Fichas.docx

IAN PAUCAR

UCE

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

IAN PAUCAR INGENIERA INFORMÁTICA ANÁLISIS II

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE SUMATORIA

El símbolo de la sumatoria: 2+4+8+16+32+64+128+256 = 8

∑ 2𝑘 21+22+23+24+25+26+27+28 =

𝑘=1

Representación: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + … + an =

𝑛

∑ 𝑎𝑘 𝑘=1

Definición: ∑1𝑘=1 𝑎𝑘 = a1 𝑛 ∑𝑛+1 𝑘=1 𝑎𝑘 = ∑𝑘=1 𝑎𝑘 + an+1

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

(21+22+23) + (24+25+26+27+28) = ∑3𝑘=1 2𝐾 + ∑8𝑘=4 2𝐾 = ∑8𝑘=1 2𝐾 = ∑7𝑘=0 2𝐾+1 = ∑9𝑘=2 2𝐾−1 𝑛 𝑛+1 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 = ∑𝑛−1 𝑘=0 𝑎𝑘+1 ; ∑𝑘=1 𝑎𝑘 = ∑𝑘=2 𝑎𝑘−1 + + ∑𝑛𝑘=5 𝑎𝑘 = ∑𝑛+𝑡 𝑘=𝑠+𝑡 𝑎𝑘−𝑡 ; (𝑠 + 𝑡 ∈ Ζ ) ∨ (𝑠 − 𝑡 ∈ Ζ )

Propiedades de la sumatoria: 1. ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 + ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘 2. ∑𝑛𝑘=1 𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 con C=cte (propiedad homogénea) 3. ∑𝑛𝑘=1(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘 (propiedad de linealidad) 4. ∑𝑛𝑘=1(𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 ) = an – a0 (propiedad telescópica) Datos adicionales: ∑𝑛𝑘=1 1 = n ∑𝑛𝑘=1 1 = ∑𝑛𝑘=1[(𝑘 + 1) − 𝑘] = (n+1) -1 = n ∑𝑛𝑘=1 𝑘 =

𝑛(𝑛+1) 2

; ∑𝑛𝑘=1 𝑘 2 =

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6

; ∑𝑛𝑘=1 𝑘 3 =

𝑛2 (𝑛+1)2 4

; ∑𝑛𝑘=1 𝑘 4 =

16𝑛3 +9𝑛2 +𝑛−1 15

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

ÁREA BAJO LA CURVA:

𝐹 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ,

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

𝐹 = {𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 {𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏}, 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 {𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}}

IAN PAUCAR

UCE

𝑛 →∞ Δ𝑥𝑘 → 0 ∀𝑥 = [1, 𝑛]

a (Rectángulo) = b x h a(R1) = (x1-a) . f(x1*) 𝑎(𝐹) ≈ 𝑎(𝑅1 ) + 𝑎(𝑅2 ) + ⋯ + 𝑎(𝑅𝑛 )

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Partición: Sea [𝑎, 𝑏] un intervalo, una partición de [𝑎, 𝑏] que notaremos P[𝑎, 𝑏] dada por: P[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tal que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 que divide al intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de la forma: [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] con 𝑘 = [1, 𝑛] De longitud ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 y 𝑓(𝑥) ≥ 0 La longitud del intervalo más grande se denota por ‖𝑃‖ y se llama norma de 𝑃. De modo que: ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛 } 𝑛

∑ 𝑎(𝑅𝑘 ) ≈ 𝑎(𝐹) 𝑘=1 𝑛

𝑎(𝐹) ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗). Δ𝑥𝑘 𝑘=1 𝑛

𝑎(𝐹) ≈ lim ∑ 𝑎(𝑅𝑘 ) 𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑎(𝐹) ≈ lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗). Δ𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1

Partición Regular: 𝑏−𝑎 P[𝑎, 𝑏] es una partición regular si ∆𝑥𝑘 = ∆𝑥𝑗 ; ∀𝑘 = [1, 𝑛], ∀𝑗 = [1, 𝑛] o sea ∆𝑥𝑘 = ∆𝑥 , ∆𝑥 = 𝑛 Para la altura del triangulo [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] Extremo Derecho Extremo Izquierdo 𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘 𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘−1

Punto Medio 𝑥𝑘 ∗ = ̅̅̅ 𝑥𝑘 =

𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 2

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Área Aproximada Extremo Derecho

Extremo Izquierdo 𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑎(𝐹) ≈ lim ∑ 𝑓( 𝑎 + 𝑘 ) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

Punto Medio 𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑎(𝐹) ≈ lim ∑ 𝑓( 𝑎 + (𝑘 − 1) ) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

𝑛

𝑏−𝑎 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 𝑎(𝐹) ≈ lim ∑ 𝑓( ) 𝑛→∞ 𝑛 2 𝑘=1

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

La Integral Definida

Definición: 𝑏 Sea 𝑓 una función definida en [𝑎 , 𝑏], la integral definida de 𝑓 en [𝑎 , 𝑏] que notamos ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 se define como: 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑎

𝑛→∞

𝑘=1

IAN PAUCAR

UCE

Observaciones: 𝑏



Si 𝑓(𝑥) ≥ 0,



∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑝𝑢𝑒𝑠 ∆𝑥 = 0



Si 𝑎 > 𝑏, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥



∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 ∈ ℝ

∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎(𝐹)

𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE



f es continua en [𝑎, 𝑏] y acotada en [𝑎, 𝑏]



Es integrable pues aunque es discontinua en p y q es discontinua a saltos

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

No es integrable cuando la discontinuidad es al infinito en este caso en p, no es acotada

Teoremas 𝑏

𝑏

𝑏

1. ∫𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑏

2. ∫𝑎 𝐶𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑏

𝑐

𝑏

3. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑏+𝑐

4. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎+𝑐 𝑓(𝑥 − 𝑐)𝑑𝑥 𝑏

5. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1

𝑏𝑘

𝑥

∫ 𝑓(𝑘)𝑑𝑥 , 𝑘 ≠ 0 𝑘 𝑎𝑘 𝑏

6. Si 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

ANÁLISIS II

7. Si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 8. Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

9. Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑏

𝑏

10. |∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 Primitiva o Antiderivada Definición: 𝐹 es una primitiva o Antiderivada de 𝑓 si 𝐹 ′ = 𝑓. 1ERA PARTE, TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Definición: Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces la función 𝐹 definida por

𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎

Es continua en [𝑎 , 𝑏] y diferenciable en (𝑎 , 𝑏) y 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). Observaciones: 𝑔(𝑥)



Si 𝐹(𝑥) = ∫𝑎



Si 𝐹(𝑥) = ∫ℎ(𝑥) 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) − 𝑓(ℎ(𝑥)) ℎ′ (𝑥)

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

2DA PARTE, TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definición: Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

En donde 𝐹 es cualquier antiderivada de 𝑓, es decir 𝐹 ′ = 𝑓. Integral Indefinida: Debido a la relación entre antiderivadas e integrales proporcionada por el Teorema Fundamental, tradicionalmente se usa la notación ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 para indicar una antiderivada de 𝑓 y se llama integral indefinida. De modo que: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) significa que 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)

Observaciones: Se debe distinguir cuidadosamente entre integralse definidas e indefinidas. 𝑏

Una integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es un número , mientras que una integral indefinida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es una función. La relación entre estos conceptos está dad por la Parte 2 del Teorema Fundamental. Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ]

𝑏 𝑎

IAN PAUCAR

UCE INTEGRALES IMPROPIAS

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE Métodos de Integración

Por sustitución: Definición: En general, este método funciona cuando se tiene una integral de la forma ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥. Obsérvese que si 𝐹 ′ = 𝑓, entonces ∫ 𝐹 ′ (𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 Ya que, por la Regla de la Cadena, 𝑑 [𝐹(𝑔(𝑥))] = 𝐹 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 Si realizamos el “cambio de variable” o “sustitución” 𝑢 = 𝑔(𝑥), entonces, se tendría ∫ 𝐹 ′ (𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = ∫ 𝐹 ′ (𝑢) 𝑑𝑢 O, escribiendo 𝐹 ′ = 𝑓, obtenemos ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

Por sustitución: (Para integrales definidas) Definición: Si 𝑔′ es continua en [𝑎 , 𝑏] y 𝑓 es continua en el rango de 𝑔, entonces 𝑏

𝑔(𝑏)

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎

𝑔(𝑎)

Integrales de Funciones Simétricas Definición: Supóngase que 𝑓 es continua en [−𝑎 , 𝑎] 𝑎

𝑎

a) Si 𝑓 es par [𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)], entonces ∫−𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎

b) Si 𝑓 es impar [𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)], entonces ∫−𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0.

𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎))

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Integración por Partes: La regla del producto establece que si f y 𝑔 son funciones derivables, entonces 𝑑 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑑𝑥 En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en ∫[𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) O, bien ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) Podemos reacomodar esta ecuación como ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 Ahora, sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥). Entonces, las diferenciales son 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥, así que por la regla de sustitución, la fórmula para la integración por partes se transforma en ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Integración por Partes: (Para Integrales Definidas) Evaluando ambos lados de la fórmula para la integración por partes, entre a y b, suponiendo que 𝑓 ′ y 𝑔′ son continuas, y utilizando el teorema fundamental del cálculo, obtenemos 𝑏 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ] − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑓′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑎

Área entre dos curvas

𝑆 = {𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓 ≤ 𝑓(𝑥)} 𝑆 = {(𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠: 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏)(𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥))}

Sea R= F- G 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)} 𝑎(𝑅) = 𝑎(𝐹) − 𝑎(𝐺) 𝑏

𝑏

𝑏

𝑎(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

𝑅 ∗ = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑔(𝑥) + 𝑘 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑘} 𝑅∗ ≈ 𝑅 𝑏

𝑎(𝑅) = 𝑎(𝑅

∗)

𝑏

𝑏

= ∫ [(𝑓(𝑥) + 𝑘) − (𝑔(𝑥) + 𝑘)]𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑘 − 𝑔(𝑥) − 𝑘]𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

