Fenomenos De Trasporte Capitulo 2.docx

En el capítulo 1, el papel de las fuerzas intermoleculares se introdujo brevemente. La discusión concluyó que las ecuaciones exactas para los procesos de la tarifa no podían ser resueltas para la mayoría de los problemas de la ingeniería. El enfoque empírico suele separar el transporte en dos divisiones principales: el transporte por mecanismos c turbulentos y el transporte por medios moleculares, con o sin convección. El flujo turbulento se presentará en el Capítulo 6. Este capítulo trata las ecuaciones y mecanismos del transporte molecular. El transporte molecular puede ocurrir en sólidos, líquidos, gases o mezclas de los mismos. El ejemplo más simple de Transporte es la conducción de calor desde una región de alta temperatura a una región de baja temperatura a través de una varilla, como se muestra en la Fig. 2.1 (a). Si un extremo de un Varilla a temperatura ambiente se mantiene firmemente mientras que el otro extremo es empujado en un fuego rugiente, el calor se transfiere al extremo de la mano de la barra desde el extremo en el fuego por el transporte molecular, Las moléculas calientes en el fuego tienen más energía que Las moléculas más frescas adyacentes de la varilla. A medida que las moléculas chocan, la energía se transfiere de las moléculas más calientes a las moléculas más frías. El proceso se repite millones de veces hasta que la varilla esté demasiado caliente para sostenerla. La diferencia de temperatura (temperatura del fuego caliente menos temperatura de la mano) es la fuerza motriz para la transferencia de calor. Para el transporte masivo, la situación es más complicada porque debe haber al menos dos especies presentes. Considere dos frascos idénticos unidos a través de una válvula como se muestra en la Fig. 2.1 b). Deje que un frasco se llene de nitrógeno puro, el otro con oxígeno puro, ambos a la misma presión y temperatura. Si se abre la válvula en el centro, el oxígeno se difundirá en el nitrógeno y el nitrógeno en el lado del oxígeno hasta que cada matraz contenga 50 por ciento de nitrógeno y 50 por ciento de oxígeno. La concentración es la fuerza impulsora. De los tres tipos de transporte molecular, la transferencia de momento es la más difícil de explicar de forma breve y concisa. En primer lugar, la ecuación básica relaciona el esfuerzo cortante (introducido en el capítulo 1) y el gradiente de velocidad. La velocidad de cada

Molécula en el fluido cambia de punto a punto en muchos problemas de flujo. Matemáticamente el gradiente de velocidad es , la velocidad de cambio de la velocidad en la dirección x (Ux) con respecto a la dirección y. En los dos últimos párrafos que describen el calor y la transferencia de masa, el lector visualiza fácilmente lo que estaba siendo transferido y la naturaleza de la fuerza impulsora. En el caso de transferencia de momento, el flujo de momento (t) está siendo transferido, y el gradiente de velocidad es la fuerza impulsora; Ambos son difíciles de visualizar y serán discutidos más adelante. Flujo de fluido es un ejemplo simple de la transferencia de momento. La fuerza motriz para el flujo de fluido es una diferencia de presión. Por ejemplo, cuando se abre la válvula en un bebedero, el agua fluye en un chorro porque la presión del agua dentro de la fuente es mucho mayor que la presión atmosférica en la que el chorro se descarga. La figura 2.1 (c) muestra un ejemplo simple del flujo de un fluido (gas o líquido) en un tubo. Una bomba o ventilador puede forzar el fluido a través del tubo. Si se utiliza una bomba o ventilador muy pequeño (creando tan sólo una pequeña caída de presión), el flujo en la tubería será relativamente lento y será laminar. Si hay una gran caída de presión, el flujo en la tubería será mucho mayor y probablemente turbulento. Fig. 2.1 (c) representan el aire lleno de humo soplado a través del tubo. En el caso laminar (transporte molecular), el fluido sale del tubo de una manera lisa y ordenada. En el caso turbulento, el movimiento fluido es caótico con bloques de moléculas (llamados remolinos) que se mueven en todas direcciones. En resumen, los mecanismos moleculares implican el transporte de calor por conducción, de masa por difusión molecular y de momento como ocurre en el flujo de fluido laminar. Una analogía limitada entre estos tres fenómenos de transporte se puede utilizar para ayudar a obtener una mejor comprensión de los procesos de la transferencia. Sin embargo, se debe tener cuidado de no llevar la analogía demasiado lejos, y sus limitaciones serán indicadas a medida que avance nuestro desarrollo. 2.1 LA ANALOGÍA Es común formular una ecuación de velocidad general como (VELOCIDAD) = (FORMA DE CONDUCIR) / (RESISTENCIA) (2.1)

En la Ec. (2.1), a medida que la fuerza motriz aumenta, la velocidad aumenta. Además, cuanto mayor sea la resistencia, menor será la velocidad. El sentido común verifica la ec. (2.1), y es útil comenzar la discusión de la analogía del transporte con un simple ejemplo de nuestra experiencia de transferencia de calor en el mundo que nos rodea. 2.1.1 El caso de transferencia de calor En la transferencia de calor, la fuerza motriz es la diferencia de temperatura. Nuestra intuición y experiencia nos dice que el calor puede ser transferido de una región caliente a una zona más fría. Por ejemplo, considere un bloque de cobre, en el que los lados están aislados de modo que la conducción de calor se produce sólo en una dirección, la dirección x. En este punto, puede ser útil para el lector dibujar una imagen del bloque en un trozo de papel de rascar. Deje que la temperatura inicial del bloque sea 273.15 K (0°C). Junto a su dibujo del bloque, trace un perfil de temperatura, es decir, T en función de x. Tenga en cuenta que inicialmente para todos los valores de, T es constante e igual a 273.15 K. Etiquetar esta curva "t = t0". Ahora se establece una diferencia de temperatura colocando el bloque de cobre encima de un bloque de hielo y sumergiendo el top del bloque en vapor de modo que la temperatura superior se eleva instantáneamente a 373,15 K. Dibujemos una segunda imagen del bloque y Un segundo perfil de temperatura, esta vez con la temperatura en el extremo caliente igual a 373,15 K. En otro lugar, el bloque está todavía a 273,15 K. Dado que este es el primer instante de tiempo para el experimento, no ha habido tiempo permitido para el Temperatura por debajo de la superficie superior a elevar. Sin embargo, poco después de comenzar el experimento, la temperatura comienza a subir en las áreas por debajo de la superficie superior. En este punto, un tercio del perfil de temperatura debe ser dibujado - una forma curvada de 273.15 a 373.15 K. Etiquetar esta curva "t = t 1". Esta curva tiene la forma de una parábola, pero su exactitud La naturaleza es una solución compleja del problema del estado de inestabilidad (que se tratará en el capítulo 13). En algún momento posterior t2, el perfil de temperatura seguirá siendo curvo. Sin embargo, el perfil será más plano y más cerca de una línea recta. Finalmente, cuando el tiempo es igual a infinito (t = t ͚ ), estado estacionario), el perfil se convertirá en una línea recta. Estos perfiles de temperatura han sido trazados juntos en la Fig. 2.2. El gradiente de temperatura lineal en la Fig. 2.2 es una observación experimental y, siempre que se disponga de tiempo suficiente, se observa la distribución lineal de la temperatura mientras las temperaturas en la parte inferior y en la parte superior se mantengan a los mismos valores preestablecidos. La observación se atribuye a Fourier, y la ecuación dada abajo se nombra después de él. Se llama la atención de los lectores sobre el hecho de que una vez que se alcanza el estado estacionario (t = t ͚ ), el perfil de temperatura en el bloque es invariante con un aumento adicional en el tiempo. Por lo tanto, se dice que el sistema está en estado estacionario. El calor del vapor se conduce por el gradiente de temperatura hasta el fondo, donde es absorbido por el hielo y causa la fusión. El calor que se transfiere por unidad de tiempo y área unitaria, o lo que se denomina flujo de calor, es directamente proporcional a la diferencia entre las temperaturas e

inversamente proporcional a la distancia; este es el gradiente de temperatura .La proporcionalidad se muestra por la ecuación en la figura y es (2.2) Donde q es la cantidad de calor transferido por unidad de tiempo, A es el área, y el subíndice x en el término de flujo denota que en la Ec. (2.2) el flujo de calor se considera sólo en la dirección x. La constante de proporcionalidad k se denomina conductividad térmica. Varía de material a material en una amplia gama, como se discutirá más adelante. Por ahora, sólo este caso unidimensional será tratado; Casos multidimensionales serán presentados en la Sección 2.2. Derivadas parciales se utilizaron en la ecuación (2.2), en lugar de las derivadas totales porque pueden estar involucradas más de una dirección. El signo menos de la ecuación (2.2) porque el calor fluye de caliente a frío. En la Fig. 2.2, el gráfico de T en función de x muestra que el gradiente o derivado es positivo. El sentido común nos dice que el calor fluirá desde la parte superior del bloque (373.15 K) hasta el fondo (273.15 K). Por lo tanto, el flujo de calor está en la dirección negativa, y la Ec. (2.2) requiere el signo menos. Obsérvese que la dirección de (q / A), está etiquetada en la Fig. 2.2. La cantidad q es la velocidad de transferencia de calor, y tiene unidades típicas Js-1 o Btu h-1. Por lo tanto, si la ecuación (2.2) se reorganizaron en la forma de la ecuación de la velocidad generalizada, la ecuación (2.1), los resultados serían Velocidad= q Resistencia =

(2.3)

