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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor).

ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO 11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO.20180326. FICHA DE APOIO

UNIDADE TEMÁTICA II: ÁLGEBRA.

Objectivos:

TEMA: OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS.

Operar com expressões racionais.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO. Dados dois polinómios 𝐴 (𝑥) e 𝐵(𝑥) , calcula-se 𝐴 (𝑥) ± 𝐵(𝑥): 1 o . Ordena-se o polinómio se está desordenado.

2 o . Associa-se os coeficientes dos termos do mesmo grau.

Exemplo: 𝐴 (𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5. 𝐴 (𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 ) + (𝑥 3 + 𝑥 2 − 5) = 2𝑥 3 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 + 0𝑥 + 4 − 5. 𝐴 (𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2 + 1)𝑥 3 + (3 + 1) 𝑥 2 + (−1 + 0)𝑥 + 4 − 5 = 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 − 1. MULTIPLICAÇÃO. O produto de dois polinómios é o polinómio que se obtém multiplicando cada termo do 1o por cada termo do 2o polinómio e adicionando-se os monómios obtidos. Exemplo: 𝐴 (𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 4 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 2. 𝐴 (𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = (3𝑥 2 + 2𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 ∙ 𝑥 + 3𝑥 2 ∙ ( −2) + 2𝑥 ∙ 𝑥 + 2𝑥 ∙ (−2) − 4 ∙ 𝑥 − 4 ∙ (−2). ⟹ 𝐴 (𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 2 − 4𝑥 − 4𝑥 + 8 = 3𝑥 3 − 4𝑥 2 − 8𝑥 + 8. DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS. A divisão de polinómios procede-se da mesma forma como se efectua a divisão de dois números naturais. 𝐷 = 𝑑 ∙ 𝑞 + 𝑟. Se o resto for zero, diz-se que a divisão é exata. 𝐷 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜; 𝑑 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟; 𝑞 = 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑟 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜.

Recorda a divisão de dois números naturais. dividendo (D)

divisor (d) 9 4

resto (r)

9 = 5 ∙ 1 + 4, isto é, 𝐷 = 𝑑 ∙ 𝑞 + 𝑟

5 1 quociente (q)

Procede-se da mesma forma para efectuar (3𝑥 2 − 𝑥 + 4) ÷ (𝑥 − 1).

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia contin ua dormindo. (Edu Francisco Teixeira). Exemplo: Calcular o quociente e o resto da divisão de 𝐴 (𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 por 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 1. 𝐷 (𝑥)

3𝑥 2 − 𝑥 + 4 −(3𝑥 2 − 3𝑥) 2𝑥 + 4 −(2𝑥 − 2) 6

𝑟(𝑥)

𝑥 −1 3𝑥 + 2

𝑑(𝑥) 𝑞 (𝑥)

Cálculo auxiliar: 3𝑥 2 ÷ 𝑥 = 3𝑥 e 2𝑥 ÷ 𝑥 = 2. Prova: (3𝑥 2 − 𝑥 + 4) = (𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) + 6 = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 3𝑥 − 2 + 6 = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4. Se o resto é igual a zero, diz-se que a divisão é exacta. No exemplo anterior, a divisão não é exacta, porque o resto é 6 e 6 ≠ 0. REGRA DE BRIOT-RUFFINI. A regra de Ruffini consiste na divisão de um polinómio por um binómio do tipo 𝑥 − 𝑎. Exemplo: Calcular o quociente e o resto da divisão inteira de 3𝑥 2 + 2𝑥 + 4 por 𝑥 − 2.

𝑥2 3

𝑎

𝑥1 𝑥0 2 4 6 16 8 20

Prova: (𝑥 − 2)(3𝑥 + 8) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 8𝑥 − 16 = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 16. 2 2 Resto 𝐷 (𝑥 ) = 3𝑥 + 2𝑥 − 16 + 20 3 𝐷 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 4. Resposta: 𝑞(𝑥 ) = 3𝑥 + 8 e 𝑟(𝑥 ) = 20.

TEOREMA DO RESTO. O teorema do resto diz que o resto da divisão de um polinómio 𝑃(𝑥) por um binómio do tipo 𝑥 − 𝑎 é igual a 𝑃(𝑎) . Consequentemente, se 𝑃(𝑎) = 0 então 𝑃 (𝑥) é divisivel por 𝑥 − 𝑎.

𝑃( 𝑥 )

𝑥 −𝑎

𝑟 = 𝑃 ( 𝑎)

𝑞 (𝑥 )

Demonstração: Queremos provar que o resto da divisão de 𝑃(𝑥 ) por 𝑥 − 𝑎 é igual ao valor que toma o dividendo ao substituir 𝑥 por 𝑎. Já sabemos que 𝐷 = 𝑑 ∙ 𝑞 + 𝑟, isto é, 𝑃(𝑥 ) = (𝑥 − 𝑎) ∙ 𝑞(𝑥 ) + 𝑟. Substituindo 𝑥 por 𝑎 temos: 𝑃 (𝑎) = (𝑎 − 𝑎) ∙ 𝑞(𝑥 ) + 𝑟 ⟹ 𝑃(𝑎) = 0 ∙ 𝑞(𝑥 ) + 𝑟 ⟹ 𝑃(𝑎) = 𝑟. Como queríamos demonstrar.

Exemplo: Calcular o resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 4𝑥 3 − 2𝑥 − 4 por 𝑥 − 3. 4 3 4

0

−2

−4

12

36

102

12

34

98

Resposta: 𝑞 (𝑥) = 4𝑥 2 + 12𝑥 + 38 e 𝑟 (𝑥) = 98, agora vamos usar o teorema do resto para depois comparar os resultados. 𝑃 (𝑎) = 𝑃 (3) = 4 ∙ 33 − 2 ∙ 3 − 4 = 98, e sem dúvida, são iguais.

