Fisica Aplicada. Taller 2.docx

República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior. La Universidad del Zulia. Maracaibo- edo- Zulia.

Alumna: 

Blanca Patricia González Viera. Cédula: 

26.412.183 Correo:

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[email protected] Materia: 

abril de 2018

Física Aplicada

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Índice. Introducción……………………………………………………………………… 3

Constantes elásticas de los materiales……………..…………………………………………………………. 4 Péndulos………………………………………..………………………………… 7 Oscilación……………………………………….……………………………….. 14 Desplazamientos polares y variación longitudinal………………………………………………………………………..15 Conclusión…………………………………………………………………………. 18 Bibliografía………………………………………………………………………… 19

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Introducción.

Un cuerpo experimenta deformación elástica, reversible o no permanente, si el cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que le provoca la deformación. En este tipo de deformación, el sólido, al variar su estado tensional y aumentar su energía interna en forma de energía potencial elástica, solo pasa por cambios termodinámicos reversibles. Una constante elástica es cada uno de los parámetros físicamente medibles que caracterizan el comportamiento elástico de un sólido deformable elástico. A veces se usa el término constante elástica también para referirse a los coeficientes de rigidez de una barra o placa elástica.

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Constantes elásticas de los Materiales. Materiales elásticos isótropos.

Los materiales elásticos homogéneos e isótropos son los que presentan el mismo comportamiento mecánico para cualquier dirección de estiramiento alrededor de un punto. Así por ejemplo dado un ortoedro de un material homogéneo e isótropo, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson son los mismos, con independencia de sobre qué par de caras opuestas se ejerza un estiramiento. Debido a esa propiedad puede probarse que el comportamiento de un material elástico homogéneo isótropo queda caracterizado por solo dos constantes elásticas. En diversos campos son comunes las siguientes elecciones de las constantes: 





En ingeniería estructural. La elección más frecuente es el módulo elástico longitudinal y el coeficiente de Poisson (E, ν) [a veces también se usa la elección equivalente (E, G), ver más adelante]. En termodinámica de sólidos deformables resulta muy útil escoger el par (K, G) formado por el módulo de compresibilidad (isotérmica) K y el módulo elástico transversal G. Coeficientes de Lamé (λ, μ)que también aparecen en el desarrollo de Taylor de la energía libre de Helmholtz.

Así tenemos un total de seis constantes elásticas comúnmente usadas: E, ν, K, G, λ y μ. Dos cualesquiera de ellas caracterizan completamente el comportamiento elástico, es decir, dado cualquier parámetro elástico de un material puede expresarse como función de dos cualesquiera de los parámetros anteriores. Obviamente, todos estos pares de constantes elásticos están relacionados, como se resume en la siguiente tabla:

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Expresadas en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson las ecuaciones constitutivas son:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Donde:

Materiales elásticos ortótropos.

Algunos materiales elásticos son anisótropos, lo cual significa que su comportamiento elástico, en concreto la relación entre tensiones aplicadas y deformaciones unitarias es diferente para diferentes direcciones.

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Los materiales elásticos ortótropos presentan una forma común de anisotropía, en la que su comportamiento elástico queda caracterizado por una serie de constantes elásticas asociadas a tres direcciones mutuamente perpendiculares. El ejemplo más conocido de material ortótropo es la madera que presenta diferente módulo de elasticidad longitudinal (módulo de Young) a lo largo de la fibra, tangencialmente a los anillos de crecimiento y perpendicularmente a los anillos de crecimiento. El comportamiento elástico de un material ortótropo queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal (Ex, Ey, Ez), 3 módulos de rigidez (Gxy, Gyz, Gzx) y 3 coeficientes de Poisson (νxy, νyz, νzx). De hecho para un material ortótropo la relación entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor deformación viene dada por:

Donde:

Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las tensiones toman una forma algo más complicada:

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Donde:

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es simétrica ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que:

Materiales transversalmente isótropos.

