F08 Iind

TITULACIÓN: Ingeniero Industrial ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Curso 2007-2008 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA Departamento de Matemática y Computación

EXAMEN PRIMER PARCIAL 11 de Febrero de 2008 CUESTIÓN 1 Sea
n [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n y {c1 , c2 , ..., cn } ∈
distintos. Demostrar que V = {p(x) ∈
n [x] / p(c1 ) = p(c2 ) = · · · = p(cn ) = 0} es un subespacio vectorial de
n [x] de dimensión 1. 1.0 punto CUESTIÓN 2 Sean f y g endomorfismos de un espacio vectorial E tales que g no es inyectivo, ¿es el endomorfismo g ◦ f inyectivo?, ¿es Img (f ◦ g) = E? Razónense las respuestas. 1.0 punto CUESTIÓN 3 ¯ = ¯0 Sean A una matriz antisimétrica y S una matriz simétrica de orden n. Si el sistema (A+S)X ¯ ¯ ¯ ¯ tiene solución única, estudiar el carácter del sistema (A − S)X = C con C = 0. 1.0 punto PROBLEMA 1 Sea f :
3 →
3 un endomorfismo y A su matriz en la base canónica de
3 Bc = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Se sabe que: i) El rango de la matriz An es 2, para todo número natural n y la traza de A es 4. ii) f no es diagonalizable. Se pide: a) Calcular una forma canónica de Jordan J de A y encontrar una expresión de J n , para todo número natural n. b) Si u ¯2 y u ¯3 son autovectores de f y B = {¯ u1 , u ¯2, u ¯3 } una base de
3 tal que la matriz de f en B es una forma canónica de Jordan de A, calcular la matriz de f en la base B ∗ = {¯ u1 + u ¯2 , u ¯3 , 2¯ u1 + 3¯ u2 }. c) Si C = A − 2I, calcular la inversa de la matriz C 4 + 2C 3 + 3I. d) Siendo W = L{¯ u2 − 2¯ u1 }, determinar unas ecuaciones implícitas en B de f −1 (W ). 2.5 puntos 1

PROBLEMA 2 Sea A3 el espacio vectorial de las matrices antisimétricas de orden      0 0 1 0 0  0 1 0      Bc = −1 0 0 , 0 0 0 , 0 0  0 0 0 −1 0 0 0 −1

la base canónica de A3 . Se considera  α  0 Vα = L −α 0  −α −1 Se pide:

3y  0  1  0

la siguiente familia de subespacios Vα de A3      α 0 −2 α 0 1 2α  1 ,  2 0 −1 ,  −1 0 0   0 −α 1 0 −2α 0 0

a) Calcular, si es posible, los valores de α para los cuales Vα admite un subespacio suplementario de A3 no nulo. b) Se considera el subconjunto W de A3 : W = {M ∈ A3 / |M | = a + b + c, siendo (a, b, c) las coordenadas de M en Bc } b.1) Demostrar que W es un subespacio vectorial de A3 . Hallar su dimensión y una base BW . b.2) Calcular unas ecuaciones paramétricas del subespacio suma V0 + W y unas ecuaciones implícitas del subespacio interseción V0 ∩ W en la base Bc , siendo V0 el subespacio Vα para α = 0. c) Se define la aplicación lineal f : W → W  0 a f −a 0 −b −c

tal que:    b 0 c b c = −c 0 a 0 −b −a 0

c.1) Hallar la matriz de f en la base BW calculada en el apartado anterior. c.2) Calcular una ecuaciones implícítas de ker f e Img f respecto de la base canónica Bc de A3 . ¿Es f biyectiva? 3.0 puntos PROBLEMA 3 Dado el sistema

se pide:

   

x+y+z 2x − ay + 3z 3x − 3y + 4z    5x − (a + b)y + 7z + (b − 3)t

= = = =

0 b−3 0 0

a) Estudiar para que valores de a y b el sistema tiene solución única. b) Calcular los valores de a y b para los que el conjunto V de soluciones del sistema forma un subespacio vectorial de
4 , determinando la dimensión de V en función de a y b. 1.5 puntos

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SOLUCIONES EXAMEN 1o PARCIAL 11 de Febrero de 2008 CUESTIÓN 1 Sea E =
n [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n sobre
y {c1 , c2 , ..., cn } ∈
distintos. Demostrar que V = {p(x) ∈ E / p(c1 ) = p(c2 ) = · · · = p(cn ) = 0} es un subespacio vectorial de E de dimensión 1. Solución Sea p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn un polinomio cualquiera de
n [x]. Si debe tener a {c1 , c2 , ..., cn } como raíces se debe verificar que:     a  0 n  0 1 c a0 + a1 c1 + · · · + an cn1 = 0 · · · c   1 1   0  n   a1   1 a0 + a1 c2 + · · · + an cn2 = 0 c · · · c 2 2   =   ⇐⇒      · · · · · · · · · · · ·  ...   ...  ······························      n  1 cn · · · cnn a0 + a1 cn + · · · + an cn = 0 an 0

que constituyen unas ecuaciones implícitas de V y por tanto es inmediato probar que V es subespacio ¯ e Y¯ dos soluciones, vectorial, ya que si A es la matriz de los coeficientes del sistema anterior y X ¯ + µY¯ sigue siendo solución del sistema, para (por tanto dos vectores de V ), debemos probar que λX todo λ, µ ∈
. ¯ = 0 y AY¯ = ¯0, se tiene: Pero entonces si AX ¯ + µY¯ ) = λAX ¯ + µAY¯ = ¯0 A(λX con lo que queda probado que V es subespacio vectorial. Para estudiar la dimensión de V , será necesario estudiar el rango de la matriz de los coeficientes del sistema:   1 c1 · · · cn1  1 c2 · · · cn2   A= · · · · · · · · · · · · 1 cn · · · cnn Pero calculando el determinante formado por las n primeras columnas, (que es de Vandermonde), se tiene:  n−1   1 · · · c c 1 1    1 c2 · · · c2n−2   |A| =   = (c2 − c1 ) · · · (cn − c1 )(c3 − c2 ) · · · (cn − c2 ) · · · (cn − cn−1 )  ··· ··· ··· ···   1 cn · · · cnn−1 

que será distinto de 0 ya que {c1 , c2 , ..., cn } ∈
son distintos. Por tanto V vendrá representado por n ecuaciones implícitas y su dimensión será: dim V = dim
n [x] − n = (n + 1) − n = 1 como queríamos probar. Nota: Para solucionar el ejercicio sería suficiente también ver que V es el conjunto de los polinomios que tiene a {c1 , c2 , ..., cn } ∈
por raíces y por tanto V = L{p(x) = (x − c1 ) · (x − c2 ) · · · · · (x − cn )} que será un subespacio de dimensión 1. 3

CUESTIÓN 2 Sean f y g endomorfismos de un espacio vectorial E tales que g no es inyectivo, ¿es el endomorfismo g ◦ f inyectivo?, ¿es Img (f ◦ g) = E? Razónense las respuestas. Solución Sean A la matriz de f en una cierta base B de E y C la matriz de g en esa misma base: A = M (f, B)

C = M (g, B)

Si g no es inyectivo se tiene que dim ker g = 0, que será equivalente al ser g un endomorfismo a que dim Img g =dim E. Por tanto el rango de la matriz que representa a g será menor que n, (siendo n la dimensión de E), ya que las columnas de C son un sistema de generadores de Img g. Consecuentemente se tiene: |C| = 0 La matriz de g ◦ f en B será CA y su determinante valdrá |CA| = |C| |A| = 0, de donde se deduce que g ◦ f no es sobreyectivo y al ser un endomorfismo equivalentemente tampoco será inyectivo. Análogamente la matriz de f ◦ g será AC y su determinante valdrá |AC| = |A| |C| = 0, de donde se tiene que f ◦ g tampoco es sobreyectivo y por tanto Img (f ◦ g) = E CUESTIÓN 3 ¯ = ¯0 Sean A una matriz antisimétrica y S una matriz simétrica de orden n. Si el sistema (A+S)X ¯ ¯ ¯ ¯ tiene solución única, estudiar el carácter del sistema (A − S)X = C con C = 0. Solución Si el sistema (A + S)X = ¯0 es compatible determinado se tiene que |A + S| =  0. Entonces:     |A − S| = (A − S)t  = At − S t  = |−A − S| = (−1)n |A + S| =  0 Por tanto |A − S| =  0 y el sistema (A − S)X = C será compatible determinado. PROBLEMA 1 Sea f :
3 →
3 un endomorfismo y A su matriz en la base canónica de
3 Bc = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Se sabe que: i) El rango de la matriz An es 2, para todo número natural n y la traza de A es 4. ii) f no es diagonalizable. Se pide: a) Calcular una forma canónica de Jordan J de A y encontrar una expresión de J n , para todo número natural n. b) Si u ¯2 y u ¯3 son autovectores de f y B = {¯ u1 , u ¯2, u ¯3 } una base de
3 tal que la matriz de f en B es una forma canónica de Jordan de A, calcular la matriz de f en la base B ∗ = {¯ u1 + u ¯2 , u ¯3 , 2¯ u1 + 3¯ u2 }. c) Si C = A − 2I, calcular la inversa de la matriz C 4 + 2C 3 + 3I. d) Siendo W = L{¯ u2 − 2¯ u1 }, determinar unas ecuaciones implícitas en B de f −1 (W ). 4

