Finanzas Para No Financieros Sesiones 2 Y 3.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO MINERÍA EDUCACIÓN CONTINUA Y A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: FINANZAS PARA NO FINANCIEROS PROFESOR: DR. ELIO AGUSTÍN MARTÍNEZ MIRANDA [email protected]

Palacio de Minería, Ciudad de México. 5, 6, 7, 8 y 9 de noviembre de 2018

Introducción y objetivo del curso OBJETIVO: Al finalizar el curso, el participante

conocerá los fundamentos de las Matemáticas Financieras, además de cada una de las partidas de los estados financieros y su interpretación; se hará un análisis integral los estados financieros de una empresa aplicando técnicas como el análisis vertical, los índices financieros; además de conocer el concepto de Capital de Trabajo; y finalmente se revisarán integralmente las variables para evaluar las Inversiones de Capital y tener una empresa perfectamente rentable.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes Empresa Es una entidad que realiza una actividad encaminada a un fin socioeconómico. Por lo tanto, aquella que logre una mayor armonía y coordinación de los factores y recursos productivos disfrutará de una mejor posición económica financiera.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes Solvencia Significa contar con el potencial de generar los recursos necesarios o suficientes para cubrir las deudas. Mediante el estudio de la solvencia se mide la capacidad de pago que tiene el negocio para cumplir con sus obligaciones a corto plazo.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes Estabilidad Situación de equilibrio que garantiza el desarrollo normal y continuo de la actividad. El análisis de la misma determina si la empresa está en condiciones de hacer frente a sus obligaciones futuras.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes Rentabilidad Es la capacidad que posee un negocio para generar utilidades, lo cual se refleja en los rendimientos alcanzados. Con el estudio de la rentabilidad se mide principalmente la eficiencia de los directores y administradores de la empresa, ya que en ellos descansa la dirección de ésta.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes Costo de oportunidad del capital Rentabilidad esperada de la inversión financiera a la que se renuncia por invertir en un proyecto económico de riesgo similar.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes FINANZAS Es la disciplina que, mediante el auxilio de otras, tales como la Contabilidad, el Derecho y la Economía, trata de optimizar el manejo de los recursos humanos y materiales de la empresa, de tal suerte que, sin comprometer su libre administración y desarrollo futuros, obtenga un beneficio máximo y equilibrado para los dueños o socios, los trabajadores y la sociedad.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Conceptos importantes FINANZAS El objetivo de las Finanzas es: Maximizar el valor económico de la empresa. ¿y/o? Maximizar el valor de los accionistas.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras ÁREAS Y TEMAS DE LAS FINANZAS Finanzas Corporativas

Finanzas Bursátiles

Finanzas Académicas

Finanzas Prácticas

Finanzas Personales

Finanzas Empresariales

Finanzas Públicas

Finanzas Privadas

Finanzas Cualitativas

Finanzas Cuantitativas

Finanzas Digitales Financial Technology (Fintech)

Finanzas Cuánticas

Contabilidad Financiera

Ingeniería Financiera

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras ÁREAS Y TEMAS DE LAS FINANZAS Finanzas de la Energía

Cultura Financiera

Evaluación Financiera de Proyectos

Evaluación Socioeconómica de Proyectos

Algorithmic Trading

Machine Learning en Finanzas

High-Frequency Trading

Deep Learning en Finanzas

Opciones Reales

Finanzas Rurales

Finanzas Bancarias

Finanzas Familiares

Finanzas Computacionales

Finanzas Conductuales

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras ÁREAS Y TEMAS DE LAS FINANZAS Finanzas Nacionales

