Final Abp - Problema.docx

1. Caso de aplicación del ABP: Problema “En la feria Escolar de Física” Pedro y José ajustan los últimos detalles de su exposición científica. Pedro ha fijado correctamente su banda de hule a cuatro soportes aislantes R, S, T y U, asegurándose que la banda se ajuste adecuadamente con el rodillo metálico C (Cu). Con esto su banda ha quedado conectada a tierra. Pedro será el encargado de hacer la explicación del trabajo. José ha terminado de ajustar las escobillas metálicas E contra la banda de hule, y ha comprobado que al hacer girar la manivela el rozamiento produce la electrización de aquella. Él será el encargado de mover la manivela. Todo parece indicar que ellos han acusado esmero en su trabajo y que el generador de cargas electrostáticas de su invención ha quedado listo para su presentación. Pedro y José tienen planeado hacerle una broma a Luis, que perteneciendo al grupo de trabajo es el que menos ha contribuido en su elaboración, sin embargo, se le ha prometido que lo consideraran ante el jurado, siempre que se anime a hacer una pequeña demostración del nivel de electrización de la banda. La broma consistirá en hacerle tocar la banda cargada con un delgado cable de cobre, pero sin que él se dé cuenta. El trabajo de Luis consistirá en dejar libre a una pequeña esfera de espuma plástica desde un punto P cerca de la banda que deberá estar previamente electrizada negativamente por frotación. Entonces se apreciará que la esferilla sube verticalmente alejándose de la banda por efecto de repulsión, demostrándose así que la banda se electrizada por fricción con las escobillas. Iniciado el evento, el jurado le pide al grupo hacer la explicación de su trabajo. Pedro empieza demostrando que la banda se encuentra inicialmente descargada. A continuación, José empieza a mover impetuosamente la manivela y Luis sin que se lo indiquen sus compañeros suelta la esferilla cargada, observándose que ésta no sube verticalmente sino más bien sale siguiendo una trayectoria que no había sido prevista.

¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado?

2. Preguntas adicionales 1. Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctrico uniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo el desplazamiento de la banda? 2. Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de la banda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica las razones que justifican este comportamiento. 3. En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda se encuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoria vertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio de una trayectoria vertical por otra distinta. 4. En una situación hipotética supongan que en lugar de una banda electrizada en movimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de la esferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba? 5. Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a la banda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De qué naturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la misma naturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve? 6. En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújula está asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinar qué dirección tiene dicho campo magnético? Si es así ¿cuál es esa dirección en las proximidades de la banda electrizada y en movimiento? 7. Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la dirección de la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella. Expliquen. 8. Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimento original. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras está cayendo en dicho experimento?

I. MARCO TEÓRICO 1. DCL: Diagrama de Cuerpo Libre Es una representación gráfica utilizada, a menudo por físicos e ingenieros, para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un caso particular de un diagrama de fuerzas. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras.

2. Segunda Ley de Newton Nos dice que el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

⃗ 𝒏𝒆𝒕𝒂 = 𝑭

⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝒕

Donde 𝑝 es la cantidad de movimiento y 𝐹 la fuerza total. Bajo la hipótesis de constancia de la masa y pequeñas velocidades, puede reescribirse más sencillamente como:

⃗ = 𝒂

𝟏 ⃗𝑭 𝒎

Que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo es su masa de inercia. Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta.

3. Campo Eléctrico El campo eléctrico asociado a una distribución de carga es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella. Todo campo físico queda caracterizado por sus propiedades. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido. En lo que sigue se considerarán por separado ambos aspectos del campo E. 4. Fuerza Magnética La fuerza magnética es la parte de la fuerza de Lorentz, que mide un observador sobre una distribución de cargas en movimiento. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. La fuerza magnética se define matemáticamente como:

⃗𝑭𝑴 = 𝒒 ∙ 𝒗 ⃗ ⃗ × ⃗𝑩 ⃗ el vector campo magnético. Donde 𝐹𝑀 es el vector fuerza, 𝑣 el vector velocidad y 𝐵 El módulo de la fuerza resultante será: ⃗ 𝑴 = 𝒒|𝒗 ⃗⃗ | ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ⃗ ||𝑩 𝑭 ⃗. Donde 𝜃 es el ángulo que forman los vectores 𝑣 y 𝐵 5. Ley de Biot-Savart El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo ⃗ creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de magnético 𝐵 intensidad 𝑖.

⃗ = 𝐵

𝜇0 𝑖 𝑑𝑙 × |𝑟 − 𝑟′| ∮ |𝑟 − 𝑟′|2 4𝜋

⃗ es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, 𝑑𝑙 es una 𝐵 fracción infinitesimal del circuito recorrido por la corriente y en su mismo sentido, 𝑟 es el vector posición de 𝑑𝑙 y 𝑟′ es el vector posición del punto P.

II.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ABP

1. Posibles soluciones  Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es mayor que la fuerza eléctrica, ésta baja describiendo una trayectoria curva.  Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es de igual valor que la fuerza de repulsión eléctrica, al liberarse quedará en reposo.  Si la fuerza de gravedad es menor que la fuerza de repulsión eléctrica, la esferilla ascenderá en una trayectoria curva. Para solucionar el problema, partiremos del supuesto de que la fuerza de gravedad sea mayor, con lo que podemos asegurar que la esfera bajará hasta impactar con el piso.

2. Métodos de solución Notamos que, para resolver el problema, tenemos la posibilidad de utilizar un observador móvil o uno inercial. Es por ello que plantearemos dos métodos de solución distintos. El primero consistirá en utilizar un observador móvil, el cual se encontrará sobre la faja de hule y se desplazará a su misma velocidad. Al moverse junto con las cargas, notará que éstas son estáticas y, por tanto, percibirá un campo eléctrico. El segundo método consistirá en ubicar un observador inercial, quien percibirá cargas en movimiento, las cuales generarán un campo magnético. a. Usando Campo Eléctrico Para eliminar los efectos del campo magnético consideraremos un observador móvil situado sobre la banda de hule, pues al moverse junto con las cargas su velocidad relativa respecto de este es 0, solo percibirá el campo eléctrico generado por la densidad superficial de carga de la banda.  Cálculo del campo eléctrico E Debido a que tanto la faja como la esferita son de signo negativo y se repelen. Por ello, como el campo eléctrico tiene la dirección del vector de fuerza eléctrica entre dos objetos con carga, se dibuja saliendo del plano, como se ve en el gráfico siguiente.

CÁLCULOS: Hallando el campo eléctrico en los ejes X, Y y Z: ⃗ x, 𝑬 ⃗ yy 𝑬 ⃗ z: Se tendrá 𝑬

DATOS: r: Distancia entre la carga y la distribución filiforme ⃗ : Vector del campo eléctrico 𝑬

z: Distancia de la carga al rodillo

dE

𝜽: Ángulo formado por el eje Z y 𝑟 P: Posición de la carga eléctrica β1 y β2: Ángulos formados con el eje Z en el plano X-Z. L: Longitud de la faja de hule

Z

P 𝛽2

𝜃 𝛽1 𝛾1

r

Z

𝛾3

𝛾2

α observador

0

L-y

y

X

𝐸𝑦 = ∫ 𝑑𝐸 cos ∝ = ∫

𝑘𝑑𝑞 cos ∝ 𝑟2

𝑧 = 𝑟 sen ∝ ; 𝑦 = 𝑧𝑐𝑡𝑔 ∝; 𝜆 = 𝑑𝑞/𝑑𝑦 𝑑𝑦 = −𝑧𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 ∝ 𝑑 ∝ 𝐸𝑦 = 𝑘𝜆 ∫

−𝑧𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 ∝ 𝑑 ∝ cos ∝ 𝑧 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 ∝

𝐸𝑦 = − 𝐸𝑦 = −

𝑘𝜆 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑑 ∝ 𝑧

𝑘𝜆 𝛾2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑑 ∝ 𝑧 𝛾 1

𝐸𝑦 = − 𝐸𝑦 = −

𝑘𝜆 (𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑠𝑒𝑛𝛾1 ) 𝑧

𝑘𝜆 𝑧 𝑧 ( − ) 𝑧 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 ) √(𝑦 2 + 𝑧 2 )

Análogamente la componente en z: 𝑐𝑜𝑠𝛾3 = −𝑐𝑜𝑠𝛾1

Y L

𝐸𝑧 = 𝐸𝑧 =

𝑘𝜆 (𝑐𝑜𝑠𝛾2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾3 ) 𝑧

𝑘𝜆 𝐿−𝑦 𝑦 ( + ) 𝑧 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 ) √(𝑦 2 + 𝑧 2 )

Con este resultado calcularemos el campo eléctrico para cualquier punto en el espacio: 𝑑𝐸𝑦 = −

𝑘𝜆𝑑𝑥 𝑧 𝑧 ( − ) 𝑧 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 ) √(𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑟 = 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑘𝜆𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑟 𝑟 𝑑𝐸𝑦 = − ( − ) 𝑟 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑟 2 ) √(𝑦 2 + 𝑟 2 ) 𝑑𝐸𝑦 = −

𝑘𝜆𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 ( − ) 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 √((𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃)2 ) √(𝑦 2 + 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 2 )

𝛽1

𝑘𝜆𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 𝐸𝑦 = − ∫ ( − ) 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 √((𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃)2 ) √(𝑦 2 + (𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃)2 ) −𝛽2 Este resultado nos da la componente del campo eléctrico en la dirección –Y. Calculamos el campo en las direcciones X y Z: 𝐸= 𝐸=

𝑘𝜆 𝐿−𝑦 𝑦 + ( ) 𝑧 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 ) √(𝑦 2 + 𝑧 2 )

𝑘𝜆𝑑𝑥 𝐿−𝑦 𝑦 + ( ) 2 2 2 𝑟 √((𝐿 − 𝑦) + 𝑟 ) √(𝑦 + 𝑟 2 ) 𝜇̂ = 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑖̂) + 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑘̂ )𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑟 = 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃

𝛽1

𝑘𝜆𝑧𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝐿−𝑦 𝑦 ( + ) (𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑖̂) + 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑘̂)) 2 2 2 2 𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃 ((𝐿 ) (𝑦 ) − 𝑦) + (𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃) + (𝑧𝑠𝑒𝑐𝜃) √ √ −𝛽2

𝐸𝑥,𝑧 = ∫

Integrando 𝐸𝑦 = −𝑘𝜆 [𝑙𝑛 (

(𝑐 − 𝑥 + √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑧 2 + (𝐿 − 𝑦)2 )(−𝑥 + √𝑥 2 + 𝑧 2 + 𝑦 2 ) (𝑐 − 𝑥 + √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑧 2 + 𝑦 2 )(−𝑥 + √𝑥 2 + 𝑧 2 + (𝐿 − 𝑦)2 )

)]

1 1 1 1 1 1 ( +√ +√ 2 +z 2 + (L-y)2 ) ( 2 +z 2 + y 2 ) (c-x) (c-x) 2 2 2 2 √(c-x) +z √(c-x) +z Ex =kλ ln 1 1 1 1 1 1 ( 2 2 +√ 2 2 + ) ( 2 2 +√ 2 2 + 2 ) 2 x +z (L-y) x +z y √x +z √x +z [ ( )]

𝐸𝑧 = 𝑘𝜆 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

(𝑐 − 𝑥)(𝐿 − 𝑦) √(𝑙 − 𝑦)2 + 𝑧 2 √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑧 2

) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

(𝑐 − 𝑥)𝑦 √𝑦 2 + 𝑧 2 √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑧 2

)

(−𝑥)(𝐿 − 𝑦) (−𝑥)𝑦 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( )] √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 √𝑥 2 + 𝑧 2 √𝑦 2 + 𝑧 2 √𝑥 2 + 𝑧 2

𝐸 = (𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 ) Aplicando la 2da Ley de Newton: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 + ⃗⃗⃗ 𝐹𝑒 = 𝑚𝑎 ⃗⃗⃗⃗𝐸 = 𝑞 ∙ 𝐸⃗ 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑅 = 𝑚𝑔(−𝑘̂ ) + 𝑞 ∙ 𝐸⃗ = 𝑚𝑎 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖̂ + 𝑎𝑦 𝑗̂ + 𝑎𝑧 𝑘̂ =

𝑑𝑣𝑦 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑧 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑧 + 2 + 2 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝑑𝑣𝑦 1 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑧 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) (𝑞𝐸𝑥 , 𝑞𝐸𝑦 , 𝑞𝐸𝑧 − 𝑚𝑔) = (𝑣𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Tomamos el caso sencillo de: 𝑥=

𝑐 2

𝑦 = 𝑦0 𝑧 = 𝑧0 Reemplazando en las ecuaciones:

1 1 1 1 1 1 +√ + +√ + 2 2 2 2 2 2 c (L-y) c y 2 (c- ) +z 2 2 (c- ) +z 2 √ c √ c 2 2 ( (c- 2) +z ) ( (c- 2) +z )

Ex =kλ ln

1 2

[

(

2 √c ( 4 +z

+√

1 c2

2 4 +z

+

1 (L-y)2

1 2

2 √c ) ( 4 +z

+√

1 c2

2 4 +z

+

1 y2 )

)]

𝐸𝑥 = 𝑘𝜆[𝑙𝑛(1)] 𝑬𝒙 = 𝟎

𝑬𝒚 = −𝒌𝝀 𝒍𝒏 [

𝒄 𝒄 𝟐 𝒄 𝒄 𝟐 (𝟐 + √(𝟐) + 𝒛𝟐 + (𝑳 − 𝒚)𝟐 ) (− 𝟐 + √(𝟐) + 𝒛𝟐 + 𝒚𝟐 ) 𝒄 𝒄 𝟐 𝒄 𝒄 𝟐 (𝟐 + √(𝟐) + 𝒛𝟐 + 𝒚𝟐 ) (− 𝟐 + √(𝟐) + 𝒛𝟐 + (𝑳 − 𝒚)𝟐 ) ( )]

𝒄 (𝟐)(𝑳 − 𝒚)