ÁREA ENTRE COORDENADAS POLARES Definición: El área S de la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas 𝑥 = 𝑎, y 𝑥 = 𝑏, donde 𝑓 y 𝑔 son continuas y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en [𝑎 , 𝑏], es 𝑏

Á𝑟𝑒𝑎(𝑆) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑎

sin 𝜃 =

𝑦 , 𝑟

cos 𝜃 =

𝑥 𝑟

IAN PAUCAR

UCE ANGULOS NOTABLES

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE Áreas y Longitudes en Coordenadas Polares

Primero se necesita saber cómo calcular el área de un sector circular. 1

Dicha fórmula viene dada por 𝐴 = 2 𝑟 2 𝜃

𝑟 = {(𝑟, 𝜃) / 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑓(𝜃) ; 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏} 𝑟 = {(𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠: 𝜃 = 𝑎, 𝜃 = 𝑏)(𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑟 = 𝑓(𝜃)} 𝑛

𝑎(𝑅) ≈ ∑ 𝑎(𝐶𝑘 ) 𝑘=1

1 𝑎(𝐶𝑘 ) ≈ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 2 𝑛 1 𝑎(𝑅) ≈ ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 2 𝑘=1

ANÁLISIS II

𝑛→∞ ‖𝑃‖ → 0 ⇒ ∑𝑛𝑘=1 𝑎(𝐶𝑘 ) → 𝑎(𝑅) 𝑛

1 1 𝑏 𝑎(𝑅) = lim ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 = ∫ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 2 𝑛→∞ 2 𝑎 𝑘=1

𝑏 1 𝑏 2 1 𝑏 2 1 𝑏 2 (𝜃). (𝜃). (𝜃). 𝑎(𝑆) = ∫ 𝑓 𝑑𝜃 − ∫ 𝑔 𝑑𝜃 = [∫ 𝑓 𝑑𝜃 − ∫ 𝑔2 (𝜃). 𝑑𝜃] 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎 𝑎

1 𝑏 2 𝑎(𝑆) = ∫ [𝑓 (𝜃) − 𝑔2 (𝜃)] 𝑑𝜃 2 𝑎

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Partición: Sea la partición 𝑃[𝑎, 𝑏] = {𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑛 } tal que 𝑎 = 𝜃0 < 𝜃1 < 𝜃2 < ⋯ < 𝜃𝑛 = 𝑏 que subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos de la forma [𝜃𝑖−1 ; 𝜃𝑖 ] de longitud ∆𝜃𝑖 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1 con ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝜃𝑖 } con 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1 , 𝑛 y sea 𝜃𝑖 ∗ 𝜖[𝜃𝑖−1 ; 𝜃𝑖 ] con 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1 , 𝑛. Así ahora de la fórmula del sector circular tenemos:

𝑛

1 Á𝑟𝑒𝑎(ℛ) ≈ ∑ [𝑓(𝜃𝑖 ∗ )]2 ∆𝜃 2 𝑖=1

Esta aproximación mejora cuando 𝑛 → ∞ de modo que 𝑛

1 Á𝑟𝑒𝑎(ℛ) = lim ∑ [𝑓(𝜃𝑖 ∗ )]2 ∆𝜃 𝑛→∞ 2 𝑖=1

1 𝑏 Á𝑟𝑒𝑎(ℛ) = ∫ [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃 2 𝑎

CÁLCULO DE VOLUMEN

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

SÓLIDO DE CAVALIER Cortando a S con un plano y obteniendo una región plana que se denomina sección transversal de S. Sea A(x) el área de la sección transversal de S en un plano 𝑃𝑥 perpendicular al eje 𝑥, y que pasa por el punto x, donde 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Imagine que corta a S con un cuchillo a través de 𝑥 y calcule el área de esta rebanada. El área de la sección transversal A(x) variara cuando x se incrementa desde 𝑎 hasta 𝑏.

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Esta aproximación parece ser cada vez mejor cuando 𝑛 → ∞. (Suponga que las rebanadas son cada vez más delgadas). Por tanto, definimos al volumen como el límite de estas sumas cuando 𝑛 → ∞. Pero aquí reconocemos el límite de las sumas de Riemann como una integral definida y, por tanto, se tiene la siguiente definición. Definición: Sea S un sólido que está entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Si el área de la sección transversal de S en el plano 𝑃𝑥 a través de 𝑥 y perpendicular al eje 𝑥, es 𝐴(𝑥), en donde 𝐴 es una función continua, entonces el volumen de S es 𝑛

𝑏

𝑉 = lim ∑ 𝐴(𝑥𝑖 ∗ ) ∆𝑥 = ∫ 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑛→∞

𝑖=1

𝑎

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN: Quiere decir que gira alrededor de un eje. Rotación paralela al eje x: El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión 𝑦 = 𝑘 siendo 𝑘 constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Ambas expresiones se deducen que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base 𝑑𝑥 y altura f(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor

Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):

en el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se debe aplicar:

Rotación paralela al eje y: Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [𝑎, 𝑏], con f(x) > g(x) en el intervalo [𝑎, 𝑏].Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje 𝑦 cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Nótese que 𝑥 − 𝑘 > 0, por ende, esta fórmula funciona si la recta se encuentra a la izquierda de la región R comprendida entre las curvas f(x) y g(x), para que nuestra integral sea positiva. Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

LONGITUD DE CURVA

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Definición: Si 𝑓 ′ es continua sobre [𝑎, 𝑏], entonces la longitud de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, es 𝑏

𝐿 = ∫ √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

SI usamos la notación de Leibiniz para derivadas, podemos expresar la fórmula de la longitud de arco como: 𝑏

𝐿 = ∫ √1 + ( 𝑎

𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Si una curva tiene la ecuación 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, y 𝑔′ (𝑦) es continua, entonces al intercambiar los papeles de 𝑥 y 𝑦 en la fórmula, se obtiene 𝑑

𝐿 = ∫ √1 + 𝑐

𝑑𝑥 2 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑐 𝑑

[𝑔′ (𝑦)]2 𝑑𝑦

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

TRABAJO 𝑾 Supongamos que un objeto se desplaza a lo largo del eje x en la dirección positiva, desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏 y que en cada punto 𝑥 entre 𝑎 y 𝑏 actúa una fuerza 𝑓(𝑥) sobre el objeto, donde 𝑓 es una función continua. Dividamos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos con puntos extremos 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 e igual ancho ∆𝑥. Elijamos un punto muestra 𝑥𝑖 ∗ en el 𝑖-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Entonces la fuerza en el punto es 𝑓(𝑥𝑖 ∗ ). Si 𝑛 es grande, entonces ∆𝑥 es pequeña, y puesto que 𝑓 es continua, los valores de 𝑓 no cambian mucho sobre el intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. En otras palabras, 𝑓 es casi constante sobre el intervalo, por lo que el trabajo 𝑊, que se realiza al desplazar la partícula desde 𝑥𝑖−1 hasta 𝑥𝑖 se obtiene aproximadamente mediante 𝑊𝑖 ≈ 𝑓(𝑥𝑖 ∗ )∆𝑥 Así, podemos dar un valor aproximado del trabajo total con 𝑛

𝑊 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ∗ )∆𝑥 𝑖=1

Esta aproximación es mejor a medida que 𝑛 crece. Por tanto, definimos el trabajo realizado al mover el objeto desde 𝑎 hasta 𝑏 como el límite de esta cantidad cuando 𝑛 → ∞. 𝑛

𝑏

𝑊 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ∗ )∆𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑛→∞

𝑖=1

𝑎

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

FUNCIÓN LOGARITMO Definición: (Logaritmo Natural) Si 𝑥 es un número real positivo, definimos el logaritmo natural de 𝑥, designado provisionalmente por 𝐿(𝑥), como la integral 𝑥

1 ∫ 𝑑𝑡 𝑡 1

Cuando 𝑥 > 1, 𝐿(𝑥) puede interpretarse geométricamente como el área de la región sombreada

Además, cumple que:

𝑥

𝐿(𝑥) = ∫ 1 1

𝐿(𝑥) = ∫ 𝑥

i. ii. iii.

𝐿(1) = 0 1 𝐿′ (𝑥) =

∀𝑥 >0 𝐿(𝑎𝑏) = 𝐿(𝑎) + 𝐿(𝑏) ∀ 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑥

Representación Gráfica:

1 𝑑𝑡 > 0 𝑡

𝑠𝑖 𝑥 > 1

1 𝑑𝑡 < 0 𝑡

𝑠𝑖 𝑥 < 1

IAN PAUCAR

UCE

Propiedades: i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

log 𝑏 1 = 0 log 𝑏 𝑏 = 1 log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥 log 𝑏 𝑥𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦 1 log 𝑏 𝑎 = −log 𝑏 𝑎 log 𝑏 (𝑎𝑛 ) = 𝑛log 𝑏 𝑎 𝑥 log 𝑏 𝑦 = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦

Logaritmo de base positiva 𝒃 ≠ 𝟏 Si 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, y si 𝑥 > 0, el logaritmo de 𝑥 en base 𝑏 es el número ln 𝑥 log 𝑏 𝑥 = ln 𝑏 Observación: 𝑒 ≈ 2,718281828 𝑒∈ℝ ln 𝑒 = 1 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN COMO FUNCIONES INVERSAS 1

1



𝐷 log 𝑥 = 𝑥 ; ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = log 𝑥 + 𝑐



𝐷 log 𝑓(𝑥) =



𝐷 log|𝑥| =

𝑓 ´ (𝑥) 𝑓(𝑥)

𝑓 ´ (𝑥) 𝑓(𝑥)

𝑓 ´ (𝑥)

;∫ 𝑑𝑥 = log 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑓 ´ (𝑥)

; ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = log|𝑓(𝑥)| + 𝑐

>0

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶



∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sin 𝑢| + 𝐶



∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶



∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶

La Integral del Logaritmo ∫ log 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 log 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 log(𝑥 − 1) + 𝑐 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: Se la define como la inversa de la función logarítmica, como la función real ex 𝐿: ℝ+ → ℝ 𝑦 → 𝑥 = 𝐿(𝑦)

𝐸: ℝ → ℝ+ 𝑥 → 𝑦 = 𝐸(𝑥) 𝑦 = 𝐸(𝑥) ⇔ 𝑋 = 𝐿(𝑦)

Notación:  E(x)  ex  L(E(x)) = L(y), 𝑥 ∈ ℝ  E(L(y)) = E(x), 𝑦 ∈ ℝ+

IAN PAUCAR Teorema: 

𝐸(0) = 1



𝐸(1) = 𝑒



𝐸 ´ (𝑥) = 𝐸(𝑥)



𝐸(𝑎 + 𝑏) = 𝐸(𝑎)𝐸(𝑏)



𝐸(−𝑎) = 𝐸(𝑎) = 𝑒 −𝑎 = 𝑒 𝑎

1

Propiedades: 1. 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 1

2. 𝑎−𝑥 = 𝑎𝑥 3.

𝑎𝑥 𝑎𝑦

= 𝑎 𝑥−𝑦

4. (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥∗𝑦 Observación: 

𝑎0 = 𝑒 0 log 𝑎



𝑎0 = 𝑒 0



𝑎0 = 1

1

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

DERIVADA E INTEGRAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 

𝐷𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥



𝐷𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓 ´ (𝑥)



∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐



∫ 𝑒 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓 ´ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝑐



𝐷𝑎 𝑥 = 𝐷𝑒 𝑥 log 𝑎 = log 𝑎 ∗ 𝑎 𝑥



∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 log 𝑎 𝑑𝑥 = log 𝑎 ∗ 𝑎 𝑥 + 𝑐



∫ 𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∗ log 𝑎 + 𝑐



𝐷𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑒 𝑓(𝑥) log 𝑎 = log 𝑎 ∗ 𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓´(𝑥)



𝐷𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑒 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥) ∗ [𝑔´(𝑥) ∗ log 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓´(𝑥)]

1

𝑎𝑓(𝑥)

1

IAN PAUCAR

UCE

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(cosh 𝑥)2 − (sinh 𝑥)2 = 1

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR Gráficas:

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR Identidades: 

cosh 2𝑥 = (cosh 𝑥)2 + (sinh 𝑥)2



𝐷 sinh 𝑥 = 𝐷



𝐷 cosh 𝑥 = 𝐷



𝐷 tanh 𝑥 = 𝐷 cosh 𝑥 = (sech 𝑥)2



𝐷 coth 𝑥 = 𝐷 sinh 𝑥 = −(cosh 𝑥)2



𝐷 csch 𝑥 = − cosh 𝑥 ∗ coth 𝑥



𝐷 sech 𝑥 = 𝐷 cosh

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2

= cosh 𝑥 = sinh 𝑥

sinh 𝑥

cosh 𝑥

1 𝑥

= − tanh 𝑥 ∗ sech 𝑥

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

1

1



𝐷 sin−1 𝑋 =



𝐷 sin−1 𝑓(𝑥) =



∫ √1−𝑥 2 = sin−1 𝑥 + 𝑐



∫ √1−𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 = sin−1 𝑓(𝑥) + 𝑐



∫ sin−1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin−1 𝑥 + √1 − 𝑥 2



𝐷 tan−1 𝑥 = 1+𝑥 2



∫ 1+𝑥 2 = tan−1 𝑥 + 𝑐



𝐷 tan−1 𝑓(𝑥) = 1+𝑓(𝑥)2



∫ 1+𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 = tan−1 𝑓(𝑥) + 𝑐

sin 𝑦

= √1−𝑥 2 𝑓´(𝑥)

√1−𝑓(𝑥)2

𝑑𝑥

𝑓´(𝑥)

1

𝑑𝑥

𝑓´(𝑥)

𝑓´(𝑥)

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Integración Por Partes 𝑃(𝑥)

∫ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 con P y Q polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋 + 𝑎2 𝑋 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 , P es de grado n, si 𝑎 ≠ 0 𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋 + 𝑏2 𝑋 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑋 𝑛 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥)

𝑃(𝑥)

= 𝑄(𝑥) sí y solo si 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)

Polinomio Lineal: 𝑎𝑥 + 𝑏 Polinomio Cuadrático: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , con ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 i) Grado de 𝑃 ≥ 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄 Se realiza una división de polinomios de tal manera que su resultado sale de la forma: 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) = c(x) + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) ii) Grado de P < Grado de Q Factorizar Q en polinomios lineales y/o cuadráticos irreducibles, hasta que ∆< 0 iii) Factores Q(x) 

Factores Lineales que no se repiten: 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏



Factores Lineales que si se repiten: 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴𝑛 + + + ⋯ + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 (𝑎𝑥 + 𝑏)3

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 ; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 

Factores cuadráticos irreducibles ∆< 0 que no se repite: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒



𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎𝑥 2

Factores cuadráticos irreducible ∆< 0 que si se repiten: (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝐴𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 + +⋯+ 2 2 2 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

