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DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA GENERAL Y QUÍMICA COORDINACIÓN DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

PROBLEMAS CON SOLUCIÓN 1. Para el conjunto de cargas eléctricas mostrado en la figura se sabe que el campo r eléctrico en el punto A es E = 599,435 ˆj + 450,000 kˆ [N/C]. Considerando despreciable

[

el efecto de inducción.

]

Determinar: a) El valor y signo de σ . b) El valor y signo de λ . c) La fuerza eléctrica que actuará sobre una carga Q=-5 [µC] que se coloca en el punto B. d) La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y C debida a σ , λ y a Q. A (0,8,4) [cm] B (0,5,0) [cm] C (0,5,4) [cm] D (0,8,0) [cm]

1.a) Aplicando el principio de superposición.

r r r E A = E Aσ + E Aλ = σ ˆj + 1 2λ kˆ 2ε 0 4π ε0 a igualando término a término con el campo eléctrico en el punto A, r E = 599,435ˆj + 450,000kˆ tenemos: A

[

]

599,435 = σ , despejando σ y sustituyendo datos. 2ε 0 σ = +1.06 x 10 –5 [C/m2 ].

1.b) De la misma manera, para la línea. 1 2λ 450,000 = ; despejando λ y sustituyendo valores. 4π ε0 a λ = +1.0 x 10-6 [C/m].

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ.

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1.c) El campo en el punto B. r r r E B = E Bσ + E Bλ = σ (− ˆj ) + 1 2 λ ˆj ; sustituyendo valores: 2ε 0 4 πε0 a

r E B = −599,435ˆj + 600,000ˆj = 565ˆj . Por lo tanto la fuerza en el punto B. r r FB = QE B = −5x10 −6 x565 = −2. 825x10 −3 ˆj[N] 1.d) VAC = VACQ + VACλ + VACσ.   VAC Q = 1 Q 1 − 1  = 9x19 −9 x − 5x10 −6  1 − 1  = 225,000 [V ]  0. 05 0.04  4πε0  r AQ rCQ 

(

)

r 1 0.05 2λ Ln Cλ = 9 x10 9 x2x1x10 −6 Ln = 4016 .59[V ] 4πε0 rAλ 0.04 −5 σ = (YCσ − Y Aσ ) = 1.06x10 −12 (0.05 − 0. 08) = −17,966. 1[V ] 2ε 0 2x8.85x10

VAC λ =

VAC σ

Por lo tanto VAC = 211,050 [V]. 2. Para el conjunto de cargas eléctricas mostrado en la figura se sabe que el campo r eléctrico en el punto A es E = 599,435 ˆj + 450,000 kˆ [N/C]. Considerando despreciable el efecto de inducción.

[

]

Determinar: e) El valor y signo de σ . f) El valor y signo de λ . g) La fuerza eléctrica que actuará sobre una carga Q=-5 [µC] que se coloca en el punto B. h) La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y C debida a σ , λ y a Q.

ε 0 = 8.85 x10 −12 

C2  2  N ⋅ m 

C1 = 7 [µF] C4 = 12 [µF] V1máx = 150 [V] V2máx = 35 [V] [cm2]

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C 2 = 12 [µF] V 4máx = 35 [V] ke3 = 5 A3 =20339

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2.a) El valor de C3; C 3 = K e3

Aε 0

= 3.00x10-6 [F] d 2.b) La diferencia de potencial Vad ; q2 = q3 = q4 = 240 [µC], por estar en serie.

Vc 2 =

q2

= 20 [V];

C2 Vad = 20 + 80 +20 = 120 [V].

Vc3 =

q3 C3

= 80 [V];

Vc4 =

q4 C4

= 20 [V].

2 1 2.c) La energía total almacenada. U T = C eqt Vad . Del circuito se observa que C 2 , C3 y C4 2 están en serie. Por lo tanto su equivalente será : Ceq 1 = 2 [µF] y está en paralelo con C1. El capacitor equivalente total es C eqt = 9 [µF]. La energía U T = 0.0648 [J].

2.d) La diferencia de potencial máxima. Vad máx. V3máx = Erup3 (d) = 4x10-6 x3x10-5 = 120 [V] La carga que posee el capacitor C 3 con este voltaje es: q3 = C 3xV3máx = 3.6x10 -4 [C] = q2 = 30 [V] = Vc4 q2 = q4, por estar en serie. Por lo tanto Vc 2 = C2 Entonces Vad máx. por la rama derecha = 30 + 120 + 30 = 180 [V]; Con este voltaje se daña el capacitor C 1 ya que soporta 150 [V]. Se concluye que el voltaje máximo aplicado a los puntos ad es de 150 [V]. 3. El circuito mostrado tiene los siguientes valores: E1 = 10 [ V ], r1 = 10 [ Ω] , E2 = 20 [ V], r2 ≈

0 [ Ω ] , E3 = E1, r3 = r1, R 1 = 100 [ Ω ] , R 2 = R 3 = 200 [ Ω ] , RC = 2 [ kΩ ], C 1 = 20 [ µF ] , C 2 = 30 [ µF ] . Si el interruptor S permanece abierto para los incisos a), b) y c) y si se cierra para el inciso d), sabiendo que la diferencia de potencial inicial en ambos capacitores es de 0 [ V ], determine: a) b) c) d)

La corriente eléctrica IR . La diferencia de potencial VAN . La energía que entrega o recibe la fuente ideal E1 en 5 minutos. Con el interruptor S cerrado en t0=0, la energía almacenada en C1 en el instante t = 2τ. 2

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3.a) La corriente eléctrica en R2 . (IR2 ). La Fem E3 y r3 están en circuito abierto y el interruptor “s” esta abierto, por lo tanto el circuito queda como se muestra en la figura 1.

. Fig. 1

Fig. 2

La resistencia equivalente del paralelo de R2 y R3 y en serie con R1, es: Re = (R2 xR3)/(R2 +R3 )+R1 = (200x200)/(200+200)+100 = 200 [Ω ] El circuito resultante se muestra en la figura 2. LKC al nodo B I1 +I2 =I3 ...(1) LKV a la malla de la izquierda E1 = 10I1 +200I3 ...(2) LKV a la malla de la derecha E2 = r2 I2 + ReI3 ...(3) De los datos del problema se sabe que r 2 es aproximadamente igual a cero, por lo tanto de (3). I3 = E2/Re = 20/200 = 0.1 [A]. Sustituyendo en (2) y despejando I1 . I1 = (E1-200I3)/10 = (10-20)/10 = -1 [A] De la expresión (1). I2=I3 -I1 = -0.1-1 = -1.1[A] La diferencia de potencial entre el nodo C y tierra es I3 (R2//R3) = 10 [V], por lo tanto IR2 = VCN/200 = 0.05 [A]. 3.b) La diferencia de potencial VAN se puede obtener por la siguiente trayectoria. VAN = -Ir3 r3 + E3 +I3 Re; como Ir3 = 0 VAN = E3 + E2 = 10 + 20 = 30 [V] 3.c) La potencia de E1 es: PE1 = E1 I1 = 10 (-1) = -10 [W] y la energía en 5 minutos es: U1 = P1 t = (-10 W)(300s)= -3000 [J] El signo menos indica que la corriente entra a la fuente y por lo tanto absorbe energía 3.d) Al cerrar el interruptor S. Como r2 = 0 y los capacitores C1 y C2 están en paralelo el circuito mínimo está constituido por una RC de 2 [KΩ ] y un capacitor equivalente de 50 [µF]. El voltaje en los extremos del capacitor equivalente para el instante t = 2τ es: Vce = ε(1− e

− t RCe

) = 20(1 − e

−

2τ τ

) = 20(1 − e −2 ) = 17.29[V ]

Como Vce = Vc1=Vc2= 17.29 [V] por estar en paralelo los capacitores C1 y C2. Entonces la energía Uc1 = 0.5 C 1 (Vc1)2 = 0.5 (20x10-6 )x(17.29) 2 = 2.989 [mJ].

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ.

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4. La figura muestra un conductor muy largo, cuyo eje es coincidente con el eje “z”, transportando una corriente eléctrica iT = 2 [A] en el sentido mostrado. Se sabe que en la región se puede establecer un campo magnético uniforme, con ayuda de electroimanes r de un valor B = −2 ˆi [ µT]. Con base en los datos determine:

a) b)

c)

d)

El campo magnético total en el punto A(0,-15,0) [cm]. La fuerza magnética que experimenta un electrón al pasar por el punto B(40,0,0) [cm] con una velocidad r v = 3 ˆi + 2 ˆj − 3 kˆ [m/s].

(

)

La aceleración a la que se vería sometido el electrón al pasar por el punto B(40,0,0) [cm]. El valor absoluto del flujo magnético a través de la superficie indicada en la figura por los puntos E(0,30,50) [cm], F(0,30,-50) [cm], G(0,50,50) [cm] y H(0,50,-50) [cm], generado únicamente por la corriente en el conductor.