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor). EXERCÍCIOS. 1. Determine os números reais a, b e c, para que sejam idênticos os seguintes polinómios:

a) a  b x 2  a  b x  1

e

b) x 3  5a  b x 2  x  ab

e

c) 4 x 2  8x  a

e

2a  bx 2  2a  3x  1 x 3  ax2  x  a  b  bx  c2

3

d)  2 x k

e

ax3  bx2  cx  2

e

a  b  1x  cx 2  5 x 3

k 0 3

e)

 2  k x

k

k 0

2. Determine o quociente e o resto da divisão, usando algoritmo da divisão, nos casos abaixo: a) ( x 3  4 x 2  x  3)

b) x 4  2 x 3  x 2  x  2

por

( x 2  x  1) .

por

x  1 .

c) 2 x 5  2 x 3  x  2 por

 e) x



d) x 6  4 por  x  2  . 4



1   x  2 . 2 





 6 x 3  3x  9 por 2 x 2  4 x  3 .

3. Usando a re gra de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão, nos casos seguintes : a) 3x 4  x 3  3x 2  x  4 por x  3 . b) 3x 3  2 x 2  5x  4 por x  2 . c) x 4  x 2  x  1 por x  1 . 1 d) x 5  1 por x 1 . e) 2 x 4  17 x3 68 x  32 por x  . f)16 x 2  40 x  25 por 4 x  5 . 2 3 n g) 4 x  x  5 por  2 x  1. h) x  1 por x 1 . i) x n  1 por x  1 . j) x 2 n  2 por x 1 . k) 4 x 4  14 x 3  15 x 2  7 x  2 por  x  1 x  2  . Os exercícios a seguir, são compostos por (14) questões, todas com cinco (5) alte rnativas de resposta, estando correcta somente UMA (1) das alternativas. Assinale a correcta e justifique se possível. 1. Na divisão de P( x)  x  1 por D( x)  x 3  1 , o quociente Q (x) e o resto R (x) são, respectivamente: B. 0 e x  1

A. x 2  x  1 e 0

C. x 2  x  1 e 0

E. 0 e x 2  x  1

D. 0 e 0

2. O polinómio P( x)  2 x 3  9 x 2  13 x  k é divisível por 𝑥 − 2. Então a constante k é: A. −9

B. −6

C. 0

D. 2

E. 12

3. O valor de a tal que o resto da divisão do polinómio P( x)  4 x 3  ax2  3x  4 por  x  2  seja 18 é: A. 6

B. −6

C. 3

D. −3

E. n.d.a

4. O valor de a tal que o resto da divisão do polinómio P( x)  ax 3  2 x  1 por  x  3 seja a 4 é: A.

2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 2

E. 1

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia contin ua dormindo. (Edu Francisco Teixeira).

5. O resto da divisão do polinómio P(x) por ax  b é: A. P(b) b b B. a  P  C. P 

D.

1  P b  a

E. n.d.a

6. O resto de divisão de x n  a n por x  a é: B. 0 A.  2a n C. 2a n

D.  1n a n

E. n.d.a

a

a

7. Dividindo x 3  4 x 2  7 x  3 por um certo polinómio P(x) , obtemos como quociente x 1 e o resto 2 x  1 . O polinómio P(x) é igual a: A. 2 x 2  3x  2

B. x 2  3x  2

C. x 2  x  1

D. 2 x 2  3x  1

E. n.d.a

8. Sejam P(x) e Q(x) polinómios de graus m e n respectivamente, com m  n  0 . Seja 𝒌 o grau do polinómio P( x)  Q( x) . Assinalar a alternativa correcta: A. k  m

B. m  k  n

C. k  m  n

D. k  m

E. k  m  n

9. Sendo P(x) um polinómio tal que P(a)  0 , então P(x) é divisível por: A. x

B. −𝑥

C. x  3

D. x  a

E. x  2a

10. Para que o polinómio x 3  6 x 2  mx  n seja divisível por  x  1 x  2  , o produto m  n deve ser: A. 66

B. 0

C. 2

D. −66

E. −2

11. O polinómio x 3  px  q é divisível por x 2  2 x  5 . Os valores de p e q são respectivamente: A. −2 e 5

B. 5 e 2

C. 1 e 5

D. 1 e −10

E. 3 e 6

12. Para quê valores de a e b , o polinómio x 3  ax2  b é múltiplo de ( x  1) e se dividido por ( x  2) dá resto 3. A. −2 e 5

B. 5 e 2

C. 2 e 3

D. 1 e −10

E. 3 e 6

13. Se o polinómio P( x)  3x 3  9 x 2  kx  12 é divisível por  x  3 , então P(x) também é divisível por: E. n.d.a A. 3x 2  2 B. 3x 2  4 C. 3x 2  2 D. 3x 2  4 14. O polinómio x 3  x 2  17 x  15 se anula para x  1 e também para: A. x  17 e x  15 B. x  3 e x  5 C. x  17 e x  15 D. x  3 e x  5

E. x  17 e x  15

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor). Objectivos: UNIDADE TEMÁTICA II: ÁLGEBRA. TEMA: Operações com fracções racionais Operar com fracções racionais (adição, subtracção, multiplicação e divisão).

NOÇÃO DE FRACÇÃO RACIONAL. Uma expressão diz-se expressão algébrica racional fraccionária quando no divisor figura a variável. 𝟑𝒙 𝒙+𝟏 Exemplos: − 𝟒; 𝟐 . 𝒙−𝟐 𝒙 −𝟑 DOMÍNIO DE EXISTÊNCIA. No domínio de existência de uma fracção, olhamos para o denominador, o qual não pode ser nulo. Isto é, se 𝑨(𝒙) =

𝐠( 𝒙) 𝒇( 𝒙)

⟹ 𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒇(𝒙) ≠ 𝟎}. Desde que o domínio de g(𝑥) seja todo conjunto de números reais.

Exemplos: 𝑨(𝒙) = 𝑩(𝒙) =

𝟑𝒙 𝒙−𝟐

− 𝟒; 𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 − 𝟐 ≠ 𝟎} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ 𝟐}. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ ℝ ∖ {𝟐}.

𝒙+𝟏 ; 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 − 𝟑 ≠ 𝟎} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 ≠ 𝟑} = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ ±√𝟑}. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ ℝ ∖ {±√𝟑}. 𝒙𝟐 − 𝟑 𝑩 ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO.

A adição e subtracção de fracções racionais efectua-se do mesmo modo como se procede com fracções numéricas. Para a adição as propriedades prevalecem. Exemplos: Sejam dadas as expressões fraccionárias racionais, 𝑨(𝒙) = 𝟑𝒙

a) 𝑨(𝒙) + 𝑩(𝒙) = b) 𝑨(𝒙) − 𝑩(𝒙) =

𝒙−𝟐 𝟑𝒙

+

−

𝒙−𝟐

𝒙+𝟏 𝒙𝟐 −𝟑 𝒙+𝟏 𝒙𝟐−𝟑

= =

𝟑𝒙

𝒙+𝟏

𝒙−𝟐 (𝒙𝟐 −𝟑)

𝟑𝒙

(𝒙−𝟐)

𝒙−𝟐 (𝒙𝟐−𝟑)

− 𝒙𝟐−𝟑 = ( (𝒙−𝟐)

e 𝑩(𝒙) =

𝒙+𝟏

. Calcule:

𝒙𝟐 −𝟑

( 𝒙+𝟏 )( 𝒙−𝟐) 𝟑𝒙(𝒙𝟐−𝟑 ) 𝟑𝒙𝟑−𝟗𝒙+𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝒙−𝟐 + = 𝟐 𝟐 ( 𝒙𝟐−𝟑 )( 𝒙−𝟐) 𝒙−𝟐 )(𝒙 −𝟑 ) ( 𝒙 −𝟑 )( 𝒙−𝟐 )

=

𝟑𝒙𝟑+𝒙𝟐−𝟏𝟎𝒙−𝟐 . ( 𝒙𝟐−𝟑 )(𝒙−𝟐 )

( 𝒙+𝟏 )( 𝒙−𝟐) 𝟑𝒙(𝒙𝟐−𝟑 ) 𝟑𝒙𝟑 −𝟗𝒙−𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝒙+𝟐 − ( 𝟐 )( ) = 𝟐 )( ) ( 𝒙𝟐−𝟑 )( 𝒙−𝟐) 𝒙−𝟐 𝒙 −𝟑 𝒙 −𝟑 𝒙−𝟐

=

𝟑𝒙𝟑−𝒙𝟐 −𝟖𝒙+𝟐 . ( 𝒙𝟐−𝟑 )(𝒙−𝟐 )

+ 𝒙𝟐−𝟑 = ( 𝒙+𝟏

𝟑𝒙 𝒙−𝟐

MULTIPLICAÇÃO DE FRACÇÕES RACIONAIS E DIVISÃO ATRAVÉS DA SIMPLIFICAÇÃO . A multiplicação e divisão de fracções racionais efectua-se do mesmo modo como se procede com fracções numéricas. Para a multiplicação as propriedades prevalecem. Exemplos: Sejam dadas as expressões fraccionárias racionais, 𝑨(𝒙) = a) 𝑨(𝒙) × 𝑩(𝒙) = b) 𝑨(𝒙) ÷ 𝑩(𝒙) =

𝟑𝒙 𝒙−𝟐 𝟑𝒙 𝒙−𝟐

× ÷

𝒙+𝟏 𝒙𝟐−𝟑 𝒙+𝟏 𝒙𝟐−𝟑

=( =

𝟑𝒙( 𝒙+𝟏) 𝒙−𝟐)(𝒙𝟐−𝟑 )

𝟑𝒙 𝒙−𝟐

×

𝒙𝟐 −𝟑 𝒙+𝟏

=

𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙 𝒙𝟑−𝟑𝒙−𝟐𝒙𝟐+𝟔

=(

=

𝟑𝒙

e 𝑩(𝒙) =

𝒙−𝟐

𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙

𝒙+𝟏

. Calcule:

𝒙𝟐 −𝟑

.

𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟔

𝟑𝒙(𝒙𝟐−𝟑 ) 𝟑𝒙𝟑−𝟗𝒙 = 𝟐 𝒙−𝟐 )( 𝒙+𝟏 ) 𝒙 +𝒙−𝟐𝒙−𝟐

=

𝟑𝒙𝟑−𝟗𝒙 𝒙𝟐−𝒙−𝟐

.

Exemplos: Simplifique as seguintes expressões. a)

𝑥 2−4𝑥+4 𝑥−2

=

( 𝑥−2)( 𝑥−2) ( 𝑥−2)

= 𝑥 − 2.

b)

𝑥 2+4𝑥+4 𝑥+2

=

( 𝑥+2)( 𝑥+2) ( 𝑥+2)

= 𝑥 + 2.

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia contin ua dormindo. (Edu Francisco Teixeira). c)

𝑥 3−5𝑥 2 +6𝑥 2𝑥 2 −4𝑥−6

=

𝑥 (𝑥 2−5𝑥+6) 𝑥 ( 𝑥−3)( 𝑥−2) = ( )( ) 2 ( ) 2 𝑥 −2𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥+1

=

𝑥 ( 𝑥−2) 2( 𝑥+1)

=

𝑥 2−2𝑥 2𝑥+2

.

EXERCÍCIOS. 1 . Efectue as operações indicadas e apresente o resultado o mais simplificado possível:

a)

x 2x  1  3 x 3 x

b)

x 3  x  1 x( x  1)

c)

1 1 3   2 x x  2 x  2x

d)

5 1 3x   2 1  x 2x  2 x  1

2x 2 2x 2 x 2  2x x  2 3x  6 x 1 4x e) 2 . f) 2 x  . g) 4 x  . h) .  2   2 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x  x

x2 1 2 2x x  1 x  2 x  6x  9 x2 2x x  3   i) . j) . k) 1    2 . l) 2 . m) x  1  2 x 1 x 1 8 x  3 x  2x x 4 x2 x  x  6x  9  x 2

2

x  x2 1 3x  x  x 1 x 1  x x 2 n)  . o)  . p)      2  2  2 3  x  16  x  1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 1 2 1   1  x 1  x  2  1  x  q)    11  x   . 1 x 1 x   1  x  1  x 

UNIDADE TEMÁTICA II: ÁLGEBRA. TEMA: Expressões Irracionais.