Integración por Sustitución Trigonométrica ∫ 𝑅(𝑥, √𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 ∶ ∆> 0: Diferencia de cuadrados, caso 1: A<0 y 3: A>0 ∆< 0: Suma de Cuadrados, caso 2 Caso 1: 𝑎

∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 ∶ ∆> 0:

𝑑𝑥 = 𝑏 cos 𝜃𝑑𝜃

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 sin 𝜃

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 − (𝑎 sin 𝜃)2 = √𝑎2 (1 − (sin 𝜃)2 = 𝑎 cos 𝜃

sin 𝜃 =

𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Caso 2: ∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 ∶ ∆< 0: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 tan 𝜃 tan 𝜃 = 𝑑𝑥 =

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 − (𝑎 tan 𝜃)2 = 𝑎√(sec 𝜃)2 = 𝑎 sec 𝜃

𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎

𝑎 (sec 𝜃)2 𝑑𝜃 𝑏

Caso 3: ∫ 𝑅(𝑥, √(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 ∶ ∆> 0:

𝑏𝑥 + 𝑐 = asec 𝜃 𝑥=

asec 𝜃 − 𝑐 𝑏

𝑑𝑥 =

𝑎 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃 𝑏

√(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 = √(asec 𝜃)2 − 𝑎2 =atan 𝜃

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

ARTIFICIOS FUNDAMENTALES: Potencia de las funciones trigonométricas: Seno: i. Si n es par, n=2S, con 𝑆 ∈ 𝕫 ∫ (sin 𝑥)𝑛 = ∫((sin 𝑥)𝑛 )𝑆 𝑑𝑥 1

Angulo doble: (sin 𝑥)2 = 2 (1 − cos 2𝑥) ii.

Si n es impar, n=2S+1, con 𝑆 ∈ 𝕫 ∫ (sin 𝑥)𝑛 = ∫((sin 𝑥)𝑛 )𝑆 (sin 𝑥) 𝑑𝑥

Coseno: i.

i n es par, n=2S, con 𝑆 ∈ 𝕫 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑠 ∙ 𝑑𝑥 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + cos2x) 2

ii.

Si n es impar, n=2S+1, con 𝑆 ∈ 𝕫 ∫(cos 𝑥)𝑛 = ∫((cos 𝑥)2 )𝑆 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝐶𝑜𝑛: (cos 𝑥)2 = 1 − (sin 𝑥)2

IAN PAUCAR

UCE

Tangente: i. 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛 = 2𝑠 + 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑠 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 ii. 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛 = 2𝑠 + 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑎𝑛2 𝑥)𝑠 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 Cotangente: i. 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛 = 2𝑠 + 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑠 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1 Secante: i. 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛 = 2𝑠 + 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 + 1 ii. 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛 = 𝑖 + 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑖 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 ∙ 𝑑𝑥, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE Producto entre función seno y coseno

i.

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝐵 =

ii.

1 [𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2

∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵 = [𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2

iii.

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵 =

1 [𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)] 2

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE Formas Indeterminadas

I.

0 0

,

∞ ∞

0

Aplicar en 0 L’H𝑜̂pital 0 lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

lim

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑓′(𝑥)

= lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑝

0

∞

Aplicar en ∞ L’H𝑜̂pital ∞ lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

II.

𝑓′(𝑥)

lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑝

∞

0∙∞ 0

∞ 𝑎) lim

lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

1

𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑓(𝑥)

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) =

𝑥→𝑝

{

𝑏) lim

𝑔(𝑥) 1

𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)

, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR III.

UCE

ANÁLISIS II

00 , ∞0 , 1∞ lim 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥))

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑒 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

a) 00 0 lim 𝑓(𝑥) = 0

∞

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

b) ∞0 0 lim 𝑓(𝑥) = ∞

∞

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

c) 1∞ ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙→𝒑

y 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = ∞

0

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

𝑥→𝑝

𝒙→𝒑

IV.

∞ − ∞: Cualquiera de los métodos anteriores

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

INTEGRALES IMPROPIAS 𝑏

𝑎(𝐹) = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 𝑎

+∞

∫

𝑏

𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 𝑏→+∞ 𝑎

𝑎 𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 −∞

𝑎→−∞ 𝑎

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 𝑡→𝑝+ 𝑡

𝑝 𝑝

𝑡

∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 +∞

∫ −∞

𝑎

𝑎

𝑝

𝑡→𝑝− 𝑎

𝑏

+∞

𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥 + ∫ −∞

𝑎

𝑝

𝑏

𝑓(𝑥) . 𝑑𝑥

IAN PAUCAR

UCE SUCESIONES

Definición: Conjunto finito de números, con un orden determinado. Es una función cuyo dominio es 𝕫+ , es decir: 𝑓: ℤ+ → ℝ 𝑛 → 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 𝑛 + 1 → 𝑓(𝑛 + 1) = 𝑎𝑛+1

Notación: {𝑎𝑛 } , {𝑓(𝑛)} , {𝑎𝑛 }1∞ , (𝑎𝑛 )1∞ , 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 Representación gráfica: Como una sucesión es una función, se aplica toda la teoría de funciones:

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SUCESIONES Definición: Una sucesión {𝑓(𝑛)} tiene límite L, si para cada ℰ>0, existe un N>0 tal que, si n>N entonces |𝑓(𝑛) − 𝐿| < 𝜀 osea que lim 𝑓(𝑛) = 𝐿 se dice que la sucesión es convergente y converge a L. Caso contrario, diremos que la sucesión “diverge”, esto es cuando: I. II.

