Finalstokastik-awal0809

UJIAN AKHIR SEMESTER PROSES STOKASTIK PRODI MATEMATIKA / JUR. MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNHAS Selasa, 23 Desember 2008, 09:20 – 11:00

1. Proses stokastik {Xn}N menggambarkan sistem ramalan cuaca dengan dua-state dimana Xn = 0 dan Xn = 1 masing-masing menyatakan kejadian “Hujan pada tanggal n” dan “Cerah pada tanggal n”. Andaikan peluang transisi diberikan sebagai berikut. Pr[ Xn+1 = 0 | Xn = 0, Xn – 1 = 0 ] = 0,7, Pr[ Xn+1 = 0 | Xn = 0, Xn – 1 = 1 ] = 0,5, dan Pr[ Xn+1 = 0 | Xn = 1, Xn – 1 = 0 ] = 0,4, Pr[ Xn+1 = 0 | Xn = 1, Xn – 1 = 1 ] = 0,2. (a) Tunjukkan bahwa {Xn}N bukanlah sebuah rantai Markov. (b) Dengan ruang state yang diperluas {Yn}N dengan Yn = (Xn, Xn – 1), tunjukkan bahwa {Yn}N adalah sebuah rantai Markov. 2. Andaikan {Xn}N menggambarkan proses stokastik seorang penjudi dengan peluang menang dan kalah sebesar satu juta rupiah pada permainan berikutnya adalah 0,5, dan state-i menyatakan keadaan si Penjudi berhasil mendapatkan i juta rupiah pada permainan tersebut. Andaikan modal awal si Penjudi adalah 1 juta rupiah dan total uang dalam perjudian adalah 9 juta rupiah. (a) Berapa periode waktu harapan bahwa si Penjudi pernah menikmati kemenangan 4 juta rupiah. (b) Berapa peluang bahwa si Penjudi pernah menikmati kemenangan 4 juta rupiah. (c) Berapa peluang si Penjudi akan berhasil mendapatkan semua uang yang ada. (d) Berapa peluang si Penjudi mengalami bankrut (atau tidak memiliki uang lagi). 1 3

3. Tentukan lim𝑛 →∞ 𝐏𝑛 untuk rantai Markov yang berkaitan dengan matriks transisi 𝐏 = 0 0

1 3

1 3

1 0 . 0 1

4. Tentukan distribusi peluang statisoner  untuk rantai markov yang berkaitan dengan matriks transisi 𝑝 𝑞 0 0 0 𝑝 𝑞 0 𝐏= . (Catatan:  adalah distribusi peluang stasioner  P =  dan 𝑖 π𝑖 = 1). 0 0 𝑝 𝑞 𝑞 0 0 𝑝 5. Klasifikasi state-state dari dua rantai Markov dengan matriks-matriks transisi berikut. Gambarkan pula graf transisinya. (Nama state dimulai dengan angka 0). 1 0 0 0 0,4 0 0,6 0 (a) 𝐏1 = 0,2 0,5 0 0,3 0 0 1 0

0 (b) 𝐏2 =

1 2 1 2

1 4

0 0

1 4

1 4

1 4 1 2 1 2

0 0 0 0 1 0 2 0 12 0 0 0 1 0 0