Na

LUZ Corriente i

i i

a

V0 -

+ -

+

0

Potencial de frenada en función de la frecuencia de la luz incidente Potencial parada

V0

3 a 2

1 b

c

4

f0

6

8

10

12

frecuancia (10

14

Hz)

Los datos esenciales obtenidos están en la gráfica anterior: x

La primera representa la corriente fotoeléctrica i como una función de V, para luz incidente de dos intensidades diferentes pero de igual longitud de onda.

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x

El potencial de retardo o de parada V0 es la diferencia de potencial requerida para parar los fotoelectrones más rápidos, y así origina que la corriente fotoeléctrica sea cero.

x

El producto (e·V0) mide la energía cinética de los fotoelectrones más energéticos. Es decir: e·V0=Ec(m).

x

La característica central de la figura es que V0 es la misma en las dos curvas. Esta observación puede generalizarse: “la energía cinética de los fotoelectrones más energéticos es independiente de la intensidad de la luz incidente”.

x

En la otra figura se representa para (datos de R.A. Millikan en 1916) el potencial de retardo o de parada, V0, frente a la frecuencia, f, de la luz incidente. Extrapolando la gráfica de cinco puntos observamos que hay una frecuencia umbral f0 correspondiente a un potencial de parada de cero.

x

Para luz con frecuencias inferiores a f0 el efecto fotoeléctrico no se produce.

Análisis de los resultados del efecto fotoeléctrico: x

El problema de la intensidad: En la teoría ondulatoria cuando se incrementa la intensidad de un rayo de luz se incrementa la magnitud del vector E campo eléctrico oscilante. La fuerza que el rayo incidente ejerce sobre un electrón es e·E. Por lo que al ser más intensa la luz más energética serán los fotoelectrones que salen. Sin embargo, se demuestra que V0, y por tanto la energía cinética, no dependen de la intensidad de luz.

x

El problema de la frecuencia: La teoría ondulatoria establece que el efecto fotoeléctrico tendrá lugar en todas las frecuencias de luz incidente y dependiendo sólo de que sea bastante intensa. Sin embargo, en la figura se demuestra que hay una frecuencia umbral por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico, luego no depende de la intensidad de la luz.

Cuantización de la energía. Fotones.En 1905, Einstein hizo la hipótesis audaz de que la luz algunas veces se comporta como si su energía estuviera concentrada en paquetes o haces discretos que llamó cuantos de luz; que nosotros conocemos hoy en día como fotones. El análisis cuantitativo de la teoría corpuscular de Einstein es el siguiente: Escribió el principio de conservación de la energía para el efecto fotoeléctrico de la siguiente manera

Ecuación fotoeléctrica:

Efotón = hf = W + Ec ( máxima )

La ecuación se interpreta de la siguiente manera: t Un fotón incidente lleva una energía E=hf, a la superficie del metal, donde el fotón interactúa con un electrón. t Si el electrón se escapa del metal, una cantidad de energía W (la función trabajo del material) debe ser proporcionada para superar el campo eléctrico que existe en la superficie. t La restante energía del fotón (hf-W) es igual a la energía cinética máxima que el fotoelectrón arrancado puede tener. Siendo la energía cinética máxima del fotoelectrón arrancado igual a Ec(m)=h·f-W. De los datos experimentales del efecto fotoeléctrico tenemos que:

eVD = Ec ( máxima ) Aplicando la ecuación de Einstein:

eVD = Ec ( máxima ) = hf − W VD =

hf W − e e

t La teoría fotónica de Einstein predice una relación lineal entre el potencial de parada V0 y la frecuencia f, en completa concordancia con los datos experimentales. t La pendiente de la recta experimental en la figura será la relación entre la constante de Planck y la carga del electrón, h/e. t El valor de la pendiente h/e=(ab/bc)=[(2,35-0,72)V]/[(10-6)·1014Hz]=4,1×10-15V·s.

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t El valor de h=e×4,1·10-15V·s=1,6·10-19C×4,1·10-15V·s=6,6·10-34J·s. t Encontramos que el valor de h es igual a 6,6·10-34J·s que está de acuerdo con el obtenido por Planck en la radiación térmica. Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie.Introducción histórica: En la historia de la Física se comprueba que los físicos raramente se equivocan cuando consideran la simetría de la naturaleza. Por ejemplo, hemos estudiado que un campo magnético variable produce un campo eléctrico, esto llevó a considerar que un campo eléctrico variable produciría un campo magnético. Esto se comprobó posteriormente. Otro ejemplo, el electrón tiene una antipartícula, es decir, una partícula de la misma masa pero de carga opuesta. Se pensó que el protón deberá tener una antipartícula. Se construyó un acelerador protónico de 5 GeV en la universidad de California (Berkeley) para encontrar el antiprotón hasta que se encontró. Hipótesis de De Broglie: En 1924 Luis de Broglie consideró el problema sobre el hecho de que la luz parece tener una naturaleza dual onda-partícula mientras la materia (en aquel tiempo) se consideraba enteramente como partícula. Esta consideración dual no es contraria con el hecho de que la luz y la materia son formas de energía, que cada una se puede transformar en la otra y que ambas están gobernadas por la simetría espacio-tiempo de la teoría de la relatividad. Luis de Broglie comenzó a pensar que la materia también tendrá una naturaleza dual y que las partículas tales como los electrones tendrán propiedades ondulatorias. Si queremos describir el movimiento de una partícula como una onda, la primera tarea es contestar a la siguiente pregunta: ¿cuál es su longitud de onda?. Luis de Broglie sugirió que la h aplicada a la luz también se aplicaría a la materia. Por tanto, la longitud de relación λ = p onda de una partícula de momento p viene dada por λ =

h . p

Una longitud de onda calculada mediante la ecuación anterior se llama longitud de onda de De Broglie. De la ecuación anterior, obtenemos el papel central que juega la constante de Planck, h=6,6×10-34 Js que conecta los aspectos ondulatorios y de partícula de la luz y de la materia. Al ser la constante de Planck muy pequeña esta doble naturaleza onda-corpúsculo se pone de manifiesto en partículas muy pequeñas. Einstein propuso que la energía de un cuanto de luz (fotón) es E=hf. En la cual f es la frecuencia de la luz y h es la constante de Planck, introducida unos pocos años antes y que tiene un valor de h=6,63·10-34 Js=4,14·10-15 eV·s. Los fotones llevan energía y momento lineal. Para hallar el momento de un fotón que se mueve a alta velocidad utiliza la Teoría de la Relatividad: Para cuerpos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz se ha de utilizar la Teoría de la Relatividad que considera como ley universal “la velocidad de la luz es una invariante física, teniendo el mismo valor para todos los observadores en movimiento relativo uniforme”. Como consecuencia las transformación de Galileo t’=t no es correcta y todos los observadores en movimiento relativo uniforme son equivalentes. Y

Y’

P r’

r O

R

O’

X=X’

Vrelativa Z

Z’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se encuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z,t) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’, t’) para el segundo O’X’Y’Z’. Las nuevas transformaciones compatibles con que la velocidad de la luz sea constante:

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x' =

Transformaciones Lorentz :

x − vr t v  1−  r   c 

2

;

y' = y ;

z' = z ;

t' =

t − v r x /c 2 v  1−  r   c 

2

El principio de la relatividad especial “todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores inerciales que se muevan con velocidad relativa constante unos respecto de otros”. Con lo cual para que se cumpla el principio de conservación del momento lineal en partículas rápidas   Ec   Et  E  t    Et

G dp G  F =  sobre dt    G mv relativa G G G  = γmv relativa  p = mv propia = 2   1 − ( cv )  

    1 = mc  − 1 = mc2 ( γ − 1) 2  1 − ( cv )    2

= Ec + mc2 = mc2 ( γ − 1) + mc2 = γmc2 1

=

1− (

mc2 = γmc2

)

v 2 c

( pc )2 + ( mc2 )

2

=

Demostración: Ec =

Ec =

Ec =

∫

v

0

Ft ds =

mv 1− (

2

)

v 2 c

∫

v

0

−

∫

v

0

mcv c2 − v2

(

mv2 + m c2 − v2 1−

∫

vdp = vp −

( ) v2 c2

v

0

mv

dv =

) − mc

2

mv2

pdv =

1− (

1− (

2

)

v 2 c

−

v

mv

0

1 − ( cv )

∫

2

v

)

v 2 c

−mc  − c2 − v2  =   0

  1 = mc   1−  2

( ) v2 c2

dv mv2 2

c −v c

2

+ mc c2 − v 2 − mc2

  − 1 = mc2 ( γ − 1)  

Para obtener la expresión de la energía total: la expresión del momento lineal la elevamos al cuadrado y despejamos la velocidad al cuadrado, la expresión de la energía cinética la elevamos al cuadrado y sustituimos la velocidad al cuadrado obtenida anteriormente. Obtenemos:

p=

mv 1−

⇒

( ) v2 c2

 2 m2 v 2  p =  2 1 − v2   c    2 m2 v 2 c 2  p = 2  c − v2  

( )

⇒

v2 =

p2 c 2 2 2

m c + p2

1  2 2 2 2 mc 2 Et = Ec + mc = mc ( γ − 1) + mc = γmc = 2 v 1− 2  c  2 2  2 2 c c E2t = mc2 = mc2 = m2c 4 + p2c2 2 2 2 2  c −v p c c2 − 2 2  m c + p2 

( )

(

Et =

)

(

)

( pc )2 + ( mc2 )

2

(

Esta expresión ( Et ) = ( pc ) + mc2 2

2

)

2

nos da la relación relativista entre el momento lineal,

p, y la energía total de la partícula, de masa m, sea de un electrón o de un protón. La ecuación anterior la podemos aplicar a un fotón cuya masa es cero, mfotón=0, y por tanto para un fotón viajando a la velocidad de la luz E=p·c. Sustituyendo la energía por E=hf=pc, deducimos que hf=pc, y despejando el momento lineal p=hf/c. Como la velocidad de la luz es igual a c = λf , obtenemos que el momento de un fotón y la longitud de onda de la luz se relacionan por