𝑛→∞

∄ lim 𝑓(𝑛) 𝑛→∞

lim 𝑓(𝑛) = ∞

𝑛→∞

{𝑓(𝑛)} es convergente ⟺ lim 𝑓(𝑛) = 𝐿 ⟺ ∀ε > 0, ∃N > 0, n > N → |𝑓(𝑛) − 𝐿| < 𝜖 𝑛⟶∞

Definición de Sucesión: {𝑎𝑛 }, {𝑓𝑛 }

{𝑎𝑛 } es Convergente y converge a L si y solo si:

II.

lim 𝑎𝑛 = 𝐿 ⟺ ∀ε > 0, ∃N > 0, n > N → |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜖

𝑛→∞

Caso contrario {𝑎𝑛 } diverge

I.

𝑓: ℤ+ → ℝ 𝑛 → 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 𝑛 + 1 → 𝑓(𝑛 + 1) = 𝑎𝑛+1

∄ lim 𝑓(𝑛) 𝑛→∞

lim 𝑓(𝑛) = ∞

𝑛→∞

Teorema de intercalación por sucesiones Sean {𝑎𝑛 }, {𝑏𝑛 }, {𝐶𝑛 } sucesiones :  𝑆𝑖 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝐶𝑛 y lim 𝑎𝑛 = lim 𝐶𝑛 = 1 entonces lim 𝑏𝑛 = 1 𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

IAN PAUCAR

UCE

Teorema 

Si lim |𝑎𝑛 | = 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim 𝑎𝑛 = 0 𝑛→∞

𝑛→∞

Monotonía 

{𝑎𝑛 } ↗ ⟺ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 1

;



{𝑎𝑛 } ↘ ⟺ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 1

;

 

{𝑓(𝑛)} ↗ ⟺ 𝑓′(𝑥) > 0 , ∀𝑥 ≥ 1 {𝑓(𝑛)} ↗ ⟺ 𝑓′(𝑥) < 0 , ∀𝑥 ≥ 1

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

>1

; 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 < 0

<1

; 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 > 0

SUCESIONES ACOTADAS 

{𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶ o 𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 , ∀𝑛 ≥ 1



{𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶ o 𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝒎 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑚 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1



{𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

Teorema 𝑇𝑜𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

SERIES INFINITAS Definición: Sea {𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ } una sucesión de números reales, la sucesión {𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5 + ⋯ } tal que: 𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 . . . 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 𝑘=1

𝑆𝑛+1

. = 𝑆𝑛 + 𝑎𝑛+1

Se denomina Serie Infinita o Serie Notación: 1) 2) 3) 4)

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 ∑ 𝑎𝑛

Símbolo Sumatoria: ∑𝑛𝑘=1(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 + ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘 i. ∑𝑛𝑘=1 𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 ii. iii. ∑𝑛𝑘=1(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑𝑛𝑘=1 𝑏𝑘 ∑𝑛𝑘=1(𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 ) = 𝑎𝑛 − 𝑎0 iv.

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA: ∞ ∞ ∞ Sea la serie ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑛 , si lim ∑𝑘=1 𝑎𝑛 = 𝑆, se dice que la serie ∑𝑘=1 𝑎𝑛 converge y su suma ∑𝑘=1 𝑎𝑛 = 𝑆 𝑛→∞

Series Numéricas Infinitas Defincion: Sea {𝑎𝑛 } una sucesión, la sucesión {𝑆𝑛 } tal que 𝑆1 = 𝑎1 ; 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 ; 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ; …

𝑛

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛 … 𝑘=1

Se denomina serie Infinita o serie. Notación: ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 ; ∑ 𝑎𝑛 ; ∑ 𝑎𝑛 𝑘=1

𝑛=1

Convergencia o divergencia: 𝑛 Si lim 𝑆𝑛 = 𝑆; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎 ∑𝑘=1 𝑎𝑘 = 𝑆 𝑛→∞

Teorema de Linealidad de las Series: ∞ 1) Si ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 y ∑𝑘=1 𝑏𝑘 dos series convergentes, entonces: ∞

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑘=1

∞

∞

∞

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑ 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

2) 𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑∞ 𝑘=1(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛

𝑎𝑘 = 1, 𝑆𝑛 = ∑ 1 𝑘=1 𝑛

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 1 = lim 𝑛 = ∞ , 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

𝑛

𝑏𝑘 = 1, 𝑇𝑛 = ∑ 1 𝑘=1 𝑛

lim 𝑇𝑛 = lim ∑ 1 = lim 𝑛 = ∞ , 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

