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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Definição de Função Uma função ou aplicação f, de um conjunto A para um conjunto B é uma correspondência unívoca que a cada elemento x de A associa um único elemento y de B, isto é x  A, 1 y  B : y  f(x)

Simbolicamente escreve-se: f : AB x y  f ( x)

Domínio de uma função Definição: Domínio (ou campo de existência) de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real. 1. Se a função for do tipo y  P(x) , polinómio, para que ela exista, é suficiente que x seja real, então a condição é x  R . 2. Se a função for do tipo f (x)  P(x) Q(x) , ambos polinómios, para que ela exista, não deve haver zero no denominador, então a condição é x  R : Q( x)  0 . 3. Se a função for do tipo f ( x)  P( x) , para que ela exista, o valor interno à raiz deve ser positivo ou nulo, isto é, a condição é x  R : P( x)  0 . 4. Se a raiz for de índice impar? Nota: Existem funções de outro tipo que não as operações entre funções polinomiais e que exigem outras condições de existência. Serão estudadas mais tarde. Ex: f(x) = ln(g(x)). Mas todas ou quase todas vão exigir resoluções de equações/inequações. Tópicos sobre funções reais de variável real Zeros de uma função São pontos do grafico da função que interceptam o eixo dos XX. Analiticamente estaremos a resolver a equação f(x) = 0. Sinal de uma função Da mesma forma, a analise grafica de uma função permite-nos concluir sobre os intervalos em que a função é positiva (grafico da função situa-se a cima do eixo XX), ou em que a função é negativa (grafico da função situa-se abaixo do eixo XX). Analiticamente estas conclusões correspondem à resolução das inequações f(x) > 0 e f(x) < 0, respectivamente. Monotonia de uma função O estudo da Monotonia da função permite concluir sobre o intervalo do dominio da função onde ela é crescente, decrescente ou constante, ou seja: Uma função é crescente sse x1 , x 2  Df , se x 2  x1  f(x2 )  f(x1 ) Uma função é decrescente sse x1 , x 2  Df , se x 2  x1  f(x2 )  f(x1 ) Uma função é constante sse x1 , x 2  Df , f(x2 )  f(x1 )

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável

Função Injectiva A função f(x) é injectiva se

x1 , x 2  Df , se x 2  x1  f(x2 )  f(x1 ) Ou pela propriedade do contra-reciproco equivale a afirmar que:

x1 , x 2  Df , f(x2 )  f(x1 )  x 2  x1 Nota: Graficamente, verifica-se que uma função é injectiva, se, ao percorrer o contradominio da função por rectas paralelas ao eixo do XX, estas cortam o grafico da função num só ponto. Caso contrario a função é não injectiva.

Função Par Uma função f(x), com dominio Df diz-se Par se: x, - x  Df , f(-x)  f(x) Nota: Graficamente, se uma função é par, o seu grafico é simetrico em relação ao eixo YY. Faça o grafico de uma função par. Consegue enunciar uma expressão de uma funçao par? Função Impar Uma função f(x), com dominio Df diz-se Impar se: x,-x  Df , f(-x)  f(x) Nota: Graficamente, se uma função é Impar, o seu grafico é simetrico em relação à origem. De exemplo grafico de uma função impar. Enuncie uma expressão analitica para uma função impar.

Função Periódica Uma função f(x), com dominio Df diz-se Periodica se:

x  Df , P  R \ 0 se tem f(x  P) f(x)

Ao numero P, designa-se por periodo da função. De exemplo de uma função periodica. Enuncie uma expressão de uma função periodica.