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Efotón = pc  Efotón = hf

⇒

pc = hf  c = λf

⇒

p=

h λ

Con esta última expresión obtenemos que los modelos ondulatorios y de fotón están íntimamente relacionados. La energía E de un fotón se relaciona con la frecuencia f de la onda por E=hf. De igual forma, el momento p del fotón se relaciona con la longitud de onda de la onda . En cada caso, el factor de proporcionalidad es la constante de Planck h. Las relaciones anteriores nos permiten mirar el espectro electromagnético de una forma distinta. Hasta ahora hemos expuesto el espectro electromagnético como una serie o cadena de longitudes de onda o, de igual forma, de frecuencias. Ahora podemos considerarlo también como una cadena de energías fotónicas o de momentos fotónicos. Con el modelo fotónico de la luz se pueden resolver los problemas que planteaba el efecto fotoeléctrico. Por ejemplo, el problema de la intensidad en el modelo fotónico se explica sencillamente. Si doblamos la intensidad de luz simplemente doblamos el número de fotones pero no cambiamos la energía de los fotones individuales que viene dada por la expresión E=hf. Por lo que la energía cinética que un electrón puede alcanzar debido a la colisión del fotón permanece constante. Respecto al problema de la frecuencia, el modelo fotónico lo explica sencillamente. Así la conducción de los electrones en el interior del metal se debe a un campo eléctrico, por lo que el arranque de un electrón necesita un mínimo de energía, W, llamada función trabajo del material. Si la energía del fotón excede de la función trabajo, es decir si hf>W, el efecto fotoeléctrico puede ocurrir. Si esto no es así el efecto no tendrá lugar. Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos

Nuestra experiencia sensorial, nos lleva a considerar que los objetos que tocamos, tienen una forma y un tamaño bien definidos, por lo que están bien localizados en el espacio. Por tanto, tendemos a extrapolar y consideramos que las partículas fundamentales de la materia (electrones, protones, etc.) tienen forma y tamaño y las imaginamos como pequeñas esferas con un radio determinado, con una masa y carga. Los experimentos nos demuestran que nuestra extrapolación sensorial de los constituyentes básicos de la materia es errónea. El comportamiento dinámico de los átomos y de las partículas subatómicas requiere que asociemos a cada partícula un campo (un campo de materia), de la misma forma que asociamos un fotón (que puede considerarse equivalente a una partícula) con un campo electromagnético. Ondas de materia: verificación experimental.-

Para probar que en un experimento estamos tratando con una onda lo que debemos hacer es medir su longitud de onda. Esto es lo que hizo Thomas Young en 1801 cuando estableció la naturaleza ondulatoria de la luz visible; y lo que hizo en 1912 Max von Laue para establecer la naturaleza ondulatoria de los rayos X. Para medir una longitud de onda necesitamos dos o más centros de difracción (agujeros, rendijas, o átomos) separados por una distancia que sea del mismo tamaño que la longitud de onda que estamos buscando para medir. Si aplicamos la ecuación λ =

h = p

h 2mEc

a un electrón con una energía cinética de 120 eV

encontramos que la longitud de onda asociada al electrón de masa me=9,1·10-31kg será de 112 pm, que es del orden de la distancia que separa a los átomos. Sin embargo, si aplicamos la ecuación anterior a una pelota de masa 150 g con una velocidad de 35 m/s encontramos que la longitud de onda asociada a la pelota será de 1,26×10-34m, que para detectarla necesitamos un par de rendijas a una distancia de este orden. Lo que nos indica el por qué no se observa que la pelota se comporte como una onda. El experimento de Davisson-Germer: Los físicos Davisson y Germer crearon un aparato para demostrar la naturaleza ondulatoria de los electrones. Los electrones son emitidos desde un filamento a temperatura alta, son acelerados por una diferencia de potencial ajustable. La energía cinética de los electrones que se dirigen hacia un cristal de Ni es igual al producto e·V. Después de que se reflejen en el cristal de Ni se registran en un detector, que puede girar para obtener diferentes posiciones angulares. El “rayo” reflejado, desde la superficie del cristal, entra en el detector y se registra como una corriente I.

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Los distintos experimentos se hacen a diferentes valores de diferencia de potencial V y la lectura de la corriente I por el detector se hace colocándolo a ángulos distintos. Se comprueba que para V=54 voltios se observa un fuerte rayo difractado a 50º. Si el potencial acelerador se incrementa o decrece un poco, la intensidad del rayo difractado disminuye. El rayo difractado se forma por reflexión de Bragg del electrón como onda de materia desde una familia determinada de planos atómicos dentro del cristal: d sen φ = m λ ( m = 0,1,2,...) . Para el cristal de Davisson y Germer d que es la distancia interatómica 215 pm. Para m=1 que corresponde a un pico de difracción de primer orden nos lleva a una longitud de onda de 165 pm: 215 pm×sen 50º=165 pm. Filamento

Rayo Incidente φ

Detector

V

Rayo

Rayo Difractado

d φ Cristal

Esquema de los átomos en el cristal

El valor esperado de la longitud de onda de De Broglie para un electrón de energía 54 eV es de 167 pm, que está en correspondencia con el valor medido. Por lo que se confirma la predicción de De Broglie. El experimento de G.P. Thomson: En 1927 G.P. Thomson trabajando independientemente de Davisson y Germer confirmó la ecuación de Luis de Broglie usando un método algo diferente. Dirigió un rayo monoenergético de rayos X o electrones a través de una hoja metálica (A) muy fina, que hacía de blanco. El blanco no era un cristal, como en el experimento de Davisson y Germer, pero estaba hecho de un gran número de pequeños cristalitos orientados al azar. Con esta distribución habrá siempre, por casualidad, un cierto número de cristales orientados en un determinado ángulo para producir un rayo difractado.

Blanco (Al) Rayo incidente

Anillos Difracción Circular

Rayos X o electrones

Película fotográfica

Si una placa fotográfica se sitúa perpendicularmente al rayo incidente se observa una mancha central rodeada por anillos de difracción. Haciendo el experimento con electrones de una determinada longitud de onda, para una energía de 15 eV, se obtiene la misma figura de difracción que si utilizamos rayos X de la misma longitud de onda. Las medidas y el análisis de las dos figuras de difracción confirman la hipótesis de De Broglie en cada detalle. G. P. Thomson compartió el premio Nobel en 1937 con Davisson por los experimentos de difracción de los electrones y su padre J.J. Thomson recibió el premio Nobel en 1906 por su descubrimiento del electrón y por la medida de su relación carga/masa. Aplicaciones de las ondas de materia: Hoy en día la naturaleza ondulatoria de la materia está aceptada, y los estudios de difracción implicando rayos de electrones y neutrones se usan rutinariamente para estudiar la estructura atómica de los sólidos y de los líquidos. Así en los laboratorios de análisis químico, físico y metalúrgico poseen aparatos comerciales de difracción de electrones. Las ondas de materia son complementarias a los rayos X para estudiar la estructura atómica de los sólidos. Los electrones, por ejemplo, son menos penetrantes que los rayos X y son útiles para estudiar los rasgos en la superficie. Por el contrario, los rayos X interactúan, en gran parte, con los electrones de un blanco que utilicemos, y por esta razón no se utilizan para localizar los átomos ligeros, particularmente hidrógeno. Los neutrones, sin embargo, interactúan en gran parte con los núcleos y pueden usarse mejor que los rayos X para los átomos ligeros. Por ejemplo, con una difracción de neutrones sobre benceno sólido se pude comprobar la estructura del anillo bencénico hexagonal y los seis átomos de hidrógeno acoplados a él.

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La función de onda: Cuando Thomas Young midió la longitud de onda en 1801 no tenía ni idea sobre la naturaleza del rayo de luz solar que cae sobre las dos rendijas en su aparato de interferencia. No fue hasta finales del siglo cuando Maxwell postuló que la luz es una configuración en movimiento de campos eléctrico y magnético.

Estamos exactamente en la misma situación en esta etapa de nuestra introducción a las ondas de materia. Podemos medir la longitud de onda asociada con un electrón o un neutrón pero hasta ahora no conocemos cual es la naturaleza de lo ondulatorio. Es decir, no conocemos que cantidad en una onda de materia corresponde al campo eléctrico en una onda electromagnética, al desplazamiento transversal en una onda viajando a lo largo de una cuerda estirada, o a la variación de la presión local en una onda de sonido viajando por medio de un tubo lleno de aire. Usaremos el término función de onda para la cantidad cuya variación con la posición y el tiempo representa el aspecto ondulatorio de una partícula en movimiento y le asignamos el símbolo Ψ . Posteriormente, interpretaremos la función de onda físicamente de una forma análoga con la luz: “Onda de materia es a partícula como onda de luz es a fotón”. En primer lugar desarrollaremos un teorema útil que se aplica a todo tipo de ondas. Cuando analizamos las ondas sobre cuerdas, vimos que se puede enviar una onda viajera, de cualquier longitud de onda, a través de una cuerda estirada de longitud infinita. Sin embargo, si lo hacemos en una cuerda de longitud finita, sólo las ondas estacionarias se pueden conseguir y estas tienen una serie discreta de longitudes de onda. Esta experiencia general con las ondas se puede resumir: “Una onda en el espacio, localizada en una zona concreta, tiene como resultado que solo puede tener una serie discreta de longitudes de onda, y por tanto una serie discreta de frecuencias. Es decir, la localización nos conduce a la cuantización” Este teorema sirve no sólo para ondas en cuerdas sino para ondas de todos tipos, incluyendo ondas electromagnéticas y, como veremos, ondas de materia. Una onda estacionaria se produce cuando una cuerda se restringe a una longitud L con los extremos fijos, siendo la longitud de onda λ = 2L/n, para n = 1, 2, 3,..., en el que el número entero n define el modo de oscilación. Tales números enteros se llaman números cuánticos. Las frecuencias que corresponden a estas longitudes de onda están también cuantizadas y vienen dadas por f=v/ λ =v/(2L)·n, en la que v es la velocidad de la onda. Ondas de luz y fotones: Podemos considerar las ondas electromagnéticas estacionarias exactamente como las producidas en una cuerda estirada. Las ondas electromagnéticas estacionarias se consiguen atrapando una radiación entre dos espejos paralelos que sean totalmente reflectantes. En la región visible o próxima a la visible las ondas estacionarias se consideran en la cavidad de un gas láser. También se consideran ondas estacionarias en la región de microondas del espectro usando como espejos paralelos hojas de cobre.

A partir de ahora, por conveniencia, consideraremos solo el modo de oscilación que tiene la mayor longitud de onda y, por tanto, la menor frecuencia, que corresponde a la onda con n=1. La representación en el eje de abscisas, eje x, de la longitud L (distancia entre los espejos) y en el de ordenadas de la amplitud de la onda Emáxima de nuestra onda electromagnética estacionaria como una función de la posición, para este modo. Vemos que exactamente la mitad de una onda está encajada entre los espejos, los cuales están en O y en L, por lo que la longitud de onda λ es 2L. En otra figura se representa (Emáx)2 para el mismo modo de oscilación, y como la densidad de energía u, es igual a u=½0E2, la gráfica representa la densidad de energía en la onda electromagnética estacionaria. E

0

máx

E2

n=1

máx

L

n=1

0

L

Luz atrapada entre dos espejos paralelos planosseparados por L A la izquierda amplitud frente posición para n=1 A la derecha el cuadrado de la amplitud que es proporcional a la densidad de fotones.

Podemos considerar que la densidad de energía en cualquier punto se debe a fotones que están localizados en aquel punto, y cada fotón llevando la misma energía hf. Por tanto, puede

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concluirse que el cuadrado de la amplitud de onda, en cualquier punto, en una onda electromagnética estacionaria es proporcional a la densidad de fotones en aquel punto. Esta conclusión se puede testar explorando la región entre los espejos con una sonda fotónica. Encontraremos un máximo de densidad de fotones en la mitad del camino entre los espejos y una densidad aproximadamente cero delante de los espejos. Si la energía total en las ondas estacionarias se muestra tan baja que corresponde a la energía de un único fotón, podemos decir: “la probabilidad de detectar un fotón en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la amplitud que la onda electromagnética tiene en aquel lugar”. Hay que hacer notar que nuestro conocimiento de la posición de un fotón es de naturaleza estadística. Es decir, no podemos saber exactamente donde está un fotón en un momento dado; podemos hablar sólo de la probabilidad relativa de que un fotón esté en una cierta región del espacio. Como veremos, esta limitación estadística es fundamental para la luz y para la materia, para los fotones y para las partículas. Ondas de materia y electrones: Para considerar la relación entre ondas de materia y partículas, usamos el electrón como prototipo y nos sirven de guía para nuestra analogía entre luz y ondas de materia.

¿Cómo podríamos considerar una onda de materia estacionaria usando un electrón?. Recordando el teorema localización-cuantización desarrollado en el apartado función de onda, queremos encontrar una situación en la que un electrón esté confinado en una región del espacio, debido a fuerzas eléctricas, que sería como un electrón atrapado. Las ondas de materia asociadas con el electrón se comportarán como una serie de ondas de materia estacionarias, con una frecuencia específica. Los átomos son justamente un sistema con electrones atrapados. De hecho, muchos de los electrones en los átomos que constituyen nuestro planeta y la vida que hay han sido atrapados antes de la formación del sistema solar. Para nuestro propósito, consideremos un electrón atrapado en un sistema unidimensional, en el que el electrón solamente se puede mover en el eje x, entre dos paredes rígidas separadas una distancia L. La energía potencia U(x) será cero dentro de la zona en que está atrapado L, y alcanzará rápidamente un valor infinitamente grande en x=0 y x=L La zona de atrapamiento se le suele llamar un pozo de potencial. Para un electrón atrapado en su estado n=1, representamos la gráfica de su función de onda y del cuadrado de la función de onda. Razonando por analogía con las ondas de luz y los fotones, concluimos que: “La probabilidad de encontrar el electrón en cualquier lugar es proporcional al cuadrado de la amplitud que la onda de materia tiene en aquel lugar”. En particular, la probabilidad de encontrar el electrón en el intervalo entre x y x+dx, es proporcional a la cantidad Ψ 2 ( x ) dx . Para nuestros propósitos, el cuadrado de la función de onda, que llamamos densidad de probabilidad, es más importante que la propia función de onda porque el cuadrado nos dice donde es probable que se encuentre el electrón. La probabilidad de que el electrón esté en alguna parte del pozo infinito es la unidad

∫Ψ

2

( x ) dx = 1 . La integral es simplemente el área bajo la curva y

como es numéricamente igual a uno se dice que está normalizada. Energías de los estados posibles: Hemos considerado que la energía potencial del electrón atrapado es constante dentro del pozo infinito y su valor es cero. Por tanto, la energía electrónica total es igual a su energía cinética, si n =1,2,... tenemos E = Ec =

p2 2m

h hn   p = =  λ 2L  

E = Ec =

p2 n2 h2 = 2m 8mL2

La energía en el punto cero: Un resultado importante es que en el pozo de potencial infinito el electrón no puede estar en reposo. Esto se debe a que su energía menor es su energía en el estado fundamental que corresponde a n=1, luego E1=h2/(8mL2). Este resultado nos indica que los electrones no puede tener energía cero por lo que el electrón no puede ser estacionario, ni siquiera en el cero absoluto de temperatura.

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El átomo de hidrógeno: Vamos a extender el análisis de un electrón atrapado en un pozo infinito a un caso más realista de un electrón atrapado en un átomo. Para ello elegimos el átomo de hidrógeno.