Solución

a) Como el Rang An es 2 ∀n ∈ N, tenemos que λ1 = 0 es un autovalor simple de A ya que tomando n = 1 N1,0 = {¯0}. Además se tiene N1,0 = N2,0 = · · · = Nn,0 , con dim N1,0 = dim
3 − n´ u mero de ecuaciones independientes (Rang A) = 3 − 2 = 1 Además se tiene N1,0 = N2,0 = · · · = Nn,0 ya que Rang An = 2 ∀n ∈ N. Por otra parte como f no es diagonalizable no podemos tener 3 autovalores distintos, pues los tres serían simples y f sería diagonalizable. Por tanto, tenemos otro autovalor λ2 doble y en consecuencia al ser Traza(A) = 4 0 + 2λ2 = 4 ⇐⇒ λ2 = 2 de donde la Forma Canónica de Jordan de A será:   2 0 0 J = 1 2 0 0 0 0 Desarrollando por cajas, una expresión para n   2 0 Jn =  1 2 0 0 ya que:



2 1  n    n 2 0 2 = 1 2 0 0

J n será:   n  0 0 2 0 0  = n2n−1 2n 0 0 0 0 0n

   n 2 0 0 0 = + 0 2 1 0 n    n−1    n  n 0 0 2 0 0 2 0 + = 2 0 2 1 0 n2n−1 2n 1

0 2

n

b) Si u ¯2 y u ¯3 son autovectores de f , unas ecuaciones de f en B = {¯ u1 , u ¯2, u ¯3 }, vienen dadas por:      y1 2 0 0 x1 y2  = 1 2 0 x2  0 0 0 y3 x3 y para calcular unas ecuaciones de f en B ∗ = {¯ u1 + u ¯2 , u ¯3 , 2¯ u1 + 3¯ u2 }, se pueden realizar cambios de base en el espacio de partida y de llegada o simplemente calcular las imágenes de los elementos de la base B ∗ y encontrar sus coordenadas respecto de ella misma, obteniendo así la matriz de f en B ∗ . De esta forma : • u ¯1 + u ¯2 en B tiene coordenadas (1, 1, 0) y por tanto sus imagen será:      2 0 0 1 2 1 2 0 1 = 3 0 0 0 0 0 =⇒ f (¯ u1 + u ¯2 ) = 2¯ u1 + 3¯ u2 , cuyas coordenadas en B ∗ son (0, 0, 1).

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• u ¯3 en B tiene coordenadas (0, 0, 1)  2 1 0

y por tanto sus imagen será:     0 0 0 0 2 0 0 = 0 0 0 1 0

=⇒ f (¯ u3 ) = ¯0, cuyas coordenadas en B ∗ son evidentemente (0, 0, 0). • 2¯ u1 + 3¯ u2 en B tiene coordenadas (2, 3, 0) y por tanto sus imagen será:      2 0 0 2 4 1 2 0 3 = 8 0 0 0 0 0

=⇒ f (2¯ u1 + 3¯ u2 ) = 4¯ u1 + 8¯ u2 , cuyas coordenadas en B ∗ son (−4, 0, 4).

Por tanto, la matriz de f en B ∗ = {¯ u1 + u ¯2 , u ¯3 , 2¯ u1 + 3¯ u2 } será:   0 0 −4 M (f, B ∗ ) = 0 0 0  1 0 4 c) Si los autovalores de la matriz A son λ1 = 0 simple y λ2 = 2 doble, por las propiedades de los autovalores, la matriz C = (A − 2I) tendrá por autovalores β1 = −2 simple y β2 = 0 doble. Por tanto, el polinomio característico de C = (A − 2I) será de la forma P (β) = β 2 (β + 2) = β 3 + 2β 2 y aplicando el Teorema de Cayley-Hamillton tendremos: C 3 + 2C 2 = O