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Operações com Funções Entre funções podem realizar-se diversas operações que originam outras funções. Dadas duas funções reais de variável real f e g, com dominios Df e Dg, respectivamente. As expressões

f(x)  g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x);

f(x) g(x)

representam novas funções de x, que se chamam, respectivamente, soma de f com g, diferença entre f e g, produto de f por g e quociente de f por g Os domínios destas novas funções podem ser mais restritos que os domínios originais de Df e Dg. Assim, a soma, a diferença e o produto têm por domínio o conjunto Df ∩Dg. Quanto ao quociente, só está definido nos pontos de Df ∩ Dg que não anulam g, isto é:

D f  x  D f  Dg  g( x)  0} g

Composição de funções: Dadas duas f(x) e g(x), com domínios Df e Dg, respectivamente, a função dada por fog(x)  f[g(x)] denomina-se por função composta de f com g (ou f após g). O domínio de fog(x)  f[g(x)] é constituído pelos valores x ∈ Dg tais que g(x) ∈ Df , isto é,

Dfog(x)  x  R : x  Dg  g(x)  Df (x)}

Inversa de Funções Seja y = f(x) uma aplicação injectiva de um conjunto Df para um conjunto CDf Chama-se função inversa de f , à correspondência unívoca de CDf para Df e representa-se f -1, isto é esquematicamente: f: Df x

CDf y

f -1 CDf y

Df x

De notar que só as funções injectivas têm inversas, e nesse caso o contradomínio de uma função é o domínio da sua inversa e vice-versa. De notar ainda que se duas funções f (x) e g (x) são inversas uma da outra, a composta das duas é igual ao próprio argumento, ou seja: f[g(x) ]  x e g[f(x)]  x . Graficos de funções elementares

f(x)  k; f(x)  ax  b; f(x)  ax 2  bx  c; h(x) | f(x) | Ex: Represente os gráficos de f(x) e h(x) = |f(x)|. Resolva h(x) > 1.

x  1 se x  -1 f(x)   2 x - x - 2 se x  -1

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Limite de uma função num ponto Seja f(x) uma função com domínio Df ou seja f : Df  R  R e a um ponto aderente ao domínio Df . Diz-se que b é o limite de f(x) no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se

lim f (x) b x a

se,

  : x  Df \ a x  a   

f ( x)  b  

 0  0

Em termos de vizinhança:

A interpretação geometrica de

lim f (x) b , é sugerida pelo gráfico x a

Limite laterias de uma função real Seja f uma função real com domínio Df e seja a um ponto aderente a Df , sejam Le e Ld números reais. Diz-se que: 1. O limite à direita de f no ponto a é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de a por valores (à direita de a) maiores do que a. Em símbolos:

lim f (x) Ld x  a

2. O limite à esquerda de f no ponto a é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de a por valores (à esquerda de a) menores que a. Em símbolos:

lim f (x) Le x  a

3. Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto a e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos:

lim f (x) L x a

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável 4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão. Teorema de unicidade do Limite: O limite de função num ponto, quando existe, é único. Ou seja:

lim f (x) A

e

x a

lim f (x) B , então A = B. x a

Limites Infinitos e existencia de assimptotas verticais Se os valores dos limites laterais Le e Ld, não forem finitos, estaremos perante as assimptotas verticais. Definição de Assimptotas Verticais: Dizemos que a recta x = a é uma assímptota vertical do gráfico de f(x), se:

lim f (x)   ou lim f (x)   x a 

x a 

Nota: os pontos candidatos a serem assimptotas verticais são os que não pertencem ao domínio de f (x).

Limites no Infinito. Assimptotas horizontais Seja f uma função com domínio Df não majorado, (ou seja definida para todos os valores do intervalo do tipo [a,   [. Dizemos que se no ramo  

lim f (x) L , então a recta y = L é uma assímptota horizontal de f(x) x  

Da mesma forma concluímos que a recta y = K é assimptota horizontal de f(x) no ramo   , se

lim f (x) K x  

Propriedades dos limites: Sejam as funções f (x) e g (x), duas funções que tem limites finitos no ponto x = a, então: 1.

lim( f (x)  g(x)) lim f (x)  limg(x) x a

2.

x a

x a

lim(kf (x)) k lim f (x) x a

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x a

lim( f (x)g(x)) lim f (x) * limg(x) x a

3.

x a

x a

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f ( x) f ( x) lim x a  4. lim x  a g ( x) limg( x) x a

5.

lim

n

x a

f ( x)  n lim f ( x) x a

Teorema do enquadramento (regra do sanduíche): Sejam três funções f (x), g (x) e h (x) que obedecem à desigualdades f ( x) g ( x)  h( x) Se

lim f (x) limh(x) L então limg(x) L x a

x a

x a

Indeterminações mais conhecidas

0  ; ; 0* ;    ; 0 

Equivalencias importantes para o calculo de limites Polinómios: Seja P( x)  a n xn  an1xn1  ..... a1x  a0 um polinómio de grau n em R. Então

limP( x)  lim a x x 

x

n

n

Ou seja o limite de P (x) em -∞ e +∞ é igual ao limite do seu termo de maior grau.

Assimptota oblíqua (AO) Suponhamos que

lim f (x)   ou lim f (x)   , x 

dizemos neste caso que a

x 

função não tem assímptotas horizontais nem no ramo -∞ nem no ramo +∞. Torna-se necessário analisarmos o comportamento de f(x) nesses dois ramos. Este estudo conduznos a duas situações: Ou f(x) admite uma assimptota obliqua ou f(x) admite ramos parabólicos. Definição de Assimptotas Obliquas Dizemos que a recta y = mx+b é uma assímptota obliqua do gráfico de f no ramo infinito se

lim( f (x)  (mx  b))  0 , nesse ramo (   ou   ) x

Regra geral esse estudo deve ser feito nos dois ramos. Existem contudo casos particulares de funções que admitem a mesma AO obliqua em -∞ e +∞. Uma AO é uma recta de equação y = mx + b, então deve-se calcular m, nos dois ramos:

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m  lim x 

f ( x) x

m  lim x  

f ( x) x

Se m ≠ 0 ou m ≠ ±∞, calcular b:

Se m ≠ 0 ou m ≠ ±∞, calcular b:

b  lim( f ( x)  mx)

b  lim( f ( x)  mx)

x

x 

Se b for finito então f(x) admite AO nesse(s) ramo(s) Se m = 0 diz-se que f(x) tem um ramo parabólico OX Se m = ±∞ diz-se que f(x) tem um ramo parabólico OY Se b = ±∞ diz-se que f(x) tem uma direcção paralela à equação y = mx

Nota: Existem casos em que o uso do seguinte teorema facilita-nos o cálculo da AO: Teorema: Se uma função f (x) poder ser escrito da seguinte forma:

f ( x)  (mx  b)  g( x) em que

limg(x)  0 então f(x) admite uma AO de equação

y

x 

= mx + b nesses ramos ±∞

Exemplo: Calcular a AO da função f(x) =

x2 x 1

Estudo no ramo -∞

x2  limx  - porquê? Verificação da existência de AH: lim f ( x)  lim x   x   x  1 x   Então não existe AH em -∞. Calculo de possível AO em -∞, de equação y = mx + b

x2 f ( x) x2 m  lim  lim x  1  lim  ..... 1 porquê? x x x   x   x  x( x  1) x2 x b  lim( f ( x)  mx)  lim(  x)  lim  ....  1 porquê? x  x  x  1 x  x  1 Então no ramo -∞. f(x) tem AO de equação y = x+1 Faz os cálculos para o ramo +∞, qual a conclusão?

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2º Método (só para casos de funções racionais em que grau do polinomio do numerador é uma vez maior do que o grau do polinomio do denominador)

x2 1 f(x) = , esta função pode ser escrita na forma f(x) = x  1  porquê? x 1 x 1 1 Mas lim  0 , então f(x) terá como AO a recta y = x+1 (Relembre a teoria acima) x   x  1 Tire a conclusão para o ramo +∞. Represente f(x) na proximidade da AO

Funções transcendentes 1. Função Exponencial de base a: f(x) = a x Uma função exponencial é toda a função da forma f(x) = a x , em que a é a base que só pode tomar valores positivos mas diferente de 1, ou seja 1 f(x) = a x , com a  R  \   

Df = R CDf = R ou seja uma função exponencial, do tipo f(x) = a x é sempre positiva e nunca se anula Zeros da função => f (x) = 0 => a x = 0 é impossível, ou seja nunca se anula (nunca corta o eixo XX) O gráfico da função f(x) = a x (depende do valor da base)

 

Exemplos gráficos de algumas funções exponenciais:

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Propriedades das funções exponenciais: 1. a x y  a x .a y , x, y  R

ax , x, y  R ay 3. (a x ) y  a xy , x, y  R 1 4. a -x  x , x  R a 2. a xy 

Nota: de entre as funções exponenciais de base a, a mais importante é a função exponencial de base e, sendo e o numero de Nepper ( e  2,7) , ou seja f(x) = e x Sugestão: Desenhe o grafico da função f(x) = e x e escreva todas as suas propriedades

Propriedades importantes de f(x) = e x :

lime

x

0 e

x 

lime

x

 

x 

Que conclusão se pode tirar sobre assimptota horizontal? 2. Função Logarítmica de base a: f(x) = log a ( x)

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Uma função logarítmica de base a, é toda a função da forma f(x) = log a ( x) , em que a é a base que só pode tomar valores positivos mas diferente de 1, ou seja f(x) = log a ( x) , com a  R  \  1 Df = R , ou seja a função logarítmica só existe se o seu argumento for positivo. [Nota: Esta é mais uma condição para a determinação de domínios de funções logarítmicas. Por exemplo se for dada uma função qualquer f(x)= log a (u(x)) , então para calcularmos o domínio de f(x) teríamos que resolver a condição u(x) > 0].  CDf = R  Zeros da função => f (x) = 0 => log a ( x) = 0 => x = 1, ou seja este é o ponto que a função corta o eixo de XX.  O gráfico da função f (x) = log a ( x) (depende do valor da base) 

Exemplos de gráficos de funções logarítmicas

Propriedades das funções logarítmicas: 1. log a (xy)  log a (x)  log a (y) , x  0, y  0

x y 3. loga (x p )  ploga (x) , x  0 log a (x) , x  0 Esta propriedade é chamada de mudança de base. 4. log b (x)  log a (b) Quando a base do logaritmo for o numero de Nepper ( a  e  2,7), a função logarítmica escreve-se da seguinte forma f(x) = ln( x) 2. log a ( )  log a (x)  log a (y) , x  0, y  0

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Sugestão: Desenhe o grafico da função f(x) = ln( x) e escreva todas as suas propriedades.

Propriedades importantes de f(x) = ln(x) :

limln(x)   e limln(x)   x  0

x 

Que conclusão se pode tirar sobre a existência de assimptotas AV e AH?

Relação entre função exponencial e função logarítmica: Seja y  loga (x)  x  a y , significa que as duas funções são inversas umas à outra. Por isso log a (a x )  x ; e a loga ( x )  x . Da mesma forma e aplicando às funções exponenciais e logarítmicas de base e, teremos:

ln(e x )  x  ln(x) e  x Estas propriedades permitem resolver equações e inequações exponenciais e logarítmicas, como veremos de seguida: Equação Exponencial: e u(x)  k , com k > 0 Esta equação resolve-se transformando k = eln(k) …. Porquê? Então a equação passará a ser escrita da forma: e u(x)  eln(k)=> u(x)  ln(k) e resolvendo a equação obtém-se os valores de x. Exemplo: Resolva a equação e x-1  2

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Tendo em conta que 2 = eln(2)(porquê? ….) A equação será escrita da forma e x-1  eln(2)  x  1  ln(2)  x  1  ln(2)