Objectivos: 1. Determinar o domínio de existência de expressões algébricas irracionais. 2. Racionalizar o denominador de expressões irracionais.

NOÇÃO DE EXPRESSÃO IRRACIONAL E DOMÍNIO DE EXISTÊNCIA. Uma expressão diz-se expressão algébrica irracional quando, sob sinal de radical, figura a variável. No domínio de existência de uma expressão irracional, olhamos para o radicando, o qual não pode ser negativo, se o 𝒏

índice do radical for um número par. Isto é, se 𝑨(𝒙) =

√𝐠(𝒙) 𝒇( 𝒙)

⟹ 𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝐠(𝒙) ≥ 𝟎}, se 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℕ. Ou,

𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: }, se 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℕ. Desde que o domínio de 𝑓(𝑥) seja todo conjunto de números reais. 𝟒

Exemplos: 𝑨(𝒙) = 𝟑 − √𝟐𝒙; 𝑩(𝒙) = 

√𝒙𝟐−𝟏 𝒙+𝟐

𝟑 ; 𝑪(𝒙) = √𝒙 − 𝒙𝟐 .

𝑫𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝟐𝒙 ≥ 𝟎} ⟺ {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟎}, com 𝑛 = 2; 2 ∈ ℕ. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ [𝟎; +∞[.

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor).  𝑫𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎 ∧ 𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟎}, com 𝑛 = 4; 4 ∈ ℕ. ⟺ {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎 ∧ 𝒙 ≠ −𝟐}. Pelo gráfico ao lado, 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎 ⟹ 𝒙 ∈ ]−∞; −𝟏] ∪ [𝟏; +∞[. 𝑫𝑩 = 𝒙 ∈ ]−∞; −𝟏] ∪ [𝟏; +∞[ ∩ 𝒙 ≠ −𝟐. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ ]−∞; −𝟏] ∪ [𝟏; +∞[ ∖ {−𝟐}. 

𝑫𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ}, com 𝑛 = 3; 3 ∈ ℕ. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ ℝ.

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS IRRACIONAIS. Racionalizar o denominador de uma fracção, significa transformar a fracção noutra equivalente, com o denominador sem radicais.  Se o denominador é da forma √𝒇(𝒙) então, multiplica-se o numerador e o denominador pelo factor √𝒇 (𝒙).  Se o denominador é da forma 𝒏√[𝒇(𝒙)]𝒑 então, multiplica-se o numerador e o denominador pelo factor 𝒏 √[𝒇 (𝒙)]𝒏−𝒑.  Se o denominador é da forma √𝒇(𝒙) ± √𝐠(𝒙) então, multiplica-se o numerador e o denominador pelo factor conjugado √𝒇(𝒙) ∓ √𝐠(𝒙), para se obter um produto equivalente a uma diferença de quadrados no denominador. Exemplos: 1) 2)

𝟑 √𝒙−𝟏

=

𝟑

√𝒙−𝟏 √𝒙−𝟏 √𝒙−𝟏

⋅

𝟑𝒙+𝟏 𝟑

√𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒

=

=

=

𝟑 √𝒙−𝟏 𝒙−𝟏

.

√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒)𝟐

√𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒

√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒) 𝟑

𝟐

=

⋅𝟑

√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒)𝟐

=

=

𝟑

( √𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒)( 𝟑√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒) 𝟐)

=

( 𝟑𝒙+𝟏)⋅( 𝟑√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒) 𝟐) 𝟑

√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒)(𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒 )𝟐

=

( 𝟑𝒙+𝟏 )⋅ 𝟑√(𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒 )𝟐

𝟐𝒙−𝟑

.

𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒

𝒙 𝒙 √𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏 = ⋅ 𝟑𝒙−𝟐− 𝒙+𝟏 𝟑𝒙−𝟐− 𝒙+𝟏 √ √ √ √ √𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏 𝒙⋅(√𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏 ) 𝒙⋅(√𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏) 𝟑𝒙−𝟐−𝒙−𝟏

( 𝟑𝒙+𝟏 )⋅( 𝟑√(𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒 )𝟐)

𝟑

𝟑

𝟑

=

(√𝒙−𝟏 )

𝟑𝒙+𝟏

( 𝟑𝒙+𝟏) ⋅ 𝟑√( 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟒) 𝟐

3)

𝟑 √𝒙−𝟏

=(

𝒙⋅(√𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏 ) 𝒙⋅(√𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏) = 𝟐 𝟐 ) ( ) 𝟑𝒙−𝟐− 𝒙+𝟏 ⋅ 𝟑𝒙−𝟐+ 𝒙+𝟏 √ √ √ √ (√𝟑𝒙−𝟐) −(√𝒙+𝟏)

=

𝒙⋅(√𝟑𝒙−𝟐+√𝒙+𝟏 ) . ( 𝟑𝒙−𝟐 )−(𝒙+𝟏)

.

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM RADICAIS. Uma equação ou inequação diz-se irracional quando a incógnita está sujeita a um sinal de raiz ou a um expoente fraccionário. Resolução de uma equação ou inequação irracional. 1)

Se √𝐴 = 𝐵 então 𝐴 = 𝐵2 , com 𝐴, 𝐵 ≥ 0. 𝟏

Exemplo: √𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟒, com 𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 ≥ − . 𝑫𝒂í, 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝟐 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟓. 𝟑

𝑺 = { 𝟓} .

2) Se √𝐴 + √𝐵 = 0, então 𝐴 = 0 e 𝐵 = 0. Exemplo: √𝟑𝒙 − 𝟔 + √𝒙 − 𝟐 = 𝟎, com 𝟑𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 − 𝟐 ≥ 𝟎. 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟐 ∧ 𝒙 ≥ 𝟐} ⟺ 𝑫 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟐} ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎 ∧ 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⟺ 𝒙 = 𝟐 ∧ 𝒙 = 𝟐.

