Fase 4.docx

1. Hallar el área de la región limitada por la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2𝜋. El área se expresa en unidades de superficie. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

A1 A2

2𝜋

2𝜋

𝜋

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2

𝜋

2𝜋

𝐴1 = ∫0 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) 𝑑𝑥

𝐴2 = − ∫𝜋 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) 𝑑𝑥

𝜋

𝐴1 = − cos(𝑥 ) ∫0

𝐴2 = − cos(𝑥 )

𝜋

∫2𝜋

𝐴 𝑇 = − cos(𝜋) + cos(0) + (− cos(𝜋)) + cos(2𝜋) 𝐴 𝑇 = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2 2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

y  x3

y

y  2x  x 2 .

El área se expresa en unidades de superficie.

Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. 3. La región limitada por la gráfica de

y  x3 ,

el eje x

y

x 1 2

se gira

alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante. Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido b

resultante es:

S  2  f ( x) 1  ( f ' ( x)) 2 dx a

4. Encontrar el perímetro de media circunferencia descrita por la siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. La forma paramétrica de la ecuación es: 𝑥 = 2 sen( 𝑡) y 𝑦 = 2cos( 𝑡), para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa. 5. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar en torno al eje y, la región en el primer cuadrante que está por encima de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 , y por debajo de la parábola 𝑦 = 2 − 𝑥 2 (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas.

𝑦 = 𝑥2 𝑦 = √8𝑥 alrededor del eje x (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas. 6. Hallar el volumen del solido que se genera al girar la región plana 𝑅: {

7. Una varilla de 4 metros tiene una densidad

 ( x)  x kg / m

a

x metros

de un extremo. Hallar el centro de masas de la varilla. b

Considerar el centro de masas: C e 

My m



 x ( x) dx a b

  ( x) dx a

8. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de

y  x2  1

y

yx

entre x = -1 y x = 1. Considerar las fórmulas del centroide de la región en el plano: b

b

Ce( x ) 

My A



 x[ f ( x)  g ( x)]dx a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx

; Ce( y ) 

Mx  A

a

1 [ f 2 ( x)  g 2 ( x)]dx  2a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. A una altura de 16m se lanza verticalmente hacia abajo una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 2 m/s. Si la pelota golpea una superficie que se encuentra a 4m de alto. Determinar la velocidad de impacto de la pelota. Sugerencia: 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2 . 10. Un resorte tiene una longitud de 1 metro, al aplicarle una fuerza de 40 Newton, dicho resorte se estira hasta 2,6 metros. Hallar el trabajo que se requiere para que el resorte se estire 3 metros. 11. Si la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X está dada por la expresión:

3 2 𝑥 (4 − 𝑥) , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑓(𝑥) = {64 } 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Determinar la probabilidad de que por lo menos la variable adquiera el valor 2. 12. La cantidad de demanda y el precio de equilibrio en un mercado están determinados por las funciones

S ( x)  x  4 , P  D( x)  2 x 2  6 x  16

de

oferta y demanda respectivamente. Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el Excedente del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio.