Fase 3_colaborativo Grupo 100404_264.pdf

FASE 3 - DAR SOLUCIÓN A PROBLEMAS PLANTEADOS Actividad

OSCAR DANIEL MOLINA LUIS FERNANDO PERALTA YANKIS DE JESUS ROBLES AMIR JESUS FRAGOZO Estudiante

ANGELICA MILENA BARRIOS Tutor

PROGRAMACION LINEAL 100404_264 Curso

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

INTRODUCCIÓN El presente escrito pretende dar a conocer los procedimientos propios para la solución de problemas de programación lineal, a través del método simplex, el documento presenta una serie de ejercicios de nuestra vida cotidiana que le permitirán aplicar de manera correcta dicho algoritmo, es importante la aplicación del mismo, ya que da respuestas concretas y de gran importancia, ya que puede llegar a manifestar la máxima utilidad de una actividad realizada, por ende le podemos manifestar que el documento no omite pasos, se plantean soluciones completamente explicitas, que le ayudaran a comprender mejor el texto. También se exponen soluciones a través del simulador, es una herramienta de gran ayuda, porque es poco tiempo y de manera precisa podrá obtener la solución, pero conocer el procedimiento completamente, le ayudara a interpretar mejor los resultados. Ahora puede continuar con la lectura.

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

  

Plantear de manera correcta los modelos matemáticos de un problema de programación lineal. Identificar el tipo de problema a trabajar, en el caso de maximizar o minimizar. interpretar las tablas de iteración para el desarrollo del método simplex.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

  

Proponer la forma estándar de un problema de programación lineal, con sus respectivas variables holguras. Interpretar y asociar al problema la ecuación de no negatividad, y la importancia que la misma se cumpla en el problema. Conocer a través de forma manual, cual es la variable de entrada, variable de salida y número pivote, de gran importancia esto último para el método simplex de forma manual.

PRIMERA PARTE 1. NOMBRE DEL ESTUDIANTE QUIEN PRESENTA LOS DATOS: YANKIS DE JESUS ROBLES CHAMORRO 2. NOMBRE DE LA EMPRESA: EBANISTERPIA CHAPMAN a. DIRECCIÓN: Cl 20 11-71 b. CIUDAD: VALLEDUPAR c. TELEFONO: +57 304 544 0070 3. NOMBRES Y APELLIDOS DEL GERENTE: OMAR PACHECO CAMARGO 4. ACTIVIDAD ECONOMICA: Trabajos realizados en carpintería tradicional, diseñando Cocinas, Closets, Puertas, Construcción, Carpintería, Obras Civiles. 5. NOMBRE Y DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DONDE HAN IDENTIFICADO EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL: El problema a trabajar usando los métodos de la Programación Lineal, está directamente relacionado con la fabricación de sillas y mesas, las cuales se venden por separados, se desea determinar por empleado, cuántas unidades de cada una debe fabricar en busca de maximizar los ingresos a la empresa, ya que el proceso de fabricación aunque es el mismo, no requieren el mismo tiempo, los precios son diferentes y el material que gastan en la fabricación también varían dependiendo del articulo a fabricar. 6. NARRACION DEL PROBLEMA: EBANISTERÍA CHAPMAN, para la fabricación de mesas y sillas ha determinado que por empleado no se deben diseñar más de cuatro unidades al día, los tiempos de fabricación son de dos horas (2H) para la silla y tres horas (3H) para las mesas, la jornada laboral diaria es de 10 horas, por último las sillas requiere de $4000 en Made Plus, que es un pegante especial para madera, en el caso de las mesas, requieren $2000 del mismo Made Plus, cada empleado cuenta con $12000 pesos para la compra del Made Plus, finalmente sabemos que beneficio por sillas y mesas es de $20.000 y $30.000 respectivamente. Teniendo en cuenta lo anterior, es de suma importancia para el señor OMAR PACHECO CAMARGO, saber que combinación de unidades deben fabricar los empleados en busca de obtener mejores ingresos. CUADRO RESUMEN V. Básicas Z X3 X4 X5