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𝑺 = { 𝟐}

Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia contin ua dormindo. (Edu Francisco Teixeira). 3)

Se √𝐴 = √𝐵, então 𝐴 = 𝐵. Com 𝐴, 𝐵 ≥ 0. 3

Ex: √𝟒𝒙 − 𝟑 = √𝒙 com 𝑥 ≥ 0 ∧ 4𝑥 − 3 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 ≥ . 𝐃𝐚í, 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝒙 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟑 ⟹ 𝒙 = 𝟏. 𝑺 = {𝟏}. 4

4)

Se √𝐴 > 𝐵 então 𝐴 > 𝐵2, com 𝐴, 𝐵 ≥ 0. 𝟏

Exemplo: √𝟑𝒙 + 𝟏 > 𝟒, com 𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 ≥ − . 𝑫𝒂í, 𝟑𝒙 + 𝟏 > 𝟒𝟐 ⟹ 𝟑𝒙 > 𝟏𝟓 ⟹ 𝒙 > 𝟓. 𝑺 = 𝒙 ∈ ]𝟓; +∞[. 𝟑

5) Se √𝐴 > √𝐵, então 𝐴 > 𝐵, com 𝐴, 𝐵 ≥ 0. Exemplo: √𝟑𝒙 − 𝟔 > √𝒙 − 𝟏, com 𝟑𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 ∧ 𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ⟺ 𝒙 ≥ 𝟐 ∧ 𝒙 ≥ 𝟏 ⟺ 𝒙 ≥ 𝟐. 𝑺 𝑫 = 𝒙 ∈ [𝟐; +∞[. 𝟓

𝟓

𝟓

𝟓

√𝟑𝒙 − 𝟔 > √𝒙 − 𝟏 ⟹ {𝟑𝒙 − 𝟔 > 𝒙 − 𝟏} ⟺ {𝟐𝒙 > 𝟓} ⟹ 𝒙 > 𝟐. 𝑺 = 𝑺 𝑫 ∩ 𝒙 > 𝟐 = 𝒙 ≥ 𝟐 ∩ 𝒙 > 𝟐 = 𝒙 > 𝟐. EXERCÍCIOS. Resolve as seguintes equações. 2 1) x  3  10 . 2) x  1  2 . 3) x  1  x  1 . 4)

4 x 2  20 x  16  x . 5) x  25  x 2  7 .

6) x  5  3 . 7) 2 x  3  6  0 . 8) 2 x  1  2 . 9) 3 x  1  6 . 10)

x2  5  2  0 .

2 11) x  2  x  2 x  0 . 12) x  5  x  3  0 . 13) 2 x  3  x  5  0 . 14) x  2  16  x  0 .

15) x  5 x  10  8 . 16) x  10 x  6  9 . 17) 4 x  2 5  4 x  5 . 18)

36  x  2  x .

19) 3x  6 x  10  35 . 20) 1  x 4  x 2  x  1 . 21) 2  x  5  13  x . 22) x  3  x  1  1 . 23) x  5  2 x  8  7 . 24) x  6  x  1  7 x  4 . 25)

3 x  4 x  7  2 x .

Achar a solução das seguintes inequações. 1) x  2  6 . 2)

x  8  2 . 3)

6)

x 2  3x  2  x . 7)

9)

x 2  55 x  250  x  14 . 10)

x  2  x . 4) x  1  x  2 . 5) 4  1  x  2  x .

x 2  3x  2  x 2 . 8)

x 2  3x  2  1  x 2  x  1 .

x 2  3x  2  x 2 . 11)

( x  3)( 2  x)  4 x 2 12 x  11 .

EXERCÍCIOS. 1. Das expressões dadas abaixo indica as que são: racionais, irracionais, inteiras e fracionárias.

a) x 3  x 2  1 g) 2 x h)

b)

x 1 x 1

1 x2  x3  x 1 2x  4 i) 2 x  2x  2

c)

x 1 x2

j) 3x 3  4 x 

d)

x  x2 1 e) x  3 x  5 x f) x  x 2  x 3 3

1 5x k)  x2 4 x3

l)

x 1 x  3 x 1

m) x  2 x

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor).

2. Determina, em ℝ o domínio de existência de cada uma das seguintes expressões:

a) x 2  3

x 1

b)

x2  4 1

i) 4 x 2  1 j)  q)

c)

1  4x

x 1 x2 x

k) 3

4x 2 x2  3 r) x( x 2  1) x 3

d)

2x  3

t) 

1 2x

x  x2 1 e) 5 x 2  3 f) 2  3  x 3 l)

8 2( x  1) m) 2 n)  x  3x  2 x 1

u)

2

x2 x3

v) 3

x2 x3

w)

g) x  2  x  4 h) 1

o)

x2  4

x2  4 x2  9

5 p) x 2  9 x  2x 2

x 1 2 x ( x  1)( x  2)

x2  x  4

5

y)

x 3 x2 1

3. Determine o domínio de existência, em ℝ, das seguintes expressões:

9  x2 2 x

a)

x 2  10 x  9 x5

b)

c)

x 1

d)

x2

2x  4

x5  x5 1 f) x 2 x  6   3x  15

e)

x2 1

1 2 1  5x 2 x 1  x  2 5x x2 g) 2  h)  i) j) x  2  x  4 k)  3x 4  3x x  3 x 2  5x  6 x  49 2 x  12 x3 5 x x 1

l)

m) x  1  x  2  x  3  x  4 n) 2 x  2 x  1  3 x  1 o)

x  x 1 3

1 2 3 x  49 2 x  12 2

4. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões: a) i) p)

1

b)

12

1 x 1

x2 x2  x2 1 2 2 2

r)

c)

j)

x yy x x y

x x3 1 s)

5 1 2 1 k)

d)

x2 x 2

ax  ax ax  ax

x 1 x 1 l) t)

e)

x 5

x 1  4x  2 1 2 3

u)

x 1

f)

x 1

m)

g)

5 3 5 2

1 2 1

v)

2 3 18  75 n)

3 23 x

1 2 3 5

x 1

h) o)

x 1 1 3( 2  2 )

w)

30 5 3 2

UNIDADE TEMÁTICA II: ÁLGEBRA.

Objectivos:

TEMA: equações do 2 O e 3 o grau e equações que se reduzem a equações quadráticas.

1. Identificar e encontrar a solução de uma equação do 3o grau. 2. Identificar e resolver as equações que se reduzem a equações quadráticas.