Fuerza motriz = Conducción de calor Flujo de calor

Gradiente de temperatura

Difusión de masa Flujo molar

Gradiente de concentración

Flujo de fluido laminar Flujo de impulso

Velocidad cortante

FIGURA 2.2 La analogía de los fenómenos de transporte (unidades SI se muestran debajo de las cantidades en las ecuaciones). A menudo es útil echar la ecuación (2.2) en su forma de "resistencia", especialmente cuando la conducción de calor a través de una pared se combina con la transferencia de calor hacia y desde fluidos de cualquier lado. Tales problemas avanzados se encuentran en capítulos posteriores. Los perfiles de la Fig. 2.2 para t = t1 y t = t2 son para el caso de transferencia de calor de "estado inestable". La temperatura en cualquier posición x en el bloque aumenta a medida que pasa el tiempo desde el comienzo hasta el estado estacionario. El cálculo de los perfiles de estado inestable se dará en el Capítulo 13. 2.1.2 El caso de la transferencia masiva Un material gaseoso en una caja se toma como el ejemplo de transferencia de masa. Sugerimos que por algún medio mágico, posiblemente químico, la concentración en el fondo se mantenga a nivel cero. En la parte superior tendrá que haber una fuente del material mantenido a un nivel superior indicado por CA que tiene Unidades de moles por volumen. En el momento de iniciar el experimento, el La distribución de la concentración se da por la línea marcada t = t0. No se ha permitido tiempo suficiente para que cualquier material entre en la caja. Sin embargo, en algún tiempo posterior t1, el material se ha difundido hacia el fondo y el gradiente de concentración como se muestra en la Fig. 2.2 se forma. Un poco

más tarde en el tiempo en t = t2, el gradiente se verá como el que se muestra. Si se

͚

permite suficiente tiempo, se formará un gradiente lineal como se indica por t = t . La similitud de la transferencia de masa a la transferencia de calor es evidente. Las curvas de la Fig. 2.2 por varias veces son casi iguales, y se podría sospechar que las ecuaciones son similares también. Que el flujo molar , sean los lunares de las especies. A se transfiere por unidad de tiempo por unidad de área con respecto a un plano a través del cual no hay flujo de volumen neto. Experimentalmente se observa que el flujo molar , en estado estacionario (y temperatura y presión constantes) es proporcional a La diferencia en la concentración e inversamente proporcional a la distancia del límite al límite. La diferencia en la concentración de la especie A dividida por la diferencia de longitud para un elemento diferencial de la caja se denomina gradiente de concentración. El gradiente de concentración se denota por (La ecuación que representa la observación experimental en estado estacionario es

(T = constante) (P = constante)

(2.4)

De nuevo, el índice x indica la transferencia de masa en la dirección n solamente. La constante de proporcionalidad D se llama coeficiente de difusión. Con menor frecuencia, D se denomina difusividad de masa molecular o simplemente difisividad de masa. En la ley de Fick, el flujo de A, ocurre con respecto a un plano a través del cual no hay flujo volumétrico neto (véase la Sección 2.3). La complicación adicional de un flujo volumétrico neto se considera en detalle en el capítulo 5. 2.1.3 El caso de la transferencia momentánea Como ejemplo final, considere un fluido mantenido entre placas paralelas, como se ilustra en la imagen inferior de la Fig. 2.2. La placa inferior permanece inmóvil y se aplica una fuerza al plano superior para mantenerla a una velocidad 17. Debido a la resistencia de fricción interna en el fluido ya la fricción entre el fluido y la placa, el fluido entre las placas comienza a moverse Con la placa superior. Por las mismas razones, el fluido en contacto con la placa inferior que no se mueve permanece estacionario. Esta es una observación experimental y se llama la condición de nodeslizamiento en el límite. Sin embargo, es cierto incluso para materiales no humectantes tales como mercurio en contacto con vidrio. La figura 2.3 muestra el sistema de coordenadas que usualmente se usa para la transferencia de momento. Obsérvese el cambio de la coordenada simple de una dirección en la Fig. 2.2. En la Fig. 2.3, es necesario tener dos coordenadas: x (la dirección de la velocidad U,) yy (la dirección para el cambio en Ux y la dirección de la transferencia del momento).

En el momento de poner en marcha la placa superior, no ha habido

FIGURA 2.3 La condición de límite no deslizante. Se necesita una fuerza F por todas partes a lo largo de la placa para mantenerla inmóvil. tiempo permitido para que el fluido sea acelerado y el gradiente de velocidad sea dado por la curva marcada t = t0 en la Fig. 2.2. Con un valor mayor de t, parte del fluido es arrastrado junto con la placa. A medida que transcurre el tiempo, se extrae cada vez más fluido junto con la placa hasta que a un largo periodo de tiempo, denotado por t = t ͚ , se desarrolla un gradiente de velocidad lineal. Deje que la fuerza sobre la placa superior en la Fig. 2.3 sea de magnitud F y deje que el área de la placa sea A. La relación F / A se denomina comúnmente tensión de cizallamiento, que es igual en magnitud al flujo de momento t. Para el caso de estado estacionario (t = t ͚ ) donde el flujo es laminar entre la placa móvil y la placa estacionaria, se observa experimentalmente que (2.5) La ecuación (2.5) es la ley de Newton de la viscosidad, donde la constante de proporcionalidad es la viscosidad del fluido. Las unidades típicas de son kg m-1 s-1 (N m-2 s) en SI, o lb, ft-1 s-1 (lbf ft-2 s) en el sistema inglés. En el estado estacionario, el gradiente de velocidad es constante, la viscosidad es constante y, dado que A es constante, F también debe ser constante o lo mismo en todas partes. El signo de F depende del sistema de coordenadas utilizado, y puede ser igual en signo o contrario en signo al flujo de momento . Independientemente, el gradiente de velocidad es siempre opuesto en signo al flujo de momento. Físicamente, el flujo de momento es la transferencia de momento a través del fluido de la región de alta velocidad a la región de baja velocidad. La fuerza F no se considerará más hasta el Capítulo 7. En la Ec. (2.5), el doble subíndice sobre la tensión de cizallamiento, es decir , implica que debe haber otros componentes de la tensión de cizalla (ver Sección 2.4). Por ahora, la parte que se considera es la transferencia en la dirección y como resultado de una componente de velocidad x; Tenga en cuenta que el componente de velocidad x cambia la magnitud a medida que y aumenta o disminuye. La

convención establece que el primer subíndice (y) se refiere a la dirección de transferencia de momento, y que el subíndice (x) se refiere a la dirección de la velocidad; Por lo tanto se utiliza en la ecuación (2.5) y la Fig. 2.3. La similitud de la ley de Newton, la ecuación (2.5), a las leyes de Fourier y Fick es fácilmente evidente. En el caso de la ley de Fourier, el ejemplo era una varilla de mano en un fuego. Si la temperatura del fuego aumenta, el gradiente de temperatura también aumenta, y por lo tanto el flujo de calor aumenta. Este sencillo experimento es fácil de visualizar. El ejemplo de transferencia de masa en la Fig. 2.1 (b) es tan fácil de entender. Sin embargo, en la Fig. 2.1 (c), el lector puede visualizar fácilmente un fluido en movimiento, pero no una tensión de cizallamiento o transferencia de momento. Por lo tanto, se requiere una explicación detallada de la transferencia de momento. En el caso de la masa y la transferencia de calor, se estaba transfiriendo una cantidad por unidad de tiempo por unidad de área. El caso de transferencia de momento es el mismo. La definición de momento es masa veces velocidad. En el siguiente análisis unitario, el flujo de momento (también llamado tensión de cizallamiento) se muestra como Equivalente a una fuerza por unidad de área: (𝑚𝑎𝑠𝑎)(𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑) (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)(𝑎𝑟𝑒𝑎)

En la ecuación anterior usando unidades SI, la velocidad tiene unidades de m s-1, y un newton es de un kg m s-2. Así, tanto la tensión de cizalla como el producto de la velocidad de tiempo de masa por área por tiempo se muestran claramente en la Ec. (2.6) por fuerza. Por lo tanto, la tensión de cizalla, que se definió previamente como fuerza por área en el Capítulo 1, es de hecho un flujo de momento, como lo demuestra la Ec. (2.6). La transferencia momentánea es más fácil de visualizar "en la Fig. 2.3 que en la Fig. 2.1 (c). En el estado de equilibrio, cuando la placa superior se tira en la dirección x con la fuerza F, debe haber la misma fuerza en la plataforma inferior y en la dirección opuesta. Así, el impulso de la placa superior se transfiere a través del fluido a la placa inferior. Transferencia de impulso no se experimenta en el mismo sentido que el calor que se transfiere a lo largo de una vara del fuego a una mano. Para ilustrar la existencia de la transferencia de momento, utilicemos

como ejemplo una baraja de naipes. Cuando las cartas están sentadas sobre la mesa y son nuevas, se puede, con un simple movimiento del pulgar, hacer que la carta más alta salga de la baraja. Hay poca interacción entre las cartas y salen volando una por una. Después de unas horas de juego de cartas y, en particular, en una noche cálida y húmeda, si se repite el experimento, se verá que un número de cartas se moverá y la cubierta se desplegará. Sin embargo, todo lo que se ha hecho es empujar la primera carta. ¿Lo que ha sucedido? La carta superior tiene una masa y, dado que se le ha dado una velocidad, tiene impulso. En el primer experimento, poco de este impulso se transfirió a la tarjeta de abajo. Pero en el último experimento, una cantidad considerable del momento se transfirió porque la resistencia de fricción entre las tarjetas causó una. Interacción. En efecto, empujando la carta superior, se ha inducido un impulso en la carta de abajo: la tarjeta tiene una masa y se le ha dado una velocidad. Mirando la tercera carta, lo mismo ha sucedido pero algo menos, y así sucesivamente. Momentum, la velocidad de masa veces, se ha transferido desde la tarjeta de arriba todo el camino por la cubierta. En el caso análogo, como en la Fig. 2.3, el fluido durante el flujo de fluido laminar se puede representar como estando en capas, es decir, láminas. Mover la capa superior transfiere momentum de la capa superior a la siguiente y así sucesivamente. El hecho de que el momento se aplique primero sólo a la parte superior y que posteriormente el momento que aparece a continuación es indicativo de la transferencia de momento. El impulso, la velocidad de los tiempos de masa, se ha transferido de la capa superior a capas que se encuentran más abajo en el fluido. Una manifestación importante de la transferencia de impulso es en el bombeo de fluidos. Como resultado del flujo en tuberías, tubos, conductos o canales, se produce una caída de presión o pérdida cuando el momento se transfiere del fluido a la pared. En el diseño de los sistemas de flujo, esta pérdida de presión determina el tamaño de la bomba o del compresor necesario para mantener el flujo deseado. 2.1.4 Las formas análogas Se han introducido tres ecuaciones análogas (a menudo denominadas relaciones constitutivas): la ley de Fourier para la transferencia de calor, Eq. (2.2), la ley de Fick para la transferencia de masa, la ecuación (2.4), y la ley de Newton para la transferencia del momento, la ecuación (2,5). En cada una de las ecuaciones anteriores, se ha utilizado un signo menos en la proporcionalidad. Esto no era arbitrario, ya que en cada caso el flujo se transportó por el gradiente correspondiente. Por ejemplo, el calor se transfiere de la temperatura más alta a la más baja. En la dirección de nuestra mano al fuego, la temperatura aumenta de manera que el gradiente de temperatura de la mano al fuego es positivo, pero el calor va del fuego a nuestra mano. Por lo tanto, el flujo de calor se transfiere de la temperatura más alta a la más baja y gradiente de temperatura. Lo mismo es cierto para el gradiente de concentración y el flujo molar. La mecánica de fluidos se desarrolló como un sujeto antes que el calor o la transferencia de masa. Momentum transferencia es una forma moderna de mirar a la mecánica de fluidos. Para la transferencia de momento, el momento se transfiere de la región de alta velocidad a la baja y, por tanto, el signo negativo se requiere en la ecuación (2,5). Sin embargo, en días anteriores, antes del concepto de transporte

momentum y la analogía, un signo positivo fue utilizado en la ecuación (2,5). Dado que la transferencia de momento y su dirección no eran motivo de preocupación, no importaba qué signo se utilizara, siempre y cuando el uso fuera consistente. Hoy en día hay algunos libros de texto que no se ocupan de los conceptos de fenómenos de transporte y que aún conservan el uso de un signo positivo en la Ec. (2.5) .- Las tres leyes empíricas [Eqs. (2.2), (2.4) y (2.5)] establecidos por la observación hace muchos años son útiles sólo cuando las propiedades del punto están involucradas. Por lo tanto, cuando las propiedades no pueden considerarse continuas, estas ecuaciones no se aplican. En pocas palabras, las leyes de Fourier, Fick y Newton sólo se aplican a un continuo. Las tres constantes de proporcionalidad en estas ecuaciones son tres propiedades fundamentales. La primera, k, es la conductividad térmica; El segundo, D, es el coeficiente de difusión (la difusividad de masa); Y la tercera, es la viscosidad (también llamada viscosidad molecular o dinámica). La analogía es de origen mucho más reciente. Las tres ecuaciones (Eq. (2.2), (2.4) y (2.5)) son bastante similares. Cada uno implica un término de flujo, una constante de proporcionalidad y un gradiente de algún parámetro medible. Sin embargo, las ecuaciones no están exactamente en sus formas análogas. Una ecuación general de flujo unidimensional es

Donde

es el flujo en la dirección x de lo que va a ser transferido por unidad de

tiempo por unidad de área, es la constante de proporcionalidad, a la que este libro se referirá como difusividad, y finalmente es la derivada (gradiente) de la concentración de la propiedad . La cantidad es la concentración de lo que sea. Que se transfiere en las unidades del artículo a transferir por unidad de volumen. Para aplicar la ecuación (2.7), cada ecuación de transporte debe estar en la forma apropiada. Inspección de las ecuaciones (2.2) y (2.5) demuestra que no es así. Por ejemplo, la temperatura en la Ec. (2.2) está en unidades de grados y no es una cantidad por volumen. Además, como resultado de nuestra selección de coordenadas en la Fig. 2.2, la derivada debe cambiarse a en el caso de momentum. Sin embargo, es una cuestión sencilla convertir las ecuaciones en sus formas matemáticamente análogas. Transferencia de calor. En el caso de la conducción de calor, q está siendo transferido; Sus unidades son julios (o cal o Btu) por unidad de tiempo. El término , que es la concentración de la propiedad, debe tener las unidades de J m-3, lo cual no es consistente con ninguno de los términos de las ecuaciones (2.2) o (2.3). A continuación se ilustra cómo convertir la fuerza motriz de la temperatura ( ) en el calor contenido en el cuerpo (J m-3). En primer lugar, la propiedad que está asociada con el contenido de calor de un cuerpo es la capacidad calorífica Cp, unidades típicas J kg- 'K-1. Por lo tanto, el producto de (CpT) puede tener unidades de J kg- '. Para convertir el término densidad

.

en unidades de J m-3, también debe incluirse la

Unidades:

El término es la concentración de calor y tiene unidades de J m-3. Ahora, la ecuación (2.2) se convierte en su forma análoga multiplicando el lado derecho por la fracción

:

(2.9) Matemáticamente, hubo una suposición adicional en la Ec. (2.9), a saber, que el producto

es constante, para llegar al término

es a menudo representado por térmica, es decir,

. El grupo

(Y (unidades m2 s-1) y se denomina difusividad

Transferencia de masa. En la ley de Fick, la Ec. (2.4), el flujo de transferencia de masa está en unidades de kmol m-2 s-1, y la concentración CA está en unidades de kmol m-3. Por lo tanto, la ecuación ya está en su forma análoga. La constante de proporcionalidad D es el coeficiente de difusión o difusividad de masa en unidades de m2 s-1. Transferencia de impulso. La ecuación de impulso, la ley de Newton, debe ser de una manera similar a la del calor. El lado izquierdo de la Ec. (2.5) está en forma de un fundente. Con el fin de obtener la concentración de momento que se está transfiriendo, la densidad se multiplica por Ux. Las unidades de o N m-3 s. Después de multiplicar la ecuación (2.5) por resultado es

, son kg m-2 s-1 y reordenando, el

La constante de proporcionalidad es la viscosidad molecular. Cuando se divide por la densidad , el resultado se denomina viscosidad cinemática v (o, a veces, difusividad de momento):

En la Ec. (2.11) la densidad .

se ha asumido constante para formar el término

Resumen. Las ecuaciones de transporte unidimensionales están ahora en su forma análoga y se revisan en la Tabla 2.1. Uno debe enfatizar que la Ec. (2.7) es una analogía matemática aplicada a los tres fenómenos de transporte. Las ecuaciones son las mismas desde el punto de vista matemático. Con un conjunto dado de condiciones de contorno, una solución para una es una solución para todos; La única diferencia está en los símbolos que representan los diversos términos. Esta analogía matemática de ninguna manera significa que los mecanismos físicos que ocurren en los tres casos son de ninguna manera los mismos. Los mecanismos son totalmente diferentes. Para el ejemplo de conducción de calor, el calor se conduce desde el fuego hacia nuestra mano a través de mecanismos de transferencia de energía que dependen del material contenido en la varilla. En los metales, la migración rápida de un "gas de electrones" que contiene energía es el mecanismo de transferencia de energía primaria. La transferencia de masa a menudo implica al menos dos materiales, siendo un material transferido por movimiento relativo a través del otro. En este último caso, las moléculas se mueven de un CUADRO 2.1 Las ecuaciones de transporte de una dimensión en sus fajas analógicas

Lugar a otro, mientras que en la transferencia de calor a través de una varilla sólida las moléculas son relativamente estacionarias. La transferencia momentánea implica una combinación de mecanismos que, en su mayor parte, son diferentes de los de los otros transportes. Por lo tanto, enfatizamos nuevamente que nuestra analogía es de naturaleza matemática. Sin embargo, incluso esta analogía matemática no es completamente adecuada. Cada uno de los transportes tiene sus propias complicaciones, y éstas serán discutidas en secciones futuras. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de las leyes básicas de transporte. Ejemplo 2.1. Calcular el flujo de calor en estado estacionario a través de un bloque de cobre de 10 cm de espesor, manteniéndose un lado a 0 ° C y el otro a 100 ° C (véase la figura 2.4). La conductividad térmica se puede suponer constante a 380 W m-1 K-1. Respuesta. La situación física es la dada por la curva de estado estacionario de la Fig. 2.2, y la ecuación de control es Eq. (2.2). El área a través de la cual se transfiere el calor es constante, y sólo hay una dirección de transferencia, la x dirección. En primer lugar, las variables de la ecuación (2.2) se separan:

Esta ecuación puede ser fácilmente integrada si el flujo de calor (q / A) es constante. En el estado estacionario, es obvio que todo el calor (q) que entra en la cara 2 debe salir en la cara 1, si no hay generación interna. Puesto que el área es constante, entonces se sigue que el flujo es constante. En la Sección 4.1.1, se demostrará que (q / A), es constante para esta geometría. Después de la integración, la ecuación (i) se convierte en Las cantidades AT y Ax son

FIGURA 2.4 Transferencia de calor a través de un bloque.

FIGURA 2.5 El problema de la placa móvil

.

Éstos se sustituyen en la ecuación (ii): O en unidades alternas:

La temperatura aumenta de 1 a 2; El signo menos indica que el flujo de calor es opuesto a esto; Es decir, de 2 a 1. Ejemplo 2.2. Dos placas paralelas están separadas 10 cm. La placa inferior está estacionaria. El fluido entre las placas es agua que tiene una viscosidad de 1 centipoise. Calcular el flujo de impulso y la fuerza por unidad de área necesaria para mantener una placa en movimiento a una velocidad de 30 cm. Respuesta. La figura 2.5 ilustra este ejemplo, y la ecuación (2.5):

Se demostrará más adelante que es una constante para este problema. Si es así, las variables de la ecuación (2.5) se pueden separar e integrar, como se muestra en los dos ejemplos anteriores de calor y masa. El resultado es

La cantidad cizallamiento:

para el problema de la placa móvil se denomina velocidad de

Las conversiones de viscosidad se encuentran en la Tabla C.17:

Usando esta información en la ecuación (2.5) da el flujo de momento

:

El signo menos indica que el momento se transfiere en la dirección y negativa (abajo en la figura 2.5); Tenga en cuenta que el esfuerzo cortante (F/A) en la placa superior es el mismo en magnitud que el flujo de momento, pero de signo opuesto. Ejemplo 2.3. Consideremos el aparato de la Fig. 2.5. Si el agua se reemplaza con un fluido de viscosidad de 10 , y si el flujo de impulso permanece en 0.003 N m-2, encuentre la nueva velocidad de la placa superior. Respuesta. La ecuación (i) del ejemplo anterior se resuelve para

:

Por lo tanto, se ve que el aumento de la viscosidad por un factor de 10 reduce la velocidad de la placa por el mismo factor.

