Feb 8-14

OCM09 Blog Problemas Semana Febrero 8-14 Miguel Moreno 12 de febrero de 2009

1.

Primer Nivel

1. ¿Cual es el men´ or palindrome de cinco digitos multiplo de 99? 2. Un rompecabezas tiene 81 piezas cuadradas de 1cm de lado cada una. Usando todas las piezas se arman dos rect´angulos distintos de modo que el per´ımetro del m´ as grande sea el doble del per´ımetro del m´as chico. ¿Cu´ ales son el largo y el ancho de cada uno de los dos rect´angulos. 3. En el trapecio ABCD de bases AB y CD, sea M el punto medio del lado DA. Si el segmento BC mide a, el segmento M C mide b y el ´angulo M CB mide 150◦ , ¿Cu´ anto mide el ´area del trapecio ABCD en funci´on de a y b?.

2.

Nivel Intermedio

1. Hallar todas las funciones f : R → R que satisfacen f (x + y) − 2f (x − y) + f (x) − 2f (y) = y − 2 2. Hallar todas las soluciones enteras positivas de la ecuaci´on 3 m + 3 n + 1 = t2 3. Sea ABCD un cuadril´ atero y P un punto u su interior tal que los tri´angulos ABP , BP C, CDP , DAP tienen igual ´area. Hallar las condiciones que debe cumplir el cuadril´atero para que exista el punto P .

3.

Nivel Superior

1. Sea f :R→R 1

f (x) = x2 + 2007x + 1 Demostrar que f n (x) = 0 tiene por lo menos una soluci´on real. Nota: f n (x) = f (f n−1 (x)). 2. Demostrar que para todo entero k ≥ 2 existen k n´ umeros naturales distintos, n1 , n2 , . . . , nk tales que: 1 1 1 3 + + ··· + = n1 n2 nk 17 3. Sea ABCD un cuadril´atero convexo, y sean RA , RB , RC , RD los circunradios de los tri´ angulos DAB, ABC, BCD, CDA respectiva mente. Demostrar que RA + RC > RB + RD si y solo si ∠A + ∠C > ∠B + ∠D.

2