EQUAÇÕES DO 2º GRAU (revisão). Definição. ax2  bx  c  0 ; a  0  a, b, c  ℝ. i. Tipo: ax 2  0 , b  c  0 (Equação Incompleta).

0  x2  0 a  x  0  x  0, S  0 ax 2  0  x 2 

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia continua dormindo. (Edu Francisco Teixeira).

Ex1 : 4 x 2  0  x 2  0  x 2  0  4

Ex1 :

 x  0  x  0, S  0; x1  x2  0

1 1 x  4 4 1 1 1 x x x 2 2 2  1 S     2  4x 2  1  0  x 2 

ii. Tipo: ax 2  bx  0 , c  0 (Equação Incompleta).

ax 2  bx  0  xax  b   0

Ex2 :

 x  0  ax  b  0  x  0  ax  b b  x1  0  x 2   a b  S  0,  a 

4x 2  1  0  x 2   S    ou 𝑆 = Ø.

1 1 x  , 4 4

iv. ax2  bx  c  0 , (Equação Completa).   b 2  4ac

   0   x1  x2 

Ex1 :

   0   x1  x2 

 2 x  3x  0  x2 x  3  0 2

 x  0  2 x  3  0  x  0  2 x  3 3 3   x1  0  x2   , S  0,  2 2 

b  b   x2  2a 2a S  x1 , x2  x1 

   0  S    ou S = Ø.

Ex2 :

 12 x 2  8 x  0  4 x3x  2  0  4 x  0  3x  2  0  x1  0  x2 

2 3

 2 S  0,   3 iii. Tipo: ax 2  c  0 , b  0 (Equação Incompleta).

c a c c   x    ,  0 a a   c S     a  ax 2  c  0  x 2  

c   0  então S    ou 𝑆 = Ø. a 

Se 

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor). Observações: A discussão da equação do 2º grau pode fazer-se recorrendo aos valores de: 

Δ (discriminante:   b 2  4ac )



P (produto: x1  x 2 

c c P ) a a



S (soma: x1  x 2  

b b  S   ), a a

x 2  Sx  P  0

E do seguinte modo: S > 0 → duas (2) raízes positivas e distintas

P>0 (raízes do mesmo sinal)

  0,  x1  x 2  raízes reais e distintas.

S < 0 → duas (2) raízes negativas e distintas

P=0 (uma e uma só raíz nula)

S > 0 → duas (2) raízes (uma nula e outra positiva) S < 0 → duas (2) raízes (uma nula e outra negativa)

P<0 (raízes de sinais contrários)

S > 0 → duas (2) raízes (negativa e positiva) sendo esta última a de maior valor absoluto. S = 0 → duas (2) raízes simétricas S < 0 → duas (2) raízes ( positiva e negativa) sendo esta última a de maior valor absoluto.

S > 0 → duas (2) raízes positivas P>0

  0,  x1  x 2 

S < 0 → duas (2) raízes negativas

raízes reais e iguais P = 0 → duas (2) raízes nulas

  0 → Não há raízes reais. EXERCÍCIOS. I. Resolva as seguintes equações em ℝ. 1) 3x 2  0 . 2)

7 x 2  0 . 3) x 2  6 x  0 . 4) x 2  8x . 5) 5x  x 2  0 . 6) 7 x  2 x 2  0 .

7) x 2  25  0 . 8) 3x 2  48  0 . 9) x 2  4  0 . 10) 121  x 2 . 11)  4 x 2  16  0 .

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia continua dormindo. (Edu Francisco Teixeira). 12)

20 x 2  5  0 . 13) x 2  4 x  3  0 . 14) x 2  6 x  8  0 . 15) 3x 2  x  2  0 .

16) x 2  2 5 x  15  0 . 17) x 2  2 3x  24  0 . 18) 14  x 2  5 x  0 . 19) 2 x 2  8x  6  0 .





20) x 2  a  b x  ab  0 . 21) x 2  2ax  a 2  b 2  0 . 22) abx2  a 2  b 2 x  ab  0 .





23) 2 x4 x  2   4 . 24)  x  2  x  3  6 . 25) 2 x  32  8x . 26) 4 x 2  1  4 x  1 . 27)

x 21 47 x x 2x  1 x  1 x8 24 . 28) . 30) .     1 . 29)  2 7 x5 7 x 1 x  4 x 1 x  2 x 8 x4

II. Construir ou compor as equações do 2º grau em ℝ que têm seguintes raízes e 𝒂 = 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓 respectivamente:

1 3 1 2 . 3) x1  ; x 2   . 4) x1  x 2  . 5) x1  0; x 2  3 . 2 4 5 3 III. Discuta as seguintes equações: 1) Achar o valor de p tal que a razão de raízes da equação x 2  px  16  0 será igual a  4 . 1) x1  2; x 2  1 . 2) x1  3; x 2 

2) Para a equação 8 x 2  m  1x  m  7   0 , qual(is) deve(m) ser o(s) valor(es) de m para que as raízes sejam: a) Reais e iguais? b) Reais positivas? c) Inexistentes em ℝ? d) De sinais contrários? e) Uma positiva e outra negativa? f) Uma nula outra positiva? g) Uma nula outra negativa? h) Simétricas? i) Inversas?

EQUAÇÕES DO TERCEIRO GRAU. Def. Uma equação do 3 grau (equação cúbica) é do tipo 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0; com 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ. o

Uma equação do terceiro grau, se tem raizes reais, então pelo menos uma das raizes é divisor (divide) o termo independente (𝑑). Exemplos: Resolver as seguintes equações: 1) 𝑥 3 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(𝑥 2 − 1) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = ±1. Portanto:𝑆 = {−1; 0; 1}. 2) 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0; é visível aqui que 1 é uma solução desta equação (porque 1 é divisor de −6). Vamos aplicar a regra de Ruffini e depois o teorema do resto. 𝑞(𝑥) = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 6; esta é uma equação do segundo grau, a qual sabemos bem como resolver. 1 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 = (3𝑥 2 + 5𝑥 + 6)(𝑥 − 1) = 0. 3 ⟹ 3𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 0 ∨ 𝑥 − 1 = 0. ∆= 25 − 4 ∙ 3 ∙ 6 = 25 − 72 = −47 < 0; Logo, a equação quadrática não tem raizes reais. Portanto, a equação cúbica tem apenas uma solução. 𝑆 = {1}. 3

2 3 5

1 5 6

−6 6 0

3) 2𝑥 3 − 8𝑥 2 + 2𝑥 + 12 = 0 ⟹ 2(𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6) = 0 ⟹ 2 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0. ⟹ 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥 2 = 2 ∨ 𝑥 3 = 3. Portanto, 𝑆 = {−1; 2; 3}.

i.