𝑬𝒛 = 𝟐𝒌𝝀 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 [

(√(𝒍 −

𝒚)𝟐

+

𝟐

𝒄 𝒛𝟐 √( ) 𝟐

+ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 +

𝒛𝟐

)

Igualando componentes 

Para x: 𝑎𝑥 = 𝑣𝑥

𝑑𝑣𝑥 = 𝑞𝐸𝑥 𝑑𝑥

𝑣𝑥 = 0 

Para y: 𝑎𝑦 = 𝑣𝑦

𝑑𝑣𝑦 1 = q𝐸𝑦 𝑑𝑦 𝑚

∫ 𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑦 = ∫(qEy /𝑚) 𝑑𝑦 𝑣𝑦 2 = ∫(qEy /𝑚) 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑣𝑦 = √2 ∫(qEy /𝑚) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦

= 𝑑𝑡

√2 ∫(qEy /𝑚) 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑡=∫

= 𝑓(𝑦, 𝑧)

√2 ∫(qEy /𝑚) 𝑑𝑦 

Para z: 𝑎𝑧 = 𝑣𝑧

𝑑𝑣𝑧 qEz − mg = 𝑑𝑧 𝑚

𝒄 (𝟐) 𝒚 𝟐 𝟐 + 𝒛𝟐 √( 𝒄 ) + 𝒛𝟐 √𝒚 ( )] 𝟐

∫ 𝑣𝑧 𝑑𝑣𝑧 = ∫((𝑞𝐸𝑧 − 𝑚𝑔)/𝑚)𝑑𝑧 𝑣𝑧 2 = ∫((𝑞𝐸𝑧 − 𝑚𝑔)/𝑚)𝑑𝑧 2 𝑑𝑧 ⃗⃗⃗⃗𝑧 − 𝑚𝑔)/𝑚)𝑑𝑧 = 𝑣𝑧 = √2 ∫((𝑞𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑧

= 𝑑𝑡

⃗⃗⃗⃗ √2 ∫ 𝑞𝐸𝑧 − 𝑚𝑔 𝑑𝑧 𝑚 𝑑𝑧

𝑡=∫

= 𝑔(𝑦, 𝑧)

⃗⃗⃗⃗ √2 ∫ 𝑞𝐸𝑧 − 𝑚𝑔 𝑑𝑧 𝑚

Resolviendo: 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑦, 𝑧) Entonces, se podría expresar: 𝑦 = 𝑦(𝑡)

𝑧 = 𝑧(𝑡)

𝑥 = 𝑐/2

Quedando así la trayectoria parametrizada en función del tiempo. Sin embargo es muy poco probable y laborioso que las posiciones se puedan expresar en función del tiempo; es por ello que mejor sería expresar la trayectoria como una grafica y vs z. 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑧)

𝑡 = 𝑔(𝑦, 𝑧)

𝑓(𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑦, 𝑧) 𝑓(𝑦, 𝑧) − 𝑔(𝑦, 𝑧) =0 𝐹(𝑦, 𝑧) = 0

b. Usando Campo Magnético Este método se usará cuando el observador esta sobre tierra, el cual observará que la carga sobre la banda está en movimiento, motivo por el cual puede ser considerado este flujo de cargas como corriente eléctrica. El procedimiento que usaremos para conocer la trayectoria que describirá la esfera, será el siguiente: 1) Hallar la corriente que se genera a partir del movimiento de las cargas sobre la banda

2) Hallar el campo magnético que es producido por la corriente que fluye sobre la banda 3) Hallar la fuerza magnética sobre la esfera electrizada, producida por el campo magnético 4) Hallar la fuerza resultante sobre la esfera, y por la 2da ley de Newton encontrar una relación para la aceleración, para después poder expresar la posición respecto del tiempo Sea: r: Radio del rodillo L: longitud de la faja de hule c: ancho de la faja de hule w: velocidad angular con la que gira el rodillo h: grosor de la faja de hule  Cálculo de la corriente sobre la banda 𝐼 = JA = Jch

observador

𝑱 = 𝐧𝐪𝐯𝐝 ... (q<0) 𝐼 = JA = nqvd ch

Además, velocidad del rodillo 𝑣𝑑 = rw J = nqrw

Se utilizará para el cálculo un pequeño segmento de la faja que será denotada por una DISTRIBUCIÓN FILIFORME

observador

Antes de comenzar, partiremos del supuesto de que la fuerza de repulsión eléctrica es menor que la fuerza de gravedad, con lo cual podemos asegurar que la esfera se dirigirá hacia el piso. A continuación, hallaremos el campo magnético producido por un conductor lineal de longitud L en un punto ubicado a una distancia R del conductor lineal y a una longitud y de ella.

