Fichas Gregory.pdf

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA CARRERA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA ANÁLISIS II FICHAS NEMOTÉCNICAS NOMBRE: Gregory Díaz SEMESTRE: Segundo PARALELO: Primero -1-

ÍNDICE EL SÍMBOLO DE SUMATORIA ................................................................................................................................................... 7 Representación, definición, observaciones, propiedades, resultados ................................................................................ 7 ÁREA BAJO UNA CURVA ......................................................................................................................................................... 10 Definición, representación gráfica .................................................................................................................................... 10 Partición: Definición, representación gráfica ............................................................................................................... 12 Partición Regular: Extremo Izquierdo, Extremo Derecho, Punto Medio ....................................................................... 13 INTEGRAL DEFINIDA............................................................................................................................................................... 17 Representación, definición, observaciones ....................................................................................................................... 17 Propiedades ...................................................................................................................................................................... 19 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ................................................................................................................. 24 PRIMITIVA O ANTIDERIVADA.................................................................................................................................................. 25 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ............................................................................................................. 26 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN .................................................................................................................................................. 28 Método de Sustitución ...................................................................................................................................................... 28 Método de integración por Partes .................................................................................................................................... 31 -2-

ÁREA ENTRE DOS CURVAS ..................................................................................................................................................... 33 Definición, representación gráfica .................................................................................................................................... 33 ÁREA EN COORDENADAS POLARES ........................................................................................................................................ 37 Coordenadas Polares, definición, representación gráfica ................................................................................................. 37 Plano Polar ........................................................................................................................................................................ 38 VOLUMEN DE UN SÓLIDO ...................................................................................................................................................... 40 Volumen del sólido de Cavalieri ........................................................................................................................................ 40 Método de Rodajas ........................................................................................................................................................... 41 Volumen de un Sólido de Revolución ................................................................................................................................ 42 Método del Disco (Sólido Hueco) ...................................................................................................................................... 43 Método de la Corteza ........................................................................................................................................................ 46 FUNCIÓN LOGARITMICA ........................................................................................................................................................ 49 Definición, representación gráfica, observaciones............................................................................................................ 49 Propiedades, notación ...................................................................................................................................................... 50 Logaritmo de Base positiva 𝐛 ≠ 𝟏 ..................................................................................................................................... 51 Definición, propiedades, observaciones, representación gráfica ............................................................................. 51 -3-

Derivación e Integración ................................................................................................................................................... 53 FUNCIÓN EXPONENCIAL ........................................................................................................................................................ 55 Definición, notación, representación gráfica, observaciones, propiedades ...................................................................... 55 Derivación e Integración ................................................................................................................................................... 57 TABLA DE INTEGRALES ........................................................................................................................................................... 58 FUNCIONES HIPERBÓLICAS .................................................................................................................................................... 62 Hipérbola Unidad .............................................................................................................................................................. 62 Definición .......................................................................................................................................................................... 63 Representación Gráfica de las Funciones Hiperbólicas ..................................................................................................... 64 Identidades Hiperbólicas ................................................................................................................................................... 67 Derivación de las Funciones Hiperbólicas ......................................................................................................................... 68 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ........................................................................................................................... 69 Representación Gráfica de las Funciones Trigonométricas Inversas ................................................................................. 69 Derivadas e Integrales de las Funciones Trigonométricas Inversas ................................................................................... 81 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES .......................................................................................................................... 87 INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................................... 89 ARTIFICIOS PARA INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................................... 94 -4-

Primitivas de un Producto de Senos y Cosenos de Funciones Lineales de x ..................................................................... 102 FORMAS INDETERMINADAS ................................................................................................................................................. 103 Límites Notables .............................................................................................................................................................. 105 INTEGRALES IMPROPIAS ...................................................................................................................................................... 106 SUCESIONES......................................................................................................................................................................... 108 Definición, Notación ........................................................................................................................................................ 108 Ejemplos, Representación Gráfica................................................................................................................................... 109 CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA ...................................................................................................................................... 112 Definición ............................................................................................................................................................... 112 Definición de Sucesión, Teorema de Intercalación................................................................................................. 113 MONOTONÍA ................................................................................................................................................................... 114 SUCESIONES ACOTADAS .................................................................................................................................................. 115 Teorema ................................................................................................................................................................. 115 SERIES INFINITAS ................................................................................................................................................................. 116 Definición, Notación ........................................................................................................................................................ 116 Símbolo de la Sumatoria, Convergencia y Divergencia ................................................................................................... 117 -5-

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS ............................................................................................................................................. 118 Definición, Notación, Convergencia y Divergencia ......................................................................................................... 118 TEOREMA DE LINEALIDAD DE LAS SERIES ......................................................................................................................... 119 SERIE ARMÓNICA ............................................................................................................................................................. 122 SERIE P ............................................................................................................................................................................. 122 SERIE TELESCÓPICA .......................................................................................................................................................... 123 Definición, Teorema ............................................................................................................................................... 123 SERIES GEOMÉTRICAS ...................................................................................................................................................... 125 Definición ............................................................................................................................................................... 125 Propiedades............................................................................................................................................................ 126 CRITERIOS DE CONVERGENCIA ............................................................................................................................................ 129 Condición Suficiente, Condición Necesaria, Condición Necesaria y Suficiente, .............................................................. 129 CRITERIO DE COMPARACIÓN ........................................................................................................................................... 131 CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE .......................................................................................................... 132 CRITERIO DE LA INTEGRAL ............................................................................................................................................... 133 CRITERIO DE LA RAIZ ........................................................................................................................................................ 134 CRITERIO DEL COCIENTE .................................................................................................................................................. 135 -6-

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA

∑ Representación: n

n

a1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = ∑ a k

;

+

n∈ℤ

aj + aj+1 + aj+2 + ⋯ + an = ∑ ak

;

n, j ∈ ℤ+

k=j

k=1

Definición: n+1

1

1) ∑ ak = 1

n

2) ∑ ak = ∑ ak + an+1

k=1

k=1

k=1

Observaciones: n

s

n

∑ ak = ∑ ak + ∑ ak k=1

k=1

k=s+1

n

;

n, s ∈ ℤ

+

n+t

∑ ak = ∑ ak−t k=s

;

(s ± t) ∈ ℤ+

k=s+t

-7-

Propiedades de la Sumatoria: n

Propiedad Aditiva n

Propiedad Homogénea

n

n

𝟏) ∑(ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk k=1

k=1

𝟐) ∑ Cak = C ∑ ak

k=1

n

n

k=1

Propiedad de Linealidad n

k=1

n

∑(Aak + Bbk ) = A ∑ ak + B ∑ bk k=1

k=1

k=1

Propiedad Telescópica n

𝟑) ∑(ak − ak−1 ) = an − a0 k=1

Observación:

n

n

n

∑(ak − ak+2 ) = ∑(ak − ak+2 + ak+1 − ak+1 ) = ∑[(ak − ak+1 ) + (ak+1 − ak+2 )] k=1

k=1 n

n

k=1

= ∑(ak − ak+1 ) + ∑(ak+1 − ak+2 ) = (a1 − an+1 ) + (a2 − an+2 ) k=1

k=1

-8-

Resultados: 𝑛

n

∑1=𝑛

∑ c = nc

𝑘=1

k=1

𝑛

n

𝑛(𝑛 + 1) ∑𝑘 = 2

∑ k2 =

𝑘=1

𝑛

k=1

2

𝑛(𝑛 + 1) ∑ 𝑘 =[ ] 2 3

𝑘=1

n

∑ k4 = k=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) 30

-9-

ÁREA BAJO UNA CURVA

y

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑎(𝐹) → Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐹

𝐹 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

F x a

𝑥=𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 { 𝑥=𝑏 F={ 𝑦=0 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 { 𝑦 = 𝑓(𝑥)

b

- 10 -

ÁREA BAJO UNA CURVA

y a(Rect) = b ∙ h 𝑦 = 𝑓(𝑥)

a(R1)= (x1- x0)(f(x1)*) a(R2)= (x2- x1)(f(x2)*) a(Rk)= (xk- xk-1)(f(xk)*) a(Rn)= (xn- xn-1)(f(xn)*)

a = x0

𝑥1

𝑥2 𝑥𝑘−1 𝑥𝑘

𝑥𝑛

b = x𝑛

x

a(F)≈ a(R1)+ a(R2)+…+ a(Rn)

- 11 -

PARTICIÓN Definición: Sea [a,b] un intervalo, una partición de [a,b] que notamos P[a,b] donde por: P[a,b] = {x0 , x1 , x2 ,…, xn } tal que: a =x0 <x1 < x2 <…< xn = b que subdivide al intervalo [a,b] en n subintervalos de la forma: [xk−1, xk ] con k = ̅̅̅̅̅ 1 ,n de longitud ∆xk = xk − xk−1 con k = ̅̅̅̅̅ 1 , n y sea xk ∗ ϵ [xk−1 , xk ] con k = ̅̅̅̅̅ 1 ,n n

a(F) ≈ ∑ a(R k ) , con 𝑎(𝑅𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 , donde ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 k=1 𝑛

a(F) ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 𝑘=1

- 12 -

n

n → ∞

⇒ ∑ a(R) → 𝑎(𝐹) k=1

Definición de una Partición ∆xk → 0 , ∀ k = ̅̅̅̅̅ 1 ,n

‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛 }

∥ P ∥→ 0 𝑛

𝑛

𝐴(𝑅) =

lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 ‖𝑃‖→0 𝑘=1

𝐴(𝑅) = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→0

𝑘=1

PARTICIÓN REGULAR: La partición P[a ; b] es regular si cumple con: ∆xk = ∆xj ∀k = ̅̅̅̅̅ 1 , n , ∀j = ̅̅̅̅̅ 1 ,n ∆xk = ∆x ∀k = 1, n

y ∆x =

b−a n

- 13 -

Extremo Izquierdo 𝑏−𝑎 𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘 − 1) ( ) 𝑛

Para 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1 ,𝑛

𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝐴(𝑅) ≈ ∑ {𝑓 [𝑎 + (𝑘 − 1) ( )] ( )} 𝑛 𝑛 𝑘=1

𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝐴(𝑅) = lim ( ) ∑ 𝑓 [𝑎 + (𝑘 − 1) ( )] 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥 )

a = x0

x1 ⋯ x𝑘−1

x𝑘 ⋯ x𝑛−1

b = x𝑛 𝑥

= - 14 -

Extremo Derecho 𝑏−𝑎 𝑥𝑘 ∗ = 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘 ( ) 𝑛

Para 𝑘 = 1 , 𝑛

𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝐴(𝑅) ≈ ∑ {𝑓 [𝑎 + 𝑘 ( )] ( )} 𝑛 𝑛 𝑘=1

𝑛

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝐴(𝑅) = lim ( ) ∑ 𝑓 [𝑎 + 𝑘 ( )] 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑘=1

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦

a = x0

=

x1 ⋯ x𝑘−1

x𝑘 ⋯ x𝑛−1

b = x𝑛 𝑥

- 15 -

Punto medio: 𝑥𝑘 ∗ = ̅̅̅ 𝑥𝑘 =

𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 2

𝑛

𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 𝑏 − 𝑎 𝐴(𝑅) ≈ ∑ {𝑓 ( )( )} 2 𝑛 𝑘=1

𝑛

𝑏−𝑎 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 𝐴(𝑅) = lim ( )∑𝑓( ) 𝑛→∞ 𝑛 2 𝑘=1

𝑦

𝑥 a = x0

=

x1 𝒙𝟏∗

x𝑘−1

𝒙𝒌∗

x𝑘

x𝑛−1

b = x𝑛 𝒙∗𝒏

- 16 -

LA INTEGRAL DEFINIDA

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐹

𝑥

Definición:

𝑏

Sea f una función definida en [a , b], la integral definida de f en [a , b] que notamos ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 está dada por: 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∗ )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑎

Se denomina Sumatoria de Riemann

𝑘=1

Observaciones: 

𝑏

 

Si f(x) ≥ 0 ; ∀ x ϵ [a, b]entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎(𝐹) área bajo la curva f → Función Integrante a y b → límites de integración



∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎

- 17 -

𝑏

𝑎



∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥



∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝜖 ℝ

𝑏

La integral, es la suma algebraica de las áreas: b

c

d

b

∫ f(x)dx = ∫ f1 (x)dx + ∫ −f2 (x)dx + ∫ f3 (x)dx A

a

c

c

d

d

b

= ∫ f1 (x)dx − ∫ f2 (x)dx + ∫ f3 (x)dx ϵ ℝ a

c

d

- 18 -

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 𝑏

𝑏

𝑏

1. Aditiva:

∫𝑎 ( 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

2. Homogénea:

∫𝑎 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , en donde 𝑐 es cualquier constante.

𝑏

𝑏

- 19 -

𝑏

𝑐

𝑏

𝑏+𝑐

𝑏

3. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

,

𝑎≤𝑐≤𝑏

4. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎+𝑐 𝑓(𝑥 − 𝑐) 𝑑𝑥

- 20 -

𝑏

𝑏𝑘

𝑥

5. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎𝑘 𝑓 (𝑘) 𝑑𝑥

De Orden: Sea 𝑎 ≤ 𝑏 𝑏

6. Si 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0.

- 21 -

𝑏

𝑏

7. Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≥ ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥.

𝑏

8. Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑏

𝑏

9. |∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥| ≤ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥

- 22 -

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES 𝑏

𝟏) ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑎

𝑏

𝟐) ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 2 − 𝑎2 2

𝑏

𝟑) ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 3 − 𝑎3 3

- 23 -

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Definición: Sea f continua en [a , b], entonces la función F definida por 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑎

Observaciones: 𝑔(𝑥)



Si 𝐹(𝑥) = ∫𝑎



Si 𝐹(𝑥) = ∫ℎ(𝑥) 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 , entonces 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) − 𝑓(ℎ(𝑥)) ℎ′ (𝑥)

- 24 -

PRIMITIVA O ANTIDERIVADA Definición: 𝐹 es una primitiva o Antiderivada de 𝑓 si 𝐹 ′ = 𝑓 Teorema: Si 𝐹 𝑦 𝐺 son primitivas de 𝑓, estas se diferencian en una constante. [𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)] = 𝐶

𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎

𝑥

𝐺(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶

𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶 - 25 -

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (Parte 2) Definición: Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

donde 𝐹 es una primitiva o antiderivada de 𝑓, es decir 𝐹 ′ = 𝑓. Observaciones: Si 𝑓 es continua en [𝑎 , 𝑏], entonces

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)] 𝑎

𝑏 𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ] 𝑎 𝑎

INTEGRAL INDEFINIDA ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) significa que 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Teorema:

1) ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 2) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 - 26 -

PROPIEDADES INTEGRALES INDEFINIDAS ∫ 𝑓 𝑑𝑥

𝐹+𝐶

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝐶 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝐶 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥

𝑥 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥

−cos 𝑥 + 𝐶

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥

sin 𝑥 + 𝐶

∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥

tan 𝑥 + 𝑐

∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥

− cot 𝑥 + 𝐶

∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

sec 𝑥 + 𝐶

∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥

− csc 𝑥 + 𝐶

- 27 -

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (Integrales Indefinidas): ′

[𝐹(𝑔(𝑥))] = 𝐹′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) ′

∫[𝐹(𝑔(𝑥))] 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝐹 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 𝑆𝑖 𝐹 ′ = 𝑓 ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 𝑢 = 𝑔(𝑥) (∗) { 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 (∗) = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 - 28 -

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (Integrales Definidas): 𝑏

𝑔(𝑏)

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑎

𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎)) = 𝐹(𝑢) |

𝑔(𝑎)

= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 |

{

𝑔 (𝑏 ) 𝑔(𝑎)

𝑔(𝑏) 𝑔(𝑎)

𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥

{

𝑥 = 𝑎 → 𝑢 = 𝑔(𝑎) 𝑥 = 𝑏 → 𝑢 = 𝑔(𝑏)

MÉTODO DIRECTO (Integrales Definidas): 𝑏

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 | = 𝐹(𝑔(𝑥)) | 𝑎

= 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎))

- 29 -

INTEGRALES DE FUNCIONES SIMÉTRICAS

Definición: Supóngase que 𝑓 es continua en [−𝑎 , 𝑎] 𝑎

𝑎

a) Si 𝑓 es par [𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)], entonces ∫−𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎

b) Si 𝑓 es impar [𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)], entonces ∫−𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0.

- 30 -

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES (Integrales Indefinidas): [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥) ∫[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥

(*)

∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥

→ 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑔(𝑥)

en (*)

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 u

du *

dv

v - 31 -

Observaciones: 1. Si en la función integrando de una función polinómica por una función trascendental hacemos 𝑢 = polinómica. 2.

𝑑𝑣 ⇒ Función fácil de integrar.

3. La integral que quede debe ser más simple o más fácil de integrar. 4. Si al integrar por partes obtienes la misma integral el coeficiente tiene que se ser diferente de 𝑘 ≠ 1 5. Cuando hay que integrar por partes 𝑢 haga que se repita ∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES: (Para Integrales Definidas)

𝑏

𝑏

𝑏

′

∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) | − ∫ 𝑓′ (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 | − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑎

𝑎

𝑎

- 32 -

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

𝑎(𝑅) =? 𝑅 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)

𝑥=𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 { 𝑥=𝑏 𝑅={ 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 { 𝑦 = 𝑔(𝑥)

- 33 -

ÁREA ENTRE DOS CURVAS Cuando las dos curvas son positivas:

𝑅 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) 𝑎(𝑅) = 𝑎(𝐹) − 𝑎(𝐺) 𝑏

∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑎

- 34 -

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

𝑅 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 0 ≤ 𝑔(𝑥) + 𝑘 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑘 𝑅∗ ≈ 𝑅

→ Es Congruente 𝑎(𝑅 ∗ ) = 𝑎(𝑅)

𝑏

∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑎

- 35 -

ÁREA ENTRE DOS CURVAS 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑅1

𝒄

𝑅4

𝒅

𝑅2

𝒂

𝑅3

𝒆

𝑅5

𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝒑

𝑅6

𝒃

𝑥 𝑦 = ℎ(𝑥)

𝑎( /// ) = 𝑎(𝑅1 ) + 𝑎(𝑅2 ) + 𝑎(𝑅3 ) + 𝑎(𝑅4 ) + 𝑎(𝑅5 ) + 𝑎(𝑅6 ) 𝑐

𝑑

𝑒

= ∫ (𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 𝑎

𝑝

𝑐

𝑞

𝑑

𝑞

+ ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥))𝑑𝑥 𝑒

𝑝

𝑝

- 36 -

ÁREAS EN COORDENADAS POLARES Coordenadas Polares

𝒓 = Radio Polar 𝜽 = Ángulo Polar

Plano Polar [𝒙, 𝒚]

Plano Cartesiano [𝒓, 𝜽]

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

tan 𝜃 =

𝑦 𝑥

- 37 -

PLANO POLAR

- 38 -

ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

𝑏 = 𝜃𝑛

𝜃∗𝑛

𝑓(𝜃𝑛∗ ) 𝐶𝑛 ∆𝜃𝑛 ∆𝜃𝑘

𝑅

𝜃𝑛−1

𝑟 = 𝑓(𝜃)

𝑅 = {(𝑟, 𝜃) / 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝑓(𝜃)}

𝜃𝑘

𝑓(𝜃𝑘∗ )

𝜃∗𝑘

𝐶𝑘 𝑓(𝜃1∗ ) 𝐶1 ∆𝜃1

𝜃𝑘−1 𝜃1 𝜃∗1

𝑅={

𝜃=𝑎 Rectas { 𝜃=𝑏

Curvas{𝑟 = 𝑓(𝜃) 𝑎 = 𝜃0 𝑛

1 𝑎(ℛ) ≈ ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ )∆ 𝜃𝑘 2 𝑘=1

𝑛

1 𝑎(ℛ) = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓 2 (𝜃𝑘 ∗ )∆ 𝜃𝑘 2 𝑛→∞ 𝑘=1

1 𝑏 𝑎(ℛ) = ∫ 𝑓 2 (𝜃) 𝑑𝜃 2 𝑎 - 39 -

VOLUMEN DE UN SÓLIDO Cilindro Elíptico

Cilindro

S

C

ℎ

ℎ 𝑅

𝐸

𝑉(𝐶) = 𝜋𝑅 2 ℎ = 𝑎(𝑏) ∙ ℎ

𝑉(𝑆) = 𝑎(𝐸) ∙ ℎ

ℎ

T 𝑅

𝑉(𝑇) = 𝑎(𝑅) ∙ ℎ

VOLUMEN DEL SÓLIDO DE CAVALIERI

𝑀 𝐵

𝑏

𝑉(𝑆) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥

𝑆

𝑎

∆𝑥∗𝑘

𝑎 = 𝑥0

𝑥𝑘−1

𝑥𝑘

𝑏 = 𝑥𝑛

𝑥𝑘∗ - 40 -

MÉTODO DE RODAJAS Sea la partición 𝑃[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 } , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 Subdivide al intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 sub-intervalos de la forma [𝑥𝑘−1 ; 𝑥𝑘 ] de longitud de ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 con 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 con ‖𝑃‖ = max { ∆𝑥𝑘 ; 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 } y sea 𝑥𝑘∗ ∈ [𝑥𝑘−1 ; 𝑥𝑘 ] con 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 𝑛

𝑛

𝑉(𝑆) ≈ ∑ 𝑉(𝑆𝑘 )

𝑘=1

𝑘=1

𝑎(𝐵)

𝑛→∞ ‖𝑃‖ → 0 ⇒ ∑ 𝑉(𝑆𝑘 ) → 𝑉(𝑆)

ℎ

⏞ ∗) ∆ ⏞ 𝑉(𝑆𝑘 ) = 𝐴(𝑥 𝑥𝑘 𝑘

𝑛

𝑉(𝑆) = lim ∑ 𝐴(𝑥∗𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑉(𝑆) ≈ ∑ 𝐴(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 𝑘=1

𝑏

𝑉(𝑆) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

- 41 -

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Cuando gira alrededor del Eje X

𝑏

𝑦

𝑉(𝑆𝐹𝑥 ) = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝐴(𝑥) = 𝜋 ∙ 𝑅2 = 𝜋𝑓 2 (𝑥)

𝑆 F𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑉(𝑆𝐹𝑥 ) = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑟

𝐹

𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝐴(𝑥) 𝑎

𝑆G𝑥

𝑉(𝑆𝑇𝑥 ) = 𝑉(𝑆𝐹𝑥 ) − 𝑉(𝑆𝐺𝑥 )

𝑏

𝑥

𝑏

𝑏

2

𝑉(𝑆𝑇𝑥 ) = 𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝜋 ∫ 𝑔2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎 𝑏

2

𝑉(𝑆𝑇𝑥 ) = 𝜋 ∫ [𝑓 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)] 𝑑𝑥 𝑎

- 42 -

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN MÉTODO DEL DISCO (Sólido Hueco):

Cuando gira alrededor de y=k

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐹 𝑏

𝑦=𝑘

𝑉(𝑆𝐹𝑦=𝑘 ) = 𝜋 ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑘)2 𝑑𝑥 𝑎

𝑥 𝑎

𝑏

- 43 -

MÉTODO DEL DISCO (Sólido Hueco):

Cuando gira alrededor de y=p, y=k

𝑦 𝑝

𝑦=𝑝 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑉(𝑆𝑇𝑦=𝑝 ) = 𝜋 ∫ {[𝑝 − 𝑔(𝑥)]2 − [𝑝 − 𝑓(𝑥)]2 } 𝑑𝑥

𝑇

𝑎

𝑔 = 𝑓(𝑥) 𝑥

𝑎

𝑏

𝑏

𝑉(𝑆𝑇𝑦=𝑘 ) = 𝜋 ∫ {[𝑓(𝑥) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑘]2 } 𝑑𝑥 𝑎

𝑘

𝑦=𝑘

- 44 -

MÉTODO DEL DISCO: Cuando gira alrededor de x=q

𝑦 𝑥=𝑞

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑎

𝑀

𝑏

𝑉(𝑆𝑀𝑥=𝑞 ) = 𝜋 ∫ {[𝑓(𝑦) − 𝑞]2 − [𝑔(𝑦) − 𝑞)]2 } 𝑑𝑥 𝑎

𝑏 𝑞

𝑥 = 𝑔(𝑦)

𝑥

- 45 -

MÉTODO DE LA CORTEZA

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐶𝑘

𝑎 = 𝑥0 … 𝑥𝑘−1

𝑥𝑘 … 𝑏 = 𝑥𝑛 𝑥 ∗𝑘 =

𝑥

𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 2

𝑏

𝑉(𝑆𝐹𝑦 ) = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

- 46 -

𝑃[𝑎, 𝑏] = {𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 } , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏]𝑒𝑛 𝑛 subintervalos de la forma [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] de longitud ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 con 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 ; y su norma ‖𝑃‖ = max{∆𝑥𝑘 , 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛} y sea 𝑥𝑘∗ =

𝑥𝑘 +𝑥𝑘−1 2 𝑛

𝑉(𝑆𝐹𝑦 ) ≈ ∑ 𝑉(𝐶𝑘 ) 𝑘=1

𝑉(𝐶𝑘 ) = 𝑉(𝑆𝐸 ) − 𝑉(𝑆𝐼 ) 2 = 𝜋 ∙ 𝑥𝑘2 𝑓(𝑥𝑘∗ ) − 𝜋 ∙ 𝑥𝑘−1 𝑓(𝑥𝑘∗ ) 2 = 𝜋 ∙ (𝑥𝑘2 − 𝑥𝑘−1 ) ∙ 𝑓(𝑥𝑘∗ )

= 𝜋 ∙ (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ) ∙ (𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 ) ∙ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) = 𝜋 ∙ 2𝑥𝑘∗ ∙ ∆𝑥𝑘 ∙ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) = 2𝜋𝑥𝑘∗ ∙ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∙ ∆𝑥𝑘

𝑛

𝑛→∞ ‖𝑃‖ → 0 ⇒ ∑ 𝑉(𝐶𝑘 ) → 𝑉(𝑆𝐹𝑦 ) 𝑘=1 𝑛

𝑉(𝑆𝐹𝑦 ) = 2𝜋 lim ∑ 𝑥𝑘∗ ∙ ∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑘=1

∙ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) 𝑏

𝑉(𝑆𝐹𝑦 ) = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑑 ℎ - 47 -

MÉTODO DE LA CORTEZA

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏

𝑉(𝑆𝑇𝑥=𝑘 ) = 2𝜋 ∫ (𝑥 − 𝑘)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

𝑇

𝑎

ℎ

𝑑

𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑘

𝑎

𝑥 𝑥

𝑏

𝑥=𝑘

- 48 -

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Definición: El logaritmo natural de 𝑥, con 𝑥 > 0 , que notamos 𝐿(𝑥), está dada por: 𝑥

1 𝐿(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 𝑡 1

Representación Gráfica:

𝑦 𝑦=

1 𝑥

1

𝑥

1 𝑎(𝑅) = ∫ 𝑑𝑡 𝑡

𝑅 1 𝑥

𝑥

1

- 49 -

Observaciones: 𝑥

𝒂) 𝑥 > 1

𝐿(𝑥) = ∫ 1

1 𝑑𝑡 > 0 𝑡 𝑥

𝒃) 𝑥 < 1

𝐿(𝑥) = − ∫ 1 𝑥

𝒄) 𝑥 = 1

𝐿(1) = ∫ 1

1 𝑑𝑡 > 0 𝑡

1 𝑑𝑡 = 0 𝑡

Propiedades: i. ii. iii. iv. v.

𝐿(0) = 1 1 𝐿′ (𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 >0 𝐿(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝐿(𝑎) + 𝐿(𝑏) 𝐿(𝑎𝑛 ) = 𝑛𝐿(𝑎) 1 𝐿 (𝑎) = −𝐿(𝑎)

vi.

𝐿 (𝑏 ) = 𝐿(𝑎) − 𝐿(𝑏)

Gráfica:

𝑦 𝑦 = 𝐿(𝑥) ∀ 𝑎 > 0, 𝑏 > 0

𝑎

1

𝑥

- 50 -

Notación:  𝐿(𝑥)  log(𝑥) → Logaritmo base 10  Ln(𝑥) → Logaritmo Natural LOGARITMO DE BASE POSITIVA 𝒃 ≠ 𝟏 Definición: log 𝑏 𝑥 =

ln 𝑥 ln 𝑏

Propiedades: i. ii. iii. iv.

log 𝑏 𝑏 = 1 log 𝑏 1 = 0 log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥 log 𝑏 𝑥𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦

v. vi.

log 𝑏 𝑥 𝑛 = 𝑛log 𝑏 𝑥 1 log 𝑏 𝑥 = −log 𝑏 𝑥

vii.

log 𝑏 𝑦 = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦

𝑥

Observaciones: 𝑒 ≈ 2,718281828 𝑒∈ℝ ln 𝑒 = 1 - 51 -

𝐿0 : ℝ − {0} → ℝ

𝐿: ℝ → ℝ

𝑥

𝑥 → L(𝑥) = ∫ 1

|𝑥|

1 𝑑𝑡 𝑡

𝑥 → 𝐿0 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 |𝑥| = ∫ 1

1 𝑑𝑡 𝑡

Representación Gráfica:

𝑦

𝑦 = log 𝑥

−1

1

𝐷 log|𝑥| =

1 𝑥

𝑥

- 52 -

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Derivada

Integral

1 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝐷 log 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)

1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑓′(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥) + 𝐶 𝑓(𝑥)

𝐷 log 𝑥 =

𝐷 log|𝑥| = 𝐷 log|𝑓(𝑥)| =

1 ∫ 𝑑𝑥 = log |𝑥| + 𝐶 𝑥

1 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)

∫

𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = log | 𝑓(𝑥)| + 𝐶 𝑓(𝑥)

- 53 -

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

−𝑠𝑖𝑛 𝑥 1 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑜𝑔|𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔|𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶 |𝑐𝑜𝑠 𝑥| 𝑐𝑜𝑠 𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = ∫

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔|𝑠𝑖𝑛 𝑥| + 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥

(𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 | + 𝐶 (𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) (𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥)

∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥

(𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥) (𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 | + 𝐶 (𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥) (𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥)

INTEGRAL DEL LOGARITMO

∫ 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − 𝑥 + 𝐶 = 𝑥(𝑙𝑜𝑔𝑥 − 1) + 𝐶

- 54 -

FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: La función exponencial se define como la inversa de la función logarítmica, esto es: 𝐿: ℝ+ → ℝ

𝐸: ℝ → ℝ+

𝑦 → 𝑥 = 𝐿(𝑦)

𝑥 → 𝑦 = 𝐸(𝑥) 𝑦 = 𝐸(𝑥) ↔ 𝑥 = 𝐿(𝑦)

Notación:

Gráfico: 𝑦

𝐸(𝑥) 𝑒

𝑦 = 𝐸(𝑥) 𝑦=𝑥

𝑥

𝑦 = 𝐸(𝑥) ↔ 𝑥 = log 𝑦

1

(b,a)

𝑦 = 𝐿(𝑥) (a,b)

Observaciones: 𝐿(𝐸(𝑥)) = 𝐿(𝑦) = 𝑥 ∈ ℝ 𝐸(𝐿(𝑦)) = 𝐸(𝑥) = 𝑦 ∈ ℝ+

𝑥

1 log 𝑒 𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 log 𝑥 = 𝑥

𝑏=

1 𝑒

- 55 -

Teorema: 1. 2. 3. 4.

