F06 Iind

TITULACIÓN: Ingeniero Industrial ALGEBRA Y GEOMETRÍA Curso 2005-06

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y COMPUTACIÓN

EXAMEN DE FEBRER0 14 de febrero de 2006 1.- Se considera el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales AX = B y

{ C1 , C2 ,KK, Cn } una familia de soluciones del mismo. Encontrar la relación entre las constantes λ1 , λ2 ,..λn para que λ1C1 + λ2 C2 + .... + λn Cn sea solución del sistema homogéneo AX = 0 . ( 1 Punto) 2.- En el espacio de las matrices cuadradas de orden dos M 2×2 , se consideran los subconjuntos:

{

Vα = A ∈ S 2 / Traza ( A) = α 2 − α − 2

}

siendo α ∈ ℜ y S 2 el espacio vectorial de las

matrices simétricas de orden dos. T = { A = (a ij ) ∈ M 2×2 / a ij = 0, ∀ i < j

}

Se pide: a) Estudiar para qué valores reales de α es Vα un subespacio vectorial de M 2×2 . b) Para los valores de α obtenidos en el apartado anterior: i)

Calcular unas ecuaciones implícitas de Vα como subespacio de M 2×2 en

⎧ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎫ ⎟⎟ ⎬ . ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ la base B = ⎨ ⎜⎜ 0 0 0 0 1 0 0 1 ⎠⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ ii)

Calcular unas ecuaciones implícitas de Vα como subespacio de S 2 en la

⎧ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎫ ⎟⎟ ⎬ . ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ base B ∗ = ⎨ ⎜⎜ ⎩ ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎭ iii)

Demostrar que T es un subespacio vectorial de M 2×2 .

iv)

Estudiar si Vα y T son subespacios suplementarios en M 2×2 . ( 3 Puntos)

3.- Sea f c : ℜ 3 [x ] → ℜ 4 una familia de aplicaciones lineales, cuya matriz en las bases

{

canónicas B1 = 1, x, x 2 , x 3

}

y B2 = { (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) } de

3 −c 4 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ c 0 ⎟ ⎜− c 1 4 , c ∈ ℜ . Se pide: ℜ 3 [x ] y ℜ respectivamente es ⎜ − 1 2c 0 c + 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1 − 2 0 ⎟⎠ ⎝ i) Determinar la dimensión de los subespacios Im f c y Kerf c para los distintos valores reales de c. ii) Para c = −3 hallar, si existen , los polinomios

de ℜ 3 [x ] que se transformen

mediante la aplicación f −3 en el vector (1, − 1, 2, 2) . ( 2 Puntos ) 4.- Sea E un espacio vectorial de dimensión 8. Sean f α : E → E una familia de endomorfismos y Aα su matriz asociada en una cierta base BE de E. Sabiendo que se verifica: i) Dim Im f α = 7 ∀α ∈ ℜ . ii) f tiene como máximo tres autovalores distintos. ii) Dim N 1, −1 = 2 , Dim N 2, −1 = 4 = Dim N 3, −1 , ∀α ∈ ℜ . iii) Existe un vector u ∈ E , u ≠ 0 tal que f (u ) = αu , ∀α ∈ ℜ − {1}. iv) Traza ( Aα ) = α − 4 , ∀α ∈ ℜ calcular una forma canónica de Jordan, para los distintos valores reales de α . ( 2.5 Puntos )

5.- En el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 1 ℜ1 [x] , se define un producto escalar para el que se verifica. i) ( x + 2) o (3x + 1) = 14 ii) (x − 1) o 1 = −1 iii) x sea un vector unitario. Se pide: a) Calcular la matriz del producto escalar en la base B = {1, x} . b) Hallar el ángulo que forman los polinomios 1− 2 x y 1. ( 1.5 Puntos )