2.2 TRANSFERENCIA DE CALOR La transferencia de calor se puede encontrar en todo el proceso industrial. El calor debe eliminarse cuando se genera en compresiones o en reacciones químicas tales como las que se encuentran en reactores de proceso, centrales eléctricas que utilizan combustión química o fuentes nucleares, etc. El calor u otra energía debe proporcionarse en los procesos de purificación ya menudo se necesita en operaciones de transferencia de masa tales como secado y destilación. La conservación del calor en las plantas es importante porque la pérdida de calor es costosa; Por lo tanto, en plantas grandes se encuentra el uso extensivo de intercambiadores de calor, que son piezas de equipo para eliminar el calor de una corriente y transferirlo a una segunda corriente. Un aspecto común a los tres fenómenos de transporte es la naturaleza tridimensional del mundo. Todas las ecuaciones anteriores han sido válidas para la transferencia en una sola dirección. Supongamos que una caravana sostenía un extremo de una varilla de cobre en forma de una "L" ancha en un fuego y la otra en su mano. Nuestra experiencia nos dice que su mano se quemaría. El flujo de calor no viajaría sólo en una dirección de coordenadas, sino que viajaría alrededor de la curva en la barra. La conclusión de este experimento es que el flujo de calor y el gradiente de temperatura también son cantidades de vectores. La ley de Fourier es La ecuación (2.2) es en realidad sólo el componente x de la ecuación tridimensional general. Los otros dos componentes son: y componente: z componente: Estos componentes pueden añadirse como cualquier componente de un vector y dar como resultado O Donde (q/A) es una cantidad vectorial. También i, j y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z, respectivamente, y (del) es un operador que puede operar en cualquier escalar. Utilizando T como ejemplo, el término VT es: En la Ec. (2.15) se ha asumido que la conductividad térmica es la misma en cada dirección, es decir, es isotrópica. Si el material es anisotrópico, una aproximación razonable es Donde kx, ky, kz, son las conductividades térmicas en las tres direcciones. La conducción anisotrópica puede ocurrir en la madera, películas, fibras y ciertos materiales cristalinos. En madera, se observan diferencias si la conducción es con o a través del grano. La solución de ecuaciones diferenciales tales como la Ec. (2.17) es relativamente simple para el caso unidimensional, pero puede ser bastante

complejo para problemas de dos o tres dimensiones. La forma general del vector se puede derivar de una manera similar, pero también puede ser anotada por la inspección y el uso de nuestra analogía; Es decir

Ejemplo 2.4. Comparar las tasas de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco cuando la transferencia es a través del grano y cuando es paralelo al grano. Respuesta. La conductividad térmica de esta muestra se puede encontrar en referencias estándar, tales como Perry's Chemical Engineers 'Handbook [P1]. Para el pino blanco A través del grano: Paralelo al grano: Para un área dada y un gradiente de temperatura, las velocidades relativas de transferencia de calor son dadas por las conductividades térmicas (Ec. 2.17); Así, la madera de pino blanco conduce el calor 2.3 veces más rápido (0.20 / 0.087 = 2.3) paralelo al grano que a través. Tenga en cuenta que no es necesario convertir a unidades SI, como claramente todos los factores de conversión cancelar. Ejemplo 2.5. Una varilla de vidrio de diámetro de 1,3 mm es de 1 m de longitud. Un extremo se mantiene en el punto de ebullición normal del tolueno, 110.6 ° C. El otro extremo está a un bloque de hielo. La conducción térmica a lo largo de la barra está en estado estacionario. El calor de fusión de hielo es de 79.7 cal g-1. La conductividad térmica del vidrio en unidades SI es 0.86 W m-1 K-1(unidades equivalentes son J m-1 s-1 K-1 y J m-2 s-1 (K-1 m). Suponga que no se pierde calor de la superficie expuesta de la varilla. Encontrar: (A) la cantidad de calor transferido en julios por segundo; (B) el número de gramos de hielo que se funde en 30 minutos. Responder. Este problema es un problema de conducción de calor unidimensional, y la Ec. (2.2) se aplica En estado estacionario, (q/A), es constante. Así, la ecuación (ii) del Ejemplo 2.1: z Donde AT es la diferencia de temperatura a lo largo de la varilla y Ax es la longitud total de la trayectoria de conducción. El hielo se derrite a 0 ° C. Ahora las cantidades AT, X y el flujo de calor son

La coordenada + x se ha seleccionado de T1 a T2, es decir, en la dirección del aumento de temperatura. Por lo tanto, el flujo debe ser negativo. El área de la varilla en m2 es

El flujo de calor es el flujo veces área: El calor de fusión del hielo es: Haciendo la ecuación de la unidad apropiada, el hielo derretido en gramos por 30 minutos equivale a q veces 60 segundos por minuto multiplicado por 30 minutos dividido por el calor de fusión:

2.3 TRANSFERENCIA DE MASA Al igual que la transferencia de calor, la transferencia de masa también se describe mediante una ecuación vectorial en tres dimensiones. La ley de Fick se convierte en

Donde: En la ecuación (2.19) se ha supuesto que el coeficiente de difusión D no varía en ninguna de las tres direcciones de coordenadas. La ecuación (2.19) se obtiene por analogía de la ecuación (2.15) o de la Ec. (2.18). Sin embargo, incluso en una dimensión, el análisis de transferencia de masa tiene una complejidad adicional que no existe para la correspondiente caja de transferencia de calor. Volvamos a nuestro ejemplo, los dos frascos de nitrógeno y oxígeno en los que está ocurriendo la difusión de dos componentes. Cada vez que una molécula particular de esta mezcla se difunde, debe difundirse a través de otras moléculas; Por consiguiente, en casi todos los ejemplos prácticos hay al menos dos componentes presentes y posiblemente más. En muchas operaciones de ingeniería química, la separación de moléculas es primordial, y la transferencia de masa es el proceso que efectúa la separación. La transferencia de masa en equipos industriales ocurre a menudo entre dos corrientes, una de las cuales está siendo enriquecida por transferencia de masa a expensas de la segunda. Por ejemplo, en la destilación el vapor ascendente entra en contacto con el líquido descendente con los componentes más volátiles que se transfieren del líquido al gas, lo que da como resultado un producto de cabeza enriquecido de los materiales más volátiles. La producción de brandy es un sabroso ejemplo. Tales operaciones

de transferencia de masa suelen clasificarse como de estado inestable o en estado estacionario y discontinua o continua. El secado es una operación discontinua en estado discontinuo. La evaporación del agua en una torre de enfriamiento es una operación continua en estado estacionario. El lavado sucesivo de un sólido que contiene una sal soluble por agua es una operación discontinua. El sistema de destilación descrito anteriormente se hace a menudo como una operación continua, pero también se puede hacer por lotes. Una columna de absorción de gas es otra operación de contacto continuo en la que el gas sube como burbujas a través de un líquido descendente. Las ecuaciones (2.4) y (2.19) son para la difusión del componente A. Llamemos el segundo componente B, y digamos que A se difunde a través de una mezcla de A más B. Hay dos posibilidades para B: B puede Difusa o no. El caso de la no difusión B se denomina "difusión a través de una película estancada de B" (véase la Sección 53.3). Si B se difunde, entonces debe haber otra ecuación para la difusión del componente B; Es decir, para la dirección x:

Para el caso tridimensional:

Las ecuaciones (2.4), (2.19), (2.21) y (2.22) contienen el coeficiente de difusión D, lo que implica que D es idéntica en todas estas ecuaciones. Esta suposición es verdadera solamente para un sistema de dos gases ideales. La aproximación es a menudo razonable para los gases reales; Sin embargo, para los líquidos, el coeficiente de difusión en la Ec. (2.19) no es igual al coeficiente de difusión en la ecuación (2,22). Si el sistema es binario, las Ecs. (2.4), (2.19), (2.21) y (2.22) en forma más general requieren que la cantidad D sea reemplazada por DAB (el coeficiente de difusión del componente 'A difundido a través de una mezcla de A más B) o con DBA (el coeficiente de difusión del componente B que se difunde a través de A + B). Cuando sea importante distinguir entre DAB y DBA, se usarán los subíndices apropiados. La difusión con tres o más componentes es extremadamente compleja, y será discutida brevemente en la Sección 5.3.7. La difusión puede ocurrir en sólidos, líquidos o gases. En esta sección, el caso de

FIGURA. 2.6 Contra-difusión equimolar unidimensional y bicomponente. Se considerará la difusión binaria entre dos gases ideales bajo condiciones de temperatura y presión constantes. En el capítulo 5 se ofrece un tratamiento más general. Notación. La figura 2.6 representa un caso típico de dilusión de estado estacionario entre los puntos 1 y 2 bajo condiciones de temperatura y presión constantes. Que ambas especies A y B sean gases ideales. Un problema típico de interés para los ingenieros es calcular la velocidad de movimiento de los gases A y B a través del aparato de la Fig. 2.6. Puesto que el aparato está fijado en el espacio, las velocidades de movimiento de A y B deben determinarse con respecto a coordenadas fijas, no relativas a la velocidad de volumen, como en el término . Sea NA los moles de A que pasan por una localización arbitraria x en la Fig. 2,6; Sean y sean los moles de NB que pasan por el mismo lugar. Las cantidades NA y NB se denominan caudales molares, unidades típicas (kmol s-1); Estos son vectores también. A menudo, es conveniente definir un flujo molar , que es el flujo de A con respecto a las coordenadas fijas. En todos los problemas de este capítulo, el flujo es igual al flujo . Contra-difusión equimolar. La figura 2.6 muestra dos gases que se difunden bajo condiciones de temperatura y presión constantes. Dado que ambos gases están en la misma presión, se deduce de la ley de los gases ideales que como un malecule del gas A atraviesa de izquierda a derecha en la Fig. 2.6 que la molécula debe ser substituida por una molécula de B para mantener una presión constante. Puesto que en cualquier ubicación arbitraria x el número de moléculas es siempre constante, no puede haber flujo de volumen. Dicha difusión se denomina "difusión comparativa equimolar". Entonces para la contra-difusión equimolar:

El signo menos de la ecuación (2.23) es necesario porque B difunde en la dirección x negativo. Puesto que el área de difusión en el aparato de la Fig. 2.6 es constante, entonces los flujos de A y B son iguales en magnitud y opuestos en signo: Puesto que no hay flujo de volumen en la Fig. 2.6 bajo condiciones de presión y temperatura constantes, el flujo con respecto a coordenadas estacionarias es igual al flujo con respecto a la velocidad de volumen:

En conclusión, la ley de Fick se aplica directamente al ejemplo de la Fig. 2.6 si se aplican las tres restricciones mencionadas anteriormente. Obsérvese que el gas A se suministra en la cara 1 a la misma velocidad que se está difundiendo y eliminando en la cara 2. Igualmente, el gas B se difunde de la misma manera pero en la dirección x negativa (de ahí el término contador). Como muchos lunares se están poniendo en como se están sacando; La concentración total C-r permanece constante ya que la presión se mantiene constante en el sistema: Cuando Eq. (2.27) se diferencia con respecto a x, el resultado es O Combinando Eqs. (2.24) a (2.29) resulta en La ecuación (2.30) está restringida a la difusión binaria de gases ideales a temperatura y presión constantes. Flujo de masa. Un flujo de masa se define simplemente como la masa por área por tiempo. Es una práctica común definir dos nuevos flujos similares a los flujos molares ya introducidos

: Donde MA es el peso molecular. El flujo es el flujo de masa de A con respecto a un plano sin velocidad de volumen neto; Las unidades típicas son (kg m2 s-1). El flujo es el flujo másico con respecto a coordenadas fijas en las mismas unidades; Entonces el caudal másico es nA; Unidades son (kg s-1). La fuerza motriz correspondiente para la transferencia de masa es la concentración de masa de A. La concentración de masa es las unidades típicas (kg m-3). La densidad y la concentración están relacionadas

Cuando las ecuaciones (2.31) y (2.33) se sustituyen en la ley de Fick, el resultado es

Donde el coeficiente de difusión D en la ecuación (2.34) es idéntica a la de las ecuaciones anteriores. La ecuación (2.34) es otra expresión de la ley de Fick. Ambas ecuaciones. (2.4) y (2.34) se limitan a la temperatura constante, a la presión constante y al flujo de volumen neto. La ecuación (2.34) se ve en la forma análoga de la ecuación (2.18), con

¡Presión parcial! Bajo muchas condiciones, la ley del gas ideal es una suposición razonable Usando la ecuación (1.l), la concentración puede expresarse como

Donde es la presión parcial de A: En la Ec. (2.38), yA es la fracción molar de A en la fase gaseosa y ptotal, (o p) es la presión total. Cuando Eq. (2.37) se combina con la ecuación (2.19), se obtiene

Donde el flujo es ahora en términos de la presión parcial de A. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de la ley de Fick a un problema en la difusión molecular y el uso de las ecuaciones. (2,37) a (2,39). Ejemplo 2.6. Dos corrientes de gas, CO y aire, fluyen en la misma dirección en un canal. El canal se divide en volúmenes iguales por una pieza de hierro de 4 cm de espesor (véase la figura 2.7). En el plano A-A, hay un agujero de 1.2 cm de diámetro perforado en el hierro de modo que el CO, difunde de izquierda a derecha y aire de derecha a izquierda. En el plano

FIGURA 2.7 Cómo sistema de difusión. A-A, ambos gases están a una presión de 2 atm y una temperatura de 20 ° C. Aguas arriba del agujero ambos gases son puros. En las condiciones dadas, la concentración de CO2 es igual a 0,083 kmol m-3, es decir, la concentración de CO2, a la izquierda en el punto A. En el lado derecho del agujero, se puede suponer que la concentración de CO en el aire Ser cero porque el aire está fluyendo rápidamente más allá del agujero. El coeficiente de infiltración de CO2 en el aire es de 1,56 x 103 m-2 s-1. (A) Encuentre el flujo molar de CO. (B) Encuentre el número de libras de CO, que pasan por el agujero de la plancha en una hora. Respuesta. El CO, difunde a través del agujero en el hierro en el estado estacionario si los caudales de CO, y el aire son constantes. Puesto que ambos gases están a la misma temperatura y presión, la Ec. (2.25): La concentración de CO, en el extremo de aire del agujero es cero (C = 0) como se indica en la declaración del problema. Las características del agujero son

En el estado estacionario, el flujo molar , debe ser constante en el agujero en toda su longitud porque todo el CO2 que entra de la izquierda sale en la corriente de aire. Por lo tanto, la ecuación (2.25) se reajusta a

Donde es constante y DAB ha sido reemplazado por D. Integrando la ecuación ii) a partir de los rendimientos del punto 1 (CO puro) al punto 2 (longitud 0,04 m)

Dado que D = 1,56 x 10-3 m2 s-1, el flujo molar con respecto a coordenadas estacionarias (es decir, el parámetro) es

Para la parte (b), el flujo de masa expresado en términos del flujo molar

es

Donde MA es el peso molecular de CO2, 44,01 kgmol-1. El flujo masico es el flujo de masa veces el área:

El flujo masico es positivo porque el CO2 fluye de derecha a izquierda. Ejemplo 2.7. Aire y el dióxido de carbono se mezclan juntos en un tubo simple de "T". El aire a una presión de 3 atm y 30 ° C entra en un extremo de la "T" a un caudal de 2 kmol min-1. El dióxido de carbono a una presión de 3 atm y 30°C entra en el otro extremo del "T" a un caudal de 4 kmol min-1. Las dos corrientes de gas salen desde el centro de la "T", todavía a 3 atm y 30° C. (A) Calcular la concentración de CO2 entrando en kg m-3. (B) Calcular la concentración de N2 entrando en la corriente de aire en lb mol ft-3. (C) Calcular la concentración de CO, saliendo en mol cm-3. (D) Calcular la concentración de O2 que sale en kmol m-3. Respuesta. El peso molecular de CO2 es 44,01. La temperatura es

Para los gases, la concentración puede tener unidades de moles por volumen, n / V. De la ley del gas ideal

Donde es la presión parcial del componente A, Eq. (2,38). Para un gas puro, tal como el CO2 que entra, es uno y es igual a ptotal, 3 atm. Parte (a). De la Tabla C.1, el valor de la constante de gas es 8.2057 x 10-2 atm m3 kmol-1K-1. Usando la ecuación (2.37), se calcula la concentración:

Que es equivalente a (0,121) (44,01) o 5,31 kg m-3. Obsérvese que la concentración es independiente del caudal del material puro. Parte (b). El aire es 79 por ciento en moles de nitrógeno y 21 por ciento en moles de oxígeno. Por lo tanto, la fracción molar de nitrógeno es 0,79 y de la Ec. (2,37):

A partir de la Tabla C.1, la constante de gas es 0.7302 atm ft3 lb mol-1 °R-1. La temperatura debe estar en °R:

De la ecuación (2,37): Parte c). Se debe calcular la composición de la corriente de salida. La base apropiada es un minuto. En un minuto, 2 kmol de aire entran en el tee y se mezclan con 4 kmol de CO. Por lo tanto, el total es de 6 kmol, y

Las fracciones molares (y) en la fase de vapor son:

Como cheque, estos suman a 1.000; La suma de las fracciones molares en cualquier fase siempre suma a la unidad. El cálculo procede ahora como en la parte (b):

Parte (d). Se encontró que la fracción molar de 0, en la corriente de salida era de 0,07 en la parte (c). El cálculo procede como en la parte (b):

Ejemplo 2.8. Un tanque que contiene 15 moles por ciento de CO, en el aire está conectado a un segundo tanque que contiene sólo aire. La línea de conexión es de 5 cm de diámetro y 30 cm de largo, como se muestra en la Fig. 2.8. Ambos tanques están a una presión de 1 atm ya 98,15 K. El volumen de cada tanque es muy grande comparado con el volumen de gas en la línea de conexión de 30-cm de modo que los cambios de concentración en cada tanque son insignificantes por un tiempo muy largo después del comienzo Del experimento. El coeficiente de difusión de CO, en el aire a 1 atm y 25 ° C es de 0.164 x 10-4 m2 s-1. Calcular la velocidad inicial de transferencia de masa del CO. ¿Se transfiere el aire? Respuesta. Suponga que ambos gases son ideales. La transferencia difusional es la contra-difusión equimolar, y la ec. (2.25):

Las ecuaciones (2.25) y (2.39) se pueden combinar como sigue:

Donde

es el flujo con respecto al aparato de la Fig. 2.8.

La tasa inicial es que bajo las condiciones dadas en la declaración del problema anterior. Después de la difusión ha progresado, la tasa disminuirá a medida que la concentración en los dos tanques ecualiza. Para el caso considerado:

La ecuación (i) se resuelve para el caudal molar, y los valores anteriores se sustituyen:

El signo más indica que la difusión es de 1 a 2 (a la derecha) en la Fig. 2.8. Para que la presión se mantenga a 1 atm, debe producirse una difusión de aire en dirección opuesta e igual a 6,57 x 10-10 kmol s-1 2.4 TRANSFERENCIA DE IMPULSO Transferencia de impulso o dinámica de fluidos es una parte de casi todos los procesos en la industria química. A menudo, el calor y la transferencia del culo ocurren en asociación con los flujos que se mueven, y por lo tanto "es necesario tener cierta comprensión del Fluido antes de que uno pueda realmente entender las otras operaciones superpuestas. Ejemplos de problemas típicos de la dinámica de fluidos son la caida de presión en los sistemas para determinar los requisitos de bombeo, las mediciones y el control del caudal, el flujo sobre cuerpos sumergidos ya través de medios porosos, los movimientos de partículas sólidas en fluidos (por ejemplo, humo) Transferencia de masa entre corrientes fluidas, y los movimientos de gotas y burbujas. La temperatura y la masa son cantidades escalares. Los gradientes de estos (VT o ) y los términos de flujo ( ) son vectores. En marcado contraste, la velocidad misma es un vector, y el gradiente de este ( ) es un tensor de segundo orden.6 Correspondientemente, el flujo de momento o tensión de cizallamiento es también un tensor de segundo orden. En lugar de una simple ecuación vectorial como en las ecuaciones (2.15) o (2.19), la ecuación de momento en tres dimensiones es una relación de tensor, que para un fluido incompresible es

La ecuación (2.40) muestra que el tensor de tensión es una función del tensor de velocidad de corte VU y su transposición (VU)’. Discusión adicional de la Ec. (2.40) se puede encontrar en otra parte [B2, B3]. Debido a esta complejidad extrema, detengamos más tiempo en esta naturaleza tensorial de la ecuación de transferencia de momento. La velocidad, que es una cantidad vectorial, tiene tres componentes. Cualquiera de estos componentes puede variar en tres direcciones. Consecuentemente, hay tres componentes tomados de tres maneras, o nueve términos posibles. En la forma de una matriz, estos términos son

La ecuación (2.41) está, por supuesto, en la forma más general; En la mayoría de los problemas, muchos de los componentes serán idénticamente cero. El tensor de transposición (VU)' es simplemente Eq. (2.41) con las filas y columnas intercambiadas:

Ya que la ecuación (2.40) debe ser homogénea, el lado izquierdo también debe ser un tensor de segundo orden, es decir,

Cada fila del tensor tiene tres términos. En la primera fila de la Ec. (2.43) existe una tensión normal , y dos tensiones tangenciales, y . Las tres tensiones normales en la Ec. (2.43) (los elementos diagonales) actúan en las direcciones x, y y z, y cada una es la 'fuerza por unidad de área en un plano perpendicular a la dirección en la que actúa. Como ya se ha indicado, la ecuación (2.40) es una representación taquigráfica para nueve ecuaciones. Varios de estos son

Para el problema unidimensional de q. (2.5), Ux varía sólo en la dirección y, y tanto Uy como Uz, son cero. Por lo tanto, la mayoría de los derivados en VU son cero :

De las nueve ecuaciones representadas en taquigrafía por la Ec. (2.40) sólo quedan dos ecuaciones, Eqs. (2,45) y (2,46), ambos idénticos a la ecuación (2.5) dado que es cero y es igual a . Por lo tanto, para el problema unidimensional en el que la ecuación (2.5) es válido, sólo hay dos términos de tensión de corte diferentes de cero, que son y . La interpretación física de se complica por el hecho de que se utiliza comúnmente tanto como flujo de momento como como tensión de cizalla (F / A). Por lo tanto, t en la ecuación (2.43) se denomina comúnmente tensor de tensión. La figura 2.9 considera las tensiones cortantes

,

y

, en un punto en el espacio,

Fig. 2.9 (a). La figura 2.9 (b) muestra un experimento típico que podría generar , es decir, una placa plana que se mueve con velocidad Uplato, en la dirección y. Esta placa provoca un gradiente de velocidad de modo que Uy, en el fluido es una función de x. Hay un flujo de impulso que actúa en la dirección x en el plano yz, mostrado como sombreado en la Fig. 2.9 (a). La tensión de cizalla, por otra parte, está en la dirección y como resultado de una

Fuerza F (no mostrada) en la dirección y que se necesita para tirar de la placa con velocidad Uplato. Se admite que se está desconectando cuando se usa el mismo símbolo para denotar el flujo de momento y la tensión de cizallamiento, especialmente cuando son iguales en magnitud pero en direcciones diferentes. La figura 2.10 muestra el flujo de momento y la tensión de cizallamiento para una placa plana que se mueve en la dirección x. El flujo de momentum actúa sobre

el plano xy, representado como sombreado en la Fig. 2.10 (a). El esfuerzo cortante actúa en la dirección x. Obsérvese que los términos, , y actúan todos en la misma dirección x y son coincidentes. También son el flujo de x momento en las tres direcciones x, y, y z.

La simetría del tensor de tensión (es decir, etc.) se puede demostrar tomando los momentos de las fuerzas por unidad de área sobre un pequeño elemento de volumen (dx dy dz) centrado en el origen. En tal derivación [Cl], sólo se deben considerar tensiones de cizallamiento ya que la presión y los efectos gravitacionales actúan a través del centro de masa y, en consecuencia, no tienen momento. Si el sistema está en equilibrio o en reposo, todas las tensiones de cizalla son cero porque no hay gradientes de velocidad [por la Ec. (2,40)]. Ejemplo 2.9. El tolueno está contenido entre dos placas idénticas y paralelas cada una de superficie 5.0m2. La placa superior se tira en la dirección x negativa por una fuerza de 0,083 N a una velocidad de 0,3 ms -1. La placa inferior es empujada en la dirección opuesta por una fuerza de 0,027 N a una velocidad de 0,1 ms -1, como se muestra en la Fig. 2.11. Las placas tienen una separación de 10 mm. Calcular la viscosidad del tolueno en centipoise. Respuesta. Puesto que las placas son paralelas, el flujo es unidimensional, y la Ec. (2.5) se aplica Puesto que para este problema F, A y se integra a

son todas constantes, la ecuación (2.5)

Por lo tanto, el gradiente de velocidad es La fuerza de corte es la fuerza dividida por el área. Lógicamente, si la placa inferior estuviera estacionaria, entonces la fuerza sería 0,083 N. Si la fuerza en la placa inferior estuviera en la misma dirección que la fuerza en la placa superior, se deduce que la fuerza disponible en el término de esfuerzo cortante sería disminuido. De hecho, si la fuerza sobre la placa inferior era igual en magnitud y dirección a la fuerza sobre la placa superior, ambas placas se moverían en la misma dirección y con la misma velocidad. El fluido entre, en estado estacionario, no se movería con respecto a las placas y la tensión de cizallamiento en el fluido sería cero. Para el problema de la Fig. 2.11 la fuerza sobre la placa inferior actúa en la dirección opuesta a la fuerza en la placa superior y

por lo tanto, aumenta el esfuerzo cortante en el fluido. Por lo tanto, el flujo momentum es Obsérvese que es fácil confundir el signo cuando el problema se da en términos de las fuerzas sobre las placas planas. Tal vez es mejor referirse a la Ec. (2,5). En este problema, ya que es negativo, entonces debe ser positivo. La ecuación (2.5) se puede resolver para la viscosidad

Puesto que un newton (N) es de un kg m s-2, la viscosidad en cP es Ejemplo 2.10. Un fluido incompresible fluye entre dos placas grandes en la dirección x en estado estacionario. La placa inferior es plana. La placa superior se divide en dos placas planas mediante una placa reductora colocada en ángulo con respecto a la placa inferior. El fluido fluye en un canal de 2 cm de ancho en la

entrada, luego en la sección reductora y en un canal de 1 cm de ancho (véase la figura 2.12). El flujo es laminar en todo el canal. En el reductor, ¿cuál de las nueve componentes del tensor de velocidad VU y del tensor de tensión no son cero? Responder. Puesto que ambas placas son grandes y el flujo está solamente en las direcciones x e y, la velocidad en la dirección z (perpendicular al plano del papel de la figura 2.12) será cero, al igual que todas las derivadas de Uz:

En el reductor el fluido incompresible debe acelerarse porque el área se está reduciendo mientras que la masa que entra en el reductor es igual a la masa que sale. Puesto que el fluido está acelerando en la dirección x:

La velocidad Ux es una función de y en todas partes entre las placas (cero en ambos

paredes, finitas y variables entre ellas): Además, el fluido debe fluir en la dirección y negativa, así como en la dirección positiva n, con el fin de apretar en el canal de 1 cm de ancho. La velocidad Uy variará tanto en la dirección x como en la dirección y: Puesto que las placas son grandes, no hay variación de ninguna velocidad con la dirección z, por lo tanto

En conclusión, para el flujo bidimensional en el reductor, hay cuatro derivados distintos de cero en

Para encontrar los términos de tensión de corte no nulo, cada tensión de cizalladura se escribe en términos de la derivada de velocidad, como se hace en la ecuación (2,44) a (2,46). Las tensiones normales son

Las otras seis tensiones de cizallamiento son para la dirección x:

Para la dirección y:

Para la dirección z:

Por lo tanto, hay cuatro términos de tensión de corte no nulo en el reductor, es decir, y . Obsérvese la simetría del tensor de tensión: El tensor de tensión es siempre simétrico en condiciones normales. 2.5 CALOR, MASA Y MOMENTO DIFUSIBILIDADES En las secciones anteriores se ha desarrollado una analogía matemática entre los transportes moleculares. La analogía es matemática en el sentido de que la ecuación (2.9) para la transferencia de calor, la ecuación (2.4) para la transferencia de masa, y la ecuación (2.11) para transferencia de momento (flujo de fluido) tienen la misma forma. Por lo tanto, estas tres ecuaciones diferenciales tienen soluciones similares para un conjunto idéntico de condiciones de contorno. Los mecanismos para la transferencia molecular no son obviamente los mismos: la difusión molecular ocurre comúnmente en mezclas multicomponentes con un gradiente de concentración como fuerza impulsora; La transferencia de momento se produce perpendicularmente a la dirección del flujo (la dirección de la caída de presión, es decir, la fuerza motriz que causa el flujo); La transferencia de calor por transporte molecular (conducción) en sólidos no implica flujo o movimiento relativo de las moléculas en absoluto. La ley de Fourier, Ec. (2.2), la ley de Fick, la Ec. (2: 4) y la ley de Newton, la Ec. (2.5) son todas empíricas. Las constantes respectivas en estas tres ecuaciones tienen unidades diferentes: (1) Conductividad térmica, k: unidades de W m-1 K-1 (2) coeficiente de difusión, D: unidades de m2 s-1 (3) Viscosidad,: unidades de kg m-1 s-1

Al desarrollar las ecuaciones análogas, estas tres constantes empíricas se modificaron (véase el Cuadro 2.1) para equiparar el flujo

con el gradiente de

concentración,

Donde es la difusividad general que puede ser la difusividad térmica para la transferencia de calor ( ), el coeficiente de difusión (difusividad de masa) para la transferencia de masa (D) o la viscosidad cinemática En esta forma, la constante de proporcionalidad ( , D o v), tiene las mismas unidades (m s-1). Las constantes empíricas (k, D y ) son constantes materiales que varían ampliamente de material a material. Además, estas tres constantes varían con los cambios en la temperatura, la presión, y en el caso de la concentración D. Generalmente, es necesario encontrar las propiedades individuales (k, , cp y ) para calcular las difusividades. Las tabulaciones y / o correlaciones de difusividad térmica (Y y difusividad de momento (viscosidad cinemática) v son raramente disponibles directamente, que normalmente se calculan a partir de k, p, cp y k, , cp y  determinadas experimentalmente para una variedad de sistemas Se dispone de tabulaciones más completas [P1, R1] Los métodos para predecir las propiedades de transporte se discuten en el Capítulo 14. 2.5.1 Conductividad térmica Dos propiedades de los materiales que son importantes en la transferencia de calor son la conductividad térmica y la difusividad térmica. La conductividad térmica se ha definido en la Ec. (2.2) y su uso ilustrado en los Ejemplos 2.1, 2.4 y 2.5. Algunos valores típicos de la conductividad térmica se dan en la Tabla 2.2. Como con las otras propiedades de transporte, la conductividad térmica de los gases

puede predecirse con mayor precisión que la conductividad térmica de líquidos o sólidos. En los gases la energía es transportada por las moléculas mismas, y nuestra capacidad de describir estadísticamente el movimiento molecular en los gases es buena. En líquidos y sólidos otros mecanismos están operativos. Puesto que la transferencia de calor por conducción se efectúa por transferencia de energía a través de colisiones moleculares, se deduce que la conductividad térmica en líquidos y sólidos es mucho mayor que en gases. Por ejemplo, en la Tabla 2.2 para el vapor de agua a 0 °C, k es igual a 0,0228 W m-1 K-1, mientras que para el agua líquida en O'C, k es igual a 0,561 W m-1 K-1, que es un factor de 24.6.

2.5.2 Coeficiente Diario El coeficiente de difusión, tal como se define en Ec. (2.4), es en un sentido el más simple de las difusividades en que otras propiedades no están involucradas; Sin embargo, es el más difícil de medir y correlacionar. La complejidad surge del hecho de que, según la ley de Fick, el coeficiente de difusión D debe medirse en un experimento en el que no hay velocidad neta de volumen. Además, la difusión el coeficiente es pequeño en magnitud; Por lo tanto, los errores experimentales se magnifican en relación con el valor real de D. Algunos valores típicos se dan en la Tabla 2.2. Otras tabulaciones están disponibles [G1, P1, R1]. En general, el coeficiente de difusión de las mezclas binarias aumenta con la temperatura, pero no linealmente, y disminuye con la presión. La difusión en los sistemas de gas depende

de las moléculas de gas que se mueven de un punto a otro. Puesto que a temperaturas más altas las moléculas tienen una energía cinética más alta, se mueven más y más rápido; Por consiguiente, el coeficiente de difusión aumenta con la temperatura como se acaba de indicar. Cuando aumenta la presión, hay más moléculas en el sistema y las colisiones entre moléculas aumentan; Por lo tanto, el movimiento molecular es retardado, y la difusividad disminuye con la presión. Del mismo modo, existen grandes diferencias entre las difusividades de los gases y las de los líquidos y sólidos, como se observa en la Tabla 2.2. Además, la diferencia entre los coeficientes de difusividad en sólidos es de 26 órdenes de magnitud! En el silicio, el cobre se difunde a una velocidad 9 veces más rápida que el germanio a 1200 ° C [Sl]. Hay una serie de ecuaciones disponibles para estimar el coeficiente de difusión de los gases [P1, R1]. Éstos se tratarán en el capítulo 14, junto con una discusión sobre los coeficientes de difusión en líquidos y sólidos. Para los gases, la dependencia de presión y temperatura puede expresarse como:

Donde Do es conocido en To y po, y el exponente n varía entre 1,75 y 2,0 en un rango de temperaturas y presiones normales. Por lo general, el valor de n está más cerca del valor 1,75 que de la cifra más alta. Siempre que la presión sea inferior a aproximadamente 5 atm, no hay dependencia de la concentración del coeficiente de difusión. Los detalles están en otra parte (M1). Ejemplo 2.11. Prediga el coeficiente de difusión del vapor de agua en el aire a 2 atm y 75 ° C, si el coeficiente de difusión es 0,219 x 10-4 m2 s-1 a 1 atm y 0 ° C. Supongamos que n es 1,75. Respuesta. El valor de n para ser usado en la Ec. (2,50) es 1,75. Entonces Do = 0,219 x 10-4 m2 s-1 (To = 273,15 K, p0 = 1,0 atm.)

2.5.3 Viscosidad La mayoría de los materiales puros (de un solo componente) obedecen a la ley de viscosidad de Newton en condiciones comúnmente encontradas en problemas prácticos: La Tabla 2.2 contiene algunos valores típicos de viscosidad. Las extensas tablas y tablas están disponibles en varios manuales [G2, L1, P1]. En el capítulo 14 revisamos la teoría de la viscosidad y discutimos métodos de predicción. En general, la viscosidad de los gases aumenta con la temperatura a bajas presiones, mientras

que la de los líquidos generalmente disminuye. La razón de la diferencia en la dependencia de la temperatura radica en las diferencias en los mecanismos por los cuales se transfiere el momento. Para los gases a bajas presiones, se puede demostrar que la variación esperada con la temperatura es la raíz cuadrada de la temperatura en unidades absolutas, si las moléculas son esferas rígidas. En realidad, la dependencia observada es de aproximadamente 0,6 de potencia de temperatura a la primera potencia de temperatura. La viscosidad de los gases es independiente de la presión en la región de baja presión hasta diez veces la presión atmosférica. Por supuesto, la viscosidad cinemática de los gases es bastante dependiente tanto de la temperatura como del cambio de presión a través del efecto de estos sobre la densidad del gas. Para los líquidos, las teorías están mucho menos desarrolladas. Sin embargo, una observación empírica aproximada para la dependencia de la temperatura de los líquidos es

Donde A y B son constantes empíricas en esta ecuación. La ecuación (2.52) se puede utilizar con datos de viscosidad (mínimo dos puntos) para la interpolación o la extrapolación modesta. Debido a la incompresibilidad de los líquidos, 'sus viscosidades son relativamente independientes de la presión. Hay una clase importante de materiales que no obedecen la ley de Newton cuando la velocidad de cizallamiento es variada en un experimento. Estos fluidos se llaman no newtonianos. Hay muchos materiales no newtonianos que se encuentran en el procesamiento químico. Ejemplos comunes incluyen aceites de motor multigrado, grasas, elastómeros, muchas emulsiones, lodos de perforación de pozos de petróleo, suspensiones de arcilla, mezclas de hormigón, pasta de dientes, batidos y otros productos alimenticios, y algunos medicamentos. Si el material tiene un peso molecular muy alto (del orden de miles), al igual que las masas fundidas de polímero, dicho material también será no newtoniano. Los materiales no-Newtonianos serán discutidos detalladamente en el Capítulo 15. Ejemplo 2.12. Estimación de la viscosidad del aire y del agua a 53 ° C. . Para el aire (un gas), una solución simple es trazar los datos como se indica en la Tabla 2.2, y leer el valor a 53 ° C (326,15 K). Se espera que la viscosidad de los gases siga esta ecuación aproximada: O después de tomar logaritmos Por lo tanto, los datos se deben trazar en papel cuadriculado log-log o como In frente a lnT. Otra solución es usar Ec.(ii) interpolar entre los valores de la Tabla 2.2. Para el aire a 40 °C (313,15 K) y 74 °C (347,15 K), la sustitución en Eq: (ii) produce dos ecuaciones en dos incógnitas (A y B):

Resolver estos rendimientos simultáneos

A 326,15 K desde Ec(i)

Para el agua, la ecuación (2.52). Un cálculo similar utilizando datos del Apéndice A.1 a 325 K y 330 K Así, a partir de la Ec. (2,52):

Estos pueden ser comparados con valores manuales de 0.01% y 0.523cP respectivamente a 53 ° C 2.6 COMPARACIÓN DE LA TRANSPORTES Al comienzo de este capítulo se desarrolló un conjunto de ecuaciones análogas para la transferencia de calor, masa y movimiento. Estas ecuaciones, basadas en las leyes de Fourier, Fick y Newton, se aplican sólo en un continuo, es decir, en aplicaciones donde todas las propiedades son continuas. Se hizo hincapié en que se trataba de una analogía matemática y que los procesos físicos fundamentales de las transferencias eran muy diferentes. En las tres secciones anteriores, la analogía matemática ha sido demolida en el sentido de que las ecuaciones no son en absoluto idénticas. En su forma más complicada, la transferencia de calor se describe mediante una ecuación vectorial como es la transferencia de masa. Sin embargo, la transferencia de masa implica al menos dos ecuaciones, ya que debe haber ecuaciones para cada una de las especies presentes. Finalmente, se ha demostrado que la transferencia de momentum se describe mediante una ecuación de tensor de segundo orden y, en el caso más general, hay nueve ecuaciones de componentes. Sin embargo, cualquier componente dado de estas ecuaciones es de la misma forma matemática que las de la transferencia de masa y calor. Volvamos al caso de la ditTusion entre frascos [ver Fig. 2.1 (6)] y tratar de imaginar nuestra analogía en términos físicos. Además, limitemos nuestra visión a un gas muy diluido. Para la transferencia de masa, para mover una molécula de un matraz a otro a través del tubo de conexión, esa molécula debe moverse físicamente. Para una molécula de este tipo, el movimiento se muestra por la línea de puntos en la Fig. 2.13. Si la molécula golpea otra molécula o la

Pared del contenedor durante su traslado, no puede llegar al otro lado; Esta situación se indica mediante la línea de trazos. En este experimento de gas diluido en bruto, una molécula tiene una trayectoria difícil y tortuosa para ser transferida de un lado del recipiente al otro. Este proceso de difusión por colisiones moleculares aleatorias se denomina un proceso de "caminata aleatoria", y se puede observar en el movimiento browniano en suspensiones [Bl]. El proceso de difusión masiva puede ser contrastado con la transferencia de energía de la molécula como se indica en la Fig. 2.14. Como en el caso de la transferencia de masa, cada vez que se mueve una molécula, su temperatura se transfiere con ella. Sin embargo, existe otro mecanismo que contribuye aún más a la transferencia de calor. Este mecanismo es análogo a la transferencia de energía encontrada en la piscina de juego, y se muestra por la línea discontinua en la Fig. 2.14. Existen mecanismos de migración y colisión para la transferencia de energía o temperatura. Así, en sistemas relativamente densos, la difusividad térmica es mayor que la difusividad en masa. Lo mismo es cierto para el caso de transferencia de momento para el cual todavía hay otros mecanismos como resultado de su naturaleza tensorial. Para proporcionar una comparación simple, se comparan las

propiedades de transporte para agua líquida a 0 ° C:

Es afortunado que, desde un punto de vista experimental, los diversos mecanismos se describen por la misma ecuación. La ecuación (2.53) muestra que las diferentes difusividades, de masa, de momento y de calor, no son iguales. Si sólo un mecanismo hubiera estado controlando los tres fenómenos, entonces estas difusividades serían iguales. Finalmente, todos los problemas con una solución numérica en este capítulo pueden ser resueltos solamente porque el flujo es constante y debido a una de las leyes fundamentales discutidas. En los capítulos siguientes se presentarán problemas más complejos.