Z 1 0 0 0

X1 -20000 1 2 4000

MODELOS MATEMATICOS

X2 -30000 1 3 2000

X3 0 1 0 0

X4 0 0 1 0

X5 0 0 0 1

Resultado 0 4 10 12000

Forma Canónica

Forma Estandar

SOLUCIÓN MANUAL

Estudiante: OSCAR DANIEL MOLINA Nombre del estudiante quien presenta los datos Nombre de la empresa dirección y teléfono. Nombres y apellidos del gerente o representante Legal de la empresa visitada Actividad económica de la empresa

Oscar Daniel Molina Tilano Kal Tire S.A de C.V, calle 30 # 19 - 55, 035 3859765 - Barranquilla Diego Garcia Rossi Ventas y mantenimiento de llantas

Actividad económica de la empresa: 4530 – Venta y servicios de mantenimiento de llantas y partes. Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación Lineal: Proceso de reparación de llantas OTR - RIN 49 y RIN57 Narración del problema: La empresa multinacional Kal Tire S.A de C.V, brinda servicios de venta y mantenimiento de llantas en los grandes proyectos mineros de Colombia, en este caso nos referimos al proyecto de Calenturitas en el Cesar donde se reparan llantas R49 y R57, resulta que actualmente se desconoce partiendo de los recursos con los que cuenta el proyecto cual es el máximo de producción que puede alcanzar en una semana realizando reparaciones de llantas OTR - R49 y R57, una reparación de llanta R49 lleva 6 horas de mano de obra (excavado, pulido, pegado de parche y relleno) y lleva 6 horas de vulcanización y pulido final lo que totaliza 12 horas de mano de obra por reparación utilidad que genera una reparación de llantas de esta dimensión es de COP $ 1.500.000; una reparación de llanta R57 lleva 8 horas de mano de obra (excavado, pulido, pegado de parche y relleno) y lleva 7 horas de vulcanización y pulido final lo que totaliza 15 horas de mano de obra por reparación la utilidad que genera una reparación de llantas de esta dimensión es de COP $ 2.000.000, son 2 turno diarios de 12 horas por 2 técnicos por turnos por 7 días, lo que totaliza 336 horas de trabajo a la semana, semanalmente se dispone de 196 horas para el proceso de preparación y 140 horas para el proceso de vulcanización y pulido. Adicionalmente los insumos necesarios para una reparación estándar son los siguiente: R49: 8 kg de caucho y 1 LT de cemento vulcanizante; R57: 12 kg de caucho y 1,5 LT de cemento vulcanizante.

Cuadro resumen con los datos que aparecen en la narración dada.

RECURSOS Hr de preparación Hr de vulcanización Kg de Caucho Lt de cemento Utilidad Variables

LLANTA R49 6 6 8 1 $ 1.500.000 X1

LLANTA R57 8 7 12 1,5 $ 2.000.000 X2

Modelos matemáticos de Programación Lineal: Variables de decisión: X1= N° de reparaciones semanales llantas R49 X2= N° de reparaciones semanales llantas R57 Forma canónica: Función objetivo: Maximizar: Z = 1.500.000X1+2.000.000X2 Restricciones del modelo:

Restricciones de no actividad: X1, X2>0

Forma Estándar:

DISPONIBILIDAD SEMANAL DE RECURSOS 196 140 560 80

Función objetivo: Maximizar: Z = 1.500.000X1+2.000.000X2 Restricciones del modelo:

Método simplex aplicando solución al problema planteado

Análisis: para optimizar la producción la empresa solo debe hacer por disponibilidad 20 reparaciones R57 para obtener 40millones de pesos de utilidad semanal.

Evidencias de la visita realizada

LUIS FERNANDO PERALTA Ingeniería Industrial 2018

Razón Social: Prefabricados De Cemento La Campana Dirección: Calle 16 con Carrera 21 avenida la popa Ciudad: Valledupar Teléfonos: 3163836038 Representante Legal: Edward Pérez – Alfredo Pérez Actividad Económica: Prefabricados de materiales para construcción