Masa del electrón : me = 9.109x10 –31 [kg] Carga del electrón: qe = -1.6x10 –19 [C]   µ 0 = 4π × 10 − 7  Wb   A ⋅m 

4.a) El campo magnético en el punto A producido por la corriente que fluye por el conductor es: r −7 µI BAC = 0 ˆi = 4πx10 x−22 ˆi = 2.67 x10 −6 ˆi [T] 2πrA 2πx15 x10

r

r

r

Por lo tanto el campo magnético total en el punto A es: B A = B AC + B = 2.67ˆi − 2ˆi = 0.67ˆi [µT ] 4.b) El campo magnético en el punto B producido por la corriente que fluye por el conductor r

−7 µ 0I ˆ ˆj = 1.0 x10− 6 ˆj [T]. El campo magnético total en el punto B es: j = 4πx10 x 2 2πrB 2πx40 x10 −2 r r r BB = BBC + B = (1.0 ˆj − 2ˆi )[µT ] = (−2ˆi + iˆj )[µT] .

es: BBC =

La fuerza de origen magnético es:

[

]

r r r −19 −6 −25 Fm = qe (vXB ) = ( −1.6 x10 ) (3ˆi + 2ˆj − 3kˆ )X(−2ˆi + ˆj ) x10 [T ] = (−4.8ˆi − 9.6 ˆj − 11.2kˆ )10 [N]

4.c) La aceleración, de acuerdo con la segunda ley de Newton es:

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ.

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r v Fm (−4.8 ˆi − 9.6ˆj − 11.2kˆ )(10−25 ) a= = = (−0.526ˆi − 1.053 ˆj − 1.229kˆ )(106 ) m2  −31 me 9.109x10 s 

4.d) φ =

µ0i t Z  y2  (4πx10−7 )(2)(1) 50 ln  = ln( ) = 2.04 x10− 7 [Wb ] = 204[ηW ] 2π  y1  2π 30

5. Dado el siguiente circuito indicar, cuál es el potencial eléctrico con respecto a tierra, de los puntos A y B para los siguientes casos:

Casos

VA [ V ]

a. R 1 está abierta.

b. R 3 está abierta.

c. R 4 está abierta.

d. R 1 está en corto circuito ( conductor entre E y A).

e. R 4 está en corto circuito ( conductor entre B y D).

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ.

VB [ V ]

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5.a) Si R1 está abierta no puede circular corriente por ningún elemento y VA = 0 [V] y VB = 0 [V] 5.b) Si R3 está abierta, la corriente fluye por R1 y R2 que están en serie. Por lo tanto I=

E = 12 = 12 = 0.6[A ] . Aplicando ley de Ohm para la resistencia R2 se obtiene: R1 + R 2 10 + 10 20

VR2 = R2 xI = (10)(0.6)=6[V]= VA. Como no circula corriente por R3 por estar abierta, entonces VB= 0. 5.c) Si R4 está abierta, la corriente solo circula por R1 y R2 que están en serie. Por lo tanto I=

E = 12 = 12 = 0.6[A ] . Aplicando ley de Ohm para la resistencia R2 se obtiene: R1 + R 2 10 + 10 20

VR2 = R2 xI = (10)(0.6)=6[V]= VA. Y como no circula corriente por R3 , el potencial de un extremo debe ser igual al potencial del otro extremo para que la diferencia de potencial sea cero, de acuerdo con ley de Ohm.. Entonces VB= 6 [V]. 5.d) Si R1 está en corto circuito queda una resistencia equivalente de R3 y R4 en serie y después en paralelo con R2 . Re = (100 000 +100 000)//10=9.9995 [Ω ]≅10[Ω]. Por ley de Ohm,. E=Re I, despejando I. I=12/10= 1.2[A]. Por lo tanto el potencial con respecto a tierra del punto A es: VA=E=12[V]. La corriente que fluye las resistencia 3 y 4 que están en serie es: I34 = 12/200 000 =60[µA] y el potencial en B es: VB= (100 000) (60x10-6 )=6[V]. 5.e) Si R4 está en corto circuito VA = 6[V]. Ya que el paralelo de las resistencias 2 y 3 es aproximadamente de 10 [Ω] y se tiene un divisor de voltaje. V B=0[V] por quedar el punto B a tierra.

FRANCISCO MIGUEL PÉREZ RAMÍREZ.