𝐸(0) = 1 𝐸(1) = 𝑒 𝐸´(𝑥) = 𝐸(𝑥) 𝐸(𝑎 + 𝑏) = 𝐸(𝑎)𝐸(𝑏)

𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎

Propiedades: 1. 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 1 2. 𝑎−𝑥 = 𝑎𝑥 𝑎𝑥

3. 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 4. (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦

- 56 -

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Derivada

Integral

𝐷𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶

𝐷𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥)

∫ 𝑒 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝐶 𝑎𝑥 +𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑎

𝐷𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 ∙ 𝑎 𝑥

∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =

𝐷𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 ∙ 𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥)

∫ 𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑎 𝑓(𝑥) +𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑎

- 57 -

TABLA DE INTEGRALES Formas Básicas ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

𝑢𝑛+1 + 𝐶, 𝑛+1

∫

∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶

𝑛 ≠ −1

∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢| + 𝐶

𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑢

∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sin 𝑢| + 𝐶

∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶

∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶

𝑎𝑢 +𝐶 ln 𝑎

∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶

∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =

∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

∫

∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶

∫

𝑑𝑢 √𝑎2 − 𝑢2

= sin−1

𝑢 +𝐶 𝑎

𝑑𝑢 1 𝑢 = tan−1 + 𝐶 𝑎2 + 𝑢2 𝑎 𝑎 𝑑𝑢

1 𝑢 sec −1 + 𝐶 𝑎 𝑎

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

∫

∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶

∫

𝑑𝑢 1 𝑢+𝑎 = ln | |+𝐶 𝑎2 − 𝑢2 2𝑎 𝑢−𝑎

∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶

∫

𝑑𝑢 1 𝑢−𝑎 = ln | |+𝐶 𝑢2 − 𝑎2 2𝑎 𝑢+𝑎

𝑢√𝑢2 − 𝑎2

=

- 58 -

Formas Trigonométricas 1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 − 𝑠𝑒𝑛2𝑢 + 𝐶 2 4

∫ cot 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −

cot 𝑛−1 𝑢 − ∫ cot 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛−1

tan 𝑢 sec 𝑛−2 𝑢 𝑛 − 2 + ∫ sec 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛−1 𝑛−1

1 1 ∫ cos 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 + sin 2𝑢 + 𝐶 2 4

∫ sec 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 =

∫ tan2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 − 𝑢 + 𝐶

∫ csc 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −

cot 𝑢 csc 𝑛−2 𝑢 𝑛 − 2 + ∫ csc 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛−1 𝑛−1

∫ cot 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 − 𝑢 + 𝐶

∫ sin 𝑎𝑢 sin 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =

sin(𝑎 − 𝑏)𝑢 sin(𝑎 + 𝑏)𝑢 − +𝐶 2(𝑎 − 𝑏) 2(𝑎 + 𝑏)

1 ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑢 𝑑𝑢 = − (2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢) cos 𝑢 + 𝐶 3

∫ cos 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =

sin(𝑎 − 𝑏)𝑢 sin(𝑎 + 𝑏)𝑢 + +𝐶 2(𝑎 − 𝑏) 2(𝑎 + 𝑏)

1 ∫ cos 3 𝑢 𝑑𝑢 = (2 + cos 2 𝑢) sin 𝑢 + 𝐶 3

∫ sin 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = −

cos(𝑎 − 𝑏)𝑢 cos(𝑎 + 𝑏)𝑢 − +𝐶 2(𝑎 − 𝑏) 2(𝑎 + 𝑏)

1 ∫ tan3 𝑢 𝑑𝑢 = tan2 𝑢 + ln|cos 𝑢| + 𝐶 2

∫ 𝑢 sin 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 − 𝑢 cos 𝑢 + 𝐶

1 ∫ cot 3 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 2 𝑢 − ln|sin 𝑢| + 𝐶 2

∫ 𝑢 cos 𝑢 𝑑𝑢 = cos 𝑢 + 𝑢 sin 𝑢 + 𝐶

1 1 ∫ sec 3 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢 + ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶 2 2

∫ 𝑢𝑛 sin 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑢𝑛 cos 𝑢 + 𝑛 ∫ 𝑢𝑛−1 cos 𝑢 𝑑𝑢

1 1 ∫ csc 3 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 + ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶 2 2

∫ 𝑢𝑛 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛 sin 𝑢 − 𝑛 ∫ 𝑢𝑛−1 sin 𝑢 𝑑𝑢

- 59 -

1 𝑛−1 ∫ sin𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − sin𝑛−1 𝑢 cos 𝑢 + ∫ sin𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛 𝑛 1 𝑛−1 ∫ cos 𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = cos 𝑛−1 𝑢 sin 𝑢 + ∫ cos𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛 𝑛 1 ∫ tan𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = tan𝑛−1 𝑢 − ∫ tan𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛−1

∫ sin𝑛 𝑢 cos𝑚 𝑢 𝑑𝑢 sin𝑛−1 𝑢 cos 𝑚+1 𝑢 𝑛 − 1 + ∫ sin𝑛−2 𝑢 cos 𝑚 𝑢 𝑑𝑢 𝑛+𝑚 𝑛+𝑚 𝑛+1 𝑚−1 sin 𝑢 cos 𝑢 𝑚−1 = + ∫ sin𝑛 𝑢 cos𝑚−2 𝑢 𝑑𝑢 𝑛+𝑚 𝑛+𝑚

=−

Formas Trigonométricas Inversas ∫ sin−1 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 sin−1 𝑢 + √1 − 𝑢2 + 𝐶

∫ 𝑢 tan−1 𝑢 𝑑𝑢 =

𝑢2 + 1 𝑢 tan−1 𝑢 − + 𝐶 2 2

∫ cos −1 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 cos−1 𝑢 − √1 − 𝑢2 + 𝐶

∫ 𝑢𝑛 sin−1 𝑢 𝑑𝑢 =

1 𝑢𝑛+1 𝑑𝑢 [𝑢𝑛+1 sin−1 𝑢 − ∫ ] 𝑛+1 √1 − 𝑢2

1 ∫ tan−1 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 tan−1 𝑢 − ln(1 + 𝑢2 ) + 𝐶 2

∫ 𝑢𝑛 cos −1 𝑢 𝑑𝑢 =

1 𝑢𝑛+1 𝑑𝑢 [𝑢𝑛+1 cos −1 𝑢 + ∫ ] 𝑛+1 √1 − 𝑢2

∫ 𝑢𝑛 tan−1 𝑢 𝑑𝑢 =

1 𝑢𝑛+1 𝑑𝑢 [𝑢𝑛+1 tan−1 𝑢 − ∫ 2 ] 𝑛+1 𝑢 +1

∫ 𝑢 sin−1 𝑢 𝑑𝑢 =

2𝑢2 − 1 −1 𝑢√1 − 𝑢2 sin 𝑢 + +𝐶 4 4

∫ 𝑢 cos−1 𝑢 𝑑𝑢 =

2𝑢2 − 1 𝑢√1 − 𝑢2 csc −1 𝑢 − +𝐶 4 4

Para las tres últimas 𝑛 ≠ −1

- 60 -

Formas Exponenciales y Logarítmicas ∫ 𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢𝑛 𝑒 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =

∫ 𝑒 𝑎𝑢 sen 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =

1 (𝑎𝑢 − 1)𝑒 𝑎𝑢 + 𝐶 𝑎2

1 𝑛 𝑎𝑢 𝑛 𝑢 𝑒 − ∫ 𝑢𝑛−1 𝑒 𝑎𝑢 𝑑𝑢 𝑎 𝑎 𝑒 𝑎𝑢 (𝑎 sen 𝑏𝑢 − 𝑏 cos 𝑏𝑢) + 𝐶 + 𝑏2

𝑎2

∫ ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 ln 𝑢 − 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑢𝑛 ln 𝑢 𝑑𝑢 =

∫

𝑢𝑛+1 [(𝑛 + 1) ln 𝑢 − 1] + 𝐶 (𝑛 + 1)2

1 𝑑𝑢 = ln|ln 𝑢| + 𝐶 𝑢 ln 𝑢

𝑒 𝑎𝑢 (𝑎 cos 𝑏𝑢 + 𝑏 sen 𝑏𝑢) + 𝐶 𝑎2 + 𝑏2

- 61 -

FUNCIONES HIPERBÓLICAS Hipérbola Unidad

- 62 -

DEFINICIÓN

𝑆𝑒𝑛ℎ 𝛼 =

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝛼 =

𝑇𝑔ℎ 𝛼 =

𝑒 𝛼 −𝑒 −𝛼 2

𝑒 𝛼 −𝑒 −𝛼 2

𝑆𝑒𝑛ℎ 𝛼 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝛼

𝐶𝑠𝑐ℎ 𝛼 =

𝑆𝑒𝑐ℎ 𝛼 =

𝐶𝑜𝑡ℎ 𝛼 =

1 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝛼

1 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝛼

𝐶𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝛼

- 63 -

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS SENO HIPERBÓLICO

𝑦 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥

𝑥

- 64 -

COSENO HIPERBÓLICO

𝑦

𝑦 = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥

1−

𝑥

- 65 -

TANGENTE HIPERBÓLICA

𝑦

𝑦=1 1−

𝑦 = 𝑇𝑔ℎ 𝑥

𝑥

𝑦 = −1

−1 −

- 66 -

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1

∗ 𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝑥) = − 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥

∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ (−𝑥) = 𝐶𝑜𝑠ℎ

∗ 𝑇𝑔ℎ (−𝑥) = − 𝑇𝑔ℎ 𝑥

∗ 𝑆𝑒𝑛ℎ (2𝑥) = 2 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥

∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ (2𝑥) = 𝐶𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛ℎ2 𝑥

∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑒 𝑥

∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑒 −𝑥

1

1

∗ 2𝑆𝑒𝑛ℎ2 (2 𝑥) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 1

∗ 2𝐶𝑜𝑠ℎ2 (2 𝑥) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 1

∗ 𝑇𝑔ℎ2 𝑥 + 𝑆𝑒𝑐ℎ2 𝑥 = 1

∗ 𝐶𝑜𝑡ℎ2 𝑥 − 𝐶𝑠𝑐ℎ2 𝑥 = 1

∗ 𝑆𝑒𝑛ℎ (𝑥 + 𝑦) = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑦 + 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑦 ∗ 𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑥 + 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑦 + 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑦 ∗ (𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥)𝑛 = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑛𝑥 + 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑛𝑥 (𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜) - 67 -

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Derivada 𝐷 Senh 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝐷 Cosh 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝐷 𝑇𝑔ℎ 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝐷 𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥 = −𝐶𝑠𝑐ℎ2 𝑥 𝐷 𝑆𝑒𝑐ℎ 𝑥 = −𝑆𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑇𝑔ℎ 𝑥 𝐷 𝐶𝑠𝑐ℎ 𝑥 = −𝐶𝑠𝑐ℎ 𝑥 𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥

- 68 -

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN SENO Representación Gráfica 𝑆𝑒𝑛:

Redefinida la Función

ℝ → ℝ

𝑦

𝑥 → 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥)

𝑆𝑒𝑛:

𝜋 𝜋 [− , ] → [−1,1] 2 2 𝑥 → 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥)

𝑦=1

1−

𝑥 −𝜋

𝜋 − 2

𝜋 2

𝜋

𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = −1

−1 −

- 69 -

FUNCIÓN ARCOSENO Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛:

𝜋 𝜋 [−1,1 ] → [− , ] 2 2

𝑦

𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(𝑦)

𝜋 − 2

−1

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(𝑥)

1

𝑥

𝜋 − − 2

- 70 -

FUNCIÓN COSENO Representación Gráfica

Redefinida la Función 𝐶𝑜𝑠:

ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑦 = −1

𝑦

𝑥 → 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑦=1

−𝜋

[0, 𝜋] → [−1,1]

𝐶𝑜𝑠:

1−

𝜋 2

𝜋 − 2

𝜋

3𝜋 2

𝑥

−1 −

- 71 -

FUNCIÓN ARCOCOSENO Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠:

[0, 𝜋 ] → [−1,1] 𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑦)

𝑦 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝜋−

𝜋 − − 2

−1

1

𝑥

- 72 -

FUNCIÓN TANGENTE Representación Gráfica 𝑇𝑔:

ℝ−{

Redefinida la Función

2𝑛 + 1 𝜋} → ℝ 2

𝑇𝑔:

𝜋 𝜋 ]− , [ → ℝ 2 2

𝑥 → 𝑦 = 𝑇𝑔(𝑥)

𝑥 → 𝑦 = 𝑇𝑔(𝑥)

𝑦 𝑥=

2𝑛 + 1 𝜋 2

; 𝑛∈ℤ

𝑦 = 𝑇𝑔(𝑥) −𝜋

−

𝜋 2

𝜋 2

𝜋

𝑥

- 73 -

FUNCIÓN ARCOTANGENTE Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔:

𝜋 𝜋 ℝ → ]− , [ 2 2

𝑦

𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔(𝑦)

𝑦=

𝜋 2

𝜋 2

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔(𝑥)

𝑥

𝑦=−

𝜋 2

−

𝜋 2

−

- 74 -

FUNCIÓN COTANGENTE Representación Gráfica 𝐶𝑜𝑡:

Redefinida la Función

ℝ − {𝑛 𝜋} → ℝ

𝐶𝑜𝑡:

𝑥 → 𝑦 = 𝐶𝑜𝑡(𝑥) 𝑥=𝑛𝜋

]0, 𝜋[ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝐶𝑜𝑡(𝑥)

𝑦

; 𝑛∈ℤ

𝑦 = 𝐶𝑜𝑡(𝑥)

−

3𝜋 2

−𝜋

−

𝜋 2

𝜋 2

𝜋

3𝜋 2

2𝜋

5𝜋 2

𝑥

- 75 -

FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡:

ℝ → ]0, 𝜋[ 𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡(𝑦)

𝑦

𝑦=𝜋

𝜋 − 2

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡(𝑥)

𝑥

- 76 -

FUNCIÓN SECANTE Representación Gráfica 𝑆𝑒𝑐:

ℝ−{

Redefinida la Función

2𝑛 + 1 𝜋} → ℝ − ]−1,1[ 2

𝑆𝑒𝑐:

𝑦

𝑥 → 𝑦 = 𝑆𝑒𝑐(𝑥) 𝑥=

2𝑛 + 1 𝜋 2

𝜋 [0, 𝜋] − { } → ℝ − ]−1,1[ 2

𝑦 = 𝑆𝑒𝑐(𝑥)

𝑥 → 𝑦 = 𝑆𝑒𝑐(𝑥)

; 𝑛∈ℤ

𝑦=1

1−

-

−𝜋

𝑦 = −1

−

𝜋 2

𝜋 2

𝜋

𝑥

−1 −

-

- 77 -

FUNCIÓN ARCOSECANTE Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐:

𝜋 ℝ − ]−1,1[ → [0, 𝜋] − { } 2 𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐(𝑦)

𝑦 𝜋−

𝑦=

𝜋 2

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐(𝑥)

𝜋 − 2

−1

1

𝑥

- 78 -

FUNCIÓN COSECANTE

Redefinida la Función

Representación Gráfica 𝐶𝑠𝑐:

ℝ − {𝑛 𝜋} → ℝ − ]−1,1[

𝐶𝑠𝑐:

𝑥 → 𝑦 = 𝐶𝑠𝑐(𝑥) 𝑥=𝑛𝜋

𝑦

𝜋 𝜋 [− , ] − {0} → ℝ − ]−1,1[ 2 2 𝑥 → 𝑦 = 𝐶𝑠𝑐(𝑥)

𝑦 = 𝐶𝑠𝑐(𝑥)

; 𝑛∈ℤ

1−

𝑦=1

-

3𝜋 − 2

𝑦 = −1

−𝜋

𝜋 − 2

𝜋 2

𝜋

𝑥 3𝜋 2

−1 −

-

- 79 -

FUNCIÓN ARCOCOSECANTE Representación Gráfica 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐:

𝜋 𝜋 ℝ − ]−1,1[ → [− , ] − {0} 2 2 𝑦 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐(𝑦)

𝑦

𝑦=

𝜋 2

𝜋 2

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐(𝑥)

1

−1

𝑦=−

𝜋 2

−

𝑥

𝜋 2

- 80 -

DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN ARCOSENO Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 =

1 √1 − 𝑥 2

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑓(𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) √1 − 𝑓 2 (𝑥)

∫

∫

1 √1 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶

𝑓 ′ (𝑥) √1 − 𝑓 2 (𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑓(𝑥) + 𝐶

Integrales:

∫ 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 + √1 − 𝑥 2 + 𝐶

- 81 -

FUNCIÓN ARCOCOSENO Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 = −

1 √1 − 𝑥 2

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑓(𝑥) = −

𝑓 ′ (𝑥) √1 − 𝑓 2 (𝑥)

∫−

∫−

1 √1 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

𝑓 ′ (𝑥) √1 − 𝑓 2 (𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑓(𝑥) + 𝐶

Integrales:

∫ 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 − √1 − 𝑥 2 + 𝐶

- 82 -

FUNCIÓN ARCOTANGENTE Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑇𝑔𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 =

1 1 + 𝑥2

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑓(𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) 1 + 𝑓 2 (𝑥)

∫

∫

1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2

𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑓(𝑥) + 𝐶 1 + 𝑓 2 (𝑥)

Integrales:

1 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 − 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑥 2 ) + 𝐶 2

- 83 -

FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝐶𝑜𝑡𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑥 = −

1 1 + 𝑥2

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑓(𝑥) = −

𝑓 ′ (𝑥) 1 + 𝑓 2 (𝑥)

∫−

∫−

1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2

𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑓(𝑥) + 𝐶 1 + 𝑓 2 (𝑥)

Integrales:

1 ∫ 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑥 + 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑥 2 ) + 𝐶 2

- 84 -

FUNCIÓN ARCOSECANTE Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥 =

1 𝑥√𝑥 2 − 1

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑓(𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥) − 1

∫

∫

1 𝑥√𝑥 2 − 1

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥 + 𝐶

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥) − 1

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑓(𝑥) + 𝐶

Integrales:

∫ 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 |𝑥 + √𝑥 2 − 1| + 𝐶

- 85 -

FUNCIÓN ARCOCOSECANTE Derivadas: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐𝑦

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥 = −

1 𝑥√𝑥 2 − 1

𝐷 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑓(𝑥) = −

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥) − 1

∫−

∫−

1 𝑥√𝑥 2 − 1

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥 + 𝐶

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)√𝑓 2 (𝑥) − 1

𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑓(𝑥) + 𝐶

Integrales:

∫ 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 |𝑥 + √𝑥 2 − 1| + 𝐶

- 86 -

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES ∫

𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 𝑄(𝑥)

𝑐𝑜𝑛 𝑃 𝑦 𝑄 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ +𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑃 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛 𝑠𝑖 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ +𝑏𝑛 𝑥 𝑛 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) 𝑠𝑠𝑖 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 ∀ 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 1 ,n 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) = 𝑆(𝑥) 𝑆(𝑥)

𝑠𝑠𝑖 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)

∗ 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙: 𝑎𝑥 + 𝑏 ∗ 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜:

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ,

𝑐𝑜𝑛 ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ,

∆< 0 → 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝒊) 𝑆𝑖 𝑔𝑟𝑑 𝑃 ≥ 𝑔𝑟𝑑 𝑄

𝑃(𝑥)|𝑄(𝑥)

𝑔𝑟𝑑 𝑅 < 𝑔𝑟𝑑 𝑄

𝑅(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) = 𝐶(𝑥) + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) - 87 -

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑔𝑟𝑑 𝑃 < 𝑔𝑟𝑑 𝑄 − Factorizamos Q(denominador) en lineales y/o cuadráticos irreducibles, o sea que ∆< 0

Factores Q(x) 1) Factores Lineales que no se repiten 𝑎𝑥 + 𝑏 2) Factores Lineales que si se repiten (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 3) Factores Cuadráticos irreducibles (∆< 0) que no se repiten 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 4) Factores Cuadráticos irreducibles (∆< 0) que si se repiten (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛

Corresponde 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 + + ⋯ + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎𝑥 2

𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝐴𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 + + ⋯+ 2 2 2 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

- 88 -

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ 𝑅(𝑥, √𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝑐 ) 𝑑𝑥

∆ >0

Diferencia de Cuadrados ∆<0

𝑰)

∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 ) 𝑑𝑥

𝑰𝑰)

∫ 𝑅(𝑥, √𝑎2 + (𝑏𝑥 + 𝑐)2 ) 𝑑𝑥

𝐴 < 0 𝑰)

Suma de Cuadrados

y

𝐴 > 0 𝑰𝑰)

𝑰𝑰𝑰)

𝑰𝑰𝑰) ∫ 𝑅(𝑥, √(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 ) 𝑑𝑥

- 89 -

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS

𝑰)

∫ 𝑹 (𝒙, √𝒂𝟐 − (𝒃𝒙 + 𝒄)𝟐 ) 𝒅𝒙

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑥=

𝑆𝑒𝑛𝜃 =

𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎

𝑎 𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝑐 𝑏 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎 𝑑𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑏

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 − 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃

√𝑎2 − (𝑏𝑥 + 𝑐)2

= 𝑎 √1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑎 √𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠𝜃 - 90 -

𝑰𝑰)

∫ 𝑹 (𝒙, √𝒂𝟐 + (𝒃𝒙 + 𝒄)𝟐 ) 𝒅𝒙

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑇𝑔𝜃

𝑥=

𝑇𝑔𝜃 =

𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎

𝑎 𝑇𝑔𝜃 − 𝑐 𝑏 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 =

𝑎 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑏

√𝑎2 + (𝑏𝑥 + 𝑐)2 = √𝑎2 + 𝑎2 𝑇𝑔2 𝜃

𝑎

= 𝑎 √1 + 𝑇𝑔2 𝜃 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐𝜃

- 91 -

𝑰𝑰𝑰)

∫ 𝑹 (𝒙, √(𝒃𝒙 + 𝒄)𝟐 − 𝒂𝟐 ) 𝒅𝒙

𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐𝜃

𝑥=

𝑆𝑒𝑐𝜃 =

𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎

𝑎 𝑆𝑒𝑐𝜃 − 𝑐 𝑏 √(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2

𝑎 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝑇𝑔𝜃 𝑑𝜃 𝑏

√(𝑏𝑥 + 𝑐)2 − 𝑎2 = √𝑎2 𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑎2

𝑎

= 𝑎 √𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 = 𝑎 𝑇𝑔𝜃

- 92 -

INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS 𝑥 𝑥 𝑥 𝐶𝑜𝑠 2 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 2 𝑆𝑒𝑛 𝐶𝑜𝑠 2 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 2 𝑥 1 = 2 𝑇𝑔 2 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑇𝑔 2 2𝑢 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝑥 2 1 + 𝑇𝑔 2 1 + 𝑢2

∫ 𝑹(𝑺𝒆𝒏𝒙, 𝑪𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙

𝑢 = 𝑇𝑔

𝑥 2

𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 𝑢 𝑑𝑥 =

2 𝑑𝑢 1 + 𝑢2

2𝑢

𝑥 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 2 − 𝑆𝑒𝑛2 2 2 𝑥 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 2 − (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 ) 2 2 𝑥 2 = 2 𝐶𝑜𝑠 2 − 1 = 𝑥−1 2 𝑆𝑒𝑐 2 2 2 = − 1 𝑥 1 + 𝑇𝑔2 2 =

1 − 𝑢2

2 −1 1 + 𝑢2

𝐶𝑜𝑠𝑥 =

1 − 𝑢2 1 + 𝑢2 - 93 -

ARTIFICIOS PARA INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑆𝑒𝑛2 𝑥)𝑠 𝑑𝑥

Ángulos Dobles 1 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = (1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥) 2

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 1,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑆𝑒𝑛2 𝑥)𝑠 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 - 94 -

∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝐶𝑜𝑠 2 𝑥)𝑠 𝑑𝑥

Ángulos Dobles 1 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥) 2

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 1,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝐶𝑜𝑠 2 𝑥)𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥

- 95 -

∫ 𝑻𝒈𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 2,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝑇𝑔𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑇𝑔2𝑠 𝑥 𝑇𝑔2 𝑥 𝑑𝑥

𝑇𝑔2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 1,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝑇𝑔𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑇𝑔2 𝑥)𝑠 𝑇𝑔𝑥 𝑑𝑥

𝑇𝑔2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1

= ∫ 𝑇𝑔2𝑠 𝑥 (𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥

= ∫(𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1)𝑠 𝑇𝑔𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑇𝑔2𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑇𝑔2𝑠 𝑥 𝑑𝑥

= ⋯ ± ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑝 𝑥 𝑇𝑔𝑥 𝑑𝑥 … ± ∫ 𝑇𝑔𝑥 𝑑𝑥

=

(𝑇𝑔𝑥)2𝑠+1 − ∫ 𝑇𝑔2𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2𝑠 + 1

= ⋯±

𝑆𝑒𝑐 𝑝 𝑥 … ± 𝑙𝑜𝑔|𝑆𝑒𝑐𝑥| + 𝐶 𝑝

- 96 -

∫ 𝑪𝒐𝒕𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 2,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶𝑜𝑡 2𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 𝑑𝑥

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 1,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝐶𝑜𝑡 2 𝑥)𝑠 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1

𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1

= ∫ 𝐶𝑜𝑡 2𝑠 𝑥 (𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥

= ∫(𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1)𝑠 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝐶𝑜𝑡 2𝑠 𝑥 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝐶𝑜𝑡 2𝑠 𝑥 𝑑𝑥

= ⋯ ± ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑝 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥 … ± ∫ 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

(𝐶𝑜𝑡𝑥)2𝑠+1 = − ∫ 𝐶𝑜𝑡 2𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2𝑠 + 1

= ⋯±

𝐶𝑠𝑐 𝑝 𝑥 … ± 𝑙𝑜𝑔|𝑆𝑒𝑛𝑥| + 𝐶 𝑝

- 97 -

∫ 𝑺𝒆𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 2,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑆𝑒𝑐 2 𝑥)𝑠 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑇𝑔2 𝑥 + 1 = ∫(𝑇𝑔2 𝑥 + 1)𝑠 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑇𝑔𝑝 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑇𝑔𝑥 + ⋯ +

(𝑇𝑔𝑥)𝑝+1 𝑝+1

- 98 -

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 𝑖 + 1

(𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠)

= 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔𝑥 − 𝑖 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔2 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑖 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑇𝑔𝑥

𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔𝑥 − 𝑖 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔𝑥 − 𝑖 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =

1 𝑖 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑇𝑔𝑥 + ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 𝑖+1 𝑖+1

- 99 -

∫ 𝑪𝒔𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 2𝑠 + 2,

𝑐𝑜𝑛 𝑠 ∈ ℤ

∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝐶𝑠𝑐 2 𝑥)𝑠 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 + 1 = ∫(𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 + 1)𝑠 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑝 𝑥 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑡𝑥 − ⋯ −

(𝐶𝑜𝑡𝑥)𝑝+1 𝑝+1

- 100 -

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 = 𝑖 + 1

(𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠)

= −𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 − 𝑖 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥

𝑑𝑢 = −𝑖 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = −𝐶𝑜𝑡𝑥

𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1 = −𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 − 𝑖 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 − 𝑖 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −

1 𝑖 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 + ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑖 𝑥 𝑑𝑥 𝑖+1 𝑖+1

- 101 -

Primitivas de un Producto de Senos y Cosenos de Funciones Lineales de x

𝑰)

∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑆𝑒𝑛(𝑐𝑥 + 𝑑) 𝑑𝑥

𝑰𝑰)

∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝐶𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) 𝑑𝑥

𝑰𝑰𝑰) ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝐶𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) 𝑑𝑥

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵 = [𝐶𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2 1 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐵 = [𝐶𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) + 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)] 2 1 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐵 = [𝑆𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)] 2

- 102 -

FORMAS INDETERMINADAS 𝑰)

0 ∞ , 0 ∞

𝑰𝑰)

0∗ ∞

𝑰𝑰𝑰) 00 , ∞0 , 1∞ 𝑰𝑽)

∞−∞

𝑰) 𝒂)

0 0

(L’Hopital)

lim 𝑓(𝑥) = 0 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim 𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑝 𝑔′(𝑥) lim

𝒃)

∞ ∞

lim 𝑓(𝑥) = ∞ 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim 𝑥→𝑝 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑝 𝑔′(𝑥) lim

- 103 -

𝑰𝑰)

0∗ ∞

lim 𝑓(𝑥) = 0 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) 𝑥→𝑝 1 𝑔(𝑥)

L’Hopital 𝑰)

𝑔(𝑥) 1 𝑓(𝑥)

L’Hopital 𝑰)

lim

𝑥→𝑝

lim 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) =

𝑥→𝑝

lim

𝑥→𝑝

𝑰𝑰𝑰)

lim 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥)

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑒 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝒂)

𝑥→𝑝

00

𝒃) ∞0

lim 𝑓(𝑥) = 0 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

lim 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

𝒄) 1∞

lim 𝑓(𝑥) = ∞ 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑝

lim 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

lim 𝑓(𝑥) = 1 𝑦 lim 𝑔(𝑥) = ∞

𝑥→𝑝

𝑥→𝑝

lim 𝑔(𝑥) log 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑝

- 104 -

LÍMITES NOTABLES

1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) =0 𝑥

𝑆𝑒𝑛(𝑥) =1 𝑥→0 𝑥

6) lim

2) lim

𝑇𝑔(𝑥) =1 𝑥→0 𝑥

7) lim

1 𝑥 3) lim (1 + ) = 𝑒 𝑥→0 𝑥

8) lim

4) lim 𝑆𝑒𝑛(𝑥) = 0

9) lim

5) lim 𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 1

10) lim 𝑥 𝑥 = 1

1) lim

𝑥→0 𝑥→0

𝑥→0

1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 1 = 𝑥→0 𝑥2 2 𝑆𝑒𝑛𝑎𝑥

𝑥→0 𝑆𝑒𝑛𝑏𝑥

=

𝑎 𝑏

𝑇𝑔𝑎𝑥 𝑎 = 𝑥→0 𝑇𝑔𝑏𝑥 𝑏 𝑥→0

- 105 -

INTEGRALES IMPROPIAS

𝑦

𝑦

𝑏

𝑏

−∞ ← 𝑎

𝑥

𝑎

−∞ ←

𝑎

𝑡→

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑝

𝑏→∞

𝑎 𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎→∞

−∞

𝑎

→ +∞

𝑥=𝑝

𝑥=𝑝 +∞

𝑥

←𝑡

→ +∞

𝑡→𝑝

𝑡

𝑝

𝑡

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡→𝑝

𝑎

𝑎

- 106 -

𝑏

𝑝

𝑏

𝑦

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑝 𝑡

𝑏

= lim− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡→𝑝

𝑡→𝑝

𝑎

𝑡

−∞ ← +∞

0

𝑎

𝑡→

+∞

←𝑡

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

−∞

𝑥

𝑏

→ +∞

0 0

𝑏

= lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎→−∞

𝑏→+∞

𝑎

+∞

𝑥=𝑝

0

𝑝

𝑎

𝑏

+∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

−∞

𝑎

𝑝

𝑎

𝑏

𝑡

𝑏

𝑠

= lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑟→−∞

𝑡→𝑝

𝑟

𝑠→+∞

𝑡→𝑝

𝑎

𝑡

𝑏

- 107 -

SUCESIONES Definición.- Es un conjunto infinito de números con un orden determinado. Una sucesión es una función cuyo dominio es ℤ+ o sea que: 𝑓: ℤ+ → ℝ 1 → 2 → 3 → ⋮ 𝑛 → 𝑛+1 ⋮

𝑓(1) = 𝑎1 𝑓(2) = 𝑎2 𝑓(3) = 𝑎3 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 → 𝑓(𝑛 + 1) = 𝑎𝑛+1

Notación. 

{ f(1), f(2), f(3), …, f(n), … { 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , …, 𝑎𝑛 , … }

 

{ 𝑎𝑛 } { f(n) }

Conjunto por Comprensión

Conjunto por Tabulación   

{𝑎𝑛 }∞ (𝑎𝑛 )∞ - 108 -

Ejemplos:

1) {1,

1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5

𝑓(𝑛) =

1

… } = { 𝑛 } ; Si 𝑛 → ∞ ⟹

1 𝑛

⟶0

1 𝑛

2) {1, −1, 1, −1, 1, … } = { (−1)𝑛 } ; Si 𝑛 → ∞ ⟹ (−1)𝑛 ⟶ ∄ 𝑓(𝑛) = (−1)𝑛 3) {2, 4, 8, 16, 32, … } = { 2𝑛 } ; Si 𝑛 → ∞ ⟹ 2𝑛 ⟶ ∞ 𝑓(𝑛) = 2𝑛 4) De Fibonacci 𝑎1 = 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … }

𝑛≥3

ℎ(𝑛) =

𝑛 1+𝑛

𝑛 → ∞ ⟹ ℎ(𝑛) ⟶ 1 Como una sucesión es una función, se aplica toda la teoría de funciones. - 109 -

Representación Gráfica:

𝑦

1)

𝑦=

1 𝑥

Punto de acumulación

{ 𝑓(𝑛) =

1 𝑛

𝑛

…

1− 1/2 − 1/3 −

1

2)

2

3

…

0

54 3

2

1

1 1 1 5 4 3

1 2

1

1 } 𝑛

𝑥

𝑦 𝑓(𝑛) = (−1)𝑛 1

𝑦=1

1 2 3 4 5 6 −1

…

𝑥 𝑦 = −1

𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⋮ 6 4 2

𝑝𝑎𝑟 ⋮ 5 3 1 𝑛 −1

0

1

{ (−1)𝑛 } - 110 -

𝑦

3)

𝑦 = 2𝑥 8

{ 2𝑛 } 𝑓(𝑛) = 2

4

𝑛

𝑛

0

1

2

3

2

4

8

…

2 1 2 3

…

𝑥

- 111 -

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

Definición.Una sucesión { f(n) } tiene límite 𝐿, si para cada ℇ > 0, existe un 𝑁 > 0 tal que si 𝑛 > 𝑁 entonces |𝑓(𝑛) − 𝐿| < ℇ. O sea que lim 𝑓(𝑛) = 𝐿, en tal caso se dice que la sucesión es convergente y converge a 𝐿; caso contrario diremos que 𝑛→∞

la sucesión diverge (Esto es cuando ∄ lim 𝑓(𝑛) 𝑜 𝑛→∞

lim 𝑓(𝑛) = ∞)

𝑛→∞

{𝑓(𝑛)} 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⟺ lim 𝑓(𝑛) = 1 ⇔ ∀ ℇ > 0; ∃ 𝑁 > 0 / 𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑛) − 𝐿| < ℇ 𝑛→∞

- 112 -

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN.𝑓: ℤ+ → ℝ 𝑛 → 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛

{ 𝑎𝑛 } { f(n) }

(Función)

({𝑎𝑛 } 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝐿) 𝑠𝑠𝑖 ( lim 𝑎𝑛 = 𝐿) 𝑠𝑠𝑖 ∀ ℇ > 0; ∃ 𝑁 > 0 𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑛) − 𝐿| < ℇ 𝑛→∞

𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 {𝑎𝑛 } 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 𝒊) ∄ lim 𝑎𝑛

𝒊𝒊) lim 𝑎𝑛 = ∞

𝑛→∞

𝑛→∞

TEOREMA DE INTERCALACIÓN Sean {𝑎𝑛 }, {𝑏𝑛 } y {𝑐𝑛 } sucesiones, si 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 y lim 𝑎𝑛 = lim 𝑐𝑛 = 𝐿 , entonces lim 𝑏𝑛 = 𝐿 𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

TEOREMA.Si lim |𝑎𝑛 | = 0, entonces lim 𝑎𝑛 = 0 𝑛→∞

𝑛→∞

- 113 -

MONOTONÍA

𝒊)

{𝑎𝑛 } ↗

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1

∀𝑛 ≥1

𝒊𝒊)

{𝑎𝑛 } ↘

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1

∀𝑛 ≥1

𝒊)

{𝑎𝑛 } ↗

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛+1 >1 𝑎𝑛

𝒊𝒊)

{𝑎𝑛 } ↘

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛+1 <1 𝑎𝑛

𝒊)

{𝑎𝑛 } ↗

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 < 0

𝒊𝒊)

{𝑎𝑛 } ↘

𝑠𝑠𝑖

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 > 0

𝒊)

{𝑓(𝑛)} ↗

𝑠𝑖

𝑓 ′ (𝑥) > 0 ;

∀𝑥 ≥1

𝒊𝒊)

{𝑓(𝑛)} ↘

𝑠𝑖

𝑓 ′ (𝑥) < 0 ;

∀𝑥 ≥1 - 114 -

SUCESIONES ACOTADAS ∗ {𝑎𝑛 } es acotada superiormente si existe un 𝑀 tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 ∀ 𝑛 ≥ 1 ∗ {𝑎𝑛 } es acotada Inferiormente si existe un 𝑚 tal que 𝑚 < 𝑎𝑛 ∀ 𝑛 ≥ 1 ∗ {𝑎𝑛 } es acotada si es acotada superiormente e inferiormente.

TEOREMA.Toda sucesión monótona acotada, es Convergente.

- 115 -

SERIES INFINITAS Sea {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 … } una sucesión de números reales, la sucesión {𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , 𝑠4 , … . . } tal que 𝑠1 = 𝑎1 ;

𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 ;

𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ;

…;

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 ;

𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + 𝑎𝑛+1 …

Notación.𝒊) 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ 𝒊𝒊) 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ ∞

𝒊𝒊𝒊) ∑ 𝑎𝑘 𝑘=1

𝒊𝒗) ∑ 𝑎𝑛

- 116 -

Símbolo de la Sumatoria.



Aditiva 𝑛

𝑛



𝑛

Homogénea 𝑛

𝑛

∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘

∑ 𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑘

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

De Linealidad 𝑛

𝑛

𝑛



𝑘=1

Telescópica 𝑛

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑ 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑ 𝑏𝑘

∑(𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 ) = 𝑎𝑛 − 𝑎0

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA.𝑛

∞

∞

∞

Sea la serie ∑ 𝑎𝑛 , Si lim ∑ 𝑎𝑛 = 𝑆 se dice que la serie ∑ 𝑎𝑛 converge y su suma ∑ 𝑎𝑛 = 𝑆 𝑘=1

𝑛→∞

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

- 117 -

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS Definición.Sea {𝑎𝑛 } una sucesión, la sucesión {𝑆𝑛 }, tal que 𝑆1 = 𝑎1 ; 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 ; 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑘

se denomina serie infinita.

𝑘=1

Notación.∞

∞

𝒊)

∑ 𝑎𝑘

𝒊𝒊)

∑ 𝑎𝑛

𝒊𝒊𝒊) ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1

𝑘=1

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA.∞

𝑛

Si lim 𝑆𝑛 = 𝑆; entonces la serie ∑ 𝑎𝑘 converge y su suma ∑ 𝑎𝑘 = 𝑆 𝑛→∞

𝑘=1

𝑘=1

- 118 -

TEOREMA DE LINEALIDAD DE LAS SERIES ∞

∞

𝒊) 𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑘 𝑦 ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

dos series convergentes, entonces:

𝑘=1

∞

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 )

también converge y su suma está dada por:

𝑘=1 ∞

∞

∞

∑(𝐴𝑎𝑘 + 𝐵𝑏𝑘 ) = 𝐴 ∑ 𝑎𝑘 + 𝐵 ∑ 𝑏𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝒊𝒊) 𝑆𝑖 ∑ 𝑎𝑛 Converge y ∑ 𝑏𝑛 Diverge, entonces: ∑(𝐴𝑎𝑛 + 𝐵𝑏𝑛 ) Diverge

- 119 -

∞

∞

∑ 𝑎𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑘 = 1 → 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

∑ 𝑏𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑘 = 1 → 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑘=1

𝑘=1 𝑛

𝑛

𝑆𝑛 = ∑ 1

𝑇𝑛 = ∑ 1

𝑘=1

𝑘=1 𝑛

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 1 = lim 𝑛 = ∞

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

lim 𝑇𝑛 = 𝑛

𝑛→∞

∞

∑ 𝑐𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑘 = −1 → 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘=1 𝑛

𝑅𝑛 = ∑(−1) 𝑘=1 𝑛

lim 𝑅𝑛 = lim ∑(−1) = lim (−𝑛) = −∞

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

- 120 -

∞

∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) → 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘=1 𝑛

𝑛

𝐴𝑛 = ∑(1 + 1) = ∑ 2 𝑘=1

𝑘=1 ∞

lim 𝐴𝑛 = lim ∑ 2 = 2𝑛

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

∞

∑(𝑎𝑘 + 𝐶𝑘 ) → 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑘=1 𝑛

𝑛

𝐵𝑛 = ∑(1 + (−1)) = ∑ 0 𝑘=1

𝑘=1 ∞

lim 𝐵𝑛 = lim ∑ 0 = lim 0 = 0

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

- 121 -

SERIE ARMÓNICA 1 ∑ 𝑛 𝑛

∑ 𝑘=1

∞

𝑜

∑ 𝑘=1

1 𝑘

1 ≥ log(𝑛 + 1) 𝑘 𝑛

lim log(𝑛 + 1) = ∞ entonces lim ∑

𝑛→∞ ∞

∑ 𝑘=1

1 𝑘

𝑛→∞

𝑘=1

1 =∞ 𝑘

𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

SERIE P 1 ∑ 𝑝 𝑛

∞

𝑜

∑ 𝑘=1

1 𝑘𝑝

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑝 > 1 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑝 ≤ 1 - 122 -

SERIE TELESCÓPICA Definición.𝑛

∑ 𝑎𝑘

se denomina SERIE TELESCÓPICA si cumple con: 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1

𝑘=1 𝑛

𝑛

∑ 𝑎𝑘 = ∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 𝑏1 − 𝑏𝑛+1 𝑘=1

{𝑏𝑛 }

𝑘=1

TEOREMA.Sean las sucesiones {𝑎𝑛 } y {𝑏𝑛 } Si 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 ∞

∞

∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 si la sucesión {𝑏𝑛 } 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, en tal caso su suma ∑ 𝑎𝑛 = 𝑏1 − 𝐿 , con 𝐿 = lim 𝑏𝑛 𝑘=1

𝑘=1

𝑛→∞

∞

∑ 𝑎𝑘 Telescópica 𝐶𝑜𝑛𝑣. 𝑦 𝐷𝑖𝑣. 𝑘=1

- 123 -

𝑛

𝑛

lim ∑ 𝑎𝑘 = lim ∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = lim (𝑏1 − 𝑏𝑛+1 ) = 𝑏1 − lim 𝑏𝑛+1

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=1

𝑛→∞

𝑆𝑖 ∃ lim 𝑏𝑛 = 𝐿

∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑆𝑖 ∄ lim 𝑏𝑛

∑ 𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛→∞

𝑛→∞

- 124 -

SERIES GEOMÉTRICAS ∞

∞

∑𝑥

𝑘

,

𝑘=0

∑ 𝑥𝑛 , ∑ 𝑥𝑛 𝑛=0

∞

∑ 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛+1 + 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛+1 + ⋯

lim 𝑥 𝑛 = 0 𝑠𝑖 |𝑥| < 1

𝑘=0

𝑛→∞ 𝑛−1 𝑘

2

3

𝑆𝑛 = ∑ 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥

𝑛−1

𝑘=0

lim 𝑥 𝑛 = ∞ 𝑠𝑖 |𝑥| > 1

1 − 𝑥𝑛 = 1−𝑥

𝑛→∞

𝑛−1

1 − 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 1 1 lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 = lim = lim − lim = − lim 𝑥 𝑛 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1 − 𝑥 𝑛→∞ 1 − 𝑥 𝑛→∞ 1 − 𝑥 1 − 𝑥 1 − 𝑥 𝑛→∞ 𝑘

𝑘=0

𝑛−1

1 lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 = , 𝑠𝑖 |𝑥| < 1 𝑛→∞ 𝑛→∞ 1−𝑥 𝑘

𝑘=0

𝑛−1

lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑥 𝑘 =

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑘=0

∞

∞ 𝑘

𝐿𝑎 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 ∑ 𝑥 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∞

𝐿𝑎 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 ∑ 𝑥 𝑘 𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑘=0

1 𝑦 𝑠𝑢 𝑠𝑢𝑚𝑎 ∑ 𝑥 𝑛 = 1−𝑥

1 − ∞ = ∞ , 𝑠𝑖 |𝑥| > 1 1−𝑥

𝑘=0

𝑦 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎.

𝑛=0

- 125 -

Propiedades.∞

𝟏) ∑ 𝑥 𝑛 = 𝑛=0

1 1−𝑥

𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1

en 1) sustituyo 𝑥 por 𝑥 2 ∞

𝟐) ∑ 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 1 − 𝑥2

𝑐𝑜𝑛 |𝑥| < 1

en 2) multiplico por 𝑥 ambos miembros ∞

𝟑) ∑ 𝑥 2𝑛+1 = 𝑛=1

𝑥 1 − 𝑥2

en 1) sustituyo 𝑥 por −𝑥 ∞

𝟒) ∑(−1)𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛=0

1 1+𝑥

𝑠𝑖 |𝑥| < 1

- 126 -

en 4) sustituyo 𝑥 por 𝑥 2 ∞

𝟓) ∑(−1)𝑛 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 1 + 𝑥2

en 5) multiplico por 𝑥 ambos miembros ∞

𝟔) ∑(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 = 𝑛=0

𝑥 1 + 𝑥2

en 2) sustituyo 𝑥 por 2𝑥 ∞

𝟕) ∑ 4𝑛 𝑥 2𝑛 = 𝑛=0

1 1 + 4𝑥 2

𝑠𝑖 𝑥 <

1 2

1 (1 − 𝑥)2

𝑠𝑖 𝑥 < 1

derivo 1) ∞

𝟖) ∑ 𝑛𝑥 𝑛−1 = 𝑛=0

- 127 -

integro 4) ∞

𝟗) ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 𝑛+1 = log(1 + 𝑥) 𝑛+1

integro 5) ∞

𝟏𝟎) ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 = arcTg(x) 2𝑛 + 1

- 128 -

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

∑ 𝑎𝑛

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 , 𝑎𝑛 ≥ 0

Hay tres categorías de la convergencia de una serie:

1) Condición Suficiente Si la condición 𝑐 se cumple, entonces ∑ 𝑎𝑛 es Convergente. 2) Condición Necesaria Si la serie ∑ 𝑎𝑛 Converge, entonces la condición 𝑐 se cumple. 3) Condición Necesaria y Suficiente ∑ 𝑎𝑛 Converge si y solo si 𝑐 se cumple.

- 129 -

CONDICIÓN NECESARIA TEOREMA: Si ∑ 𝑎𝑛 Converge, entonces lim 𝑎𝑛 = 0 𝑛→∞

CONDICIÓN SUFICIENTE TEOREMA: Si lim 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces ∑ 𝑎𝑛 Diverge. 𝑛→∞

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE TEOREMA: Si 𝑎𝑛 ≥ 0 para 𝑛 ∈ ℤ+ , la serie ∑ 𝑎𝑛 Converge si y solo si la sucesión de sumas parciales es acotada superiormente.

- 130 -

CRITERIO DE COMPARACIÓN

TEOREMA: Supongamos que 𝑎𝑛 ≥ 0 y 𝑏𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 ≥ 1. Si existe un 𝑐, tal que: 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑏𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℤ+ , entonces la Convergencia de la serie ∑ 𝑏𝑛 implica la Convergencia de ∑ 𝑎𝑛

0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑏𝑛 𝒊) ∑ 𝑏𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ⇒ ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝒊𝒊) ∑ 𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ⇒ ∑ 𝑏𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

- 131 -

CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE TEOREMA: Supóngase que ∑ 𝑎𝑛 y ∑ 𝑏𝑛 son series de términos positivos:

𝒊) Si lim ∑ 𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝑐 > 0, entonces ambas series 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑏𝑛

𝒊𝒊) Si lim ∑ 𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0, entonces (Si ∑ 𝑏𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 entonces ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒) 𝑏𝑛

𝒊𝒊𝒊) Si lim ∑ 𝑛→∞

Si lim ∑ 𝑛→∞

𝑎𝑛 = ∞, entonces (Si ∑ 𝑏𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 entonces ∑ 𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒) 𝑏𝑛

𝑎𝑛 = 1, entonces ∑ 𝑎𝑛 𝑦 ∑ 𝑏𝑛 se denominan 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡ó𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝑏𝑛

Esta relación se indica simbólicamente escribiendo 𝑎𝑛 ~ 𝑏𝑛 cuando 𝑛 → ∞

- 132 -

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Supongamos que 𝑓 es continua, positiva y decreciente en [1, +∞[ y 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) , entonces la serie ∑ 𝑎𝑛 es ∞

Convergente si y solo si ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es Convergente. O sea que:

𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 ↘ 𝑒𝑛 [1, +∞[ , 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) ∞

𝒊) Si ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 1 ∞

𝒊𝒊) Si ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 1

- 133 -

CRITERIO DE LA RAIZ

Sea la serie ∑ 𝑎𝑛 de términos no negativos, tal que: lim 𝑛√𝑎𝑛 = 𝑅

𝑛→∞

𝒊)

Si 𝑅 < 1, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝒊𝒊) Si 𝑅 > 1, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒊𝒊𝒊) Si 𝑅 = 1, entonces 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑑𝑒

- 134 -

CRITERIO DEL COCIENTE

Sea la serie ∑ 𝑎𝑛 de términos positivos, tal que: 𝑎 lim 𝑛+1 𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝒊)

=𝐿

Si 𝐿 < 1, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝒊𝒊) Si 𝐿 > 1, entonces ∑ 𝑎𝑛 es 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒊𝒊𝒊) Si 𝐿 = 1, entonces 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑑𝑒

- 135 -