Factor Is At Ion

a) La somme :

2x+6 2× x+2×3 2 × (x + 3 )

peut s'écrire : et encore : on a utilisé à l'envers la formule de distributivité : k × (a + b )= k × a + k × b

Au départ : 2 x + 6

: une somme

A l'arrivée : 2 × (x + 3 )

: un produit

Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. b) Sur le modèle précédent, factoriser : 14y-28 =

9x²+3x+12 =

c) Si une indéterminée (une "lettre") est en facteur commun, il faut la factoriser : Exemple :

5x²+15x = 5×x×x + 3×5×x = 5x×x+5x×3= 5 x × (x + 3 )

2y²-6y=

2x²+x=

Examinons la somme : A = 3 x (x + 1 ) + (7 x - 3 )(x + 1 )

elle comporte un facteur commun : (x + 1 )

= 3 x (x + 1 ) + (7 x - 3 )(x + 1 ) = (x + 1 )[. . . . . + (. . . . . . . . . . . )] =

(x + 1 )[. . . . . . + . . . . . . . . . . . . . ]

= (x + 1 )(

)

Pour contrôler ce résultat, on peut remplacer l'indéterminée par différentes valeurs numériques, dans chaque expression. On choisit des valeurs simples. Ici, prenons x = 0 et x = 1. 1 è r e é c r itu r e d e A : A = 3 x (x + 1 ) + (7 x - 3 )(x + 1 )

2 è m e é c r itu r e d e A : A = (x + 1 )(1 0 x - 3 )

Si x=0 : A=

Si x=0 : A=

Si x=1 A=

Si x=1 A=

Ce contrôle n'est qu'un indicateur. S'il est concluant, il est probable que la factorisation soit exacte. La meilleure vérification est le développement des deux expressions (à faire en exercice).

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Rappeler les trois égaltés remarquables vues en classe de 3ème :

a) Soit à factoriser l'expression suivante :

9x²-12x+4

On peut y reconnaître : C'est-à-dire :

(3x)² - 2×3x×2 + 2² (3x-2)²

On a reconnu le développement du carré d'une différence. De même, factoriser :

x²+16x+64

b) On cherche à factoriser : On reconnaît : Qui est égal à :

49x² + 42x + 9

16y² - 1 (4y)² - 1² (4y + 1)(4y -1)

De même, factoriser : x² - 25

d'après la 3ème égalité remarquable .

36s² - 100

c) Prenons maintenant l'expression :

(5x+1)² - 81

9 - 64y² 16

, que l'on cherche à factoriser.

Ne développons pas le carré, mais posons : X = (5x+1) (5x+1)² - 81 = X² - 81 = X² - 9² = (X+9)(X-9) =

reste à remplacer X par sa valeur : (5x+1)

[(5x+1)+9][(5x+1)-9] = [ (

][ )(

]=

)

Sue le même modèle, factoriser : B = 4 - (3y - 1)²

Réponses : B= (3y+1)(-3y+3)

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C = (5x+3)² - 9x²

C = (8x+3)(2x+3)

D = (2x-7)² - (4+6x)²

D = (8x-3)(-4x-11)