Final Varias Variables.docx

PROYECTO DE CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES Título: Determinación del centro de masa de un cono circular sólido con densidad homogénea, de radio R y altura 3R. Integrantes: 

Eduardo Ponce



Anthony Vera



Tommy Burgos Profesor: Msc. Geovanny Arguello Fecha de entrega: 25 de Enero de 2019 Guayaquil-Ecuador

Introducción El cálculo del centro de masa de un sólido es de vital importancia para describir en que forma o en qué sentido el sólido se va a mover, generalmente se usa para describir el movimiento de figuras que poseen formas no muy comunes de las cuales es muy complicado poder observar a simple vista cual sería el movimiento que realizaría el sólido, y debido a lo irregular de las formas que poseen se usaran las integrales para poder calcular de forma más exacta su movimiento en el espacio.

Descripción del problema Lo que se demostrara en este proyecto es como determinar el centro de masa de un sólido, lo cual es de gran ayuda para resolver problemas de mecánica en donde se describen el movimiento de los objetos con formas no muy comunes, en este caso trabajaremos con un cono circular solido con densidad homogénea, dando indicaciones sobre conceptos de centro de masa y adentrándonos de a poco al problema que se ha planteado, utilizando integrales para realizar los respectivos cálculos.

Marco Teórico ¿Qué es el centro de masa? Se puede definir al centro de masa como la posición establecida en relación a un objeto o incluso a un sistema de objetos. Esta es el promedio de la posición de todas las partes que conforman el sistema, las cuales son ponderadas de acuerdo a sus masas. Para los objetos rígidos sencillos que tienen una densidad uniforme, su centro de masa está ubicado en el centroide. Un ejemplo de esto sería el de un disco uniforme en el cual su centro de masa estaría en el centro. Aunque en ocasiones el centro de masa del solido no se encuentra en ningún lado del mismo, o incluso puede encontrarse donde no haya al menos una porción del sólido, un ejemplo de esto sería cuando se intenta hallar el centro de masa de un anillo, en donde no hay material.

En la realidad, no todas las figuras tienen una forma ya establecida (como cuadrado, rectángulo, circulo, triangulo, etc) por lo que para las figuras que poseen formas no muy comunes, se necesita de una definición matemática más general del centro de masa: es la única posición en la cual la suma de sus vectores da como resultado cero. Para formas más complicadas, necesitamos una definición matemática más general del centro de masa: es la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero. ¿Por qué es útil el centro de masa? El centro de masa al ser el punto donde actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto, es útil ya que facilita resolver problemas de mecánica en donde tenemos

que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas complicados. Para realizar los debidos cálculos, se pueden tomar a estas figuras de forma no muy común y tratarlas como si en el centro tuvieran concentrado un objeto muy pequeño ubicado en su centro de masa, y a este objeto pequeño se lo suele llamar “una masa puntual”. Si se empuja un objeto rígido justo en su centro de masa, como consecuencia se empezara a mover como si fuera una masa puntual. No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar alrededor del centro de masa.

¿Cómo se puede encontrar el centro de masa de cualquier objeto o sistema? En general, el centro de masa se puede encontrar con la suma vectorial ponderada de los vectores de posición, la cual apunta al centro de masa de cada objeto en un sistema. Una técnica rápida que nos permite evitar usar aritmética vectorial es encontrar, de manera separada, el centro de masa de los componentes a lo largo de cada eje. La siguiente expresión muestra cómo sacar la posición del centro de masa de una partícula:

Donde M es la masa total del sistema de partículas. Esta es una ecuación vectorial, cada una de las componentes de la posición del centro de masas vendrá dada por:

Centro de masas de un sólido de forma cónica, de radio R y altura h

Por simetría el centro de masas estará situado en el eje Z del cono a una altura zc de la base. Estará más cerca de la base que del vértice Se divide el cono en cilindros con radio “x” y con altura “dz” así como se puede apreciar en la figura. Su masa (de los cilindros) está dada por dm=ρ·πx2dz. Siendo ρ la densidad del sólido homogéneo. Debido a que el centro de masa del cilindro de masa dm es z. El centro de masas zc del cono es:

La posición del centro de masas es independiente de la densidad ρ del sólido homogéneo. Para evaluar la integral del numerador y del denominador, relacionamos el radio x con el radio R del cono y su altura h.

𝑥 𝑅 = ℎ−𝑧 ℎ 𝜋𝑅2 ℎ2



la integral del numerador vale



la integral del denominador vale

12 𝜋𝑅2 ℎ 3

(volumen del cono)

La posición del centro de masas del cono 𝑍𝑚𝑐 =

ℎ 4

Cálculos Tenemos un cono circular solido con densidad homogénea, del cual hallaremos el centro de masa.

𝑧

𝑟 𝑧′ 𝜃

𝑦

𝒓: es la distancia de cual cualquier punto del cono al eje de simetría. 𝒛′: es la distancia de cualquier punto al plano xy. 𝜽: es el ángulo que forma la proyección respecto al eje x. En la resolución trabajaremos en coordenadas cilíndricas, en la cual los cambios de variables están dados por:

𝑥

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑧=𝑧

Para obtener el valor del centro de masa en relación con el eje z, usaremos la siguiente expresión integral: 𝑍𝐶𝑀 =

∫𝑣 𝑧𝑑𝑚 ∫𝑣 𝑑𝑚

Para evaluar la integral debemos encontrar la relación de masa con la posición para lo cual podremos encontrar mediante la fórmula de densidad, entonces tenemos: 𝜌=

𝑑𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣

Una vez hallada la relación del diferencial de masa con el volumen, procedemos a reemplazar en la integral: 𝑍𝐶𝑀 =

∫𝑣 𝑧𝜌𝑑𝑣 ∫𝑣 𝜌𝑑𝑣

Debido a que la densidad es constante la podemos sacar de la integral porque lo que tenemos: 𝑍𝐶𝑀 =

𝜌 ∫𝑣 𝑧𝑑𝑣 𝜌 ∫𝑣 𝑑𝑣

Una vez sacada como constante la densidad la podemos simplificar. Ahora para resolver la integral debemos conocer los límites de integración en coordenadas cilíndricas:

La posición z dada por:

Por semejanza de triángulos: 3𝑅

3𝑅 𝑧 = 𝑅 𝑅−𝑟

𝑟

Despejando z tenemos:

𝑧

𝑧 = 3(𝑅 − 𝑟) 𝑅

Los límites de integración: 0 ≤ 𝑧 ≤ 3(𝑅 − 𝑟)

0≤𝑟≤𝑅

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Entonces:

𝑍𝐶𝑀 =

𝑍𝐶𝑀

2𝜋

𝑅

3(𝑅−𝑟)

2𝜋

𝑅

3(𝑅−𝑟)

∫0 ∫0 ∫0

∫0 ∫0 ∫0

[𝑧𝑟]𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 [𝑟] 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃

1 2𝜋 𝑅 ∫0 ∫0 [9𝑅2 𝑟 − 18𝑅𝑟 2 + 9𝑟 3 ]𝑑𝑟 𝑑𝜃 2 = 2𝜋 𝑅 ∫0 ∫0 [3𝑅𝑟 − 3𝑟 2 ]𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑍𝐶𝑀

𝑍𝐶𝑀

1 2𝜋 9 4 9𝑅4 4 𝑅 − 6𝑅 + 𝑑𝜃 [ 2 ∫0 2 4 ] = 2𝜋 3 ∫0 [2 𝑅 3 − 𝑅3 ] 𝑑𝜃

1 2𝜋 18𝑅4 − 24𝑅4 + 9𝑅4 ] 𝑑𝜃 2 ∫0 [ 4 = 1 2𝜋 3 [𝑅 ] 𝑑𝜃 2 ∫0

𝑍𝐶𝑀

1 2𝜋 ∫0 [3𝑅4 ]𝑑𝜃 4 = 2𝜋 ∫0 [𝑅3 ] 𝑑𝜃

𝑍𝐶𝑀

1 4 3𝑅 (2𝜃) =4 3 𝑅 (2𝜃)

3 𝑍𝐶𝑀 = 𝑅 4 El centro de masa del cono es:

3 4

𝑅

Conclusiones



Hemos podido determinar el centro de masa de un cono circular situado en el espacio, donde en base a lo aprendido en el curso de varias variables pudimos realizarlo de forma satisfactoria.



Realizar este tipo de ejercicios nos resulta muy importante ya que podemos encontrar datos de figuras que son muy difíciles ver a simple vista y que es importante conocer dado que cada día nos encontramos con este tipo de objetos.



Además, pudimos constatar la importancia de conocer el centro de masa dado que todo objeto posee un lugar donde prácticamente está posicionada la magnitud de la masa total siendo este el motivo del equilibrio o movimiento de un objeto.

Bibliografía:

-

Calculo multivariable/ James Stewart/ Tercera edición 2011

-

Física general/ Ignacio Martin Bragado/ Año 2003

-

Kha Ancademy/ center-of-mass (2005) https://es.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-ofmass/a/what-is-center-of-mass

-

George B. Thomas, Jr. , Calculo. Una variable. Pearson. Addison Wesley. Undecima edicion.2001

-

Folleto Calculo de varias variables/ Moises Villena 2012

Anexos: Enlace del video explicativo: https://youtu.be/r1poro5YeY8