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IAN PAUCAR

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemáticas Carrera de Ingeniería en Informática Análisis II Fichas 2018-2018 PORTADA Ian Hendry Paucar Montes Segundo Semestre Paralelo: Primero

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IAN PAUCAR ÍNDICE

Contenido PORTADA ........................................................................................................................................................................................................................................... 1 ÍNDICE ................................................................................................................................................................................................................................................ 2 PRIMER HEMISEMESTRE ............................................................................................................................................................................................................. 11 EL SÍMBOLO DE LA SUMATORIA .............................................................................................................................................................................................. 12 REPRESENTACIÓN ................................................................................................................................................................................................................ 12 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 12 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 13 PROPIEDADES ........................................................................................................................................................................................................................ 14 DATOS ADICIONALES .......................................................................................................................................................................................................... 15 ÁREA DE LA REGIÓN BAJO LA CURVA.................................................................................................................................................................................... 16 PARTICIÓN .............................................................................................................................................................................................................................. 19 NORMA DE UNA PARTICIÓN .............................................................................................................................................................................................. 19 PARTICIÓN REGULAR .......................................................................................................................................................................................................... 20 BASES DE LOS RECTÁNGULOS .......................................................................................................................................................................................... 20 EXTREMO IZQUIERDO ......................................................................................................................................................................................................... 22 EXTREMO DERECHO ............................................................................................................................................................................................................ 24 PUNTO MEDIO ........................................................................................................................................................................................................................ 26 INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................................................................................................................... 27 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 28 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 28 DATOS ADICIONALES .......................................................................................................................................................................................................... 30 PROPIEDADES ........................................................................................................................................................................................................................ 31 2

IAN PAUCAR CASOS DE INTEGRALES....................................................................................................................................................................................................... 37 INTEGRALES PARES E IMPARES ................................................................................................................................................................................................ 40 1ER PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.............................................................................................................................................. 42 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 42 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 43 PRIMITIVA O ANTIDERIVADA.................................................................................................................................................................................................... 43 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 43 TEOREMA ................................................................................................................................................................................................................................ 43 2DA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ............................................................................................................................................. 45 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 45 INTEGRAL INDEFINIDA ....................................................................................................................................................................................................... 46 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 46 TEOREMA ................................................................................................................................................................................................................................ 46 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS ..................................................................................................................................................... 47 DERIVADAS PRINCIPALES .......................................................................................................................................................................................................... 48 IDENTIDADES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................................................................................................................. 49 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN...................................................................................................................................................................................................... 50 POR SUSTITUCIÓN......................................................................................................................................................................................................................... 50 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 50 POR SUSTITUCIÓN (PARA INTEGRALES DEFINIDAS) .......................................................................................................................................................... 51 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 51 INTEGRACIÓN POR PARTES........................................................................................................................................................................................................ 51 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 52 INTEGRACIÓN POR PARTES (PARA INTEGRALES DEFINIDAS) ......................................................................................................................................... 53 3

IAN PAUCAR RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................................................................................................... 53 ÁREA ENTRE DOS CURVAS......................................................................................................................................................................................................... 54 ÁREA EN COORDENADAS POLARES ........................................................................................................................................................................................ 58 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 58 CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS CARTESIANAS .......................................................................................................... 59 CONVERSIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A COORDENADAS POLARES .......................................................................................................... 59 ÁNGULOS NOTABLES................................................................................................................................................................................................................... 60 TRIÁNGULOS NOTABLES ............................................................................................................................................................................................................ 61 ÁREAS EN COORDENADAS POLARES ...................................................................................................................................................................................... 62 PARTICIÓN EN COORDENADAS POLARES: ..................................................................................................................................................................... 65 VOLUMEN DE UN SÓLIDO ........................................................................................................................................................................................................... 66 VOLUMEN DEL SÓLIDO DE CAVALIERI .................................................................................................................................................................................. 67 MÉTODO DE RODAJAS ................................................................................................................................................................................................................. 68 PARTICIÓN .............................................................................................................................................................................................................................. 68 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN ......................................................................................................................................................................... 69 MÉTODO DE LA CORTEZA .......................................................................................................................................................................................................... 75 PARTICIÓN .............................................................................................................................................................................................................................. 76 FUNCIÓN LOGARÍTMICA ............................................................................................................................................................................................................. 80 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 80 REPRESENTACIÓN GRÁFICA .............................................................................................................................................................................................. 80 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 81 PROPIEDADES ........................................................................................................................................................................................................................ 81 GRÁFICA .................................................................................................................................................................................................................................. 82 LOGARITMO NATURAL ............................................................................................................................................................................................................... 83 4

IAN PAUCAR DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 83 NOTACIÓN ............................................................................................................................................................................................................................... 83 LOGARITMO DE BASE POSITIVA ............................................................................................................................................................................................... 84 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 84 PROPIEDADES ........................................................................................................................................................................................................................ 84 OBSERVACIÓN ....................................................................................................................................................................................................................... 84 REPRESENTACIÓN GRÁFICA .............................................................................................................................................................................................. 85 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ...................................................................................................................................... 86 INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................................................................................................................... 86 LA INTEGRAL DEL LOGARITMO ............................................................................................................................................................................................... 87 GRAFICO DEL LOGARITMO NATURAL CON LOGARITMO DE BASE 𝟏𝒆 .......................................................................................................................... 87 LOGARITMO DE DIFERENTE BASE ........................................................................................................................................................................................... 88 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................................................................................................... 89 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................................................................................................. 89 OBSERVACIONES .................................................................................................................................................................................................................. 89 NOTACIÓN ............................................................................................................................................................................................................................... 89 PROPIEDADES ........................................................................................................................................................................................................................ 89 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS .................................................................................................................................................................................. 90 GRÁFICA .................................................................................................................................................................................................................................. 91 DERIVADA E INTEGRAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................................................................. 92 SEGUNDO HEMISEMESTRE ......................................................................................................................................................................................................... 96 GRÁFICA CIRCULO TRIGONOMÉTRICO .................................................................................................................................................................................. 97 GRÁFICA HIPÉRBOLA UNIDAD CON FUNCIONES HIPERBÓLICAS ................................................................................................................................... 98 FUNCIONES HIPERBÓLICAS ....................................................................................................................................................................................................... 99 5

IAN PAUCAR Definición .................................................................................................................................................................................................................................. 99 GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS .................................................................................................................................................................. 100 Función Seno Hiperbólico ....................................................................................................................................................................................................... 100 Función Coseno Hiperbólico ................................................................................................................................................................................................... 101 Función Tangente Hiperbólica ................................................................................................................................................................................................. 102 IDENTIDADES HIPERBÓLICAS ................................................................................................................................................................................................. 103 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS ................................................................................................................................................................. 104 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ........................................................ 106 Función Seno ........................................................................................................................................................................................................................... 106 Redefinida la Función Seno para que sea Biyectiva ................................................................................................................................................................ 107 Función ArcoSeno ................................................................................................................................................................................................................... 108 Función Coseno ....................................................................................................................................................................................................................... 109 Redefinida la Función Coseno para que sea Biyectiva ............................................................................................................................................................ 110 Función ArcoCoseno ............................................................................................................................................................................................................... 111 Función Tangente..................................................................................................................................................................................................................... 112 Redefinida la Función Tangente para que sea biyectiva .......................................................................................................................................................... 113 Función ArcoTangente............................................................................................................................................................................................................. 114 Función Cosecante ................................................................................................................................................................................................................... 115 Redefinida la Función Cosecante para que sea biyectiva ........................................................................................................................................................ 116 Función ArcoCosecante ........................................................................................................................................................................................................... 117 Función Secante ....................................................................................................................................................................................................................... 118 Redefinida la Función Secante para que sea Biyectiva ........................................................................................................................................................... 119 Función ArcoSecante ............................................................................................................................................................................................................... 120 Función Cotangente ................................................................................................................................................................................................................. 121 6

IAN PAUCAR Redefinida la Función Cotangente para que sea Biyectiva ...................................................................................................................................................... 122 Función ArcoCotangente ......................................................................................................................................................................................................... 123 DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ................................................................................................... 124 Función ArcoSeno ................................................................................................................................................................................................................... 124 Función ArcoCoseno ............................................................................................................................................................................................................... 125 Función ArcoTangente............................................................................................................................................................................................................. 126 Función ArcoCotangente ......................................................................................................................................................................................................... 127 Función ArcoSecante ............................................................................................................................................................................................................... 128 Función ArcoCosecante ........................................................................................................................................................................................................... 129 TRIÁNGULOS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................................................................ 130 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES ..................................................................................................................................................................... 131 TIPOS DE POLINOMIOS .............................................................................................................................................................................................................. 132 Polinomio Lineal ...................................................................................................................................................................................................................... 132 Polinomio Cuadrático .............................................................................................................................................................................................................. 132 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA ..................................................................................................................................................... 134 Análisis a evaluar antes de la sustitución ................................................................................................................................................................................. 134 Casos de Sustitución ................................................................................................................................................................................................................ 134 Caso 1....................................................................................................................................................................................................................................... 135 Caso 2....................................................................................................................................................................................................................................... 136 Caso 3....................................................................................................................................................................................................................................... 137 INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 2 ..................................................................................................................................................... 138 INTEGRAL DEL PRODUCTO ENTRE FUNCIÓN SENO Y COSENO ..................................................................................................................................... 139 ARTIFICIOS FUNDAMENTALES ............................................................................................................................................................................................... 140 Seno.......................................................................................................................................................................................................................................... 140 7

IAN PAUCAR Coseno...................................................................................................................................................................................................................................... 141 Tangente ................................................................................................................................................................................................................................... 142 Cotangente ............................................................................................................................................................................................................................... 143 Secante ..................................................................................................................................................................................................................................... 144 Cosecante ................................................................................................................................................................................................................................. 145 FORMAS INDETERMINADAS .................................................................................................................................................................................................... 146 LIMITES NOTABLES .................................................................................................................................................................................................................... 148 INTEGRALES IMPROPIAS........................................................................................................................................................................................................... 149 Caso A ...................................................................................................................................................................................................................................... 150 SUCESIONES ................................................................................................................................................................................................................................. 155 Definición ................................................................................................................................................................................................................................ 155 Notación ................................................................................................................................................................................................................................... 155 Por Tabulación ......................................................................................................................................................................................................................... 155 Por Comprensión ..................................................................................................................................................................................................................... 155 Representación gráfica ............................................................................................................................................................................................................. 157 Caso 1....................................................................................................................................................................................................................................... 157 Caso 2....................................................................................................................................................................................................................................... 157 Caso 3....................................................................................................................................................................................................................................... 158 Caso 4....................................................................................................................................................................................................................................... 158 Caso 5....................................................................................................................................................................................................................................... 158 Caso 6....................................................................................................................................................................................................................................... 158 Caso 7....................................................................................................................................................................................................................................... 158 Definición ................................................................................................................................................................................................................................ 159 Teorema 1 ................................................................................................................................................................................................................................ 159 8

IAN PAUCAR Teorema 2 ................................................................................................................................................................................................................................ 160 Teorema 3 ................................................................................................................................................................................................................................ 160 PROPIEDADES DE LIMITES CONOCIDOS ............................................................................................................................................................................... 160 MONOTONÍA ................................................................................................................................................................................................................................. 161 SUCESIONES ACOTADAS........................................................................................................................................................................................................... 161 SERIES INFINITAS ........................................................................................................................................................................................................................ 162 Definición ................................................................................................................................................................................................................................ 162 Teorema: .................................................................................................................................................................................................................................. 162 Notación ................................................................................................................................................................................................................................... 162 SÍMBOLO DE SUMATORIA ........................................................................................................................................................................................................ 163 Propiedades .............................................................................................................................................................................................................................. 163 Aditiva...................................................................................................................................................................................................................................... 163 Homogénea .............................................................................................................................................................................................................................. 163 Linealidad ................................................................................................................................................................................................................................ 163 Telescópica .............................................................................................................................................................................................................................. 163 Linealidad de las series ............................................................................................................................................................................................................ 164 Serie Armónica ........................................................................................................................................................................................................................ 164 Serie P ...................................................................................................................................................................................................................................... 165 Serie Telescópica ..................................................................................................................................................................................................................... 165 Teorema ................................................................................................................................................................................................................................... 165 Caso A ...................................................................................................................................................................................................................................... 167 Caso B ...................................................................................................................................................................................................................................... 167 Propiedades .............................................................................................................................................................................................................................. 168 CRITERIOS DE CONVERGENCIA .............................................................................................................................................................................................. 170 9

IAN PAUCAR Categorías de Convergencia .................................................................................................................................................................................................... 170 Teorema ................................................................................................................................................................................................................................... 170 CRITERIO DE COMPARACIÓN .................................................................................................................................................................................................. 171 Teorema ................................................................................................................................................................................................................................... 171 CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LIMITE ......................................................................................................................................................... 172 CRITERIO DE LA INTEGRAL ..................................................................................................................................................................................................... 173 Teorema ................................................................................................................................................................................................................................... 173 CRITERIO DE LA RAÍZ ................................................................................................................................................................................................................ 173 CRITERIO DEL COCIENTE.......................................................................................................................................................................................................... 174

10

IAN PAUCAR

PRIMER HEMISEMESTRE

11

IAN PAUCAR EL SÍMBOLO DE LA SUMATORIA

∑

REPRESENTACIÓN 𝑛

𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = ∑ 𝑎𝑘

𝑛 ∈ ℤ+

,

𝑘=1

𝑛

𝑎 𝑗 + 𝑎 𝑗+1 + 𝑎 𝑗+2 + ⋯ + 𝑎 𝑗+𝑛 = ∑ 𝑎𝑘

,

𝑛, 𝑗 ∈ ℤ+

𝑘=𝑗

DEFINICIÓN 1

∑ 𝑎𝑘 = a1 (Definición por Inducción) 𝑘=1

𝑛+1

𝑛

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 + 𝑎𝑛+1 𝑘=1

𝑘=1

12

IAN PAUCAR OBSERVACIONES 𝑛

𝑆

𝑛

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛 1 < 𝑠 < 𝑛 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=𝑆+1

𝑛

𝑛−1

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘+1 𝑘=1

𝑘=0

𝑛

𝑛+1

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘−1 𝑘=1

𝑛

𝑘=2

𝑛+𝑡

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘−𝑡 , 𝑐𝑜𝑛 (𝑠 + 𝑡 ∈ Ζ + ) ∨ (𝑠 − 𝑡 ∈ Ζ + ) 𝑘=𝑠

𝑘=𝑠+𝑡 𝑛

𝑛

𝑛

∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = (𝑎1 + 𝑏1 ) + (𝑎2 + 𝑏2 ) + (𝑎3 + 𝑏3 ) + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ + 𝑏𝑛 ) = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑛

𝑛

∑ 𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑎1 + 𝐶𝑎2 + 𝐶𝑎3 + ⋯ + 𝐶𝑎𝑛 = 𝐶(𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) = 𝐶 ∑ 𝑎𝑘 𝑘=1

𝑘=1

13

𝑘=1

IAN PAUCAR PROPIEDADES 𝑛

𝑛

𝑛

∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 (Propiedad Aditiva) 𝑘=1

𝑘=1

𝑛

𝑘=1

𝑛

∑ 𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑘 , con C = cte (Propiedad Homogénea) 𝑘=1

𝑛

𝑘=1

𝑛

𝑛

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑ 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑ 𝑏𝑘 , con A, B = cte (Propiedad de Linealidad) 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑛

∑(𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 ) = 𝑎𝑛 – 𝑎0 (Propiedad Telescópica)(Posterior – Anterior) 𝑘=1 𝑛

∑(𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘 ) = 𝑎0 – 𝑎𝑛 (Propiedad Telescópica) (Anterior – Posterior) 𝑘=1

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IAN PAUCAR DATOS ADICIONALES 𝑛

𝑛

∑ 1 = ∑[(𝑘 + 1) − 𝑘] = (n + 1) − 1 = n 𝑘=1

𝑘=1 𝑛

∑ 𝑐 = 𝑐𝑛 , 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑡𝑒 𝑘=1 𝑛

∑𝑘 = 𝑘=1

𝑛

∑ 𝑘2 = 𝑘=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

𝑛

∑ 𝑘3 = 𝑘=1 𝑛

∑ 𝑘4 = 𝑘=1

𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑛2 (𝑛 + 1)2 4

16𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1) 𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) = = 15 30 30

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IAN PAUCAR

ÁREA DE LA REGIÓN BAJO LA CURVA

𝑎(𝐹) → Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐹

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IAN PAUCAR

17

IAN PAUCAR 2

𝐹 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ ,

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

a(R1) = (x1-a). f(x1*)

𝐹 = {𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 {𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏}, 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 {𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}}

a(R2) = (x2- x1). f(x2*)

𝑛 →∞

.

Δ𝑥𝑘 → 0

.

∀𝑥 = [1, 𝑛]

.

a (Rectángulo) = b x h

a(Rk) = (xk- xk-1). f(xk*) a(Rn) = (xn- xn-1). f(xn*) 𝑎(𝐹) ≈ 𝑎(𝑅1 ) + 𝑎(𝑅2 ) + ⋯ + 𝑎(𝑅𝑛 )

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IAN PAUCAR PARTICIÓN Sea [𝑎, 𝑏] un intervalo, una partición de [𝑎, 𝑏] que notaremos P[𝑎, 𝑏] dada por: P[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tal que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 que subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de la forma: [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] con 𝑘 = [1, 𝑛] De longitud ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 y sea 𝑥𝑘 ∗ ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] con ∀𝑘 = [1, 𝑛] NORMA DE UNA PARTICIÓN La longitud del intervalo más grande se denota por ‖𝑃‖ y se llama norma de 𝑃. De modo que: ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛 } = 𝑚á𝑥{∆𝑥𝑘 ; 𝑘 = [1, 𝑛]} 𝑎(𝑅𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )Δ𝑥𝑘 𝑛

𝑎(𝐹) ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) Δ𝑥𝑘 𝑘=1 𝑛

𝑎(𝐹) ≈ ∑ 𝑎(𝑅𝑘 ) 𝑘=1

𝑎(𝐹) ≈ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 ∗). Δ𝑥𝑘 𝑛

𝑎(𝐹) = lim ∑ 𝑎(𝑅𝑘 ) 𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑎(𝐹) = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗). Δ𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1

‖𝑃‖ → 0 19

IAN PAUCAR PARTICIÓN REGULAR

P[𝑎, 𝑏] es una partición regular si ∆𝑥𝑘 = ∆𝑥𝑗 ; ∀𝑘 = [1, 𝑛], ∀𝑗 = [1, 𝑛] o sea ∆𝑥𝑘 = ∆𝑥 , ∆𝑥 = ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 = ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

Para la altura del triangulo [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] BASES DE LOS RECTÁNGULOS

𝑥0 = 𝑎 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝑥2 = 𝑥0 + 2∆𝑥 . . . 𝑥𝑘−1 = 𝑥0 + (𝑘 − 1)∆𝑥 𝑥𝑘 = 𝑥0 + 𝑘∆𝑥 . . . 𝑥𝑛−1 = 𝑥0 + (𝑛 − 1)∆𝑥 𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑛∆𝑥 = 𝑏 20

𝑏−𝑎 𝑛

IAN PAUCAR

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IAN PAUCAR EXTREMO IZQUIERDO [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ],

𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘 − 1)

𝑏−𝑎 𝑛

𝑎 = 𝑥0 𝑥1 = 𝑎 +

𝑏−𝑎 𝑛

𝑥2 = 𝑎 + 2

𝑏−𝑎 𝑛

𝑥3 = 𝑎 + 3

𝑏−𝑎 𝑛

. . 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘 − 1) 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘

𝑏−𝑎 𝑛

𝑏−𝑎 𝑛

. . 𝑥𝑛−1 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛

𝑏−𝑎 𝑛

𝑏−𝑎 =𝑏 𝑛

𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑎(𝐹) = lim ∑ 𝑓( 𝑎 + (𝑘 − 1) ) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

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IAN PAUCAR

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IAN PAUCAR EXTREMO DERECHO [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ],

𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘)

𝑏−𝑎 𝑛

𝑎 = 𝑥0 𝑥1 = 𝑎 +

𝑏−𝑎 𝑛

𝑥2 = 𝑎 + 2

𝑏−𝑎 𝑛

. . . 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘 − 1) 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘

𝑏−𝑎 𝑛

𝑏−𝑎 𝑛

. . 𝑥𝑛−1 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛

𝑏−𝑎 𝑛

𝑏−𝑎 =𝑏 𝑛 𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑎(𝐹) = lim ∑ 𝑓( 𝑎 + 𝑘 ) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

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IAN PAUCAR

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IAN PAUCAR PUNTO MEDIO [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ],

𝑥𝑘 ∗ = ̅̅̅ 𝑥𝑘 =

𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 1 𝑏−𝑎 = 𝑎 + (𝑘 − ) 2 2 𝑛

𝑛

𝑏−𝑎 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 𝑎(𝐹) = lim ∑ 𝑓( ) 𝑛→∞ 𝑛 2 𝑘=1

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IAN PAUCAR INTEGRAL DEFINIDA

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IAN PAUCAR DEFINICIÓN 𝑏

Sea 𝑓 una función definida en [𝑎 , 𝑏], la integral definida de 𝑓 en [𝑎 , 𝑏] que notamos ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 esta dada por: (Siempre que el limite exista) 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑎

𝑘=1

‖𝑃‖ → 0 𝑛

Sumatoria de Riemann:

∑ 𝑓൫𝑥𝑘 ∗ ൯ Δ𝑥𝑘 𝑘=1

OBSERVACIONES 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎(𝐹) = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) Δ𝑥𝑘 (Área bajo la curva) 𝑛→∞ 2. Con f de función integrante y a,b límites de integración 1. Si 𝑓(𝑥) ≥ 0,

∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑎

3. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑝𝑢𝑒𝑠 ∆𝑥 = 0 𝑏

𝑎

4. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

5. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∈ ℝ

28

IAN PAUCAR y

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎(𝐹1) − 𝑎(𝐹2) + 𝑎(𝐹3) 𝑎

29

IAN PAUCAR DATOS ADICIONALES 𝑏

∫ 𝐶𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎) 𝑎 𝑏

𝑏 2 − 𝑎2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑎 𝑏

𝑏 3 − 𝑎3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑎 2

𝑏

∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑛(𝑏) 𝑎

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IAN PAUCAR PROPIEDADES 𝑏

𝑏

𝑏

1. ∫𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

31

IAN PAUCAR 𝑏

𝑏

2. ∫𝑎 𝐶𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

32

IAN PAUCAR

3.

𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

=

𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+

𝑏 ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 ; Propiedad Aditiva con respecto al intervalo de la Integral

33

IAN PAUCAR

4.

𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

=

𝑏+𝑐 ∫𝑎+𝑐 𝑓(𝑥

− 𝑐)𝑑𝑥

34

IAN PAUCAR 5.

𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

=

𝑏𝑘 𝑥 ∫ 𝑓(𝑘)𝑑𝑥 𝑘 𝑎𝑘 1

, 𝑘 ≠ 0, 𝑠𝑖 𝑘 > 1 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎 𝑦 𝑠𝑖 𝑘 < 1 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

35

IAN PAUCAR 6. Si 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

≥0

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

7. Si 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

8. Si 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

9. Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑏

𝑏

10. |∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 36

IAN PAUCAR CASOS DE INTEGRALES  f es continua en [𝑎, 𝑏] y definida en [𝑎, 𝑏]

37



IAN PAUCAR Es integrable pues aunque es discontinua en p y q es discontinua a saltos

38



IAN PAUCAR No es integrable cuando la discontinuidad es al infinito en este caso en p, no es acotada

39

IAN PAUCAR INTEGRALES PARES E IMPARES Supóngase que 𝑓 es continua en [−𝑎 , 𝑎] Dónde: Si f es impar 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0, 𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 −𝑎

40

IAN PAUCAR Dónde: Si f es par: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 −𝑎

0

41

IAN PAUCAR 1ER PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DEFINICIÓN Sea f una función integrable en [𝑎 , 𝑏] y sea la función 𝐹 definida por: 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 La derivada de esta es 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). Siendo F derivable.

𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎

𝑆𝑖 𝑓 ≥ 0; ∀𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏] 𝑏

𝑎(𝑆) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥

𝑎

𝑎(𝑆𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) 𝑎

42

IAN PAUCAR OBSERVACIONES 𝑔(𝑥)



Si 𝐹(𝑥) = ∫𝑎



Si 𝐹(𝑥) = ∫ℎ(𝑥) 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) − 𝑓൫ℎ(𝑥)൯ ℎ′ (𝑥)

PRIMITIVA O ANTIDERIVADA DEFINICIÓN Una función F es primitiva de f si cumple con 𝐹 ′ = 𝑓

TEOREMA Dos primitivas de f se diferencian en una constante esto es, si F y G son primitivas de f entonces: 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝑐 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 𝐺 ′ (𝑥) = 𝑓 Entonces: 𝐹 ′ (𝑥) − 𝐺 ′ (𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑐

43

IAN PAUCAR

𝑑

𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

44

IAN PAUCAR 2DA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DEFINICIÓN Sea f una función integrable en [𝑎 , 𝑏] 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

45

IAN PAUCAR ′

′

En donde F es cualquier anti derivada de f, es decir 𝐹 = 𝑓 y además 𝐺 (𝑥) = 𝑓(𝑥) INTEGRAL INDEFINIDA Debido a la relación entre antiderivadas e integrales proporcionada por el Teorema Fundamental, tradicionalmente se usa la notación ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 para indicar una antiderivada de 𝑓 y se llama integral indefinida. De modo que:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥), 𝑝𝑢𝑒𝑠𝐹 ′ = 𝑓

OBSERVACIONES Se debe distinguir cuidadosamente entre integrales definidas e indefinidas. 𝑏

Una integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es un número , mientras que una integral indefinida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es una función. La relación entre estos conceptos está dada por la Parte 2 del Teorema Fundamental. Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces

𝑏

𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ] 𝑎 , Si 𝐹 ′ = 𝑓

TEOREMA 1. ∫൫𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)൯𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 2. ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑐𝑡𝑒 46

IAN PAUCAR PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Función a Integrar

Primitiva 𝐹+𝑐

∫ 𝒇𝒅𝒙

𝑐𝑥

∫ 𝒄𝒅𝒙

𝑥 𝑛+1

𝒏

∫ 𝒙 𝒅𝒙

𝑛+1

+c

−cos 𝑥 + 𝑐

∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒅𝒙

sin 𝑥 + 𝑐

∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

sec 𝑥 + 𝑐

∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙

− csc 𝑥 + 𝑐

∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙

tan 𝑥 + 𝑐

∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒙𝒅𝒙

− cot 𝑥 + 𝑐

47

IAN PAUCAR DERIVADAS PRINCIPALES 𝐷𝑐 = 0 𝐷𝑥 = 1 𝐷𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝐷𝑣 𝑛 = 𝑛𝑣 𝑛−1 𝑣 ′ 𝐷𝑢𝑣 = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ 𝐷

𝑢 𝑣𝑢′ − 𝑢𝑣′ = 𝑣 𝑣2 𝐷 ln 𝑣 =

𝑣′ 𝑣

𝐷𝑒 𝑣 = 𝑒 𝑣 𝑣′ 𝐷𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ln 𝑎 𝑣 ′ 𝐷𝑢𝑣 = 𝑣𝑢𝑣−1 𝑢′ + 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑣 ′ 𝐷 sin 𝑣 = cos 𝑣 𝑣 ′ 𝐷 cos 𝑣 = − sin 𝑣 𝑣 ′ 𝐷 tan 𝑣 = sec 2 𝑣 𝑣 ′ 𝐷 cot 𝑣 = − csc 𝑣 𝑣 ′ 𝐷 sec 𝑣 = sec 𝑣 tan 𝑣 𝑣 ′ 𝐷 csc 𝑣 = − csc 𝑣 cot 𝑣 𝑣 ′

48

IAN PAUCAR IDENTIDADES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 tan2 𝑥 + 1 = sec 2 𝑥 cot 2 𝑥 + 1 = csc 2 𝑥 sin 𝑥 csc 𝑥 = 1 cos 𝑥 sec 𝑥 = 1 tan 𝑥 cot 𝑥 = 1 cos 2𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = tan 2𝑥 =

2 tan 𝑥 1 − tan2 𝑥

sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 =

2 tan 𝑥 1 + tan2 𝑥

sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥 + tan 𝑦 1 − tan 𝑥 tan 𝑦

sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − cos 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦 tan(𝑥 − 𝑦) =

tan 𝑥 − tan 𝑦 1 + tan 𝑥 tan 𝑦

49

1 − tan2 𝑥 1 + tan2 𝑥

IAN PAUCAR MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

POR SUSTITUCIÓN DEFINICIÓN En general, este método funciona cuando se tiene una integral de la forma ∫ 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) Obsérvese que si 𝐹 ′ = 𝑓, entonces [𝐹൫𝑔(𝑥)൯]′ = 𝐹′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥) ∫ 𝐹 ′ ൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹൫𝑔(𝑥)൯ + 𝐶 𝑆𝑖 𝐹 ′ = 𝑓 Ya que, por la Regla de la Cadena, 𝑑 [𝐹൫𝑔(𝑥)൯] = 𝐹 ′ ൫𝑔(𝑥)൯𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 Si realizamos el “cambio de variable” o “sustitución” 𝑢 = 𝑔(𝑥) y 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥) entonces, se tendría ∫ 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹൫𝑔(𝑥)൯ + 𝐶 𝐶𝑜𝑛 𝑢 = 𝑔(𝑥)

y

𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)

∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 O, escribiendo 𝐹 ′ = 𝑓, obtenemos ∫ 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢

50

IAN PAUCAR POR SUSTITUCIÓN (PARA INTEGRALES DEFINIDAS) DEFINICIÓN Si 𝑔′ es continua en [𝑎 , 𝑏] y 𝑓 es continua en el rango de 𝑔, entonces 𝑏

𝑔(𝑏)

∫ 𝑓൫𝑔(𝑥)൯ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹൫𝑔(𝑏)൯ − 𝐹൫𝑔(𝑎)൯ = 𝐹(𝑔(𝑥))] = 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎)) = ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥]

𝑔(𝑎)

𝑢 = 𝑔(𝑥), 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 𝑎 → 𝑔(𝑎), 𝑥 = 𝑏 → 𝑔(𝑏) ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥]

𝑏 𝑔(𝑏) = 𝐹(𝑢)] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑔(𝑎)

INTEGRACIÓN POR PARTES La regla del producto establece que si f y 𝑔 son funciones derivables, entonces 𝑑 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 Al Integrar esta ecuación se convierte en ∫[𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) O, bien ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

51

IAN PAUCAR Podemos reacomodar esta ecuación como ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 Ahora, sea 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥). Entonces, las diferenciales son 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥, así que por la regla de sustitución, la fórmula para la integración por partes se transforma en ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

OBSERVACIONES 1. 𝑑𝑣 puede ser de preferencia las expresiones exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas, también debe ser fácil de integrar 2. 𝑢 puede ser de preferencia las potencias (polinómicas) y logaritmos 3. A veces se llega a la misma integral, pero el coeficiente debe ser distinto de uno 4. La integral resultante debe ser más sencilla 5. Debe ser un producto de dos factores

52

IAN PAUCAR INTEGRACIÓN POR PARTES (PARA INTEGRALES DEFINIDAS) Evaluando ambos lados de la fórmula para la integración por partes, entre a y b, suponiendo que 𝑓 ′ y 𝑔′ son continuas, y utilizando el teorema fundamental del cálculo, obtenemos 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑔 𝑎

′ (𝑥)

𝑏 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ] − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑓′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑎

𝑏 𝑏 𝑏 ∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 ] − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑎 𝑎 𝑎

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

53

IAN PAUCAR ÁREA ENTRE DOS CURVAS

𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)} 𝑆 = {𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓 ≤ 𝑓(𝑥)} 𝑆 = {(𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠: 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏)൫𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥)൯} 𝑆 =𝐹−𝐺 𝑎(𝑆) = 𝑎(𝐹) − 𝑎(𝐺) 𝑏

𝑏

𝑏

𝑎(𝑆) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

54

IAN PAUCAR

𝐻 ≈ 𝐻∗ 𝑎(𝐻) = 𝑎(𝐻 ∗ ) 𝐻 ∗ = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔(𝑥) + 𝑘 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑘} 𝑏

𝑏

𝑏

𝑎(𝐻) = 𝑎(𝐻 ∗ ) = ∫ [(𝑓(𝑥) + 𝑘) − (𝑔(𝑥) + 𝑘)]𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑘 − 𝑔(𝑥) − 𝑘]𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

𝑎

55

𝑎

IAN PAUCAR

𝑐1

𝑏

𝑐2

𝑑

𝑎(𝑅) = 𝑎(𝑅1) + 𝑎(𝑅2) + 𝑎(𝑅3) + 𝑎(𝑅4) = ∫ [𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑑𝑥] + ∫ [𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

𝑐1

56

𝑏

𝑐2

IAN PAUCAR

𝑏

𝑏

𝑎(𝐹 ∗ ) = ∫ ൫0 − 𝑓(𝑥)൯𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎

𝑎

57

IAN PAUCAR ÁREA EN COORDENADAS POLARES DEFINICIÓN El área S de la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), [𝑎 , 𝑏], es

y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas 𝑥 = 𝑎, y 𝑥 = 𝑏, donde 𝑓 y 𝑔 son continuas y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en 𝑏

𝑎(𝑆) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑎

58

𝑥 cos 𝜃 = ↔ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑦 sin 𝜃 = ↔ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑦 tan 𝜃 = 𝑥 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2

CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS CARTESIANAS [𝑟; 𝜃] → [𝑥, 𝑦] 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

CONVERSIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A COORDENADAS POLARES [𝑥, 𝑦] → [𝑟; 𝜃] 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 tan 𝜃 =

59

𝑦 𝑥

IAN PAUCAR

IAN PAUCAR ÁNGULOS NOTABLES

60

IAN PAUCAR TRIÁNGULOS NOTABLES

61

IAN PAUCAR ÁREAS EN COORDENADAS POLARES Primero se necesita saber cómo calcular el área de un sector circular. 1

Dicha fórmula viene dada por 𝐴 = 2 𝑟 2 𝜃

62

IAN PAUCAR

63

IAN PAUCAR 𝑅 = {(𝑟, 𝜃) / 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑓(𝜃) ; 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏} 𝑅 = {(𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠: 𝜃 = 𝑎, 𝜃 = 𝑏)(𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑟 = 𝑓(𝜃)} 𝑛

𝑎(𝑅) ≈ ∑ 𝑎(𝐶𝑘 ) 𝑘=1

1 2 ∗ 𝑓 (𝜃𝑘 ). ∆θ𝑘 2 𝑛 1 𝑎(𝑅) ≈ ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 2 𝑎(𝐶𝑘 ) ≈

𝑘=1

𝑛→∞ ‖𝑃‖ → 0 ⇒ ∑𝑛𝑘=1 𝑎(𝐶𝑘 ) → 𝑎(𝑅) 𝑛

1 𝑎(𝑅) = lim ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ ). ∆θ𝑘 2 𝑛→∞ 𝑘=1

1 𝑏 2 ∗ 𝑎(𝑅) = ∫ 𝑓 (𝜃𝑘 ). ∆θ𝑘 2 𝑎 𝑏 1 𝑏 2 1 𝑏 2 1 𝑏 2 (𝜃). (𝜃). (𝜃). 𝑎(𝑆) = ∫ 𝑓 𝑑𝜃 − ∫ 𝑔 𝑑𝜃 = [∫ 𝑓 𝑑𝜃 − ∫ 𝑔2 (𝜃). 𝑑𝜃] 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎 𝑎

𝑎(𝑆) =

1 𝑏 2 ∫ [𝑓 (𝜃) − 𝑔2 (𝜃)] 𝑑𝜃 2 𝑎

64

IAN PAUCAR PARTICIÓN EN COORDENADAS POLARES: Sea la partición 𝑃[𝑎, 𝑏] = {𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑛 } tal que 𝑎 = 𝜃0 < 𝜃1 < 𝜃2 < ⋯ < 𝜃𝑛 = 𝑏 que subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos de la forma [𝜃𝑘−1 ; 𝜃𝑘 ] de longitud ∆𝜃𝑘 = 𝜃𝑘 − 𝜃𝑘−1 con ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝜃𝑘 } con ∀𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1 , 𝑛 y sea 𝜃𝑘 ∗ 𝜖[𝜃𝑘−1 ; 𝜃𝑘 ] con 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1 , 𝑛. La fórmula del sector circular es: 𝑛

1 𝑎(ℛ) ≈ ∑ [𝑓(𝜃𝑘 ∗ )]2 ∆𝜃 2 𝑖=1

Cuando 𝑛 → ∞ de modo que 𝑛

1 𝑎(ℛ) = lim ∑ [𝑓(𝜃𝑘 ∗ )]2 ∆𝜃 𝑛→∞ 2 𝑖=1

1 𝑏 𝑎(ℛ) = ∫ [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃 2 𝑎

65

IAN PAUCAR

VOLUMEN DE UN SÓLIDO

𝑎(𝐴) = 𝜋𝑟 2 ℎ = 𝑎(𝑏) ∙ ℎ

(𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 66

IAN PAUCAR VOLUMEN DEL SÓLIDO DE CAVALIERI

𝑏

𝑉(𝑆) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

67

IAN PAUCAR MÉTODO DE RODAJAS PARTICIÓN Sea [𝑎, 𝑏] un intervalo, una partición de [𝑎, 𝑏] que notaremos P[𝑎, 𝑏] dada por: P[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tal que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 que subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de la forma: [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] con 𝑘 = [1, 𝑛] De longitud ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 y sea 𝑥𝑘 ∗ ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] y además ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥𝑘 ; 𝑘 = [1, 𝑛]} Tenemos que: 𝑆 ∩ 𝑀 = 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎(𝑅) = 𝐴(𝑥) 𝑛

𝑉(𝑆) ≈ ∑ 𝑉(𝐵𝑘 ) 𝑘=1 𝑛

𝑆𝑖 𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑉(𝐵𝑘 ) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑉(𝑆) 𝑘=1 𝑛

𝑉(𝑆) = lim ∑ 𝑉(𝐵𝑘 ) 𝑛→∞

𝑘=1

‖𝑃‖ → 0 𝑉(𝐵𝑘 ) = 𝐴(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛

𝑉(𝑆) = lim ∑ 𝐴(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1 𝑏

𝑉(𝑆) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

68

IAN PAUCAR VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Alrededor del eje X

𝑏

𝑏

𝑉(𝑆) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴(𝑥) = 𝜋𝑓 2 (𝑥) 𝑎

𝑎

69

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉൫𝑆𝐹𝑦=𝑘 ൯ = 𝜋 ∫ [[𝑓(𝑥) − 𝑘]2 − 𝑘 2 ] 𝑑𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴(𝑥) = 𝜋(𝑓(𝑥) − 𝑘)2 − 𝜋(−𝑘)2 𝑎

70

IAN PAUCAR

𝑆𝐵𝑥 = 𝑆𝐹𝑥 − 𝑆𝐺𝑥 𝑉(𝑆𝐵𝑥 ) = 𝑉(𝑆𝐹𝑥 ) − 𝑉(𝑆𝐺𝑥 ) 𝑏

𝑏

𝑉(𝑆𝐵𝑥 ) = 𝜋 ∫ 𝑓

2 (𝑥)𝑑𝑥

𝑎

− 𝜋 ∫ 𝑔2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏

𝑉(𝑆𝐵𝑥 ) = 𝜋 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

71

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉൫𝑆𝐵𝑦=𝑠 ൯ = 𝜋 ∫ [[𝑠 − 𝑔(𝑥)]2 − [𝑠 − 𝑓(𝑥)]2 ]𝑑𝑥 𝑎

72

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉൫𝑆𝐵𝑦=𝑘 ൯ = 𝜋 ∫ [[𝑓(𝑥) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑘]2 ]𝑑𝑥 𝑎

73

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉൫𝑆𝐵𝑥=𝑞 ൯ = 𝜋 ∫ [[𝑓(𝑦) − 𝑞]2 − [𝑔(𝑦) − 𝑞]2 ]𝑑𝑦 𝑎

74

IAN PAUCAR MÉTODO DE LA CORTEZA

75

IAN PAUCAR PARTICIÓN Sea [𝑎, 𝑏] un intervalo, una partición de [𝑎, 𝑏] que notaremos P[𝑎, 𝑏] dada por: P[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tal que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 que subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de la forma: [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] con 𝑘 = [1, 𝑛] De longitud ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 con su norma ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥𝑘 ; 𝑘 = [1, 𝑛]} y sea 𝑥𝑘 ∗ = 𝑥̅ 𝑘 = 𝑛

𝑉൫𝑆𝐹𝑦 ൯ ≈ ∑ 𝑉(𝐶𝑘 ) 𝑘=1 𝑛

𝑆𝑖 𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑉(𝐶𝑘 ) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑉൫𝑆𝐹𝑦 ൯ 𝑘=1 𝑛

𝑉൫𝑆𝐹𝑦 ൯ = lim ∑ 𝑉(𝐶𝑘 ) , 𝑐𝑜𝑛 ‖𝑃‖ → 0 𝑛→∞

𝑘=1

𝑉(𝐵𝑘 ) = 𝐴(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑉(𝐶𝑘 ) = 𝑉(𝑆𝐸 ) − 𝑉(𝑆𝐼 ) 𝑉(𝐶𝑘 ) = 𝜋𝑥𝑘 2 𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) − 𝜋𝑥𝑘−1 2 𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) 𝑉(𝐶𝑘 ) = 𝜋(𝑥𝑘 2 − 𝑥𝑘−1 2 )𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) 𝑉(𝐶𝑘 ) = 𝜋(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 )(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) = 2𝜋𝑥𝑘 ∗ ∆𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘 ∗ ) 𝑛

𝑉(𝑆) = lim ∑ 2𝜋 𝑥𝑘 ∗ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1 𝑛

𝑉(𝑆) = 2𝜋 lim ∑ 𝑥𝑘 ∗ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1

d 𝑏

𝑉൫𝑆𝐹𝑦 ൯ = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

76

h

𝑥𝑘 +𝑥𝑘−1 2

𝑝𝑜𝑟 𝑘 = [1, 𝑛]

IAN PAUCAR

77

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉൫𝑆𝑇𝑥=𝑞 ൯ = 2𝜋 ∫ (𝑥 − 𝑞)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

78

IAN PAUCAR

𝑏

𝑉(𝑆𝑇𝑥=𝑡 ) = 2𝜋 ∫ (𝑡 − 𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

79

IAN PAUCAR FUNCIÓN LOGARÍTMICA DEFINICIÓN El logaritmo natural de x, con 𝑥 > 0, que notamos L(x), está dada por: 𝑥

1 ∫ 𝑑𝑡 𝑡 1

𝐿: ℝ+ → ℝ 𝑥

1 𝑥 → 𝑦 = 𝐿(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 𝑡 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

80

IAN PAUCAR OBSERVACIONES 𝑥

𝐿(𝑥) = ∫ 1

1 𝑑𝑡 > 0 𝑡

𝑥

𝐿(𝑥) = − ∫ 1

𝑥

𝐿(𝑥) = ∫ 1

𝑠𝑖 𝑥 > 1

1 𝑑𝑡 < 0 𝑡

𝑠𝑖 𝑥 < 1

1 𝑑𝑡 = 0 𝑡

𝑠𝑖 𝑥 = 1

log 𝑏 𝑎 = 𝑐 ↔ 𝑏 𝑐 = 𝑎

PROPIEDADES

𝐿(1) = 0 𝐿′ (𝑥) =

1 𝑥

∀𝑥 >0

𝐿(𝑎𝑏) = 𝐿(𝑎) + 𝐿(𝑏)

∀ 𝑎 > 0,

𝐿(𝑎𝑛 ) = 𝑛𝐿(𝑎) 1 𝐿 ( ) = −𝐿(𝑎) 𝑎 𝑎 𝐿 ( ) = 𝐿(𝑎) − 𝐿(𝑏) 𝑏 81

𝑏>0

IAN PAUCAR GRÁFICA 1 Como L(1)=0, entonces (1,0) ∈ 𝐿, donde la monotonía 𝐿′ (𝑥) = > 0 siendo estrictamente creciente y con la concavidad 𝐿′′(𝑥) = − 𝑥

82

1 𝑥2

< 0, hacia abajo

IAN PAUCAR LOGARITMO NATURAL DEFINICIÓN 𝑒 ∈ 𝕀, en donde 𝐿(𝑒) = 1 𝑦 𝑒 ≈ 2,718281828

NOTACIÓN 𝑳(𝒙)

𝑳𝒏(𝒙) 83

𝑳𝒐𝒈(𝒙)

IAN PAUCAR LOGARITMO DE BASE POSITIVA DEFINICIÓN log 𝑏 𝑥 =

ln 𝑥 ln 𝑏

PROPIEDADES log 𝑏 1 = 0 log 𝑏 𝑏 = 1 log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥 log 𝑏 𝑥𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦 log 𝑏

1 = −log 𝑏 𝑥 𝑥

log 𝑏 (𝑥 𝑛 ) = 𝑛log 𝑏 𝑥 log 𝑏

𝑥 = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦 𝑦

OBSERVACIÓN 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 𝑥 log|𝑥|, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 𝑒 ≈ 2,718281828 𝑒∈𝕀 ln 𝑒 = 1

84

IAN PAUCAR REPRESENTACIÓN GRÁFICA

𝐿0 : ℝ∗ → ℝ |𝑥|

𝑥 → 𝑦 = 𝐿0 (𝑥) = ∫ 1

1 𝑑𝑡 = 𝐿(|𝑥|) = log|𝑥| = ln|𝑥| 𝑡

𝐷 ln|𝑥| =

1 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑥

85

IAN PAUCAR DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

𝐷 log 𝑥 =

1 1 ; ∫ 𝑑𝑥 = log 𝑥 + 𝑐 𝑥 𝑥

𝑓 ´ (𝑥) 𝑓 ´ (𝑥) 𝐷 log 𝑓(𝑥) = ;∫ 𝑑𝑥 = log 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓 ´ (𝑥) 𝑓 ´ (𝑥) 𝐷 log|𝑥| = ;∫ 𝑑𝑥 = log|𝑓(𝑥)| + 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

− sin 𝑥 = − ln|𝑐𝑜𝑠𝑥| + c = ln|sec 𝑥| + 𝐶 cos 𝑥

∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑥

cos 𝑥 = ln|sin 𝑥| + 𝐶 sin 𝑥

(sec 𝑥 + tan 𝑥) (sec 2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶 (sec 𝑥 + tan 𝑥) (sec 𝑥 + tan 𝑥)

(csc 𝑥 − cot 𝑥) (csc 𝑥 2 − csc 𝑥 cot 𝑥) ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶 (csc 𝑥 − cot 𝑥) (csc 𝑥 − cot 𝑥) 86

IAN PAUCAR LA INTEGRAL DEL LOGARITMO

∫ log 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 log 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 log(𝑥 − 1) + 𝑐 𝟏

GRAFICO DEL LOGARITMO NATURAL CON LOGARITMO DE BASE 𝒆

87

IAN PAUCAR LOGARITMO DE DIFERENTE BASE

88

IAN PAUCAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DEFINICIÓN La función exponencial que la notamos como E se la define como la inversa de la función logarítmica, como la función real ex

𝐿: ℝ+ → ℝ 𝑦 → 𝑥 = 𝐿(𝑦)

𝐸: ℝ → ℝ+ 𝑥 → 𝑦 = 𝐸(𝑥)

𝑦 = 𝐸(𝑥) ⇔ 𝑥 = 𝐿(𝑦)

OBSERVACIONES 𝑒 log 𝑦 = 𝑦 , 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛, log 𝑒 𝑥 = 𝑥 𝑎 = 𝑒 log 𝑎 , 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛, 𝑎 = log 𝑒 𝑎 L൫E(x)൯ = L(y) = 𝑥 = 𝐼ℝ (𝑥) E൫L(y)൯ = E(x), = 𝑦 = 𝐼ℝ+ (𝑦)

NOTACIÓN E(x) ex PROPIEDADES 𝐸(0) = 1 𝐸(1) = 𝑒 89

IAN PAUCAR

𝐸

´ (𝑥)

= 𝐸(𝑥)

𝐸(𝑥 + 𝑦) = 𝐸(𝑥)𝐸(𝑦)

𝐸(−𝑥) =

1 1 = 𝑒 −𝑥 = 𝑥 𝐸(𝑥) 𝑒

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

𝑎𝑥 = 𝑎 𝑥−𝑦 𝑎𝑦

𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎

(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦

𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎−𝑥 =

(𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥

1 𝑎𝑥

𝑎 𝑥 𝑎𝑥 ( ) = 𝑥 𝑏 𝑏

90

IAN PAUCAR GRÁFICA

𝑦 = e𝑥 ⇔ 𝑥 = log 𝑦 91

IAN PAUCAR

DERIVADA E INTEGRAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

DERIVADA

INTEGRAL

𝑫𝒆𝒙 = 𝒆𝒙

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐

𝑫𝒆𝒇(𝒙) = 𝒆𝒇(𝒙) ∗ 𝒇´ (𝒙)

∫ 𝑒 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓 ´ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 log 𝑎 𝑑𝑥 =

𝑫𝒂𝒙 = 𝑫𝒆𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ∗ 𝒂𝒙

𝑫𝒂𝒇(𝒙) = 𝑫𝒆𝒇(𝒙) 𝐥𝐨𝐠 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ∗ 𝒂𝒇(𝒙) ∗ 𝒇´(𝒙)

1 ∗ 𝑎𝑥 + 𝑐 log 𝑎

∫ 𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∗

Además:

𝐷𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑒 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥) ∗ [𝑔´(𝑥) ∗ log 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∗

92

1 ∗ 𝑓´(𝑥)] 𝑓(𝑥)

𝑎 𝑓(𝑥) +𝑐 log 𝑎

IAN PAUCAR

93

IAN PAUCAR

94

IAN PAUCAR

95

IAN PAUCAR SEGUNDO HEMISEMESTRE

96

IAN PAUCAR GRÁFICA CIRCULO TRIGONOMÉTRICO

𝑥2 + 𝑦2 = 1 97

IAN PAUCAR GRÁFICA HIPÉRBOLA UNIDAD CON FUNCIONES HIPERBÓLICAS

𝑥2 − 𝑦2 = 1 98

IAN PAUCAR FUNCIONES HIPERBÓLICAS Definición

sinh 𝑥 =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2

cosh 𝑥 =

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 2

tanh 𝑥 =

sinh 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = cosh 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥

csch 𝑥 =

1 2 = 𝑥 sinh 𝑥 𝑒 − 𝑒 −𝑥

sech 𝑥 =

1 2 = 𝑥 cosh 𝑥 𝑒 + 𝑒 −𝑥

cosh 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 coth 𝑥 = = sinh 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥

99

IAN PAUCAR GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Función Seno Hiperbólico

100

IAN PAUCAR Función Coseno Hiperbólico

101

IAN PAUCAR Función Tangente Hiperbólica

102

IAN PAUCAR IDENTIDADES HIPERBÓLICAS (cosh 𝑥)2 − (sinh 𝑥)2 = 1

2 sinh2 𝑥 = −1 + cosh 2𝑥

cosh(−𝑥) = cosh 𝑥

2 cosh2 𝑥 = 1 + cosh 2𝑥

sinh(−𝑥) = − sinh 𝑥

tanh2 𝑥 + sech2 𝑥 = 1

tanh(−𝑥) = − tanh 𝑥

coth2 𝑥 − csch2 𝑥 = 1

sinh 2𝑥 = 2 sinh 𝑥 cosh 𝑥

sinh(𝑥 + 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 + cosh 𝑥 sinh 𝑦

cosh 2𝑥 = (cosh 𝑥)2 + (sinh 𝑥)2

cosh(𝑥 + 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 + sinh 𝑥 sinh 𝑦

sinh 𝑥 + cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥

sinh(𝑥 − 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 − cosh 𝑥 sinh 𝑦

cosh 𝑥 − sinh 𝑥 = 𝑒 −𝑥

cosh(𝑥 − 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 − sinh 𝑥 sinh 𝑦

(cosh 𝑥 + sinh 𝑥)𝑛 = cosh 𝑛𝑥 + sinh 𝑛𝑥 ,

103

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

IAN PAUCAR DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

𝐷 sinh 𝑥 = 𝐷

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = cosh 𝑥 2

𝐷 cosh 𝑥 = 𝐷

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 = sinh 𝑥 2

𝐷 tanh 𝑥 = 𝐷

𝐷 coth 𝑥 = 𝐷

sinh 𝑥 = sech2 𝑥 cosh 𝑥

cosh 𝑥 = − csch2 𝑥 sinh 𝑥

𝐷 csch 𝑥 = − cosh 𝑥 coth 𝑥

𝐷 sech 𝑥 = 𝐷

1 = − tanh 𝑥 sech 𝑥 cosh 𝑥

104

IAN PAUCAR DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

𝐷 sin−1 𝑋 =

1 1 = sin 𝑦 √1 − 𝑥 2

𝐷 sin−1 𝑓(𝑥) =

∫

∫

𝑑𝑥 √1 −

𝑥2

𝑓´(𝑥) √1 −

𝑓(𝑥)2

𝑓´(𝑥) √1 − 𝑓(𝑥)2

= sin−1 𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 = sin−1 𝑓(𝑥) + 𝑐

∫ sin−1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin−1 𝑥 + √1 − 𝑥 2 𝐷 tan−1 𝑥 =

∫

𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝑐 1 + 𝑥2

𝐷 tan−1 𝑓(𝑥) =

∫

1 1 + 𝑥2

𝑓´(𝑥) 1 + 𝑓(𝑥)2

𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = tan−1 𝑓(𝑥) + 𝑐 1 + 𝑓(𝑥)2

105

IAN PAUCAR GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Función Seno 𝑠𝑖𝑛 ∶ ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = sin 𝑥

No es sobreyectiva, ni biyectiva 106

IAN PAUCAR Redefinida la Función Seno para que sea Biyectiva

𝜋 𝜋 𝑆𝑖𝑛 ∶ [− , ] → [−1,1] 2 2 𝑥 → 𝑦 = sin 𝑥

107

IAN PAUCAR Función ArcoSeno

𝜋 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑖𝑛 ∶ [−1,1] → [− , ] 2 2 𝑦 → 𝑥 = sinh−1 𝑦

108

IAN PAUCAR Función Coseno 𝐶𝑜𝑠 ∶ ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = cos 𝑥

109

IAN PAUCAR Redefinida la Función Coseno para que sea Biyectiva 𝐶𝑜𝑠: [0, 𝜋] → [−1,1] 𝑥 → 𝑦 = cos 𝑥

110

IAN PAUCAR Función ArcoCoseno 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠: [−1,1] → [0, 𝜋] 𝑦 → 𝑥 = cos −1 𝑦

111

IAN PAUCAR Función Tangente 𝑇𝑔: ℝ − {

2𝑛 − 1 𝜋} → ℝ , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝜖 𝕫 2 𝑥 → 𝑦 = tan 𝑥 =

sin 𝑥 cos 𝑥

𝐷𝑜𝑚 𝑇𝑔𝑋 = {𝑥𝜖ℝ/ cos 𝑥 ≠ 0}

112

IAN PAUCAR Redefinida la Función Tangente para que sea biyectiva

𝜋 𝜋 𝑇𝑔: ]− , [ → ℝ 2 2 𝑥 → 𝑦 = tan 𝑥 =

113

sin 𝑥 cos 𝑥

IAN PAUCAR Función ArcoTangente

𝜋 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔: ℝ → ]− , [ 2 2 𝑦 → 𝑥 = tan−1 𝑦

114

IAN PAUCAR Función Cosecante 𝐶𝑠𝑐 ∶ ℝ − {𝑛𝜋} → ℝ − ]−1,1[ , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝜖 𝕫 𝑥 → 𝑦 = csc 𝑥

115

IAN PAUCAR Redefinida la Función Cosecante para que sea biyectiva

𝜋 𝜋 𝐶𝑠𝑐 ∶ ]− , [ − {0} → ℝ − ]−1,1[ 2 2 𝑥 → 𝑦 = csc 𝑥

116

IAN PAUCAR Función ArcoCosecante

𝜋 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐 ∶ ℝ − ]−1,1[ → ]− , [ − {0} 2 2 𝑦 → 𝑥 = csc −1 𝑦

117

IAN PAUCAR Función Secante 𝑆𝑒𝑐: ℝ − {

2𝑛 − 1 𝜋} → ℝ , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝜖 𝕫 2 𝑥 → 𝑦 = sec 𝑥 =

118

1 cos 𝑥

IAN PAUCAR Redefinida la Función Secante para que sea Biyectiva

𝜋 𝑆𝑒𝑐: ]0, 𝜋[ − { } → ℝ − ]−1,1[ 2 𝑥 → 𝑦 = sec 𝑥

119

IAN PAUCAR Función ArcoSecante

𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐: ℝ − ]−1,1[ → ]0, 𝜋[ − { } 2 𝑦 → 𝑥 = sec −1 𝑦

120

IAN PAUCAR Función Cotangente 𝐶𝑜𝑡 ∶ ℝ − {𝑛𝜋} → ℝ , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝜖 𝕫 𝑥 → 𝑦 = cot 𝑥

121

IAN PAUCAR Redefinida la Función Cotangente para que sea Biyectiva 𝐶𝑜𝑡 ∶ ]0, 𝜋[ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = cot 𝑥

122

IAN PAUCAR Función ArcoCotangente 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡 ∶ ℝ → ]0, 𝜋[ 𝑦 → 𝑥 = cot −1 𝑦

123

IAN PAUCAR DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Función ArcoSeno Derivadas

𝑦 = sin−1 𝑥 ↔ 𝑥 = sin 𝑦

𝐷 sin−1 𝑋 =

1 1 = sin 𝑦 √1 − 𝑥 2

𝐷 sin−1 𝑓(𝑥) =

∫

𝑓´(𝑥) √1 −

∫

𝑓 2 (𝑥)

Integrales

∫ sin−1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin−1 𝑥 + √1 − 𝑥 2 + 𝑐

124

𝑑𝑥 √1 −

𝑥2

𝑓´(𝑥) √1 −

𝑓 2 (𝑥)

= sin−1 𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 = sin−1 𝑓(𝑥) + 𝑐

IAN PAUCAR Función ArcoCoseno Derivadas 𝑦 = cos−1 𝑥 ↔ 𝑥 = cos 𝑦

𝐷 cos−1 𝑥 = −

𝐷 cos −1 𝑓(𝑥) = −

∫−

∫−

𝑑𝑥 √1 −

𝑥2

𝑓´(𝑥) √1 −

𝑓 2 (𝑥)

1 √1 − 𝑥 2 𝑓´(𝑥) √1 − 𝑓 2 (𝑥)

= cos −1 𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 = cos−1 𝑓(𝑥) + 𝑐

Integrales

∫ cos −1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 cos −1 𝑥 − √1 − 𝑥 2 + 𝑐

125

IAN PAUCAR Función ArcoTangente Derivadas 𝑦 = tan−1 𝑥 ↔ 𝑥 = tan 𝑦

𝐷 tan−1 𝑥 = 𝐷 tan−1 𝑓(𝑥) =

∫

∫

1 1 + 𝑥2 𝑓´(𝑥) 1 + 𝑓 2 (𝑥)

𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝑐 1 + 𝑥2

𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = tan−1 𝑓(𝑥) + 𝑐 1 + 𝑓 2 (𝑥)

Integrales 1 ∫ tan−1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tan−1 𝑥 − log(1 + 𝑥 2 ) + 𝑐 2

126

IAN PAUCAR Función ArcoCotangente Derivadas 𝑦 = cot −1 𝑥 ↔ 𝑥 = cot 𝑦

𝐷 cot −1 𝑥 = − 𝐷 cot −1 𝑓(𝑥) = −

∫−

∫−

1 1 + 𝑥2 𝑓´(𝑥) 1 + 𝑓 2 (𝑥)

𝑑𝑥 = cot −1 𝑥 + 𝑐 1 + 𝑥2

𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = cot −1 𝑓(𝑥) + 𝑐 1 + 𝑓 2 (𝑥)

Integrales

1 ∫ cot −1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 cot −1 𝑥 + log(1 + 𝑥 2 ) + 𝑐 2

127

IAN PAUCAR Función ArcoSecante Derivadas 𝑦 = sec −1 𝑥 ↔ 𝑥 = sec 𝑦

𝐷 sec −1 𝑥 =

𝐷 sec −1 𝑓(𝑥) =

∫

∫

1 𝑥√𝑥 2

−1

|𝑥|√𝑥 2 − 1 𝑓´(𝑥)

|𝑓(𝑥)|√𝑓 2 (𝑥) − 1

𝑑𝑥 = sec −1 𝑥 + 𝑐

𝑓´(𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥)

1

−1

𝑑𝑥 = sec −1 𝑓(𝑥) + 𝑐

Integrales

∫ sec −1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sec −1 𝑥 − log |𝑥 + √𝑥 2 − 1| + 𝑐

128

IAN PAUCAR Función ArcoCosecante Derivadas 𝑦 = csc −1 𝑥 ↔ 𝑥 = csc 𝑦

𝐷 csc −1 𝑥 = −

𝐷 csc −1 𝑓(𝑥) = −

∫−

∫−

1 𝑥√𝑥 2

−1

|𝑥|√𝑥 2 − 1 𝑓´(𝑥)

|𝑓(𝑥)|√𝑓 2 (𝑥) − 1

𝑑𝑥 = csc −1 𝑥 + 𝑐

𝑓´(𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥)

1

−1

𝑑𝑥 = csc −1 𝑓(𝑥) + 𝑐

Integrales

∫ csc −1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 csc −1 𝑥 + log |𝑥 + √𝑥 2 − 1| + 𝑐

129

IAN PAUCAR TRIÁNGULOS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

130

IAN PAUCAR INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

∫

𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 𝑄(𝑥)

Con P y Q polinomios

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ,

P es de grado n, si 𝑎 ≠ 0

𝑃 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛 𝑠𝑖 𝑎𝑛 ≠ 0

𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)

𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖

𝑎𝑘 = 𝑏𝑘

∀𝑘 = [1, 𝑛]

𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) = sí y solo si 𝑃(𝑥) = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑅(𝑥) ≠ 0 𝑅(𝑥) 𝑅(𝑥)

131

IAN PAUCAR TIPOS DE POLINOMIOS Polinomio Lineal 𝑎𝑥 + 𝑏

Polinomio Cuadrático 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

con

∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0

𝑆𝑖 ∆< 0 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

i) Si el 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑃) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑄)

Se realiza una división de polinomios tal que 𝑔𝑟𝑑(𝑅) < 𝑔𝑟𝑑(𝑄) de tal manera que su resultado sale de la forma

𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) = C(x) + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)

132

IAN PAUCAR ii) Si 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑃) < 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑄) Factorizar Q (que es el denominador) en polinomios lineales de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 y/o cuadráticos irreducibles de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con ∆< 0

Factores Q(x)

Le Corresponde

Factores Lineales que no se repiten 𝒂𝒙 + 𝒃 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 Factores Lineales que si se repiten (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏 𝐴 𝐵 𝐶 𝑍 + + +⋯+ 2 3 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 Factores Cuadráticos irreducibles (∆< 𝟎) que no se repite 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Factores Cuadráticos irreducibles (∆< 𝟎) que si se repite 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑌𝑥 + 𝑍 + +⋯+ 2 2 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛

(𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒏

𝑎𝑥 2

133

IAN PAUCAR INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

∫ 𝑅(𝑥, √𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑑𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 ∶ Análisis a evaluar antes de la sustitución Signo de A Si es A>0 o A<0 Signo de ∆= 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 Si ∆> 0 ,

∆< 0

o

∆= 0 (En este caso es un trinomio cuadrado perfecto)

Casos de Sustitución 1er Caso.- Si A<0 y ∆> 0 2do Caso.- Si A>0 y ∆< 0 3er Caso.- Si A>0 y ∆> 0

1. ∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 𝑑𝑥 Función relacionada Seno

2. ∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 + (𝑏𝑥 + 𝑐)2 𝑑𝑥 Función relacionada Tangente

3. ∫ 𝑅(𝑥, √(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 𝑑𝑥 Función relacionada Secante

134

IAN PAUCAR Caso 1 ∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 )𝑑𝑥

𝑥=

𝑎 sin 𝜃−𝑐 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = cos 𝜃𝑑𝜃

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 sin 𝜃

𝑏

sin 𝜃 =

𝑏𝑥+𝑐 𝑎

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 − (𝑎 sin 𝜃)2 = √𝑎2 − 𝑎2 sin2 𝜃 = √𝑎2 (1 − sin2 𝜃) = 𝑎 cos 𝜃

135

IAN PAUCAR Caso 2

∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 + (𝑏𝑥 + 𝑐)2 )𝑑𝑥

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 tan 𝜃

tan 𝜃 =

𝑏𝑥+𝑐

𝑎

𝑑𝑥 = (sec 𝜃)2 𝑑𝜃

𝑎

𝑏

𝑥=

𝑎 tan 𝜃−𝑐 𝑏

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 − (𝑎 tan 𝜃)2 = √𝑎2 − 𝑎2 tan2 𝜃 = √𝑎2 (1 − tan2 𝜃) = 𝑎 √sec 2 𝜃 = 𝑎 sec 𝜃

136

IAN PAUCAR Caso 3

∫ 𝑅(𝑥, √(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 )𝑑𝑥

𝑏𝑥 + 𝑐 = asec 𝜃

𝑥=

asec 𝜃−𝑐 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃 𝑏

sec 𝜃 =

𝑏𝑥+𝑐 𝑎

√(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 = √(asec 𝜃)2 − 𝑎2 = √𝑎2 sec 2 𝜃 − 𝑎2 = √𝑎2 (sec 2 𝜃 − 1) = 𝑎 tan 𝜃

137

IAN PAUCAR INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 2

∫ 𝑅(sin 𝜃 , cos 𝜃)𝑑𝑥 𝑢 = tan

𝑥 2

𝑥 = 2 tan−1 𝑢 𝑑𝑥 =

2 𝑑𝑢 1 + 𝑢2

𝑥 𝑥 2 tan 𝑥 𝑥 cos 2 𝑥 1 2 sin 𝑥 = 2 sin cos = 2 tan = 𝑥 𝑥 𝑥 2 2 cos 2 sec 2 1 + tan2 2 2 2 sin 𝑥 =

2𝑢 1 + 𝑢2

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2 cos 𝑥 = cos 2 − sin2 = cos 2 − (1 − cos 2 ) = 2cos2 − 1 = 𝑥−1 2 2 2 2 2 2 sec 2 𝑥 1 − tan2 2 2 = 𝑥−1= 𝑥 2 2 1 + tan 1 + tan 2 2 1 − 𝑢2 cos 𝑥 = 1 + 𝑢2

138

IAN PAUCAR INTEGRAL DEL PRODUCTO ENTRE FUNCIÓN SENO Y COSENO

i.

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥 1 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝐵 = [𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2

ii.

iii.

∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵 =

1 [𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2

𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵 =

1 [𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)] 2

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) ∙ 𝑑𝑥

139

IAN PAUCAR ARTIFICIOS FUNDAMENTALES Seno

Si n es par, n=2s, con 𝑠 ∈ 𝕫

𝑠

1 1 1 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sin 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ( (1 − cos 2𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑠 ∫(1 − cos 2𝑥)𝑠 𝑑𝑥 = 𝑠 [∫ 𝑑𝑥 ± ⋯ ± 𝐹 ∫ cos 𝑃 2𝑥𝑑𝑥 … ] 2 2 2 𝑛

2

𝑠

1

Angulo doble: sin2 𝑥 = 2 (1 − cos 2𝑥)

Si n es impar, n=2s+1, con 𝑠 ∈ 𝕫

𝑛

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

(sin2

𝑠

2

𝑠

𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1 − cos 𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 ± ⋯ ± 𝐹 ∫ cos

𝐶𝑜𝑛

sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥

140

2𝑃

cos 2𝑃+1 𝑥 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 … = − cos 𝑥 ± ⋯ ± ⋯ 2𝑝 + 1

IAN PAUCAR Coseno Si n es par, n=2s, con 𝑠 ∈ 𝕫

𝑠 1 1 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ( (1 + cos2x)) 𝑑𝑥 = 𝑠 ∫(1 + cos2x) 𝑠 𝑑𝑥 = 𝑠 [∫ 𝑑𝑥 ± ⋯ ± 𝐹 ∫ cos 𝑃 2𝑥𝑑𝑥 … ] 2 2 2 𝑛

2

𝑠

𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒𝑠:

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =

1 (1 + cos2x) 2

Si n es impar, n=2s+1, con 𝑠 ∈ 𝕫

∫(cos 𝑥)𝑛 = ∫(cos 2 𝑥)𝑠 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin2 𝑥)𝑠 cos 𝑥

𝐶𝑜𝑛:

cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥

141

IAN PAUCAR Tangente Si n es par, n=2s+2, con 𝑠 ∈ 𝕫

𝑛

2𝑠

2

2𝑠

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan 𝑥

(sec 2

tan2𝑠+1 𝑥 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ tan2𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2𝑠 + 1

𝐶𝑜𝑛:

2𝑠

2

2𝑠

tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1

Si n es impar, n=2s+1, con 𝑠 ∈ 𝕫

∫ tan𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan2 𝑥)𝑠 tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sec 2 𝑥 − 1)𝑠 tan 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ ± ∫ sec 𝑝 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 ± ⋯ ± ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ ±

𝐶𝑜𝑛:

tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1

142

sec 𝑝 𝑥 ± ⋯ ± ln|sec 𝑥| + 𝑐 𝑝

IAN PAUCAR Cotangente Si n es par , 𝑛 = 2𝑠 + 2 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ 𝕫

𝑛

∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cot

2𝑠

2

𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cot

2𝑠

𝑥

(csc 2

𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ cot

2𝑠

2

𝑥 csc 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cot

2𝑠

cot 2𝑠+1 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ cot 2𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2𝑠 + 1

cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1

Si n es impar , 𝑛 = 2𝑠 + 1 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ 𝕫

∫ cot 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cot 2 𝑥)𝑠 cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(csc 2 𝑥 − 1)𝑠 cot 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ ± ∫ csc 𝑝 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 ± ⋯ ± ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯ ±

cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1

143

csc 𝑝 𝑥 ± ⋯ ± ln|sin 𝑥| + 𝑐 𝑝

IAN PAUCAR Secante Si n es par , 𝑛 = 2𝑠 + 2 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ 𝕫

∫ sec 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sec 2 𝑥)𝑠 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan2 𝑥 + 1)𝑠 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 ± ⋯ ± ∫ tan𝑝 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 ± ⋯ ±

sec 2 𝑥 = tan2 𝑥 + 1 Si n es impar , 𝑛 = 𝑖 + 2 𝑐𝑜𝑛 𝑖 ∈ 𝕫, (Por partes) ∫ sec 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = sec 𝑖 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑖 sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = sec 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = tan 𝑥

∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 − 𝑖 ∫ sec 𝑖 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 − 𝑖 ∫ sec 𝑖 𝑥 (sec 2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 𝐶𝑜𝑛:

tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1

∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 − 𝑖 ∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ sec 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 (𝑖 + 1) ∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 + 𝑖 ∫ sec 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sec 𝑖 𝑥 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 =

1 𝑖 sec 𝑖 𝑥 tan 𝑥 + ∫ sec 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 𝑖+1 𝑖+1

144

tan𝑝+1 𝑥 𝑝+1

IAN PAUCAR Cosecante Si n es par , 𝑛 = 2𝑠 + 2 𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ 𝕫

∫ csc 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(csc 2 𝑥)𝑠 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cot 2 𝑥 + 1)𝑠 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 +. . + ∫ cot 𝑝 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 − ⋯ −

csc 2 𝑥 = cot 2 𝑥 + 1 Si n es par , 𝑛 = 𝑖 + 2 𝑐𝑜𝑛 𝑖 ∈ 𝕫, (Por partes)

∫ csc 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = csc 𝑖 𝑥

𝑑𝑢 = −𝑖 csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = csc 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = − cot 𝑥

∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 − 𝑖 ∫ csc 𝑖 𝑥 cot 2 𝑥 𝑑𝑥 == − csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 − 𝑖 ∫ csc 𝑖 𝑥 (csc 2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1 ∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 − 𝑖 ∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ csc 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 (𝑖 + 1) ∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 + 𝑖 ∫ csc 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 ∫ csc 𝑖 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = −

1 𝑖 csc 𝑖 𝑥 cot 𝑥 + ∫ csc 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 𝑖+1 𝑖+1 145

cot 𝑝+1 𝑥 𝑝+1

IAN PAUCAR FORMAS INDETERMINADAS

I.

0 0

,

∞ ∞ 0

Aplicar en 0 L’H𝑜̂pital 0 lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

lim

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑓′(𝑥)

= lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑝

0 ∞

Aplicar en ∞ L’H𝑜̂pital ∞ lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

II.

𝑓′(𝑥)

lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑝

∞

0∙∞

0 0

∞ 𝑎) lim

lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

1

𝑥→𝑝 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑓(𝑥)

0

∞

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) =

, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

donde 𝑎 =

𝑥→𝑝

{

𝑏) lim

𝑔(𝑥) 1

𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)

, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 ∞ 146

1 1 𝑎

IAN PAUCAR 0

0

∞

III. 0 , ∞ , 1 Forma General para este método: lim 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥))

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑒 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

0

a) 00

0 lim 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥))

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

0 lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

∞

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

∞

b) ∞0

0 lim 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥))

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

0 lim 𝑓(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

y lim 𝑔(𝑥) = 0

∞

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

147

IAN PAUCAR

c) 1

∞

1

∞ lim 𝑔(𝑥)∗𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥))

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

∞

0

lim 𝑓(𝑥) = 1

𝑥→𝑝

lim 𝑔(𝑥) ∗ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑥)) , 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝐼)

y lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

IV.

∞ − ∞: Cualquiera de los métodos anteriores, o también por multiplicación con la conjugada, operaciones, transformaciones hasta que quede una sola expresión

LIMITES NOTABLES sin 𝑥 =1 𝑥→0 𝑥 tan 𝑥 lim =1 𝑥→0 𝑥

1 − cos 𝑥 =0 𝑥→0 𝑥

1 𝑥 lim (1 + ) = 𝑒 𝑥→0 𝑥

sin 𝑎𝑥 𝑎 = 𝑥→0 sin 𝑏𝑥 𝑏 tan 𝑎𝑥 𝑎 lim = 𝑥→0 tan 𝑏𝑥 𝑏

lim

lim

1 − cos 𝑥 1 = 𝑥→0 𝑥2 2 lim

lim

lim sin 𝑥 = 0

𝑥→0

lim cos 𝑥 = 1

lim 𝑥 𝑥 = 1

𝑥→0

𝑥→0

148

IAN PAUCAR INTEGRALES IMPROPIAS A partir de lo ya aprendido:

𝑏

𝑎(𝐹) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∈ ℝ 𝑎

Hay casos donde la integral nos continua y además puede presentarse casos donde tiende a infinito, lo cual se estudiará a continuación 149

IAN PAUCAR Caso A

+∞

∫ 𝑎

𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏→+∞ 𝑎

150

IAN PAUCAR

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

𝑎→−∞ 𝑎

151

IAN PAUCAR

+∞

∫ −∞

0

+∞

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ −∞

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

0

152

𝑏

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎→−∞ 𝑎

𝑏→+∞ 0

IAN PAUCAR

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡→𝑝+ 𝑡

𝑝 𝑝

𝑡

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑝

𝑎

𝑏

𝑡→𝑝− 𝑎

𝑡

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑡→𝑝− 𝑎

𝑝

153

𝑠→𝑝+ 𝑠

IAN PAUCAR

+∞

∫ −∞

𝑐

𝑝

𝑑

+∞

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ −∞

𝑐

𝑝

𝑑

𝑐

𝑠

𝑑

𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎→−∞ 𝑎

154

𝑠→𝑝− 𝑐

𝑡→𝑝+ 𝑡

𝑏→+∞ 𝑑

IAN PAUCAR SUCESIONES Definición Conjunto infinito de números con un orden determinado. Es una función cuyo dominio es 𝕫+ , es decir: 𝑓: ℤ+ → 1 → 2 → . . . 𝑛 →

𝑛+1 →

ℝ 𝑓(1) = 𝑎1 𝑓(2) = 𝑎2

𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛

𝑓(𝑛 + 1) = 𝑎𝑛+1

Notación Por Tabulación {𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , … , 𝑓𝑛 … }, {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 … }

Por Comprensión {𝑎𝑛 } , {𝑓(𝑛)} , (𝑓𝑛 )1∞ , {𝑎𝑛 }1∞ , (𝑎𝑛 )1∞ , 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛

155

IAN PAUCAR Ejemplos

𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑛 → ∞ 𝑛

1 2 3

5) 𝑓(𝑛) = 𝑛+1 ; {2 , 3 , 4 , … } ; 𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑛) → 1 6) ℎ(𝑛) = 7) {

(−1)𝑛+1 𝑛

(−1)𝑛 𝑛 𝑛+1

1 2

3 4

; {− 2 , 3 , − 4 , 5 , … } ; 𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ(𝑛) → ∄ 1 1

1

} = {1, − 2 , 3 , − 4 , … } ; 𝑛 → ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

(−1)𝑛+1 𝑛

→0 156

IAN PAUCAR Representación gráfica Caso 1

Caso 2

157

IAN PAUCAR Caso 3

Caso 4

Caso 5

Caso 6

Caso 7

158

IAN PAUCAR CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SUCESIONES

Definición Una sucesión {𝑓(𝑛)} es convergente y converge a L, si y solo si para cada ∀ℰ>0, ∃𝑁 ∈ ℤ+ tal que, si n>N entonces |𝑓(𝑛) − 𝐿| < 𝜀 si y solo si lim 𝑓(𝑛) = 𝐿 Caso contrario, diremos que la sucesión “diverge”, esto es cuando:

𝑛→∞

∄ lim 𝑓(𝑛)

I.

𝑛→∞

lim 𝑓(𝑛) = ∞

II.

𝑛→∞

{𝑓(𝑛)} es convergente y converge a L ⟺ lim 𝑓(𝑛) = 𝐿 ⟺ ∀ε > 0, ∃N > 0, n > N → |𝑓(𝑛) − 𝐿| < 𝜖 𝑛⟶∞

Teorema 1 Sean las sucesiones {𝑎𝑛 }, {𝑏𝑛 }, {𝐶𝑛 } tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝐶𝑛 ∀𝑛 ∈ ℤ+ 𝑆𝑖{𝑎𝑛 } 𝑦 {𝐶𝑛 } convergen y convergen a L entonces la sucesión {𝑏𝑛 } también converge a L

159

IAN PAUCAR Teorema 2 Si 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , donde 𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝐿1 𝑦 𝑏𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝐿2 entonces:

{𝑏𝑛 } 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 {𝑎𝑛 } 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

{𝑎𝑛 } 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 {𝑏𝑛 } 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 Teorema 3 𝑆𝑖 lim |𝑓(𝑛)| = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim 𝑓(𝑛) = 0 𝑛⟶∞

𝑛⟶∞

PROPIEDADES DE LIMITES CONOCIDOS

1 = 0 𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑛→∞ 𝑛𝑎 lim

lim 𝑥 𝑛 = 0 𝑆𝑖 |𝑥| > 0

𝑛→∞

(log 𝑛)𝑎 lim = 0 𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 𝑛→∞ 𝑛𝑏 1

lim 𝑛𝑛 = 1

𝑛→∞

𝑎 𝑛 lim (1 + ) = 𝑒 𝑎 ∀𝑎 ∈ ℝ 𝑛→∞ 𝑛

160

IAN PAUCAR MONOTONÍA {𝑎𝑛 } ↗

⟺ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 1

; {𝑎𝑛 } ↗ ⟺

{𝑎𝑛 } ↘

⟺ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 1

; {𝑎𝑛 } ↘ ⟺

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

>1

<1

{𝑓(𝑛)} ↗ ⟺ 𝑓′(𝑥) > 0 , ∀𝑥 ≥ 1 {𝑓(𝑛)} ↘ ⟺ 𝑓′(𝑥) < 0 , ∀𝑥 ≥ 1 SUCESIONES ACOTADAS

 {𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶ o 𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛 < 𝑀 , ∀𝑛 ≥ 1

 {𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶ o 𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝒎 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑚 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1  {𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Teorema

𝑇𝑜𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

161

; {𝑎𝑛 } ↗ ⟺ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 < 0 ; {𝑎𝑛 } ↘ ⟺ 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 > 0

IAN PAUCAR SERIES INFINITAS Definición Sea {𝑎𝑛 } una sucesión de números reales, la sucesión {𝑆𝑛 } tal que 𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 . . . . 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . +𝑎𝑛 𝑆𝑛+1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . +𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 Se denomina serie infinita o serie que es una sucesión de sumas parciales Teorema: 𝑆𝑖 lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim 𝑓(𝑛) = 𝐿 𝑥→∞

𝑛→∞

Notación {𝑆𝑛 } 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 {𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 … } ∞

∑ 𝑎𝑘 𝑘=1 ∞

∑ 𝑎𝑛 𝑛=1

∑ 𝑎𝑛 162

IAN PAUCAR SÍMBOLO DE SUMATORIA 𝑛

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +. . +𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 𝑘=1

Propiedades 𝑛+1

𝑛

1

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 + 𝑎𝑛+1

∑ 𝑎𝑘 = 𝑎1

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

Aditiva 𝑛

𝑛

𝑛

∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

Homogénea 𝑛

𝑛

∑ 𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝐶 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘=1

𝑘=1

Linealidad 𝑛

𝑛

𝑛

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑ 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

𝑘=1

Telescópica 𝑛

∑(𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 ) = 𝑎𝑛 − 𝑎0 𝑘=1

163

𝑘=1

∞

∞

𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑆 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑆𝑛 = 𝑆; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎 ∑ 𝑎𝑘 = 𝑆 𝑛→∞

𝑘=1

𝑘=1

𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎

Linealidad de las series ∞

∞

∞

∞

𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑘 𝑦 ∑ 𝑏𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

∞

∞

𝑘=1 ∞

∞

𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 ∑ 𝑏𝑘 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘=1

𝑘=1 ∞

𝑘=1

∞

∞

𝑘=1 ∞

𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑘 𝑦 ∑ 𝑏𝑘 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

Serie Armónica 1 ∑ 𝑛 𝑛

∑ 𝑘=1

∞

𝑜

∑ 𝑘=1

1 𝑘

1 ≥ log(𝑛 + 1) 𝑘 𝑛

𝐶𝑜𝑚𝑜 lim log(𝑥 + 1) = ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim log(𝑛 + 1) = ∞ 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 lim ∑ 𝑛→∞

𝑛→∞ ∞

∑ 𝑘=1

𝑛→∞

1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘

164

𝑘=1

1 =∞ 𝑘

IAN PAUCAR

IAN PAUCAR Serie P ∞

1 1 ∑ 𝑝 𝑜 ∑ 𝑝 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑖 𝑝 > 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑖 𝑝 ≤ 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛 𝑘 𝑘=1

Serie Telescópica ∞

∑ 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐ó𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 ∃{𝑏𝑛 } 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 𝑘=1 𝑛

𝑛

∑ 𝑎𝑘 = ∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 𝑘=1

𝑘=1

Teorema {𝑏𝑛 } 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑠𝑖 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 Sean las sucesiones {𝑎𝑛 } y {𝑏𝑛 } Si 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 ∞

∞

∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 {𝑏𝑛 } 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 = 𝑏1 − 𝐿, 𝑐𝑜𝑛 𝐿 = lim 𝑏𝑛 𝑘=1

𝑛→∞

𝑘=1 𝑛

𝑛

lim 𝑏𝑛 ∑ 𝑎𝑘 = lim ∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = lim (𝑏1 − 𝑏𝑛+1 ) = 𝑏1 − lim (𝑏𝑛+1 )

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑆𝑖 ∃ lim (𝑏𝑛 ) = 𝐿 𝑛→∞

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑛→∞

∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑆𝑖 ∄ lim (𝑏𝑛 ) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞

165

IAN PAUCAR SERIES GEOMÉTRICAS ∞

∑𝑥

∞ 𝑘

𝑘=0

; ∑ 𝑥𝑛 ; ∑ 𝑥𝑛 𝑛=0

1 − 𝑥 𝑛 = (1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 𝑛 )

∞

∑ 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 + ⋯ 𝑘=0

𝑛−1 𝑘

2

3

𝑆𝑛 = ∑ 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 𝑘=0

𝑛−1

1 − 𝑥𝑛 = 1−𝑥

lim 𝑥 𝑛 = 0 𝑆𝑖 |𝑥| < 1

𝑛→∞

lim 𝑥 𝑛 = ∞ 𝑆𝑖 |𝑥| > 1

𝑛→∞

𝑛−1

1 − 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 1 1 lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 = lim = lim − lim = − lim 𝑥 𝑛 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1 − 𝑥 𝑛→∞ 1 − 𝑥 𝑛→∞ 1 − 𝑥 1 − 𝑥 1 − 𝑥 𝑛→∞ 𝑘

𝑘=0

166

IAN PAUCAR Caso A 𝑛−1

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 =

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

1 𝑆𝑖 |𝑥| < 1 1−𝑥

∞

𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑐𝑎 ∑ 𝑥 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘=0

∞

𝑌 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 ∑ 𝑥 𝑘 = 𝑘=0

1 1−𝑥

Caso B 𝑛−1

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 =

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

1 −∞=∞ 1−𝑥

𝑆𝑖 |𝑥| > 1

∞

𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑐𝑎 ∑ 𝑥 𝑘 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑘=0

167

IAN PAUCAR Propiedades 1) Serie Geométrica Original ∞

∑ 𝑥𝑛 = 𝑛=0

1 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1−𝑥

2) En 1 sustituyo x por x2 ∞

∑ 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1 − 𝑥2

3) En 2 multiplico por x a ambos miembros ∞

∑ 𝑥 2𝑛+1 = 𝑛=0

𝑥 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1 − 𝑥2

4) En 1 sustituyo x por -x ∞

∑(−1)𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛=0

1 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1+𝑥

5) En 4 sustituyo x por x2 ∞

∑(−1)𝑛 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1 + 𝑥2

6) En 5 multiplico por x a ambos miembros ∞

∑(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 = 𝑛=0

𝑥 𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1 1 + 𝑥2

168

IAN PAUCAR 7) En 2 sustituyo x por 2x ∞

∑ 4𝑛 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 1 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 2 1 − 4𝑥 2

8) Derivo 1 ∞

∑ 𝑛𝑥 𝑛−1 = 𝑛=0

1 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 1 (1 − 𝑥)2

9) Integro 4 ∞

(−1)𝑛 𝑥 𝑛+1 ∑ = log(1 + 𝑥) 𝑛+1

𝑛=0

10) Integro 5 ∞

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 ∑ = tan−1 𝑥 2𝑛 + 1

𝑛=0

169

IAN PAUCAR CRITERIOS DE CONVERGENCIA

∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 Categorías de Convergencia i.

Condición Suficiente Si la condición C se cumple entonces la serie ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

ii.

Condición necesaria Si la serie ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 entonces la condición C se cumple

iii.

Condición Necesaria y Suficiente La serie ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 si y solo si la condición C se cumple

Teorema ∞

𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim 𝑎𝑛 = 0 𝑛→∞

𝑘=1 ∞

𝑆𝑖 lim 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞

𝑘=1

∞

𝑆𝑖 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 {𝑆𝑛 } 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘=1

170

IAN PAUCAR CRITERIO DE COMPARACIÓN Teorema

𝑆𝑒𝑎 𝑎𝑛 ≥ 0 𝑦 𝑏𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℤ+ 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛 ≤ 𝐶𝑏𝑛 ∀𝑛 ∈ ℤ+

𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑏𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

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IAN PAUCAR CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LIMITE 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑎𝑛 > 0 𝑦 𝑏𝑛 > 0, ∀𝑛 ∈ ℤ+ 𝑎𝑛 = 1 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑦 ∑ 𝑏𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑛→∞ 𝑏𝑛

𝑆𝑖 lim

𝑎𝑛 = 1 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑦 ∑ 𝑏𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑎𝑛 ~𝑏𝑛 ) 𝑛→∞ 𝑏𝑛

𝑆𝑖 lim

𝑎𝑛 = 𝐶 > 0 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑛→∞ 𝑏𝑛 lim

𝑎𝑛 = 0 𝑆𝑖 ∑ 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞ 𝑏𝑛 lim

𝑎𝑛 = ∞ 𝑆𝑖 ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞ 𝑏𝑛 lim

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IAN PAUCAR CRITERIO DE LA INTEGRAL Teorema Supongamos que f es continua positiva y decreciente [1, +∞[ y 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) ∞

𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 1 ∞

𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 1

CRITERIO DE LA RAÍZ Sea la serie ∑ 𝑎𝑛 de términos no negativos, tal que:

lim 𝑛√𝑎𝑛 = 𝑅

𝑛→∞

𝑆𝑖 𝑅 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑅 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑅 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑑𝑒

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IAN PAUCAR CRITERIO DEL COCIENTE Sea la serie ∑ 𝑎𝑛 de términos positivos, tal que:

𝑎𝑛+1 =𝐿 𝑛→∞ 𝑎𝑛 lim

𝑆𝑖 𝐿 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝐿 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝐿 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑑𝑒

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