GRAFICANDO EN Y-Z: DATOS: R: Distancia entre la carga y la distribución filiforme 𝑰: Vector intensidad de corriente 𝜽: Ángulo formado por el eje Z y 𝑟 α1 y α2: Ángulos formados con el eje Z en el plano Y-Z. L: Longitud de la faja de hule P: Posición de la carga eléctrica

Z P α2

α1 θ

𝑟0 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙

R I l Y

y

L-y Aplicando la ley de Biot- Savart: ⃗ 𝒅𝒍 × 𝒓 ⃗𝑩 ⃗ = ∮ 𝒖𝟎 𝑰 𝟑 𝟒𝝅𝒓

⃗𝑩 ⃗ = ∫

=>

𝜶𝟐

𝝅 𝒖𝟎 𝑰𝒅𝒍 𝒔𝒆𝒏 ( 𝟐 + 𝜽)

−𝜶𝟏

𝟒𝝅𝒓𝟐

Expresando las demás variables en función de θ y R: 𝑙 = 𝑅 tan 𝜃 𝑑𝑙 = 𝑅 sec 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑟0 = 𝑅 sec 𝜃

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación del campo. ⃗ = 𝐵 ⃗ = 𝐵

𝑢0 𝐼 𝛼2 ∫ cos 𝜃𝑑𝜃 (𝑢 ⃗ 𝐵) 4𝜋𝑅 −𝛼1

𝑢0 𝐼 (sen 𝛼1 + sen 𝛼2 )(𝑢 ⃗ 𝐵) 4𝜋𝑅

Del gráfico, se observa que: sen 𝛼1 =

𝑦 √𝑦 2 + 𝑅 2

12

⃗ 𝑩) (𝒖

sen 𝛼2 = ⃗ = ∴ 𝐵

(𝐿 − 𝑦) √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑅 2

𝑢0 𝐼 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + )(𝑢 ⃗ ) 4𝜋𝑅 √𝑦 2 + 𝑅 2 √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑅 2 𝐵

Cuyo vector unitario u ⃗ B posee componentes en los ejes X y Z. La expresión anterior nos servirá para calcular el campo magnético de toda la banda, ya que esta se puede dividir infinitesimalmente en conductores lineales de longitud L y sección transversal dA, es por eso que tomaremos dicho dm a través del ancho de la faja (eje X) por la cual circula una corriente dI y el cual genera un campo dB. DATOS: r: Distancia entre la carga y la distribución filiforme ⃗𝑩 ⃗ : Vector del campo magnético

Z

z: Distancia de la carga al rodillo 𝜽: Ángulo formado por el eje Z y 𝑟 J: Densidad de intensidad de corriente β1 y β2: Ángulos formados con el eje Z en el plano X-Z. L: Longitud de la faja de hule

X Y

observador

Una corriente lineal genera un campo de la forma ⃗ = 𝐵

𝑢0 𝐼 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + )(𝑢 ⃗ ) 4𝜋𝑅 √𝑦 2 + 𝑅 2 √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑅 2 𝐵

Generalizando para una corriente diferencial ⃗ = 𝑑𝐵

𝑢0 𝑑𝐼 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + )(𝑢 ⃗ ) 4𝜋𝑟 √𝑦 2 + 𝑟 2 √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑟 2 𝐵

13

Donde u ⃗ B es el campo generado por la corriente diferencial de intensidad dI. Partiendo de los supuestos planteados, y en base a la teoría estudiada, sabemos que: 𝑢 ⃗ 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑖̂) + 𝑠𝑒𝑛𝜃(−𝑘̂) 𝑑𝐼 = 𝐽ℎ𝑑𝑥 𝑟 = 𝑧 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑥=

𝑐 − 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝜃 2

𝑑𝑥 = −𝑧 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 Reemplazamos para calcular el campo magnético: ⃗ = ∮ 𝐵

𝑢0 (𝐽ℎ𝑑𝑥) 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + ) (𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑖̂) + 𝑠𝑒𝑛𝜃(−𝑘̂)) 4𝜋(𝑧 sec 𝜃) √𝑦 2 + 𝑟 2 √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑟 2

Nótese que, si se toma otra corriente diferencial que equidiste de la proyección de P sobre el plano XY, ésta generará un campo del mismo módulo que el de la primera corriente, pero de dirección Z opuesta, con esto, al sumar ambos campos la componente Z se anulará. Para simplificar los cálculos, supondremos que dicho punto P se proyecta sobre una línea que equidiste de los extremos paralelos al eje Y de la faja, lo cual originará que el campo resultante posea solamente componente X. Este supuesto nos permitirá eliminar el sumando senθ(−k̂) en la integral. Además, se observa que los ángulos determinados por la altura z, β1 y β2 , son iguales. Con esto, vemos que los cálculos se simplifican.

