Faktor Integrasi, Tinggal Soal Saja.docx

4) Bila factor integrase hanya tergantung dari (x, y) atau u = u(z) = x(xy) maka 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = . = 𝑢′ (𝑧). = 𝑢′ (𝑧). 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = . = 𝑢′ (𝑧). = 𝑢′ (𝑧). 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑑𝑦 Maka rumus faktor integrasi menjadi 𝑢(

𝜕𝑃 𝜕𝑄 − ) = 𝑄. 𝑦. 𝑢′ (𝑧) − 𝑃. 𝑥. 𝑢′ (𝑧) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = (𝑄𝑦 − 𝑃𝑥)𝑢′ (𝑧)

𝜕𝑃 𝜕𝑄

𝑢′(𝑧)

Maka

𝑢

=

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 𝑄𝑦−𝑃𝑥

jadikan fungsi dari z

𝜕𝑃 𝜕𝑄

𝑑𝑢

Atau

𝑢

=

(𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 ) 𝑄𝑦−𝑃𝑥

𝑑𝑧

Sebaliknya bila suatu soal harga dari 𝜕𝑃 𝜕𝑄

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 𝑄𝑦−𝑃𝑥

terdapat fungsi adalah sesuatu fungsi dari ( xy ) saja. Maka faktor integrasi hanya

tergantung dari (xy). Contoh soal : 1. (𝑦 3 − 2𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 Jawab : (𝑦 3 − 2𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑃 = 3𝑦 2 − 2𝑥 2 𝜕𝑦 𝜕𝑄 = 2𝑦 2 − 3𝑥 2 𝜕𝑥 Faktor integrasinya dapat ditentutkan dari

……….. (1)

𝜕𝑃 𝜕𝑄 ( − ) 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑄𝑦 − 𝑃𝑥 𝑄𝑦 − 𝑃𝑥

Dengan memperlihatkan harga P dan Q, x dan y ditentukan sedemikian hingga memenuhi salah satu dari rumus faktor integrasi yaitu 𝜕𝑃 𝜕𝑄 ( − ) 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = = 𝑄𝑦 − 𝑃𝑥 𝑄𝑦 − 𝑃𝑥 (2𝑥𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦) − (𝑥𝑦 3 − 2𝑥 3 𝑦) =

Maka

𝑑𝑢

=

𝑢

(

𝜕𝑃 𝜕𝑄 − ) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑄𝑦−𝑃𝑥

ln 𝑢 = ln 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 1 = = 3 3 2 2 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 ) 𝑥𝑦

𝑑𝑧 =

1 𝑍

(𝑧 = 𝑥𝑦)

𝑑𝑧

𝑢 = 𝑧 = 𝑥𝑦

Faktor integral adalah 𝑢 = 𝑢(𝑧) = 𝑢(𝑥𝑦) = 𝑥𝑦. (1) Dikalikan dengan 𝑢 = 𝑥𝑦 𝑥𝑦(𝑦 3 − 2𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦(2𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥𝑦 4 − 2𝑥 3 𝑦 2 )𝑑𝑥 + 𝐶(𝑦) = 𝜕𝑓 𝜕𝑦

1 2 4 1 4 2 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝐶(𝑦) 2 2

= 2𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 4 𝑦 + 𝐶 ′ (𝑦) = 2𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 4 𝑦 𝐶 ′ (𝑦) = 0 1

1

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 2 𝑦 4 − 2 𝑥 4 𝑦 2 = −𝐶1 Atau ≡ 𝑥 2 𝑦 4 − 𝑥 4 𝑦 2 = 𝐶

𝐶(𝑦) = 𝐶1

5) Bila faktor integrasi hanya tergantung dari (x 2 + y 2 ) atau u = u(z) = u(x 2 + y 2 ) 𝜕𝑢

Maka

𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

= =

𝜕𝑢 𝜕𝑧

𝑑𝑧

.

= 𝑢′ (𝑧). 𝑑𝑥 = 𝑢′ (𝑧). 2𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑧

= 𝑢′ (𝑧). 𝑑𝑦 = 𝑢′ (𝑧). 2𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

.