Criterios de convergencia 

Serie Armónica ∞

1 1 ∑ 𝑜 ∑ 𝑛 𝑘 𝑘=1

𝑛

∑ 𝑘=1

1 ≥ log(𝑛 + 1) 𝑘 𝑛

lim log(𝑛 + 1) = ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim ∑

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

1 = ∞, 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘

IAN PAUCAR 

UCE

ANÁLISIS II

Serie P ∞

1 1 ∑ 𝑃 𝑂 ∑ 𝑃, 𝑛 𝑘

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑃 > 1 𝑌 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑃 ≤ 1

𝑘=1

∑

1 1 ,{ } 𝑛2 𝑛2

1 1 1 {1,1 + , 1 + + , … } 4 4 9 

Serie Telescópica ∞

∑ 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑇𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐ó𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛: 𝑘=1

𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 = ∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 𝑘=1

𝑘=1

Teorema: Sean las sucesiones {𝑎𝑛 } y {𝑏𝑛 } Si 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 ∞

∑ 𝑎𝑛 , 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {𝑏𝑛 } 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎: 𝑘=1 ∞

∑ 𝑎𝑛 = 𝑏 − 𝐿, 𝑐𝑜𝑛 𝐿 = lim 𝑏𝑛+1 𝑘=1

𝑛→∞

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

SERIES GEOMÉTRICAS ∞

∞

∑ 𝑥𝑘 ; ∑ 𝑥𝑛 ; ∑ 𝑥𝑛 𝑘=0

𝑛=0

∞

∑ 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛+1 + ⋯ 𝑘=0 𝑛−1

𝑆𝑛 = ∑ 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛−1 = 𝑘=0 𝑛−1

1 − 𝑥𝑛 1−𝑥

1 − 𝑥𝑛 1 1 = − lim 𝑥 𝑛 𝑛→∞ 1 − 𝑥 1 − 𝑥 1 − 𝑥 𝑛→∞

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 = lim

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

𝑛−1

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 =

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

𝑛−1

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 =

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

1 𝑠𝑖 |𝑥| < 1 1−𝑥

1 − ∞ = ∞ 𝑠𝑖 |𝑥| > 1 1−𝑥

𝑘 La serie Geométrica ∑∞ 𝑘=0 𝑥 diverge y no tiene suma

IAN PAUCAR 𝑛 1) ∑∞ 𝑘=0 𝑥 =

1

UCE

𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1

1−𝑥

En 1 sustituimos X por X2 2𝑛 2) ∑∞ = 𝑘=0 𝑥

1

𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1

1−𝑥 2

En 2 multiplicamos por x a ambos extremos 2𝑛+1 3) ∑∞ = 𝑘=0 𝑥

1 1−𝑥 2

En 1 sustituir x por -x 1

𝑛 𝑛 4) ∑∞ 𝑘=0(−1) 𝑥 =

1+𝑥

, |𝑥| < 1

En 4 sustituir x por x2 𝑛 2𝑛 5) ∑∞ = 𝑘=0(−1) 𝑥

1 1+𝑥 2

En 5 multiplicar por x a ambos lados 𝑛 2𝑛+1 6) ∑∞ = 𝑘=0(−1) 𝑥

𝑥 1+𝑥 2

En 2 sustituir x por 2x 𝑛 2𝑛 7) ∑∞ = 𝑘=0 4 𝑥

1 1−4𝑥 2

Derive 1 1

𝑛−1 8) ∑∞ = (1−𝑥)2 𝑛=0 𝑛𝑥

1

𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 2

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

Integrando 4 9) ∑∞ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 𝑛+1 𝑛+1

= log(1 + 𝑥)

Integrando 5 10) ∑∞ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 2𝑛+1

= tan−1 𝑥

Criterios de Convergencia ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛 ≥ 0 Tres Categorías i. Condición Suficiente  Si la condición c se cumple entonces ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ii. Condición Necesaria  Si la serie ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 iii. Condición Necesaria y Suficiente  ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑐 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Teorema: Supongamos que 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1. Si existe un C tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑐 ∗ 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝕫+ entonces la convergencia de la serie ∑ 𝑏𝑛 implica la convergencia de ∑ 𝑎𝑛 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑐 ∗ 𝑏𝑛 , 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∑ 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

IAN PAUCAR

UCE CRITERIO DE COMPARACIÓN POR EL PASO AL LIMITE

Teorema: Comparo una serie que conozca, con una que me piden Supóngase que ∑ 𝑎𝑛 y ∑ 𝑏𝑛 son series de A términos positivos i)

Si lim

ii)

Si lim

iii)

𝑎𝑛

𝑛→∞ 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑛→∞ 𝑏𝑛 𝑎𝑛

lim

𝑛→∞ 𝑏𝑛

= 𝑐 > 0, entonces ambas series convergen o divergen = 0, entonces (si∑ 𝑏𝑛 converge ∑ 𝑎𝑛 converge)

= ∞, entonces (si∑ 𝑏𝑛 diverge ∑ 𝑎𝑛 diverge)

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II

IAN PAUCAR

UCE

ANÁLISIS II