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PROGRAMACIÓN LINEAL

UNIDAD 1 – FASE 2 - REDACTAR UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y PRESENTAR LOS MODELOS MATEMÁTICOS

REALIZADO POR: EDILBERTO ROBLES CRUZ - CÓDIGO NO. 91.523.302 OMAR CAMILO SANTIAGO GARCIA- CÓDIGO. 1.121.926.261 DIEGO ALEXANDER GAVILAN CODIGO 1121909007 DIEGO JAKOV ORJUELA MOLANO CODIGO 1122129393 DEYBER PINZON BERNAL GRUPO 100404_82

PRESENTADO AL TUTOR: ÁNGELA MARÍA OSPINA OVIEDO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA – ECBTI VILLAVICENCIO JULIO, 2018

INTRODUCCION

En el presente trabajo manejaremos y aplicaremos conceptos específicos sobre programación lineal; La programación lineal es el campo de la optimización matemática, dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) diferentes situaciones que se presentan en la nuestra vida cotidiana ya sea un problema referente a una empresa o simplemente puede ayudar a conseguir el mejor aprovechamiento de tiempo, recursos entre otras variable mediante una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales, se utilizan dos métodos para el desarrollo de estos problemas mediante funciones lineales, estos son el método canónico y estándar, para resolver problemas de programación lineal es el Método Simplex es el más utilizado. Para el desarrollo del trabajo se tendrá en cuenta la participación colaborativa de todos los integrantes, ya que por medio del trabajo en equipo se podrán llevar acabo conclusiones muy acertadas acerca de implementación de los métodos canónico y estándar para el desarrollo de los diferentes problemas y se llevarán a cabo las distintas actividades.

OBJETIVO GENERAL

 Conocer las aplicaciones de programación lineal para la solución de diferentes situaciones problema en nuestra cotidianidad.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Saber aplicar el método canónico y estándar para la realización de las Diferentes actividades.  Conocer las diferentes, modelos de fórmulas en programación lineal para poder aplicar a una empresa.  Conocer e investigar los procesos que se llevan en una empresa.

Unidad 1 – Fase 2 - Redactar un problema de Programación Lineal y presentar los modelos matemáticos. EDILBERTO ROBLES CRUZ 1. Nombre del Estudiante: Edilberto Robles Cruz

2. Nombre de la empresa: Creaciones Fenix Sport. Dirección Empresa: Diagonal 8B No. 22-09 Barrio Alto de Arenales - Girón. Teléfonos: (7) 6595730 – 3124839404.

3. Gerente y Representante Legal de la Empresa: Disney Robles Cruz.

4. Actividad económica de la Empresa: Confecciones de prendas de vestir.

5. Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación Lineal: En el Área de Producción de Prendas de Vestir de la Empresa de Creaciones fénix Sport está obligada a generar una producción de las prendas, en especial y que requiere más atención son los Short Corto Destroyer, Pantalón Dama Destroyer y Short MP Jogger, ya que generan más rentabilidad y por ende contribuyen a generar más utilidad a la Empresa, por el cual se requiere o se busca maximizar la utilidad de los tres (03) productos anteriormente mencionados.

6. Narración del problema. La Empresa Creaciones Fenix Sport, produce los Short Corto Destroyer, Pantalón Dama Destroyer y Short MP Jogger para los cuales ha establecido que genera una contribución a las

utilidades así: Short Corto Destroyer ($3.000), Pantalón Dama Destroyer ($10.000) y Short MP Jogger ($4.000) por unidad de prenda comercializada al por mayor. Para generar la producción de las prendas ya mencionadas el Área de Producción cuenta con una disponibilidad semanal de 1.000 metros de tela, 1.000 botones y 336 horas de mano de obra (7 operarios x 48 horas-hombre a la semana). Por otra parte, y de acuerdo con el estudio realizado no determina que para producir un Short Corto Destroyer se requieren 0.5 metros de tela, 3 botones, y 0.5 horas de mano de obra; para producir un Pantalón Dama Destroyer se requieren 1 metros de tela, 1 botón, y 1 hora de mano de obra; mientras para producir un Short MP Jogger se requieren 0.5 metros de tela, 2 botones, y 0.5 horas de mano de obra.