El átomo de hidrógeno tiene un sólo electrón unido a su núcleo (un sólo protón) por la fuerza atractiva eléctrica. La energía de los estados posibles del átomo de hidrógeno

(

)

2

2 me 1 Ze2 Ze2 1 2 Ze E = Ec + E p = K e − Ke = − Ke 2 r r 2 n2 =2

El átomo de hidrógeno, como el electrón en un pozo infinito, también tiene una energía en el punto cero, correspondiente a n=1. La densidad de probabilidad para el estado fundamental del 1

átomo de hidrógeno viene dada por Ψ 2 (r) =

πrB3

e

−2r rB

siendo rB el radio de Bohr de valor

rB=5,292×10-11m=52,92 pm. El significado físico de la ecuación anterior es que Ψ 2 (r)dV es proporcional a la probabilidad de que el electrón se encuentre en un elemento específico infinitesimal de volumen. Supongamos que queremos evaluar Ψ 2 (r)dV , como la densidad de probabilidad Ψ 2 (r) depende sólo de r, elegimos como elemento dV el volumen entre dos capas de esferas con-

céntricas cuyos radios son r y r+dr. Es decir, definimos un elemento de volumen dV = 4πr2dr . Ahora definimos la densidad de probabilidad radial P(r) de tal forma que P(r)·dr nos exprese la probabilidad de encontrar el electrón en el elemento de volumen definido por 2

P(r)dr = Ψ (r)dV =

1 πrB3

 −2r    r e B  4πr2dr

=

4r2 rB3

 −2r    r e B  dr

En la teoría semiclásica de Bohr, el electrón en su estado fundamental describe una órbita circular de radio rB. En la mecánica ondulatoria se descarta esta representación y se considera el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de probabilidad cuyo valor P(r) en cualquier punto viene dado por P(r) =

4r 2 rB3

 −2r    r e B 

Densidad de -1 Probabilidad radial (nm ) 10

5

50

Se puede demostrar que

100

150

200

Radio (pm)

∫ P(r)dr = 1 el área bajo la curva es la unidad, lo que asegura que el

electrón en el átomo de hidrógeno está ligado en alguna parte. En la teoría semiclásica de Bohr el electrón en su estado fundamental gira en una órbita circular de radio rB. En mecánica ondulatoria descartamos esta representación fotográfica. Consideramos el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de probabilidad cuyo valor P(r) en algún punto está dado por P(r) =

4r 2

 −2r    r e B 

. No debemos preguntar “¿Está el electrón próximo a este punto?”. Aunque rB3 “¿cuáles son los puntos de ventaja de que el electrón esté próximo a este punto?”. Esta información probabilística es todo lo que podemos conocer acerca del electrón y además, también es todo lo que alguna vez necesitaremos conocer.

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Como se demuestra en la gráfica la densidad de probabilidad radial tiene un valor máximo en el radio clásico de Bohr. Los puntos que indican que el electrón estará más alejado del núcleo tienen el valor del 68% del tiempo y los más próximos el 32% restante del tiempo. No es fácil empezar a analizar las partículas subatómicas de esta forma probabilística y estadística. La dificultad es nuestro impulso natural a considerar un electrón como una minúscula partícula o como un grano de gelatina, estando en un determinado lugar en un determinado tiempo y siguiendo una trayectoria bien definida. Los electrones y otras partículas subatómicas simplemente no se comportan de esta forma. En la sección siguiente trataremos de ayudar a disipar esta penetrante falacia de “grano de gelatina” (jelly bean fallacy) como se le suele llamar. Efecto túnel: En la siguiente figura se representa una barrera de energía, llamada barrera de potencial (potencial se refiere a energía potencial), de altura U y anchura L. Un electrón de energía E se aproxima a la barrera por la izquierda.

Clásicamente como E
U E Electrón

T

R

L

Probabilidad de ser Transmitido

x

2

ψ (x)

x 0 L Barrera de Energía de altura U y anchura L, y E la energía del electrón Densidad de probabilidad para la onda de materia del electrón

Si representamos el electrón como una onda de materia, en la figura se demuestra la curva de densidad de probabilidad apropiada. A la izquierda de la barrera, hay una onda de materia moviéndose hacia la derecha y una onda de materia reflejada moviéndose hacia la izquierda. Estas dos ondas interfieren produciendo la figura de interferencia que vemos en la región x<0. Dentro de la barrera la densidad de probabilidad decrece exponencialmente. Sobre la otra parte de la barrera x>L tenemos solo una onda de materia viajando hacia la derecha con una pequeña amplitud pero constante. El coeficiente de transmisión es igual a T = e −2kL

{k =

8π2m ( U − E ) h−2

}

El valor de T depende de E, de U y de L. Como ejemplo de efecto túnel, considera un alambre pelado de cobre que ha sido cortado y los dos extremos unidos dando vueltas. El alambre conducirá la electricidad a pesar del hecho de que los dos alambres pueden estar cubiertos con una capa delgada de óxido de cobre, que es aislante. Los electrones simplemente penetran por efecto túnel a través de esta pequeña capa de barrera aislante. Otros ejemplos de efecto túnel es el diodo túnel en el que el flujo de electrones a través del aparato se puede parar o no controlando la altura de la barrera, lo que se puede hacer en 5 ps. Principio de incertidumbre de Heisenberg.-

El camino erróneo de pensar como “grano de gelatina” es, sin embargo, una extensión natural de nuestra experiencia con los objetos como una pelota, que podemos ver y tocar. Pero este modelo no sirve para trabajar en el nivel subatómico. Si un electrón fuera algo parecido a un grano de gelatina, podríamos, en principio, medir su posición y su momento en cualquier instante, con una precisión ilimitada. Pero ello no se puede hacer.

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No se está considerando dificultades prácticas de medida ya que asumimos instrumentos de medida ideales. Tampoco es que los electrones tengan un momento y una posición infinitamente precisa sino que, por alguna razón, la naturaleza no nos permite encontrarlos o determinarlos. Lo que estamos tratando con esto es una limitación fundamental sobre el concepto de “partícula”. El principio de incertidumbre de Heisenberg nos proporciona una medida cuantitativa de esta limitación. Supongamos que queremos medir la posición y el momento lineal de un electrón que está restringido a moverse a lo largo del eje X. Sea ∆x la incertidumbre en la medida de su posición y sea ∆p x la incertidumbre en la medida de su momento lineal. El principio de incerti-

G

G

dumbre de Heisenberg establece que ∆p x ⋅ ∆x ≥ = El símbolo ≥ reconoce el hecho de que, en la práctica, nunca llegaremos al límite cuántico. Es decir, si diseñamos un experimento para determinar la posición de un electrón tan exactamente como sea posible (haciendo que ∆x sea lo menor posible), encontramos que no somos capaces de medir su momento lineal muy bien ( ∆p x será grande). Si tratamos en el experimento de mejorar la precisión del momento medido, la precisión de la posición medida se deteriorará. Y no hay nada que podamos hacer sobre ello para mejorar los datos. El producto de las dos incertidumbres debe permanecer fijo, y este producto fijo es la constante de Planck. Como el momento lineal y la posición son vectores, una relación como la anterior también existirá para los ejes Y y Z. El principio de incertidumbre se ve extraño solo si se permanece pegado al concepto falso de “grano de gelatina” y pensamos en el electrón como un pequeño punto. Richard Feynman escribió en 1985: “Quisiera colocar el principio de incertidumbre en su lugar histórico: Cuando las ideas revolucionarias de la Física cuántica salieron a la luz pública, la gente tendía a considerarlas desde sus antiguas ideas, esto es, el grano de gelatina. Pero llegado un cierto punto las ideas antiguas comenzaron a fallar, así que una advertencia se desarrolló y que dice, en efecto, “Sus antiguas ideas no son buenas.....Si ha eliminado todas las antiguas ideas y hace uso de las nuevas no hay necesidad para un principio de incertidumbre”. Lo que Feyman decía era que: “pensando en términos de ondas de materia. Tire la noción del electrón como un pequeño punto. Cuando piense en electrones, hágalo estadísticamente, y siendo guiado por la densidad de probabilidad de la onda de materia”. Otra formulación del principio de Heisenberg: Otra forma de formular este principio es en términos de energía y tiempo, que son magnitudes escalares ∆E ⋅ ∆t ≥ =

Nos dice que si trata de medir la energía de una partícula, midiéndola en un intervalo de tiempo t, su medida de la energía tendrá una incertidumbre dada por una cantidad ∆E dada por ∆=t . Para mejorar la precisión de la medida de la energía nos llevará más tiempo. Otra forma de entender la ecuación anterior es: podemos violar la ley de conservación de la energía por “pedir prestada” una cantidad de energía ∆E siempre que “devuelva” la energía prestada dentro de un intervalo de tiempo ∆t dado por ∆=E . Si aplicamos esta idea al efecto túnel sería: de acuerdo con las reglas clásicas el electrón sólo saltará la barrera si tiene una energía adicional U-E. El principio de incertidumbre nos explica que el electrón puede “pedir prestada” esta cantidad de energía si él “la devuelve” en el tiempo que al electrón le llevaría viajar una distancia igual a la anchura de la barrera. Así el electrón se encontraría sobre la otra parte de la barrera, los balances de energía están de nuevo en equilibrio, y nadie se dará cuenta!.

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Problemas de LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA

1) Determina la energía de un fotón para: a) ondas de radio de 1.500 kHz; b) luz verde de longitud de onda 500 nm; c) Rayos-X de 0,06 nm. Considera el medio de propagación el vacío. [a) 9,9·10-28 J; b) 3,6·10-19J; c) 3,3·10-15J] 2) Una estación de radio emite con una longitud de onda de 25 m. Calcula: a) la frecuencia de las ondas electromagnéticas emitidas; b) la energía de los fotones; c) el número de fotones emitidos por segundo si la potencia de la emisora es de 6 kW. [a) 11,99·106Hz; b) 7,95·10-27J; c) 7,55·1029] 3) Un haz de luz de 400 nm incide sobre una placa de Ce, cuyo trabajo de extracción es de 1,8 eV. Calcular: a) energía máxima de los fotoelectrones; b) número de fotones emitidos por segundo y unidad de superficie para un haz de 0,001 W/m2. [a) 2,08·10-19J; b) 4,8·1015 fotones] 4) Una radiación de 1,5·10-6m incide sobre una superficie metálica y produce la emisión de fotoelectrones con una velocidad de 0,1·106m/s. Calcular: a) trabajo de extracción del metal; b) frecuencia umbral de foto emisión. [a) 1,28·10-19J; b) 1,9·1014Hz ó 1,55·10-6m] 5) Calcula la longitud de onda asociada a: a) el electrón acelerado por una diferencia de potencial de 100 V; b) el electrón de energía cinética de 1 eV; c) la bala de 10 g que se mueve a 500 m/s; d) el automóvil de 1000 kg con velocidad de 100 m/s. [a) 1,23·10-10m; b)1,23·10-9m; c) 6,6·10-39m] 6) Calcula la incertidumbre en la posición en los siguientes casos: a) electrón cuya velocidad, de 7.000 km/s, se ha medido con una incertidumbre del 0,003%; b) partícula de 50 g que se desplaza a una velocidad de 300 m/s, medida con la misma incertidumbre que en el caso anterior. [a) 5,51·10-7m; b) 2,34·10-31m] 7) Una superficie de Ni, cuyo trabajo de extracción es 5,0 eV, se irradia con luz ultravioleta de longitud de onda 200 nm. Calcule: a) la diferencia de potencial que debe aplicarse entre el Ni y un cátodo para detener totalmente los electrones emitidos; b) la energía con que estos alcanzan el ánodo si la diferencia de potencial aplicada se reduce a 1/4 del valor anterior. [a) 3,10 V; b) 6,9·10-20J] 8) Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda 200 nm, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 2 V, mientras que si la longitud de onda es 240 nm, el potencial de frenado se reduce a 1 V. Obtenga: a) el trabajo de extracción del metal; b) el valor que resulta para la constante de Planck, h, a partir de esta experiencia. Datos: e=1,6·10-19C; c=3·108m·s-1. [a) Wextrac-34J·s] ción=4eV; b) h=6,40·10 9) Calcula la función trabajo del sodio a partir de los datos siguientes: f0=4,3·1014Hz; h=6,63·10[2,9·10-19J=1,8 eV]