⃗ = ∮ 𝐵

−𝑢0 (𝐽ℎ𝑧 sec 2 𝜃𝑑𝜃) 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + ) (𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑖̂)) 4𝜋(𝑧 sec 𝜃) √𝑦 2 + (𝑧 sec 𝜃)2 √(𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧 sec 𝜃)2 𝛽

⃗ = 2∫ 𝐵 0

⃗ = 𝐵

𝑢0 (𝐽ℎ𝑑𝜃) 𝑦 (𝐿 − 𝑦) ( + ) (−𝑖) 4𝜋 √𝑦 2 + (𝑧 sec 𝜃)2 √(𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧 sec 𝜃)2

(𝐿 − 𝑦)𝑑𝜃 𝑢0 𝐽ℎ 𝛽 𝑦𝑑𝜃 (−𝑖) ∫ + 2𝜋 0 √𝑦 2 + (𝑧 sec 𝜃)2 √(𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧 sec 𝜃)2

⃗ = 𝐵

(𝐿 − 𝑦)𝑑𝜃 𝑢0 𝐽ℎ 𝛽 𝑦𝑑𝜃 ∫ ( + ) (−𝑖) 2𝜋 0 √𝑦 2 + (𝑧 sec 𝜃)2 √(𝐿 − 𝑦)2 + (𝑧 sec 𝜃)2

⃗ = 𝐵

(𝐿 − 𝑦) cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑢0 𝐽ℎ 𝛽 ycos 𝜃 𝑑𝜃 ∫ ( + ) (−𝑖) 2𝜋 0 √𝑦 2 cos2 𝜃 + 𝑧 2 √(𝐿 − 𝑦)2 cos 2 𝜃 + 𝑧 2 14

⃗ = 𝐵

𝑢0 𝐽ℎ 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝐿 − 𝑦)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛽 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( )] (−𝑖) 2𝜋 √𝑦 2 + 𝑧 2 √(𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 0

⃗⃗ = 𝑩

𝒖𝟎 𝑱𝒉 𝒚𝒔𝒆𝒏𝜷 (𝑳 − 𝒚)𝒔𝒆𝒏𝜷 [𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 ( )] (−𝒊) 𝟐𝝅 √𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 √(𝑳 − 𝒚)𝟐 + 𝒛𝟐

Del gráfico se observa que: sen 𝛽 =

𝑥 √𝑥 2 + 𝑧 2

Además, como la esfera se dejó caer sobre el eje de simetría respectivo al eje X de la faja, tenemos que 𝑐 𝑥= 2 Reemplazamos y obtenemos:

⃗𝑩 ⃗ =

𝒖𝟎 𝑱𝒉 𝒚𝒄 (𝑳 − 𝒚)𝒄 (−𝒊) 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐√(𝒚 + 𝒛 ) (𝟒 + 𝒛 ) 𝟐√((𝑳 − 𝒚) + 𝒛 ) (𝟒 + 𝒛 ) [ ( ) ( )]

 Cálculo de la fuerza magnética Hemos observado en el procedimiento anterior que el campo magnético tendrá sólo una componente para el eje X. Es decir: ⃗ = 𝐵𝑥 𝑖̂ 𝐵

𝐵𝑥 = −

𝑢0 𝐽ℎ 𝑦𝑐 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2 2𝜋 √(𝑦 2 + 𝑧 2 ) (𝑐 + 𝑧 2 ) 2 [ ( ) 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

(𝐿 − 𝑦)𝑐 2 √((𝐿 − 𝑦)2 + 𝑧 2 ) ( 𝑐 + 𝑧 2 ) 2 ( )] 4

𝐵𝑦 = 0 𝐵𝑧 = 0 Sabemos que: ⃗ 𝐹𝑚 = 𝑞𝑣 × 𝐵 15

𝑖 ⃗ 𝑣 𝑣×𝐵 = | 𝑥 𝐵𝑥

𝑗 𝑣𝑦 𝐵𝑦

𝑘 𝑖 𝑣𝑧 | = | 𝑣𝑥 𝐵𝑧 𝐵𝑥

𝑗 𝑣𝑦 0

𝑘 𝑣𝑧 | = (𝑣𝑧 𝐵𝑥 )𝑗̂ − (𝑣𝑦 𝐵𝑥 )𝑘̂ 0

Entonces, la fuerza magnética será: ̂ ⃗ 𝒎 = 𝒒(𝒗𝒛 𝑩𝒙 )𝒋̂ − 𝒒(𝒗𝒚 𝑩𝒙 )𝒌 𝑭  2da ley de Newton 𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 𝐹𝑅 = 𝑚𝑎=⃗⃗⃗𝐹𝐺 + 𝐹𝑚 = (0𝑖̂ + 0𝑗̂ − 𝑚𝑔𝑘̂ ) + ((0𝑖̂ + 𝑞(𝑣𝑧 𝐵𝑥 )𝑗̂ − 𝑞(𝑣𝑦 𝐵𝑥 )𝑘̂) 𝑞 𝑞 𝑎 = 0𝑖̂ + ( 𝑣𝑧 𝐵𝑥 ) 𝑗̂ − ( 𝑣𝑦 𝐵𝑥 + 𝑔) 𝑘̂ ) 𝑚 𝑚 𝑞 𝑞 𝑎𝑥 𝑖̂ + 𝑎𝑦 𝑗̂ + 𝑎𝑧 𝑘̂ = 0𝑖̂ + ( 𝑣𝑧 𝐵𝑥 ) 𝑗̂ − ( 𝑣𝑦 𝐵𝑥 + 𝑔) 𝑘̂ ) 𝑚 𝑚