Finanzas Internacionales

Finanzas para No Financieros

Finanzas para Abogados

Marco Jurídico de las Finanzas

Finanzas para Emprendedores

Economía Financiera

Administración del Riesgo

Finanzas Matemáticas

Big Data en Finanzas

Phynance

Inteligencia Financiera

Maestría en Finanzas

Doctorado en Finanzas

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo En una economía donde las preferencias de consumo temporales de los individuos, resultan en premiar a los que sacrifican el consumo actual por el consumo futuro, un individuo dejaría de consumir un $1 peso hoy, porque al hacerlo le reportará más de $1 peso dentro de un periodo de tiempo.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo En este caso decimos que invertiría su peso en lugar de consumirlo, si al hacerlo le reportara al final del periodo un rendimiento por la utilización de su peso cuya magnitud fuera interesante.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo Si el individuo guarda su peso en la bolsa y no lo consume, ni lo invierte, al final del año tiene un costo de oportunidad, dado por la ganancia que pudo haber obtenido al invertir el peso.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo Esto nos sugiere que el valor del dinero no está asignado únicamente por el monto del mismo, sino también por el momento en el que se recibe o se gasta y es por tanto importante reconocer que el dinero tiene valor a través del tiempo.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo El valor presente de $100 pesos dentro de un año debe ser menor que $100 pesos. Es decir, un peso hoy vale más que un peso mañana, debido a que un peso hoy puede invertirse para comenzar a obtener intereses inmediatamente. Éste es el primer principio financiero fundamental.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo

Tasa de interés

Precio del dinero

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo

La frase valor del dinero en el tiempo significa que un peso en la mano hoy vale más que un peso prometido en algún momento futuro.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor del dinero en el tiempo

Valor del dinero en el tiempo Teoría financiera Modelos financieros de valuación

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Así, el valor presente (VP) de un cobro aplazado puede hallarse multiplicando el cobro por un factor de descuento, que es menor que 1. VP = Factor de descuento x Cobro aplazado Si el factor de descuento fuese mayor que 1, un peso hoy valdría menos que un peso mañana.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Si C1 es el cobro (o flujo de efectivo) esperado en el periodo 1 (un año a partir de ahora), entonces: Valor Presente (VP) = Factor de descuento x C1. Este factor de descuento es el valor hoy de $1 recibido en el futuro.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Por lo general, se expresa el factor de descuento como el inverso de 1 más la tasa de rentabilidad r, es decir: Factor de descuento =

1 . 1 r

La tasa de rentabilidad r es la recompensa que el inversionista exige por la aceptación de un pago aplazado.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Para calcular el valor presente, descontamos los cobros futuros esperados a la tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables. Esta tasa de rentabilidad suele ser conocida como la tasa de descuento, tasa mínima o costo de oportunidad del capital. Se le llama costo de oportunidad porque es la rentabilidad a la que se renuncia al invertir en un proyecto en lugar de invertir, por ejemplo, en títulos.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Ejemplo de valor presente de un periodo: Supongamos que requerimos $400 pesos para comprar libros de texto el año siguiente. Podemos ganar 7% sobre el dinero. ¿Qué cantidad de fondos tendremos que aportar? Necesitamos conocer el valor presente de $400 pesos dentro de un año a 7%. De esta manera: Valor presente x 1.07 = $400.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Podemos ahora encontrar el valor presente: Valor presente = $400 x

1  $373.83. 1  0.07 

De este modo, $373.83 pesos es el valor presente. Esto significa simplemente que invertir esta cantidad durante un año a 7% dará como resultado que tengamos un valor futuro de $400 pesos. Nota: 7% = 7 /100 = 0.07.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente En el ejemplo anterior identificamos los siguientes factores y parámetros:

C1 = $400 1 1 Factor de descuento =  . 1  r 1  0.07

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente El valor presente de $1 peso que se recibirá en el futuro, se obtiene generalmente como: 1 $1 VP  $1 x  . 1  r  (1  r )

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Ejemplo de valores presentes para periodos múltiples: Supongamos que necesitamos $1,000 pesos dentro de 2 años. Si podemos ganar 7%, ¿cuánto debemos invertir para asegurarnos que tendremos los $1,000 pesos cuando los necesitemos? En otras palabras, ¿cuál será el valor presente de $1,000 pesos dentro de 2 años si la tasa relevante es de 7%?