34J·s.

10) En un experimento fotoeléctrico en el que se utiliza una superficie de sodio, al iluminar la superficie metálica con una longitud de onda λ1=300 nm y el potencial de frenado de los fotoelectrones es de 1,85 V, mientras que si la longitud de onda es 400 nm, el potencial de frenado es de 0,820 V. A partir de estos datos calcula: a) el valor que resulta para la constante de Planck h; b) el trabajo de extracción del metal sodio; c) la longitud de onda para el sodio. [a) 6,59·10-34J·s; b) 2,27 eV; c) 544 nm] 11) El potencial de frenado para los fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada por luz de longitud de onda 491 nm es de 0,710 V. Cuando la luz incidente se cambia a un nuevo valor el potencial de frenado es de 1,43 V. a) ¿Cuál es la nueva longitud de onda?. b) ¿Cuál es la función trabajo de esa superficie?. [a) 382 nm; b) 1,82 eV] 12) Un satélite en órbita alrededor de la Tierra se puede cargar, en parte, debido a la pérdida de electrones causada por el efecto fotoeléctrico inducido por la luz del Sol sobre la superficie externa. Supongamos que el satélite está recubierto con platino, que es un metal que tiene un trabajo de extracción muy alto: 5,32 eV. Determina la mayor longitud de onda de los fotones que pueden arrancar fotoelectrones del platino. [233 nm] 13) La función trabajo del wolframio es de 4,50 eV. Calcula la velocidad de los fotoelectrones más rápidos emitidos cuando fotones de energía 5,80 eV inciden sobre una lámina de wolframio. [676 km/s] 14) Un electrón de energía cinética 12 eV se puede demostrar que tiene una velocidad de 2,06·106 m·s-1. Si consideramos que podemos medir su velocidad con una precisión del 1,50%. Determina la incertidumbre con la que simultáneamente podemos medir la posición del electrón. Dato: ’=1,055·10-34J·s [3,77 nm que es unas 71 veces en rB=52,9 pm]

© Julio Anguiano Cristóbal

LA CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA Página 15 de 15

15) La longitud de onda umbral de una célula fotoeléctrica de sodio es 5,83·10-7m. Calcule: a) la diferencia de potencial con la que debe acelerarse un electrón para que su energía cinética sea igual al trabajo de extracción del sodio; b) la longitud de onda asociada a dicho electrón, tras ser acelerado. Datos: qe=1,6·10-19C; c=3·108m·s-1; h=6,63·10-34J·s; me=9,1·10-31kg. [a) 2,13 V; b) 0,841 nm] 16) Al iluminar una superficie de wolframio con luz monocromática ultravioleta de longitud de onda 1,88·10-7 m, se obtienen fotoelectrones con energía cinética máxima Em. Si se ilumina la misma superficie con luz de longitud de onda 1,77·10-7m, la energía cinética máxima de los fotoelectrones es el triple de la anterior. Si conoces c y h calcula: a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones en las dos situaciones anteriores; b) el trabajo de extracción del wolframio.[ a) 3,21·10-19J=2 eV y 6 eV; b) 7,37·10-19J=4,6 eV] 17) Al absorber un fotón se produce en un átomo de transición electrónica entre dos niveles separados por una energía 12·10-19 J. a) Explique, energéticamente, el proceso de absorción del fotón por el átomo, ¿volverá espontáneamente el átomo a su estado inicial?. b) Si el mismo fotón incidiera en la superficie de un metal cuyo trabajo de extracción es de 3 eV, ¿se producirá emisión fotoeléctrica?. Datos: h y me. 18) Un electrón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Calcule: a) la energía cinética, la cantidad de movimiento y la longitud de onda de De Broglie del electrón acelerado; b) la frecuencia mínima de la radiación que debería incidir sobre un metal con trabajo de extracción de 3 eV, para obtener fotoelectrones de la misma energía cinética que los del apartado a).