Inequação Exponencial: e u(x)  k (ou e u(x)  k ) Faz a mesma transformação ao k = eln(k) e resolve-se a respectiva inequação

e u(x)  eln(k) (ou e u(x)  eln(k)) Equação Logarítmica: ln(u(x))  k , com domínio (DV) u(x) > 0. Neste caso a transformação a fazer ao k é: k = ln(e k ) A equação passará a ser escrita como: ln(u(x))  ln(ek ) => u(x)  e k e resolvendo a equação obtém-se os valores de x. Não esquecer que estas soluções têm que pertencer ao domínio calculado. Exemplo: Resolva a equação ln(x  1))  1 O domínio de validade (DV) desta expressão é x+1> 0 => x > -1. Transformando -1 = ln(e-1) A equação será ln(x  1))  ln(e-1) => x  1  e -1 => x  e -1  1 que pertence ao domínio de validade calculado anteriormente. Inequação Logarítmica: ln(u(x))  k , (ou ln(u(x))  k ), com domínio u(x) > 0. Faz-se a transformação: k = ln(e k ) e resolve-se a respectiva inequação, obtendo a solução S. Mas a solução final terá que estar no domínio de validade, ou seja SF  S  DV . Exercícios: Determine o domínio e os zeros da função hx 

ln1  ln( x) ln x

Resolução Seja Dh o dominio de hx 

ln1  ln( x) . Então ln x

Dh = x  R : x  0 1  ln(x)  0  ln(x)  0 

x > 0 solução conhecida



1  ln( x)  0  ln( x)  1  ln( x)  ln(e1 )  x  e (porquê?)



ln( x)  0  x  1 (porquê?)

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Então interceptando as condições Dh =  0, e  \  1 Zeros da função: {x Df: h(x) = 0} => ln1 ln( x) = 0 => 1  ln( x)  1  ln( x)  0  x  1 Mas como x = 1  Dh , então h(x) não tem zeros. 3. Funções Trigonometricas

Relações Trigonométricas Teorema de Pitágoras: x 2  y 2  h 2 sen( ) 

catetooposto y  hipotenusa h

cos( ) 

catetoadjacente x  hipotenusa h

tan( ) 

catetooposto y/h y h y     catetoadjacente x / h h x x

cotan( ) 

1 x catetoadjacente   tan( ) y catetooposto cos( ) sen( )

tan( ) 

sen( ) cos( )

sec( ) 

1 h 1 h  e cosec( )   sen( ) y cos( ) x

e

cotg( ) 

Circulo Trigonométrico Medida dos ângulos: Existe sistemas diferentes de medição dos angulos, por exemplo sistema sexagesimal que mede os angulos e graus e sistema circular que mede os angulos em radianos. Seguiremos o sistema circular existindo contudo a seguinte relação: Graus e Radianos 180º   rad .

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Circulo de raio R = 1

sen( ) 

y y R

cos( ) 

x x R

Fórmula fundamental da trigonometria:

sen2 ( )  cos2 ( )  1

Formulas trigonométricas importantes: tan2 ( )  1 

1 1 e cotan2 ( )  1  2 cos2 ( ) sen ( )

Valores trigonométricos no 1º quadrante

sen(x) cos(x) tan(x) cotg(x)

0 0 1 0 ∞ 0º

Valores do argumento x (radianos) π/6 π/4 π/3 1/2 2 /2 3/2 1/2 2 /2 3/2 1 3 /3 3 1 3 3 /3 30º 45º 60º Valores do argumento em (graus)

π/2 1 0 ∞ 0 90º

Redução ao primeiro quadrante Equações e inequações trigonométricas Funções Trigonométricas f(x) = sen(x)

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Propriedades:    

Df: x R CDf: y  [-1,1] Período P = 2π f(x) = sen(x) é uma função impar (ver no circulo trigonométrico)

f(x) = cos(x)

Propriedades:    

Df: x R CDf: y  [-1,1] Período P = 2π f(x) = cos(x) é uma função par (ver no circulo trigonométrico)

f(x) = tg(x)

Propriedades: Df: x R\{ π/2+k π}  CDf: y  R  Período P = π  f(x) = tg(x) é uma função impar (ver no circulo trigonométrico)

