Fenomenos De Transporte-flexpde Tarea Ejemplo

Tarea de FLEXPDE Por: Michael Edwin Valencia García. Mateo Vásquez Restrepo. Juan Pablo Velásquez Cardona. Jesús Daniel Vélez Díaz. Grupo de trabajo #9 Enunciado Una placa gruesa de cobre (Cu) que inicialmente está a temperatura uniforme de 20°C se expone de súbito a radiación en una superficie de modo que el flujo neto de calor se mantiene a un valor constante de , determine la temperatura en la superficie irradiada y en un punto interior que este a 150mm de la superficie después de transcurridos 2 minutos. Se conoce: Ø​ ​El tiempo . Ø​ ​El flujo de calor en la superficie . Ø​ ​La temperatura inicial de la placa Encontrar: ü​ ​La temperatura en la superficie irradiada ü​ ​La temperatura en un punto interior que está a 150mm Esquema:

Suposiciones: 1.​ ​Conducción unidimensional en la dirección x. 2. ​La placa gruesa de Cu se aproxima como un medio semi-infinito con flujo de calor superficial constante. 3.​ ​Las propiedades del material (Cu) son constantes. Propiedades: Para el Cu a 300K tenemos; Ø​ ​La conductividad térmica es Ø​ ​La difusividad térmica es Análisis:

Por la segunda suposición tenemos que la temperatura de la placa va a ser una función que depende del espacio ​x​ y del tiempo ​t​; Para la superficie de la placa de Cu tenemos que , por tanto entonces; La temperatura en la superficie de placa de Cu es 120,03°C. A los 15mm (0,15m) tenemos; por tanto , entonces; La temperatura en la placa de Cu a 0,15m es 45,16°C. Comentarios: Según los resultados obtenidos por la solución analítica la temperatura en la superficie de la placa fue de aproximadamente 393,18k (120,03°C) y a los 0,15m la temperatura encontrada fue de 318,31k (45,16°C); es posible concluir que ​estos resultados son consecuentes con lo planteado por el |problema, teniendo una temperatura mayor en la superficie del sólido y una menor a 0,15m de la superficie, siendo la superficie la primera en recibir calor proveniente de la radiación suministrada y a 0,15m un aumento de la temperatura debido a la conducción de calor proveniente de la superficie. Para comprobar dichos valores se utilizó el software FlexPDE, con la ayuda de este programa escribimos un código que nos permitiera modelar como el flujo de calor alteraba la temperatura inicial de la placa transcurridos 120s, se obtuvo el siguiente esquema;

X (en metros)

Fig.1. ​Variación de la temperatura de cuando la placa se expone a un flujo de calor de . La figura 1 muestra que en la superficie de la placa se presenta la temperatura más elevada (399k), a medida que nos alejamos de la superficie podemos ver que la temperatura disminuye y a partir de los 0,4m se mantiene en su valor inicial (293k) y que este se conserva hasta el final de placa, el flujo de calor en la placa se da izquierda a derecha como se observa en la figura 2;

Fig.2. ​Vectores de flujo de calor en la placa de Cu. La figura 2 nos permite observar que a partir de los 0,225m hasta el final de la placa no se presentan vectores de flujo de calor, esto nos muestra que la temperatura inicial (293k) tiende a permanecer constante a largo de placa con excepción de la zona que está expuesta a un flujo de calor constante en un tiempo determinado, lo anterior coincide con el caso II de un sólido semi-infinito, que fue el método utilizado para encontrar las temperaturas de manera analítica. , También se realizaron dos gráficos; el primero de ellos fue para mostrar el perfil de temperatura desde la superficie de la placa hasta una distancia de 0,15m;

Gráfico 1. ​Perfil de temperatura ​T vs x (​ desde la superficie hasta los 0,15m). El gráfico 1 nos enseña el perfil de temperatura de la superficie de la placa (0m) hasta los 0,15m, aquí puede verse claramente lo que ya se mencionó en la figura 1. La temperatura en la superficie está levemente por encima de 390k y a los 0,15m está por debajo de los 320k, si continuáramos recorriendo toda la longitud de la placa encontraríamos que la temperatura desciende hasta los 293k y se mantendrá ahí sin importar que tan larga sea. Finalmente el gráfico 2, nos muestra como varía la temperatura conforme transcurre el tiempo;

Gráfico 2. ​History de temperatura (Variación de ​T vs t ​en la superficie de la placa y a los 0,15m). En el History o gráfico 2 tenemos que en ​t=0s la temperatura en la placa es uniforme (293k), conforme avanza el tiempo hasta llegar a los 120s la temperatura avanza paulatinamente y alcanza el valor de 393k para la superficie y 318k a los 0,15m, las curva ​a ​representa el aumento de temperatura con respecto al tiempo para la superficie, y la curva ​b n​ os brinda la misma información que ​a, a los 0,15m; podemos observar que ambas curvas difieren en su forma. ​ ​III.​ ​Soluciones adicionales al problema. Adicionalmente se plantean 4 situaciones diferentes del mismo problema, conservando la idea inicial de tener una placa como un sólido semi-infinito con una entrada de calor por radiación en una de sus fronteras.