(1)

Si multiplicamos la expresión (1) por C se obtiene: C 4 + 2C 3 = O lo que es equivalente a: C 4 + 2C 3 + 3I = 3I y su inversa será 13 I: 

C 4 + 2C 3 + 3I

−1

1 3

0

= (3I)−1 =  0 0

0

1 3

 0 0 1 3

d) Si W = L{¯ u2 − 2¯ u1 }, respecto de B se tiene que W = L{(−2, 1, 0)} y por tanto unas ecuaciones paramétricas de W en B serán:   y1 = −2λ y = λ λ∈
 2 y3 = 0 y unas ecuaciones implícitas de W en B

y1 + 2y2 = 0 y3 = 0



(2)

Sustituyendo las ecuaciones de la aplicación f en (2) tendremos unas ecuaciones implícitas de f −1 (W )  2x1 + 2(x1 + 2x2 ) = 0 ⇐⇒ f −1 (W ) = x1 + x2 = 0 0=0

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PROBLEMA 2 Sea A3 el espacio vectorial de las matrices antisimétricas de orden      0 0 1 0 0  0 1 0      Bc = −1 0 0 , 0 0 0 , 0 0  0 0 0 −1 0 0 0 −1

la base canónica de A3 . Se considera  α  0 Vα = L −α 0  −α −1 Se pide:

3y  0  1  0

la siguiente familia de subespacios Vα de A3      α 0 −2 α 0 1 2α  1 ,  2 0 −1 ,  −1 0 0   0 −α 1 0 −2α 0 0

a) Calcular, si es posible, los valores de α para los cuales Vα admite un subespacio suplementario de A3 no nulo. b) Se considera el subconjunto W de A3 : W = {M ∈ A3 / |M | = a + b + c, siendo (a, b, c) las coordenadas de M en Bc } b.1) Demostrar que W es un subespacio vectorial de A3 . Hallar su dimensión y una base BW . b.2) Calcular unas ecuaciones paramétricas del subespacio suma V0 + W y unas ecuaciones implícitas del subespacio interseción V0 ∩ W en la base Bc , siendo V0 el subespacio Vα para α = 0. c) Se define la aplicación lineal f : W → W  0 a f −a 0 −b −c

tal que:    b 0 c b c = −c 0 a 0 −b −a 0

c.1) Hallar la matriz de f en la base BW calculada en el apartado anterior. c.2) Calcular una ecuaciones implícítas de ker f e Img f respecto de la base canónica Bc de A3 . ¿Es f biyectiva? Solución

a) Si Vα debe admitir un subespacio suplementario no nulo, sus 3 generadores no pueden ser linealmente independientes. Por tanto, calculando las coordenadas de los generadores de Vα respecto de Bc Vα = L{(α, α, 1), (−2, α, −1), (1, 2α, 0)} el determinante formado por  α  −2  1

estos tres vectores debe ser 0  α 1  α −1 = 2α2 − 6α = α(2α − 6) = 0 2α 0 

Por tanto si α = 0 ó α = 3, dim Vα < 3 y por tanto admite un subespacio suplementario no nulo.

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b) b.1) Si W = {M ∈ A3 / |M | = a + b + c, siendo (a, b, c) las coordenadas de M en Bc }, como toda matriz antisimétrica M de orden 3 tiene determinante nulo, (|M | = 0), se tiene que: W = {M ∈ A3 / a + b + c = 0, siendo (a, b, c) las coordenadas de M en Bc } Por tanto unas ecuaciones implícitas de W en Bc son a + b + c = 0 y unas paramétricas   x = −λ − β y= λ λ, β ∈
 z= β

y consecuentemente W = L{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}, en coordenadas respecto de Bc , con lo que W es subespacio vectorial. Así     0 −1 0   0 −1 1 W =L  1 0 0 , 1 0 1   −1 0 0 0 −1 0 teniendo que dim W = 2 y una base será     0 −1 0   0 −1 1 BW =  1 0 0 , 1 0 1   −1 0 0 0 −1 0

b.2) Considerando coordenadas respecto de Bc , si α = 0 se tiene que V0 = L{(0, 0, 1), (−2, 0, −1), (1, 0, 0)} y como