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Como sabemos que la cantidad invertida deberá crecer hasta $1,000 pesos a lo largo de 2 años, el caso deberá ser el siguiente: $1,000 = VP x 1.07 x 1.07 = VP x 1.072 = VP x 1.1449 Por lo tanto: Valor presente = $1,000 x

1  $873.44. 1.1449

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente Como se puede notar el valor presente de $1 peso que se vaya a recibir t periodos hacia el futuro a una tasa de descuento r, es: VP  $1 x

1

1  r 

t



$1

1  r 

t

.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro El valor futuro (VF) se refiere al monto que llegará una inversión a lo largo de algún tiempo, a una tasa de interés dada. Dicho de otra manera, el valor futuro es el valor en efectivo de una inversión en algún momento en el futuro.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Ejemplo de inversiones de un periodo: Supongamos que invertimos $100 pesos en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés anual. ¿Qué cantidad tendremos dentro de un año?

Tendremos $110 pesos. Es decir, los $110 pesos serán iguales a nuestro capital original de $100 pesos más los $10 pesos de intereses que hemos ganado.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Decimos entonces que los $110 pesos son el valor futuro de $100 pesos invertidos a un año al 10%; lo que significa que $100 pesos de hoy valdrán $110 pesos dentro de un año, dado que la tasa de interés es de 10%. En términos generales, si invertimos a un periodo, a una tasa de interés r, nuestra inversión crecerá a (1 + r) por cada peso invertido.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro En nuestro ejemplo, r es de 10%, y nuestra inversión crecerá a 1 + 0.10 = 1.10 pesos por cada peso invertido. Así, nuestra inversión de $100 pesos, terminará con:

$100 x 1.10 = $110 pesos. *Nota: 10% = 10 / 100 = 0.10

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Ejemplo de inversiones de más de un periodo: En nuestra inversión de $100 pesos, ¿qué cantidad acumulará dentro de 2 años, suponiendo que la tasa de interés no cambia (10%)? Si dejamos la totalidad de los $110 pesos en el banco, ganaremos ahora $110 x .10 = $11 pesos de intereses durante el segundo año, y tendremos un total de $110 + $11 = $121 pesos. Es decir, estos $121 pesos son el valor futuro de $100 pesos dentro de dos años al 10% anual.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Estos $121 pesos tienen 4 partes:  La primera parte es el capital original de $100 pesos.  La segunda son los $10 pesos de intereses que ganamos en el primer año.  La tercera son los otros $10 pesos que obtuvimos en el segundo año, lo cual da un total de $120 pesos.  La cuarta parte son los intereses que ganamos en el segundo año sobre el interés pagado en el primero: $10 x .10 = $1 peso.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro El proceso de no disponer durante más de un periodo del dinero y de cualesquier intereses acumulados por una inversión, reinvirtiendo de este modo el interés, recibe el nombre de composición o capitalización. La capitalización de los intereses significa ganar intereses sobre intereses, y a esto se le conoce usualmente como interés compuesto. Bajo un interés simple, el interés no es reinvertido, y por lo tanto los intereses se ganan en cada periodo sólo sobre el capital original.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro A continuación, haremos una revisión más profunda del procedimiento para el calcular el valor futuro de $121 pesos. Multiplicamos $110 pesos por 1.1 para obtener $121; sin embargo, estos $110 pesos también son equivalentes a $100 pesos multiplicados por 1.1. Es decir: $121 = $110 x 1.1 = ($100 x 1.1) x 1.1 = $100 x (1.1 x 1.1) = $100 x 1.12 = $100 x 1.21

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Obviamente, si queremos saber a qué cantidad crecerían nuestros $100 pesos después de 3 años, una vez más, dentro de 2 años, estaremos invirtiendo $121 pesos en un periodo al 10%, entonces tenemos lo siguiente: $133.10 = $121 x 1.1 = ($110 x 1.1) x 1.1 = ($100 x 1.1) x 1.1 x 1.1 = $100 x (1.1 x 1.1 x 1.1) = $100 x 1.13 = $100 x 1.331

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Por lo tanto, el patrón del valor futuro de $1 peso invertido a lo largo de t periodos a la tasa r por periodo es:

VF = $1 x (1  r )t . La expresión (1 + r)t recibe algunas veces el nombre de factor de interés a valor futuro (o simplemente factor a valor futuro) por $1 peso invertido al r% durante t periodos.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro En el ejemplo anterior, ¿cuánto valdrían los $100 pesos después de 5 años? Primero, podemos calcular el factor de valor futuro como: (1 + r)t = (1 + .10)5 = 1.15 = 1.6105. Por lo tanto, los $100 pesos crecerán hasta alcanzar un valor de: $100 x 1.6105 = $161.05.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Ejemplo “exagerado”: El efecto de la capitalización no es muy grande en periodos cortos, pero empieza a aumentar a medida que crece el horizonte de tiempo. Supongamos que uno de nuestros ancestros hubiera invertido $5 pesos para nosotros a una tasa de interés de 6% hace 200 años. ¿Qué cantidad tendríamos el día de hoy? El factor a valor futuro es igual a la sustancial cantidad de 1.06200 = 115,125.90, y por lo tanto, tendríamos $5 x 115,125.90 = $575,629.52 el día de hoy.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor futuro Observemos que el interés simple es igual a $5 x .06 = $0.30 por año. Después de 200 años, esto asciende a $60 pesos. El resto proviene de las reinversiones. ¡Tal es el poder del interés compuesto!

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valor presente vs valor futuro Factor de valor futuro = 1  r  . t

Factor de valor presente =

1

1  r 

t

.

Si VFt representa el valor futuro después de t periodos, entonces la relación entre el valor presente y el valor futuro es: VP x (1  r )t  VFt . VFt 1 VP   VFt x . t t (1  r ) (1  r )

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Tasa nominal: La tasa nominal es la tasa a interés simple. Tasa efectiva: Es la tasa a interés compuesto.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva La tasa de interés nominal se expresa mediante un %, y representa la remuneración a un capital por un tiempo determinado. Es muy importante saber que se expresa anualmente aunque puede generar intereses más de una vez al año. Para conocer estos intereses generados, en el caso de que sea más de una vez al año, debemos calcular la tasa efectiva.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Por lo tanto, la tasa nominal no debe ser nuestra guía, ya que no tiende a expresar los intereses reales que tenemos que pagar por un préstamo. Cuando no existe capitalización de intereses, la tasa nominal es igual que la efectiva. La tasa efectiva se diferencia de la tasa nominal que hace caso omiso de la capitalización. Con la tasa efectiva, podemos representar el efecto de la reinversión de los intereses.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Si la tasa efectiva anual se designa con I, mientras que la tasa nominal anual se designa con R, se tiene la siguiente relación: N

R  I  1    1.  N Donde N es el número de periodos de capitalización por año. De la expresión anterior se observa que I > R cuando N > 1.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva La tasa efectiva es útil para describir el efecto de la capitalización del interés que se genera sobre el interés durante un año. La siguiente tabla muestra las tasas efectivas para varias tasas nominales y periodos de capitalización.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Tasas efectivas para varias tasas nominales Capitalización Capitalización por año (N) Anual Semestral Trimestral Bimestral Mensual Diaria

1 2 4 6 12 365

Tasas efectivas para tasas nominales de 6% 6.00 6.09 6.14 6.15 6.17 6.18

8% 8.00 8.16 8.24 8.27 8.30 8.33

10% 10.00 10.25 10.38 10.43 10.47 10.52

12% 12.00 12.36 12.55 12.62 12.68 12.75

15% 15.00 15.56 15.87 15.97 16.08 16.18

24% 24.00 25.44 26.25 26.53 26.82 27.11

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Ejemplos de cálculo: 2

 0.06  I  1    1  0.0609  6.09% 2   4

 0.06  I  1    1  0.0614  6.14% 4   6

 0.06  I  1    1  0.0615  6.15% 6   12

 0.06  I  1    1  0.0617  6.17% 12    0.06  I  1   365  

365

 1  0.0618  6.18%

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Ejemplo: Un banco cobra una tasa de interés del 1.375% mensual. Afirma que la tasa de interés anual es del 12 x 1.375% = 16.5%. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual que cobra el banco? Usando la ecuación: Entonces:

N

R  I  1    1.  N 12

 0.165  I  1    1  0.1781  17.81%. 12  

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Ejemplo: En el interés simple, la tasa del 12% anual es proporcional al 6% semestral, al 3% trimestral y al 1% mensual. Además de la proporcionalidad de las tasas anteriores, ya que en ellas existe la misma relación entre sus valores y los periodos a que se refieren, son a su vez equivalentes, a pesar de referirse a distintos periodos en igual tiempo, producen un mismo monto.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Así, vemos que $100,000 pesos al 12% en un año generan un monto de $112,000 pesos. Y si invertimos el mismo capital al 6% semestral en 2 semestres ($6,000 pesos cada semestre), formará exactamente el mismo monto, es decir, $112,000 pesos. En conclusión: a interés simple, las tasas proporcionales son también equivalentes; pero no en el interés compuesto, debido a la capitalización de los intereses.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Ejemplo: Supongamos que invertimos la cantidad de $100 pesos al 3% mensual efectivo durante dos meses. Pasado el primer mes obtendremos $103 pesos, pero pasado el segundo mes, $106.09 pesos [($103 x 0.03) + 103], ya que la tasa de interés del segundo mes se aplica sobre el monto actual que tenemos de $103. Al estar operando con una tasa efectiva, no podemos decir que un 3% mensual equivale a un 36% anual, ya que la tasa efectiva genera intereses sobre los intereses generados, mientras que la nominal anual no.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa nominal y tasa efectiva Ejemplo: Si invertimos $100 al 3% efectivo mensual, mediante la formula de la tasa de interés compuesto obtenemos lo siguiente: VF= $100 x (1 + 0.03)12= $142.58 pesos. Por tanto, si queremos expresar esta misma tasa efectiva del 3% mensual anualmente sería: $142.58 – $100 = 42.58%. Si invertimos $100 pesos al 36% (3% x 12 meses) anual, el valor final sería $136 pesos.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Tasa de interés real La tasa real es el tipo de interés esperado, teniendo en cuenta la pérdida de valor que sufre el dinero como causa de la inflación. La rentabilidad que espera obtener un inversionista coincide con la tasa de interés real esperada. Si un banco nos ofrece una tasa de interés nominal del 4% y la inflación es del 2.5%, el interés real será de 1.5% (4% - 2.5%).

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Fórmula de interés compuesto R  VF  VP 1    N

M xN

.

Donde:

VF = Valor futuro VP = Valor presente R = Tasa nominal M = Plazo en años N = Número de etapas de capitalización por año

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Fórmula de interés compuesto Ejemplo: Queremos invertir $200,000 a una tasa del 5% anual durante un periodo de 3 años, capitalizándose: a) Semestralmente b) Trimestralmente

c) Mensualmente d) Diariamente

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Fórmula de interés compuesto  0.05  Semestralmente: VF  $200, 000 1   2  

2x3

 0.05  Trimestralmente: VF  $200, 000  1   4  

 $231,939. 4x3

 $232,151.

12x3

 0.05  Mensualmente: VF  $200, 000 1   12    0.05  Diariamente: VF  $200, 000  1   360  

 $232, 294.

360x3

 $232,364.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Capitalización continua Una tasa de interés con capitalización continua, supone que los pagos se distribuyen uniforme y continuamente a lo largo del año. Así, cuando N tiende a infinito (capitalización continua), N

r   1   ,  N tiende a (2.718)r. La cifra 2.718, o numero e, es simplemente la base de los logaritmos naturales. Así, se tiene er.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Capitalización continua Ejemplo: Una suma de $1 peso invertido a una tasa de interés con capitalización continua r crecerá, por tanto, hasta er = (2.718)r al final del primer año. Al cabo de t años ascenderá a ert = (2.718)rt. De esta manera, si r = 11% durante 1 año (t =1), el valor al final del año es simplemente e0.11 = $1.116 pesos. El valor final a tres años será: e0.11 x 3 = $1.391 pesos.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades Entre los títulos que han sido emitidos por el gobierno británico está la llamada deuda perpetua (perpetuidades). Se trata de obligaciones que el gobierno no está obligado a reembolsar, pero que ofrecen anualmente una renta fija a perpetuidad.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades La tasa de rentabilidad de una deuda perpetua es igual al pago anual prometido dividido entre el valor presente: Rentabilidad =

