Firman Jamaludin 1414151019.docx

MAKALAH Aplikasi Rotasi / Perputaran (Kipas Angin) Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mandiri Mata Kuliah : Geometri Analitik Dosen Pengampu : Nurma Izzati, M. Pd.

Di Susun oleh : Firman Jamaludin

1414151019

TADRIS MATEMATIKA A / III INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON 2015

LANDASAN TEORI

TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain : 

Translasi (Pergeseran)



Refleksi (Pencerminan)



Rotasi (Perputaran)



Dilatasi (Penskalaan)

A. TRANSLASI / PERGESERAN Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. a.Tranlasi oleh titik :

Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’). Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) 𝑻=(

𝒂 ) 𝒃

𝑷(𝒙, 𝒚)

𝑷’(𝒙 + 𝒂, 𝒚)

 𝒃) 𝐴𝑡𝑎𝑢+𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝒙 𝒙+𝒂 𝒂 𝒙′ ൬ ′ ൰ = ቀ𝒚ቁ + ቀ ቁ = (𝒚 + 𝒃) 𝒃 𝒚 dimana :

a. menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-) b. menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) b. Tranlasi pada garis

Dari gambar dibawahmerupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b) sama halnya dengan translasi pada titik, 𝒙’ = 𝒙 + 𝒂 atau 𝒙 = 𝒙’ − 𝒂 𝒚’ = 𝒚 + 𝒃 atau 𝒚 = 𝒚’ − 𝒃 untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x’ dan y’ ke persamaan garis tersebut, didapat: 𝒚’ − 𝒃 = 𝒎(𝒙’ − 𝒂) + 𝒄

B. REFLEKSI / PENCERMINAN Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan. Refleksi terhadap sumbu x Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka : 𝑥’ = 𝑥 𝑦’ = −𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = 𝟏. 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝒚’ = 𝟎. 𝒙 + (−𝟏). 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙 𝒙′ 𝟏 𝟎 ൬ ൰=ቀ ቁቀ ቁ 𝒚′ 𝟎 −𝟏 𝒚

Refleksi terhadap sumbu y

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka : 𝑥’ = −𝑥 𝑦’ = 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = (−𝟏). 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝒚’ = 𝟎. 𝒙 + 𝟏. 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙′ −𝟏 𝟎 𝒙 ൬ ൰=ቀ ቁቀ ቁ 𝒚′ 𝟎 𝟏 𝒚

Refleksi terhadap garis y = x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka : 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥’ = 𝑦 𝐴𝑃’ = 𝐵𝑃 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦’ = 𝑥 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = 𝟎. 𝒙 + 𝟏. 𝒚 𝒚’ = 𝟏. 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙′ 𝟎 𝟏 𝒙 ൬ ൰=ቀ ቁቀ ቁ 𝒚′ 𝟏 𝟎 𝒚

Refleksi terhadap garis y = -x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka 𝐴𝑃’ = 𝐵𝑃 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 𝑥’ = 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥’ = −𝑦 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 𝑦’ = 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦’ = −𝑥 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = 𝟎. 𝒙 + (−𝟏). 𝒚 𝒚’ = (−𝟏). 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙′ 𝟎 −𝟏 𝒙 ൬ ൰=ቀ ቁ ቀ𝒚ቁ 𝒚′ −𝟏 𝟎

Refleksi terhadap (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka: 𝑂𝐴 = 𝐵𝑃 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 𝑥’ = 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥’ = −𝑥 𝐴𝑃’ = 𝑂𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 – 𝑦’ = 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦’ = −𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = (−𝟏). 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝒚’ = 𝟎. 𝒙 + (−𝟏). 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙 𝒙′ −𝟏 𝟎 ൬ ൰=ቀ ቁ ቀ𝒚ቁ 𝒚′ 𝟎 −𝟏

Refleksi terhadap garis x = h

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis x = h maka: Untuk sumbu x : 𝑂𝐴 = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑂𝐵 = ℎ 𝐴𝐵 = ℎ – 𝑥 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = ℎ – 𝑥 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐶 𝑥’ = ℎ + ℎ – 𝑥 𝒙’ = 𝟐𝒉 – 𝒙 Untuk sumbu y: 𝐶𝑃’ = 𝐴𝑃 𝒚’ = 𝒚

Refleksi terhadap garis y = k Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka: Untuk sumbu x: 𝐶𝑃’ = 𝐴𝑃 𝒙’ = 𝒙 Untuk sumbu y: 𝑂𝐴 = 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑂𝐵 = 𝑘 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 = 𝑘 – 𝑦 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝑘 – 𝑦 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐶 𝑦’ = 𝑘 + 𝑘 – 𝑦 𝒚’ = 𝟐𝒌 – 𝒚

Refleksi pada garis sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 direfleksikan terhadap :

a. 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 Dengan : 𝑥’ = 𝑥 dan 𝑦’ = −𝑦 bayangannya adalah : 𝐴(𝑥) + 𝐵(−𝑦) + 𝑐 = 0 b.𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 Dengan : 𝑥’ = −𝑥 dan 𝑦’ = 𝑦 bayangannya adalah : 𝐴(−𝑥) + 𝐵(𝑦) + 𝑐 = 0 c. 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = 𝑥 Dengan : 𝑥’ = 𝑦 dan 𝑦’ = 𝑥 bayangannya adalah : 𝐴(𝑦) + 𝐵(𝑥) + 𝑐 = 0 d. 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = −𝑥 Dengan : 𝑥’ = −𝑦 dan 𝑦’ = −𝑥 bayangannya adalah : 𝐴(−𝑦) + 𝐵(−𝑥) + 𝑐 = 0

e.𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 (0,0) Dengan : 𝑥’ = −𝑥 dan 𝑦’ = −𝑦 bayangannya adalah : 𝐴(−𝑥) + 𝐵(−𝑦) + 𝑐 = 0 f.𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 = ℎ Dengan : 𝑥’ = 2ℎ – 𝑥 dan 𝑦’ = 𝑦 bayangannya adalah : 𝐴(2ℎ – 𝑥 ) + 𝐵(𝑦) + 𝑐 = 0 g. 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = 𝑘 Dengan : 𝑥’ = 𝑥 dan 𝑦’ = 2𝑘 – 𝑦 bayangannya adalah : 𝐴(𝑥) + 𝐵(2𝑘 – 𝑦) + 𝑐 = 0

3.

ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu Rotasi dengan pusat (0,0) 

 



𝐷𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑂𝐴𝑃: 𝑂𝐴 = 𝑂𝑃 𝑐𝑜𝑠  −> 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠  𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 𝑠𝑖𝑛  −> 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝐷𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑂𝐵𝑃: 𝑂𝐵 = 𝑂𝑃’ 𝑐𝑜𝑠 ( + ) 𝑥’ = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 ( + ) 𝑥’ = 𝑟 𝑐𝑜𝑠  𝑐𝑜𝑠  − 𝑟 𝑠𝑖𝑛  𝑠𝑖𝑛  𝑥’ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠  − 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝐵𝑃’ = 𝑂𝑃’ 𝑠𝑖𝑛 ( + ) 𝑦’ = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ( + ) 𝑦’ = 𝑟 𝑠𝑖𝑛  𝑐𝑜𝑠  + 𝑟 𝑐𝑜𝑠  𝑠𝑖𝑛  𝑦’ = 𝑦 𝑐𝑜𝑠  + 𝑥 𝑠𝑖𝑛  𝑗𝑎𝑑𝑖,

𝒙’ = 𝒙 𝒄𝒐𝒔  − 𝒚 𝒔𝒊𝒏 𝒚’ = 𝒙 𝒔𝒊𝒏  + 𝒚 𝒄𝒐𝒔  𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙′ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 −𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒙 ൬ ൰=ቀ ቁቀ ቁ 𝒚′ 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒚 Rotasi dengan pusat M(a , b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka: 𝒙’ – 𝒂 = (𝒙 – 𝒂) 𝒄𝒐𝒔  − (𝒚 – 𝒌) 𝒔𝒊𝒏 𝒚’ – 𝒃 = (𝒙 – 𝒃) 𝒔𝒊𝒏  + (𝒚 – 𝒃) 𝒄𝒐𝒔 

4.

DILATASI / PENSKALAAN Dilatasi dengan pusat (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka: 𝑂𝑃’ = 𝑘 𝑥 𝑂𝑃 −  

𝑂𝑃′ =𝑘 𝑂𝑃

𝑂𝑃1′ 𝑂𝑃′ 𝑥′ = 𝑂𝑃 → 𝑥 = 𝑘 → 𝑥′ = 𝑘𝑥 𝑂𝑃1 𝑃′𝑃1′ 𝑂𝑃′ 𝑦′ = 𝑂𝑃 → 𝑦 = 𝑘 → 𝑦′ = 𝑘𝑦 𝑃𝑃1

𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘: 𝒙’ = 𝒌. 𝒙 + 𝟎. 𝒚 𝒚’ = 𝟎. 𝒙 + 𝒌. 𝒚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠: 𝒙′ 𝒌 𝟎 𝒙 ൬ ൰=ቀ ቁቀ ቁ 𝒚′ 𝟎 𝒌 𝒚

Dilatasi dengan pusat (a,b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka:

𝒙’ = 𝒂 + 𝒌(𝒙 – 𝒂) 𝒚’ = 𝒃 + 𝒌(𝒚 – 𝒃)

PEMBAHASAN

Penerapan Rotasi / Perputaran pada Kipas Angin

Kipas angin merupakan salah satu alat elektronik yang paling umum digunakan oleh banyak orang karena di Indonesia khususnya merupakan negara tropis yang panas dan juga harga kipas angin yang sukup terjangkau bila dibandingkan dengan AC (Air Conditioner). Namun pernahkan anda berpikir bagaimana sih kipas angin dapat berfungsi sehingga menghasilkan / memperoleh angin? Yang jelas semua hal tersebut tidak akan terjadi jika hanya menggunakan baling – baling datar. Semua itu terjadi karena berputarnya baling – baling yang sehingga menghasilkan angin sebagai hasil dari perputaran baling – baling tersebut. Gambar disamping kiri menunjukaan jika 1 baling - baling datar dilihat dari atas dan di gerakkan secara maju seolah - olah ketika baling baling akan berputar. Karena datar makan tidak terjadi apa apa kecuali baling - baling yang bergerak. Bedakan dengan gambar disamping kanan: Gambar disamping menunjukkan baling baling miring yang sedang bergerak maju seolah - olah baling - baling yang sedang berputar. Karena bentuknya yang miring maka ketika di depannya ada angin, angin akan mengikuti bentuk kemiringan baling baling sehingga akan bergerak ke arah tertentu (searah jarum jam ). Gambaran diatas hanya untuk satu baling baling. Jika ada 4 ? kalikan saja 4. Jika kecepatannya di ditingkatkan maka tentu saja banyaknya angin yang di pindahkan akan semakin banyak.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.academia.edu http://rumus-matematika.com http://bisakimia.com

LAMPIRAN