  0 0 1   −2 0 −1 = 0   1 0 0

tenemos que V0 = L{(0, 0, 1), (1, 0, 0)}. Además como W = L{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} en coordenadas también respecto de Bc , un sistema de generadores para V0 + W será: V0 + W = L{(0, 0, 1), (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} y como el último vector es combinación lineal de los restantes V0 + W = L{(0, 0, 1), (1, 0, 0), (−1, 1, 0)} = A3 de donde unas ecuaciones paramétricas de V0 + W respecto de Bc serán   x=β−µ y= µ λ, β, µ ∈
 z=λ

Por otra parte como unas ecuaciones implícitas de W son x + y + z = 0 y de V0 son y = 0, unas ecuaciones implícitas de V0 ∩ W respecto de Bc serán:  x+z =0 y=0 y unas paramétricas también respecto de Bc   x = −λ y=0  z= λ

λ∈


es decir V0 ∩ W = L{(−1, 0, 1)}, en coordenadas respecto de Bc . 8

c) c1.) Si la aplicación lineal f : W → W  0 f −a −b

viene definida con:    a b 0 c b 0 c = −c 0 a −c 0 −b −a 0

para calcular la matriz de f en la base calculada     0 −1 1 0 −1 0   BW =  1 0 0  , 1 0 1   −1 0 0 0 −1 0

será necesario calcular las coordenadas de las imágenes de los vectores de BW , respecto también de Bc     0 −1 1 0 0 1 En coordenadas respecto de BW 0 0  =  0 0 −1  • f 1 =⇒ (1, −1) −1 0 0 −1 1 0     0 −1 0 0 1 0 En coordenadas respecto de BW =⇒ (0, −1) • f 1 0 1  =  −1 0 −1  0 −1 0 0 1 0 Por tanto

M (f, BW ) = c.2) Como

  1 0   −1 −1



 1 0 −1 −1

   = −1 = 0 

se tiene que f es sobreyectivo y como es un endomorfismo también será inyectivo, con lo que Img f = W y Ker f = {¯0}. Por tanto unas ecuaciones de Img f son las ecuaciones que ya conocemos de W respecto de Bc , es decir x+y+z =0 y unas ecuaciones implícitas de Ker f en Bc   x=0 y=0  z=0

PROBLEMA 3 Dado el sistema

se pide:

   

x+y+z 2x − ay + 3z 3x − 3y + 4z    5x − (a + b)y + 7z + (b − 3)t

= = = =

0 b−3 0 0

(3)

a) Estudiar para que valores de a y b el sistema tiene solución única. b) Calcular los valores de a y b para los que el conjunto V de soluciones del sistema forma un subespacio vectorial de
4 , determinando la dimensión de V en función de a y b.

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Solución

a) Si el sistema debe ser compatible determinado el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada debe ser 4, que es el número de incógnitas. Por tanto como el sistema tiene 4 ecuaciones y 4 incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de 0, con lo que tendrá rango 4 y así el mismo que el de la matriz ampliada.   1     1 1 0   1 1 1 1 1 1 2     −a 3 0   = (b − 3) 2 −a 3 = (b − 3) 0 −a − 2 1 = 3 −3 4 0   3 −3 4 0 −6 1 5 −(a + b) 7 b − 3   −a − 2 1  = (b − 3)(−a − 2 + 6) = (3 − b)(a − 4) = (b − 3)  −6 1

Por tanto si b = 3 y a = 4, el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada es 4 y el sistema es compatible determinado. b) Si el conjunto de soluciones del sistema (3) debe constituir un subespacio vectorial, debe contener al vector ¯0 = (0, 0, 0, 0), de donde tenemos b = 3 y a cualquier valor real. Por tanto el sistema quedará  x+y+z = 0    2x − ay + 3z = 0 3x − 3y + 4z = 0    5x − (a + 3)y + 7z = 0 y es inmediato probar que las soluciones de este sistema constituyen un subespacio vectorial. Triangulando la matriz de  1 1 2 −a  3 −3 5 −(a + 3)

coeficientes   1 1 1 0   3 0 0 −a − 2 ≈ −6 4 0 0 0 −a − 8 7 0  1 0 ≈ 0 0

1 1 1 2

1 1 1 −a − 2 0 a−4 0 a−4

  0 1   0 0 ≈ 0 0 0 0

1 1 1 −a − 2 1 −6 2 −a − 8

 0 0  0 0

 0 0  0 0

Así se distinguen dos casos: • a = 4 : El subespacio vectorial viene representado por 2 ecuaciones implícitas independientes y por tanto su dimensión será 2. • a = 4 : El subespacio vectorial viene representado por 3 ecuaciones implícitas independientes y por tanto su dimensión será 1.

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