Tipo: ax3  bx 2  cx  0 , d  0 (Equação Incompleta).



 



 

ax3  bx 2  cx  0  x ax 2  bx  c  x  0  ax 2  bx  c  0 .



 



Ex1 : 4 x 3  10 x 2  48 x  0  x4 x 2  10 x  48  x  0  4 x 2  10 x  48  0

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor).

 x  0  4 x 2  10 x  48  0 ,   0 . Logo, não há raízes reais. S  0 .



 



Ex2 : x 3  11x 2  10 x  0  xx 2  11x  10   x  0  x 2  11x  10   0





 x  0  x 2  11x  10  0  x  0  x  1x  10   0  x  0  x  1  x  10 . S  0;1;10 .

ii. Tipo: ax3  d  0 , b  c  0 (Equação Incompleta). 

Transformar para os casos notáveis do tipo

 

 

a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 . a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2

1   3 d d   3 3 3  ax  d  0 /  a   x  0 x      a   a  

3

0

3 2    d  d   d d   2    3 3 3 3      x     0  .   0   x  a    x  x  a   a a          3

2   d  d d   2  3 3 3    x  0 x  x    0   a  a a    





Ex 1 : x 3  27  0  x 3  33  0  x  3 x 2  3x  9  0  x  3  0  x 2  3x  9  0 .

 x  3    27  0 . Logo não há raízes reais para a equação: x 2  3x  9  0 . S   3 .





Ex 2 : x 3  8  0  x 3  23  0  x  2 x 2  2 x  4  0  x  2  0  x 2  2 x  4  0 .

 x  2    12  0 . Logo não há raízes reais para a equação: x 2  2 x  4  0 . S  2 . iii. Tipo: ax3  bx 2  cx  d  0 , a, b, c, d   (Equação Completa), a  0, b  0, c  0, d  0 .

a) Para o caso em que existam raízes inteiras, têm que ser divisores do termo livre d. Ex 1 : x 3  2 x 2  5x  6  0 . D(6)   1,2,3,6.

x  1 é raíz (solução) da equação, então usando a REGRA DE RUFFINI, teremos a seguinte factorização: x 3  2 x 2  5 x  6  0  x  1x  2x  3  0  x  1  0  x  2  0  x  3  0  x  1  x  2  x  3 S  1,2,3. Ex 2 : x 3  3x 2  4 x  4  0 . D(-4)   1,2,4 .

x  2 é raíz (solução) da equação, então usando a REGRA DE RUFFINI, teremos a seguinte factorização: x 3  3x 2  4 x  4  0  x  2x 2  x  2  0  x  2  0  x 2  x  2  0  x  2    7  0 . Logo, não há raízes reais para a equação: x 2  x  2  0 . S  2 .

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia continua dormindo. (Edu Francisco Teixeira). b) Para o caso em que não existam raízes inteiras, com ajuda da transformação de variável para uma nova, podemos, em alguns casos, passar à equação que tem raízes inteiras, só quando coeficiente de potência de maior grau difere de unidade (1). Nota1: A substituição da nova variável faz-se dividindo a nova variável por um divisor do coeficiente de grau mais elevado da equação. Nota2: Este método é válido para todas as equações de grau 𝒏, de coeficiente inteiros. Ex 1 : 2 x 3  9 x 2  x  2  0 . D(-2)   1,2. Nenhum número é raíz (solução) da equação. 3

2

3 2 t t t t t 9t t   Seja: x   2   9    2  0     2  0  t 3  9t 2  2t  8  0 . 2 4 4 2 2 2 2 3 2 t  9t  2t  8  0 . D(8)   1,2,4,8.

t  1 é raíz (solução) de equação, então usando a REGRA DE RUFFINI, teremos a seguinte factorização:









t 3  9t 2  2t  8  0  t  1 t 2  10t  8  0  t  1  0  t 2  10t  8  0







 t  1  0  t  5  2 17 t  5  2 17  0  t  1  t  5  2 17  t  5  2 17  

 Voltamos para a variável inicial.  x 

.

1  5  2 17  5  2 17 t . x  , Logo, x   x  2 2 2 2

 1  5  2 17  5  2 17  S  , , . 2 2 2  EXERCÍCIOS. Achar as raízes em ℝ de equações seguintes: 1) 3x 3  4 x 2  x  0 . 2) x 3  x 2  4 x  0 . 3) 3x 3  5x 2  2 x  0 . 4) x 3  12 x 2  32 x  0 . 5) x 3  1  0 . 6) x 3  1  0 . 7) 8x 3  27  0 . 8) x 3  2  0 . 9) x 3 

1  0 . 10) x 3  125 . 8

11) x 3  x 2  x  1  0 . 12) x 3  6 x 2  11x  6  0 . 13) 2 x 3  x 2  8x  4  0 . 14) x 3  x  2  0 . 3 2 3 2 3 2 15) 3x  6 x  5 x  10  0 . 16) x  2 x  5x  12  0 . 17) 6 x  19 x  11x  6  0 . 3 3 2 3 2 3 18) x  5x  12  0 . 19) x  x  0 . 20) 3x  x  1  0 . 21) 3x  7 x  4  0 .

EQUAÇÕES QUE SE REDUZEM À EQUAÇÃO QUADRÁTICA. I. EQUAÇÕES BIQUADRÁTICAS. As equações biquadráticas são as equações do tipo 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0. 𝐶𝑜𝑚, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. 𝑎 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0; 𝑐 ≠ 0 . Fazendo 𝑥 2 = 𝑡, a equação transforma-se em 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0. Exemplo 1 : 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 6 = 0; Seja: 𝑥 2 = 𝑡, então: 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = 0 ⟺ (𝑡 − 2)(𝑡 − 3) = 0.