Un caso particular de material ortótropo es el de los materiales transversalmente isótropos en los que existe una dirección preferente o longitudinal y todas las secciones perpendiculares a la misma son mecánicamente equivalentes. Así, en cualquier sección transversal a la dirección diferente habrá isotropía y el número de constantes elásticas independientes necesarias para caracterizar dicho material será 5 y no 9, como en el caso de un material ortotropo general. Las cinco constantes independientes serán de hecho: 2 módulos de elasticidad longitudinal (EL, Et), 1 módulo de rigidez (Gt) y 2 coeficientes de Poisson (νL, νLt). Estas constantes se relacionan con las demás constantes generales de un material ortótropo mediante estas relaciones:

Materiales anisótropos (modelo rariconstante)

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Durante las últimas décadas del siglo XIX existió una polémica entre Cauchy, Green, Poisson, Voight y otros1 sobre el número máximo que caracterizaba un material elástico anisótropo. Si bien originalmente Cauchy (1828) había aceptado que el número eran 21, algunos argumentos adicionales llevaron a pensar a Cauchy que para muchos materiales debía cumplirse además que:

por lo que el número total de constantes elásticas sería de 15. Este modelo con menos constantes elásticas se conoce como el modelo rariconsonante o la teoría rariconsonante, apoyada por Poisson, lord Kelvin, Lamé frente a la hipótesis multiconsonante (con 21 parámetros independientes) sostenida por Green, Stokes o Kirchhoff. Los experimentos decisivos de Voight demostraron que existen materiales que requieren una descripción multiconsonante y por tanto con 21 constantes. Sin embargo, experimentalmente se han encontrado también materiales con solo 15 constantes independientes.

Tensor de constantes elásticas.

Para cuerpos elásticos lineales anisótropos más generales, las relaciones entre tensión y deformaciones pueden seguir expresándose mediante un tensor de constantes elásticas o tensor de rigidez dado por:

En tres dimensiones puesto que cada uno de los índices i, j, k y l puede tener 3 valores diferentes (x, y o z), existen 34 componentes del tensor Cijkl, sin embargo, de la simetría de las componentes de tensión y deformación deben cumplirse las siguientes relaciones entre componentes:

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Así de las 3x3 = 9 componentes de los tensores tensión y deformación solo existen (3²+3)/2 = 6 valores diferentes; a partir de esto, se sigue que el tensor de constantes elásticas solo puede tener (6²+6)/2 = 21 componentes diferentes como máximo. Estas 21 componentes pueden escribirse en forma matricial del siguiente modo:

Componentes tensoriales del tensor isótropo.

Las relaciones anteriores se han escrito siempre en forma de matriz, pero para los diferentes tipos de sólidos es posible escribir también las componentes tensoriales explícitas. Para un sólido isótropo el tensor de constantes elásticas en coordenadas cartesianas viene dado por:

En un sistema de coordenadas curvilíneas (esféricas, cilíndricas, etc.) más general el tensor anterior es simplemente:

Donde es el tensor correspondientes.

métrico asociado

a

las

coordenadas

curvilíneas

Constantes elásticas para diferentes materiales.

Las constantes elásticas de un material se determinan usualmente mediante ensayos de tracción normalizados, aunque existen otros métodos alternativos como la medición de la velocidad propagación de ondas elásticas a través del medio. En el anexo

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de constantes elastoplásticas se recogen valores para el módulo de Young, el coeficiente de Poisson y el límite elástico medidos para diferentes tipos de materiales.

Péndulo

Para otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).

Péndulo simple en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.

Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México. El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente)1 es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está

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configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo. Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera. Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo, ...), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

Péndulo simple o matemático.

También llamado péndulo ideal está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo. Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento.

Para escribir la ecuación del movimiento observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria. Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

donde el signo negativo tiene en cuenta que la tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

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Período de oscilación.

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

Solución de la ecuación de movimiento.

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

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Realizando en variable puede expresarse como:

, la solución de las ecuaciones del movimiento

Donde:

El lagrangiano del sistema es , donde es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y

es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de

Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: masa no influye en el movimiento de un péndulo.

. Es decir, la

Péndulo esférico Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento, la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada por:

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Donde es el ángulo polar y es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

Oscilación.

Oscilación, término derivado del latín oscillatĭo, es una palabra que describe al acto y consecuencia de oscilar. Este verbo permite representar a los movimientos de tipo vaivén a la manera de un péndulo o, dicho de determinados fenómenos, a la intensidad que se acrecienta y disminuye de forma alternativa con más o menos regularidad. También se conoce como oscilación a cada uno de los vaivenes que se detectan en los movimientos oscilatorios. En diversos campos vinculados a la ciencia, la oscilación consiste en la transformación, alteración, perturbación o fluctuación de un sistema a lo largo del tiempo. En este sentido, hay que decir que se conoce como oscilador armónico a la clase de sistema que, cuando pierde su posición de equilibrio, regresa hacia ella a través de oscilaciones de tipo sinusoidal. En el ámbito de la climatología es importante subrayar que también se hace uso del término que ahora nos ocupa. En concreto, en dicho sector se habla de lo que se da en llamar oscilación térmica que se define como la diferencia que existe entre la

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temperatura más baja y la más alta que se ha registrado en un lugar o zona concreta en un periodo de tiempo concreto. De esta manera, a partir del estudio de la misma se puede determinar que una oscilación térmica alta es aquella que supera los 18º C, la media es la que está entre los 18º y los 10º, la baja la que es menor a 10º y finalmente la indiferente es aquella que es menor de 5º. Asimismo, en este mismo campo tampoco podemos obviar que otro tipo de oscilación térmica es el que se estudia y analiza en las llamadas series climáticas. En estas básicamente los profesionales lo que acometen es el registro y comparativa de la temperatura media del que es el mes más cálido del año y de la media del mes más frío. Además de todo lo expuesto no podemos pasar por alto que existe un fenómeno climático que se da en llamar Oscilación del Atlántico Norte. En concreto con dicha denominación lo que se intenta es hacer referencia a las diferencias de presión atmosférica que existe en aquel lugar entre el anticiclón de las Azores y la depresión islandesa. Para la física, la química y la ingeniería, toda oscilación está entendida como un movimiento que se reproduce de un lado a otro naciendo de una posición de equilibrio. Un ciclo, en este contexto, es el trayecto que se debe recorrer desde una posición hasta otra para luego regresar, de manera tal que pasa dos veces por la posición de equilibrio. La frecuencia de la oscilación, asimismo, es el número de ciclos por segundo, un dato que suele medirse en hercios (Hz).

Cabe destacar que los sonidos y las ondas electromagnéticas se producen a partir de oscilaciones. En el caso del sonido, se trata de un fenómeno basado en la propagación de ondas de tipo sonoro, las cuales provocan oscilaciones de la presión del aire. Estas ondas sonoras son transformadas por el oído del ser humano en ondas mecánicas. La onda electromagnética, por otra parte, es una forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio.

Desplazamientos polares y variación longitudinal.

Se denomina movimiento polar al desplazamiento que experimentan los polos celestes de la Tierra con respecto a los polos geográficos, como consecuencia de minúsculas desviaciones en el eje de rotación terrestre.1 Estas desviaciones son debidas a pequeñas fluctuaciones en la geometría del planeta o en su distribución de masas, bien

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sea por los desplazamientos diarios de masas de agua debidos a las mareas, a cambios en la acumulación estacional de nieve, o a otros efectos de origen incierto.2 Aunque la oscilación de los polos geográficos es de reducidas dimensiones, los satélites de posicionamiento y comunicación, así como otras instalaciones tales como los observatorios astronómicos, deben tener en cuenta este efecto y realizar las oportunas correcciones. El Servicio Internacional de Rotación de la Tierra y Sistemas de Referencia (IERS) es el organismo encargado del seguimiento y cálculo de este movimiento, que se considera impredecible a largo plazo.1

Componentes del movimiento polar.

Se considera que el movimiento polar es la combinación de tres factores distintos: dos movimientos cuasi-periódicos, y una deriva gradual.3 

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El Bamboleo de Chandler es el componente dominante del movimiento polar.1 Describe una trayectoria casi circular de entre 3 y 15 m de diámetro en un periodo de unos 14 meses. La oscilación anual, que describe un círculo menor, coincidiendo con la acumulación estacional de masas de agua.3 La deriva, en dirección hacia el meridiano 80º oeste, y cuya causa se cree es debida a movimientos en el manto terrestre y a la paulatina pérdida de hielo de Groenlandia. Esta deriva es impredecible, y se desplaza a una velocidad ligeramente superior a un metro por década.4

Además de estos tres componentes, la ubicación de los polos experimenta variaciones diarias debidas a las mareas, pero sus efectos son muy pequeños.3 También fenómenos tectónicos como los terremotos pueden alterar la posición del polo.

Hipótesis del deslizamiento polar

La hipótesis del deslizamiento polar sugiere que han ocurrido cambios geológicos muy rápidos en lo que refiere a las ubicaciones geográficas de los polos y eje de rotación de la Tierra, provocando calamidades como inundaciones y eventos tectónicos.1 La hipótesis no ha sido aceptada entre la comunidad científica. Hay evidencias de precesión y cambios en la inclinación axial, pero estos cambios han ocurrido dentro de escalas de tiempo muy largas, y no implican movimiento relativo del eje de giro con respecto al planeta. Sin embargo, en lo que es conocido como deriva o desplazamiento polar real, la Tierra puede girar con respecto a un eje fijo de rotación. Las investigaciones revelan que durante los últimos 200 millones de años ha ocurrido un

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desplazamiento polar de casi 30°, pero no han ocurrido eventos superrápidos de cambio de posición al menos dentro de este período de tiempo. La relación de cambio típica de deriva polar o desplazamiento implica solo 1° dentro de un lapso de 790 a 810 millones de años. Cuando el supercontinente Rodinia existió es probable que se hayan verificado dos eventos geológicos rápidos; en cada uno de ellos los polos magnéticos cambiaron ~55° con respecto a los polos geográficos.

Definición y clarificación.

Los polos geográficos de la Tierra son puntos sobre la superficie que son intersecados por el eje de rotación. La hipótesis del deslizamiento polar describe un cambio de localización de estos polos respecto a la superficie fundamental, un fenómeno distinto del cambio de orientación axial respecto del plano de la eclíptica que son causadas por la precesión y nutacion, y de la verdadera deriva polar. La hipótesis del deslizamiento polar no está conectada con la teoría geológica de la tectónica de placas, la cual es una teoría bien aceptada y que concibe la idea de una superficie terrestre formada por placas sólidas que cambian de posición y se ubican sobre una astenósfera líquida; ni con la deriva continental. El corolario de las placas tectónicas que sustenta que las ubicaciones de los continentes se han movido lentamente sobre la cara de la Tierra, tiene como resultado el surgir y la ruptura gradual de continentes y océanos en periodos de cientos de millones de años. La hipótesis del deslizamiento polar no es lo mismo que la reversión geomagnética del campo de la Tierra (cambio real de los polos magnéticos norte y sur).

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Conclusión.

Un sólido elástico lineal e isótropo queda caracterizado sólo mediante dos constantes elásticas. Aunque existen varias posibles elecciones de este par de constantes elásticas, las más frecuentes en ingeniería estructural son el módulo de Young y el coeficiente de Poisson (otras constantes son el módulo de rigidez, el módulo de compresibilidad, y los coeficientes de Lamé).Las constantes elásticas de un material se determinan usualmente mediante ensayos de tracción normalizados, aunque existen otros métodos alternativos como la medición de la velocidad propagación de ondas a través del medio

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Bibliografía.

https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo https://definicion.de/oscilacion/ https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_polar https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_deslizamiento_polar