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$ F sica III

Escola Politecnica - 2004 ~ FGE 2203 - 1a AVALIAC  AO

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15 de abril de 2004

} Esta avaliaca~o tem 100 minutos de durac~ao. } E proibida a consulta a colegas, livros e apontamentos. } Escreva de forma legvel. } E proibido o uso de calculadoras. } Resolva cada quest~ao na folha apropriada. } N~ao ser~ao aceitas respostas sem justi cativas

 

Quest~ao 1 Um condutor formado por duas hastes 1 e 2, cada uma de comprimento L, esta num plano (x; y) como e visto na gura abaixo. Uma haste esta ao longo do eixo x e a outra ao longo do eixo y. Sobre o condutor ha uma carga Q uniformemente distribuda. Pede-se para determinar, no ponto P sobre o eixo y com coordenada y = h > L (veja a gura), y (1,0 ponto)

(a) O campo eletrico E~ (P ) gerado pela haste 1.

(1,0 ponto)

(b) O campo eletrico E~ (P ) gerado pela haste 2.

(0.5 ponto)

(c) O campo eletrico E~ (P ), devido as duas hastes.

(1)

P=(0, h)

(2)

L

2 1

L

x

(a) Haste 1:

= dx;

dq

sen 

= h=r;

cos 

= x=r;

r

=

p

+x

h2

2

z dEz

dE θ

P

dEx r h θ

x

(1)

Ez

(1)

Ex

=

Z

sen 

Z

=

cos 

=

dq r

2

dq r2

ZL

h 0

=

ZL

h 0

(h + x ) = dx

2 3=2

2

(2)

Ez

=

Z

dq

= dy;

dq r

2

(c) Campo total:

=

ZL

 0

~ E

(h

2

L 2 1=2 x 0



2 3 2

2

= Ex ~{ + Ez (1)

(1)

0

L =  h (h + L ) = 2

= 



2 1 2

1 (h + L ) = 2

2 1 2

~ k

y

=  h y)

dy

2

= Ex ~{ + (Ez + (1)

(h + ) 2

h

L 2 1=2 x

x

(h + x ) = = (h + )

=h

r



x dx

~ (1) E

(b) Haste 2:

x

dq

(1)

1

(2)

Ez

L y 0

) ~k

= (hLL)h ;

~ (2) E

= Ez

(2)

~ k

1 h

 

Quest~ao 2 (1,5 ponto)

(1,0 ponto)

(a) Calcular o potencial eletrico V (x) no ponto P do eixo da coroa circular que aparece na gura abaixo , que tem uma carga Q distribuda uniformemente sobre ela e raios interno e externo iguais a a e b, respectivamente. (b) Qual e o campo eletrico criado pela coroa no ponto P ?

b

r

a

P x

(a) O potencial devido ao anel de raio r e largura dr e dado por ( ) = 2 (x +rdrr ) =

dV x

Zb

=) V (x) = 2 (x +rdrr ) = = 2 a 2

2

p

2 1 2

x2

2 1 2

b

+ r a = 2 2

p

h

b2

(b) Calculo do campo ( )=

E x

dV dx

= 2x



p 1 a +x 2

2

p 1 b +x 2

 2

+x

2

p

a2

+x

i 2

 

Quest~ao 3 Um o com 15m de comprimento e secca~o reta circular com di^ametro de 2; 5mm de metal condutor e usado para transportar correntes. A resist^encia entre as suas extremidades e de R = 0; 10 . (0,5 ponto)

(1,0 ponto)

(1,0 ponto)

(a) Qual e a resistividade  do material? (b) Sabendo que o modulo do campo eletrico no interior do condutor e igual a E = 1; 3 V =m, qual e a corrente eletrica total I ? (c) Suponha que a resistividade do metal n~ao seja constante e dependa da dist^ancia x medida entre os pontos inicial x = 0 e nal x = 15m. Assim, sendo (x) = Cx, calcule o valor da constante C para que a resist^encia do o seja igual a R = 0; 10 .

D^e suas respostas com 1 algarismo signi cativo

(a) A resist^encia R e dada por R

=  A` ; onde

= ( 2; 5 2 10 )  5  10 3

A

2

6

=)  = R A` = 0; 10 155  10  3  10 m 6

8

(b) A densidade de corrente J pode ser calculada pela lei de Ohm E AE 5  10  1; 3  2  10 A I = E = = ) I = = J = A   3  10 6

2

8

(c) A resist^encia R e calculada por integrac~ao R

=

Z15

0

( ) = C x = 225C A A 2 2A 2 15

 x dx

0

AR  0; 10  4  10

=) C = 2225 = 2  5  10 225 6

9

 

Quest~ao 4 Considere uma placa isolante in nita com uma densidade super cial de carga  > 0, constante. Uma pequena partcula com carga q < 0 encontra-se sobre esta placa a uma altura h, conforme mostra a gura. Ha um pequeno orifcio no plano, diretamente embaixo da partcula. Suponha que os efeitos deste orifcio sobre o campo eletrico gerado pela placa sejam desprezveis. q<0

z

h

+ + + + + + + + + + + +

(1,0 ponto)

(0.5 ponto)

(1,0 ponto)

(a) Use a lei de Gauss para calcular o campo eletrico devido a placa in nita em todo e espaco. (b) Calcule a diferenca de energia potencial eletrico entre a posica~o inicial e a posic~ao em que a partcula atravessa o orifcio (z = 0). (c) Faca um esboco do gra co da velocidade da carga de prova em func~ao do tempo.

(a) Por simetria o campo eletrico e perpendicular ao plano. Utilizaremos a lei de Gauss com uma superfcie cilndrica. E

∆A

σ

E

I




~ dA ~ E

= 2E
A = 
 A =) E = 2 0

0

(b) A diferenca de energia potencial e dada por
U = qEh = qh 2 0

(c) A partcula vai oscilar entre z = h e z = h < z < 0 e 0 < z < h.

h

com acelerac~ao constante nos trechos

v(t) τ

t

τ 2 passou pelo furo

Formulario Z

(a + x ) = a (a + x ) = ; dx

2

x

2 3= 2

2

2

2 1 2

Z

1

(a + x ) = (a + x ) = ; x dx

2

2 3=2

2

2 1 2

Z

(a + x ) = xdx

2

2 1=2

p

a2

+x

2