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Todas as viagens são lindas, mesmo as que fizeres nas ruas do teu bairro. O encanto dependerá do teu estado de alma. (Rui Ribeiro Couto, diplomata e escritor). ⟹ 𝑡 − 2 = 0 ∨ 𝑡 − 3 = 0 ⟺ 𝑡 = 2 ∨ 𝑡 = 3 e para encontrar o valor de 𝑥, substitui-se 𝑡 na equação 𝑥 2 = 𝑡. Assim: 𝑥 2 = 2 𝑜𝑢 𝑥 2 = 3 ⟹ 𝑥 = ±√2 𝑜𝑢 𝑥 = ±√3. Logo, 𝑆 = {−√3; −√2; √2; √3}. Exemplo 2 : 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0; Seja: 𝑥 2 = 𝑡, então: 𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0 ⟺ (𝑡 − 1)(𝑡 − 4) = 0. ⟹ 𝑡 − 1 = 0 ∨ 𝑡 − 4 = 0 ⟺ 𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = 4 e para encontrar o valor de 𝑥, substitui-se 𝑡 na equação 𝑥 2 = 𝑡. Assim: 𝑥 2 = 1 𝑜𝑢 𝑥 2 = 4 ⟹ 𝑥 = ±√1 𝑜𝑢 𝑥 = ±√4 ⟹ 𝑥 = ±1 𝑜𝑢 𝑥 = ±2. Assim, 𝑺 = {−𝟐; −𝟏; 𝟏; 𝟐}.

Exemplo3 :

 

x 4  5x 2  4  0  x

2 2

Exemplo4 :

 5x 2  4  0 .

Seja: x 2  t (substituição da variável “𝑥”).

x 

2 2

 5x 2  4  0  t 2  5t  4  0

t 2  5t  4  0 (factorização).

 t  4t  1  0  t  4  0  t  1  0

 

3x 4  26 x 2  9  0  3 x 2

2

 26 x 2  9  0 .

Seja: x 2  t (substituição da variável “𝑥”).

 

2

3 x 2  26 x 2  9  0  3t 2  26t  9  0 .   b 2  4ac    26   4  3   9  2

  784  0  t1  t 2 

 t1  4  t 2  1 Voltamos a variável inicial.

 x 2  4 x   4  x2  t x2  t   2 1   2   x  1  x  t2 x   1  x  2  x  2  x  2    x  1  x  1  x  1 S   2;1;1;2

b  b   t2  2a 2a 26  784 26  784 t1   t2  23 23 1 t1  9  t 2   3 t1 

Voltamos a variável inicial. 2  x 9   x 2  t1  x 9  1 x t  2  2 1 x  x     x  t2   3  3   x  3  x  3  x  3    S   3;3. xØ xØ  2

II. EQUAÇÃO DO TIPO: ax2 n  bxn  c  0, a, b, c    a  0, b  0, c  0 .

 

Ex1 : 8x 6  7 x 3  1  0  8 x 3

2

 7x3 1  0 .

 Seja: x 3  t (substituição da variável “𝑥”).

 

8 x3

2

 7 x 3  1  0  8t 2  7t  1  0  t1  1  t 2 

1 . 8





  x  1 x 2  x  1  0 3  x 3  1  x 3  1  0  x  1  x  t    1 x3  t   3 1   3 1   3 1    1  2 1 1 x x  x  0 x   x  x    0    x  t2    2  8 8  2  2 4  1 S   1;   2

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Se os seus esforços forem vistos com indiferença, não desanime; também o Sol, ao nascer, dá um espetáculo todo especial e, mesmo assim, a maioria da platéia continua dormindo. (Edu Francisco Teixeira).

III. EQUAÇÕES RECÍPROCAS OU EQUAÇÕES DE COEFICIENTES SIMÉTRICOS. ax3  bx2  bx  a  0 ou ax4  bx3  bx  a  0 ou ax4  bx3  cx 2  bx  a  0 .

Ex1  3 x 3  13 x 2  13 x  3  0

Ex2  x 3  x 2  x  1  0

 3 x 3  3  13 x 2  13 x  0

 x3  1  x 2  x  0

 3 x 3  1  13 x  x  1  0

 x 3  1  x x  1  0



  3 x  1x   x  13x   x  13 x

2 2

2

  x  1  13 x   0  10 x  3  0

 x  1  13 x  x  1  0

 x  1  0  3 x 2  10 x  3  0  x  1 x  3  x 



   x  1x   x  1x   x  1x

2 2

2

  x  1  x   0  1  0

 x  1  x x  1  0

 x 1  0  x2  1  0  x  1 x   1

1 3

 x  1 x  Ø

1  S   ;1;3 3 

S  1

EXERCÍCIOS. Achar as raízes em ℝ de equações seguintes: 1) x 4  10 x 2  9  0 . 2) x 4  8 x 2  9  0 . 3) 4 x 4  17 x 2  4  0 . 4) x 4  2 x 2  3  0 . 4 2 4 2 4 2 4 2 5) x  18 x  81  0 . 6) 3x  26 x  9  0 . 7)  x  4 x  0 . 8) x  9 x  0 .

Achar as raízes em ℝ de equações seguintes: 1) x 6  28 x 3  27  0 . 2) x 6  19 x 3  216  0 . 3) 8x 6  65 x 3  8  0 . 4) 8x 6  7 x 3  1  0 .

1890

4

3 3 8 4 5) 7 x  x 3  119  0 . 6) x  97 x  1296  0 . 7) x  x 3  9  0 .

Achar as raízes em ℝ de equações seguintes: 1) 2 x 3  7 x 2  7 x  2  0 . 2) 2 x 3  5x 2  5x  2  0 . 3) x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1  0 . 4) 3x 4  10 x 3  10 x  3  0 . 5) 5x 4  26 x 3  26 x  5  0 . 6) 2 x 5  3x 4  5x 3  5x 2  3x  2  0 .

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