 Descripción Detallada Del Proceso En Donde Se Ha Identificado El problema: Realizada la inspección de la empresa prefabricados de cemento la campana se puedo determinar con el gerente de la empresa el señor Alfredo Pérez. Que se están invirtiendo unos recursos para insumos en la realización de bloques mesones lavaderos

y demás los resultados esperados no son los de mayor

rentabilidad, por tal razón hay que realizar varios ajustes en cuanto a producción requerida y esperada.  Narración Del Problema Lineal: Realizada la visita en la empresa prefabricados de cemento la campana en la cual se dedica a la fabricación de bloques, lavaderos, mesones

de concreto y

accesorios de cemento para el hogar. Estos productos están distribuido así para el proceso de los bloques el molde demora 2 horas. El proceso de prensado para los bloques son de 1 horas y el producto terminado es de 4 horas. De igual manera para el mesón demora en el molde 2 horas, el

pensado 2 hora y para su

terminación de 3 horas. Para el lavadero el proceso en el molde es de 1 hora para el prensado es de 3 horas y para su terminación es de 1 horas. Se dispone para esta tarea semanal de 152 horas para el moldeado, 196 horas para el prensado y 232 horas para el terminado PRODUCTOS ELABORADOS PROCESO Bloques

Mesones

Lavaderos

Tiempo Semanas

Molde

2 Horas

2 Horas

1 Horas

152 Horas

Prensado

1 Horas

2 Hora

3 Hora

196 Horas

Terminado

4 Horas

3 Horas

1 Horas

232 Horas

Disponible

 De acuerdo al análisis encontrado en la fábrica visitada se pudo determinar y analizar que la realización de bloques, lavaderos y demás no están generando las ganancias esperadas por parte de producción, es por esta razón que obtenemos los siguientes resultados

SOLUCIÓN  Definición de variables: Esta definición de variables se determina así X1 = Cantidad de bloques por realizar en la semana X2 = Cantidad de lavaderos a fabricar por semana X3 = Cantidad de mesones a fabricar por semana

 Función y Objetivo: Como el precio de venta de los bloques, mesones y lavaderos

generan en su

mayor parte el ingreso y los recursos de la empresa, en la cual este debe ser lo más alto posible; la función principal del objetivo es maximizar la ganancia y se establece de la siguiente forma: Max. Z= 320.000 X1 + 250.000 X2 + 290.000 X3

 Restricciones: Se debe tener en cuenta la disponibilidad limitada de los recursos, lo cual define las siguientes restricciones:

 2 X1 + 2 X2 + 1 X3 ≤ 152 horas disponibles en el proceso de molde  1 X1 + 2 X2 + 3 X3 ≤ 196 horas disponibles en el proceso de prensado  4 X1 + 3 X2 + 1 X3 ≤ 232 horas disponibles en el proceso de terminado 

X1,

X2, X3 ≥ 0 Restricciones de No Negatividad

 Modelo matemático de forma canónica El modelo matemático de forma canónica de programación lineal para la Empresa prefabricados de cemento la campana es la siguiente: Función Objetivo: Max. Z= 320.000 X1 + 250.000 X2 + 290.000 X3 S.a.

 2 X1 + 2 X2 + 1 X3 ≤ 152 horas disponibles en el proceso de molde  1 X1 + 2 X2 + 3 X3 ≤ 196 horas disponibles en el proceso de prensado  4 X1 + 3 X2 + 1 X3 ≤ 232 horas disponibles en el proceso de terminado 

X1,

X2, X3 ≥ 0 Restricciones de No Negatividad

 Modelo matemático de forma Estándar despejando la forma canónica Definición de variables: La Empresa prefabricados de cemento la campana, desea saber qué cantidad de bloques, mesones y lavaderos

debe fabricar semanalmente para obtener una

ganancia, por lo tanto las variables de decisión se definen de la siguiente forma:

 X1 = Cantidad de bloques a realizar por semana  X2 = Cantidad de lavaderos a fabricar por semana  X3 = Cantidad de mesones a fabricar por semana

Función Objetivo:

Analizando el precio de venta de bloques, mesones y lavaderos el cual genera el ingreso de la empresa, y este debe ser lo más alto posible; la función objetivo es maximizar la ganancia y se establece de la siguiente forma:

Max. Z= 320.000 X1 + 2500.000 X2 + 290.000 X3 Despejamos

Z - 320.000 X1 - 250.000 X2 - 290.000 X3 = 0  Restricciones:

Primordialmente se debe

tener en cuenta la disponibilidad limitada de los

recursos, lo cual define las siguientes restricciones: 

2 X1 + 2 X2 + 1 X3 + S1 ≤ 152 horas disponibles en el proceso de molde



1 X1 + 2 X2 + 3 X3 + S2≤

196 horas disponibles en el proceso de prensado

 4 X1 + 3 X2 + 1 X3 + S3 ≤ 232 horas disponibles en el proceso de terminado  X1, X2, X3, S1, S2, S3 ≥ 0 Restricciones de No Negatividad

Por lo tanto el modelo matemático de forma estándar de programación lineal para la Empresa prefabricada de cemento la campana queda de la siguiente forma:

Función Objetivo:

Z - 320.000 X1 - 250.000 X2 - 290.000 X3 = 0

S.t. 

2 X1 + 2 X2 + 1 X3 + S1 ≤ 152 horas disponibles en el proceso de molde



1 X1 + 2 X2 + 3 X3 + S2≤

196 horas disponibles en el proceso de prensado

 4 X1 + 3 X2 + 1 X3 + S3 ≤ 232 horas disponibles en el proceso de terminado  X1, X2, X3, S1, S2, S3 ≥ 0 Restricciones de No Negatividad

Método programa

SOLUCION MANUAL. METODO DE ALGORITMO

METODO SIMPLEX

R1 R2 R3 R4

Z 1 0 0 0

320000 X1 -320000 2 1 4

250000 X2 -250000 2 2 3

290000 X3 -290000 1 3 1

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

SOLUCION 25680000 152 196 232

76 196 58

SE DIVIDE R4 POR 4 R4(320000)+R1 R4(-2)+R2 R4(-1)+R3

R1 R2 R3 R4

Z 1 0 0 0

X1 0 0 0 1

X2 -10000 0,5 1,25 0,75

X3 -210000 0,5 2,75 0,25

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 80000 -0,5 -0,25 0,25

SOLUCION 44240000 36 138 58

R1 R2 R3 R4

Z 1 0 0 0

X1 0 0 0 1

X2 -10000 0,5 1,25 0,75

X3 -210000 0,5 2,75 0,25

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 80000 -0,5 -0,25 0,25

SOLUCION 18560000 36 138 58

X2 85454,54545 0,272727273 0,454545455 0,636363636

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 76363,6364 -0,18181818 0,36363636 -0,09090909

S3 60909,0909 -0,45454545 -0,09090909 0,27272727

SOLUCION 29098181,8 10,9090909 50,1818182 45,4545455

X2 85454,54545 0,272727273 0,454545455 0,636363636

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 76363,6364 -0,18181818 0,36363636 -0,09090909

S3 60909,0909 -0,45454545 -0,09090909 0,27272727

SOLUCION 29098181,8 10,9090909 50,1818182 45,4545455

X3 0 0 1 0

S1 -313333,333 3,66666667 -1,66666667 -2,33333232

S2 133333,333 -0,66666667 0,66666667 0,33333315

S3 SOLUCION 203333,333 25680000 -1,66666667 40 0,66666667 32 1,33333287 20

R1 R2 R3 R4

R1 R2 R3 R4

R3 SE DIVIDE POR 2.75 R3(210000)+R1 R3(-0.5)+R2 R3(-0.25)+R4 Z X1 1 0 0 0 0 0 0 1

Z 1 0 0 0

X1 0 0 0 1

72 50,1818182 232

40 110,4 71,4285714

SE DIVIDE R2 POR 0.272727273 R2(-85454,54544)+R1 R2(-0.454545455)+R3 R2(-0,636363636)+R4

R1 R2 R3 R4

X1 X2 X3 TOTAL

Z 1 0 0 0

X1 0 0 0 1

X2 0 1 0 0

20 40 32 25680000

CONCLUSION: EL METODO DE ALGORITMO Y EL METODO SIMPLE CONCIDEN PERO EL METODO DE PHP NO CONCIDE EN UN 100%

Tabla para organizar la información

modelos /materiales Acero Aluminio Ganancia

Bicicletas montañosas 1 3 200

X1 = bicicleta de montaña X2 = bicicletas de paseo Modelo Canónico Restricción

Restricción de no negatividad

Modelo Matemático Función Objetivo

Bicicletas de paseo 2 2 150

CONCLUSIÓN Se debe fabricar 20 bicicletas de montañas y 30 bicicletas de paseo para asi obtener la máxima ganancia con los materiales que se tienen

AMIR JESUS FRAGOZO

SEGUNDA PARTE 1. Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteína, 20 de grasa y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteína, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unidades de energía, ¿Cuántas presas de cada clase deben cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía? Tabla para organizar la información ALIMENTO NECESIDADES Proteína Grasa

Ratón

Paloma

NECESIDADES

3 4

6 2

30 20

Vitaminas ENERGIA

1 7

1 12

8

Modelo matemático (CONONICO) Función Objetivo Restricción número 1 Restricción número 2 Restricción número 3 NO negatividad. Modelo matemático (ESTANDAR) Función Objetivo Restricción número 1 Restricción número 2 Restricción número 3 NO negatividad. Solución en PHPSimplex

CONCLUSIONES: El Ave de rapiña debe como mínimo cazar y , es justo en ese momento que logra satisfacer sus necesidades alimenticias y minimizar el gasto de energía, el problema es de tipo minimizar, porque se deben lograr los objetivos, pero con el menor desperdicio de materia prima y/o esfuerzo. El Ave de rapiña alcanza a gastar 66 unidades de energía, si emplea las combinaciones propuestas por la programación lineal.

2. Con 80 Kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio, y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña se deben fabricar para obtener un máximo de beneficio?

Tabla para organizar la información

BICILCETAS

Montaña

Paseo

1 3 200

2 2 150

METALES Acero Aluminio UTILIDAD

EXISTENCIA DE METAL 80 120

Modelo matemático (CONONICO) Función Objetivo Restricción número 1 Restricción número 2 NO negatividad. Modelo matemático (ESTANDAR) Función Objetivo Restricción número 1 Restricción número 2 NO negatividad. Solución en PHPSimplex

CONCLUSIONES: Se deben fabricar como mínimo 20 bicicletas de montaña y 30 de paseo, para que a la utilidad se le saque el máximo provecho, el cual es de $8500 dólares. Lo anterior es validos si se mantienen las restricciones del problema, en caso de presentarse modificaciones se debe realizar nuevamente el ejercicios, porque la función objetivo y/o la utilidad se pueden llegar a ver afectados. 3. Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto A cuyo precio es de 3 euros/kg y que contiene un 10% de nitrógeno y un 30% de fósforo. Existe en el mercado otro producto B que contiene un 20% de nitrógeno y un 20% de fósforo, y cuyo precio

es de 4euros/kg. ¿Qué cantidades se deben tomar de m y n para abonar la parcela con el menor gasto posible?

Para abonar la parcela con el menor gasto posible debe tomar 20 unidades del producto m y 30 unidades del producto n.

4. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300 € y los del tipo F2, 500 €. Solo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 € para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta ,sabiendo que en cada frigoríficos gana el 30% del precio de compra

La solución no es única ya que hay dos vértices que dan el mismo valor máximo. Teniendo en cuenta que, en este caso, los valores han de ser enteros,

5. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada litro de vino deja un beneficio de 8 euros y cada litro de vinagre de 2 euros. Suponiendo que todo lo que se produce se vende.

Hay que producir 3 unidades de vino y 2 de vinagre

CONCLUSIONES

Finalmente podemos destacar la importancia de comprender la temática, es evidente la gran herramienta que podemos usar en diferentes momentos de nuestro desempeño laboral, el desarrollo de forma manual ha permitido que se comprenda mejor sobre la temática, se debe recordar que se agrega una variable holgura por cada una de las restricciones del problema, en el caso de las restricciones son inecuaciones de tipo menor o igual (≤) cuando es de tipo maximizar. El desarrollo de los ejercicios de forma manual, termina en el momento en que en la función objetivo (Z), no existan numero negativos, para el mejoramiento de lo aprendido, es importante la práctica, acompañada del simulador, ya que es la evidencia del buen funcionamiento del algoritmo.

REFERENCIAS 

Guerrero, S. H. (2009). Programación lineal aplicada. Bogotá, CO(pp. 73-120) Ecoe Ediciones. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10758304 &p00=programacion+lineal



Kong, M. (2000). Investigación de operaciones: programación lineal. Problemas de transporte. Análisis de redes : programación lineal. Problemas de transporte. Análisis de redes. :(pp. 31-56) Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10751521 &p00=programacion+lineal