r

Flujo de efectivo . Valor presente

C C  VP  . VP r

Obviamente, podemos invertir el procedimiento y calcular el valor presente de una deuda perpetua dado la tasa de descuento r y el pago C.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades Ejemplo: Supongamos que una persona respetable desea crear una cátedra de finanzas en una escuela de administración de empresas, con la primera donación a finales del primer año. Si la tasa de interés es del 10% y si el propósito es donar $100,000 pesos al año, indefinidamente, la cantidad que debiera hoy depositar sería: C 100, 000 Valor presente de la perpetuidad =   $1, 000, 000. r 0.10

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades Supongamos ahora que nuestro benefactor recordase repentinamente que no se ha hecho asignación alguna para cubrir incrementos salariales, los cuales se situarán probablemente en torno al 4% al año. Por tanto, en lugar de proporcionar $100,000 pesos al año indefinidamente, el benefactor debería donar $100,000 en el año 1, 1.04 x $100,000 en el año 2 e ir de este modo. Si llamamos g a la tasa de crecimiento de los salarios, podemos expresar el valor presente de esta corriente de flujos de efectivo como sigue:

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades

C3 C1 C2 VP     ... 2 3 1  r 1  r  1  r  C1 C1 1  g  C1 1  g  VP     ... 2 3 1  r 1  r  1  r  2

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades Afortunadamente, existe una fórmula sencilla para la suma de estas progresiones geométricas. Si suponemos que r > g, nuestro cálculo se simplifica:

C1 Valor presente de la renta perpetua creciente = . rg

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Perpetuidades Por tanto, su nuestro benefactor desea proporcionar a perpetuidad una suma anual que se mantenga inalterada por la tasa de crecimiento salarial, la cantidad que debiera reservarse hoy es:

C1 $100, 000 VP    $1,666, 667. r  g 0.10  0.04

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Anualidades Una anualidad es una serie de flujos de efectivo iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo, que no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios, quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales y anuales.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Anualidades El concepto de anualidad, es importante en el área de las Finanzas, entre otras consideraciones, porque es el sistema de amortización más utilizado en las instituciones financieras en sus diferentes modalidades de créditos. Además, es muy frecuente que las transacciones comerciales se realicen mediante una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo establecido en la negociación.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Anualidades La hipoteca de una vivienda con pagos anuales constantes o la financiación de compras a plazos son ejemplos típicos de anualidades.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones

Fuente: https://definicion.de/accionista/

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones

Fuente: www.definicionabc.com/economia/accionista.php

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones Acción al Portador: Son las acciones suscritas nominalmente. Pueden ser traspasadas por simple compraventa en la Bolsa de Valores. Acciones: Partes iguales en que se divide el capital social de una empresa. Parte o fracción del capital social de una sociedad o empresa constituida como tal. Fuente: www.bmv.com.mx/es/grupo-bmv/glosario

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones Acciones comunes: Aquellas que, de acuerdo con los estatutos sociales de la emisora, no tienen calificación o preferencia alguna. Tienen derecho a voto general interviniendo en todos los actos de la vida de la empresa (tales como elegir al consejo de administración o decidir las políticas de la empresa). Sólo tendrán derecho a dividendos después de que se haya cubierto a las acciones preferentes. También se denominan acciones ordinarias. Fuente: www.bmv.com.mx/es/grupo-bmv/glosario

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones Acciones Convertibles: Aquellas que se emiten con ciertos privilegios adquiriendo, en un tiempo predeterminado, privilegios adicionales o distintos a los originales. Fuente: www.bmv.com.mx/es/grupo-bmv/glosario

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones Acciones Preferentes: Aquellas que gozan de ciertos derechos sobre las demás acciones que conforman el capital social de una empresa. Dichos derechos se refieren generalmente a la primacía de pago en el caso de liquidación, así como a la percepción de dividendos. Se emite con un dividendo determinado que debe pagarse antes de que se paguen dividendos a los tenedores de acciones ordinarias. Generalmente no tienen derecho a voto. Fuente: www.bmv.com.mx/es/grupo-bmv/glosario

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Acciones Accionistas: Propietarios permanentes o temporales de acciones de una sociedad anónima. Esta situación los acredita como socios de la empresa y los hace acreedores a derechos patrimoniales y corporativos. Fuente: www.bmv.com.mx/es/grupo-bmv/glosario

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Mercados bursátiles

Fuente: www.dreamstime.com/stock-illustration-bearish-bullish-market-doodle-hand-drawn-collision-image59490137

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Mercados bursátiles

Fuente: http://binaryoptionsnow.com/2014/10/things-bullish-bearish-market-terms-finance-investment/

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias La fórmula del flujo de efectivo descontado para el valor presente de una acción es igual que para el valor presente de cualquier otro activo. Sólo es preciso descontar los flujos de efectivo a la tasa que puede ganarse en el mercado de capitales en activos de riesgo similar. Los accionistas reciben dinero de la empresa en forma de una serie de dividendos. Así, VP (acción ) = VP (dividendos futuros esperados).

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias A primera vista esta afirmación puede parecer sorprendente. Cuando los inversionistas compran acciones, normalmente esperan recibir un dividendo, pero también esperan obtener una ganancia de capital. La remuneración a los propietarios de acciones ordinarias se produce de dos formas: 1) dividendos en efectivo, y 2) ganancia o pérdidas de capital.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias Supongamos que el precio actual de una acción es P0, que el precio esperado a final de año es P1 y que el dividendo esperado por acción es DIV1. La tasa de rentabilidad que los inversionistas esperan obtener de esta acción a lo largo del próximo año se define como el dividendo esperado por acción DIV1 más la revalorización del precio de la acción P1 – P0, dividido todo ello entre el precio al comienzo del año, P0:

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias

Rentabilidad esperada = r 

DIV1  P1  P0 . P0

Esta rentabilidad esperada se denomina frecuentemente tasa de capitalización del mercado.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias Ejemplo: Supongamos que las acciones de Amazon (AMZN) se venden a $100 dólares el título (P0 = 100). Los inversionistas esperan un dividendo de $5 en el primer año (DIV1 = 5). Esperan también que las acciones se vendan a $110 de aquí a un año (P1 = 110). Entonces la rentabilidad esperada por los accionistas es del 15% r

5  110  100  0.15 ó 15%. 100

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias En el mismo sentido, si nos dan las previsiones del dividendo y del precio y la rentabilidad esperada ofrecida por otras acciones de riesgo similar es posible realizar una previsión del precio actual:

DIV1  P1 Precio = P0  . 1 r

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias Ejemplo: Para Amazon (AMZN), DIV1 = 5 y P1 =110. Si r, la rentabilidad esperada de títulos de la misma clase de riesgo que Amazon, es el 15%, entonces el precio actual será:

5  110 P0   $100. 1.15

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias Ejemplo: ¿Cómo sabemos que $100 es el precio real? Porque ningún otro precio podría perdurar en mercados de capitales competitivos. ¿Qué ocurriría si P0 fuese superior a $100? En tal caso las acciones de Amazon ofrecerían una tasa esperada de rentabilidad que sería inferior a la de otros títulos de riesgo equivalente.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias Ejemplo: Los inversionistas traspasarían, por tanto, su capital a otros títulos, ocasionando en el proceso una reducción en el precio de las acciones de Amazon Si P0 fuese inferior a $100, el proceso sería inverso. Las acciones de Amazon ofrecerían una rentabilidad mayor que los títulos comparables. En este caso, los inversionistas correrían a comprar, obligando al precio a subir a $100.

Módulo 2: Decisiones importantes en las matemáticas financieras Valuación de acciones ordinarias La conclusión general es que en cada momento todos los títulos de riesgo similar estarán valuados de modo que ofrezcan la misma rentabilidad esperada. Ésta es una condición para el equilibrio en los mercados de capitales competitivos. Y es también de sentido común.