De acuerdo con lo anterior, se desea plantear el modelo de Programación lineal que se genera a fin de incrementar al máximo las utilidades de Creaciones Fenix Sport.

7. Cuadro resumen con los datos que aparecen en la narración dada.

Tela

Producto Short Corto Pantalón Dama Short MP Jogger Destroyer Destroyer 0.5m 1m 0.5m

Botones

3und

1und

2und

1.000und

Mano de obra

0.5h

1h

0.5h

336h

Utilidad (C)

$3.000

$10.000

$4.000

Variable

X1

X2

X3

Recurso

8. Modelos

matemáticos

de

Disponible semanal 1.000m

Programación

Modelo matemático Canónico: X = Variable = Producto (Tipo de prenda de vestir). X1 = Short Corto Destroyer X2 = Pantalón Dama Destroyer X3 = Short MP Jogger

C = Constante = Utilidad por cada Producto (Tipo de prenda de vestir). C1 = $3.000 C2 = $10.000 C3 = $4.000

Z = Función Objetivo = Utilidad de las prendas de vestir. El Objetivo es maximizar las Utilidades en estos tipos de prendas de vestir.

Lineal:

Maximizar: Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 Z = $3.000X1 + $10.000X2 + $4.000X3

Restricciones: Al maximizar una función Z, es equivalente a minimizar la expresión Negativa de la función Objetivo: 0.5X1 + X2 + 0.5X3 ≤ 1.000 metros. Restricción para la Tela. 3X1 + X2 + 2X3 ≤ 1.000 unidades. Restricción para los botones. 0.5X1 + X2 + 0.5X3 ≤ 336 horas. Restricción para la mano de obra. Las anteriores inecuaciones se le denominan restricciones funcionales del problema. Restricciones de No Negatividad: Todas variables del problema se deben restringir a valores No Negativos así: X1 , X2 , X3 ≤ 0

Modelo matemático Estándar: Tomamos las restricciones y las convertimos en igualdades. Maximizar: Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 Se introducen las variables de Holgura por cada una de las restricciones para poder convertirlas en igualdades. Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 Z = $3.000X1 + $10.000X2 + $4.000X3

Restricciones: 0.5X1 + X2 + 0.5X3 + X4 = 1.000 metros. Restricción para la Tela. 3X1 + X2 + 2X3 + X5 = 1.000 unidades. Restricción para los botones. 0.5X1 + X2 + 0.5X3 + X6 = 336 horas. Restricción para la mano de obra. XJ ≥ 0 J=1,2,3,4,5,6

9. Evidencias de la visita realizada:

OMAR CAMILO SANTIAGO GARCIA Problema presentado por: Omar Camilo Santiago GARCIA Nombre de la empresa: Instituto Liceo Santo Tomas – Dirección: Cl 38#33b-102 Villaviencio.Meta- Celular: 3103294841. Nombre y apellidos del representante legal: Nelson Hervey Barrios. Actividad económica: Instituto de validación bachiller con programas técnicos por competencias. Descripción del problema: El instituto Liceo Santo Tomas no cuenta con página web, para ello realizan varias cotizaciones, pero dos cotizaciones son las que llaman la atención, la primera cotización costa de: dominio de la página, 5 intercesiones gratis, y a partir de la sexta tiene un valor de $60.000 y

tiene un valor de $750.000, segunda cotización es similar a la primera, pero con la diferencia de que son 4 intervenciones gratis y a partir de la quinta tiene un valor de $50.000 cuyo valor total es de $600.000; el Lic. Nelson quiere saber cuál es la más conveniente para el teniendo en cuenta que tiene un presupuesto anual para dicha página de $920.000 de lo cual el realiza 8 intervenciones anuales. Él quiere saber cuál es la mejor opción sin salir del presupuesto dado. Cuadro de resumen de los datos