Igualando componentes 

Para x: 𝑎𝑥 =

𝑑𝑣𝑥 =0 𝑑𝑡

𝑣𝑥 = 𝑘 ;

(𝑐𝑡𝑒)

La velocidad sobre el eje X es constante. Como la esfera se dejó caer, asumimos que 𝑣𝑥 =

𝑑𝑥 =0 𝑑𝑡

lo cual significa que la velocidad sobre el eje X posee un valor constante. Como la esfera se dejó caer, asumimos que dicho valor es cero. 𝑑𝑥 =0 𝑑𝑡 Lo cual se verifica necesariamente para nuestra condición en la que 𝑐 𝑥= 2  Para y: 𝑣𝑥 =

𝑎𝑦 =

𝑑𝑣𝑦 𝑞 = 𝑣𝑧 𝐵𝑥 𝑑𝑡 𝑚

𝑞 𝑞 𝑞 𝑣𝑦 = ∫( )𝑣𝑧 𝐵𝑥 𝑑𝑡 = ∫ ( ) 𝐵𝑥 (𝑣𝑧 𝑑𝑡) = ∫ ( ) 𝐵𝑥 𝑑𝑧 𝑚 𝑚 𝑚 16

𝑑𝑦 𝑞 = ∫ ( ) 𝐵𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡 ∫(𝑞/𝑚)𝐵𝑥 𝑑𝑧 𝒕=∫ 

𝒅𝒚 = 𝒇(𝒚, 𝒛) ∫(𝒒/𝒎)𝑩𝒙 𝒅𝒛

Para z: 𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑧 𝑞 = − (( ) 𝑣𝑦 𝐵𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑡 𝑚

𝑞 𝑣𝑧 = ∫ − (( ) 𝑣𝑦 𝐵𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑡 𝑚 𝑞 𝑣𝑧 = ∫ − ( ) 𝑣𝑦 𝐵𝑥 𝑑𝑡 − ∫ 𝑔𝑑𝑡 𝑚 𝑞 𝑑𝑦 𝑣𝑧 = ∫ − ( ) 𝐵𝑥 𝑑𝑦 − ∫ 𝑔 𝑞 𝑚 ∫ (𝑚) 𝐵𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑞 𝑑𝑦 = ∫ − ( ) 𝐵𝑥 𝑑𝑦 − ∫ 𝑔 𝑞 𝑑𝑡 𝑚 ∫ (𝑚) 𝐵𝑥 𝑑𝑧

𝑑𝑧 𝑞 𝑑𝑦 − ∫ (𝑚) 𝐵𝑥 𝑑𝑦 − ∫ 𝑔 ∫(𝑞/𝑚)𝐵𝑥 𝑑𝑧 𝒕=∫

Resolviendo

= 𝑑𝑡

𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒒 − ∫ (𝒎) 𝑩𝒙 𝒅𝒚 − ∫ 𝒈 ∫(𝒒/𝒎)𝑩𝒙 𝒅𝒛

= 𝒈(𝒚, 𝒛)

𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑧) 𝑡 = g(y, z)

Entonces, se podría expresar: 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑥 = 𝑐/2 Quedando así la trayectoria parametrizada en función al tiempo. Sin embargo, es muy laborioso expresar las posiciones en función del tiempo; es por ello que utilizaremos una gráfica y vs z para describir la trayectoria descrita por la esfera. 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑧)

𝑡 = 𝑔(𝑦, 𝑧) 17

𝑓(𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑦, 𝑧) 𝑓(𝑦, 𝑧) − 𝑔(𝑦, 𝑧) =0 𝐹(𝑦, 𝑧) = 0 c. Preguntas propuestas 

Pregunta principal: ¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado? Por lo observado anteriormente podemos concluir que los estudiantes no tomaron en cuenta la posición del observador sea dentro o fuera del sistema; asimismo se deduce por el relativismo que presenta este problema, al cambiar la posición del observador, la trayectoria es la misma en los dos casos.



Preguntas adicionales

1.

Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctrico uniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo el desplazamiento de la banda?

Esto dependerá de cómo vemos el sistema ya que la banda que está en pleno movimiento hace que actúe el campo eléctrico o magnético, generando así un campo magnético para un observador que este fuera de la banda. Mientras que para un observador que está dentro de la banda solo se produce el campo eléctrico, además su velocidad relativa es cero ya que el observador se mueve con la banda. Y también comprobamos el relativismo del sistema.

2.

Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de la banda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica las razones que justifican este comportamiento.

Debido a que analizamos un cuerpo en reposo, usaremos un diagrama de cuerpo libre para mostrar que fuerzas interactúan. Debido a que la esfera se mueve hacia arriba, una de las posibles explicaciones sería que la fuerza eléctrica de repulsión es mayor que la fuerza de interacción gravitatoria. Es decir, la fuerza resultante es hacia arriba al igual que su aceleración; por lo tanto la esfera se eleva. 3.

En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda se encuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoria vertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio de una trayectoria vertical por otra distinta.

18

Como la banda está en movimiento esto hace que exista un flujo de electrones que a su vez generan una corriente y dicha corriente provoca un campo magnético en la región de la carga la cual también se ve afectada por una fuerza magnética la cual hace de que la trayectoria se altere, ya que esta fuerza magnética tiene diferente sentido que la fuerza eléctrica. 4.

En una situación hipotética supongan que, en lugar de una banda electrizada en movimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de la esferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba?

No, debido a que en el caso original y el caso hipotético, las direcciones de las corrientes eléctricas van sentido contrario una de otra, en consecuencia, los campos magnéticos generan fuerzas magnéticas opuestas y trayectorias diferentes.

5.

Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a la banda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De qué naturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la misma naturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve?

La brújula es un instrumento que se encarga de medir la acción del campo magnético en un determinado lugar. En nuestro caso la brújula percibirá el campo magnético generado por el movimiento de las cargas de la banda. La brújula se orienta según el sentido donde se oriente el campo. Por lo tanto, esta fuerza es de la misma naturaleza que la que se da sobre la esferilla cargada.

6.

En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújula está asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinar qué dirección tiene dicho campo magnético? Si es así ¿cuál es esa dirección en las proximidades de la banda electrizada y en movimiento?

Los datos presentados si serían suficientes para determinar la dirección del campo magnético.

19

Sabemos que para determinar la dirección del campo magnético, por la regla de mano derecha podemos obtener el sentido del campo si sabemos la dirección de la corriente eléctrica. Debido a que las cargas que se mueven son negativas, la corriente eléctrica tiene una dirección contraria a estas, de derecha a izquierda, por lo tanto el campo magnético es entrante sobre la banda. Podemos representar gráficamente:

7.

Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la dirección de la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella. Expliquen.

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad y el campo magnético, ya que lo obtenemos si utilizamos la regla de la mano izquierda. La ecuación que matematiza estas direcciones es: ⃗ 𝐹𝑀 = 𝑞 ∙ 𝑣 × 𝐵 Esto nos indica que la fuerza magnética debe ser perpendicular a la velocidad y el campo magnético debido al producto vectorial. Si usamos la regla de la mano izquierda es sencillo hallar la dirección de la fuerza.

8.

Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimento original. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras está cayendo en dicho experimento?

La trayectoria descrita por la esfera es una recta.

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3. Conclusiones 

En el método del campo eléctrico definimos un observador en la banda con movimiento paralelo al movimiento de la banda. En el método de campo magnético el observador está posicionado en tierra. Por tanto para la solución del problema es condición necesaria definir la posición relativa del observador.



Viendo el movimiento de la partícula, podemos afirmar la presencia de un campo magnético que origina dicho movimiento particular al objeto.



El campo magnético producido por la banda presenta solamente una componente direccional, paralela al plano.



De acuerdo a las condiciones del problema, y de los cálculos presentadas, hay campo eléctrico en los planos y y z.



Debido a las condiciones del problema, hay dificultades para obtener la ecuación del movimiento de la esfera. Pero si podemos determinar su dirección, la cual es el eje y positivo y z negativo. Ambos ejes definidos en el planteamiento del problema.

4. Bibliografía 

Física Fundamental. Jay Orear. Editorial Limusa- Wiley, S.A. México 1970.



Física, tomo II . 3ra Edición. Raymond A. Serway. Mc GRAW-HILL. S.A. México 1993.



Física para la ciencia y la tecnología, volumen II . 4ta. Edición. Paul A. Tipler. Editorial REVERTÉ, S.A. Barcelona 2000.



Física Conceptual. 3ra Edición Paul G. Hewitt. Addison Wesley Longman. México 1999.



Física Clásica y Moderna W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove Mc. Graw Hill. Madrid 1993



Física 3 G. Ya Miákishev, B. B. Bújovtsev Editorial MIR Moscú 1986.

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