®​ ​PARA OTRO TIPO DE MATERIALES Se analizará el mismo caso de una placa pero cambiando el material para analizar cómo se da la conducción con un material muy buen conductor y cuando hay un material poco conductor respecto al cobre propuesto en el ejercicio. Según la aplicación que se requiera si necesitamos aislar la radiación que llega a la placa utilizaremos un material con menor conductividad en este caso escogemos ladrillo refractario y si necesitamos que la placa conduzca la mayor cantidad de calor utilizamos un material con buena conductividad como el oro. ·​ ​Oro Densidad, Ro=19300 Kg/m​3 Capacidad calorífica, Cp= 129 J/KgK

Conductividad térmica, K = 308.2

En esta propuesta destaca que la mayor temperatura que se presenta en la placa de oro es de 433 K , comparando con la placa de cobre hay 34 K de diferencia lo que se ve reflejado en la alta conductividad del oro respecto a otros materiales utilizados en la industria. ·​ ​Ladrillo refractario: Densidad, Ro= 2000 Capacidad Calorífica, Cp=0.96 Conductividad térmica, K=1.04 ·​ ​Corcho: Densidad, Ro=120 Capacidad Calorífica, Cp=1880 Conductividad térmica, K=0.042

Placa de cobre expuesta a un flujo de calor constante durante 30 minutos (1800s).

Figura 3. Cuando la placa es sometida a un flujo constante de calor durante 1800 segundos (30 minutos) se observa con claridad que en su superficie la temperatura máxima que alcanza es de 720k

(427 °C), Lo que nos indica que mientras más prolongada sea la exposición de la placa a un flujo de calor, mayor será el aumento de la temperatura de la misma.

Gráfico 3 En el gráfico 3 se observa que el perfil de temperatura es lineal, se detalla en el mismo que la temperatura es menor o tiende a reducir, a medida que se aleja de la superficie, como se puede observar en la ilustración en el punto 0m, la temperatura es mayor, mientras que 0.15m al interior de la placa se tiene una temperatura considerablemente menor.

Gráfico 4 Muestra la variación de la temperatura en la superficie y en el interior de la placa cuando la misma es sometida por 1800 segundos a un flujo de calor constante, luego de cierto tiempo el comportamiento de las gráficas tiende a ser similar, sin embargo, siempre muestra que la línea a siempre tendrá una mayor temperatura debido a que este trazo representa la superficie.

Placa de cobre con refrigeración interior. Se plantea una geometría rectangular de 1 cm de espesor al interior del sólido, con el propósito de simular un espacio de refrigeración dentro del mismo; la distribución es mostrada por la figura-4.

Fig.4. ​Distribución de superficies del sólido, siendo la franja amarilla un espacio de refrigeración. Al compilar el programa, es posible notar la distribución de temperaturas a través de la figura 5; a 37 segundos es posible notar la diferencia de temperatura entre el espacio refrigerado (a una menor temperatura que la inicial), la frontera por donde entra calor debido a radiación y el resto del sólido que se encuentra a la temperatura inicial (293K). La franja de refrigeración funciona como un sumidero de calor, donde los sectores que se encuentran adyacentes a su frontera disminuyen su temperatura por debajo de la inicial, siendo más notable al lado derecho de la franja de refrigeración,

debido a que en la frontera izquierda existe una conducción de calor proveniente de la superficie exterior. Este fenómeno también es notable en el gráfico 4.

Fig.5. D ​ istribución de temperaturas en todo el sólido a los 37 segundos del proceso.

Gráfico 4. ​Distribución de temperaturas en todo el sólido a los 37 segundos del proceso. Finalmente al graficar todo el proceso como lo plantea inicialmente el problema a 120 segundos, y teniendo como lo ilustra la gráfica 5 los puntos (a), (b),(c), y (d) donde es (a) es la superficie exterior por donde entra el calor por convección, (b) y (c) son las fronteras del espacio de refrigeración modelado al interior del material y (d) como un punto muy alejado al interior del material.

Gráfico 5. ​Historial de temperaturas de los puntos a,b,c y d. Es posible identificar que la placa a los 120 segundos aun se comporta como un sólido semi infinito, debido a que la temperatura en (d) siendo un punto alejado de la geometría presenta una temperatura invariante durante toda la duración del proceso, a diferencia de (a) que aumenta su temperatura súbitamente debido a la radicación proporcionada por el exterior. Igualmente es posible notar que aunque (b) y (c) representan las fronteras del conducto de refrigeración y su temperatura inicialmente está por debajo de la temperatura inicial del todo el sólido refrigerando así sus alrededores, finalmente el calor proveniente de la superficie que es llevado por conducción, aumenta la temperatura de las fronteras calentando por encima de la temperatura inicial del sólido a los 120 segundos. Es posible concluir que el espacio refrigerado no es suficiente para evitar que el flujo de calor del exterior avance hacia el interior del sólido, pues a los 2 minutos sus fronteras ya se encuentran a una temperatura mayor de la inicial. FlexPDE es una herramienta que proporciona soluciones numéricas muy precisas a problemas matemáticos y físicos que pueden ser modelados en esta interfaz. Es posible decir que es una herramienta útil, siempre y cuando los análisis, resultados y conclusiones, sean consecuentes con la realidad del problema, con la lógica operacional y con la capacidad de la persona que modela el problema de interpretar los datos a través de los fenómenos físicos.