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑑𝑧

Maka rumus faktor integrasi menjadi 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝑢 ( − ) = 𝑄. 𝑢′ (𝑧). 2𝑥 − 𝑃. 𝑢′ (𝑧). 2𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = (2𝑥𝑄 − 2𝑦𝑃)𝑢′ (𝑧) 𝜕𝑃 𝜕𝑄

atau

𝑢′(𝑧) 𝑢

=

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 2𝑥𝑄−2𝑦𝑃

jadikan fungsi dari z

𝜕𝑃 𝜕𝑄

𝑑𝑢 𝑢

=

(𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 ) 2𝑥𝑄−2𝑦𝑃

𝑑𝑧

Sebaliknya bila suatu soal, harga dari 𝜕𝑃 𝜕𝑄

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 2𝑥𝑄−2𝑦𝑃

terdapat fungsi, adalah sesuatu fungsi dari (x 2 + y 2 ) saja. Maka faktor integrasi hanya tergantung dari (x 2 + y 2 ). Berdasarkan uraian (rumus) diatas, ternyata yang membedakan faktor integerasinya tergantung dari : 𝜕𝑃 𝜕𝑄

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 𝛼𝑄−𝛽𝑃

……………………………………………………………………. (1)

α dan β yang harus dicari sedemikian, hingga (1) dapat berbentuk sama dengan salah satu ketentuan (rumus diatas)

Contoh Soal : (5𝑥 2 𝑦 + 4𝑥 + 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (5𝑥𝑦 2 + 4𝑦 + 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 Jawab : (5𝑥 2 𝑦 + 4𝑥 + 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (5𝑥𝑦 2 + 4𝑦 + 𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 . . . . . . . (1) (

𝜕𝑃 𝜕𝑦

−

𝜕𝑄 𝜕𝑥

) = (5𝑥 2 + 3𝑦 2 ) − (5𝑦 2 + 3𝑥 2 ) = 2(𝑥 2 − 𝑦 2 )

Faktor integrasinya dapat ditentukan dari (

𝜕𝑃 𝜕𝑄 − ) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝛼𝑄−𝛽𝑃

Dengan memperhatikan harga P dan Q. α dan β dapat ditentukan sedemikian hingga memenuhi salah satu rumus dari faktor integrasi Yaitu : 𝜕𝑃 𝜕𝑄

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 )

2(𝑥 2 −𝑦2 ) (10𝑥 2 𝑦 2 +8𝑥𝑦+2𝑥 4 )−(10𝑥 2 𝑦 2 +8𝑥𝑦+2𝑦 4 )

=

2𝑥𝑄−2𝑦𝑃

=

2(𝑥 2 −𝑦 2 ) 2(𝑥 4 −𝑦 4 )

=

(𝑥 2 −𝑦 2 ) (𝑥 2 +𝑦 2 ) (𝑥 2 −𝑦 2 )

=

1 𝑥 2 +𝑦2

𝜕𝑃 𝜕𝑄

Maka

𝑢′(𝑧) 𝑢 𝑑𝑢 𝑢

= 1

(𝜕𝑦− 𝜕𝑥 ) 2𝑥𝑄−2𝑦𝑃

= 𝑑𝑧 𝑧

=

sehingga

1

, u = u(z)

𝑥 2 +𝑦 2

= u(x 2 + y 2 )

u = u(x 2 + y 2 )

Faktor integrasinya u = u(x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 ) Persamaan (1) dikalikan dengan (x 2 + y 2 ) 2

(x 2 + y 2 ) (5𝑥2 𝑦 + 4𝑥 + 𝑦3 )𝑑𝑥 + (x 2 + y 2 ) (5𝑥𝑦 + 4𝑦 + 𝑥3 )𝑑𝑦 = 0 (5𝑥 4 𝑦 + 4𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 + 5𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥𝑦 2 + 𝑦 5 )𝑑𝑥 + (5𝑥 3 𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥 5 + 5𝑥𝑦 4 + 4𝑦 3 + 𝑥 3 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0 (5𝑥 4 𝑦 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥𝑦 2 + 𝑦 5 )𝑑𝑥 + (5𝑥𝑦 4 + 6𝑥 3 𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 + 4𝑦 3 + 𝑥 5 )𝑑𝑦 = 0

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫(5𝑥 4 𝑦 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥𝑦 2 + 𝑦 5 )𝑑𝑥 + 𝐶(𝑦) = 𝑥 5 𝑦 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 𝑦 3 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 5 + 𝐶(𝑦) 𝜕𝑓 = 𝑥 5 + 6𝑥 3 𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 + 5𝑥𝑦 4 + 𝐶 ′ (𝑦) 𝜕𝑦 = 5𝑥𝑦 4 + 6𝑥 3 𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥 5 + 4𝑦 3

𝐶 ′ (𝑦) = 4𝑦 3 𝐶(𝑦) = 𝑦 4 + 𝐶

Maka

𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥 5 𝑦 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 𝑦 3 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 5 + 𝑦 4 = 𝐶 ≡ 𝑥𝑦(𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 ) + (𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 ) = 𝐶 ≡ (𝑥𝑦 + 1) + (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝐶