F07 Iind

TITULACIÓN: Ingeniero Industrial ALGEBRA Y GEOMETRÍA Curso 2006-07

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y COMPUTACIÓN

EXAMEN DE FEBRERO 13 de Febrero de 2007 1.- Los profesores del Departamento de Matemática Aplicada y Computación, quieren agradecer al profesor Carlos Gutierrez Cañas sus años de dedicación y entrega a la Universidad, en general, y a sus compañeros-amigos y alumnos, en particular. Por ello están de acuerdo con el deseo del profesor de regalar una puntuación “s” igual a la suma de las coordenadas del vector

(0, 1, 4)

en la base B = {(1, − 1, 1), (0, 1, 2), (1, − 1, 3) }, a

todos los alumnos que calculen correctamente dicho valor “s”. ( s Puntos )

2.- Disponemos de monedas de 5, 20 y 50 céntimos de euro. ¿Hay alguna combinación de monedas tal que, tomando en total 20 de ellas y habiendo al menos una de cada tipo, se puedan obtener 4 euros? Justifíquese la respuesta. ( 1.5 Puntos ) 3.- En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 M 2 se consideran, el subconjunto V = {A ∈ M 2 / A + Adj( A) = 0}, donde Adj ( A) representa la matriz adjunta de A y 0 la matriz nula de orden 2, y la familia de subespacios vectoriales

⎧⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞⎛ α 1 ⎞ ⎛ 2a 0 ⎞ ⎫ ⎟⎟ ⎬ donde α ∈ ℜ . ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ / ⎜⎜ Wα = ⎨⎜⎜ α c d c d 3 0 2 d ⎠⎭ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ Se pide: i)

Probar que V es un subespacio vectorial de M 2 . Calcular una base del mismo.

ii)

Calcular la dimensión y una base de Wα para los distintos valores reales de

α.

iii)

Calcular una base de V + Wα para todo α ∈ ℜ . Calcular unas ecuaciones implícitas de Wα ∩ W β ∀α , β ∈ ℜ, α ≠ β .

( 2.5 Puntos

) 4.- Sean f , g dos endomorfismos de ℜ 3 tales que f no es diagonalizable y g es inyectivo. Sea el endomorfismo composición h = g o f tal que dim h −1 { (0, 0, 0 ) } = 2 . Sabiendo que además f (1, 0, 1) = f (1, 1, 2) y que f (1, 1, − 1) = (1, − 1, 0) , se pide: i)

Calcular una forma canónica de Jordan del endomorfismo f.

ii)

Calcular la matriz A de f en la base canónica de ℜ 3 y una matriz de paso P, tal que J = P −1 AP .

iii)

Calcular la inversa de la matriz 3 A 20 + I . ( 3 Puntos)

5.- Sean ℜ 2 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y f : ℜ 4 → ℜ 2 [x ] una aplicación lineal tal que el núcleo tiene por ecuaciones implícitas x + y + 2 z + αt = 0 ⎧ ⎪ − x + 2y + z − t = 0 ⎪ Kerf ≡ ⎨ donde α ∈ ℜ . Calcular los valores reales de α tal ⎪ − x + 11 y + 10 z − 13t = 0 ⎪⎩ 2 x − y + z + (α + 1) t = 0 que para todo vector p( x ) ∈ ℜ 2 [x] exista algún vector (a, b, c, d ) ∈ ℜ 4 que verifique

f (a, b, c, d ) = p( x ) . ( 1.5 Puntos ) 6.- En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1, ℜ1 [x] , se define un producto escalar que verifica, (1 + x ) o (1 + x ) = 5, x o x = 1, x o (1 + x ) = 2 . Se pide: i)

Calcular la matriz del producto escalar en la base canónica B1 = { 1, x } .

ii)

Calcular la matriz del producto escalar en la base B2 = { x, 1 + x } .

iii)

Hallar el conjunto V1 de vectores a + bx ∈ ℜ1 [x] tales que

(a + bx ) o (1 + 2 x ) = 1 ¿ Es el subconjunto V1 un subespacio vectorial de ℜ1 [x] ?. Razonar la respuesta.

( 1. 5 Puntos)