PROBLEMAS 2.1. ¿Qué se entiende por analogía entre transferencia de masa, transferencia de momento y transferencia de calor? 2.2. Escribir las tres ecuaciones de transporte molecular y discutir el significado de, y las unidades de cada término en las ecuaciones. 2,3. La relación entre la difusividad de momento y la difusividad de calor y la relación entre la dilusividad de momento y la difusividad de masa forman dos relaciones adimensionales. Discuta el significado de estas razones. 2.4. ¿Cuáles son los términos análogos para el calor, la masa y la transferencia de momento? ¡Discutir! 2.5. Dar una interpretación física de la contra-difusión equimolar. 2.6. La transferencia de masa tiene una complicación que no existe en la transferencia de calor. ¡Discutir! 2.7. Momentum transferencia tiene una complicación que no existe en la masa o transferencia de calor. ¡Discutir! 2.8. Consideremos una placa plana que está sumergida en un fluido y que se mueve a una velocidad Uplate que está enteramente en la dirección z. Prepare una figura similar a la Fig. 2.10 para este ejemplo. 2.9.- En la discusión de la Fig. 2.10, se señala que y todos actúan en la misma dirección x y son coincidentes. Encuentre las tensiones de corte coincidentes en las direcciones y y z. 2.10.-Encuentre la conductividad térmica (en W m-1 K-1) y la difusividad térmica (m2 s-1) para un nuevo material aislante para el cual se ha determinado la siguiente información: Muestra de prueba: ½ pulgada por pie2 AT a través de la muestra: 5 ° F Flujo de calor: 24 Btu en una prueba de 10 h en estado estacionario Densidad de muestra: 0,15 g cm-3

Capacidad calorífica de la muestra: 0,3 kcal kg-1 K-1 2.11.-La entrada de calor de una caja fría debe reducirse añadiendo a todos los lados hojas de poliestireno extrudido( ). La caja es de 3 pies en un lado y todos los lados están en contacto con el aire. Cuando la caja se coloca en una sala de temperatura constante que se mantiene a 7 ° F, la pérdida de calor es de 40 000 Btu h. Se desea reducir esto en un factor de 100 mientras se mantiene la temperatura interior a -30 ° F. Encuentre el espesor de aislamiento apropiado en pulgadas. 2.12. Una pared de la casa consiste en 1/2 en Drywall, 3; Aislamiento de fibra de vidrio y una pared de ladrillo exterior de 4 pulg. grueso. Supongamos que existe un contacto perfecto entre cada capa. Las conductividades térmicas de los paneles de yeso, fibra de vidrio y ladrillo son 0,17, 0,036 y 0,72 W m- 'K-', respectivamente. La temperatura interior de la casa es 70 ° F; La temperatura del aire exterior (sin viento) es O "F. (A) Encuentre el flujo de calor en Btu ti- 'h-l. (B) Encuentre la temperatura (K) en la unión entre el panel de yeso y el aislamiento de fibra de vidrio. (C) Encuentre la ubicación (en pulgadas de la superficie interior de la pared de yeso) donde la humedad se congela. 2.13. Dos cilindros de diferentes materiales se ponen en contacto como se muestra en la Fig. 2.15. El cilindro 1 tiene una longitud de 2m con un área de sección transversal de 0,03 m * y una conductividad térmica de 0,7 W m- 'K-'. El cilindro 2 tiene 3 m de largo con un área de sección transversal de 0,04 m2 y una conductividad térmica de 1,2 W m- 'K-'. Las temperaturas en cada extremo del aparato son 280 (T) y 310K (Q, como se muestra en la figura 2.15) Hallar la temperatura T2 en el punto donde se unen los dos cilindros. 2.14. Dos cilindros de diferentes materiales se ponen en contacto como se muestra en la Fig. 2.15. El cilindro 1 tiene 2 m de largo con un área de sección transversal de 0,03 m2 y una conductividad térmica de 0,7 W m- 'K-'. El cilindro 2 tiene 3 m de largo con un área de sección transversal de 0,04 m2 y una conductividad térmica desconocida. Las temperaturas en cada extremo del aparato son 280 (T) y 310 K (TX), como se muestra en la Fig. 2.15. Si la temperatura en el punto de unión es de 300 K, busque la conductividad térmica del cilindro 2. Su solución contiene una suposición que no se discute en el Capítulo 2. ¿Qué es? 2.15. Una sala de acondicionamiento tiene una atmósfera de aire con una concentración de CO de 30mole por ciento. Fuera de la sala, la concentración de CO, es muy pequeña; Sin embargo, hay un agujero en la pared. La presión es de 1 atm y la temperatura es de 25 ° C. En estas condiciones, la difusividad de CO, en el aire es 0,164 x baja 4 m * s-l.

El agujero tiene 10 cm de diámetro y la pared tiene 30 cm de espesor. Determinar (A) la cantidad de CO1 que sale de la habitación (km01 h- ') (B) la cantidad de aire que entra en la habitación (kg h-i) 2.16. En el problema 2.15, la pérdida durante un largo período se considera excesiva. Por desgracia, por otras razones, el agujero no se puede reducir por debajo de 4 cm de diámetro, pero todavía se desea reducir la pérdida por un factor de 10. Diseñar algo para reducir la pérdida por un factor de 10, si el diámetro del agujero es Reducido en un factor de 2,5. 2.17. Una columna de destilación separa el alcohol A y el alcohol B a 1 atm y 372 K. En una posición particular en la columna, la fase líquida y la fase gaseosa contienen 30 por ciento en moles de A y 40% en moles de A, respectivamente. Suponiendo que la resistencia a la transferencia de masa es una película en fase gaseosa de espesor 0,3 mm, calcule el flujo molar de A del líquido a la fase gaseosa. Se requiere la siguiente información:

Constante de la ley de Henry 2.18. Se colocan dos placas horizontales separadas 5 cm. El espacio está lleno de Aceite lubricante de alta viscosidad (100 poises). La placa inferior es estacionaria y la placa superior se mueve a una velocidad de +0,8 m s- '. Considerando un área de 0,01 m * localizada lejos de cualquier borde, encontrar la fuerza (en unidades de newtons), la tensión de cizalla, y el flujo de momento (N m- '). 2.19. En el problema 2.18, convierta la velocidad en ft s- ', la distancia entre las placas a ft, el área a ft *, y la viscosidad a lb ,,, fi-' s- '. A continuación, encontrar la fuerza en la placa en lb ,. ¿Prefiere el sistema inglés o SI y por qué? 2.20. Un posible diseño para un viscosímetro de placas paralelas consiste en una caja rectangular vertical con una placa centrada en el interior. El fluido a ensayar se coloca en la caja y se mide la fuerza necesaria para retirar la placa a una velocidad fija. La unidad se muestra en la fig. 2.16. Calcular la viscosidad en CP para las siguientes condiciones: el peso de la placa es insignificante; La placa está situada equidistante entre las paredes; El espacio libre entre la placa y cada pared es de 0,5 cm; El área total de la placa sumergida en el instante de lectura es 70 cm 'en un lado; Cuando la placa se mueve a una velocidad de 1 ems - ', la fuerza requerida es de 5,6 x 10m4N; Los efectos finales son insignificantes. 2.21. Cuando una película de líquido fluye por una placa inclinada, se puede demostrar que la tensión desarrollada por la gravedad es Donde la coordenada x está alineada con la dirección del flujo y la coordenada y comienza en la superficie del mismo y es positiva en la dirección hacia la placa. El ángulo / I es el ángulo entre la superficie y la vertical.

(A) Determine la distribución de la velocidad (U en función de y) en la película si el espesor de la película es L. (B) Encuentre la velocidad máxima y el valor de y en el cual ocurre. 2.22. Tres placas planas paralelas están separadas por dos fluidos. La Placa 1 (en la parte inferior) está en reposo. El agua, viscosidad O.MO7cP a 3 ° C, se encuentra entre las placas 1 y 2. El tolueno, viscosidad OS179cP a 3O "C, se encuentra entre las placas 2 y 3. La distancia entre cada par de placas es de 10 cm. La placa 3 se mueve a 3 m. Fmd: (A) la velocidad de la placa 2 en estado estacionario (B) la fuerza por unidad de área en la placa 3 requerida para mantener la velocidad de 3 m s-r 2.23. La conductividad térmica de un sólido es aproximada por K = A + BT Donde A es una constante positiva y B> puede ser positiva o negativa. Considere la Fig. 2,4 y Ejemplo 2,1; Bosqueje el perfil de temperatura correspondiente a B CO, B = O y B> O. 2.24. Estimación de la conductividad térmica del oro a 500 K de los datos a continuación. T, K

2,25. Estimar la conductividad térmica del carburo de silicio a 1300K de los datos a continuación.

2.26.- 2.26. La teoría cinética de los gases predice que la conductividad térmica de un gas es igual al producto de la capacidad calorífica a un volumen constante multiplicado por la viscosidad; Esta teoría también predice que la viscosidad varía como la raíz cuadrada de la temperatura y es independiente de la presión. Para CO, a 1 atm y 273,15 K, se dispone de los siguientes datos:

Suponiendo que c ,, es proporcional a la primera potencia de la temperatura absoluta, estimar k a 300 K y 1 atm. Encuentre el porcentaje de error de su estimación basado en el valor de la literatura de 0.01655 W m-r K-l. 2.27. Utilice los datos del Apéndice para estimar el aire a 348,15 K y 2 atm:

(A) la viscosidad (B) la conductividad térmica (C) la viscosidad cinemática (D) la diflirsividad térmica 2.28. Utilice los datos del Apéndice para estimar el agua a 348,15 K y 1 atm: (A) la viscosidad (H) la conductividad térmica (C) la viscosidad cinemática (D) la difusión térmica 2.29. El coeficiente de difusión del dióxido de carbono de aire a 1 atm y 276,2 K es 0,142 x 10e4 m2 s- '. Estimar el coeficiente de difición a 3 atm y 320 K.