Feb 23-27
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- Words: 353
- Pages: 2
OCM09 Blog Problemas Semana Febrero 23-27 Pedro Luis Barrios 23 de febrero de 2009
1.
Primer Nivel
1. Se eligen dos enteros entre 1 y 100 inclusive tales que su diferencia y su producto es m´ ultiplo de 5. ¿De cu´antas maneras se puede hacer esta elecci´ on? 2. ¿Cu´ al es la mayor ´ area que puede tener un tri´angulo con una mediana de longitud 1 y otra de longitud 2? 3. Resuelva la ecuaci´ on pn + 144 = m2 , donde m, n ∈ N y p es un n´ umero primo.
2.
Nivel Intermedio
1. 200 estudiantes participaron en una competencia de matem´aticas en la que deb´ıan resolver 6 problemas. Cada problema fue resuelto correctamente por al menos 120 participantes. Demuestre que hubo dos participantes que resolvieron los 6 problemas correctamente. 2. Sea ABC un tri´ angulo acut´angulo, y sean D y E los puntos de tangencia del inc´ırculo de ABC con los lados AB y AC repectivamente.Las bisectrices de los ´ angulos ∠ACB y ∠ABC cortan a DE en X y Y respectivamente, y Z es el punto medio del lado BC. Demuestre que el tri´angulo XY Z es equil´ atero si y s´ olo si ∠A = 60◦ . . 3. Demuestre que si n > 1 es un n´ umero natural, 1 + un n´ umero entero.
3.
1 2
+
Nivel Superior
1. Encuentre el valor de
x3i i=0 1−3xi +3x2i ,
P101
1
donde xi =
i 101
1 3
+ ··· +
1 n
no es
2. Sea ABC un tri´ angulo, y sea D el punto de corte de BC con la recta tangente al circunc´ırculo de ABC que pasa por A. La perpendicular a BC que pasa por B corta a la mediatriz del lado AB en E. La perpendicular a BC que pasa por C corta a la mediatriz del lado AC en F . Demuestre que los puntos D, E, y F son colineales. 3. Determine todas las parejas de enteros positivos (m, n) tales que m + n y 1 + mn son ambos potencias de 2.
2
1.
Primer Nivel
1. Se eligen dos enteros entre 1 y 100 inclusive tales que su diferencia y su producto es m´ ultiplo de 5. ¿De cu´antas maneras se puede hacer esta elecci´ on? 2. ¿Cu´ al es la mayor ´ area que puede tener un tri´angulo con una mediana de longitud 1 y otra de longitud 2? 3. Resuelva la ecuaci´ on pn + 144 = m2 , donde m, n ∈ N y p es un n´ umero primo.
2.
Nivel Intermedio
1. 200 estudiantes participaron en una competencia de matem´aticas en la que deb´ıan resolver 6 problemas. Cada problema fue resuelto correctamente por al menos 120 participantes. Demuestre que hubo dos participantes que resolvieron los 6 problemas correctamente. 2. Sea ABC un tri´ angulo acut´angulo, y sean D y E los puntos de tangencia del inc´ırculo de ABC con los lados AB y AC repectivamente.Las bisectrices de los ´ angulos ∠ACB y ∠ABC cortan a DE en X y Y respectivamente, y Z es el punto medio del lado BC. Demuestre que el tri´angulo XY Z es equil´ atero si y s´ olo si ∠A = 60◦ . . 3. Demuestre que si n > 1 es un n´ umero natural, 1 + un n´ umero entero.
3.
1 2
+
Nivel Superior
1. Encuentre el valor de
x3i i=0 1−3xi +3x2i ,
P101
1
donde xi =
i 101
1 3
+ ··· +
1 n
no es
2. Sea ABC un tri´ angulo, y sea D el punto de corte de BC con la recta tangente al circunc´ırculo de ABC que pasa por A. La perpendicular a BC que pasa por B corta a la mediatriz del lado AB en E. La perpendicular a BC que pasa por C corta a la mediatriz del lado AC en F . Demuestre que los puntos D, E, y F son colineales. 3. Determine todas las parejas de enteros positivos (m, n) tales que m + n y 1 + mn son ambos potencias de 2.
2