Equivalência de outras funções

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável 1. sen(u) 2. tg(u)

u

u

4. e

u0

u

 1 u

u0

5. ln(u  1)

u0

u

u0

u2 3. cos(u)  1  2 u0 Funções Trigonométricas Inversas Função Arco seno Da analise do grafico da função f(x) = sen(x), concluimos que ela não é injectiva, mas existe restrições ao dominio dessa função onde ela passa a ser injectiva, logo adimite inversa. Varias restrições ao dominio podem ser feitos de modo a se obter uma função inversa de sen(x), mas o grafico de y = sen(x), definida em   ,     1,1, tem o  

2 2 

seguinte aspecto:

Como se pode ver, nesse intervalo f(x) = sem(x) é injectiva, logo tem inversa. À inversa da função sen(x), chama-se arco seno(x) e normalmente é designada por y = arcsen(x) e é definida de  1,1    ,   (porquê ?). O seu grafico é (não esqueça que o grafico  

2 2 

de duas funções inversas são simetricas em relação à recta y = x). y = arcsen(x)

Função Arco coseno Da mesma forma, a função y = cos(x), definida na restrição principal 0,     1,1, tem o seguinte grafico:

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável

Como essa função é injectiva nessa restrição, tem inversa designada arco cosen (x) e representada por y = arccos(x). Esta função é definida no intervalo  1,1  0,   . O seu grafico é:

Função Arco tangente Igualmente a função y = tg(x), restringida ao dominio definida no intervalo R 

    ,   2 2 

     ,   2 2 

R. A sua inversa é

e representada por y = arctg(x), Os graficos são:

Notas importantes: 1. Se duas funções, f(x) e g(x), são inversas uma da outra, a composta de uma à outra é igual ao proprio argumento, ou seja:

f(g(x))  x  g(f(x))  x

Por isso: sen(arcsen(x)) = x e arcsen(sen(x)) = x cos(arccos(x)) = x e arccos(cos(x)) = x tg(arctg(x)) = x e arctg(tg(x)) = x 2. De notar também que se:

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável y = arcsen(x) => x = sen(y) y = arccos(x) => x = cos(y) y = arctg(x) => x = tg(y)

Relações importantes de funções trigonométricas Fórmulas de adição

Fórmulas de subtracção

sen( + ) = cos · cos + sen · cos

sen( – ) = cos · sen – sen · cos

cos( + ) = cos · cos – sen · sen

cos( – ) = cos · cos – sen · sen

tg(    ) 

tg   tg  1  tg   tg 

tg(   ) 

Fórmulas de duplicação

tg   tg 1  tg   tg

Fórmulas de bissecção

sen(2) = 2 . sen . cos

sen( / 2)  

1  cos 2

cos(2) = cos2 – sen2

cos( / 2)  

1  cos 2

tg ( / 2)  

1  cos 1  cos

tg (2 ) 

2  tg  1  tg 2 

Fórmulas de transformação         sen  sen   2  sen   cos   2   2          cos  cos   2  cos   cos  2    2  tan  tan  

        sen  sen   2  sen   cos   2   2 

        cos  cos   2  sen   sen   2   2 

sen(   ) cos  cos 

tan  tan  

sen(   ) cos  cos 

Exercícios: Funções Elementares

1. Determine o domínio das seguintes funções: a) f x  d) ix  3

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2 b) gx  1  1  x 2 x x

5 x 1

e) y 

c) hx  x 2 1  1  x 2

1 x2 x 3  4x

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável 2. Esboce o gráfico das funções abaixo, especificando o domínio, a imagem e a paridade. a) ax  2  x3  x

b) bx  x 2  x  2

d) d x  3  x  x  1

c) cx 

4 x x4

2  1  x se x ] - 1,1[ 2  x  1 , se x ] - ,-1] [1,[

e) ex  

Exercícios Funções transcendentes 1. Determine o domínio e calcule os zeros das seguintes funções:

lnx  1 a) f x  x2

b) gx  e

ln1  ln( x) c) hx  ln x

ln(e x  2) d) ix  ln(x)  2

e) jx 

x 1 ln x

x1 x

1

 x2  4   2   1 x 

f) k x  ln

2. Determine o dominio de cada uma das funções a) f x  ln | x 2  2x  1 |  ln | x  5 |

b) gx  ln(ln(x))

c) hx 

d) ix 

1 1  1  ln | x | 2  ln | x |

e) f x  ln | e x  5  6e  x | g) f x 

ex x

x  ln | 1  x | x4 e 2 x  2e x  3 f) gx  ln( ) 5  ex ln( x) h) f x  x

3. Determine x sabendo que 1  ln( x)  2 | 4. Determine as soluções da equação

e x  4e x  5 5. Resolva as seguintes equações : a) 6sen( x)  2

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x 2

b) 12cos( )  13

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



c) 2sen( x  )  1

d) 3sen( x  )  0

2

4



e) sen2 ( x  )  0

f) cos(x)(1  cos(x))  0

6

6. Determine as soluções da equação 1  2 cos(x)  0 e que pertencem ao intervalo [ ,  ]. 7. Resolva, em R a inequação

2 cosx  3  0 8. No intervalo 0,2 , resolva as inequações: a) senx  cosx  0

b) senx  1

2

e senx  cosx

9. Aplicando as formulas : sen( + ) = cos · cos + sen · cos e cos( + ) = cos · cos – sen · sen, mostre que:



6 2 4

a) cos( ) 

12

c) cos(2x)  2 cos2 ( x)  1



b) cos(  x)  sen( x)

2



d) 3sen( x  )  0

4

10. Calcule a) arcsen( c)

 3

3 ) 2

 arctg(

12 ) 13 1 4 d) sen( arcctg( ) 2 3

b) cot g(arcsen(

3 ) 3

Equivalência de outras funções 4. sen(u) 5. tg(u)

u

u0

u

u0

u

4. e

 1 u

u0

5. ln(u  1)

u

u0

u2 6. cos(u)  1  2 u0

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Definição de função contínua Seja uma função f : [a, b] R e seja a  c  b <. Diz-se que a função f é contínua no ponto c  [a, b] , se existir limite nesse ponto e f ( x) f (c) .

lim xc

Prolongamento de função por continuidade Se f (x) é uma função que não está definida em c, mas existe limite da função nesse ponto. Neste caso dizemos que f(x) é prolongável por continuidade no ponto x = c. A função prolongada será então definida por:

 f ( x) se x  c prolong. de f ( x)    f (c) se x  c Continuidade de funções num intervalo Definição: Uma função f definida num intervalo [a, b] é contínua neste intervalo se f é contínua em todos os pontos interiores deste intervalo. Assim, para todo c em ]a,b[ se tem:

lim f (x) f (c) xc

e nas extremidades x = a e x = b do intervalo, se tem:

lim f (x) f (a) x  a

lim f (x) f (b) x  b

Teorema de Bolzano Se f é contínua em [a, b] e se f(a) e f (b) tem sinais contrários, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f (c) = 0.

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável Exercícios de Limites 1.

Determine os seguintes limites (determine o domínio de cada função):

a) lim( x 2  5x  6)

b) lim (3x 2  x  1)

d ) lim (x  x  1)

e) lim ( x  x  1)

x2

3

2

3

x

2.

c) lim (3x 2  x  1)

x

x

2

x

Calcule os seguintes limites (Calcule sempre o domínio de cada função):

(1  x) 2  1 x 1 b) lim x0 x1 x  1 x 5 x 1 x 5 e) lim 2 f ) lim 2 x  1 x 5 x  5 x 1 x 1 1 j) lim i) lim 2 x2 (2  x) 2 x2 x  4 8 l ) lim 2 x6 x  7 x  6  x2  x 1  x2  7 m) lim n) lim x x 2x 2  1 2x 3  4 a) lim

3.

x 5 3x d ) lim 2 x 5 x  5 x5 5  x 3 2 x  3x  3x  1 1 g) lim h) lim 2 2 x1 x2 x  4 x  2x  1 8 k ) lim 2 x1 x  7 x  6 c) lim

Calcule os seguintes limites (funções irracionais):

2 x 3

a) lim x3

b) lim x0

x2 x x 1 e) lim d) lim x2 x1 x  1 1 x 1 x 2  2x

x 2  2x  3 x 1 f) lim x x x 8 3

lim x1

g) lim

 1 x 2  2x  3 1  lim   i) lim x2 x  2 x x x2 

lim

x

e)

 1  x  xb) h)

x



1 1    k) 2 x3 x  3 x  9  

j) lim

x 2  2x  3 x

4. Calcule os seguintes limites (use as equivalências):

1  cos(x) x0 x

a) lim

e x  1  sen(4x) x0 x

c) lim

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sen(2x) x0 sen( x / 3)

b) lim

c) lim

x

tg(1/ x)  sen(2 / x) 1/ x

ln(1  1 x 2 )  cos(1/ x)  1 x 1 x2

e) lim

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável

5. Calcule os seguintes limites (use teorema de funções enquadradas) b) lim x 2 cos(1/ x)

b) lim

x

x0

sen( x) x

6. Defina analiticamente as assímptotas verticais dos gráficos das funções e estude o comportamento gráfico em relação às assímptotas correspondentes a) f ( x) 

3 ( x  1) 2

b) f ( x) 

2 x 2  5x  3 d) f ( x)  2 3x  10x  3

1 ( x  2) 3

c) f ( x) 

x2  5x  4 x 5

x3 e) f ( x)  2 x 1

7. Defina analiticamente as assímptotas horizontais, caso houver, das funções: a) f ( x) 

3 ( x  1) 2

d) f ( x) 

( x  1)(x  3) x 1

b) f ( x) 

x x2

e) f ( x) 

c) f ( x) 

x2 1 x

x3 x 2 1

8. Estude a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:

1  x 2  a) f ( x)   x  1 , x  1 , no ponto x = 1   2, x 1

4  x , x  3  b) f ( x)   5 , x  3 , no ponto x = 3 x  2 , x  3   x 2  2 , x  1  , x  1, no ponto x = -1 c) f ( x)   0 1  ( x  2) , x  1 9. Determine a para que a função f seja contínua em todo o seu domínio:

 x  1, x  1 f ( x)   2 3  ax , x  1 Com o valor de o calculado verifique se pode aplicar o teorema de Bolzano no intervalo [0,2].

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ISCEE - Pólo da Praia – 2012/2013 Ficha Nº 1 – Funções e Limites e Continuidade de funções de uma variável 10. Determine a e b de modo a que a função f seja contínua em todo o seu domínio:

 x2 , x  0  f ( x)  ax  b, 0  x  1  2, x 1  11. Dadas as funções f e g, reais de variável real,

 x2  g ( x)   x  1 , x  1  2, x 1

 1 f ( x)  1  x , x  1 ,  0, x 1 Verifique que:

a) f e g são descontínuas para x = 1 b) f+g é uma função contínua

12. Considere a função f, real de variável real, definida por:

 x  2, x  1 f ( x)  1  3x  x  1 , x  1 a) Averigúe se existe

lim f ( x) x 1

b) Caracterize o prolongamento de f

13. Estude, no respectivo domínio, a continuidade das funções reais de variável real, e calcule as assimptotas:

a) f ( x) 

x

3

x 1 2

 x2 ,x 2  2  x  2x c) f ( x)    2  x , x  2

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1 2  2 (2x  3), x  1  b) f ( x)    5x  6, 1  x  3  x  3, x3 

d) f ( x) 

2x  3 2x  3

e) f ( x) 

x2  5x  4 x 5

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