Cotizació n A B

Intervencion Valor es gratuitas(x1) intervención(x2) $ 5 60.000 $ 4 50.000

Valor creación página web(x3) $ 750.000 $ 600.000

valor total intervenciones presupuestadas(x4) $ 990.000 $ 800.000

Forma canónica 𝐴 = 5𝑥1 + 60.000𝑥2 + 750.000𝑥3 + 990.000𝑥4 ≥ 920.0000 𝐵 = 4𝑥1 + 50.000𝑥2 + 600.000𝑥2 + 800.000𝑥4 ≤ 920.000 Forma estándar Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 𝑨 = 5𝑋1 + 60.000𝑋2 + 750.000𝑋3 + 990.000𝑋4 𝐵 = 4𝑋1 + 50.000𝑋2 + 600.000𝑋3 + 800.000𝑋4 Restricciones 5𝑋1 + 60.000𝑋2 + 750.000𝑋3 + 990.000𝑋4 + 4𝑋1 + 50.000𝑋2 + 600.000𝑋3 + 800.000𝑋4 ≤ 920.000

Nombre: Diego Alexander Gavilán Lizarazo

con

Empresa: ACERCO NRS SAS Representante legal: Nohora Roa Santos Problema: Compra de Impresora La empresa Acerco necesita adquirir equipos de impresion y para eso dos proveedores le han pasado las siguientes propuestas: proveedor A ofrece equipo a 1200000$ con seis meses de garantía y 6 recargas de cartucho cuyo valor es de 50000 y el proveedor B ofrece el mismo equipo a 800000$ con 4 meses de garanta y 3 recargas de cartuchos cuyo valor es de 100000 teniendo en cuenta que solo hay presupuesto de 1250000 para el equipo y seis recargas Cuál es la opción más viable en costos?

Pro veedor

Precio X1

Valor producto X2

Re Ga carga x3 rantia x4

120000 A B

0 800000

50000 100000

6 3

6 4

Forma Canónica: A = 1200000x1+50000x2+6x3+6x4 ≤1250000 B = 800000x1+100000x2+3x3+4x4≥1250000 Forma Canónica: A = 1200000x1+50000x2+6x3+6x4 B = 800000x1+100000x2+3x3+4x4 1200000x1+50000x2+6x3+6x4 +800000x1+100000x2+3x3+4x4≤1250000

DEYBER PINZON BERNAL COD 86046910tel: 2. Nombre de la empresa, dirección y teléfono. VIDRIOS CATAMA Avenida Catama No 1940 (frente al colegio cofrem) teléfono 3114633172 3. Nombres y apellidos del gerente o representante Legal de la empresa visitada FANNY CARABUENA teléfono 3204583705 4. Actividad económica de la empresa: 312 Industria de la madera, corcho y productos de la madera, incluidos muebles y accesorios

5. Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación Lineal: FABRICACION DE PUERTAS Y VENTANAS 6. Narración del problema, cuadro resumen y modelos matemáticos. EJERCICICO PROGRAMACION LINEAL.

En una vidriería y marquetería trabaja con madera y aluminio, realizan marcos para fotografía, puertas y ventanas, la puerta y ventanas las laboran en aluminio. La marquetería ha logrado hacer dos contratos, el primero un edificio 5 pisos, por piso son cuatro oficinas por cada oficina van dos puertas y dos ventanas. Otro contrato es para casas, requiere de 5 ventanas y 4 puertas ´por cada casa, son 12 casas. Solo tienen dos trabajadores los cuales realizan todos los procesos de madera y aluminio, (solo se especifica los procesos de aluminio ya que los contratos son en solo en este material) se especifican a continuación:

Corte de aluminio, hechura de agujeros y accesorios (cinta impermeable y corte de cuñas para las uniones de los tornillos), armado de puerta (instalación de cuñas vidrio, chapas y empaques), instalación de puertas y ventanas, en los cuatro procesos LOS TIEMPOS se distribuye así: Corte de puerta: 40 minutos. Hechura de agujeros: 14 minutos. Armado de puerta: 50 minutos. Instalación de puertas: 120 minutos (incluyendo tiempos de desplazo). Corte de ventana: 30 minutos. Hechura de agujeros: 10 minutos. Armado de Ventana: 40 minutos. Instalación de puertas: 120 minutos (incluyendo tiempos de desplazo). El gerente de la marquetería desea optimizar los tiempos de fabricación de las puertas y ventanas, y desea saber cuánto personal debe contratar, si quiere bajar el tiempo de fabricación al 50% por producto elaborado, en las 48 horas semanales. MODELO MATEMATICO Cuadro de presentación de datos.

PROC ESOS CORTE

PRODUCTOS P UERTA 4 0

HECHU RA DE AGUJEROS

4

ENSAM BLE

0

INSTAL ACION

1 5 1

DISPO NIBILIDA DE VEN TIEMPO (MIN) TANA

TRAB AJADOR

30

2880

1

10

2880

1

40

2880

2

100

2880

2

20 TOTAL DE PRODUCTO A FABRICAR

8 8

100

2880

?

Cantidad de puertas que se realizan con el personal existente en una semana: Puertas: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 240 40𝑥1 + 14𝑥2 + 50𝑥3 + 120𝑥4 = 240 Cantidad de ventanas que se realizan con el personal existente en una semana: Ventana: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 180 30𝑥1 + 10𝑥2 + 40𝑥3 + 100𝑥4 = 180 Función objetivo: La función objetivo será la suma total de las puertas y ventanas de los contratos para saber los empleados a contratar: 𝑍 = 88𝑥𝑝 + 100𝑥𝑣 Restricciones: Puertas 40𝑥1 + 14𝑥2 + 50𝑥3 + 120𝑥4 ≤

240 2

La producción de puertas se reduce el tiempo a la mitad ya que el cliente quiere bajar los tiempos al 50% Ventanas: 40𝑥1 + 14𝑥2 + 50𝑥3 + 120𝑥4 ≤

180 2

Restricciones de 0 negatividad Puertas 𝑥1 ≥ 0 Ventanas 𝑥2 ≥ 0

7. Evidencias de la visita realizada.

Nombre del estudiante: Diego Jakov Orjuela Molano Identificación: 1.122.129.393 Acacias – Meta Ciudad: Acacias – Meta

1.

Nombre de la empresa: Confecciones Vicmar

2.

Nombres y apellidos de la representante Legal de la empresa: Luz Marina Novoa Torres

3.

Actividad económica de la empresa: Elaboración de chalecos, ropa deportiva y

uniformes de colegios públicos 4.

Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de

programación Lineal: La empresa de Confecciones Vicmar, está ubicada en la ciudad de Villavicencio, Meta, lleva más de 20 años de experiencia en el mercado. Se dedica principalmente a la elaboración de chalecos y pantalonetas; cuentan con 4 procesos: corte, costura, detalles y revisión. Para la elaboración de cada chaleco en tiempo se usa aproximadamente 4 horas, en materiales se utilizan 2 metro de tela y 1 cremallera de chaqueta #6. Para la elaboración de pantalonetas se utiliza 1 metro de tela y no se necesitan cremalleras.

5.

Narración del problema:

Se busca encontrar la ganancia semanal de cada producto, para hacer un análisis de producción para mejorar los ingresos.

6.

Evidencias de la visita a la empresa:

Doña Luz Marina Novoa Torres

Ejemplos de algunos chalecos fabricados en la empresa.

Método Canónico Producto

Dispon Chaleco

Pantaloneta

Tela

2mt

1mt

Cremall

1mt

0

Utilidad eras Variable

$10.000

$5.000

X1

X2

ible 150mt Semana 140mt

Variables: 𝑿𝟏 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑎𝑙𝑒𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑿𝟐 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

Función Objetivo: 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 10.000𝑋1 + 5.000𝑋2

Restricciones: 2𝑋1 + 1𝑋2 ≤ 150𝑚𝑡𝑠 1𝑋1 + 𝑋2 ≤ 140𝑚𝑡𝑠 4𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 180𝑚𝑡𝑠

Condición: 𝑋1 ∗ 𝑋 2 ≥ 0

180hor as

Método Estándar

Función Objetivo: Se iguala a 0 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = −10.000𝑋1 − 5.000𝑋2 = 0

Variables Holguera: 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 2𝑋1 + 1𝑋2 + 𝑆1 ≤ 150𝑚𝑡𝑠 1𝑋1 + 𝑋2 + 𝑆2 ≤ 140𝑚𝑡𝑠 4𝑋1 + 6𝑋2 + 𝑆3 ≤ 180𝑚𝑡𝑠

Tabla Simplex:

F F 1F 2F 3 4

Z X1 1 0 2 10.000 0 1 0 4

X2 1 5.000 0 6

S 0 11 0 0

S 0 2 03 1 0

S 0 0 0 1

Solución 0 150 150/2=7 140 140/1=1 5 180 180/4=4 40 5

Número pivote: 4, Lo pasamos a ser número 1

F F 1F 2F 3 4

Z X1 1 0 2 0 10.000 1 0 1

X2 1 5.000 0 2/3

10.000 * (F4) + (F1)

S 0 11 0 0

S 0 20 1 0

S 0 30 0 1/ 4

Solución 0 150 140 45

Z X1 ( 1 F 1 + 4= 0 1 0 10.000 F1 F1

X2 2/3 1.666 5.000

S 0 012 0

S 0 0 1

S3 Solución 1/4 45) 0 0 10.000 2.5 450.000 00

-2 * (F4) + (F2)

Z ( F 0 + 4= 0 0 F2 F2

X1 1 2 0

X2 2/3 1 -4/3

S 0 112 1

S 0 0 0

S3 1/4 0 -

Solución 45) -2 150 60

1/2

-1* (F4) + (F3)

Z ( F 0 + 4= 0 0 F3 F3

X1 1 1 0

X2 2/3 0 -2/3

S 0 012 0

S 0 1 1

S3 1/4 0 -

Solución 45) -1 140 95

1/4

Nueva Tabla Simplex:

F

Z 1

X1 0

X2 1.666

S 0 1

1

S 1

S3 2.5

2 00

Solución 450.000

F F 2 F 3 4

0 0 0

0 0 1

-4/3 -2/3 2/3

1 0 0

0 1 0

1/21/4 1/4

60 95 45

𝑍 = 450.000 𝑋1 = 45 𝑋2 = 0

Reemplazamos

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 10.000𝑋1 + 5.000𝑋2 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 10.000(45) + 5.000(0)

CONCLUSIÓN  Por medio de la realización de este trabajo aprendimos los modelos matemáticos los cuales aplicamos por medio de un problema planteado por nosotros a través de una necesidad o problema de una empresa la cual nosotros visitamos, estos nos permitió adquirir estos nuevos conocimientos de ecuaciones lineales.  Terminado el trabajo realizamos el afianzamiento y adquirimos los conocimiento y habilidades de la programación lineal basados en casos reales de las diferentes empresas donde se ejercieron las visitas de los diferentes procesos en ellas, los cual nos dio una visión en la toma de las mejores decisiones en la vida cotidiana y empresarial para mejorar la productividad.

 Programación Lineal se ha convertido en una herramienta estándar de gran importancia para muchas organizaciones industriales y de negocios para tratar problemas en las empresas como fue cada uno de los casos investigados en el presente trabajo donde por medio de la formulación matemática podemos ayudar a incrementar su producción e ingresos.

BIBLIOGRAFÍA

Pleor. (2016). Forma canónica y estándar de un modelo de programación lineal (Parte 1 de 2). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=UvcbqdI_stk

Pleor. (2016). Forma canónica y estándar de un modelo de programación lineal (Parte 2 de 2). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Y_mDtsq3Qeo

IESCampus. (2013). Introducción a la programación lineal. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?time_continue=38&v=wsywXvBMjso